Segunda derivada | Matemática A

📌 Resumo teórico

O que é a segunda derivada

Se a função derivada \(f'\) for, ela própria, derivável, à derivada de \(f'\) chama-se segunda derivada de \(f\) e representa-se por \(f''\):

\[ f''=\left(f'\right)' \]

Na prática, deriva-se duas vezes seguidas: primeiro obtém-se \(f'\) e só depois se deriva a expressão obtida. Outras notações usuais são \(f^{(2)}\) e \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\).

Regras de derivação (a usar duas vezes)

\[ \begin{aligned} &\textbf{1.}\ (f\pm g)'=f'\pm g' &&\textbf{2.}\ (k\,f)'=k\,f'\ ,\ k\in\mathbb{R}\\[.35em] &\textbf{3.}\ (f\times g)'=f'\,g+f\,g' &&\textbf{4.}\ \left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}}\\[.35em] &\textbf{5.}\ (f\circ g)'(x)=f'\big(g(x)\big)\times g'(x) &&\textbf{6.}\ \left(u^{\alpha}\right)'=\alpha\,u^{\alpha-1}u'\ ,\ \alpha\in\mathbb{R} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &\textbf{7.}\ \left(e^{u}\right)'=u'\,e^{u} &&\textbf{8.}\ \left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}\\[.35em] &\textbf{9.}\ \left(\operatorname{sen} u\right)'=u'\cos u &&\textbf{10.}\ \left(\cos u\right)'=-u'\operatorname{sen} u\\[.35em] &\textbf{11.}\ \left(\tan u\right)'=\dfrac{u'}{\cos^{2}u}=u'\left(1+\tan^{2}u\right) &&\textbf{12.}\ \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}} \end{aligned} \]

Sinal da segunda derivada e sentido das concavidades

Seja \(f\) duas vezes derivável num intervalo \(I\):

\[ \begin{aligned} &f''(x)\gt 0\ \text{em}\ I &&\Longrightarrow\ \text{o gráfico de } f \text{ tem a concavidade voltada para } \textbf{cima} \text{ em } I\\[.35em] &f''(x)\lt 0\ \text{em}\ I &&\Longrightarrow\ \text{o gráfico de } f \text{ tem a concavidade voltada para } \textbf{baixo} \text{ em } I \end{aligned} \]

Repare-se que \(f''\) é a derivada de \(f'\): dizer que \(f''\gt 0\) é dizer que \(f'\) é crescente (a inclinação das retas tangentes vai aumentando) e dizer que \(f''\lt 0\) é dizer que \(f'\) é decrescente.

Pontos de inflexão

Um ponto do gráfico de \(f\) é um ponto de inflexão quando aí o gráfico muda o sentido da concavidade.

\[ \text{se } f''(a)=0 \ \textbf{e}\ f'' \text{ muda de sinal em } a \ \Longrightarrow\ \big(a,f(a)\big) \text{ é ponto de inflexão} \]

Atenção: \(f''(a)=0\) não chega. Se \(f''\) não mudar de sinal em \(a\), não há ponto de inflexão — é o que acontece, por exemplo, com \(f(x)=x^{4}\) em \(x=0\).

Método de trabalho: calcular \(f''\), determinar os seus zeros e fazer um quadro de sinal de \(f''\), lendo nele as concavidades e os pontos de inflexão.

Nota (Aprendizagens Essenciais, janeiro de 2023): o cálculo algébrico da segunda derivada abrange funções polinomiais, racionais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, com um grau de dificuldade que não ultrapassa o dos exemplos \(f(x)=x^{4}-4x^{3}+7\), \(g(x)=x^{2}\ln x\) e \(h(x)=\dfrac{e^{x}}{x}\).

No estudo das concavidades e dos pontos de inflexão (e nos problemas de otimização), o trabalho restringe-se a funções polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas e a operações entre estas.

1. Expressões da segunda derivada

Determine uma expressão da segunda derivada de cada uma das funções a seguir definidas.

