Probabilidade - Regra de Laplace | Matemática A

1. Produto de duas bolas

1

Um saco tem 10 bolas, numeradas de 1 a 10. Extraem-se, ao acaso, duas dessas bolas e multiplicam-se os respetivos números.

Qual é a probabilidade de o produto obtido ser igual a 12?

(A) \(\dfrac{1}{45}\)

(B) \(\dfrac{2}{45}\)

(C) \(\dfrac{1}{15}\)

(D) \(\dfrac{4}{45}\)

Resultados possíveis

As duas bolas são diferentes e a ordem da extração não altera o produto. Assim, o número de pares possíveis é:

\displaystyle {}^{10}C_2=45

Resultados favoráveis

Os únicos pares de números distintos, entre 1 e 10, cujo produto é 12 são:

\{2,6\}\quad\text{e}\quad\{3,4\}

Existem, portanto, 2 resultados favoráveis.

Regra de Laplace

\displaystyle P=\frac{2}{45}

A probabilidade é \(\dfrac{2}{45}\). Opção (B).

2. Pontos em retas concorrentes

2

Considere duas retas, \(r\) e \(s\), distintas e concorrentes num ponto \(A\). Admita que os pontos \(B\), \(C\) e \(D\) pertencem à reta \(r\) e que os pontos \(E\), \(F\), \(G\) e \(H\) pertencem à reta \(s\).

Escolhendo ao acaso três desses oito pontos, qual é a probabilidade de obter um triângulo com vértice no ponto \(A\)?

Resultados possíveis

Escolhem-se 3 dos 8 pontos, sem atender à ordem:

\displaystyle {}^{8}C_3=56

Resultados favoráveis

Para o triângulo ter vértice em \(A\), é necessário escolher:

o ponto \(A\);
um dos 3 pontos de \(r\) diferentes de \(A\);
um dos 4 pontos de \(s\) diferentes de \(A\).

3\times4=12

Regra de Laplace

\displaystyle P=\frac{12}{56}=\frac{3}{14}

A probabilidade é \(\dfrac{3}{14}\).

3. Cartas de naipes diferentes

3

Um baralho de cartas completo é constituído por 52 cartas, repartidas em quatro naipes de 13 cartas cada: espadas e paus; copas e ouros. Em cada naipe há um ás, três figuras (rei, dama e valete) e mais nove cartas (do 2 ao 10).

Tiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas cartas do baralho.

Qual é a probabilidade de se tirar duas cartas de naipes diferentes?

(A) \(\dfrac{4}{17}\)

(B) \(\dfrac{6}{17}\)

(C) \(\dfrac{13}{17}\)

(D) \(\dfrac{16}{17}\)

Primeira carta

A primeira carta pode ser qualquer uma. Depois de a retirar, ficam 51 cartas no baralho.

Segunda carta

Há 12 cartas do mesmo naipe da primeira e \(3\times13=39\) cartas dos outros três naipes.

\displaystyle P(\text{naipes diferentes})=\frac{39}{51}=\frac{13}{17}

A probabilidade é \(\dfrac{13}{17}\). Opção (C).

4. Prisma hexagonal regular

4

Considere um prisma hexagonal regular.

Admita que o prisma está representado num referencial ortonormado \(Oxyz\), de tal forma que uma das suas bases está contida no plano de equação \(y=3\).

Escolhendo, ao acaso, dois vértices do prisma, qual é a probabilidade de definirem uma reta paralela ao eixo \(Oy\)? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Resultados possíveis

O prisma hexagonal tem \(12\) vértices. O número de pares de vértices é:

\displaystyle {}^{12}C_2=66

Resultados favoráveis

As bases estão contidas em planos paralelos ao plano \(xOz\). Como o prisma é regular, as 6 arestas laterais são perpendiculares às bases e paralelas ao eixo \(Oy\).

Cada aresta lateral corresponde a um par favorável de vértices, logo existem 6 pares favoráveis.

Regra de Laplace

\displaystyle P=\frac{6}{66}=\frac{1}{11}

A probabilidade é \(\dfrac{1}{11}\).

5. Operações com acontecimentos

5

Seja \(S\) o espaço de resultados (finito) associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos (\(A\subset S\) e \(B\subset S\)).

Sabe-se que:

\(P(\overline A\cap B)=0{,}1\);
\(P(\overline{A\cup B})=0{,}5\);
a probabilidade do acontecimento \(A\) é o dobro da probabilidade do acontecimento \(B\).

Qual é o valor de \(P(B)\)?

(A) \(0{,}1\)

(B) \(0{,}2\)

(C) \(0{,}4\)

(D) \(0{,}6\)

Definir as incógnitas

Seja \(b=P(B)\) e seja \(x=P(A\cap B)\).

Como \(P(\overline A\cap B)=0{,}1\), a parte de \(B\) que não pertence a \(A\) é \(0{,}1\):

b-x=0{,}1\quad\Longrightarrow\quad x=b-0{,}1

Usar o complementar da união

De \(P(\overline{A\cup B})=0{,}5\), resulta:

P(A\cup B)=1-0{,}5=0{,}5

Além disso, \(P(A)=2P(B)=2b\).

Aplicar a fórmula da união

\begin{aligned} P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ 0{,}5&=2b+b-(b-0{,}1)\\ 0{,}5&=2b+0{,}1\\ b&=0{,}2 \end{aligned}

\(P(B)=0{,}2\). Opção (B).

6. Escolha de alunos

6

Numa turma há 30 alunos, dos quais 12 são raparigas.

Nessa turma foi escolhido, por sorteio, um grupo formado por 10 alunos.

Determine a probabilidade de:

6.1. a Maria e a Francisca, que são irmãs e alunas dessa turma, não pertencerem, em simultâneo, ao grupo escolhido;

6.2. o grupo ter oito rapazes e duas raparigas sabendo que o João, delegado da turma, é um dos seus membros.

Apresente os resultados arredondados às milésimas.

6.1 - As duas irmãs não pertencem simultaneamente

Calcula-se primeiro a probabilidade de ambas pertencerem ao grupo. Depois de escolher Maria e Francisca, faltam escolher 8 alunos de entre os outros 28:

P(\text{ambas})=\frac{{}^{28}C_8}{{}^{30}C_{10}} =\frac{10}{30}\times\frac{9}{29} =\frac{3}{29}

O acontecimento pedido é o complementar:

P(\text{não ambas})=1-\frac{3}{29} =\frac{26}{29}\approx0{,}897

6.2 - O grupo contém o João

Sabendo que o João, que é rapaz, já pertence ao grupo, faltam escolher 9 alunos de entre os outros 29. Existem 17 rapazes e 12 raparigas disponíveis.

Para completar um grupo com 8 rapazes e 2 raparigas, escolhem-se mais 7 rapazes e 2 raparigas:

P=\frac{{}^{17}C_7\times{}^{12}C_2}{{}^{29}C_9} =\frac{2992}{23345} \approx0{,}128

6.1: \(0{,}897\).
6.2: \(0{,}128\).

7. Hexágono regular

7

Considere o hexágono regular \([ABCDEF]\) inscrito numa circunferência de centro \(O\).

Entre os sete pontos (os seis vértices e o centro da circunferência) escolhem-se três ao acaso.

