Resolução do Exame de MACS - Época Especial 2021

Item 1

Aplicando a pontuação \(5,3,1\) às três ordens de preferência:

António: \(125(5)+90(3)+160(1)=1055\);
Bernardo: \(160(5)+125(3)+90(1)=1265\);
Carla: \(90(5)+160(3)+125(1)=1055\).

Bernardo fica em primeiro. Carla e António estão empatados; pelo critério da idade, Carla, com 29 anos, fica à frente de António, com 27.

Diretor: Bernardo; vice-diretora: Carla; adjunto: António.

Item 2

Os 96 votos não válidos correspondem a 25% dos votantes:

\[ NV=\frac{96(100)}{25}=384. \]

Dos 480 eleitores inscritos, não votaram \(480-384=96\). Logo:

\[ TA=\frac{96}{480}\times100=20\%. \]

Resposta: opção D.

Item 3

Bem / avaliação	Dora	Elsa	Fernando
Bilhete	40 €	34 €	36 €
Camisola	20 €	22 €	26 €
CD	26 €	34 €	28 €
Percentagem do prémio	50%	30%	20%
Valor global	86 €	90 €	90 €
Porção justa	43 €	27 €	18 €

Atribuem-se o bilhete a Dora, o CD a Elsa e a camisola a Fernando. Dora tem défice de 3 €, Elsa excedente de 7 € e Fernando excedente de 8 €. O excesso líquido é \(7+8-3=12\) €.

Distribui-se esse excesso nas percentagens 50%, 30% e 20%: 6 €, 3,60 € e 2,40 €.

Dora recebe o bilhete e 9 €; Elsa recebe o CD e paga 3,40 €; Fernando recebe a camisola e paga 5,60 €.

Item 4

Considerando os espaços como vértices e as portas como arestas, os graus são:

Vértice	Grau	Vértice	Grau
Pátio	2	Receção	4
Sala 1	2	Sala 2	3
Sala 3	2	Sala 4	3
Sala 5	4	Sala 6	2

Um percurso que começa e termina no pátio, atravessando cada porta exatamente uma vez, seria um circuito de Euler. Isso exige todos os vértices com grau par.

Como as salas 2 e 4 têm grau ímpar, o percurso não é possível.

Item 5

Alternativa 1

Equipamento: 4500 €.

Portes para 73 kg: \(5+7(3)=26\) €.

Total: 4526 €.

Alternativa 2

Equipamento: 4000 €.

Portes: \(20(1{,}03)^{73}\approx173{,}04\) €.

Total: 4173,04 €.

A alternativa 2 é monetariamente mais vantajosa.

Item 6.1

Há 6 ouvintes com IMC na classe normal. Dos 20 ouvintes, \(20-6=14\) não estão nessa classe:

\[ \frac{14}{20}\times100=70\%. \]

Resposta: opção A.

Item 6.2.1

A dimensão da amostra é \(n=18+a+6+32+16=a+72\). Usando as marcas de classe \(16,20,24,28,32\):

\[ \bar x= \frac{18(16)+a(20)+6(24)+32(28)+16(32)}{a+72} =\frac{20a+1840}{a+72}. \]

Como \(\bar x=24\):

\[ 24(a+72)=20a+1840 \Longleftrightarrow 4a=112 \Longleftrightarrow a=28. \]

\(a=28\).

Item 6.2.2

As frequências simples do programa noturno obtêm-se por diferenças das frequências acumuladas. Somam-se depois às frequências do outro programa indicadas no enunciado.

Classe	Acumulada noturno	Simples noturno	Simples tarde	Total
\([14,18[\)	11	11	18	29
\([18,22[\)	27	16	26	42
\([22,26[\)	41	14	6	20
\([26,30[\)	42	1	32	33
\([30,34[\)	50	8	16	24
Total	-	50	98	148

As frequências totais são 29, 42, 20, 33 e 24; dimensão total 148.

Item 7.1

Para \(R(t)=7700+1471\ln(t+1)\):

\[ R(0)=7700,\qquad R(5)\approx10336. \]

\[ R(5)-R(0)\approx10336-7700=2636. \]

Nos primeiros cinco anos, o aumento foi superior a 2500 ouvintes.

Item 7.2

Resolve-se graficamente \(7700+1471\ln(t+1)=12000\). A interseção é aproximadamente \((17{,}6;12000)\).

A marca de 12 000 ouvintes foi ultrapassada durante 2017. A atualização do equipamento ocorreu no início do ano seguinte.

A atualização ocorreu em 2018.

Item 8

Seja \(C\) o acontecimento “trabalhar a partir de casa” e \(D\) “colaborar em programas diários”. Sabe-se que \(P(C)=0{,}8\), \(P(D\mid C)=0{,}5\) e \(P(\bar C\cap\bar D)=0{,}05\).

\[ P(C\cap D)=0{,}5(0{,}8)=0{,}4, \]

\[ P(\bar C\cap D)=P(\bar C)-P(\bar C\cap\bar D)=0{,}2-0{,}05=0{,}15. \]

\[ P(D)=0{,}4+0{,}15=0{,}55. \]

Probabilidade: 0,55.

Item 9

O tempo \(X\) segue uma distribuição normal com \(\mu=40\) e \(\sigma=10\). Pretende-se:

\[ P(50

Pela simetria da distribuição normal:

\[ P(\mu+\sigma

Arredondando às milésimas: 0,136.

Item 10.1

A amplitude do intervalo \(]13{,}86;14{,}50[\) é \(14{,}50-13{,}86=0{,}64\). A margem de erro é metade:

\[ E=\frac{0{,}64}{2}=0{,}32. \]

Resposta: opção D.

Item 10.2

Tem-se \(n=100\), \(\bar x=12\), \(s=2{,}1\) e, para 90% de confiança, \(z=1{,}645\).

\[ \left]\bar x-z\frac{s}{\sqrt n},\bar x+z\frac{s}{\sqrt n}\right[ \]

\[ \left]12-1{,}645\frac{2{,}1}{\sqrt{100}}, 12+1{,}645\frac{2{,}1}{\sqrt{100}}\right[ \approx ]11{,}7;12{,}3[. \]

Intervalo de confiança: \(]11{,}7;12{,}3[\).