Modelo normal

Ficha de probabilidade

Matemática A - 12.º ano - Novo Programa 2026 - matematicaparatodos.pt

📌 Resumo teórico

Distribuição Normal

Uma distribuição Normal fica caracterizada pelo seu valor médio, \(\mu\), e pelo desvio-padrão, \(\sigma\). Se a variável aleatória \(X\) tem distribuição Normal, escreve-se \(X\sim N(\mu,\sigma)\).

Características da curva Normal:

Valores de referência da distribuição Normal

\[ P(X\gt \mu)=P(X\lt \mu)=50\% \]
\[ P(\mu-\sigma\lt X\lt \mu+\sigma)\approx 68{,}27\% \]
\[ P(\mu-2\sigma\lt X\lt \mu+2\sigma)\approx 95{,}45\% \]
\[ P(\mu-3\sigma\lt X\lt \mu+3\sigma)\approx 99{,}73\% \]

1. Idades num clube de futebol

1

Foi realizado um estudo estatístico junto de um clube de futebol. Concluiu-se que a idade dos sócios segue uma distribuição Normal de valor médio 34 anos e desvio-padrão de 5 anos. O clube tem 400 mil sócios.

Quantos sócios desse clube, aproximadamente, será de esperar que tenham menos de 29 anos? (Nos cálculos intermédios, utilize, no mínimo, quatro casas decimais.)

  • (A) 63 460
  • (B) 136 540
  • (C) 273 000
  • (D) 126 900

\(X\sim N(34,5)\). Como \(29=34-5=\mu-\sigma\):

\[ P(X\lt 29)=P(X\lt \mu-\sigma)=0{,}5-\frac{0{,}6827}{2}=0{,}5-0{,}34135=0{,}15865. \]
\[ 400\,000\times0{,}15865=63\,460. \]
Opção (A).

2. Produção de batatas

2

A produção anual, em toneladas, de batatas numa dada região segue, aproximadamente, uma distribuição Normal de valor médio 110. Sabe-se que, num determinado ano selecionado ao acaso, a probabilidade da produção ser superior a 125 toneladas é 15,87%.

Qual é, com arredondamento às unidades, o desvio-padrão da distribuição?

  • (A) 10
  • (B) 15
  • (C) 18
  • (D) 20

\(X\sim N(110,\sigma)\) e \(P(X\gt 125)=15{,}87\%\).

\[ P(X\gt \mu+\sigma)=0{,}5-\frac{0{,}6827}{2}=0{,}5-0{,}34135=0{,}15865\approx15{,}87\%. \]

Então \(125=\mu+\sigma\Leftrightarrow 110+\sigma=125\Leftrightarrow \sigma=15\).

Opção (B).

3. Altura dos alunos

3

Um grupo de alunos da turma da Ana fez um levantamento sobre algumas características dos alunos do 12.º ano da escola. Concluiu-se que a variável aleatória \(X\), “Altura, em centímetros, dos alunos do 12.º ano.”, segue, aproximadamente, uma distribuição Normal de valor médio 170.

Tendo em conta estes dados, assinale as três afirmações verdadeiras.

  • I. Escolhendo, ao acaso, um aluno do 12.º ano, a probabilidade de a sua altura estar compreendida entre 1,65 m e 1,70 m ou ser superior a 1,80 m é menor do que 50%.
  • II. A maior parte dos alunos do 12.º ano tem mais do que 1,65 m de altura.
  • III. Escolhendo, ao acaso, um aluno do 12.º ano, é mais provável que a sua altura seja superior a 1,80 m do que ser inferior a 1,65 m.
  • IV. Escolhendo, ao acaso, um aluno do 12.º ano, é tão provável que a sua altura seja superior a 1,65 m como inferior a 1,75 m.
  • V. Se, escolhendo ao acaso um aluno do 12.º ano, a probabilidade de a sua altura estar compreendida entre 1,65 m e 1,75 m for cerca de 68,27%, então pode concluir-se que o desvio-padrão de \(X\), arredondado às unidades, é 10 centímetros.

\(X\sim N(170,\sigma)\), com \(1{,}65\,\text{m}=165\,\text{cm}\), \(1{,}70\,\text{m}=170\,\text{cm}\), \(1{,}75\,\text{m}=175\,\text{cm}\) e \(1{,}80\,\text{m}=180\,\text{cm}\).

I. Verdadeira. Por simetria, \(P(165\lt X\lt 170)=P(170\lt X\lt 175)\). Assim, \(P(165\lt X\lt 170\ \lor\ X\gt 180)=P(170\lt X\lt 175)+P(X\gt 180)\lt P(170\lt X\lt 175)+P(X\gt 175)=P(X\gt 170)=0{,}5\).