Qual é a probabilidade de que os três pontos escolhidos definam:

7.1. um triângulo retângulo?

7.2. um triângulo com vértice no ponto \(A\)?

Hexágono regular ABCDEF inscrito numa circunferência de centro O

Resultados possíveis

Escolhem-se 3 dos 7 pontos:

\displaystyle {}^{7}C_3=35

7.1 - Triângulos retângulos

Um triângulo inscrito numa circunferência é retângulo quando um dos seus lados é um diâmetro.

O hexágono tem 3 pares de vértices diametralmente opostos: \(A,D\), \(B,E\) e \(C,F\). Escolhido o diâmetro, o terceiro vértice pode ser qualquer um dos outros 4 vértices da circunferência.

N_f=3\times4=12 \qquad\Longrightarrow\qquad P=\frac{12}{35}

Os triângulos que incluem \(O\) não acrescentam casos retângulos; o caso com dois vértices opostos e \(O\) é degenerado.

7.2 - Triângulos com vértice em A

Fixando \(A\), escolhem-se mais 2 pontos entre os 6 restantes:

\displaystyle {}^{6}C_2=15

A escolha \(\{O,D\}\) não forma um triângulo, pois \(A\), \(O\) e \(D\) são colineares. Assim, há \(15-1=14\) casos favoráveis.

\displaystyle P=\frac{14}{35}=\frac25

7.1: \(\dfrac{12}{35}\).
7.2: \(\dfrac25\).

8. Aluno escolhido ao acaso

8

Escolhe-se, ao acaso, um aluno de uma turma do 12.º ano.

Relativamente a esta experiência aleatória, considere os acontecimentos:

\(A\): “O aluno é um rapaz”;

\(B\): “O aluno usa óculos”.

Sabe-se que \(P(\overline A\cap B)=\dfrac16\).

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

(A) \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)

(B) \(P(\overline A\cup B)<P(\overline A)+P(B)\)

(C) \(P(A\cup\overline B)=\dfrac23\)

(D) \(P(A)>\dfrac56\)

Fórmula da probabilidade da união

Para quaisquer acontecimentos \(X\) e \(Y\):

P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)-P(X\cap Y)

Aplicando a fórmula a \(\overline A\) e \(B\):

P(\overline A\cup B) =P(\overline A)+P(B)-P(\overline A\cap B) =P(\overline A)+P(B)-\frac16

Como \(\dfrac16\gt 0\), conclui-se necessariamente que:

P(\overline A\cup B)<P(\overline A)+P(B)

A afirmação necessariamente verdadeira é a opção (B).

9. Ordem num debate

9

Num debate participam representantes de sete partidos políticos, quatro dos quais apoiaram o último governo e os restantes três estiveram na oposição.

A ordem pela qual é efetuada a primeira intervenção no debate é sorteada.

Qual é a probabilidade de, nessa primeira participação no debate, pelo menos dois dos partidos da oposição intervirem um a seguir ao outro?

(A) \(\dfrac27\)

(B) \(\dfrac37\)

(C) \(\dfrac47\)

(D) \(\dfrac57\)

Usar o acontecimento contrário

É mais simples contar as ordens em que nenhum dos 3 partidos da oposição fica junto de outro partido da oposição.

Organizar os quatro partidos do governo

Os 4 partidos do governo podem ser ordenados de \(4!\) maneiras. Criam-se 5 espaços possíveis para os partidos da oposição:

\_\,G\,\_\,G\,\_\,G\,\_\,G\,\_

Escolhem-se 3 dos 5 espaços e distribuem-se neles os 3 partidos da oposição:

\displaystyle 4!\times{}^{5}C_3\times3!=1440

Calcular a probabilidade

Existem \(7!=5040\) ordens possíveis.

P(\text{nenhum junto})=\frac{1440}{5040}=\frac27 \] \[ P(\text{pelo menos dois juntos})=1-\frac27=\frac57

A probabilidade é \(\dfrac57\). Opção (D).

10. Cadeiras livres

10

Oito pessoas vão sentar-se escolhendo o lugar ao acaso numa fila de 10 cadeiras.

Qual é a probabilidade de que as duas cadeiras que ficam livres sejam seguidas?

(A) \(\dfrac45\)

(B) \(\dfrac15\)

(C) \(\dfrac{8}{45}\)

(D) \(\dfrac{37}{45}\)

Escolher as cadeiras livres

A posição das oito pessoas não é relevante para o acontecimento; basta escolher as 2 cadeiras que ficam livres.

\displaystyle N={}^{10}C_2=45

Pares de cadeiras seguidas

Os pares consecutivos são \((1,2),(2,3),\ldots,(9,10)\), num total de 9.

\displaystyle P=\frac9{45}=\frac15

A probabilidade é \(\dfrac15\). Opção (B).

11. Vértices de um cubo

11

No referencial \(Oxyz\) da figura está representado o cubo \([ABCDEFGH]\), em que cada uma das faces é paralela a um dos planos coordenados.

Escolhendo, ao acaso, dois vértices do cubo, qual é a probabilidade de esses dois pontos definirem uma reta paralela a pelo menos um dos planos coordenados?

Cubo ABCDEFGH representado num referencial Oxyz

(A) \(\dfrac67\)

(B) \(\dfrac57\)

(C) \(\dfrac47\)

(D) \(\dfrac37\)

Resultados possíveis

O cubo tem 8 vértices, pelo que existem:

\displaystyle {}^{8}C_2=28

Contar pelo complementar

Uma reta é paralela a um plano coordenado se o seu vetor diretor tiver pelo menos uma coordenada nula.

As únicas retas determinadas por dois vértices do cubo que têm as três componentes não nulas são as 4 diagonais espaciais do cubo. Essas retas não são paralelas a nenhum plano coordenado.

\(N_f=28-4=24\)

Regra de Laplace

\displaystyle P=\frac{24}{28}=\frac67

A probabilidade é \(\dfrac67\). Opção (A).

12. Sorteio do totoloto

12

No sorteio de totoloto são extraídas 5 bolas de uma tômbola com 49 bolas numeradas de 1 a 49.

Em qual das opções seguintes se apresenta, na forma de percentagem com arredondamento às centésimas, a probabilidade de o menor número saído ser 1 e o maior ser 49?

(A) \(0{,}97\%\)

(B) \(0{,}91\%\)

(C) \(0{,}85\%\)

(D) \(0{,}80\%\)

Resultados possíveis

São escolhidas 5 das 49 bolas:

\displaystyle N={}^{49}C_5

Resultados favoráveis

Para o menor número ser 1 e o maior ser 49, as bolas 1 e 49 têm de ser escolhidas. As outras 3 bolas são escolhidas entre os 47 números de 2 a 48:

\displaystyle N_f={}^{47}C_3

Probabilidade em percentagem

P=\frac{{}^{47}C_3}{{}^{49}C_5} =\frac5{588} \approx0{,}0085034 \] \[ 0{,}0085034\times100\%\approx0{,}85\%

A probabilidade é aproximadamente \(0{,}85\%\). Opção (C).

13. Palavras com RESOLVER

13

Considere todas as palavras de seis letras, com ou sem significado, que se podem formar trocando a ordem às letras da palavra RESOLVER.

