Probabilidades e cálculo combinatório

Ficha de probabilidade

Matemática A - 12.º ano - Novo Programa 2026 - matematicaparatodos.pt

1. Modelo de probabilidade

1

Num saco colocaram-se bolas numeradas de 1 a 4, indistinguíveis ao tato. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar, ao acaso, uma bola do saco e registar o número que saiu. O modelo de probabilidade está representado na seguinte tabela:

Resultado \(X\)1234
Probabilidade \(P\)\(\frac{1}{4}\)\(a\)\(b\)\(\frac{1}{5}\)

Sabe-se que \(P(X\geq 3)=0{,}43\).

  1. 1.1. Determine \(a\) e \(b\).
  2. 1.2. No saco há 2000 bolas. Quantas se espera que tenham o número 4?
1.1. Determinar a e b
\[ P(X\geq 3)=0{,}43 \Leftrightarrow b+\frac{1}{5}=0{,}43 \Leftrightarrow b=0{,}43-0{,}2 \Leftrightarrow b=0{,}23. \]
\[ \frac{1}{4}+a+b+\frac{1}{5}=1 \Leftrightarrow a=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-0{,}23 \Leftrightarrow a=0{,}32. \]
\(a=0{,}32\) e \(b=0{,}23\).
1.2. Número esperado de bolas com o número 4
\[ \frac{1}{5}\times 2000 = 400. \]
Espera-se que 400 bolas tenham o número 4.

2. Acontecimentos A e B

2

Seja \(S\), conjunto finito, o espaço amostral associado a uma dada experiência aleatória. Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos (\(A\subset S\) e \(B\subset S\)). Sabe-se que:

\(P(\overline{A}\cap B)=0{,}3\)

\(P(\overline{A\cup B})=0{,}1\)

Qual é o valor de \(P(A)\)?

  1. (A) 0,2
  2. (B) 0,4
  3. (C) 0,5
  4. (D) 0,6
\[ P(\overline{A}\cap B)=0{,}3 \Leftrightarrow P(B)-P(A\cap B)=0{,}3 \Leftrightarrow P(B)=P(A\cap B)+0{,}3. \]
\[ P(\overline{A\cup B})=0{,}1 \Leftrightarrow 1-P(A\cup B)=0{,}1 \Leftrightarrow P(A\cup B)=0{,}9. \]
\[ \begin{aligned} P(A)+P(B)-P(A\cap B)&=0{,}9 \Leftrightarrow\\ P(A)+P(A\cap B)+0{,}3-P(A\cap B)&=0{,}9 \Leftrightarrow\\ P(A)&=0{,}6. \end{aligned} \]
Opção (D).

3. Ensino Profissional

3

Na escola da Inês, 125 alunos frequentam o Ensino Profissional. Sabe-se que:

  • 44% dos alunos frequentam o ano 1;
  • 36% dos alunos frequentam o ano 2;
  • os restantes frequentam o ano 3.

Selecionaram-se, ao acaso, três dos alunos que frequentam o Ensino Profissional. A expressão seguinte permite determinar a probabilidade de pelo menos um dos três alunos frequentar o ano 2:

\[ \frac{{}^{125}C_{3}-{}^{80}C_{3}}{{}^{125}C_{3}} \]

Explique esta expressão no contexto apresentado. Na sua resposta: enuncie a regra de Laplace; explique o número de resultados possíveis; explique o número de resultados favoráveis.

Alunos do ano 2
\[ 0{,}36\times 125 = 45 \quad\text{(frequentam o ano 2)},\qquad 125-45=80 \quad\text{(não frequentam o ano 2)}. \]
Regra de Laplace

Segundo a regra de Laplace, a probabilidade de um acontecimento, com acontecimentos elementares equiprováveis, é igual ao quociente entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis.

Resultados possíveis

O número de resultados possíveis é \({}^{125}C_{3}\), o número de maneiras de escolher 3 dos 125 alunos que frequentam o Ensino Profissional.

