Função logarítmica | Matemática A

📌 Resumo teórico

Definição

Dado \(a\in\mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}\), a função logaritmo de base \(a\), \(\log_a:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}\), é a função inversa da função exponencial \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{+}\), \(f(x)=a^{x}\):

\[ a^{x}=y \iff x=\log_a y \]

Por palavras: \(\log_a b\) é o expoente a que é preciso elevar \(a\) para obter \(b\). Daí resulta a igualdade \(a^{\log_a b}=b\).

Como \(\log_a\) é a inversa de \(x\mapsto a^{x}\), os dois gráficos são simétricos relativamente à reta \(y=x\), e o domínio de uma é o contradomínio da outra.

Regras operatórias

\[ \begin{aligned} &\textbf{1.}\ a^{\log_a x}=x\ ,\ x\in\mathbb{R}^{+} &&\textbf{2.}\ \log_a\left(a^{x}\right)=x\ ,\ x\in\mathbb{R}\\[.35em] &\textbf{3.}\ \log_a 1=0 &&\textbf{4.}\ \log_a a=1\\[.35em] &\textbf{5.}\ \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y &&\textbf{6.}\ \log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y\\[.35em] &\textbf{7.}\ \log_a\left(\dfrac1x\right)=-\log_a x &&\textbf{8.}\ \log_a\left(x^{k}\right)=k\log_a x\ ,\ k\in\mathbb{R} \end{aligned} \]

Nas regras 5 a 8, \(x\) e \(y\) são números reais positivos.

Logaritmo decimal, logaritmo neperiano e mudança de base

O logaritmo de base \(10\) chama-se logaritmo decimal e escreve-se \(\log x\); o logaritmo de base \(e\) chama-se logaritmo neperiano e escreve-se \(\ln x\).

\[ \log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a} \qquad\text{e, em particular,}\qquad \log_a x=\frac{\log x}{\log a}=\frac{\ln x}{\ln a} \]

\[ a^{x}=e^{\,x\ln a} \]

Estudo da função \(f(x)=\log_a x\)

O domínio é \(\mathbb{R}^{+}\), o contradomínio é \(\mathbb{R}\) e o único zero é \(x=1\) (qualquer que seja a base). A reta \(x=0\) é assíntota vertical do gráfico.

	\(a\gt 1\)	\(0\lt a\lt 1\)
Monotonia	crescente	decrescente
\(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\log_a x\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\log_a x\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)
\(\log_a x\gt 0\)	\(x\gt 1\)	\(0\lt x\lt 1\)

Atenção ao domínio: antes de aplicar as regras operatórias convém sempre determinar o domínio, porque \(\log_a x\) só está definido para \(x\gt 0\). Por exemplo, \(\log_2(x-2)+\log_2(x+2)\) tem domínio \(\left]2,+\infty\right[\), embora \(\log_2\left(x^{2}-4\right)\) esteja definido também para \(x\lt -2\).

1. Funções inversas

Escreva as expressões das funções inversas das funções a seguir definidas e identifique o domínio e o contradomínio de cada função e da sua inversa.

1.1. \(f(x)=5^{x}\)
1.2. \(g(x)=e^{x}\)
1.3. \(h(x)=\log_3 x\)
1.4. \(i(x)=\log x\)

A função logarítmica de base \(a\) é a inversa da função exponencial de base \(a\), e vice-versa. Em cada caso, o domínio de uma é o contradomínio da outra.

1.1.

y=5^{x} \iff x=\log_5 y \implies f^{-1}(x)=\log_5 x

\(D_f=\mathbb{R}\) e \(D'_f=\mathbb{R}^{+}\) • \(D_{f^{-1}}=\mathbb{R}^{+}\) e \(D'_{f^{-1}}=\mathbb{R}\)

1.2.

A base é o número \(e\), pelo que a inversa é o logaritmo neperiano.

g^{-1}(x)=\ln x

\(D_g=\mathbb{R}\) e \(D'_g=\mathbb{R}^{+}\) • \(D_{g^{-1}}=\mathbb{R}^{+}\) e \(D'_{g^{-1}}=\mathbb{R}\)

1.3.

y=\log_3 x \iff x=3^{y} \implies h^{-1}(x)=3^{x}

\(D_h=\mathbb{R}^{+}\) e \(D'_h=\mathbb{R}\) • \(D_{h^{-1}}=\mathbb{R}\) e \(D'_{h^{-1}}=\mathbb{R}^{+}\)

1.4.

