Probabilidade condicionada

	\(B\)	\(\overline B\)	Total
\(A\)	\(P(A\cap B)\)	\(P(A\cap\overline B)\)	\(P(A)\)
\(\overline A\)	\(P(\overline A\cap B)\)	\(P(\overline A\cap\overline B)\)	\(P(\overline A)\)
Total	\(P(B)\)	\(P(\overline B)\)	\(1\)

1. Urnas A e B

1

Duas urnas \(A\) e \(B\) têm bolas verdes e pretas. A urna \(A\) tem cinco bolas verdes e duas bolas pretas e a urna \(B\) tem quatro bolas verdes e três bolas pretas.

1.1. Foi retirada uma bola da urna \(B\) e colocada na urna \(A\) e, de seguida, foi tirada uma bola da urna \(A\). Determine a probabilidade de:
1. 1.1.1. obter bola verde sabendo que a bola retirada da urna \(B\) era preta;
2. 1.1.2. obter bola preta.
1.2. Foi selecionada uma urna ao acaso e tirada uma bola dessa urna. Determine a probabilidade de:
1. 1.2.1. ser bola verde sabendo que saiu da urna \(A\);
2. 1.2.2. ser bola preta sabendo que saiu da urna \(B\);
3. 1.2.3. ser bola verde;
4. 1.2.4. ter saído da urna \(A\) sabendo que é bola preta.

1.1. Acontecimentos

Sejam os acontecimentos:

\(P_A\): “A bola retirada da urna \(A\) é preta.”

\(P_B\): “A bola retirada da urna \(B\) é preta.”

\(V_A\): “A bola retirada da urna \(A\) é verde.”

\(V_B\): “A bola retirada da urna \(B\) é verde.”

1.1.1. Bola verde, sabendo que saiu preta da urna B

Ao colocar uma bola preta, retirada da urna \(B\), na urna \(A\), esta fica com cinco bolas verdes e três bolas pretas. Assim, temos cinco casos favoráveis, bolas verdes na urna \(A\), num total de oito casos possíveis, cinco bolas verdes e três bolas pretas.

P(V_A\mid P_B)=\frac{5}{8}.

1.1.2. Obter bola preta

A probabilidade de retirar uma bola preta da urna \(B\) é \(P(P_B)=\frac{3}{7}\) e a probabilidade de retirar uma bola verde da urna \(B\) é \(P(V_B)=\frac{4}{7}\).

Ao colocar uma bola verde, retirada da urna \(B\), na urna \(A\), esta fica com seis bolas verdes e duas bolas pretas. Assim, temos dois casos favoráveis, bolas pretas na urna \(A\), num total de oito casos possíveis.

P(P_A\mid V_B)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.

Ao colocar uma bola preta, retirada da urna \(B\), na urna \(A\), esta fica com cinco bolas verdes e três bolas pretas. Assim, temos três casos favoráveis, bolas pretas na urna \(A\), num total de oito casos possíveis.

P(P_A\mid P_B)=\frac{3}{8}.

Logo:

\begin{aligned} P(P_A)&=P(P_A\cap P_B)+P(P_A\cap V_B)\\ &=P(P_B)\times P(P_A\mid P_B)+P(V_B)\times P(P_A\mid V_B)\\ &=\frac{3}{7}\times\frac{3}{8}+\frac{4}{7}\times\frac{2}{8} =\frac{17}{56}. \end{aligned}

1.2. Acontecimentos

Sejam os acontecimentos:

\(A\): “É selecionada a urna \(A\)”

\(B\): “É selecionada a urna \(B\)”

\(V\): “Retirar uma bola verde”

\(P\): “Retirar uma bola preta”

Logo, \(P(A)=P(B)=\frac{1}{2}\).

1.2.1. Sabendo que foi escolhida a urna \(A\), temos cinco bolas verdes disponíveis, cinco casos favoráveis, num total de sete bolas presentes na urna.

P(V\mid A)=\frac{5}{7}.

1.2.2. Sabendo que foi escolhida a urna \(B\), temos três bolas pretas disponíveis, três casos favoráveis, num total de sete bolas presentes na urna.

P(P\mid B)=\frac{3}{7}.

1.2.3. Sabendo que foi escolhida a urna \(B\), temos quatro bolas verdes disponíveis, quatro casos favoráveis, num total de sete bolas presentes na urna.

P(V\mid B)=\frac{4}{7}.

\begin{aligned} P(V)&=P(V\cap A)+P(V\cap B)\\ &=P(A)\times P(V\mid A)+P(B)\times P(V\mid B)\\ &=\frac{1}{2}\times\frac{5}{7}+\frac{1}{2}\times\frac{4}{7} =\frac{9}{14}. \end{aligned}

1.2.4. Sabendo que foi escolhida a urna \(A\), temos duas bolas pretas disponíveis, dois casos favoráveis, num total de sete bolas presentes na urna.

P(P\mid A)=\frac{2}{7}.

Sabendo que foi escolhida a urna \(B\), temos três bolas pretas disponíveis, três casos favoráveis, num total de sete bolas presentes na urna.

P(P\mid B)=\frac{3}{7}.

