Resolução do Exame de MACS - Época Especial 2024

Item 1

Somando as pontuações iniciais:

	Cabo Girão	Pico do Areeiro	Porto Moniz	Santana
Soma	10	11	11	10

Nenhum local alcança a maioria absoluta de 21 pontos. Elimina-se Santana e redistribuem-se os seus pontos.

	Cabo Girão	Pico do Areeiro	Porto Moniz
António	2	1	7
Camila	4	5	1
Dora	1	6	3
Francisco	3	1	6
Soma	10	13	17

Elimina-se depois o Cabo Girão. A última tabela fica:

	Pico do Areeiro	Porto Moniz
António	1	9
Camila	9	1
Dora	7	3
Francisco	1	9
Soma	18	22

Porto Moniz obtém 22 pontos e é o primeiro local a visitar.

Item 2

No Hotel Camélia, os dois quartos durante quatro noites custariam:

\[ 2(134{,}55)(4)=1076{,}40\text{ €}. \]

No Hotel Azálea, sem desconto:

\[ 2(150{,}20)(2)+2(142{,}30)(2)=600{,}80+569{,}20=1170\text{ €}. \]

O desconto é \(1170-1076{,}40=93{,}60\) euros. Assim:

\[ p=\frac{93{,}60}{1170}\times100=8\%. \]

A percentagem de desconto é 8%.

Item 3.1

Pelo método dos marcadores:

Fernando coloca o primeiro marcador e recebe L1 e L2.
Joana coloca o segundo marcador relevante e recebe L6 e L7.
Helena, a guia restante, recebe L9, L10, L11 e L12.
L3, L4, L5 e L8 ficam para sorteio.

Correspondências: I-b), II-b), III-a) e IV-a).

Item 3.2

O percurso pedido é um circuito de Euler, pelo que todos os vértices devem ter grau par após acrescentar a ligação L3-L7.

Nas opções A e B ficam outros vértices de grau ímpar.
Na opção C todos os graus já eram pares; a nova aresta tornaria L3 e L7 ímpares.
Na opção D, apenas L3 e L7 tinham grau ímpar; a nova aresta torna todos os graus pares.

Resposta: opção D.

Item 4

Consideram-se apenas os miradouros com altitude superior a 350 metros. Aplicando sucessivamente a escolha de maior altitude admissível:

Percurso: PR → PA → E → CG → PB → B.

Item 5.1

O ângulo ao centro é proporcional à frequência absoluta:

\[ \frac{1200}{360}=\frac{210}{\alpha} \Longleftrightarrow \alpha=\frac{210(360)}{1200}=63^\circ. \]

Resposta: opção D.

Item 5.2

Se \(m\) é a média das idades dos turistas das nacionalidades X e Z, então:

\[ \frac{180m+350(62)+210m+460(56)}{1200}=54{,}5. \]

\[ 390m+47460=65400 \Longleftrightarrow m=\frac{17940}{390}=46. \]

A média é 46 anos.

Item 5.3

Dos histogramas retiram-se as seguintes conclusões:

Na nacionalidade Z não há turistas com altura inferior a 1,2 m.
Com menos de 1,6 m: X = 70%; Y \(\approx79\%\); Z \(\approx52\%\).
Com pelo menos 1,6 m: X = 54; Y = 75; Z = 100.
Classes modais: X \([1{,}4;1{,}6[\), Y \([1{,}2;1{,}4[\), Z \([1{,}4;1{,}6[\).
Com pelo menos 1,4 m: X = 70%; Y = 50%; Z \(\approx86\%\).
Entre 1,6 m e 1,8 m: X = 36; Y = 75; Z = 70.
Na classe \([1{,}4;1{,}6[\): X = 81; Y = 100; Z = 80.

(a) → (2), (6); (b) → (4), (5); (c) → (1), (3), (7).

Item 6.1

No modelo \(A(t)=1+30e^{-0{,}02t}\), \(t=7\) corresponde ao final de 1970 e \(t=10\) ao final de 2000:

\[ A(7)\approx27{,}081,\qquad A(10)\approx25{,}562. \]

A diminuição relativa é:

\[ \frac{27{,}081-25{,}562}{27{,}081}\times100 \approx 5{,}61\%\approx6\%. \]

A população diminuiu aproximadamente 6%.

Item 6.2

Como 2700 habitantes correspondem a 27 centenas, resolve-se:

\[ 1+30e^{-0{,}02t}=27. \]

A solução é \(t\approx7{,}16\), isto é, cerca de 71,6 anos depois do final de 1900. No final de 1971 a população ainda não era inferior a 2700.

O primeiro ano em que a população ficou abaixo de 2700 habitantes foi 1972.

Item 6.3

\(t\)	\(A(t)\)	\(B(t)\)
0	31,000	20,400
1	30,406	21,000
2	29,824	21,600
3	29,253	22,200
4	28,693	22,800
5	28,145	23,400
6	27,608	24,000
7	27,081	24,600
8	26,564	25,200
9	26,058	25,800
10	25,562	26,400

Inicialmente A tinha 3100 habitantes e mais população do que B. Ao fim de dez décadas, B passa a ter mais habitantes. Ao fim de duas décadas, B já tinha mais de 2000 habitantes.

Correspondências: I-a), II-c), III-a) e IV-c).

Item 7.1

Existem \(6\times6=36\) pares ordenados possíveis no lançamento dos dois dados. Francisco vence quando o seu resultado é superior ao do irmão: há \(5+4+3+2+1=15\) casos.

\[ P(\text{Francisco vence})=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}. \]

Probabilidade: \(\dfrac{5}{12}\).

Item 7.2

Se \(F\) significa “o carreiro oferece uma flor”, os dados são:

Escolha do carreiro

Alves: 40%
Bino: 30%
Célio: 30%

Probabilidade de flor

Alves: 20%
Bino: 55%
Célio: 40%

\[ P(B\mid F)= \frac{0{,}30(0{,}55)} {0{,}40(0{,}20)+0{,}30(0{,}55)+0{,}30(0{,}40)} =\frac{0{,}165}{0{,}365}\approx0{,}45. \]

Probabilidade aproximada: \(0{,}45\).

Item 8

O intervalo \(]0{,}306;0{,}494[\) tem ponto médio:

\[ \widehat p=\frac{0{,}306+0{,}494}{2}=0{,}4. \]

Se \(k\) é o número de turistas que ficariam exatamente três dias, então os que ficam no máximo três dias são \(18+k\), numa amostra de 105:

\[ 0{,}4=\frac{18+k}{105} \Longleftrightarrow 42=18+k \Longleftrightarrow k=24. \]

Responderam “exatamente três dias” 24 turistas.