\(\log x\) é o logaritmo decimal, isto é, de base \(10\).

i^{-1}(x)=10^{x}

\(D_i=\mathbb{R}^{+}\) e \(D'_i=\mathbb{R}\) • \(D_{i^{-1}}=\mathbb{R}\) e \(D'_{i^{-1}}=\mathbb{R}^{+}\)

2. Cálculo de expressões

Calcule, sem recorrer à calculadora, o valor das seguintes expressões.

2.1. \(\log_3 45-\log_3 5\)
2.2. \(2\ln(5e)-\ln 25\)
2.3. \(e^{\ln 3+\ln 4}\)
2.4. \(\log_5 10+\log_5 15-\log_5 6\)
2.5. \(\log_9 \sqrt3+\log_9 \sqrt{27}\)
2.6. \(2^{\,\log_2 7\,\times\,\log_7 3}\)

2.1. — logaritmo do quociente

\log_3 45-\log_3 5=\log_3\frac{45}{5}=\log_3 9=\log_3 3^{2}=2

2.2.

Começa-se por separar \(\ln(5e)\) e por escrever \(25=5^{2}\).

\begin{aligned} 2\ln(5e)-\ln 25 &=2\big(\ln 5+\ln e\big)-\ln 5^{2}\\ &=2\ln 5+2-2\ln 5=2 \end{aligned}

2.3.

e^{\ln 3+\ln 4}=e^{\ln(3\times 4)}=e^{\ln 12}=12

2.4.

\log_5 10+\log_5 15-\log_5 6 =\log_5\frac{10\times 15}{6} =\log_5 25=2

2.5.

\log_9\sqrt3+\log_9\sqrt{27} =\log_9\left(\sqrt3\times\sqrt{27}\right) =\log_9\sqrt{81}=\log_9 9=1

2.6. — mudança de base

Pela fórmula da mudança de base, \(\log_7 3=\dfrac{\log_2 3}{\log_2 7}\). Logo:

\log_2 7\times\log_7 3=\log_2 7\times\frac{\log_2 3}{\log_2 7}=\log_2 3

2^{\,\log_2 7\,\times\,\log_7 3}=2^{\log_2 3}=3

2.1) \(2\) • 2.2) \(2\) • 2.3) \(12\) • 2.4) \(2\) • 2.5) \(1\) • 2.6) \(3\)

3. Propriedades dos logaritmos

3.1. Seja \(a\) um número real maior do que \(1\). Qual é o valor de \(\log_a\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{a^{4}}}\right)\)?
- (A) \(-\dfrac43\)
- (C) \(\dfrac34\)
- (B) \(-\dfrac34\)
- (D) \(\dfrac43\)
3.2. Seja \(a\) um número real maior do que \(1\). Qual é o valor de \(\log_a\left(a\times\sqrt[3]{a^{2}}\right)\)?
- (A) \(\dfrac23\)
- (C) \(\dfrac35\)
- (B) \(\dfrac53\)
- (D) \(\dfrac83\)
3.3. Sejam \(a\), \(b\) e \(c\) três números reais superiores a \(1\), tais que \(\log_a b=c\). Qual é o valor de \(\log_a\left(a^{2}\sqrt[3]{b}\right)\)?
- (A) \(2+c\)
- (C) \(\dfrac{2c}{3}\)
- (B) \(2+\dfrac13 c\)
- (D) \(a+\dfrac13 c\)

Em todas as alíneas se começa por escrever o argumento como uma potência de base \(a\) e se usa \(\log_a\left(a^{k}\right)=k\).

3.1.

\log_a\left(\frac{1}{\sqrt[3]{a^{4}}}\right) =\log_a\left(\frac{1}{a^{\frac43}}\right) =\log_a\left(a^{-\frac43}\right)=-\frac43

Opção (A)

3.2.

\log_a\left(a\times\sqrt[3]{a^{2}}\right) =\log_a\left(a^{1}\times a^{\frac23}\right) =\log_a\left(a^{\frac53}\right)=\frac53

Opção (B)

3.3.

Agora o argumento não é uma potência de \(a\): separa-se o produto e usa-se \(\log_a b=c\).

\begin{aligned} \log_a\left(a^{2}\sqrt[3]{b}\right) &=\log_a\left(a^{2}\right)+\log_a\left(b^{\frac13}\right)\\ &=2+\frac13\log_a b\\ &=2+\frac13 c \end{aligned}

A opção (D) é o erro típico de trocar \(\log_a\left(a^{2}\right)=2\) por \(a\).