Logo:

P(A\cap P)=P(A)\times P(P\mid A)=\frac{1}{2}\times\frac{2}{7}=\frac{2}{14}

P(P\cap B)=P(B)\times P(P\mid B)=\frac{1}{2}\times\frac{3}{7}=\frac{3}{14}

P(P)=P(P\cap A)+P(P\cap B)=P(A)\times P(P\mid A)+P(B)\times P(P\mid B) =\frac{1}{2}\times\frac{2}{7}+\frac{1}{2}\times\frac{3}{7}=\frac{5}{14}.

P(A\mid P)=\frac{P(A\cap P)}{P(P)} =\frac{\frac{1}{2}\times\frac{2}{7}}{\frac{1}{2}\times\frac{2}{7}+\frac{1}{2}\times\frac{3}{7}} =\frac{2}{5}.

2. Moedas falsas e verdadeiras

2

Num saco existem duas moedas falsas e cinco moedas verdadeiras. Vão ser tiradas aleatoriamente duas moedas do saco, uma a seguir à outra. Qual é a probabilidade de:

2.1. as duas moedas serem verdadeiras?
2.2. pelo menos uma delas ser verdadeira?
2.3. a segunda ser falsa sabendo que a primeira era verdadeira?

2. Acontecimentos

Sejam os acontecimentos:

\(V_1\): “A primeira moeda extraída é verdadeira”

\(F_1\): “A primeira moeda extraída é falsa”

\(V_2\): “A segunda moeda extraída é verdadeira”

\(F_2\): “A segunda moeda extraída é falsa”

P(V_1)=\frac{5}{7}\quad\text{e}\quad P(F_1)=\frac{2}{7}.

P(V_2\mid V_1)=\frac{4}{6},\quad P(F_2\mid V_1)=\frac{2}{6},\quad P(F_2\mid F_1)=\frac{1}{6}\quad\text{e}\quad P(V_2\mid F_1)=\frac{5}{6}.

2.1.

P(V_1\cap V_2)=P(V_1)\times P(V_2\mid V_1) =\frac{5}{7}\times\frac{4}{6} =\frac{20}{42}=\frac{10}{21}.

Ou:

P=\frac{{}^{5}C_2}{{}^{7}C_2}=\frac{10}{21}.

2.2.

1-P(F_1\cap F_2) =1-P(F_1)\times P(F_2\mid F_1) =1-\frac{2}{7}\times\frac{1}{6} =\frac{40}{42}=\frac{20}{21}.

Ou:

P=1-\frac{{}^{2}C_2}{{}^{7}C_2}=1-\frac{1}{21}=\frac{20}{21}.

2.3.

P(F_2\mid V_1)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.

3. Moeda equilibrada e moeda viciada

3

*O João tem duas moedas no bolso, sendo uma equilibrada e a outra viciada. Sabe que a probabilidade de sair cara na moeda viciada é \(\frac{2}{3}\). Ele retira do bolso uma moeda ao acaso e lança-a, tendo obtido coroa.

Qual é a probabilidade de ter lançado a moeda viciada?

3. Acontecimentos

Sejam os acontecimentos:

\(V\): “Sair moeda viciada”

\(E\): “Sair moeda equilibrada”

P(V)=\frac{1}{2};\qquad P(E)=\frac{1}{2}.

P(C\mid V)=\frac{2}{3};\qquad P(\overline C\mid V)=\frac{1}{3}.

P(C\mid E)=\frac{1}{2};\qquad P(\overline C\mid E)=\frac{1}{2}.

\begin{aligned} P(V\mid \overline C) &=\frac{P(V\cap \overline C)}{P(\overline C)} =\frac{P(V\cap \overline C)}{P(V\cap \overline C)+P(E\cap \overline C)}\\ &=\frac{P(V)\times P(\overline C\mid V)} {P(V)\times P(\overline C\mid V)+P(E)\times P(\overline C\mid E)}\\ &=\frac{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}} {\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}} =\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}+\frac{1}{4}} =\frac{2}{5}. \end{aligned}

4. Bolas brancas

4

*Uma caixa tem 20 bolas, das quais cinco são brancas, e um saco tem 15 bolas, das quais algumas são brancas. Ao tirar ao acaso uma bola da caixa e uma bola do saco, a probabilidade de se obter pelo menos uma bola branca é igual a \(75\%\).

Quantas bolas brancas existem no saco?

4. Usar o complementar

Ao tirar ao acaso uma bola da caixa, a probabilidade de não se obter bolas brancas é de \(25\%\).

Seja \(x\) o número de bolas brancas que há no saco. Na caixa temos 15 bolas que não são brancas e no saco temos \(15-x\).

\frac{15(15-x)}{20\times15}=\frac{1}{4} \Longleftrightarrow 15-x=5 \Longleftrightarrow x=10.

Existem 10 bolas brancas no saco.

5. Peças defeituosas

5

Uma fábrica utiliza três máquinas diferentes para produzir determinado tipo de peças mas que têm níveis diferentes de eficiência. A máquina \(A\) produz metade do total da produção e as máquinas \(B\) e \(C\) dividem a restante produção em partes iguais. Cerca de \(98{,}5\%\) da produção da máquina \(A\) não tem qualquer defeito; a máquina \(B\) produz cerca de \(2\%\) de peças defeituosas e a máquina \(C\) tem uma eficiência de \(97\%\).