Escolhendo, ao acaso, uma dessas palavras, determine, na forma de fração irredutível, a probabilidade de a primeira e a última letra dessa palavra:

13.1. serem a letra \(R\);

13.2. serem letras diferentes.

A palavra RESOLVER tem oito letras. A resolução considera, portanto, as permutações das oito letras; existem dois \(R\) e dois \(E\).

Número total de palavras

\displaystyle N=\frac{8!}{2!\,2!}=10080

13.1 - Primeira e última letras iguais a R

Fixam-se os dois \(R\) nas extremidades. Restam seis letras, com dois \(E\) iguais:

N_f=\frac{6!}{2!}=360 \qquad\Longrightarrow\qquad P=\frac{360}{10080}=\frac1{28}

13.2 - Letras diferentes nas extremidades

Calcula-se o complementar. As extremidades só podem ter letras iguais se forem ocupadas pelos dois \(R\) ou pelos dois \(E\).

Cada um desses casos tem probabilidade \(\dfrac1{28}\).

P(\text{diferentes}) =1-\frac1{28}-\frac1{28} =\frac{13}{14}

13.1: \(\dfrac1{28}\).
13.2: \(\dfrac{13}{14}\).

14. Tabuleiro \(3\times3\)

14

Considere um tabuleiro quadrado, dividido em \(3\times3\) casas quadradas iguais.

Selecionam-se, ao acaso, três das nove casas do tabuleiro. Nas casas escolhidas é colocada uma cruz formada pelas diagonais dessa casa.

Qual é a probabilidade de pelo menos duas das cruzes ficarem na mesma linha ou na mesma coluna?

Tabuleiro três por três com cruzes nas casas 1, 2 e 5

(A) \(\dfrac{13}{14}\)

(B) \(\dfrac67\)

(C) \(\dfrac{41}{42}\)

(D) \(\dfrac37\)

Resultados possíveis

Escolhem-se 3 das 9 casas:

\displaystyle N={}^{9}C_3=84

Usar o acontecimento contrário

O contrário do acontecimento pedido é não haver duas cruzes na mesma linha nem na mesma coluna.

Nesse caso, deve existir exatamente uma cruz em cada linha e uma cruz em cada coluna. A posição das cruzes corresponde a uma permutação das 3 colunas pelas 3 linhas:

N_{\text{contrário}}=3!=6

Calcular a probabilidade

P=1-\frac6{84} =\frac{78}{84} =\frac{13}{14}

A probabilidade é \(\dfrac{13}{14}\). Opção (A).

15. Vértices de um octógono

15

Na figura está representado o octógono regular \([ABCDEFGH]\).

Escolhidos ao acaso três vértices do octógono, qual é a probabilidade de estes definirem um triângulo em que pelo menos um dos lados também seja lado do octógono?

(A) \(\dfrac17\)

(B) \(\dfrac37\)

(C) \(\dfrac47\)

(D) \(\dfrac57\)

Resultados possíveis

\displaystyle N={}^{8}C_3=56

Contar os triângulos favoráveis

O octógono tem 8 lados. Fixando um lado, o terceiro vértice pode ser qualquer um dos outros 6 vértices:

8\times6=48

Os 8 triângulos formados por três vértices consecutivos têm dois lados do octógono e foram contados duas vezes. É necessário subtrair uma contagem de cada um:

\(N_f=48-8=40\)

Regra de Laplace

\displaystyle P=\frac{40}{56}=\frac57

A probabilidade é \(\dfrac57\). Opção (D).

16. Peças num tabuleiro

16

Na figura, está representado um tabuleiro retangular dividido em doze quadrados iguais, dispostos em três linhas e quatro colunas.

Tabuleiro de três linhas e quatro colunas com quatro peças brancas e oito cinzentas

Pretende-se colocar sobre este tabuleiro, situado à nossa frente, doze peças de igual tamanho e forma, das quais quatro são brancas e oito são cinzentas.

Cada casa do tabuleiro é ocupada por uma só peça.

Supondo que as peças são colocadas ao acaso, qual é a probabilidade de pelo menos uma coluna ficar com pelo menos duas peças brancas?

(A) \(\dfrac9{55}\)

(B) \(\dfrac{46}{55}\)

(C) \(\dfrac{36}{55}\)

(D) \(\dfrac{19}{55}\)

Resultados possíveis

Basta escolher as 4 casas que recebem as peças brancas:

\displaystyle N={}^{12}C_4=495

Usar o acontecimento contrário

O contrário do acontecimento pedido é nenhuma coluna ter duas ou mais peças brancas.

Como há 4 peças brancas e 4 colunas, terá de ficar exatamente uma peça branca em cada coluna. Em cada coluna existem 3 casas possíveis:

N_{\text{contrário}}=3^4=81

Calcular a probabilidade

P=1-\frac{81}{495} =\frac{414}{495} =\frac{46}{55}

A probabilidade é \(\dfrac{46}{55}\). Opção (B).

17. Sessões de Norte para Sul

17

Um escritor vai fazer a apresentação do seu último livro em Lisboa, Braga, Porto, Coimbra e Évora.

A ordem pela qual as sessões se vão realizar é estabelecida por sorteio.

A probabilidade de as sessões se realizarem de Norte para Sul é:

(A) \(\dfrac12\)

(B) \(\dfrac1{120}\)

(C) \(\dfrac15\)

(D) \(\dfrac1{60}\)

Resultados possíveis

As cinco cidades podem ser ordenadas de:

5!=120\text{ maneiras}

Resultado favorável

Existe apenas uma ordem de Norte para Sul:

\text{Braga}\to\text{Porto}\to\text{Coimbra}\to\text{Lisboa}\to\text{Évora}

\displaystyle P=\frac1{120}

A probabilidade é \(\dfrac1{120}\). Opção (B).

18. Acontecimentos independentes

18

Seja \(S\) o espaço de resultados (finito) associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos (\(A\subset S\) e \(B\subset S\)).

Sabe-se que:

\(A\) e \(B\) são acontecimentos independentes e equiprováveis;
\(P(\overline{A\cup B})=0{,}81\).

Qual é o valor de \(P(A)\)?

(A) \(0{,}1\)

(B) \(0{,}9\)

(C) \(0{,}5\)

(D) \(0{,}19\)

Probabilidades iguais

Seja \(p=P(A)=P(B)\).

Usar a independência

Os complementares de acontecimentos independentes também são independentes. Assim:

P(\overline{A\cup B}) =P(\overline A\cap\overline B) =P(\overline A)P(\overline B) =(1-p)^2

Como \(P(\overline{A\cup B})=0{,}81\):

(1-p)^2=0{,}81 \quad\Longrightarrow\quad 1-p=0{,}9 \quad\Longrightarrow\quad p=0{,}1

\(P(A)=0{,}1\). Opção (A).

19. Probabilidade de um acontecimento

19

Seja \(S\) o espaço de resultados, finito, associado a uma experiência aleatória, e sejam \(G\) e \(H\) dois acontecimentos (\(G\subset S\) e \(H\subset S\)).

Sabe-se que:

\(P(\overline G\cap H)=0{,}25\);
\(P(\overline{G\cap H})=0{,}6\).