Opção (B)

4. Relações entre duas bases

4.1. Para certos valores reais de \(a\) e de \(b\), superiores a \(1\), tem-se que \(\log_a\left(\dfrac{b}{a}\right)=4\). Qual é o valor de \(\log_a\left(\dfrac{\sqrt[3]{a}}{b^{2}}\right)\)?
- (A) \(-\dfrac{29}{3}\)
- (C) \(-\dfrac{19}{3}\)
- (B) \(-\dfrac{28}{3}\)
- (D) \(-\dfrac{20}{3}\)
4.2. Dados dois números reais superiores a \(1\), sabe-se que \(a=b^{3}\). Qual é o valor de \(\log_a b+\log_b a\)?
- (A) \(3\)
- (C) \(\dfrac43\)
- (B) \(\dfrac{10}{3}\)
- (D) \(4\)
4.3. Dados dois números reais superiores a \(1\), sabe-se que \(\log_a b=4\). Qual é o valor de \(\log_b(a\times b)\)?
- (A) \(\dfrac54\)
- (C) \(5\)
- (B) \(\dfrac45\)
- (D) \(\dfrac94\)

4.1. — primeiro, determinar \(\log_a b\)

\log_a\left(\frac{b}{a}\right)=4 \iff \log_a b-\log_a a=4 \iff \log_a b-1=4 \iff \log_a b=5

Agora decompõe-se a expressão pedida:

\begin{aligned} \log_a\left(\frac{\sqrt[3]{a}}{b^{2}}\right) &=\log_a\left(a^{\frac13}\right)-\log_a\left(b^{2}\right)\\ &=\frac13-2\log_a b\\ &=\frac13-2\times 5=\frac13-10=-\frac{29}{3} \end{aligned}

Opção (A)

4.2. — bases trocadas

De \(a=b^{3}\) vem imediatamente \(\log_b a=3\). Por outro lado, \(b=a^{\frac13}\), logo \(\log_a b=\dfrac13\).

\log_a b+\log_b a=\frac13+3=\frac{10}{3}

Em geral, \(\log_b a=\dfrac{1}{\log_a b}\) — o que é imediato pela fórmula da mudança de base.

Opção (B)

4.3.

De \(\log_a b=4\) resulta \(\log_b a=\dfrac14\). Então:

\log_b(a\times b)=\log_b a+\log_b b=\frac14+1=\frac54

Opção (A)

5. Domínio e equação

Seja \(f(x)=\log_2(x-3)+\log_2(x+3)\) a expressão analítica da função \(f\).

5.1. Determine o domínio da função \(f\).
5.2. Mostre que, para todo o \(x\in D_f\), se tem \(f(x)=\log_2\left(x^{2}-9\right)\).
5.3. Determine a abcissa do ponto de interseção do gráfico de \(f\) com a reta de equação \(y=4\).

5.1.

Um logaritmo só está definido para argumentos positivos, pelo que as duas condições têm de se verificar simultaneamente:

x-3\gt 0 \ \land\ x+3\gt 0 \iff x\gt 3 \ \land\ x\gt -3 \iff x\gt 3

\(D_f=\left]3,\,+\infty\right[\)

5.2.

Para \(x\in D_f\), ambos os argumentos são positivos e pode aplicar-se a regra do logaritmo do produto:

f(x)=\log_2(x-3)+\log_2(x+3)=\log_2\big[(x-3)(x+3)\big]=\log_2\left(x^{2}-9\right)

Note-se que a igualdade só é válida no domínio de \(f\): a expressão \(\log_2\left(x^{2}-9\right)\), isolada, também estaria definida para \(x\lt -3\).

5.3.

\begin{aligned} f(x)=4 &\iff \log_2\left(x^{2}-9\right)=4 \ \land\ x\gt 3\\ &\iff x^{2}-9=2^{4} \ \land\ x\gt 3\\ &\iff x^{2}=25 \ \land\ x\gt 3\\ &\iff \left(x=5 \ \lor\ x=-5\right) \ \land\ x\gt 3 \end{aligned}

O valor \(-5\) não pertence ao domínio de \(f\), pelo que é de rejeitar.

A abcissa do ponto de interseção é \(x=5\).

6. Ponto do gráfico da inversa

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(f(x)=\ln(3x)\).

Qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico de \(f^{-1}\)?

