Resolução do Exame de MACS - Época Especial 2022

Item 1.1

Os núcleos B e C têm \(1152+395=1547\) sócios. Os 268 convites libertados pelo núcleo A são distribuídos proporcionalmente.

\[ \frac{c}{268}=\frac{395}{1547} \Longleftrightarrow c=\frac{395(268)}{1547}\approx68{,}4. \]

Como o número de convites tem de ser inteiro, o núcleo C recebe 68.

Resposta: opção C.

Item 1.2

O número total de sócios é \(939+1159+395=2493\), pelo que o divisor padrão é:

\[ d=\frac{2493}{710}\approx3{,}511. \]

Núcleo	A	B	C
N.º de sócios	939	1159	395
Quota padrão	\(\approx267{,}44\)	\(\approx330{,}10\)	\(\approx112{,}50\)
1.ª atribuição	267	330	112
2.ª atribuição	0	0	1

A primeira atribuição soma 709 convites. O convite restante é entregue ao núcleo C, que tem a maior parte decimal.

A: 267 convites; B: 330 convites; C: 113 convites.

Item 2

A pontuação do jogador P é:

\[ 4(200)+3(400)+2(600)=3200. \]

Para Q totalizar 1400 pontos, ocupa a 3.ª preferência na lista 1 e a 4.ª preferência nas listas 2 e 3:

\[ 2(200)+1(400)+1(600)=1400. \]

Na lista 3, S não pode ocupar a 1.ª, 3.ª ou 4.ª posições; fica na 2.ª. A posição restante, a 1.ª, pertence a R.

Preferência	1.ª	2.ª	3.ª	4.ª
Jogador	R	S	P	Q

Lista 3: R, S, P, Q.

Item 3

Excluem-se Austrália e França por não cumprirem a capacidade mínima. O algoritmo seleciona:

Espanha-Inglaterra: 1 h 55 min;
Espanha-África do Sul: 10 h 25 min;
Inglaterra-Coreia do Norte: 11 h 16 min;
Coreia do Norte-México: 15 h 25 min.

África do Sul → Espanha → Inglaterra → Coreia do Norte → México.

Item 4

Ao valor financiado acrescem 16%:

\[ 1200(1+0{,}16)=1392\text{ €}. \]

O prazo é de 24 meses, com prestações constantes:

\[ \frac{1392}{24}=58\text{ €}. \]

Prestação mensal: 58 euros.

Item 5.1

Três segundos lugares dariam \(3(18)=54\) pontos.
Dois segundos lugares dariam 61 pontos com um 1.º lugar ou 51 pontos com um 3.º lugar.
Com um 1.º, um 2.º e um 3.º lugares: \(25+18+15=58\).

O máximo é um segundo lugar: opção B.

Item 5.2.1

GP	Variação	Pontos
Reino Unido	6	18
Itália	-8	10
França	0	10
Japão	15	25

\[ \bar x=\frac{18+10+10+25}{4}=15{,}75. \]

Média: 15,75 pontos.

Item 5.2.2

Na Austrália, o piloto venceu e obteve 25 pontos. Em Espanha, a variação foi \(-21\), logo obteve \(25-21=4\) pontos.

Foram concluídas 45 das 66 voltas:

\[ \frac{45}{66}\times100\approx68{,}18\%. \]

Como não foram completados 70% do GP, os pontos foram reduzidos a metade. Assim, os 4 pontos correspondem a 8 pontos da tabela normal, atribuídos ao 6.º lugar.

O piloto terminou o GP de Espanha em 6.º lugar.

Item 6.1

Para \(D(t)=-3680+1840\log(t+100)\):

\[ D(5)\approx38{,}988,\qquad D(10)\approx76{,}163. \]

Nos primeiros 5 segundos percorreu cerca de 38,99 m; nos 5 segundos seguintes:

\[ D(10)-D(5)\approx76{,}163-38{,}988=37{,}17\text{ m}. \]

A segunda distância é menor; a afirmação do atleta está correta.

Item 6.2

Resolve-se \(D(t)=1000\). Graficamente, a interseção ocorre em:

\[ t\approx249{,}5\text{ s}. \]

O recorde mundial é \(3(60)+15=195\) segundos. A diferença é:

\[ 249{,}5-195=54{,}5\text{ s}. \]

O tempo excede o recorde mundial em 54,5 segundos.

Item 7.1

Se 90% dos adversários venceram em piso sintético ou em terra batida, então 10% nunca venceram. Como 60% nunca venceram em terra batida, a parte que venceu apenas em piso sintético é:

\[ 60\%-10\%=50\%. \]

Resposta: opção C.

Item 7.2

Seja \(S_1\) o primeiro serviço bem-sucedido e \(Pt\) o acontecimento “pontuar”. Sabe-se que \(P(S_1)=0{,}7\), \(P(Pt\mid S_1)=0{,}8\) e \(P(\bar S_1\cap\bar{Pt})=0{,}12\).

\[ P(S_1\cap Pt)=0{,}8(0{,}7)=0{,}56, \]

\[ P(\bar S_1\cap Pt)=P(\bar S_1)-P(\bar S_1\cap\bar{Pt}) =0{,}3-0{,}12=0{,}18. \]

\[ P(Pt)=0{,}56+0{,}18=0{,}74. \]

Probabilidade de pontuar depois de colocar a bola em jogo: 0,74.

Item 7.3

A probabilidade de defender um serviço é 0,6 e de não defender é 0,4. Em dois serviços, “no máximo um” corresponde a defender apenas um ou nenhum:

\[ 0{,}6(0{,}4)+0{,}4(0{,}6)+0{,}4^2=0{,}64. \]

Probabilidade: 0,64.

Item 8

Tem-se \(n=225\), \(\widehat p=81/225=0{,}36\) e, para 99% de confiança, \(z=2{,}576\).

\[ \left]\widehat p-z\sqrt{\frac{\widehat p(1-\widehat p)}{n}}, \widehat p+z\sqrt{\frac{\widehat p(1-\widehat p)}{n}}\right[ \]

\[ \left]0{,}36-2{,}576\sqrt{\frac{0{,}36(0{,}64)}{225}}, 0{,}36+2{,}576\sqrt{\frac{0{,}36(0{,}64)}{225}}\right[ \approx ]0{,}28;0{,}44[. \]

Intervalo de confiança: \(]0{,}28;0{,}44[\).