Resultados favoráveis

Como se pretende a probabilidade de pelo menos um dos três frequentar o ano 2, calculam-se subtraindo, a todos os resultados possíveis, os casos em que nenhum dos três frequenta o ano 2, ou seja, \({}^{80}C_{3}\) (escolher 3 dos 80 alunos que não frequentam o ano 2). Assim, o número de resultados favoráveis é \({}^{125}C_{3}-{}^{80}C_{3}\).

\[ P=\frac{{}^{125}C_{3}-{}^{80}C_{3}}{{}^{125}C_{3}}. \]

4. Alunos da mesma turma

4

Na biblioteca da escola onde o Bruno dá aulas, às 10:00, estavam 12 alunos do 12.º A e 10 alunos do 12.º B. Escolheram-se, ao acaso, dois desses alunos. Qual é a probabilidade de os dois alunos serem da mesma turma?

Resultados possíveis

\({}^{22}C_{2}=231\) (número de maneiras de escolher 2 dos 22 alunos).

Resultados favoráveis

\({}^{12}C_{2}+{}^{10}C_{2}=66+45=111\), onde \({}^{12}C_{2}\) escolhe 2 alunos da turma A e \({}^{10}C_{2}\) escolhe 2 alunos da turma B.

\[ P=\frac{{}^{12}C_{2}+{}^{10}C_{2}}{{}^{22}C_{2}}=\frac{111}{231}=\frac{37}{77}. \]

5. Dado cúbico e octaédrico

5

Lançaram-se, simultaneamente, dois dados equilibrados, um cúbico e outro octaédrico. O dado cúbico tem as faces numeradas de 1 a 6 e o dado octaédrico tem as faces numeradas de 1 a 8. Calcula-se a soma dos números das faces que ficaram voltadas para cima. Qual é a probabilidade de a soma ser 7?

Resultados possíveis

\(6\times 8 = 48\) (6 resultados no dado cúbico e 8 no octaédrico).

Resultados favoráveis

Os resultados favoráveis são \((1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)\) e \((6,1)\): 6 casos.

\[ P=\frac{6}{6\times 8}=\frac{1}{8}. \]

6. Bolas numeradas de 0 a 7

6

Num saco estão oito bolas numeradas de 0 a 7. Retiram-se quatro bolas, uma a uma, sem reposição, e colocam-se em fila, da esquerda para a direita, para formarem um número de três ou quatro algarismos. Determine a probabilidade de o número assim formado:

  1. 6.1. ser superior a 5000;
  2. 6.2. ser par.
Resultados possíveis

\({}^{8}A_{4}=1680\) (número de maneiras de ordenar 4 das 8 bolas).

6.1. Ser superior a 5000

\(3\times {}^{7}A_{3}=3\times 210=630\). O primeiro algarismo só pode ser 5, 6 ou 7 (3 possibilidades) e \({}^{7}A_{3}\) ordena 3 das restantes 7 bolas.

\[ P=\frac{3\times {}^{7}A_{3}}{{}^{8}A_{4}}=\frac{630}{1680}=\frac{3}{8}. \]
6.2. Ser par

\(4\times {}^{7}A_{3}=4\times 210=840\). O algarismo das unidades pode ser 0, 2, 4 ou 6 (4 possibilidades) e \({}^{7}A_{3}\) ordena 3 das restantes bolas.

\[ P=\frac{4\times {}^{7}A_{3}}{{}^{8}A_{4}}=\frac{840}{1680}=\frac{1}{2}. \]

7. Fotografia em fila

7

Sabe-se que 10 alunos, quatro do 11.º ano e seis do 12.º ano, se colocaram em fila, ao acaso, para tirarem uma fotografia. Qual é a probabilidade de não ficarem dois alunos do 11.º ano seguidos?

Só uma das seguintes expressões dá uma resposta correta a esta questão. Identifique qual está errada e justifique a sua resposta.