II. Verdadeira. Como \(165\lt 170=\mu\), tem-se \(P(X\gt 165)\gt 0{,}5\), logo a maior parte dos alunos tem mais de 1,65 m.

III. Falsa. Como 165 está mais próximo de \(\mu=170\) do que 180, tem-se \(P(X\lt 165)\gt P(X\gt 180)\); é, portanto, menos provável a altura ser superior a 1,80 m.

IV. Verdadeira. 165 e 175 estão à mesma distância de \(\mu\) (5 cm), logo \(P(X\gt 165)=P(X\lt 175)\).

V. Falsa. Se \(P(165\lt X\lt 175)\approx68{,}27\%=P(\mu-\sigma\lt X\lt \mu+\sigma)\), então \(\mu-\sigma=165\) e \(\mu+\sigma=175\), donde \(\sigma=5\) cm (e não 10 cm).

Afirmações verdadeiras: I, II e IV.

4. Determinar \(P(X\gt 12)\)

4

Admita que a variável aleatória \(X\) segue uma distribuição Normal de valor médio 10. Sabe-se ainda que \(P(8\lt X\lt 12)\approx0{,}6827\). Pode afirmar-se que \(P(X\gt 12)\) é, aproximadamente, igual a:

  • (A) 52%
  • (B) 45%
  • (C) 28%
  • (D) 16%

\(X\sim N(10,\sigma)\). Como \(12-10=2\) e \(10-8=2\), tem-se \(8=\mu-\sigma\) e \(12=\mu+\sigma\) (\(\sigma=2\)).

\[ P(X\gt 12)=P(X\gt \mu+\sigma)=0{,}5-\frac{0{,}6827}{2}=0{,}5-0{,}34135=0{,}15865\approx16\%. \]
Opção (D).

5. Diâmetro das cerejas

5

Admita que a variável diâmetro, em centímetros, das cerejas de um pomar é bem modelada por uma distribuição Normal, de valor médio 1,5. Sabe-se ainda que, nesse pomar, 30% das cerejas têm um diâmetro superior a 1,8 cm.

Selecionada, ao acaso, uma cereja do pomar, qual é a probabilidade de o seu diâmetro estar compreendido entre 1,2 e 1,5 cm?

  • (A) 30%
  • (B) 25%
  • (C) 20%
  • (D) 40%

\(X\sim N(1{,}5,\sigma)\) e \(P(X\gt 1{,}8)=30\%\). Como \(1{,}8-1{,}5=0{,}3\) e \(1{,}5-1{,}2=0{,}3\), os valores 1,2 e 1,8 estão à mesma distância de \(\mu\).

\[ P(1{,}2\lt X\lt 1{,}5)=P(1{,}5\lt X\lt 1{,}8)=P(X\gt 1{,}5)-P(X\gt 1{,}8)=0{,}5-0{,}30=0{,}20=20\%. \]
Opção (C).

6. Tempo do autocarro

6

O tempo \(X\), em minutos, que um autocarro de turismo demora até à primeira paragem é uma variável aleatória bem modelada por uma distribuição Normal de valor médio 30 minutos. Sabe-se que \(P(25\lt X\lt 30)\approx0{,}3\).

Para um certo valor de \(v\), tem-se que \(P(X\gt v)=0{,}2\). Qual é o valor de \(v\)?

  • (A) 27
  • (B) 32
  • (C) 35
  • (D) 40

\(X\sim N(30,\sigma)\). Como \(P(25\lt X\lt 30)\approx0{,}3\):

\[ P(X\lt 25)=P(X\lt 30)-P(25\lt X\lt 30)=0{,}5-0{,}3=0{,}2. \]

Como \(30-25=5\), o valor \(35=30+5\) está à mesma distância de \(\mu\) que 25. Por simetria:

\[ P(X\gt 35)=P(X\lt 25)=0{,}2\ \Rightarrow\ v=35. \]
Opção (C).

7. Sacos de nozes

7

Um produtor guarda as nozes da sua produção em sacos e coloca-os num armazém para vender no Natal. Admita que a variável massa, expressa em gramas, dos sacos de nozes que estão no armazém é bem modelada por uma distribuição Normal de valor médio 400 gramas e desvio-padrão 10 gramas. Selecionou-se, ao acaso, um desses sacos. Considere os acontecimentos:

  • \(A\): “A massa do saco é superior a 415 gramas.”
  • \(B\): “A massa do saco é inferior a 380 gramas.”

Qual das seguintes expressões é verdadeira?