1.1. \(f(x)=x^{3}-x^{2}+\pi x\)
1.2. \(g(x)=\dfrac{3x}{x-1}\)
1.3. \(h(x)=\sqrt{2x-1}\)
1.4. \(i(x)=\operatorname{sen}(2x+1)\)
1.5. \(j(x)=x\cos(x)\)
1.6. \(k(x)=\tan^{2}(x)\)
1.7. \(l(x)=x^{2}\operatorname{sen}(x)\)
1.8. \(m(x)=\operatorname{sen}(x)\cos(x)\)

Em todas as alíneas o processo é o mesmo: derivar uma vez para obter a função derivada e derivar de novo a expressão obtida.

1.1. — \(f(x)=x^{3}-x^{2}+\pi x\)

\(\pi\) é um número (constante), pelo que \((\pi x)'=\pi\).

f'(x)=3x^{2}-2x+\pi

\[ f''(x)=6x-2 \]

\(f''(x)=6x-2\ ,\ x\in\mathbb{R}\)

1.2. — \(g(x)=\dfrac{3x}{x-1}\)

Domínio: \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Regra do quociente:

g'(x)=\frac{(3x)'(x-1)-3x\,(x-1)'}{(x-1)^{2}} =\frac{3(x-1)-3x}{(x-1)^{2}} =\frac{-3}{(x-1)^{2}}

Para derivar de novo é mais rápido escrever \(g'(x)=-3\,(x-1)^{-2}\) e usar \(\left(u^{\alpha}\right)'=\alpha\,u^{\alpha-1}u'\), com \(u=x-1\) e \(u'=1\):

g''(x)=-3\times(-2)\,(x-1)^{-3}=\frac{6}{(x-1)^{3}}

\(g''(x)=\dfrac{6}{(x-1)^{3}}\ ,\ x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\)

1.3. — \(h(x)=\sqrt{2x-1}\)

Domínio de \(h\): \(2x-1\ge 0 \iff x\ge\dfrac12\). A função é derivável em \(\left]\dfrac12,+\infty\right[\).

h'(x)=\frac{(2x-1)'}{2\sqrt{2x-1}}=\frac{2}{2\sqrt{2x-1}}=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}

Escrevendo \(h'(x)=(2x-1)^{-\frac12}\) e aplicando de novo \(\left(u^{\alpha}\right)'=\alpha\,u^{\alpha-1}u'\), com \(u=2x-1\) e \(u'=2\):

h''(x)=-\frac12\,(2x-1)^{-\frac32}\times 2=-(2x-1)^{-\frac32}

\(h''(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{(2x-1)^{3}}}=-\dfrac{1}{(2x-1)\sqrt{2x-1}}\ ,\ x\gt\dfrac12\)

1.4. — \(i(x)=\operatorname{sen}(2x+1)\)

Regra da cadeia, com \(u=2x+1\) e \(u'=2\):

i'(x)=2\cos(2x+1)

i''(x)=2\times\big(-2\operatorname{sen}(2x+1)\big)=-4\operatorname{sen}(2x+1)

\(i''(x)=-4\operatorname{sen}(2x+1)\ ,\ x\in\mathbb{R}\)

1.5. — \(j(x)=x\cos(x)\)

Regra do produto:

j'(x)=1\times\cos x+x\times(-\operatorname{sen} x)=\cos x-x\operatorname{sen} x

Derivando de novo (a segunda parcela volta a ser um produto):

j''(x)=-\operatorname{sen} x-\big(1\times\operatorname{sen} x+x\cos x\big)

j''(x)=-2\operatorname{sen} x-x\cos x

\(j''(x)=-2\operatorname{sen}(x)-x\cos(x)\ ,\ x\in\mathbb{R}\)

1.6. — \(k(x)=\tan^{2}(x)\)

Domínio: \(x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\). Como \(\tan^{2}x=\left(\tan x\right)^{2}\), aplica-se \(\left(u^{2}\right)'=2u\,u'\), com \(u=\tan x\) e \(u'=1+\tan^{2}x\):

k'(x)=2\tan x\left(1+\tan^{2}x\right)

Agora é um produto. Note-se que \(\left(1+\tan^{2}x\right)'=2\tan x\left(1+\tan^{2}x\right)\):

k''(x)=2\Big[\left(1+\tan^{2}x\right)\left(1+\tan^{2}x\right)+\tan x\times 2\tan x\left(1+\tan^{2}x\right)\Big]