(A) \((\ln 3,\ e)\)
(C) \((e+\ln 3,\ e)\)
(B) \((1+\ln 3,\ e)\)
(D) \((e\times\ln 3,\ e)\)

Estratégia — trocar as coordenadas

Todas as opções têm ordenada \(e\). Ora, o ponto \((t,\,e)\) pertence ao gráfico de \(f^{-1}\) se, e só se, o ponto \((e,\,t)\) pertence ao gráfico de \(f\). Basta então calcular \(f(e)\).

t=f(e)=\ln(3e)=\ln 3+\ln e=\ln 3+1

Confirmação pela expressão da inversa

y=\ln(3x) \iff 3x=e^{\,y} \iff x=\frac{e^{\,y}}{3} \implies f^{-1}(x)=\frac{e^{x}}{3}

f^{-1}(1+\ln 3)=\frac{e^{1+\ln 3}}{3}=\frac{e\times e^{\ln 3}}{3}=\frac{3e}{3}=e

Opção (B)

7. Determinar a base

7.1. Considere a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(g(x)=\log_a x\), com \(a\in\mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}\). Sabe-se que \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} g(x)=-\infty\).
Qual dos seguintes pode ser o valor de \(a\)?
- (A) \(3\)
- (C) \(\dfrac13\)
- (B) \(\dfrac52\)
- (D) \(1\)
7.2. Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(f(x)=\log_a x\), com \(a\in\mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}\). O ponto \((16,\,4)\) pertence ao gráfico de \(f\). Determine o valor de \(a\).

7.1.

A função logarítmica tende para \(-\infty\) quando \(x\to +\infty\) apenas quando é decrescente, isto é, quando \(0\lt a\lt 1\).

Das opções apresentadas, só \(\dfrac13\) está entre \(0\) e \(1\). (A opção (D) está sempre excluída, porque a base não pode ser \(1\).)

Opção (C)

7.2.

f(16)=4 \iff \log_a 16=4 \iff a^{4}=16

Como \(a\gt 0\), a equação \(a^{4}=16\) tem uma única solução admissível:

a^{4}=2^{4} \ \land\ a\gt 0 \iff a=2

O valor \(a=2\) verifica também \(a\neq 1\), pelo que é admissível.

\(a=2\)

8. Área de um triângulo

Considere, num referencial \(Oxy\), a função \(f\), de domínio \(\left]2,+\infty\right[\), definida por \(f(x)=\ln(x-2)\).

Seja \(A\) o ponto de interseção do gráfico de \(f\) com o eixo das abcissas e seja \(P\) um ponto do gráfico de \(f\) com abcissa superior à de \(A\). O ponto \(O\) é a origem do referencial.

Determine a abcissa do ponto \(P\) para a qual a área do triângulo \([OAP]\) é igual a \(3\).

Passo 1 — o ponto \(A\)

O ponto \(A\) tem ordenada nula:

\ln(x-2)=0 \iff x-2=e^{0} \iff x-2=1 \iff x=3

Logo \(A(3,\,0)\) e \(\overline{OA}=3\).

Passo 2 — a área do triângulo

Tomando \([OA]\) para base, que está sobre o eixo \(Ox\), a altura correspondente é a ordenada de \(P\). Sendo \(x_P\) a abcissa de \(P\), tem-se altura \(=\ln(x_P-2)\), valor positivo porque \(x_P\gt 3\).

A_{[OAP]}=\frac{\overline{OA}\times \ln(x_P-2)}{2}=\frac{3\ln(x_P-2)}{2}

Passo 3 — resolver a equação

\begin{aligned} \frac{3\ln(x_P-2)}{2}=3 &\iff \ln(x_P-2)=2\\ &\iff x_P-2=e^{2}\\ &\iff x_P=2+e^{2} \end{aligned}

Como \(2+e^{2}\approx 9{,}39\gt 3\), o valor obtido é admissível.

\(x_P=2+e^{2}\)

9. Área do triângulo \([ABC]\)

Considere, num referencial \(Oxy\), a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(f(x)=\ln(5x)\).

Sejam \(A\) um ponto do gráfico de \(f\) de abcissa \(a\), com \(a\gt\dfrac15\), e \(C\) o ponto do gráfico cuja abcissa é o quádruplo da abcissa do ponto \(A\).

O ponto \(B\) tem a mesma abcissa que o ponto \(C\) e a mesma ordenada que o ponto \(A\).