  • (A) \(P(A)\gt P(B)\)
  • (B) \(P(A)=P(B)\)
  • (C) \(P(A)\lt P(B)\)
  • (D) \(P(A)=1-P(B)\)

\(X\sim N(400,10)\), com \(P(A)=P(X\gt 415)\) e \(P(B)=P(X\lt 380)\).

Como \(400-380=20\) e \(415-400=15\), o valor 415 está mais próximo de \(\mu=400\) do que 380. Quanto mais próximo do valor médio, maior é a área da cauda, logo:

\[ P(X\gt 415)\gt P(X\lt 380)\ \Rightarrow\ P(A)\gt P(B). \]
Opção (A).

8. Índices numa escola de música

8

Numa escola de música, no final do ano, os alunos são avaliados sendo atribuído a cada aluno um determinado índice. Admita que o índice de cada aluno é uma variável aleatória com distribuição Normal de valor médio 5 e desvio-padrão 0,5.

  1. 8.1. Selecionou-se ao acaso um aluno dessa escola. Determine a probabilidade, em percentagem arredondada às centésimas, de esse aluno obter um índice inferior a 4.
  2. 8.2. Sabe-se que 13,6% dos alunos tiraram a classificação de Bom. A que intervalo pode pertencer o índice de um aluno que obteve Bom?
    • (A) \(\left]5;5{,}5\right[\)
    • (B) \(\left]5{,}5;6\right[\)
    • (C) \(\left]6;6{,}5\right[\)
    • (D) \(\left]6{,}5;7\right[\)
8.1. \(P(X\lt 4)\)

\(X\sim N(5;0{,}5)\). Como \(4=5-2\times0{,}5=\mu-2\sigma\):

\[ P(X\lt 4)=P(X\lt \mu-2\sigma)=0{,}5-\frac{0{,}9545}{2}=0{,}5-0{,}47725=0{,}02275\approx2{,}28\%. \]
8.2. Intervalo do índice de Bom

Como \(5{,}5=5+0{,}5=\mu+\sigma\) e \(6=5+2\times0{,}5=\mu+2\sigma\):

\[ P(5{,}5\lt X\lt 6)=P(\mu+\sigma\lt X\lt \mu+2\sigma)=\frac{0{,}9545}{2}-\frac{0{,}6827}{2}=0{,}47725-0{,}34135=0{,}1359\approx13{,}6\%. \]

Logo, o índice de um aluno com Bom pertence a \(\left]5{,}5;6\right[\).

Opção (B).

9. Intervalo que contém o valor médio

9

Uma variável aleatória \(X\) segue uma distribuição Normal. Sabe-se que \(P(X\gt 7)\lt P(X\lt 6)\).

Indique um possível intervalo de amplitude unitária que contenha o valor médio da distribuição Normal. Justifique a sua resposta.

Por simetria da curva Normal, \(P(X\gt 7)=P(X\lt 2\mu-7)\). Então:

\[ P(X\gt 7)\lt P(X\lt 6)\Leftrightarrow P(X\lt 2\mu-7)\lt P(X\lt 6)\Leftrightarrow 2\mu-7\lt 6\Leftrightarrow \mu\lt 6{,}5. \]

De facto, \(\dfrac{6+7}{2}=6{,}5\): se fosse \(\mu=6{,}5\), a área à esquerda de 6 seria igual à área à direita de 7; como \(P(X\gt 7)\lt P(X\lt 6)\), tem de ser \(\mu\lt 6{,}5\).

Um possível intervalo de amplitude unitária que contém o valor médio é \(\left]5{,}5;6{,}5\right[\).

10. Idades num parque de campismo

10

De acordo com um estudo, a idade dos utentes de um determinado parque de campismo, no mês de agosto, segue uma distribuição Normal de valor médio 32 anos. Sabe-se que a probabilidade de um desses campistas ter uma idade:

  • inferior a 20 anos é igual a 0,2;
  • compreendida entre 15 e 44 anos é igual a 0,7.

Selecionou-se, ao acaso, um campista, a quem se perguntou a sua idade.

  1. 10.1. Qual é a probabilidade de esse campista ter uma idade entre 15 e 20 anos? Apresente a resposta na forma de percentagem.
  2. 10.2. Considere os acontecimentos \(C\): “A idade do campista é inferior a 44 anos.” e \(D\): “A idade do campista é superior a 32 anos.”. Qual é o valor da probabilidade condicionada \(P(C\mid D)\)? Apresente a resposta na forma de fração irredutível.

\(X\sim N(32,\sigma)\), com \(P(X\lt 20)=0{,}2\) e \(P(15\lt X\lt 44)=0{,}7\).

