Modelos de probabilidade em espaços finitos

Ficha de probabilidade

Matemática A - 12.º ano - Novo Programa 2026 - matematicaparatodos.pt

📌 Resumo teórico

Variável aleatória. Função massa de probabilidade

À correspondência que a cada valor \(x_i\) de uma variável aleatória \(X\) faz corresponder a sua probabilidade \(p_i=P(X=x_i)\) dá-se o nome de função massa de probabilidade (f.m.p.) da variável aleatória \(X\). Esta função determina, de forma equivalente, a distribuição de probabilidade da variável aleatória \(X\).

Valor médio

Define-se valor médio, \(\mu_X\), de uma variável aleatória \((x_i,\,p_i)\) com \(i=1,2,3,\ldots,m\), como o valor que se obtém multiplicando cada valor \(x_i\) pela respetiva probabilidade \(p_i\) e adicionando os resultados obtidos:

\[ \mu_X=p_1\times x_1+p_2\times x_2+\cdots+p_m\times x_m=\sum_{i=1}^{m}p_i\,x_i. \]

Variância e desvio-padrão populacional

Define-se variância populacional, \(\sigma_X^2\), como o valor que se obtém multiplicando cada resultado \((x_i-\mu_X)^2\) pela respetiva probabilidade \(p_i\) e adicionando os resultados obtidos:

\[ \sigma_X^2=p_1\,(x_1-\mu_X)^2+\cdots+p_m\,(x_m-\mu_X)^2=\sum_{i=1}^{m}p_i\,(x_i-\mu_X)^2. \]

O desvio-padrão populacional é dado por:

\[ \sigma_X=\sqrt{\sigma_X^2}. \]

1. A roleta de 12 setores

1

Está representada uma roleta formada por 12 setores de igual amplitude, dos quais cinco têm o número 1 e sete têm o número 0. Considere a experiência aleatória que consiste em rodar a roleta duas vezes, registando-se o número do setor que saiu.

Seja \(X\) a variável aleatória “Número de vezes em que a roleta para num setor com o número 0.”. Construa a tabela de distribuição de probabilidade (função massa de probabilidade) da variável aleatória \(X\). Apresente os valores das probabilidades na forma de fração irredutível.

Há 5 setores com o número 1 e 7 setores com o número 0, logo em cada rotação:

\[ P(\text{sair }1)=\frac{5}{12};\qquad P(\text{sair }0)=\frac{7}{12}. \]

Como \(X\) é o número de vezes em que a roleta para num setor com o número 0, ao rodar a roleta duas vezes, \(X\) pode tomar os valores 0, 1 e 2.

\[ P(X=0)=\frac{5}{12}\times\frac{5}{12}=\frac{25}{144}. \]
\[ P(X=1)=\frac{5}{12}\times\frac{7}{12}+\frac{7}{12}\times\frac{5}{12} =\frac{35}{144}+\frac{35}{144}=\frac{70}{144}=\frac{35}{72}. \]
\[ P(X=2)=\frac{7}{12}\times\frac{7}{12}=\frac{49}{144}. \]

Tabela de distribuição de probabilidade de \(X\):

\(x_i\)012
\(P(X=x_i)\)\(\frac{25}{144}\)\(\frac{35}{72}\)\(\frac{49}{144}\)

2. O dado tetraédrico

2

Está representado um dado tetraédrico equilibrado, bem como a respetiva planificação. As quatro faces têm os números \(-1\), \(0\), \(0\) e \(1\). Lança-se o dado duas vezes. Seja \(X\) a variável aleatória “Soma dos números saídos nos dois lançamentos.”.

0 0 –1 1

Indique o valor de \(k\), tal que \(P(X=k)=\dfrac{6}{16}\).