Pondo \(1+\tan^{2}x\) em evidência:

k''(x)=2\left(1+\tan^{2}x\right)\left(1+\tan^{2}x+2\tan^{2}x\right) =2\left(1+\tan^{2}x\right)\left(1+3\tan^{2}x\right)

Usando \(1+\tan^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}\) e \(\tan^{2}x=\dfrac{\operatorname{sen}^{2}x}{\cos^{2}x}\), obtém-se a escrita equivalente

k''(x)=\frac{2\left(1+2\operatorname{sen}^{2}x\right)}{\cos^{4}x}

\(k''(x)=2\left(1+\tan^{2}x\right)\left(1+3\tan^{2}x\right)=\dfrac{2\left(1+2\operatorname{sen}^{2}x\right)}{\cos^{4}x}\)

1.7. — \(l(x)=x^{2}\operatorname{sen}(x)\)

l'(x)=2x\operatorname{sen} x+x^{2}\cos x

Derivando cada parcela (ambas são produtos):

l''(x)=\big(2\operatorname{sen} x+2x\cos x\big)+\big(2x\cos x-x^{2}\operatorname{sen} x\big)

l''(x)=\left(2-x^{2}\right)\operatorname{sen} x+4x\cos x

\(l''(x)=\left(2-x^{2}\right)\operatorname{sen}(x)+4x\cos(x)\ ,\ x\in\mathbb{R}\)

1.8. — \(m(x)=\operatorname{sen}(x)\cos(x)\)

Regra do produto:

m'(x)=\cos x\times\cos x+\operatorname{sen} x\times(-\operatorname{sen} x)=\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x

Pela fórmula do cosseno do ângulo duplo, \(\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x=\cos(2x)\), pelo que

m''(x)=-2\operatorname{sen}(2x)

Em alternativa, sem usar o ângulo duplo, derivava-se \(\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x\) diretamente:

m''(x)=2\cos x\,(-\operatorname{sen} x)-2\operatorname{sen} x\cos x=-4\operatorname{sen} x\cos x

São a mesma expressão, porque \(\operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen} x\cos x\).

\(m''(x)=-2\operatorname{sen}(2x)=-4\operatorname{sen}(x)\cos(x)\ ,\ x\in\mathbb{R}\)

2. Concavidades e pontos de inflexão

Seja \(g\) a função derivável, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por:

g(x)=x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-5x-\pi

Estude a função \(g\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Na sua resposta, apresente:

o(s) intervalo(s) em que o gráfico da função \(g\) tem concavidade voltada para baixo;
o(s) intervalo(s) em que o gráfico da função \(g\) tem concavidade voltada para cima;
as abcissas dos pontos de inflexão do gráfico da função \(g\).

Passo 1 — primeira derivada

\(\pi\) é uma constante, logo a sua derivada é nula.

g'(x)=4x^{3}-12x^{2}+12x-5

Passo 2 — segunda derivada

g''(x)=12x^{2}-24x+12

Pondo \(12\) em evidência reconhece-se um caso notável:

g''(x)=12\left(x^{2}-2x+1\right)=12\,(x-1)^{2}

Passo 3 — zeros e sinal de \(g''\)

g''(x)=0 \iff 12\,(x-1)^{2}=0 \iff x=1

Como \((x-1)^{2}\ge 0\) para todo o \(x\), tem-se \(g''(x)\gt 0\) para \(x\ne 1\) e \(g''(1)=0\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(g''(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(+\)
gráfico de \(g\)		\(\smile\)	\(\smile\)	\(\smile\)

Passo 4 — conclusões

A segunda derivada nunca é negativa, pelo que o gráfico de \(g\) não tem nenhum intervalo com a concavidade voltada para baixo.

Como \(g''(x)\ge 0\) em \(\mathbb{R}\), anulando-se apenas no ponto isolado \(x=1\), o gráfico de \(g\) tem a concavidade voltada para cima em todo o \(\mathbb{R}\).

Em \(x=1\) a segunda derivada anula-se mas não muda de sinal (é positiva antes e depois de \(1\)), logo aí não há mudança do sentido da concavidade.

Concavidade voltada para baixo: em nenhum intervalo.