Qual das seguintes expressões dá, em função de \(a\), a área do triângulo \([ABC]\)?

(A) \(\dfrac{3a\ln 4}{2}\)
(C) \(\dfrac{3a\ln 5}{2}\)
(B) \(3a\ln 4\)
(D) \(3a\ln 5\)

Passo 1 — coordenadas dos três pontos

A\big(a,\ \ln(5a)\big) \qquad C\big(4a,\ \ln(20a)\big) \qquad B\big(4a,\ \ln(5a)\big)

Como \(A\) e \(B\) têm a mesma ordenada, o lado \([AB]\) é horizontal; como \(B\) e \(C\) têm a mesma abcissa, o lado \([BC]\) é vertical. O triângulo é retângulo em \(B\).

Passo 2 — comprimento dos catetos

\overline{AB}=4a-a=3a

\overline{BC}=\ln(20a)-\ln(5a)=\ln\frac{20a}{5a}=\ln 4

Repare-se que \(\overline{BC}\) não depende de \(a\): é sempre \(\ln 4\).

Passo 3 — área

A_{[ABC]}=\frac{\overline{AB}\times\overline{BC}}{2}=\frac{3a\ln 4}{2}

Opção (A)

10. Sinal de um produto de logaritmos

Seja \(k\) um número real positivo. Considere a função \(g\), de domínio \(\left]0,+\infty\right[\), definida por \(g(x)=\ln x\).

Mostre que se \(g(k)\times g(3k)\lt 0\), então \(k\in\left]\dfrac13,\,1\right[\).

Na resolução deste item, não utilize a calculadora.

Passo 1 — o que significa o produto ser negativo

Como \(k\gt 0\), também \(3k\gt 0\), pelo que \(g(k)=\ln k\) e \(g(3k)=\ln(3k)\) estão definidos. Um produto é negativo quando os dois fatores têm sinais contrários:

\ln k\times\ln(3k)\lt 0 \iff \big(\ln k\lt 0 \ \land\ \ln(3k)\gt 0\big) \ \lor\ \big(\ln k\gt 0 \ \land\ \ln(3k)\lt 0\big)

Recorde-se que \(\ln\) é crescente e que \(\ln 1=0\), pelo que \(\ln t\gt 0 \iff t\gt 1\) e \(\ln t\lt 0 \iff 0\lt t\lt 1\).

Passo 2 — primeiro caso

\begin{aligned} \ln k\lt 0 \ \land\ \ln(3k)\gt 0 &\iff 0\lt k\lt 1 \ \land\ 3k\gt 1\\ &\iff 0\lt k\lt 1 \ \land\ k\gt\frac13\\ &\iff \frac13\lt k\lt 1 \end{aligned}

Passo 3 — segundo caso

\begin{aligned} \ln k\gt 0 \ \land\ \ln(3k)\lt 0 &\iff k\gt 1 \ \land\ 0\lt 3k\lt 1\\ &\iff k\gt 1 \ \land\ k\lt\frac13 \end{aligned}

Estas duas condições são incompatíveis, pelo que este caso é impossível.

Conclusão

Resta apenas o primeiro caso, ou seja, \(\dfrac13\lt k\lt 1\).

Se \(g(k)\times g(3k)\lt 0\), então \(k\in\left]\dfrac13,\,1\right[\), como se pretendia mostrar.

11. Valor de uma expressão com logaritmos

Calcule:

\log_{10}\sqrt{10}+2\log_{2}16-\frac12\log_{5}\left(\frac15\right)

Calcula-se cada logaritmo em separado, usando \(\log_a\left(a^{p}\right)=p\).

1.ª parcela

Como \(\sqrt{10}=10^{\frac12}\):

\log_{10}\sqrt{10}=\log_{10}10^{\frac12}=\frac12

2.ª parcela

Como \(16=2^{4}\):

2\log_{2}16=2\log_{2}2^{4}=2\times 4=8

3.ª parcela

Como \(\dfrac15=5^{-1}\):

-\frac12\log_{5}\left(\frac15\right)=-\frac12\log_{5}5^{-1} =-\frac12\times(-1)=\frac12

Somar

\frac12+8+\frac12=9

O valor da expressão é \(9\).