10.1. \(P(15\lt X\lt 20)\)

Como \(32-20=12\) e \(44-32=12\), os valores 20 e 44 estão à mesma distância de \(\mu\).

\[ P(20\lt X\lt 32)=P(X\lt 32)-P(X\lt 20)=0{,}5-0{,}2=0{,}3. \]
\[ P(20\lt X\lt 44)=2\times P(20\lt X\lt 32)=2\times0{,}3=0{,}6. \]
\[ P(15\lt X\lt 20)=P(15\lt X\lt 44)-P(20\lt X\lt 44)=0{,}7-0{,}6=0{,}1=10\%. \]
10.2. \(P(C\mid D)\)
\[ P(C\cap D)=P(32\lt X\lt 44)=P(20\lt X\lt 32)=0{,}3. \]
\[ P(D)=P(X\gt 32)=0{,}5. \]
\[ P(C\mid D)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}=\frac{0{,}3}{0{,}5}=\frac35. \]

11. Duração de um dispositivo

11

A duração de um dispositivo eletrónico, de determinada marca, em milhares de horas de funcionamento, segue uma distribuição Normal de valor médio 3,6. Relativamente a um dispositivo desta marca, considere as afirmações seguintes. Apresente, para cada uma delas, uma razão que justifique que é falsa.

  • I. A probabilidade de um dispositivo, escolhido ao acaso, ter uma duração inferior a 3600 horas é 75%.
  • II. É igualmente provável que um dispositivo, escolhido ao acaso, tenha uma duração superior a 4000 horas ou tenha uma duração inferior a 3000 horas.
  • III. Se a probabilidade de um dispositivo, escolhido ao acaso, ter uma duração superior a 3 milhares de horas for 80%, então a probabilidade de esse dispositivo durar mais de 4000 horas é inferior a 20%.

\(X\sim N(3{,}6,\sigma)\), com \(X\) em milhares de horas.

I. Falsa. \(3600\) horas \(=3{,}6=\mu\), logo \(P(X\lt 3{,}6)=P(X\lt \mu)=50\%\neq75\%\).

II. Falsa. \(4000\) horas \(=4\) e \(3000\) horas \(=3\) milhares. Como \(4-3{,}6=0{,}4\) e \(3{,}6-3=0{,}6\), o valor 3 está mais afastado de \(\mu\) do que o 4; logo \(P(X\lt 3)\lt P(X\gt 4)\) e os acontecimentos não são igualmente prováveis.

III. Falsa. Se \(P(X\gt 3)=80\%\), então \(P(X\lt 3)=20\%\). Como \(P(X\lt 3)\lt P(X\gt 4)\), vem \(P(X\gt 4)\gt 20\%\); portanto, a probabilidade de o dispositivo durar mais de 4000 horas não é inferior a 20%.

12. Dois modelos normais simétricos

12

Na figura estão representados graficamente dois modelos normais, \(N(4,a)\) e \(N(b;0{,}3)\). Os gráficos são simétricos em relação à mesma reta vertical. Qual das opções é verdadeira?

N(4; a) N(b; 0,3)
  • (A) \(a\gt 0{,}3\) e \(b=4\)
  • (B) \(a\lt 0{,}3\) e \(b=4\)
  • (C) \(a=0{,}3\) e \(b\gt 4\)
  • (D) \(a\lt 0{,}3\) e \(b\lt 4\)

Como os gráficos são simétricos em relação à mesma reta vertical, têm o mesmo valor médio, logo \(b=4\).

A curva \(N(4;a)\) é mais alta e estreita do que a curva \(N(b;0{,}3)\), o que corresponde a uma menor dispersão, ou seja, a um menor desvio-padrão. Assim, \(a\lt 0{,}3\).

Opção (B).

13. Área sombreada \(P(X\ge 4{,}4)\)

13

Na figura está representado, graficamente, o modelo normal \(N(4;0{,}3)\) de uma variável aleatória \(X\) e a região sombreada, cuja área é igual a \(P(X\ge 4{,}4)\). Em qual das opções está indicado um valor arredondado às milésimas de \(P(X\ge 4{,}4)\)?

  • (A) \(0{,}159\)
  • (B) \(0{,}909\)
  • (C) \(0{,}841\)
  • (D) \(0{,}091\)

Com \(X\sim N(4;0{,}3)\), o valor \(4{,}4\) não é um múltiplo inteiro do desvio-padrão a partir da média (\(4{,}4=4+0{,}4\), enquanto \(\mu+\sigma=4{,}3\)), pelo que se recorre à calculadora gráfica.

\[ P(X\ge 4{,}4)\approx 0{,}091. \]
Opção (D).