Concavidade voltada para cima: em \(\mathbb{R}\), isto é, em \(\left]-\infty,+\infty\right[\).

O gráfico de \(g\) não tem pontos de inflexão.

3. Identificar o gráfico da derivada

Considere uma função \(f\), duas vezes derivável em \(\mathbb{R}\), cujo gráfico satisfaz as seguintes condições:

\(f\) é estritamente crescente em \(\mathbb{R}\);
o gráfico de \(f\) tem um único ponto de inflexão em \(x=0\) e tem concavidade voltada para baixo em \(\mathbb{R}^{-}\) e voltada para cima em \(\mathbb{R}^{+}\).

Qual dos seguintes gráficos pode representar a função \(f'\)?

Justifique a sua resposta.

(A)

Opção A: reta horizontal situada acima do eixo Ox

(B)

Opção B: reta de declive positivo que passa na origem

(C)

Opção C: parábola com a concavidade voltada para cima e vértice na origem

(D)

Opção D: curva crescente do tipo cúbica que passa na origem, negativa à esquerda de zero

Passo 1 — traduzir as condições em propriedades de \(f'\)

Cada informação dada sobre \(f\) diz-nos alguma coisa sobre o gráfico de \(f'\):

• \(f\) é estritamente crescente em \(\mathbb{R}\) \(\Longrightarrow\) \(f'(x)\ge 0\) para todo o \(x\in\mathbb{R}\).

• concavidade voltada para baixo em \(\mathbb{R}^{-}\) \(\Longrightarrow\) \(f''\lt 0\) em \(\mathbb{R}^{-}\) \(\Longrightarrow\) \(f'\) é decrescente em \(\mathbb{R}^{-}\).

• concavidade voltada para cima em \(\mathbb{R}^{+}\) \(\Longrightarrow\) \(f''\gt 0\) em \(\mathbb{R}^{+}\) \(\Longrightarrow\) \(f'\) é crescente em \(\mathbb{R}^{+}\).

• ponto de inflexão em \(x=0\) \(\Longrightarrow\) \(f'\) passa de decrescente a crescente em \(x=0\), ou seja, \(f'\) tem aí um mínimo.

Em resumo, o gráfico de \(f'\) tem de estar sempre acima (ou sobre) o eixo \(Ox\), descer até \(x=0\) e subir a partir de \(x=0\).

Passo 2 — analisar cada opção

(A) \(f'\) seria constante, logo \(f''=0\) em \(\mathbb{R}\): o gráfico de \(f\) seria uma reta, sem concavidades nem ponto de inflexão. Não serve.

(B) \(f'\) é crescente em todo o \(\mathbb{R}\), logo \(f''\gt 0\) em \(\mathbb{R}\) e a concavidade estaria voltada para cima em todo o domínio (sem ponto de inflexão). Além disso \(f'(x)\lt 0\) para \(x\lt 0\), o que contraria \(f\) ser crescente. Não serve.

(C) \(f'\) é decrescente em \(\mathbb{R}^{-}\), crescente em \(\mathbb{R}^{+}\) e tem mínimo em \(x=0\); além disso \(f'(x)\ge 0\) para todo o \(x\). Verifica todas as condições. Serve.

(D) \(f'(x)\lt 0\) para \(x\lt 0\), pelo que \(f\) seria decrescente em \(\mathbb{R}^{-}\), contrariando o enunciado. Não serve.

Opção (C): só nesse gráfico \(f'\) é não negativa, decrescente em \(\mathbb{R}^{-}\), crescente em \(\mathbb{R}^{+}\) e com mínimo em \(x=0\) — o que corresponde a \(f\) estritamente crescente, com concavidade voltada para baixo em \(\mathbb{R}^{-}\), para cima em \(\mathbb{R}^{+}\) e um único ponto de inflexão em \(x=0\).

4. Que gráfico é o de \(g''\)?

Na figura, está representada, em referencial ortogonal \(Oxy\), parte do gráfico de uma função polinomial \(g\).

A função \(g\) tem um ponto de inflexão em \(\dfrac{1}{3}\).

Gráfico de g: curva que sobe da esquerda, vai perdendo inclinação até ficar praticamente horizontal por volta de um terço e a seguir volta a subir cada vez mais depressa

Em qual das opções pode estar representada graficamente a função \(g''\), segunda derivada da função \(g\)?