Qual é o valor de \(P(H)\)?

Apresente o resultado na forma de percentagem.

Determinar a interseção

Como \(P(\overline{G\cap H})=0{,}6\), pelo acontecimento complementar:

P(G\cap H)=1-0{,}6=0{,}4

Decompor o acontecimento H

O acontecimento \(H\) é a união disjunta das partes de \(H\) que pertencem e que não pertencem a \(G\):

H=(G\cap H)\cup(\overline G\cap H) \] \[ P(H)=0{,}4+0{,}25=0{,}65

\(P(H)=0{,}65=65\%\).

20. Concurso literário

20

A Câmara Municipal de Cabeceiras de Basto organizou um concurso literário, onde 50 alunos participaram com um conto de Natal cada um. Todos os contos foram classificados numa de três categorias etárias, como a seguir se descreve:

40% dos contos são de alunos com 16 anos ou mais;
30% são de alunos com mais de 10 anos e menos de 16 anos;
os restantes são de alunos com 10 anos ou menos.

Para uma sessão de leitura pública, o júri selecionará, aleatoriamente, três contos, para serem lidos pela ordem de escolha.

A expressão seguinte permite determinar a probabilidade de, ao selecionarmos ao acaso três dos 50 contos, no máximo um ser de um aluno com 10 anos ou menos:

\frac{{}^{35}A_3+{}^{35}C_2\times15\times3!}{{}^{50}A_3}

Explique esta expressão no contexto descrito.

Na sua resposta:

enuncie a regra de Laplace;
explique o número de resultados possíveis;
explique o número de resultados favoráveis.

Distribuição dos contos

Dos 50 contos:

\(40\%\times50=20\) são de alunos com 16 anos ou mais;
\(30\%\times50=15\) são de alunos entre 10 e 16 anos;
os restantes \(50-20-15=15\) são de alunos com 10 anos ou menos.

Existem, portanto, \(20+15=35\) contos de alunos com mais de 10 anos e 15 contos de alunos com 10 anos ou menos.

Regra de Laplace

Quando todos os resultados elementares são equiprováveis:

\displaystyle P(A)=\frac{\text{número de resultados favoráveis}}{\text{número de resultados possíveis}}

Resultados possíveis

Os 3 contos são selecionados e lidos pela ordem de escolha. Por isso, contam-se arranjos de 3 contos escolhidos entre 50:

\displaystyle {}^{50}A_3=50\times49\times48

Resultados favoráveis

“No máximo um” conto de um aluno com 10 anos ou menos inclui dois casos:

Nenhum: os 3 contos são escolhidos, com ordem, entre os 35 contos de alunos com mais de 10 anos:

\displaystyle {}^{35}A_3

Exatamente um: escolhem-se 2 dos 35 contos de alunos com mais de 10 anos, 1 dos 15 contos de alunos com 10 anos ou menos e ordenam-se os 3 contos:

\displaystyle {}^{35}C_2\times15\times3!

Somando os dois casos e dividindo pelo número total de resultados, obtém-se a expressão apresentada:

\frac{{}^{35}A_3+{}^{35}C_2\times15\times3!}{{}^{50}A_3} =\frac{221}{280} \approx0{,}789

A probabilidade representada pela expressão é \(\dfrac{221}{280}\), aproximadamente \(78{,}9\%\).

21. Fichas azuis e verdes

21

Numa caixa existem apenas fichas azuis e fichas verdes, indistinguíveis ao tato.

Retiram-se, ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas fichas da caixa.

Sabe-se que:

há exatamente 5 fichas verdes na caixa;
há mais fichas azuis do que fichas verdes;
a probabilidade de que as duas fichas retiradas sejam de cores diferentes é igual a \(\dfrac{10}{21}\).

Determine quantas fichas azuis havia inicialmente na caixa.

Definir a incógnita

Seja \(x\) o número de fichas azuis. Existem \(x+5\) fichas no total.

Duas cores diferentes

As sequências possíveis de cores diferentes são azul-verde e verde-azul:

\frac{x}{x+5}\times\frac5{x+4} + \frac5{x+5}\times\frac{x}{x+4} =\frac{10x}{(x+5)(x+4)}

Esta probabilidade é igual a \(\dfrac{10}{21}\):

\frac{10x}{(x+5)(x+4)}=\frac{10}{21} \] \[ 21x=(x+5)(x+4) \] \[ x^2-12x+20=0 \] \[ (x-2)(x-10)=0

As soluções são \(x=2\) e \(x=10\). Como há mais fichas azuis do que verdes e existem 5 verdes, tem de ser \(x\gt 5\).

Havia inicialmente 10 fichas azuis.

22. Código de acesso

22

Um código de acesso a um cofre eletrónico é formado por quatro caracteres escolhidos entre 26 letras \((A,B,C,\ldots,Z)\) e 10 algarismos \((0,1,2,\ldots,9)\).

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

Escreva, na folha de respostas, apenas cada um dos números, I, II e III, seguido da opção, a), b) ou c), selecionada. A cada espaço corresponde uma só opção.

O número de códigos que se podem formar com quatro algarismos diferentes cujo produto seja um número ímpar é __I__.

O número de códigos que se podem formar com duas letras diferentes e dois algarismos diferentes (em qualquer ordem) é __II__.

Se um código é escolhido ao acaso de entre todas as sequências possíveis de 4 caracteres (letras ou algarismos, admitindo repetições), então a probabilidade de o código ter exatamente um algarismo 9 e uma letra X é igual a __III__.

I	II	III
a) 120 b) 625 c) 5040	a) 365 040 b) 351 000 c) 405 600	a) \(\dfrac1{99}\) b) \(\dfrac{289}{419\,904}\) c) \(\dfrac{289}{34\,992}\)

I - Quatro algarismos diferentes com produto ímpar

Um produto é ímpar apenas quando todos os fatores são ímpares. Existem 5 algarismos ímpares: \(1,3,5,7,9\).

Escolhem-se e ordenam-se 4 algarismos diferentes:

\displaystyle {}^5A_4=5\times4\times3\times2=120

Logo, em I escolhe-se a opção a).

II - Duas letras e dois algarismos diferentes

Escolhem-se as 2 posições ocupadas pelas letras, ordenam-se duas letras diferentes e ordenam-se dois algarismos diferentes:

{}^{4}C_2\times{}^{26}A_2\times{}^{10}A_2 =6\times(26\times25)\times(10\times9) =351\,000

Logo, em II escolhe-se a opção b).

III - Exatamente um 9 e uma letra X

Existem \(26+10=36\) caracteres e são admitidas repetições, pelo que há \(36^4\) códigos possíveis.

Escolhe-se uma das 4 posições para o algarismo 9 e uma das 3 posições restantes para a letra X. Cada uma das outras duas posições pode ser preenchida por qualquer um dos 34 caracteres diferentes de 9 e X:

P=\frac{4\times3\times34^2}{36^4} =\frac{289}{34\,992}

Logo, em III escolhe-se a opção c).

I - a); II - b); III - c).