12. Equações logarítmicas simples

Determine \(x\) tal que:

12.1. \(\log_{2}(x-3)=1\)
12.2. \(\log_{2}\left(\log x\right)=1\)

12.1. — domínio

O argumento de um logaritmo tem de ser positivo:

x-3\gt 0 \iff x\gt 3

12.1. — resolver

Pela definição de logaritmo, \(\log_a b=c \iff a^{c}=b\):

\log_{2}(x-3)=1 \iff x-3=2^{1} \iff x=5

Como \(5\gt 3\), a solução é válida.

\(x=5\)

12.2. — domínio

Aqui \(\log\) é o logaritmo de base \(10\). São precisas duas condições: o argumento do logaritmo interior positivo e o do exterior também.

x\gt 0 \ \wedge\ \log x\gt 0 \iff x\gt 0 \ \wedge\ x\gt 1 \iff x\gt 1

12.2. — resolver

Aplica-se a definição duas vezes, «de fora para dentro»:

\log_{2}\left(\log x\right)=1 \iff \log x=2^{1} \iff \log x=2

\iff x=10^{2} \iff x=100

Como \(100\gt 1\), a solução é válida.

\(x=100\)

13. Simplificar uma expressão

Simplifique a expressão:

\ln\left(\frac{1}{x}\right)-10^{\,\log x+\log 2}

A expressão só está definida para \(x\gt 0\).

1.ª parcela

Usando \(\ln\left(\dfrac1x\right)=\ln\left(x^{-1}\right)=-\ln x\):

\ln\left(\frac{1}{x}\right)=-\ln x

2.ª parcela — juntar os logaritmos

No expoente aplica-se \(\log a+\log b=\log(ab)\):

\log x+\log 2=\log(2x)

E agora \(10^{\log b}=b\), porque a exponencial de base \(10\) e o logaritmo decimal são funções inversas:

10^{\,\log(2x)}=2x

Juntar tudo

\ln\left(\frac{1}{x}\right)-10^{\,\log x+\log 2}=-\ln x-2x

\(-\ln x-2x=-\left(\ln x+2x\right)\ ,\qquad x\gt 0\)

14. Comparar \(\ln x\) com \(\log x\)

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

Gráficos de y = ln x e de y = log x, que se intersetam em x = 1, com ln e = 1 e log 10 = 1 assinalados

(A) \(\ln x\gt\log(x)\ ,\ \forall x\gt 0\)
(B) Se \(x\gt 1\), então \(\ln x=\log x\).
(C) Se \(x\lt 1\), então \(\log x\gt\ln x\).
(D) Se \(x\gt 1\), então \(\log x\gt\ln x\).

Passo 1 — relacionar as duas funções

Pela fórmula da mudança de base:

\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}\ ,\qquad \ln 10\approx 2{,}3

Ou seja, \(\log x\) obtém-se dividindo \(\ln x\) por um número maior do que \(1\): o resultado fica sempre mais perto de zero. Daí que:

• para \(x\gt 1\) (ambos positivos): \(\log x\lt\ln x\);

• para \(x=1\): \(\log 1=\ln 1=0\), são iguais;

• para \(0\lt x\lt 1\) (ambos negativos): \(\log x\gt\ln x\).

É o que se vê na figura: à direita de \(1\) o gráfico de \(\ln x\) está acima; à esquerda de \(1\), abaixo. Os dois cruzam-se em \(x=1\).

Passo 2 — analisar cada opção

(A) Falsa. Em \(x=1\) as duas funções são iguais, e para \(0\lt x\lt 1\) é \(\ln x\) que é menor. Por exemplo, \(\ln 0{,}1\approx -2{,}3\) e \(\log 0{,}1=-1\).

(B) Falsa. Só há igualdade em \(x=1\). Por exemplo, \(\ln 10\approx 2{,}3\ne 1=\log 10\).

(C) Verdadeira. No domínio das funções, \(x\lt 1\) significa \(0\lt x\lt 1\); aí os dois logaritmos são negativos e \(\log x\) está mais perto de zero, logo é maior.

(D) Falsa — é exatamente o contrário: para \(x\gt 1\) tem-se \(\ln x\gt\log x\), como mostra a figura (com \(\ln e=1\) mas \(\log 10=1\), o gráfico de \(\ln\) atinge o valor \(1\) muito mais cedo).