Resposta A: \(\dfrac{6!\times {}^{6}A_{4}}{10!}\)

Resposta B: \(\dfrac{{}^{7}C_{4}}{{}^{10}C_{6}}\)

A resposta A está errada

Considerando \(10!\) os resultados possíveis (maneiras de ordenar as 10 pessoas), os casos favoráveis teriam de ser \(6!\times {}^{7}A_{4}\):

\(6!\) é o número de maneiras de ordenar os 6 alunos do 12.º ano. Para cada uma destas, há \({}^{7}A_{4}\) maneiras de colocar ordenadamente os 4 alunos do 11.º ano em 4 dos 7 espaços disponíveis (no início, no fim ou entre dois alunos do 12.º ano).

\[ \_\,A\,\_\,A\,\_\,A\,\_\,A\,\_\,A\,\_\,A\,\_ \qquad (\text{6 alunos do 12.º} \Rightarrow \text{7 espaços}) \]

A Resposta A usa \({}^{6}A_{4}\) (apenas 6 espaços), pelo que está errada.

A resposta B está correta

Não considerando a ordem, o número de resultados possíveis pode ser dado por \({}^{10}C_{6}\) (escolher 6 dos 10 lugares para os alunos do 12.º ano). Os casos favoráveis são \({}^{7}C_{4}\) (escolher 4 das 7 posições possíveis para os 4 alunos do 11.º ano).

\[ P=\frac{{}^{7}C_{4}}{{}^{10}C_{6}}=\frac{35}{210}=\frac{1}{6}. \]

8. Minitorneio por grupos

8

Para um minitorneio com fase de grupos, 12 jogadores organizam-se, ao acaso, em três grupos de quatro jogadores cada um. Qual é a probabilidade de a Alice e o André, que são namorados, ficarem no mesmo grupo?

Resultados possíveis
\[ {}^{12}C_{4}\times {}^{8}C_{4}\times {}^{4}C_{4}=495\times 70\times 1=34\,650. \]

Escolhem-se 4 dos 12 jogadores para o 1.º grupo, 4 dos restantes 8 para o 2.º e os últimos 4 para o 3.º grupo.

Resultados favoráveis
\[ {}^{2}C_{2}\times {}^{10}C_{2}\times {}^{8}C_{4}\times {}^{4}C_{4}\times 3=1\times 45\times 70\times 1\times 3=9450. \]

\({}^{2}C_{2}\): a Alice e o André integram o grupo; \({}^{10}C_{2}\): completa-se esse grupo com 2 dos restantes 10 jogadores; o fator 3 corresponde aos três grupos onde o casal pode ficar.

\[ P=\frac{{}^{2}C_{2}\times {}^{10}C_{2}\times {}^{8}C_{4}\times {}^{4}C_{4}\times 3}{{}^{12}C_{4}\times {}^{8}C_{4}\times {}^{4}C_{4}}=\frac{9450}{34\,650}=\frac{3}{11}. \]

9. Comissão de quatro alunos

9

Uma turma do 12.º ano tem 28 alunos, numerados de 1 a 28, sendo 16 raparigas e 12 rapazes. Com o objetivo de escolher quatro alunos para formar uma comissão, introduzem-se num saco 28 cartões, indistinguíveis ao tato, cada um identificado com o número de um aluno, de 1 a 28. Em seguida, retiram-se quatro cartões do saco, simultaneamente e ao acaso. Qual é, com arredondamento às milésimas, a probabilidade de:

  1. 9.1. a comissão ser formada por igual número de rapazes e raparigas;
  2. 9.2. o menor número saído ser o 10 e o maior ser o 20?
Resultados possíveis

\({}^{28}C_{4}=20\,475\) (escolher 4 dos 28 cartões).