23. Código de um cofre

23

O código de um cofre é formado por três vogais seguidas de quatro algarismos. Selecionando um código deste tipo ao acaso, qual é a probabilidade de ter:

23.1. pelo menos duas vogais diferentes e os algarismos todos iguais?
23.2. unicamente uma letra a e dois algarismos iguais a 7?
23.3. *pelo menos um algarismo igual a 4?

23. Número de casos possíveis

O número total de códigos que é possível formar com três vogais seguidas de quatro algarismos é

\displaystyle 5^3\times10^4

Número de casos possíveis: \(\displaystyle 5^3\times10^4\).

23.1. Pelo menos duas vogais diferentes e algarismos todos iguais

Com três vogais diferentes é possível formar \(\displaystyle {}^{5}A_3\) sequências.

Com duas vogais iguais e uma diferente temos \(\displaystyle {}^{5}A_2\times3\) sequências.

Temos dez sequências de quatro algarismos iguais: \(0000, 1111, 2222,\ldots,9999\).

Número de casos favoráveis:

\(\displaystyle {}^{5}A_3\times10+{}^{5}A_2\times3\times10\), ou, em alternativa, \(\displaystyle (5^3-5)\times10\).

Logo, a probabilidade de ter pelo menos duas vogais diferentes e os algarismos todos iguais é dada por:

\frac{{}^{5}A_3\times10+{}^{5}A_2\times3\times10}{5^3\times10^4} =\frac{1200}{1\,250\,000} =\frac{3}{3125}.

23.2. Uma letra a e dois algarismos iguais a 7

Com uma letra a apenas é possível formar \(\displaystyle {}^{3}C_1\times4^2\) sequências.

De entre quatro lugares disponíveis para os algarismos escolhemos dois para colocar os dois algarismos iguais a 7:

\displaystyle {}^{4}C_2

Para os restante dois lugares temos \(\displaystyle 9^2\) possibilidades.

Número de casos favoráveis:

\displaystyle {}^{3}C_1\times4^2\times{}^{4}C_2\times9^2

Logo, a probabilidade de ter apenas uma letra a e dois algarismos iguais a 7 é dada por:

\frac{{}^{3}C_1\times4^2\times{}^{4}C_2\times9^2}{5^3\times10^4} =\frac{23\,328}{1\,250\,000} =\frac{1458}{78\,125}\approx0{,}019.

23.3. Pelo menos um algarismo igual a 4

Vamos determinar a probabilidade de não ter algarismos iguais a 4.

Com três vogais temos \(\displaystyle 5^3\) sequências.

Temos \(\displaystyle 9^4\) sequências de quatro algarismos sem usar o algarismo 4.

Logo, a probabilidade de ter pelo menos um algarismo igual a 4 é dada por:

1-\frac{5^3\times9^4}{5^3\times10^4}=0{,}3439.

24. Bolas azuis e vermelhas

24

Num saco existem bolas indistinguíveis ao tato, das quais cinco são azuis e numeradas de 1 a 5 e seis são vermelhas numeradas de 6 a 11.

24.1. Extrai-se uma bola ao acaso, observando-se a cor e o número. Qual é a probabilidade de se obter:
1. 24.1.1. uma bola com número par?
2. 24.1.2. uma bola azul com número ímpar?
3. 24.1.3. uma bola vermelha com um número primo?
24.2. Extraiu-se uma bola e depois outra repondo a primeira e observou-se a cor e o número de cada uma delas. Qual é a probabilidade de se obter:
1. 24.2.1. duas bolas da mesma cor?
2. 24.2.2. uma bola com número par e outra com número ímpar?
3. 24.2.3. duas bolas iguais?
24.3. Extraiu-se simultaneamente três bolas e observou-se a respetiva cor e número. Qual é a probabilidade de se obter:
1. 24.3.1. três bolas da mesma cor?
2. 24.3.2. duas bolas com número par e uma com número ímpar?
3. 24.3.3. uma bola azul e duas bolas vermelhas, ambas com números pares?

24.1. Uma extração

Número de casos possíveis: \(11\).

24.1.1. Número de bolas com número par: \(5\).

\(\displaystyle P=\frac{5}{11}\).

24.1.2. Número de bolas azuis com número ímpar: \(3\).

\(\displaystyle P=\frac{3}{11}\).

24.1.3. Número de bolas vermelhas com número primo: \(2\).

\(\displaystyle P=\frac{2}{11}\).

24.2. Duas extrações com reposição

Número de casos possíveis: \(\displaystyle 11^2\).

24.2.1. Número de casos favoráveis:

Temos \(\displaystyle 5^2\) sequências de duas bolas azuis, com reposição da primeira bola, e \(\displaystyle 6^2\) sequências de duas bolas vermelhas.

P=\frac{5^2+6^2}{11^2}=\frac{61}{121}.

24.2.2. Número de casos favoráveis:

Temos \(\displaystyle 6\times5\) sequências onde a primeira bola tem um número ímpar e a segunda tem um número par.

Temos \(\displaystyle 5\times6\) sequências onde a primeira bola tem um número par e a segunda tem um número ímpar.

P=\frac{2\times5\times6}{11^2}=\frac{60}{121}\approx0{,}49588.

24.2.3. Número de casos favoráveis:

Temos \(11\) sequências de duas bolas iguais.

Número de casos possíveis: \(\displaystyle 11^2\).

P=\frac{11}{11^2}=\frac{1}{11}.

24.3. Três extrações simultâneas

Número de casos possíveis: \(\displaystyle {}^{11}C_3\).

24.3.1. Número de casos favoráveis:

Podemos extrair simultaneamente, não interessando a ordem, \(\displaystyle {}^{5}C_3\) subconjuntos de três bolas azuis escolhidas de entre cinco.

Podemos extrair simultaneamente \(\displaystyle {}^{6}C_3\) subconjuntos de três bolas vermelhas escolhidas de entre seis.

P=\frac{{}^{5}C_3+{}^{6}C_3}{{}^{11}C_3}=\frac{2}{11}.

24.3.2. Número de casos favoráveis:

Escolhemos duas bolas com um número par de entre cinco disponíveis, \(A2, A4, V6, V8\) e \(V10\), e escolhemos uma bola ímpar de entre seis, \(A1, A3, A5, V7, V9\) e \(V11\).

Assim, temos \(\displaystyle {}^{5}C_2\times{}^{6}C_1\) casos favoráveis.

P=\frac{{}^{5}C_2\times{}^{6}C_1}{{}^{11}C_3}=\frac{4}{11}.

24.3.3. Número de casos favoráveis:

Temos duas bolas azuis que têm número par, \(A2\) e \(A4\), e três bolas vermelhas que têm número par, \(V6, V8\) e \(V10\).

Logo, temos \(\displaystyle {}^{2}C_1\times{}^{3}C_2\) casos favoráveis.

P=\frac{{}^{2}C_1\times{}^{3}C_2}{{}^{11}C_3}=\frac{2}{55}.

25. Números de três algarismos diferentes

25

Considere todos os números compostos por três algarismos diferentes. Selecionando um deles ao acaso, qual é a probabilidade de:

25.1. ter todos os algarismos pares?

25.2. ser divisível por 5?

25.3. *ser superior a 250?

25. Número de casos possíveis

\displaystyle 9\times9\times8=648

25.1. Todos os algarismos pares

Número de casos favoráveis: \(\displaystyle 4\times4\times3\).