5.1. Selecionando aleatoriamente uma peça desse tipo produzida nessa fábrica qual é a probabilidade de ser defeituosa?
5.2. Foi selecionada uma dessas peças ao acaso e era defeituosa. Qual é a probabilidade de ter sido produzida pela máquina \(C\)?

5.1. Probabilidade de defeito

\begin{aligned} P(D)&=P(D\cap A)+P(D\cap B)+P(D\cap C)\\ &=P(A)P(D\mid A)+P(B)P(D\mid B)+P(C)P(D\mid C)\\ &=0{,}5\times0{,}015+0{,}25\times0{,}02+0{,}25\times0{,}03\\ &=0{,}02=2\%. \end{aligned}

5.2. Probabilidade de ter sido produzida pela máquina C

P(C\mid D) =\frac{P(D\cap C)}{P(D)} =\frac{P(C)P(D\mid C)}{P(D)} =\frac{0{,}25\times0{,}03}{0{,}02} =0{,}375=37{,}5\%.

6. Vindima no rio Douro

6

Foram analisados 100 formulários preenchidos pelos participantes numa vindima, junto ao rio Douro. Concluiu-se que:

40 participantes residem na mesma localidade;
dos participantes que residem na localidade, metade são estrangeiros;
dos participantes na vindima que não residem na localidade, a quinta parte é portuguesa.

Escolheu-se, ao acaso, um dos vindimadores que, no questionário, respondeu que era estrangeiro. Determine a probabilidade de esse vindimador não residir na localidade da vindima.

Acontecimentos

\(L\): “O participante na vindima vive na localidade.”

\(E\): “O participante na vindima é estrangeiro.”

P(L)=\frac{40}{100}=0{,}4;\qquad P(E\mid L)=\frac12;\qquad P(\overline E\mid \overline L)=\frac15.

P(\overline L)=1-0{,}4=0{,}6;\quad P(\overline E\mid L)=1-\frac12=\frac12;\quad P(E\mid \overline L)=1-\frac15=\frac45.

Pretende-se determinar \(P(\overline L\mid E)\):

\begin{aligned} P(\overline L\mid E)&=\frac{P(\overline L\cap E)}{P(E)} =\frac{P(\overline L)\times P(E\mid \overline L)}{P(L)\times P(E\mid L)+P(\overline L)\times P(E\mid \overline L)}\\[2pt] &=\frac{0{,}6\times\frac45}{0{,}4\times\frac12+0{,}6\times\frac45} =\frac{\frac{12}{25}}{\frac{1}{5}+\frac{12}{25}} =\frac{\frac{12}{25}}{\frac{17}{25}} =\frac{12}{17}. \end{aligned}

A probabilidade de o vindimador não residir na localidade é \(\dfrac{12}{17}\).

7. Três bolas sem reposição

7

Num saco colocaram-se nove bolas brancas e 11 bolas pretas indistinguíveis ao tato. Selecionaram-se, sucessivamente, ao acaso e sem reposição, três bolas. Considere os acontecimentos:

\(A\): “A primeira bola é preta.”

\(B\): “A segunda bola é preta.”

\(C\): “A terceira bola é branca.”

Sem recorrer à fórmula da probabilidade condicionada, justifique que \(P\big(C\mid(\overline A\cap B)\big)=\dfrac49\). Na sua resposta, e tendo em conta o contexto descrito: explique o significado de \(P\big(C\mid(\overline A\cap B)\big)\) e explique o valor encontrado para a probabilidade referida.

Significado

O saco contém \(9+11=20\) bolas. \(P\big(C\mid(\overline A\cap B)\big)\) significa a probabilidade de a terceira bola selecionada ser branca, sabendo que a primeira bola selecionada foi branca (\(\overline A\)) e a segunda bola selecionada foi preta (\(B\)).

Valor da probabilidade

Quando a terceira bola é selecionada, estão no saco 18 bolas, pois duas já foram extraídas. O número de casos possíveis é, então, 18.

Como a primeira bola selecionada foi branca e a segunda foi preta, quando a terceira bola é selecionada estão no saco 8 bolas brancas.

Como os acontecimentos elementares são equiprováveis, pela regra de Laplace, a probabilidade de um acontecimento é o quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, logo a probabilidade pedida é:

P\big(C\mid(\overline A\cap B)\big)=\frac{8}{18}=\frac49.

8. Independência de A e B

8

Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos de probabilidade não nula de um espaço amostral \(S\) (\(A\subset S\) e \(B\subset S\)). Sabe-se que \(P(A)=0{,}3\), \(P(B)=0{,}6\) e \(P(B\mid \overline A)=\dfrac47\).

8.1. Mostre que os acontecimentos \(A\) e \(B\) não são independentes.
8.2. Determine na forma de dízima: a) \(P(\overline B\cap \overline A)\); b) \(P(\overline A\mid \overline B)\).