9.1. Igual número de rapazes e raparigas

\({}^{16}C_{2}\times {}^{12}C_{2}=120\times 66=7920\) (2 das 16 raparigas e 2 dos 12 rapazes).

\[ P=\frac{{}^{16}C_{2}\times {}^{12}C_{2}}{{}^{28}C_{4}}=\frac{7920}{20\,475}\approx 0{,}387. \]
9.2. Menor número 10 e maior número 20

\({}^{2}C_{2}\times {}^{9}C_{2}=1\times 36=36\). \({}^{2}C_{2}\): os números 10 e 20; \({}^{9}C_{2}\): escolher 2 dos 9 números compreendidos entre 10 e 20.

\[ P=\frac{{}^{2}C_{2}\times {}^{9}C_{2}}{{}^{28}C_{4}}=\frac{36}{20\,475}\approx 0{,}002. \]

10. Código de um produto

10

O código de um determinado produto é formado por uma sequência de quatro algarismos seguidos por duas letras (considere o alfabeto com 26 letras). Escolhe-se, ao acaso, um desses códigos. Determine, na forma de percentagem com arredondamento às décimas, a probabilidade de o produto dos algarismos ser:

  1. 10.1. não nulo e as letras serem iguais;
  2. 10.2. um número ímpar e as letras serem diferentes.
Resultados possíveis

\({}^{10}A'_{4}\times {}^{26}A'_{2}=10^4\times 26^2=10\,000\times 676=6\,760\,000\) (arranjos completos: algarismos e letras podem repetir-se).

10.1. Produto não nulo e letras iguais

\({}^{9}A'_{4}\times 26\times 1=9^4\times 26=6561\times 26=170\,586\). Para o produto ser não nulo, nenhum algarismo pode ser 0 (\({}^{9}A'_{4}\)); há 26 maneiras de escolher a primeira letra e a segunda é igual à primeira.

\[ P=\frac{{}^{9}A'_{4}\times 26\times 1}{{}^{10}A'_{4}\times {}^{26}A'_{2}}=\frac{170\,586}{6\,760\,000}\approx 2{,}5\%. \]
10.2. Produto ímpar e letras diferentes

\({}^{5}A'_{4}\times {}^{26}A_{2}=5^4\times 650=625\times 650=406\,250\). Para o produto ser ímpar, todos os algarismos têm de ser ímpares (\({}^{5}A'_{4}\)); \({}^{26}A_{2}\) conta as sequências de 2 letras diferentes.

\[ P=\frac{{}^{5}A'_{4}\times {}^{26}A_{2}}{{}^{10}A'_{4}\times {}^{26}A'_{2}}=\frac{406\,250}{6\,760\,000}\approx 6{,}0\%. \]

11. Código multibanco

11

O código de um cartão multibanco é um número formado por uma sequência de quatro algarismos, como, por exemplo, 0342, 4680 e 3035. Seja \(A\) o conjunto de todos os códigos de cartão multibanco com quatro algarismos diferentes que é possível formar com os algarismos de 0 a 9. Selecionou-se, ao acaso, um elemento de \(A\). Determine a probabilidade de:

  1. 11.1. ter todos os algarismos pares;
  2. 11.2. ser divisível por 5;
  3. 11.3. ser superior a 6500;
  4. 11.4. um dos algarismos ser 9 e a soma dos quatro algarismos ser um número par.
Resultados possíveis

\({}^{10}A_{4}=5040\) (ordenar 4 dos 10 algarismos disponíveis).