P=\frac{4\times4\times3}{9\times9\times8}=\frac{2}{27}.

25.2. Divisível por 5

Para que um número seja divisível por \(5\), o algarismo das unidades tem de ser \(0\) ou \(5\).

Temos \(\displaystyle 9\times8\times1+8\times8\times1\) casos favoráveis.

P=\frac{9\times8\times1+8\times8\times1}{9\times9\times8} =\frac{136}{648} =\frac{17}{81}.

25.3. Superior a 250

Número de casos favoráveis:

O algarismo das centenas é \(3,4,5,6,7,8\) ou \(9\):

1.º algarismo\(\displaystyle 7\)

2.º algarismo\(\displaystyle 8\)

25.º algarismo\(\displaystyle 9\)

\displaystyle 7\times8\times9

O algarismo das centenas é \(2\):

1.º algarismo\(\displaystyle 1\)

2.º algarismo\(\displaystyle 5\) valores: \(5,6,7,8\) ou \(9\)

25.º algarismo\(\displaystyle 8\)

\displaystyle 1\times5\times8

Como o \(250\) não serve, obtemos

\displaystyle 7\times8\times9+1\times5\times8-1=543

Temos \(39\) números superiores a \(250\) e inferiores a \(300\) e \(\displaystyle 7\times9\times8\) números de três algarismos superiores ou iguais a \(300\).

P=\frac{543}{648}=\frac{181}{216}.

26. Bilhetes de cinema

26

A Joana e cinco amigos vão ao cinema e os bilhetes correspondem a seis lugares consecutivos de uma dada fila. Sabendo que vão distribuir os bilhetes aleatoriamente, qual é a probabilidade de:

26.1. a Joana ficar com um bilhete correspondente a um lugar numa das pontas?
26.2. a Amélia e a Joana terem bilhetes correspondentes a lugares seguidos?
26.3. a Joana e a Luísa não ficarem ao lado uma da outra?

26. Número de casos possíveis

Temos de permutar as seis pessoas que vão ao cinema, ou seja, há \(\displaystyle 6!\) possibilidades de distribuir os seis bilhetes pelas seis pessoas.

26.1. Joana numa das pontas

A Joana tem duas possibilidades para ficar com os bilhetes das pontas:

\displaystyle J\_ \_ \_ \_ \_ \quad\text{e}\quad \_ \_ \_ \_ \_J

Para cada um dos casos anteriores, temos \(\displaystyle 5!\) maneiras diferentes de distribuir os cinco bilhetes restantes.

Logo, o número de casos favoráveis é \(\displaystyle 2\times5!\).

P=\frac{2\times5!}{6!}=\frac{1}{3}.

Nota: Neste exercício também se pode pensar apenas no bilhete que a Joana recebe. Há 2 nas pontas de entre 6.

26.2. Amélia e Joana em lugares seguidos

Número de casos favoráveis:

\displaystyle 2!\times4!\times5

\(\displaystyle 5\): número de posições possíveis para o bloco \(AJ\) ou \(JA\): \(XX\_ \_ \_ \_,\ \_XX\_ \_ \_,\ \_ \_XX\_ \_,\ \_ \_ \_XX\_,\ \_ \_ \_ \_XX\).

\(\displaystyle 4!\): número de maneiras de ordenar os restantes 26.

\(\displaystyle 2!\): pode ser \(AJ\) ou \(JA\).

Logo, o número de casos favoráveis é \(\displaystyle 2!\times4!\times5\).

P=\frac{2!\times4!\times5}{6!}=\frac{1}{3}.

Outro processo:

Dois bilhetes podem ser escolhidos de entre seis de \(\displaystyle {}^{6}C_2=15\) maneiras diferentes.

Há cinco lugares possíveis para o bloco de dois lugares juntos.

P=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}.

26.3. Joana e Luísa não ficam juntas

A probabilidade de a Joana e a Luísa ficarem juntas é \(\displaystyle \frac{1}{3}\), calculada em 26.2.

Logo, a probabilidade de a Joana e a Luísa não ficarem juntas é

1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.

27. Grelha quadrada

27

Considere uma grelha quadrada com 16 quadrículas.

Nesta grelha vão ser colocadas aleatoriamente oito fichas iguais, não mais do que uma por quadrícula. Qual é a probabilidade de:

27.1. as duas diagonais ficarem preenchidas?
27.2. unicamente uma linha ficar totalmente preenchida?
27.3. ficarem preenchidas duas colunas?

27. Número de casos possíveis

\displaystyle {}^{16}C_8

27.1. As duas diagonais preenchidas

Temos apenas uma possibilidade para que as peças fiquem na diagonal.

De entre 16 quadrados disponíveis temos de escolher oito para colocar as fichas.

P=\frac{1}{{}^{16}C_8}=\frac{1}{12\,870}.

27.2. Unicamente uma linha totalmente preenchida

Para cada uma das quatro possibilidades de obter uma linha preenchida, temos de escolher quatro lugares de entre 12 disponíveis para colocar as quatro fichas restantes e retira-se os casos onde se obtêm duas linhas totalmente preenchidas.

Logo, o número de casos favoráveis é \(\displaystyle {}^{4}C_1\times{}^{12}C_4-{}^{4}C_2\).

P=\frac{{}^{4}C_1\times{}^{12}C_4-{}^{4}C_2}{{}^{16}C_8} =\frac{1974}{12870} =\frac{329}{2145}\approx0{,}015.

27.3. Duas colunas preenchidas

De entre quatro colunas escolhemos duas para colocar as fichas.

Logo, o número de casos favoráveis é \(\displaystyle {}^{4}C_2\).

P=\frac{{}^{4}C_2}{{}^{16}C_8} =\frac{1}{2145}\approx0{,}0005.

28. Octógono regular

28

Considere um octógono regular.

28.1. Selecionando dois vértices ao acaso, qual é a probabilidade de o segmento por eles determinado:
1. 28.1.1. corresponder a um lado do octógono?
2. 28.1.2. passar pelo centro do octógono?
28.2. *Selecionando três vértices ao acaso, qual é a probabilidade de o triângulo por eles determinado ser retângulo?

28.1. Dois vértices

Número de casos possíveis: \(\displaystyle {}^{8}C_2\).

28.1.1. O número de casos favoráveis é oito, o número de lados do octógono.

P=\frac{8}{{}^{8}C_2}=\frac{2}{7}.

28.1.2. Temos quatro segmentos que passam pelo centro do octógono regular. O número de casos favoráveis é quatro.

P=\frac{4}{{}^{8}C_2}=\frac{1}{7}.

28.2. Triângulo retângulo

Número de casos possíveis: \(\displaystyle {}^{8}C_3\).

Número de casos favoráveis: \(\displaystyle 6\times4\). Temos quatro segmentos que passam pelo centro do octógono regular e para cada um desses quatro segmentos temos seis vértices disponíveis para obter triângulos retângulos.

P=\frac{6\times4}{{}^{8}C_3}=\frac{3}{7}.