8.1. Não independência

P(\overline A)=1-0{,}3=0{,}7;\qquad P(\overline B)=1-0{,}6=0{,}4.

\begin{aligned} P(B\mid \overline A)=\frac47 &\Leftrightarrow \frac{P(B\cap \overline A)}{P(\overline A)}=\frac47 \Leftrightarrow P(B\cap \overline A)=\frac47\times0{,}7=0{,}4\\ &\Leftrightarrow P(B)-P(A\cap B)=0{,}4 \Leftrightarrow 0{,}6-P(A\cap B)=0{,}4\\ &\Leftrightarrow P(A\cap B)=0{,}2. \end{aligned}

P(A)\times P(B)=0{,}3\times0{,}6=0{,}18\neq0{,}2=P(A\cap B).

Como \(P(A\cap B)\neq P(A)\times P(B)\), os acontecimentos \(A\) e \(B\) não são independentes.

8.2. a) \(P(\overline B\cap \overline A)\)

\(P(\overline B\mid \overline A)=1-\dfrac47=\dfrac37\). Logo:

P(\overline B\cap \overline A)=P(\overline B\mid \overline A)\times P(\overline A) =\frac37\times0{,}7=\frac{3}{10}=0{,}3.

8.2. b) \(P(\overline A\mid \overline B)\)

P(\overline A\mid \overline B)=\frac{P(\overline A\cap \overline B)}{P(\overline B)} =\frac{0{,}3}{0{,}4}=0{,}75.

9. Mostrar que \(P(B\mid A)\ge\frac15\)

9

Seja \(S\) o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos (\(A\subset S\) e \(B\subset S\)). Sabe-se que \(P(A)=0{,}5\) e \(P(B)=0{,}6\). Mostre que \(P(B\mid A)\ge\dfrac15\).

P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{P(A\cap B)}{0{,}5}=2\,P(A\cap B).

Cálculos auxiliares

\begin{aligned} P(A\cup B)\le 1 &\Leftrightarrow P(A)+P(B)-P(A\cap B)\le 1 \Leftrightarrow P(A\cap B)\ge P(A)+P(B)-1\\ &\Leftrightarrow P(A\cap B)\ge 0{,}5+0{,}6-1 \Leftrightarrow P(A\cap B)\ge 0{,}1. \end{aligned}

Logo \(2\,P(A\cap B)\ge 0{,}2\) e, portanto:

P(B\mid A)=2\,P(A\cap B)\ge 0{,}2=\frac15.

10. Autores de um manual

10

Três autores de um manual didático verificaram a prova final de um livro de Matemática. O autor A verificou \(40\%\) das páginas, o autor B verificou \(25\%\) e o autor C verificou as restantes. A percentagem de páginas com gralhas que os autores A, B e C não detetaram foi, respetivamente, \(3\%\), \(2\%\) e \(1\%\).

10.1. Selecionou-se, ao acaso, uma página do livro. Qual é a probabilidade de a página selecionada ter alguma gralha? Apresente o resultado em percentagem.
10.2. Selecionou-se, ao acaso, uma página do livro e verificou-se que não tinha qualquer gralha. Qual é a probabilidade de essa página ter sido verificada pelo autor B? Apresente a resposta em percentagem, arredondada às unidades.

Acontecimentos

\(A\): “A página foi verificada pelo autor A.”

\(B\): “A página foi verificada pelo autor B.”

\(C\): “A página foi verificada pelo autor C.”

\(G\): “A página selecionada tem gralhas.”

\(P(C)=1-0{,}4-0{,}25=0{,}35\).

10.1. Probabilidade de ter gralha

\begin{aligned} P(G)&=P(A\cap G)+P(B\cap G)+P(C\cap G)\\ &=0{,}4\times0{,}03+0{,}25\times0{,}02+0{,}35\times0{,}01\\ &=0{,}012+0{,}005+0{,}0035=0{,}0205=2{,}05\%. \end{aligned}

10.2. Probabilidade de ter sido o autor B

P(\overline G)=1-0{,}0205=0{,}9795.

\begin{aligned} P(B\mid \overline G)&=\frac{P(B\cap \overline G)}{P(\overline G)} =\frac{P(B)-P(B\cap G)}{P(\overline G)}\\ &=\frac{0{,}25-0{,}25\times0{,}02}{0{,}9795} =\frac{0{,}245}{0{,}9795}\approx0{,}2501\approx 25\%. \end{aligned}

11. Portugueses, franceses e ingleses

11

Numa sala estão reunidos 10 portugueses, 5 franceses e 15 ingleses. Selecionaram-se, ao acaso, dois dos elementos presentes na reunião. Qual é a probabilidade de pelo menos um dos selecionados não ser inglês? Resolva este problema:

11.1. recorrendo à regra de Laplace;
11.2. recorrendo a um diagrama de probabilidade.

No total há \(10+5+15=30\) pessoas, das quais 15 são inglesas e 15 não são inglesas.

11.1. Regra de Laplace

Número de casos possíveis: \({}^{30}C_2\). Número de casos favoráveis (pelo menos um não inglês): \({}^{15}C_1\times{}^{15}C_1+{}^{15}C_2\).

P=\frac{{}^{15}C_1\times{}^{15}C_1+{}^{15}C_2}{{}^{30}C_2} =\frac{15\times15+105}{435} =\frac{330}{435}=\frac{22}{29}.