11.1. Todos os algarismos pares

\({}^{5}A_{4}=120\) (ordenar 4 dos 5 algarismos pares).

\[ P=\frac{{}^{5}A_{4}}{{}^{10}A_{4}}=\frac{120}{5040}=\frac{1}{42}. \]
11.2. Divisível por 5

\({}^{9}A_{3}\times 2=504\times 2=1008\). \({}^{9}A_{3}\): ordenar 3 dos restantes 9 algarismos; o fator 2 corresponde às 2 possibilidades do algarismo das unidades (0 ou 5).

\[ P=\frac{{}^{9}A_{3}\times 2}{{}^{10}A_{4}}=\frac{1008}{5040}=\frac{1}{5}. \]
11.3. Superior a 6500

Há duas possibilidades: o primeiro algarismo é superior a 6, ou é 6 e o segundo é superior ou igual a 5.

\[ 3\times {}^{9}A_{3}+1\times 4\times {}^{8}A_{2}=3\times 504+4\times 56=1736. \]

\(3\): o primeiro algarismo pode ser 7, 8 ou 9; \(4\): o segundo algarismo pode ser 5, 7, 8 ou 9 (quando o primeiro é 6).

\[ P=\frac{3\times {}^{9}A_{3}+1\times 4\times {}^{8}A_{2}}{{}^{10}A_{4}}=\frac{1736}{5040}=\frac{31}{90}. \]
11.4. Um algarismo é 9 e soma par

Como um dos algarismos é ímpar (9), para que a soma dos quatro algarismos seja par têm de ser os quatro ímpares ou dois pares e dois ímpares.

\[ {}^{4}C_{3}\times 4! + {}^{5}C_{2}\times 4\times 4! = 4\times 24 + 10\times 4\times 24 = 1056. \]

\({}^{4}C_{3}\times 4!\): os quatro algarismos são ímpares (escolher 3 dos restantes 4 ímpares — 1, 3, 5 e 7 — e ordenar os 4). \({}^{5}C_{2}\times 4\times 4!\): dois pares e dois ímpares (2 dos 5 pares, o outro ímpar de entre 1, 3, 5 ou 7, e ordenar os 4).

\[ P=\frac{{}^{4}C_{3}\times 4! + {}^{5}C_{2}\times 4\times 4!}{{}^{10}A_{4}}=\frac{1056}{5040}=\frac{22}{105}. \]

12. Dado dodecaédrico

12

Após se lançar um dado equilibrado com a forma de dodecaedro e as faces numeradas de 1 a 12, regista-se o número da face que ficou voltada para cima. O dado foi lançado duas vezes. Qual é a probabilidade de:

  1. 12.1. sair duas vezes o número 6;
  2. 12.2. um dos números saídos ser par e o outro ser maior que 8;
  3. 12.3. o produto dos números ser par e maior que 100;
  4. 12.4. a soma dos números ser um número ímpar?

Pode construir-se uma tabela de dupla entrada com todos os pares de resultados.

Resultados possíveis

\(12\times 12 = 144\).

12.1. Sair duas vezes o número 6

Só o par \((6,6)\): 1 caso favorável.

\[ P=\frac{1}{144}. \]
12.2. Um par e o outro maior que 8

Pares \(\{2,4,6,8,10,12\}\) (6) e maiores que 8 \(\{9,10,11,12\}\) (4): \(6\times 4 + 4\times 6 - 2\times 2 = 24+24-4=44\) casos.

\[ P=\frac{44}{144}=\frac{11}{36}. \]
12.3. Produto par e maior que 100

São 9 os pares cujo produto é par e maior que 100: \((9,12),(10,11),(10,12),(11,10),(11,12),(12,9),(12,10),(12,11),(12,12)\).

\[ P=\frac{9}{144}=\frac{1}{16}. \]
12.4. Soma ímpar

Para a soma ser ímpar tem de sair um número par num dado e um ímpar no outro: \(6\times 6\times 2 = 72\) casos.

\[ P=\frac{72}{144}=\frac{1}{2}. \]

13. Octaedro

13

Na figura está representado, em referencial o.n. \(Oxyz\), o octaedro \([FABCDE]\), cujos vértices pertencem aos eixos coordenados.