  • (A) \(-2\)
  • (B) \(-1\)
  • (C) \(1\)
  • (D) \(0\)

Construindo a tabela de dupla entrada com as somas dos dois lançamentos (faces \(-1,0,0,1\)):

\(+\)\(-1\)\(0\)\(0\)\(1\)
\(-1\)\(-2\)\(-1\)\(-1\)\(0\)
\(0\)\(-1\)\(0\)\(0\)\(1\)
\(0\)\(-1\)\(0\)\(0\)\(1\)
\(1\)\(0\)\(1\)\(1\)\(2\)

A variável \(X\) pode tomar os valores \(-2,-1,0,1\) e \(2\), num total de 16 casos igualmente possíveis. O valor 0 ocorre em 6 casos, pelo que:

\[ P(X=0)=\frac{6}{16}\ \Rightarrow\ k=0. \]
Opção (D).

3. Almoços na cantina

3

Na empresa onde a Joana trabalha há uma cantina para os funcionários que desejem almoçar na empresa. Seja \(X\) a variável aleatória que representa o número de vezes, por semana, que a Joana almoça na cantina da empresa.

\(x_i\)01234
\(P(X=x_i)\)0,150,05\(a\)\(b\)0,1

Sabe-se que é tão provável a Joana não almoçar na cantina durante a semana como almoçar aí três vezes.

  1. 3.1. Qual é a opção que representa os valores de \(a\) e \(b\)?
    • (A) \(a=0{,}15\) e \(b=0{,}55\)
    • (B) \(a=0{,}15\) e \(b=0{,}45\)
    • (C) \(a=0{,}55\) e \(b=0{,}15\)
    • (D) \(a=0{,}55\) e \(b=0{,}85\)
  2. 3.2. Quantas vezes é de esperar que a Joana almoce na cantina na próxima semana?
    • (A) \(1\)
    • (B) \(2\)
    • (C) \(3\)
    • (D) \(4\)
3.1. Valores de \(a\) e \(b\)

“Tão provável não almoçar como almoçar três vezes” significa \(P(X=0)=P(X=3)\), ou seja, \(0{,}15=b\).

Como a soma de todas as probabilidades é 1:

\[ 0{,}15+0{,}05+a+0{,}15+0{,}1=1 \Leftrightarrow a=1-0{,}45=0{,}55. \]

Logo \(a=0{,}55\) e \(b=0{,}15\).

Opção (C).
3.2. Número esperado de almoços
\[ \begin{aligned} \mu_X&=0{,}15\times0+0{,}05\times1+0{,}55\times2+0{,}15\times3+0{,}1\times4\\ &=0{,}05+1{,}1+0{,}45+0{,}4=2. \end{aligned} \]

A Joana almoça, em média, duas vezes por semana.

Opção (B).

4. Oficina PINTAUTO

4

Do quadro de pessoal da oficina PINTAUTO, de bate-chapas e pintura de automóveis, constam 20 trabalhadores. Na secção de pintura trabalham 12 operários e na secção de bate-chapas trabalham nove. Alguns destes operários trabalham nas duas secções. Sabe-se ainda que dois dos 20 trabalhadores se dedicam exclusivamente à receção e serviços administrativos.

  1. 4.1. Escolhe-se ao acaso um dos trabalhadores da empresa. Determine a probabilidade de o funcionário escolhido trabalhar:
    1. a) nas secções de pintura e bate-chapas;
    2. b) na secção de pintura ou na secção de bate-chapas, mas não nas duas;
    3. c) na secção de pintura sabendo que não trabalha na secção de bate-chapas.
  2. 4.2. Seja \(X\) a variável aleatória “Número de dias em que cada trabalhador faltou no último ano.”. A distribuição de probabilidade de \(X\) é, para \(a\) e \(b\) números reais:
    \(x_i\)0123
    \(P(X=x_i)\)\(a\)0,250,10\(b\)
    Sabe-se que a probabilidade de um trabalhador ter faltado pelo menos dois dias no último ano é 0,15.
    1. a) Determine os valores de \(a\) e \(b\).
    2. b) Determine o valor médio da variável aleatória \(X\).
    3. c) Formou-se um grupo de trabalhadores para o restauro de um automóvel antigo. Qual é o número mínimo de trabalhadores que o grupo deve ter para poder garantir que, pelo menos, um deles faltou no máximo um dia no último ano?
Diagrama de Venn

Dos 20 trabalhadores, 2 estão apenas na receção. Se somarmos os operários de cada secção temos \(12+9=21\); como só \(20-2=18\) trabalham nas secções, há \(21-18=3\) operários nas duas secções. Assim, só na pintura estão \(12-3=9\) e só no bate-chapas \(9-3=6\).