11.2. Diagrama de probabilidade

\(I\): “O elemento selecionado é inglês.”

\(\overline I\): “O elemento selecionado é português ou francês.”

P(I)=\frac{15}{30}=\frac12;\qquad P(\overline I)=\frac12.

\begin{aligned} P&=P(I\cap \overline I)+P(\overline I\cap I)+P(\overline I\cap \overline I)\\ &=\frac12\times\frac{15}{29}+\frac12\times\frac{15}{29}+\frac12\times\frac{14}{29} =\frac{15}{58}+\frac{15}{58}+\frac{14}{58}=\frac{44}{58}=\frac{22}{29}. \end{aligned}

12. Sócios estrangeiros e francês

12

Num clube, alguns sócios são estrangeiros. Sabe-se ainda que:

o número de sócios que falam francês é o triplo do número de sócios estrangeiros;
metade dos sócios estrangeiros fala francês;
a terça parte dos sócios que não falam francês não é estrangeira.

Selecionou-se, ao acaso, um sócio desse clube. Determine a probabilidade de esse sócio ser estrangeiro.

Acontecimentos

\(E\): “O sócio é estrangeiro.”

\(F\): “O sócio fala francês.”

P(F)=3P(E);\quad P(\overline F)=1-3P(E);\quad P(F\mid E)=\frac12;\quad P(\overline E\mid \overline F)=\frac13.

Consideremos \(P(E)=x\). Então \(P(F)=3x\) e:

P(F\cap E)=P(F\mid E)\times P(E)=\tfrac12 x;\qquad P(E\cap \overline F)=x-\tfrac12 x=\tfrac12 x;

P(\overline E\cap \overline F)=P(\overline E\mid \overline F)\times P(\overline F)=\tfrac13(1-3x)=\tfrac13-x.

Construímos a tabela de contingência (com \(P(E)=x\)):

	\(F\)	\(\overline F\)	Total
\(E\)	\(\frac12 x\)	\(\frac12 x\)	\(x\)
\(\overline E\)	\(\frac52 x\)	\(\frac13-x\)	\(1-x\)
Total	\(3x\)	\(1-3x\)	\(1\)

Da coluna \(\overline F\) vem \(P(E\cap \overline F)+P(\overline E\cap \overline F)=P(\overline F)\):

\tfrac12 x+\Big(\tfrac13-x\Big)=1-3x \Leftrightarrow \tfrac13-\tfrac12 x=1-3x \Leftrightarrow \tfrac52 x=\tfrac23 \Leftrightarrow x=\frac{2}{3}\times\frac{2}{5}=\frac{4}{15}.

A probabilidade de o sócio ser estrangeiro é \(P(E)=\dfrac{4}{15}\).

13. Mostrar que \(P(S)=2P(A\cup B)-P(B)\)

13

Seja \(S\), conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória e \(A\) e \(B\) dois acontecimentos (\(A\subset S\) e \(B\subset S\)). Sabe-se que:

\(A\) e \(\overline A\) são acontecimentos equiprováveis;
\(A\) e \(B\) são acontecimentos independentes.

Mostre que \(P(S)=2P(A\cup B)-P(B)\).

Como \(A\) e \(\overline A\) são equiprováveis, \(P(A)=P(\overline A)=0{,}5\). Como \(A\) e \(B\) são independentes, \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\).

\begin{aligned} 2P(A\cup B)-P(B) &=2\big[P(A)+P(B)-P(A\cap B)\big]-P(B)\\ &=2P(A)+2P(B)-2P(A\cap B)-P(B)\\ &=2P(A)+P(B)-2\,P(A)\times P(B)\\ &=2P(A)+P(B)\big(1-2P(A)\big)\\ &=2\times0{,}5+P(B)\big(1-2\times0{,}5\big)\\ &=1+P(B)\times 0=1=P(S). \end{aligned}

14. Determinar \(P(B)\) e independência

14

Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos de um espaço amostral \(S\) (\(A\subset S\) e \(B\subset S\)). Sabe-se que \(P(\overline A)=2P(B)\), \(P(\overline A\mid B)=\dfrac12\) e \(P(\overline B\mid A)=\dfrac56\).

14.1. Determine \(P(B)\).
14.2. Os acontecimentos \(A\) e \(B\) são independentes? Justifique.

14.1. Determinar \(P(B)\)

De \(P(\overline A)=2P(B)\) vem \(P(A)=1-2P(B)\).

P(\overline A\mid B)=\frac12 \Leftrightarrow \frac{P(\overline A\cap B)}{P(B)}=\frac12 \Leftrightarrow P(B)-P(A\cap B)=\frac12 P(B) \Leftrightarrow P(A\cap B)=\frac12 P(B).\quad(1)

\begin{aligned} P(\overline B\mid A)=\frac56 &\Leftrightarrow \frac{P(\overline B\cap A)}{P(A)}=\frac56 \Leftrightarrow P(A)-P(A\cap B)=\frac56 P(A)\\ &\Leftrightarrow P(A\cap B)=\frac16 P(A)=\frac16\big(1-2P(B)\big)=\frac16-\frac13 P(B).\quad(2) \end{aligned}

De \((1)\) e \((2)\):

\frac12 P(B)=\frac16-\frac13 P(B) \Leftrightarrow 3P(B)=1-2P(B) \Leftrightarrow 5P(B)=1 \Leftrightarrow P(B)=\frac15.