  1. 13.1. Selecionam-se, ao acaso, três vértices do octaedro. Qual é a probabilidade de esses três vértices definirem um plano paralelo ao plano de equação \(z=1\)?
  2. 13.2. Dispomos de tintas de 12 cores diferentes, uma das quais é branca. Selecionaram-se, ao acaso, oito cores diferentes para pintar as oito faces do octaedro, cada face com uma única cor. Determine a probabilidade de o octaedro ficar com uma das faces pintada de branco.
13.1. Plano paralelo a z = 1

Resultados possíveis: \({}^{6}C_{3}=20\) (escolher 3 dos 6 vértices). Resultados favoráveis: \({}^{4}C_{3}=4\) (escolher 3 dos 4 vértices \(A, B, C\) e \(D\) que definem planos paralelos).

\[ P=\frac{{}^{4}C_{3}}{{}^{6}C_{3}}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}. \]
13.2. Uma face branca

Resultados possíveis: \({}^{12}C_{8}=495\) (escolher 8 das 12 cores). Resultados favoráveis: \(1\times {}^{11}C_{7}=330\) (a cor branca e mais 7 das restantes 11 cores).

\[ P=\frac{{}^{11}C_{7}}{{}^{12}C_{8}}=\frac{330}{495}=\frac{2}{3}. \]

14. Bolas brancas e pretas

14

Um saco contém cinco bolas brancas numeradas de 1 a 5 e \(n\) bolas pretas numeradas de 1 a \(n\), sendo \(n\) um número natural par superior a 5. As bolas são indistinguíveis ao tato. Retira-se, ao acaso, uma bola do saco. Sejam os acontecimentos:

\(A\): "O número da bola retirada é par."

\(B\): "O número da bola retirada é menor ou igual a 5."

  1. 14.1. Determine uma expressão, em função de \(n\), que dê a seguinte probabilidade:
    1. a) \(P(A)\);
    2. b) \(P(A\cup \overline{B})\).
  2. 14.2. Determine \(n\) sabendo que \(P(B)=\frac{1}{3}\).
14.1. a) P(A)

\(P(A)\) é a probabilidade de o número da bola retirada ser par. Resultados possíveis: \(n+5\). Resultados favoráveis: \(2+\frac{n}{2}\) (2 bolas brancas pares e \(\frac{n}{2}\) bolas pretas pares).

\[ P(A)=\frac{2+\frac{n}{2}}{n+5}=\frac{n+4}{2n+10}. \]
14.1. b) P(A ∪ B̄)

\(P(A\cup \overline{B})\) é a probabilidade de o número da bola ser par ou maior que 5. Resultados favoráveis: \(2+2+(n-5)=n-1\) (2 brancas pares, 2 pretas pares menores ou iguais a 5 e \(n-5\) bolas com número maior que 5).

\[ P(A\cup \overline{B})=\frac{n-1}{n+5}. \]
14.2. Determinar n

Resultados favoráveis a \(B\): \(5+5=10\) (5 brancas e 5 pretas com número menor ou igual a 5).

\[ P(B)=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{10}{n+5}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow 30=n+5\Leftrightarrow n=25. \]

15. Ex-alunos no festival

15

Um grupo de ex-alunos de uma escola secundária resolveram participar num festival de verão. O grupo é constituído por 15 ex-alunos. Sabe-se que:

  • \(\frac{2}{3}\) desses ex-alunos são estudantes;
  • dois em cada cinco elementos trabalham e estudam;
  • 20% dos elementos trabalham e não estudam;
  • o Joaquim é o mais velho do grupo, trabalha e não estuda;
  • a Liliana é a mais nova do grupo e estuda no ensino superior.

Para organizar a participação constituiu-se um grupo de cinco ex-alunos selecionados, ao acaso, de entre os 15 do grupo inicial. Determine a probabilidade de:

  1. 15.1. o grupo ser formado apenas por ex-alunos que trabalham e o Joaquim fazer parte do grupo;
  2. 15.2. a Liliana e o Joaquim fazerem parte do grupo;
  3. 15.3. a Liliana e o Joaquim fazerem parte do grupo e os restantes elementos serem ex-alunos que estudam ou não trabalham.
Organização dos dados

Sejam \(E\): "o ex-aluno é estudante" e \(T\): "o ex-aluno é trabalhador".