9 3 6 P B 2 S
4.1. a) Pintura e bate-chapas
\[ P=\frac{3}{20}. \]
4.1. b) Pintura ou bate-chapas, mas não as duas
\[ P=\frac{9+6}{20}=\frac{15}{20}=\frac34. \]
4.1. c) Pintura, sabendo que não trabalha em bate-chapas

Não trabalham em bate-chapas \(20-9=11\) trabalhadores; destes, 9 trabalham na pintura.

\[ P(P\mid \overline B)=\frac{9}{11}. \]
4.2. a) Valores de \(a\) e \(b\)
\[ P(X\ge2)=0{,}15\Leftrightarrow P(X=2)+P(X=3)=0{,}15 \Leftrightarrow 0{,}10+b=0{,}15\Leftrightarrow b=0{,}05. \]
\[ a+0{,}25+0{,}10+0{,}05=1\Leftrightarrow a=0{,}6. \]

Logo \(a=0{,}6\) e \(b=0{,}05\).

4.2. b) Valor médio
\[ \mu_X=0{,}6\times0+0{,}25\times1+0{,}10\times2+0{,}05\times3 =0{,}25+0{,}2+0{,}15=0{,}6. \]
4.2. c) Número mínimo de trabalhadores

Faltaram dois dias \(0{,}10\times20=2\) trabalhadores e faltaram três dias \(0{,}05\times20=1\) trabalhador. Logo, apenas \(2+1=3\) dos 20 trabalhadores faltaram pelo menos dois dias no último ano.

No pior dos casos, os três primeiros escolhidos poderiam ser exatamente esses. Assim, se o grupo tiver pelo menos quatro trabalhadores, fica garantido que, pelo menos, um deles faltou no máximo um dia no último ano.

O grupo deve ter, no mínimo, 4 trabalhadores.

5. Os duplos do dominó

5

Colocamos sobre uma mesa os sete “duplos” do jogo do dominó na sua posição invertida (peças voltadas para baixo). Baralhamos as peças e retiramos uma delas, anotando os seus pontos. Considere que \(Y\) é a variável aleatória que representa o número de pontos saídos (número total das pintas da peça).

  1. 5.1. Construa a tabela de distribuição de probabilidade de \(Y\).
  2. 5.2. Determine o valor médio e o desvio-padrão da distribuição.
5.1. Distribuição de probabilidade

Os sete duplos são \(0\text{-}0,\ 1\text{-}1,\ 2\text{-}2,\ 3\text{-}3,\ 4\text{-}4,\ 5\text{-}5\) e \(6\text{-}6\), com totais de pintas \(0, 2, 4, 6, 8, 10\) e \(12\). Como cada peça é igualmente provável, cada valor de \(Y\) tem probabilidade \(\frac17\).

\(y_i\)024681012
\(P(Y=y_i)\)\(\frac17\)\(\frac17\)\(\frac17\)\(\frac17\)\(\frac17\)\(\frac17\)\(\frac17\)
5.2. Valor médio e desvio-padrão
\[ \mu_Y=\frac17(0+2+4+6+8+10+12)=\frac{42}{7}=6. \]
\[ \begin{aligned} \sigma_Y^2&=\frac17\Big[(0-6)^2+(2-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2+(12-6)^2\Big]\\ &=\frac17\big(36+16+4+0+4+16+36\big)=\frac{112}{7}=16. \end{aligned} \]
\[ \sigma_Y=\sqrt{16}=4. \]
O valor médio da distribuição é \(6\) e o desvio-padrão é \(4\).