14.2. Independência

P(A\cap B)=\frac12 P(B)=\frac12\times\frac15=\frac{1}{10}.

P(A)\times P(B)=\big(1-2P(B)\big)\times P(B)=\Big(1-\frac25\Big)\times\frac15=\frac35\times\frac15=\frac{3}{25}.

Como \(P(A\cap B)=\dfrac{1}{10}\neq\dfrac{3}{25}=P(A)\times P(B)\), os acontecimentos \(A\) e \(B\) não são independentes.

15. Identidade com acontecimentos independentes

15

Seja \(S\) o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos possíveis e independentes (\(A\subset S\) e \(B\subset S\)). Mostre que:

P\big(\overline{A\cup B}\big)+P(A)+P(B)\times P(\overline A)=1.

Como \(A\) e \(B\) são independentes, \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\). Além disso, \(P(\overline A)=1-P(A)\).

\begin{aligned} &P\big(\overline{A\cup B}\big)+P(A)+P(B)\times P(\overline A)\\ &=\big[1-P(A\cup B)\big]+P(A)+P(B)\big[1-P(A)\big]\\ &=1-\big[P(A)+P(B)-P(A\cap B)\big]+P(A)+P(B)-P(B)\times P(A)\\ &=1-P(A)-P(B)+P(A\cap B)+P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &=1. \end{aligned}

16. Pizas num restaurante alentejano

16

No dia 1 de dezembro, o prato do dia de um restaurante alentejano é piza do mar ou piza alentejana. Sabe-se que:

\(\frac35\) dos clientes são clientes habituais;
7 em cada 20 dos clientes não habituais escolheram piza do mar;
\(70\%\) dos clientes escolheram piza alentejana.

Selecionou-se, nesse dia e ao acaso, um cliente do restaurante. Sejam os acontecimentos \(H\): “O cliente selecionado é cliente habitual.” e \(M\): “O cliente selecionado escolheu piza do mar.”

Escreva cada um dos números I, II, III e IV, seguido da opção correspondente. Sabe-se que \(P(M)\) é igual a I e que \(\frac{7}{20}\) é igual a II. Pode-se afirmar que \(P(H\cap M)\) é igual a III e que a probabilidade de o cliente ter escolhido piza alentejana, sabendo que não é cliente habitual, é igual a IV.

I	II	III	IV
a) \(70\%\)	a) \(P(M\mid \overline H)\)	a) \(\frac{11}{25}\)	a) \(26\%\)
b) \(35\%\)	b) \(P(\overline H\mid M)\)	b) \(\frac{4}{25}\)	b) \(35\%\)
c) \(30\%\)	c) \(P(\overline H\cap M)\)	c) \(\frac{7}{50}\)	c) \(65\%\)

P(H)=\frac35;\qquad P(M\mid \overline H)=\frac{7}{20};\qquad P(\overline M)=70\%=\frac{7}{10}.

I — opção c)

P(M)=1-P(\overline M)=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}=30\%.

II — opção a)

\(\dfrac{7}{20}\) corresponde a \(P(M\mid \overline H)\) (dos clientes não habituais, 7 em cada 20 escolheram piza do mar).

III — opção b)

\begin{aligned} P(M\mid \overline H)=\frac{7}{20} &\Leftrightarrow \frac{P(M)-P(M\cap H)}{P(\overline H)}=\frac{7}{20} \Leftrightarrow \frac{\frac{3}{10}-P(M\cap H)}{\frac25}=\frac{7}{20}\\ &\Leftrightarrow \frac{3}{10}-P(M\cap H)=\frac{7}{20}\times\frac25=\frac{7}{50} \Leftrightarrow P(H\cap M)=\frac{15}{50}-\frac{7}{50}=\frac{8}{50}=\frac{4}{25}. \end{aligned}

(Cálculo auxiliar: \(P(\overline H)=1-\dfrac35=\dfrac25\).)

IV — opção c)

Escolher piza alentejana é o acontecimento \(\overline M\). Pretende-se \(P(\overline M\mid \overline H)\):

P(M\cup H)=P(M)+P(H)-P(M\cap H)=\frac{3}{10}+\frac35-\frac{4}{25}=\frac{37}{50}.

P(\overline M\mid \overline H)=\frac{P(\overline M\cap \overline H)}{P(\overline H)} =\frac{1-P(M\cup H)}{P(\overline H)} =\frac{1-\frac{37}{50}}{\frac25} =\frac{\frac{13}{50}}{\frac25}=\frac{13}{20}=65\%.

Resposta: I — c); II — a); III — b); IV — c).

17. Voleibol e futebol

17

Num clube desportivo, todos os sócios praticam pelo menos uma de duas modalidades: voleibol ou futebol. Sabe-se que:

o número de sócios que praticam futebol é igual a dois terços do número de sócios que praticam voleibol;
o número de sócios que praticam, pelo menos, uma das duas modalidades é igual ao dobro do número de sócios que praticam as duas modalidades.