Estudam: \(\frac{2}{3}\times 15=10\)

Estudam e trabalham: \(\frac{2}{5}\times 15=6\)

Estudam e não trabalham: \(10-6=4\)

Trabalham e não estudam: \(0{,}2\times 15=3\)

Não trabalham nem estudam: \(15-6-4-3=2\)

Resultados possíveis: \({}^{15}C_{5}=3003\) (escolher 5 dos 15 ex-alunos).

15.1. Todos trabalham e o Joaquim no grupo

\(1\times {}^{8}C_{4}=70\). \(1\): o Joaquim; \({}^{8}C_{4}\): escolher 4 dos restantes 8 ex-alunos que trabalham.

\[ P=\frac{{}^{8}C_{4}}{{}^{15}C_{5}}=\frac{70}{3003}=\frac{10}{429}. \]
15.2. Liliana e Joaquim no grupo

\({}^{2}C_{2}\times {}^{13}C_{3}=1\times 286=286\). \({}^{2}C_{2}\): o Joaquim e a Liliana; \({}^{13}C_{3}\): escolher 3 dos restantes 13 ex-alunos.

\[ P=\frac{{}^{13}C_{3}}{{}^{15}C_{5}}=\frac{286}{3003}=\frac{2}{21}. \]
15.3. Liliana, Joaquim e os restantes estudam ou não trabalham

Alunos que estudam ou não trabalham: \(10+2=12\). Favoráveis: \({}^{2}C_{2}\times {}^{11}C_{3}=165\). \({}^{2}C_{2}\): o Joaquim e a Liliana; \({}^{11}C_{3}\): escolher 3 alunos que estudam ou não trabalham, excluindo a Liliana.

\[ P=\frac{{}^{11}C_{3}}{{}^{15}C_{5}}=\frac{165}{3003}=\frac{5}{91}. \]

16. Mostrar que P(B) ≤ 0,5

16

Seja \(S\), conjunto finito, o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória. Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos (\(A\subset S\) e \(B\subset S\)) tais que:

\(P(A)=0{,}65\)

\(P(A\cap B)=0{,}15\)

Mostre que \(P(B)\leq 0{,}5\).

\[ \begin{aligned} P(A\cup B)\leq 1 &\Leftrightarrow P(A)+P(B)-P(A\cap B)\leq 1\\ &\Leftrightarrow 0{,}65+P(B)-0{,}15\leq 1\\ &\Leftrightarrow P(B)\leq 1-0{,}5\\ &\Leftrightarrow P(B)\leq 0{,}5. \end{aligned} \]

17. Cubo

17

Na figura está representado o cubo \([ABCDEFGH]\).

  1. 17.1. Selecionando dois vértices ao acaso, qual é a probabilidade de a reta por eles determinada:
    1. a) conter uma aresta do cubo;
    2. b) passar no centro do cubo?
  2. 17.2. Selecionando três vértices ao acaso, qual é a probabilidade de o triângulo por eles determinado:
    1. a) estar contido numa face do cubo;
    2. b) ter um só lado a coincidir com uma aresta do cubo?
17.1. Dois vértices

Resultados possíveis: \({}^{8}C_{2}=28\) (escolher 2 dos 8 vértices).

a) Resultados favoráveis: 12 (número de arestas do cubo).

\[ P=\frac{12}{{}^{8}C_{2}}=\frac{12}{28}=\frac{3}{7}. \]

b) Resultados favoráveis: 4 (a reta tem de conter uma das 4 diagonais espaciais \([AH], [BE], [CF]\) e \([DG]\)).

\[ P=\frac{4}{{}^{8}C_{2}}=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}. \]
17.2. Três vértices

Resultados possíveis: \({}^{8}C_{3}=56\) (escolher 3 dos 8 vértices).