6. Valor de \(a\) numa distribuição

6

A tabela de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(X\) é a seguinte:

\(x_i\)1234
\(P(X=x_i)\)\(\frac12\)\(a\)\(\frac{1}{10}\)\(3a\)

Qual é o valor de \(a\)?

  • (A) \(\frac{1}{10}\)
  • (B) \(\frac{3}{10}\)
  • (C) \(\frac{1}{5}\)
  • (D) \(\frac{1}{15}\)

A soma de todas as probabilidades é igual a 1:

\[ \frac12+a+\frac{1}{10}+3a=1 \Leftrightarrow 4a=1-\frac12-\frac{1}{10} \Leftrightarrow 4a=\frac{2}{5} \Leftrightarrow a=\frac25\times\frac14=\frac{1}{10}. \]
Opção (A).

7. Livros da feira

7

Para oferecer à irmã mais nova, a Ana vai comprar dois livros numa feira do livro. Na banca onde vai comprar os livros, há 80 de ficção e 12 de banda desenhada. A Ana decidiu selecionar dois livros ao acaso. Seja \(X\) a variável aleatória “Número de livros de banda desenhada selecionados.”.

Através de uma tabela, construa a função massa de probabilidade da variável aleatória \(X\). Apresente as probabilidades na forma de dízima arredondada às milésimas.

No total há \(80+12=92\) livros. O número de casos possíveis é \({}^{92}C_2=4186\). Como \(X\) é o número de livros de banda desenhada quando são selecionados dois livros, \(X\) pode tomar os valores 0, 1 e 2.

\[ P(X=0)=\frac{{}^{80}C_2}{{}^{92}C_2}=\frac{3160}{4186}\approx0{,}755. \]
\[ P(X=1)=\frac{{}^{80}C_1\times{}^{12}C_1}{{}^{92}C_2}=\frac{80\times12}{4186}=\frac{960}{4186}\approx0{,}229. \]
\[ P(X=2)=\frac{{}^{12}C_2}{{}^{92}C_2}=\frac{66}{4186}\approx0{,}016. \]

Função massa de probabilidade de \(X\):

\(x_i\)012
\(P(X=x_i)\)0,7550,2290,016

8. Completar a distribuição

8

Considere a seguinte distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(X\):

\(x_i\)0123
\(P(X=x_i)\)\(a\)0,150,450,35

Complete o texto seguinte, selecionando a opção adequada a cada espaço. Escreva cada um dos números I, II e III, seguido da opção a), b) ou c) correspondente.

\(P(X=0)\) é igual a I. O valor médio de \(X\) é II e o desvio-padrão populacional com arredondamento às décimas é igual a III.

IIIIII
a) \(0{,}03\)a) \(0{,}4\)a) \(0{,}8\)
b) \(0{,}04\)b) \(1{,}3\)b) \(0{,}9\)
c) \(0{,}05\)c) \(2{,}1\)c) \(1{,}1\)
I — opção c)
\[ a+0{,}15+0{,}45+0{,}35=1\Leftrightarrow a=1-0{,}95=0{,}05. \]
II — opção c)
\[ \mu_X=0{,}05\times0+0{,}15\times1+0{,}45\times2+0{,}35\times3 =0{,}15+0{,}9+1{,}05=2{,}1. \]
III — opção a)
\[ \begin{aligned} \sigma_X^2&=0{,}05(0-2{,}1)^2+0{,}15(1-2{,}1)^2+0{,}45(2-2{,}1)^2+0{,}35(3-2{,}1)^2\\ &=0{,}2205+0{,}1815+0{,}005+0{,}2835=0{,}69. \end{aligned} \]
\[ \sigma_X=\sqrt{0{,}69}\approx0{,}8. \]
Resposta: I — c); II — c); III — a).