Selecionou-se, ao acaso, um dos sócios que pratica futebol. Qual é a probabilidade de esse sócio praticar voleibol?

Acontecimentos

\(V\): “O sócio pratica voleibol.”

\(F\): “O sócio pratica futebol.”

P(F)=\frac23 P(V)\ \Leftrightarrow\ P(V)=\frac32 P(F);\qquad P(V\cup F)=2\,P(V\cap F).

Pretende-se determinar \(P(V\mid F)\).

\begin{aligned} P(V\cup F)=P(V)+P(F)-P(V\cap F) &\Leftrightarrow 2\,P(V\cap F)=P(V)+P(F)-P(V\cap F)\\ &\Leftrightarrow 3\,P(V\cap F)=P(V)+\frac23 P(V)=\frac53 P(V)\\ &\Leftrightarrow P(V\cap F)=\frac59 P(V)=\frac59\times\frac32 P(F)=\frac56 P(F). \end{aligned}

P(V\mid F)=\frac{P(V\cap F)}{P(F)}=\frac{\frac56 P(F)}{P(F)}=\frac56.

A probabilidade de o sócio praticar voleibol é \(\dfrac56\).

18. Painel de quadrados — número ímpar

18

Na figura está representado um painel com oito quadrados, numerados de 1 a 8, e coloridos com duas cores. Escolhe-se um quadrado ao acaso e sabe-se que é azul. Qual é a probabilidade de ter um número ímpar?

(A) \(\frac25\)
(B) \(\frac35\)
(C) \(\frac34\)
(D) \(\frac38\)

Os quadrados azuis são \(\{1,2,3,5,8\}\) (5 quadrados). Destes, os de número ímpar são \(\{1,3,5\}\) (3 quadrados).

P(\text{ímpar}\mid \text{azul})=\frac{3}{5}.

Opção (B).

19. \(P(A\mid B)\) a partir de \(P(A\cup B)\)

19

Seja \(\Omega\) o espaço amostral de uma experiência aleatória, e \(A\) e \(B\) dois acontecimentos tais que \(P(A)=P(B)=0{,}34\) e \(P(A\cup B)=0{,}56\). Calcula o valor de \(P(A\mid B)\).

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Leftrightarrow 0{,}56=0{,}68-P(A\cap B)\Leftrightarrow P(A\cap B)=0{,}12.

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0{,}12}{0{,}34}=\frac{6}{17}.

20. Clube desportivo (I)

20

Num clube desportivo sabe-se que:

60% dos praticantes são do sexo masculino;
70% dos praticantes praticam basquetebol;
60% dos praticantes de basquetebol são do sexo masculino.

Escolhendo um praticante ao acaso, calcula a probabilidade de ser:

20.1. um praticante de basquetebol do sexo feminino;
20.2. do sexo masculino, sabendo que não é um praticante de basquetebol.

Tabela de contingência

Sejam \(B\): “praticar basquetebol” e \(M\): “ser do sexo masculino”. Tem-se \(P(M)=0{,}6\), \(P(B)=0{,}7\) e \(P(M\mid B)=0{,}6\), logo \(P(B\cap M)=0{,}7\times0{,}6=0{,}42\).

	\(M\)	\(\overline M\)	Total
\(B\)	0,42	0,28	0,7
\(\overline B\)	0,18	0,12	0,3
Total	0,6	0,4	1

20.1. Basquetebol e sexo feminino

P(B\cap \overline M)=0{,}28.

20.2. Masculino, sabendo que não pratica basquetebol

P(M\mid \overline B)=\frac{P(M\cap \overline B)}{P(\overline B)}=\frac{0{,}18}{0{,}3}=0{,}6.

21. Independência — determinar \(P(B)\)

21

Numa experiência aleatória sabe-se que \(P(A\cup B)=0{,}72\), \(P(A)=0{,}4\) e \(A\) e \(B\) são acontecimentos independentes. Qual é o valor de \(P(B)\)?

(A) \(\frac{8}{15}\)
(B) \(\frac{6}{15}\)
(C) \(\frac{4}{15}\)
(D) \(\frac{2}{15}\)

Como \(A\) e \(B\) são independentes, \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\).

\begin{aligned} P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\times P(B) &\Leftrightarrow 0{,}72=0{,}4+P(B)-0{,}4\,P(B)\\ &\Leftrightarrow 0{,}72=0{,}4+0{,}6\,P(B) \Leftrightarrow P(B)=\frac{0{,}32}{0{,}6}=\frac{8}{15}. \end{aligned}

Opção (A).

22. Esquema de jogo (dois movimentos)

22

Está representado um esquema de um jogo em que, quando se chega a um cruzamento, só se pode realizar dois movimentos: virar à esquerda ou virar à direita. Sabe-se que \(P(\text{“virar à esquerda”})=\dfrac13\) e \(P(\text{“virar à direita”})=\dfrac23\). O jogador, representado pelo ponto \(O\), vai realizar dois movimentos: desloca-se até ao primeiro cruzamento e toma uma decisão e, depois, desloca-se até ao cruzamento seguinte e toma uma segunda decisão. Qual é a probabilidade de alcançar o ponto \(R\)?