(A)

Opção A: parábola com a concavidade voltada para cima, com o vértice ligeiramente abaixo do eixo Ox

(B)

Opção B: reta de declive negativo que corta o eixo Ox num ponto de abcissa positiva

(C)

Opção C: reta de declive positivo que corta o eixo Ox num ponto de abcissa positiva

(D)

Opção D: parábola com a concavidade voltada para baixo, com o vértice ligeiramente acima do eixo Ox

Passo 1 — ler as concavidades no gráfico de \(g\)

À esquerda de \(\frac13\) a curva sobe, mas vai perdendo inclinação até ficar quase horizontal: o declive das retas tangentes está a diminuir, ou seja, \(g'\) é decrescente. A concavidade está voltada para baixo.

À direita de \(\frac13\) a curva volta a subir cada vez mais depressa: o declive das tangentes aumenta, \(g'\) é crescente e a concavidade está voltada para cima.

Confirma-se assim que \(\frac13\) é a abcissa do (único) ponto de inflexão: é aí que a concavidade muda de sentido.

Passo 2 — traduzir para o sinal de \(g''\)

• concavidade para baixo em \(\left]-\infty,\frac13\right[\) \(\Longrightarrow\) \(g''(x)\lt 0\) nesse intervalo;

• ponto de inflexão em \(x=\frac13\) \(\Longrightarrow\) \(g''\!\left(\frac13\right)=0\);

• concavidade para cima em \(\left]\frac13,+\infty\right[\) \(\Longrightarrow\) \(g''(x)\gt 0\) nesse intervalo.

Procura-se, portanto, um gráfico que esteja abaixo do eixo \(Ox\), o corte uma única vez (num valor positivo, \(\frac13\)) e fique depois acima do eixo. Em resumo: \(g''\) muda de sinal de \(-\) para \(+\), e só uma vez.

Passo 3 — analisar cada opção

(A) A parábola corta o eixo \(Ox\) em dois pontos, pelo que \(g''\) mudaria de sinal duas vezes: o gráfico de \(g\) teria dois pontos de inflexão. Não serve.

(B) A reta está acima do eixo antes do seu zero e abaixo depois: \(g''\) passaria de positiva a negativa, isto é, a concavidade passaria de cima para baixo — exatamente ao contrário do que a figura mostra. Não serve.

(C) A reta tem declive positivo e um único zero, num valor positivo: \(g''\lt 0\) antes desse zero e \(g''\gt 0\) depois. É precisamente o que se pretende. Serve.

(D) A parábola corta o eixo \(Ox\) em dois pontos e, além disso, é positiva apenas entre eles: haveria dois pontos de inflexão e a concavidade acabaria voltada para baixo. Não serve.

Há ainda um argumento mais rápido: a figura sugere que \(g\) é uma função do 3.º grau; nesse caso \(g'\) é do 2.º grau e \(g''\) é uma função afim, cujo gráfico é uma reta. Isso deixa logo de fora (A) e (D).

Opção (C): só nessa reta se tem \(g''(x)\lt 0\) antes de \(\frac13\), \(g''\!\left(\frac13\right)=0\) e \(g''(x)\gt 0\) depois de \(\frac13\).

5. Concavidades a partir da expressão de \(g'\)

Considere a função \(g\), duas vezes derivável em \(\mathbb{R}^{+}\), cuja função derivada, também de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), é definida por

g'(x)=\frac{1+\ln x}{x}

Estude a função \(g\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Passo 1 — segunda derivada

Como \(g''=\left(g'\right)'\), basta derivar a expressão dada, pela regra do quociente, com \(u=1+\ln x\) (logo \(u'=\frac{1}{x}\)) e \(v=x\) (logo \(v'=1\)):

g''(x)=\frac{\dfrac{1}{x}\times x-\left(1+\ln x\right)\times 1}{x^{2}} =\frac{1-1-\ln x}{x^{2}} =\frac{-\ln x}{x^{2}}

Passo 2 — zeros de \(g''\)

Uma fração é nula quando o numerador é nulo (o denominador nunca se anula em \(\mathbb{R}^{+}\)):

g''(x)=0 \iff -\ln x=0 \iff \ln x=0 \iff x=1

E \(1\in\mathbb{R}^{+}\), pelo que é um candidato a abcissa de ponto de inflexão.