29. Cartões numerados

29

*Uma urna tem 12 cartões numerados de 1 a 12. Retiram-se sucessivamente dez cartões e dispõem-se lado a lado. Qual é a probabilidade de:

29.1. ficarem cinco cartões com números pares, seguidos de cinco cartões com número ímpares?
29.2. somente os últimos quatro cartões terem números pares?
29.3. os cartões com os números 7, 8 e 9 ficarem seguidos?

29. Número de casos possíveis

O número de casos possíveis é \(\displaystyle {}^{12}A_{10}\).

29.1. Cinco pares seguidos de cinco ímpares

O número de casos favoráveis é \(\displaystyle {}^{6}A_5\times{}^{6}A_5\).

P=\frac{{}^{6}A_5\times{}^{6}A_5}{{}^{12}A_{10}}=\frac{1}{462}.

29.2. Só os últimos quatro são pares

O número de casos favoráveis é \(\displaystyle 6!\times{}^{6}A_4\).

P=\frac{6!\times{}^{6}A_4}{{}^{12}A_{10}}=\frac{1}{924}.

29.3. Cartões 7, 8 e 9 seguidos

Suponhamos que os números \(7,8,9\) ficam seguidos e juntos. Assim, não é necessário permutá-los.

O número de casos favoráveis é \(\displaystyle 8\times{}^{9}A_7\).

P=\frac{8\times{}^{9}A_7}{{}^{12}A_{10}}=\frac{1}{165}.

Caso se pretenda que os números \(7,8\) e \(9\) fiquem seguidos por qualquer ordem, o número de casos favoráveis é \(\displaystyle 8\times{}^{9}A_7\times3!\) e a probabilidade pedida é

\frac{8\times{}^{9}A_7\times3!}{{}^{12}A_{10}}=\frac{6}{165}=\frac{2}{55}.

30. Fenómeno aleatório (I)

30

Qual das opções consiste num fenómeno aleatório?

(A) Contar os alunos que faltaram no dia anterior.
(B) Prever os alunos que irão faltar amanhã.
(C) Contar os alunos presentes no dia anterior.
(D) Contar os alunos presentes hoje.

Contar factos já ocorridos ou presentes conduz a um resultado determinado. Apenas prever quem irá faltar amanhã tem um resultado que não é possível determinar antecipadamente.

Opção (B).

31. Acontecimento impossível

31

Um dado cúbico equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, é lançado duas vezes. Qual das seguintes opções representa um acontecimento impossível?

(A) O produto dos números obtidos ser igual a 11.
(B) A soma dos números obtidos ser igual a 11.
(C) O produto dos números obtidos ser igual a 5.
(D) A diferença dos números obtidos ser igual a 5.

Não há dois números de 1 a 6 cujo produto seja 11 (11 é primo e maior que 6). As restantes são possíveis: soma \(11=5+6\); produto \(5=1\times5\); diferença \(5=6-1\).

Opção (A).

32. Duas moedas — acontecimento contrário

32

Considera a experiência aleatória que consiste em lançar duas vezes uma moeda de 1 € ao ar e registar, em cada lançamento, a face que fica voltada para cima. Considera o acontecimento \(A\): “ocorrer, nas duas vezes, a face europeia”. Representa, em linguagem corrente, o acontecimento \(\overline A\).

\(\overline A\): “ocorrer, no máximo, uma face europeia” (ou, de forma equivalente, “ocorrer, no mínimo, uma face nacional”).

33. Modelo de probabilidade (bolas)

33

Num saco existem bolas azuis, brancas e cinzentas. Retira-se, ao acaso, uma bola do saco e verifica-se a cor. Para um dado número real \(c\), está associado a esta experiência aleatória o seguinte modelo de probabilidade:

Cor	azul	branca	cinzenta
Probabilidade	0,15	0,42	\(c\)

Calcula o valor de \(c\).

0{,}15+0{,}42+c=1\Leftrightarrow c=0{,}43.

34. Operações com acontecimentos (I)

34

Para uma dada experiência aleatória, o conjunto \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) é o seu espaço de resultados. Considera os acontecimentos \(A\): “obter um múltiplo de 3” e \(B\): “obter um número menor ou igual a 7”. Indica a opção que corresponde ao conjunto \(\{1,2,4,5,7\}\).

(A) \(\overline A\cap B\)

(B) \(A\cap \overline B\)

(C) \(\overline A\cap \overline B\)

(D) \(\overline A\cup B\)

\(A=\{3,6\}\), \(B=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), \(\overline A=\{1,2,4,5,7,8\}\).

\overline A\cap B=\{1,2,4,5,7\}.

Opção (A).

35. Fenómeno aleatório (II)

35

Qual das opções consiste num fenómeno aleatório?

(A) Sortear um aluno da turma e atribuir-lhe um prémio.
(B) Responder, ao acaso, a uma questão.
(C) Lançar um dado cúbico com as faces numeradas de 1 a 6 e registar o número obtido.
(D) Confirmar uma previsão do estado do tempo.

Responder, ao acaso, a uma questão tem um resultado (certo ou errado) que não é possível prever com certeza.

Opção (B).

36. Acontecimento elementar

36

Um dado cúbico equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, é lançado duas vezes. Qual das opções representa um acontecimento elementar?

(A) O produto dos números obtidos ser igual a 1.
(B) A soma dos números obtidos ser igual a 11.
(C) O produto dos números obtidos ser igual a 5.
(D) O máximo dos números obtidos ser igual a 3.

Um acontecimento elementar é constituído por um único resultado. O produto ser igual a 1 só ocorre com \((1,1)\). As restantes têm mais do que um resultado: soma \(11=\{(5,6),(6,5)\}\); produto \(5=\{(1,5),(5,1)\}\); máximo \(3\) tem vários.

Opção (A).

37. Três moedas — acontecimento contrário

37

Considera a experiência aleatória que consiste em lançar três vezes uma moeda de 1 € ao ar e registar, em cada lançamento, a face que fica voltada para cima. Considera o acontecimento \(A\): “ocorrer, no máximo, uma vez a face europeia”. Representa, em linguagem corrente, o acontecimento \(\overline A\).

\(\overline A\): “ocorrer, pelo menos, duas vezes a face europeia”.

38. Modelo de probabilidade (\(P\) azul)

38

Num saco existem bolas azuis, brancas e cinzentas. Retira-se, ao acaso, uma bola do saco e verifica-se a cor. Para um dado número real \(c\), está associado a esta experiência aleatória o seguinte modelo de probabilidade:

Cor	azul	branco	cinzento
Probabilidade	\(2c\)	0,43	\(c\)

Qual é a probabilidade de retirar uma bola de cor azul?

2c+0{,}43+c=1\Leftrightarrow 3c=0{,}57\Leftrightarrow c=0{,}19.

\(P(\text{azul})=2c=0{,}38\).

39. Operações com acontecimentos (II)

39

Para uma dada experiência aleatória, o conjunto \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) é o seu espaço de resultados. Considera os acontecimentos \(A\): “obter um múltiplo de 3” e \(B\): “obter um número maior ou igual a 5”. Indica a opção que corresponde ao conjunto \(\{1,2,4\}\).

(A) \(\overline A\cup B\)

(B) \(A\cup \overline B\)

(C) \(\overline A\cap \overline B\)

(D) \(\overline{A\cup B}\)

\(A=\{3,6,9\}\), \(B=\{5,6,7,8,9\}\), \(A\cup B=\{3,5,6,7,8,9\}\).