9. Bolas azuis até sair a vermelha

9

Considera uma caixa com três bolas azuis e uma bola vermelha. Supõe que se retiram as bolas da caixa, uma a uma, sem reposição. Seja \(X\) a variável aleatória “número de bolas azuis extraídas até sair a bola vermelha”. Qual das opções representa o modelo de distribuição de probabilidade da variável aleatória \(X\)?

(A)
\(x_i\)0123
\(p_i\)\(\frac14\)\(\frac14\)\(\frac14\)\(\frac14\)
(B)
\(x_i\)1234
\(p_i\)\(\frac14\)\(\frac14\)\(\frac14\)\(\frac14\)
(C)
\(x_i\)1234
\(p_i\)\(\frac14\)\(\frac16\)\(\frac13\)\(\frac14\)
(D)
\(x_i\)0123
\(p_i\)\(\frac14\)\(\frac16\)\(\frac13\)\(\frac14\)

Como \(X\) conta as bolas azuis retiradas até sair a vermelha, \(X\) pode tomar os valores 0, 1, 2 e 3.

\[ P(X=0)=\frac14;\qquad P(X=1)=\frac34\times\frac13=\frac14; \]
\[ P(X=2)=\frac34\times\frac23\times\frac12=\frac14;\qquad P(X=3)=\frac34\times\frac23\times\frac12\times1=\frac14. \]
Opção (A).

10. Cartão de prémios — lucro

10

Na figura está representado um cartão, dividido em oito quadrados, com prémios de 1 € e 5 € e penalizações de 3 € e 8 €. Um apostador vai escolher, ao acaso, dois dos oito quadrados, podendo ser repetidos.

1 € 5 € 5 € 8 € 1 € 3 € 3 € 1 €

Mostra que a probabilidade de se obter lucro é igual a \(\dfrac{5^2+8}{8^2}\).

Número de casos possíveis: \(8^2\) (dois quadrados escolhidos, com repetição e com ordem).

Há lucro quando o saldo dos dois quadrados é positivo. Isso acontece:

• quando os dois quadrados são de prémio (1 € ou 5 €): há 5 quadrados de prémio, logo \(5^2\) casos;

• quando um é de 5 € e o outro de 3 € (\(5-3=2\gt 0\)): há 2 quadrados de 5 € e 2 de 3 €, logo \(2\times2\times2=8\) casos (contando a ordem).

\[ P(\text{lucro})=\frac{5^2+8}{8^2}=\frac{33}{64}. \]

11. Produto de duas bolas

11

Na caixa há quatro bolas numeradas, indistinguíveis ao tato: duas têm o número 1, uma tem o número 2 e uma tem o número 3. Retiram-se simultaneamente duas bolas. Seja \(X\) a variável aleatória “produto dos números das bolas retiradas”. Calcula o valor de \(P(X\lt 3)\).

1123

Há \({}^{4}C_2=6\) maneiras de retirar duas bolas. Os produtos possíveis são:

\(x_i\)1236
\(P(X=x_i)\)\(\frac16\)\(\frac13\)\(\frac13\)\(\frac16\)
\[ P(X\lt 3)=P(X=1)+P(X=2)=\frac16+\frac13=\frac12. \]

12. Valor médio (determinar \(b-a\))

12

Uma variável aleatória \(X\) tem a seguinte distribuição de probabilidade, com \(a,b\in\mathbb{R}\):

\(x_i\)134
\(p_i=P(X=x_i)\)0,12\(b\)\(a\)

Sabe-se que o valor médio da variável aleatória \(X\) é igual a 3. Calcula o valor de \(b-a\).

\[ \begin{cases}0{,}12+b+a=1\\[2pt]1\times0{,}12+3b+4a=3\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}b=0{,}88-a\\[2pt]0{,}12+3(0{,}88-a)+4a=3\end{cases} \]
\[ \Leftrightarrow \begin{cases}b=0{,}88-a\\[2pt]a=0{,}24\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}b=0{,}64\\[2pt]a=0{,}24\end{cases} \]
\(b-a=0{,}64-0{,}24=0{,}4\).