(A) \(\frac19\)
(B) \(\frac29\)
(C) \(\frac13\)
(D) \(\frac49\)

Para alcançar \(R\), o jogador vira à direita (\(\tfrac23\)) e depois à esquerda (\(\tfrac13\)):

P(R)=\frac23\times\frac13=\frac29.

Opção (B).

23. Painel de quadrados — valor de \(n\)

23

Na figura está representado o mesmo painel com oito quadrados, numerados de 1 a 8, e com duas cores. Considera a experiência aleatória que consiste em escolher ao acaso um dos oito quadrados. Sejam \(A\) e \(B\) os acontecimentos:

\(A\): “o quadrado é azul”

\(B\): “o número do quadrado escolhido é maior que \(n\)”

Sabe-se que \(P(B\mid A)=\dfrac35\). Qual pode ser o valor de \(n\)?

(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5

Sabendo que \(A\) ocorre, há 5 casos possíveis (os quadrados azuis \(\{1,2,3,5,8\}\)). Como \(P(B\mid A)=\dfrac35\), há 3 casos favoráveis, ou seja, 3 dos azuis têm número maior que \(n\).

Com \(n=2\), os azuis maiores que 2 são \(\{3,5,8\}\) — exatamente 3.

P(B\mid A)=\frac{3}{5}\ \Rightarrow\ n=2.

Opção (A).

24. \(P(A\mid B)\) com \(P(A\cup B)=3P(A\cap B)\)

24

Seja \(\Omega\) o espaço amostral de uma experiência aleatória, e \(A\) e \(B\) dois acontecimentos tais que \(P(A)=P(B)\) e \(P(A\cup B)=3P(A\cap B)\). Calcula o valor de \(P(A\mid B)\).

\begin{aligned} P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) &\Leftrightarrow 3P(A\cap B)=2P(B)-P(A\cap B)\\ &\Leftrightarrow 4P(A\cap B)=2P(B) \Leftrightarrow \frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac12. \end{aligned}

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac12.

25. Clube desportivo (II)

25

Num clube desportivo sabe-se que:

60% dos praticantes são do sexo masculino;
70% dos praticantes praticam basquetebol;
60% dos praticantes de basquetebol são do sexo masculino.

Escolhendo um praticante ao acaso, calcula a probabilidade de ser:

25.1. um praticante de basquetebol ou ser do sexo feminino;
25.2. do sexo feminino, sabendo que é um praticante de basquetebol.

Usa-se a mesma tabela de contingência (\(B\): basquetebol; \(M\): sexo masculino):

	\(M\)	\(\overline M\)	Total
\(B\)	0,42	0,28	0,7
\(\overline B\)	0,18	0,12	0,3
Total	0,6	0,4	1

25.1. Basquetebol ou sexo feminino

P(B\cup \overline M)=P(B)+P(\overline M)-P(B\cap \overline M)=0{,}7+0{,}4-0{,}28=0{,}82.

25.2. Sexo feminino, sabendo que pratica basquetebol

P(\overline M\mid B)=\frac{P(\overline M\cap B)}{P(B)}=\frac{0{,}28}{0{,}7}=0{,}4.

26. Independência — determinar \(P(B)\) (II)

26

Numa experiência aleatória sabe-se que \(P(A\cup B)=0{,}8\), \(P(A)=0{,}5\) e \(A\) e \(B\) são acontecimentos independentes. Qual é o valor de \(P(B)\)?

(A) \(\frac25\)
(B) \(\frac{2}{15}\)
(C) \(\frac35\)
(D) \(\frac{4}{15}\)

\begin{aligned} P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\times P(B) &\Leftrightarrow 0{,}8=0{,}5+P(B)-0{,}5\,P(B)\\ &\Leftrightarrow 0{,}8=0{,}5+0{,}5\,P(B) \Leftrightarrow P(B)=\frac{0{,}3}{0{,}5}=\frac35. \end{aligned}

Opção (C).

27. Esquema de jogo (três movimentos)

27

Está representado um esquema de um jogo em que, quando se chega a um cruzamento, só se pode realizar três movimentos: virar à esquerda, ir em frente ou virar à direita. Sabe-se que \(P(\text{“virar à esquerda”})=\dfrac13\), \(P(\text{“ir em frente”})=\dfrac12\) e \(P(\text{“virar à direita”})=\dfrac16\). O jogador, representado pelo ponto \(O\), vai realizar dois movimentos: desloca-se até ao primeiro cruzamento e toma uma decisão e, depois, desloca-se até ao cruzamento seguinte e toma uma segunda decisão. Qual é a probabilidade de alcançar o ponto \(U\)?

(A) \(\frac{1}{12}\)
(B) \(\frac29\)
(C) \(\frac{1}{18}\)
(D) \(\frac23\)

Há dois percursos que conduzem ao ponto \(U\):

• virar à esquerda e depois virar à direita: \(\dfrac13\times\dfrac16\);

• ir em frente e depois virar à esquerda: \(\dfrac12\times\dfrac13\).

P(U)=\frac13\times\frac16+\frac12\times\frac13=\frac{1}{18}+\frac16=\frac{1}{18}+\frac{3}{18}=\frac{4}{18}=\frac29.

Opção (B).

📌 Resumo teórico