\overline{A\cup B}=\{1,2,4\}.

Opção (D).

40. Frequência relativa (lances livres)

40

Como jogador dos Los Angeles Lakers, LeBron James marcou 1787 lances livres em 2452 tentados. Tendo em consideração as frequências relativas, qual das seguintes opções é a melhor estimativa para a probabilidade de LeBron James concretizar o próximo lance livre?

(A) 72,9%

(B) 76,8%

(C) 82,8%

(D) 92,8%

\frac{1787}{2452}\approx 0{,}729=72{,}9\%.

Opção (A).

41. Determinar \(P(A\cap B)\)

41

Numa experiência aleatória, o espaço amostral é \(\Omega\), e \(A\) e \(B\) são dois acontecimentos. Sabe-se que \(P(A)=0{,}4\) e \(P(A\cap \overline B)=0{,}1\). Determina \(P(A\cap B)\).

Como \(P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline B)\):

P(A\cap B)=0{,}4-0{,}1=0{,}3.

42. Roleta — número ímpar

42

Uma roleta está dividida em setores de amplitudes diferentes, e cada um tem um número diferente. Um modelo de probabilidade associado à saída dos números quando se roda a roleta é o seguinte:

N.º do setor	1	2	3	4
Probabilidade	\(\frac{1}{16}\)	\(a\)	\(\frac14\)	\(\frac12\)

42.1. Qual é o valor de \(a\)?

(A) \(\frac{1}{16}\)

(B) \(\frac{3}{16}\)

(C) \(\frac18\)

(D) \(\frac38\)
42.2. Calcula a probabilidade de se obter um número ímpar.

42.1. Valor de \(a\)

\frac{1}{16}+a+\frac14+\frac12=1\Leftrightarrow a=1-\frac{1}{16}-\frac{4}{16}-\frac{8}{16}=\frac{3}{16}.

Opção (B).

42.2. Número ímpar

Os setores com número ímpar são o 1 e o 3:

P(\text{ímpar})=\frac{1}{16}+\frac14=\frac{1}{16}+\frac{4}{16}=\frac{5}{16}.

43. Bolas numeradas — \(P(\overline A\cup B)\)

43

Uma caixa tem 12 bolas, numeradas de 1 a 12. Uma experiência aleatória consiste em retirar, ao acaso, uma bola e verificar o número. Considera os acontecimentos \(A\): “sair uma bola com número par” e \(B\): “sair uma bola com número superior a 7”. Qual é o valor de \(P(\overline A\cup B)\)?

(A) \(\frac34\)

(B) \(\frac56\)

(C) \(\frac{11}{12}\)

(D) 1

\(\overline A=\{1,3,5,7,9,11\}\) (ímpares) e \(B=\{8,9,10,11,12\}\), logo \(\overline A\cup B=\{1,3,5,7,8,9,10,11,12\}\) (9 elementos).

P(\overline A\cup B)=\frac{9}{12}=\frac34.

Opção (A).

44. Palavras de ANDRÉ

44

O nome ANDRÉ tem cinco letras. Considera todas as palavras, com ou sem significado, que se podem formar com três letras diferentes da palavra ANDRÉ. Escolhida, ao acaso, uma dessas palavras, qual é a probabilidade de a letra A fazer parte da palavra?

(A) \(\frac15\)

(B) \(\frac25\)

(C) \(\frac35\)

(D) \(\frac45\)

Número de casos possíveis (palavras de 3 letras diferentes das 5): \(5\times4\times3=60\).

Casos favoráveis (contêm a letra A) = total menos as que não contêm A:

60-\underbrace{4\times3\times2}_{\text{sem A}}=60-24=36.

P(\text{A faz parte})=\frac{36}{60}=\frac35.

Opção (C).

45. Número esperado de lances

45

Como jogador dos Los Angeles Lakers, LeBron James marcou 1787 lances livres em 2452 tentados. Qual será a melhor estimativa para o número de lances livres concretizados, nos seus próximos 50 lances livres tentados, por LeBron James?

(A) 32

(B) 36

(C) 42

(D) 47

\frac{1787}{2452}\times50\approx 36.

Opção (B).

46. Diagrama de Venn (probabilidades)

46

Numa experiência aleatória, o espaço amostral é \(\Omega\), e \(A\) e \(B\) são dois acontecimentos. Na figura está representado um diagrama de Venn, em que \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\) representam as probabilidades dos acontecimentos associados. Sabe-se que \(P(\overline{A\cup B})=0{,}3\), \(P(\overline A\cap B)=0{,}2\) e \(P(A\cap B)=0{,}4\). Determina os valores de \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\).

Da informação dada resulta diretamente:

d=P(\overline{A\cup B})=0{,}3;\quad b=P(\overline A\cap B)=0{,}2;\quad c=P(A\cap B)=0{,}4.

Como \(a+b+c+d=1\):

\[ a=1-0{,}2-0{,}4-0{,}3=0{,}1. \]

\(a=0{,}1\), \(b=0{,}2\), \(c=0{,}4\) e \(d=0{,}3\).

47. Roleta — valor de \(a\)

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Uma roleta está dividida em setores de amplitudes diferentes, e cada um tem um número diferente. Um modelo de probabilidade associado à saída dos números quando se roda a roleta é o seguinte:

N.º do setor	1	2	3	4
Probabilidade	\(a\)	\(3a\)	\(4a\)	\(\frac12\)

Qual é o valor de \(a\)?

(A) \(\frac18\)

(B) \(\frac38\)

(C) \(\frac{1}{16}\)

(D) \(\frac{3}{16}\)

a+3a+4a+\frac12=1\Leftrightarrow 8a=\frac12\Leftrightarrow a=\frac{1}{16}.

Opção (C).

48. Bolas numeradas — determinar \(n\)

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Uma caixa tem \(n\) bolas, numeradas de 1 a \(n\), sendo \(n\) par e \(n\ge12\). Uma experiência aleatória consiste em retirar, ao acaso, uma bola e verificar o número. Considera os acontecimentos \(A\): “sair uma bola com número par” e \(B\): “sair uma bola com número menor do que 12”. Sabe-se que \(P(A\cap B)=0{,}25\). Determina o valor de \(n\).

\(A\cap B\) são os números pares menores do que 12: \(\{2,4,6,8,10\}\) (5 números).

P(A\cap B)=\frac{5}{n}=0{,}25\Leftrightarrow \frac{5}{n}=\frac14\Leftrightarrow n=20.

O valor de \(n\) é 20.

49. Palavras de MARCELO

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O nome MARCELO tem sete letras. Considera todas as palavras, com ou sem significado, que se podem formar com três letras diferentes da palavra MARCELO. Escolhida ao acaso uma dessas palavras, qual é a probabilidade de ser formada apenas por consoantes? Apresenta a tua resposta na forma de fração irredutível.

As consoantes de MARCELO são M, R, C e L (4 consoantes). Número de casos possíveis: \(7\times6\times5=210\). Número de casos favoráveis (apenas consoantes): \(4\times3\times2=24\).

P=\frac{24}{210}=\frac{4}{35}.