Opção (C)

15. Equação com mudança de variável

Resolva a equação:

2^{x}-1=20\times 2^{-x}

Passo 1 — mudança de variável

Como \(2^{-x}=\dfrac{1}{2^{x}}\), faz-se \(y=2^{x}\), com \(y\gt 0\) (uma exponencial é sempre positiva):

y-1=\frac{20}{y}

Passo 2 — resolver em \(y\)

Multiplicando ambos os membros por \(y\ (\ne 0)\):

y^{2}-y=20 \iff y^{2}-y-20=0

y=\frac{1\pm\sqrt{1+80}}{2}=\frac{1\pm 9}{2} \iff y=5 \ \vee\ y=-4

A solução \(y=-4\) é de rejeitar, porque \(y=2^{x}\gt 0\).

Passo 3 — voltar a \(x\)

2^{x}=5 \iff x=\log_{2}5

Em valor aproximado, \(x=\dfrac{\ln 5}{\ln 2}\approx 2{,}32\).

\(x=\log_{2}5\)

16. Uma igualdade com expoentes logarítmicos

Mostre que, quaisquer que sejam \(a,b\in\mathbb{R}^{+}\):

a^{\,\ln b}-b^{\,\ln a}=0

Como \(a\gt 0\) e \(b\gt 0\), existem \(\ln a\) e \(\ln b\), e as potências estão bem definidas. Mostrar que a diferença é nula é o mesmo que mostrar que as duas potências são iguais.

Passo 1 — escrever tudo na base \(e\)

Para qualquer \(t\gt 0\) tem-se \(t=e^{\ln t}\). Aplicando isto a \(a\) e usando \(\left(e^{u}\right)^{v}=e^{uv}\):

a^{\,\ln b}=\left(e^{\ln a}\right)^{\ln b}=e^{\,\ln a\,\times\,\ln b}

Do mesmo modo, com \(b\):

b^{\,\ln a}=\left(e^{\ln b}\right)^{\ln a}=e^{\,\ln b\,\times\,\ln a}

Passo 2 — concluir

Os dois expoentes são iguais, porque a multiplicação é comutativa: \(\ln a\times\ln b=\ln b\times\ln a\). Logo as duas potências são iguais e

a^{\,\ln b}-b^{\,\ln a}=e^{\,\ln a\ln b}-e^{\,\ln a\ln b}=0 \qquad\blacksquare

De outro modo: aplicando \(\ln\) a cada potência, \(\ln\left(a^{\ln b}\right)=\ln b\times\ln a\) e \(\ln\left(b^{\ln a}\right)=\ln a\times\ln b\). Como \(\ln\) é injetiva e os dois logaritmos coincidem, as potências são iguais.

\(a^{\,\ln b}=b^{\,\ln a}=e^{\,\ln a\,\ln b}\), pelo que a diferença é \(0\).

17. Identificar as afirmações verdadeiras

Das cinco afirmações seguintes, apenas três são verdadeiras.

Assinale com X as três afirmações verdadeiras.

\(\log 50=\log 2+2\log 5\)
A função \(g\) tal que \(g(x)=\log x\) é crescente em \(\left[0,+\infty\right[\).
\(\ln(5x-3)=0 \iff x=\dfrac45\)
A solução da equação \(2e^{x}-4=0\) é um número inteiro.
A função \(f\) definida por \(f(x)=3-4\ln x\) é negativa para \(x=3\).

1.ª afirmação — \(\log 50=\log 2+2\log 5\)

Trabalha-se o segundo membro, com \(p\log a=\log\left(a^{p}\right)\) e \(\log a+\log b=\log(ab)\):

\log 2+2\log 5=\log 2+\log 5^{2}=\log 2+\log 25=\log(2\times 25)=\log 50

Verdadeira ✔

2.ª afirmação — \(g(x)=\log x\) crescente em \(\left[0,+\infty\right[\)

O domínio da função logarítmica é \(\mathbb{R}^{+}=\left]0,+\infty\right[\): o valor \(0\) não pertence ao domínio, pelo que a função nem sequer está definida em \(\left[0,+\infty\right[\).

A afirmação correta seria «\(g\) é crescente em \(\left]0,+\infty\right[\)».

Falsa ✘

3.ª afirmação — \(\ln(5x-3)=0 \iff x=\frac45\)

\ln(5x-3)=0 \iff 5x-3=e^{0} \iff 5x-3=1 \iff x=\frac45

Verificação do domínio: com \(x=\dfrac45\) vem \(5\times\dfrac45-3=1\gt 0\).

Verdadeira ✔

4.ª afirmação — a solução de \(2e^{x}-4=0\) é inteira

2e^{x}-4=0 \iff e^{x}=2 \iff x=\ln 2\approx 0{,}69

\(\ln 2\) não é inteiro (é mesmo irracional).