Passo 3 — quadro de sinal de \(g''\)

Em \(\mathbb{R}^{+}\) tem-se \(x^{2}\gt 0\), pelo que o sinal de \(g''\) é o sinal de \(-\ln x\). Ora \(\ln x\lt 0\) para \(0\lt x\lt 1\) e \(\ln x\gt 0\) para \(x\gt 1\), logo \(-\ln x\) tem os sinais trocados.

\(x\)		\(1\)
\(-\ln x\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(x^{2}\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(g''(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
gráfico de \(g\)	\(\smile\)	P.I.	\(\frown\)

Passo 4 — conclusões

A segunda derivada anula-se em \(x=1\) e muda de sinal (de \(+\) para \(-\)), pelo que aí o gráfico muda o sentido da concavidade.

O gráfico de \(g\) tem a concavidade voltada para cima em \(\left]0,\,1\right]\) e voltada para baixo em \(\left[1,\,+\infty\right[\).

Tem um único ponto de inflexão, de abcissa \(1\).

Nota: o enunciado dá apenas \(g'\), pelo que não se conhece \(g(1)\) — indica-se só a abcissa do ponto de inflexão. (De facto, \(g(x)=\frac{1}{2}\ln^{2}x+\ln x+c\), com \(c\) arbitrário: há uma infinidade de funções \(g\) nas condições do enunciado, todas com ponto de inflexão em \(x=1\).)

6. Sinal de produtos com \(f'\) e \(f''\)

Na figura, está representado, em referencial ortogonal \(Oxy\), parte do gráfico de uma função polinomial \(f\).

Gráfico de f: curva que sobe da esquerda, tem um máximo relativo à esquerda do eixo Oy, desce até um mínimo relativo situado à direita da origem e acima do eixo Ox, e depois volta a subir

A função \(f\) tem um ponto de inflexão em \(0\).

Qual das opções representa um número real positivo?

(A) \(f'(0)\times f''(0)\)
(C) \(f''(-1)\times f''(1)\)
(B) \(f''(1)\times f(1)\)
(D) \(f'(0)\times f'(1)\)

Passo 1 — o que se lê no gráfico

• \(f\) tem um máximo relativo num ponto de abcissa negativa e um mínimo relativo num ponto de abcissa positiva; entre essas duas abcissas \(f\) é decrescente. Como \(0\) está entre elas, \(f'(0)\lt 0\).

• \(0\) é a abcissa do ponto de inflexão, logo \(f''(0)=0\).

• À esquerda de \(0\) a concavidade está voltada para baixo e à direita para cima; como o ponto de inflexão é único, \(f''(x)\lt 0\) para \(x\lt 0\) e \(f''(x)\gt 0\) para \(x\gt 0\).

• Para \(x\gt 0\) o gráfico está acima do eixo \(Ox\) — mesmo no mínimo relativo —, logo \(f(1)\gt 0\).

Passo 2 — analisar cada opção

(A) \(f''(0)=0\), pelo que \(f'(0)\times f''(0)=0\). O zero não é um número positivo. Não serve.

(B) Como \(1\gt 0\), tem-se \(f''(1)\gt 0\); e, pelo gráfico, \(f(1)\gt 0\). O produto de dois números positivos é positivo. Serve.

(C) \(f''(-1)\lt 0\) (à esquerda do ponto de inflexão) e \(f''(1)\gt 0\) (à direita): o produto é negativo. Não serve.

(D) \(f'(0)\lt 0\). O produto só seria positivo se também fosse \(f'(1)\lt 0\), isto é, se \(x=1\) ainda estivesse entre as abcissas dos dois extremos relativos. Mas o mínimo relativo está pouco à direita da origem, pelo que em \(x=1\) a função já é crescente e \(f'(1)\gt 0\): o produto é negativo. Não serve.

Repare-se que a opção (B) é a única que se pode garantir sem saber onde exatamente se situam os extremos: à direita do ponto de inflexão a concavidade está voltada para cima e o gráfico está acima do eixo \(Ox\), e isso basta.