13. Diferença de duas bolas

13

Considera uma caixa com quatro bolas numeradas: duas têm o número 1, uma tem o número 2 e uma tem o número 3. Retiram-se simultaneamente duas bolas. Seja \(X\) a variável aleatória “valor absoluto da diferença dos números das bolas retiradas”. Qual das opções representa o modelo de distribuição de probabilidade da variável aleatória \(X\)?

(A)
\(x_i\)012
\(p_i\)\(\frac16\)\(\frac12\)\(\frac13\)
(B)
\(x_i\)123
\(p_i\)\(\frac16\)\(\frac12\)\(\frac13\)
(C)
\(x_i\)123
\(p_i\)\(\frac12\)\(\frac14\)\(\frac14\)
(D)
\(x_i\)012
\(p_i\)\(\frac12\)\(\frac14\)\(\frac14\)

Há \({}^{4}C_2=6\) maneiras de retirar duas bolas. Os valores absolutos das diferenças são:

\(\{1,1\}\to0\); \(\{1,2\}\to1\) (duas vezes); \(\{2,3\}\to1\); \(\{1,3\}\to2\) (duas vezes).

\[ P(X=0)=\frac16;\quad P(X=1)=\frac36=\frac12;\quad P(X=2)=\frac26=\frac13. \]
Opção (A).

14. Cartão de prémios — prejuízo

14

Na figura está representado um cartão dividido em oito quadrados com prémios de 1 € e 5 € e penalizações de 3 € e 8 €. Um apostador vai escolher, ao acaso, dois dos oito quadrados do cartão, podendo ser repetidos.

1 € 5 € 5 € 8 € 1 € 3 € 3 € 1 €

Mostra que a probabilidade de se ter prejuízo é igual a \(\dfrac{31}{64}\) e justifica que este jogo não é justo.

Número de casos possíveis: \(8^2\). Há prejuízo (saldo negativo) quando:

• os dois quadrados são de penalização (3 € ou 8 €): há 3 quadrados de penalização, logo \(3^2=9\) casos;

• um é de 1 € e o outro de 3 € (\(1-3=-2\)): há 3 quadrados de 1 € e 2 de 3 €, logo \(2\times3\times2=12\) casos;

• um é um quadrado de prémio (azul) e o outro é o de 8 € (prémio \(-8\lt 0\)): há 5 quadrados de prémio e 1 de 8 €, logo \(2\times5\times1=10\) casos.

\[ P(\text{prejuízo})=\frac{3^2+2\times3\times2+2\times5\times1}{8^2}=\frac{9+12+10}{64}=\frac{31}{64}. \]

Como não há possibilidade de empate, \(P(\text{lucro})=1-\dfrac{31}{64}=\dfrac{33}{64}\). Uma vez que \(P(\text{lucro})=\dfrac{33}{64}\neq\dfrac{31}{64}=P(\text{prejuízo})\), o jogo não é justo.

15. Bolas azuis: \(P(X=2)\)

15

Considera uma caixa com três bolas azuis e uma bola vermelha. Seja \(X\) a variável aleatória “número de bolas azuis extraídas até sair a bola vermelha”. Calcula o valor de \(P(X=2)\).

\(X=2\) ocorre quando saem duas bolas azuis e, de seguida, a bola vermelha:

\[ P(X=2)=\frac34\times\frac23\times\frac12=\frac{6}{24}=\frac14. \]

16. Valor médio de \(X\)

16

Uma variável aleatória \(X\) tem a seguinte distribuição de probabilidade:

\(x_i\)134
\(p_i=P(X=x_i)\)0,320,440,24

Calcula o valor médio da variável aleatória \(X\).

\[ \mu_X=1\times0{,}32+3\times0{,}44+4\times0{,}24=0{,}32+1{,}32+0{,}96=2{,}6. \]