a) Resultados favoráveis: \(6\times {}^{4}C_{3}=6\times 4=24\). \(6\): faces do cubo; \({}^{4}C_{3}\): escolher 3 dos 4 vértices de uma face.

\[ P=\frac{6\times {}^{4}C_{3}}{{}^{8}C_{3}}=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}. \]

b) Resultados favoráveis: \(12\times 2=24\). \(12\): arestas do cubo; \(2\): possibilidades de escolha do terceiro vértice depois de escolhidos os vértices de uma aresta.

\[ P=\frac{12\times 2}{{}^{8}C_{3}}=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}. \]

18. Sete bolas numa taça

18

Uma taça contém sete bolas indistinguíveis ao tato. Três bolas são amarelas e as restantes são vermelhas. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar, ao acaso, uma a uma, sucessivamente e sem reposição, todas as bolas da taça. À medida que são retiradas, as bolas são colocadas lado a lado, em fila, da esquerda para a direita. Determine a probabilidade de:

  1. 18.1. pelo menos uma das bolas amarelas ocupar uma das extremidades da fila;
  2. 18.2. as bolas amarelas ficarem seguidas;
  3. 18.3. não ficarem duas bolas amarelas em posições consecutivas.
Resultados possíveis

\({}^{7}C_{3}=35\) (maneiras de as bolas amarelas ocuparem 3 dos 7 lugares da fila, ficando as vermelhas nos restantes).

18.1. Pelo menos uma amarela numa extremidade

Seja \(A\): "as extremidades da fila são ocupadas por bolas vermelhas". Favoráveis a \(A\): \({}^{5}C_{3}=10\) (colocar as 3 amarelas em 3 dos 5 lugares do meio).

\[ P(A)=\frac{{}^{5}C_{3}}{{}^{7}C_{3}}=\frac{10}{35}=\frac{2}{7}. \]

Logo, pelo acontecimento contrário:

\[ P=1-P(A)=1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}. \]
18.2. Amarelas seguidas

Favoráveis: 5 (posições do bloco das três amarelas juntas, nas extremidades ou entre duas vermelhas).

\[ P=\frac{5}{{}^{7}C_{3}}=\frac{5}{35}=\frac{1}{7}. \]
18.3. Sem duas amarelas consecutivas

Favoráveis: \({}^{5}C_{3}=10\) (colocar as 3 amarelas em 3 dos 5 lugares disponíveis — nos extremos ou entre duas vermelhas).

\[ P=\frac{{}^{5}C_{3}}{{}^{7}C_{3}}=\frac{10}{35}=\frac{2}{7}. \]

19. Password do João

19

O João esqueceu-se da password de acesso a uma livraria online. Recorda-se de ser formada por quatro letras e quatro algarismos. Sabe ainda que aparecem duas vezes a letra A, as letras P e E seguidas, duas vezes o algarismo 5 e duas vezes o algarismo 7. Se escrever o código ao acaso, qual é a probabilidade de acertar à primeira tentativa?

Resultados possíveis
\[ 7\times 2\times {}^{6}C_{2}\times {}^{4}C_{2}\times {}^{2}C_{2}=14\times 15\times 6\times 1=1260. \]

\(7\): número de posições para colocar as letras P e E juntas;

\(2\): as letras P e E podem aparecer de 2 maneiras (PE ou EP);

\({}^{6}C_{2}\): colocar os dois A em 2 dos 6 lugares disponíveis;

\({}^{4}C_{2}\): colocar os dois 5 em 2 dos 4 lugares disponíveis;

\({}^{2}C_{2}\): colocar os dois 7 nos dois lugares disponíveis.

Resultados favoráveis

1 (é a primeira tentativa).

\[ P=\frac{1}{7\times 2\times {}^{6}C_{2}\times {}^{4}C_{2}\times {}^{2}C_{2}}=\frac{1}{1260}. \]