Opção (B): \(f''(1)\gt 0\) e \(f(1)\gt 0\), logo \(f''(1)\times f(1)\gt 0\).

7. Concavidades de \(x^{2}e^{x}\)

Considere a função \(g\), definida em \(\mathbb{R}\), por \(g(x)=x^{2}e^{x}\).

Estude a função \(g\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Passo 1 — primeira derivada

Regra do produto, com \(\left(e^{x}\right)'=e^{x}\):

g'(x)=2x\,e^{x}+x^{2}e^{x}=\left(x^{2}+2x\right)e^{x}

Passo 2 — segunda derivada

Deriva-se de novo, também pela regra do produto:

g''(x)=\left(2x+2\right)e^{x}+\left(x^{2}+2x\right)e^{x} =\left(x^{2}+4x+2\right)e^{x}

Passo 3 — zeros de \(g''\)

Como \(e^{x}\gt 0\) para todo o \(x\in\mathbb{R}\), o produto só se anula quando se anula o outro fator:

g''(x)=0 \iff x^{2}+4x+2=0 \iff x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{2} =\frac{-4\pm 2\sqrt{2}}{2} =-2\pm\sqrt{2}

Ou seja, \(x=-2-\sqrt{2}\approx -3{,}41\) ou \(x=-2+\sqrt{2}\approx -0{,}59\).

Passo 4 — quadro de sinal de \(g''\)

O sinal de \(g''\) é o sinal do polinómio \(x^{2}+4x+2\), cujo gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima: é positivo fora das raízes e negativo entre elas.

\(x\)		\(-2-\sqrt{2}\)		\(-2+\sqrt{2}\)
\(x^{2}+4x+2\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(e^{x}\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(g''(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
gráfico de \(g\)	\(\smile\)	P.I.	\(\frown\)	P.I.	\(\smile\)

Passo 5 — conclusões

Em ambos os zeros a segunda derivada muda de sinal, pelo que em ambos há mudança do sentido da concavidade.

Concavidade voltada para cima em \(\left]-\infty,\,-2-\sqrt{2}\right]\) e em \(\left[-2+\sqrt{2},\,+\infty\right[\).

Concavidade voltada para baixo em \(\left[-2-\sqrt{2},\,-2+\sqrt{2}\right]\).

Dois pontos de inflexão, de abcissas \(-2-\sqrt{2}\) e \(-2+\sqrt{2}\).

As ordenadas, caso sejam pedidas, obtêm-se de \(\left(-2\pm\sqrt{2}\right)^{2}=6\pm 4\sqrt{2}\):

g\left(-2-\sqrt{2}\right)=\left(6+4\sqrt{2}\right)e^{-2-\sqrt{2}} \qquad\text{e}\qquad g\left(-2+\sqrt{2}\right)=\left(6-4\sqrt{2}\right)e^{-2+\sqrt{2}}

8. Resolver \(f'(x)\times f''(x)\gt 0\)

Na figura, está representado, em referencial ortogonal \(Oxy\), parte do gráfico de uma função polinomial \(f\).

Gráfico de f: curva que sobe da esquerda até um máximo relativo no ponto de abcissa menos 2, desce passando pelo ponto de inflexão de abcissa menos 1 até um mínimo relativo na origem, e depois volta a subir

A função \(f\) tem um ponto de inflexão em \(-1\) e tem extremos relativos em \(x=-2\) e em \(x=0\).

Determine o conjunto-solução da condição \(f'(x)\times f''(x)\gt 0\).

Um produto é positivo quando os dois fatores têm o mesmo sinal. Trata-se, portanto, de determinar separadamente o sinal de \(f'\) e o sinal de \(f''\) e depois cruzá-los num quadro.

Passo 1 — sinal de \(f'\) (dado pela monotonia de \(f\))

Do gráfico: \(f\) é crescente em \(\left]-\infty,-2\right]\), decrescente em \(\left[-2,0\right]\) e crescente em \(\left[0,+\infty\right[\). Nos extremos relativos a derivada anula-se.

\(f'(x)\gt 0 \iff x\in\left]-\infty,-2\right[\cup\left]0,+\infty\right[\) ; \(\quad f'(x)\lt 0 \iff x\in\left]-2,0\right[\) ; \(\quad f'(-2)=f'(0)=0\)

Passo 2 — sinal de \(f''\) (dado pelas concavidades)

O gráfico tem um único ponto de inflexão, de abcissa \(-1\): antes dele a concavidade está voltada para baixo e depois para cima.

\(f''(x)\lt 0 \iff x\in\left]-\infty,-1\right[\) ; \(\quad f''(x)\gt 0 \iff x\in\left]-1,+\infty\right[\) ; \(\quad f''(-1)=0\)

Passo 3 — quadro do produto

\(x\)		\(-2\)		\(-1\)		\(0\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f''(x)\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(f'(x)\times f''(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)

Passo 4 — leitura do quadro

O produto é positivo em dois intervalos:

• em \(\left]-2,-1\right[\), onde \(f'\lt 0\) e \(f''\lt 0\) (\(f\) decrescente com concavidade para baixo);

• em \(\left]0,+\infty\right[\), onde \(f'\gt 0\) e \(f''\gt 0\) (\(f\) crescente com concavidade para cima).

Os pontos \(-2\), \(-1\) e \(0\) ficam de fora porque aí um dos fatores é nulo e o produto é \(0\), não sendo positivo.

\(C.S.=\left]-2,\,-1\right[\ \cup\ \left]0,\,+\infty\right[\)

9. Concavidades a partir do gráfico de \(f'\)

Considere a função \(f\), duas vezes derivável em \(\mathbb{R}\), cuja função derivada está representada, em referencial cartesiano \(Oxy\), na figura.

Gráfico da função derivada f linha: curva que vem da esquerda praticamente colada ao eixo Ox, por valores negativos, desce até um mínimo no ponto de abcissa 1 e depois sobe rapidamente, cortando o eixo Ox no ponto de abcissa 2

Como a figura sugere, a função \(f'\):

tem um único zero em \(x=2\);
tem um único extremo absoluto em \(x=1\).

Estude a função \(f\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Passo 1 — o que é preciso olhar no gráfico

As concavidades do gráfico de \(f\) dependem do sinal de \(f''\). Como \(f''=\left(f'\right)'\), o sinal de \(f''\) é dado pela monotonia de \(f'\):

\(f'\) crescente \(\iff f''\gt 0 \iff\) concavidade voltada para cima;

\(f'\) decrescente \(\iff f''\lt 0 \iff\) concavidade voltada para baixo.

Atenção: o que interessa neste estudo é se o gráfico de \(f'\) sobe ou desce, e não se está acima ou abaixo do eixo \(Ox\). O zero de \(f'\) em \(x=2\) diz respeito aos extremos de \(f\), não às concavidades — é um erro frequente usá-lo aqui.

Passo 2 — monotonia de \(f'\)

A figura mostra que \(f'\) desce até \(x=1\) e sobe a partir de \(x=1\), onde tem o seu mínimo absoluto. Como \(f'\) é derivável (\(f\) é duas vezes derivável), nesse mínimo a sua derivada anula-se: \(f''(1)=0\).

Passo 3 — quadro de sinal de \(f''\)

\(x\)		\(1\)
\(f'(x)\)	\(\searrow\)	mín.	\(\nearrow\)
\(f''(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
gráfico de \(f\)	\(\frown\)	P.I.	\(\smile\)

Passo 4 — conclusões

A segunda derivada anula-se em \(x=1\) e muda de sinal, de \(-\) para \(+\): há mudança do sentido da concavidade.

O gráfico de \(f\) tem a concavidade voltada para baixo em \(\left]-\infty,\,1\right]\) e voltada para cima em \(\left[1,\,+\infty\right[\).

Tem um único ponto de inflexão, de abcissa \(1\).

Só a título de comparação (não era pedido): como \(f'(x)\lt 0\) para \(x\lt 2\) e \(f'(x)\gt 0\) para \(x\gt 2\), a função \(f\) é decrescente em \(\left]-\infty,2\right]\), crescente em \(\left[2,+\infty\right[\) e tem um mínimo em \(x=2\) — que nada tem a ver com o ponto de inflexão em \(x=1\).