Falsa ✘

5.ª afirmação — \(f(x)=3-4\ln x\) é negativa para \(x=3\)

f(3)=3-4\ln 3\approx 3-4\times 1{,}0986=3-4{,}39=-1{,}39\lt 0

Sem calculadora: \(f(3)\lt 0 \iff 3\lt 4\ln 3 \iff \ln 3\gt\dfrac34\); ora \(\ln 3\gt\ln e=1\gt\dfrac34\), porque \(3\gt e\).

Verdadeira ✔

Conclusão

As três afirmações verdadeiras são a 1.ª, a 3.ª e a 5.ª.

18. Inversa, zero e composta

Considere as funções \(f\) e \(g\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definidas por:

f(x)=\log_{3}x-1 \qquad\text{e}\qquad g(x)=\log_{2}x

18.1. Caracterize a função \(f^{-1}\), inversa da função \(f\).
18.2. Determine o zero de \(f\).
18.3. Resolva a equação \(\left(f\circ g\right)(x)=0\).

18.1. — domínio e contradomínio

\(D_f=\mathbb{R}^{+}\). Como \(\log_{3}x\) toma todos os valores reais, também \(\log_{3}x-1\) toma todos os valores reais: \(D'_f=\mathbb{R}\).

Logo \(D_{f^{-1}}=D'_f=\mathbb{R}\) e \(D'_{f^{-1}}=D_f=\mathbb{R}^{+}\).

18.1. — expressão

y=\log_{3}x-1 \iff \log_{3}x=y+1 \iff x=3^{\,y+1}

\(f^{-1}:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R}^{+}\ ,\qquad f^{-1}(x)=3^{\,x+1}\)

18.2. — zero de \(f\)

f(x)=0 \iff \log_{3}x-1=0 \iff \log_{3}x=1 \iff x=3^{1}=3

Como \(3\in\mathbb{R}^{+}\), é uma solução válida.

O zero de \(f\) é \(3\).

18.3. — escrever a composta

\left(f\circ g\right)(x)=f\big(g(x)\big)=\log_{3}\left(\log_{2}x\right)-1

Domínio: é preciso \(x\gt 0\) e \(\log_{2}x\gt 0\), ou seja, \(x\gt 1\).

18.3. — resolver

\log_{3}\left(\log_{2}x\right)-1=0 \iff \log_{3}\left(\log_{2}x\right)=1 \iff \log_{2}x=3

\iff x=2^{3}=8

Como \(8\gt 1\), a solução pertence ao domínio da composta.

\(x=8\)

19. Área de um triângulo e função inversa

Considere a função \(f\), de domínio \(\left]-2,+\infty\right[\), definida por:

f(x)=3\log_{2}(2x+4)-9

19.1. Considere o gráfico de \(f\) num referencial \(Oxy\).
Determine a área do triângulo \([OAB]\), em que \(A\) e \(B\) são os pontos do gráfico de \(f\) tais que a abcissa de \(A\) é o zero da função e a abcissa de \(B\) é \(14\).
19.2. Caracterize a função \(g\) tal que \(\left(f\circ g\right)(x)=x\ ,\ \forall x\in D_g\).

19.1. — o ponto \(A\)

A abcissa de \(A\) é o zero de \(f\):

3\log_{2}(2x+4)-9=0 \iff \log_{2}(2x+4)=3 \iff 2x+4=2^{3}=8

\iff 2x=4 \iff x=2

Como \(2\in\left]-2,+\infty\right[\), vem \(A=(2,0)\).

19.1. — o ponto \(B\)

f(14)=3\log_{2}(2\times 14+4)-9=3\log_{2}32-9

Como \(32=2^{5}\), tem-se \(\log_{2}32=5\):

f(14)=3\times 5-9=6 \qquad\Longrightarrow\qquad B=(14,6)

19.1. — área

Os pontos \(O=(0,0)\) e \(A=(2,0)\) estão ambos no eixo \(Ox\), pelo que se toma \([OA]\) para base. A altura correspondente é a distância de \(B\) ao eixo \(Ox\), ou seja, a sua ordenada.

\overline{OA}=2 \qquad\text{e}\qquad \text{altura}=6

A_{[OAB]}=\frac{\overline{OA}\times\text{altura}}{2}=\frac{2\times 6}{2}=6

A área do triângulo \([OAB]\) é \(6\) (unidades de área).

19.2. — de que função se trata

A condição \(\left(f\circ g\right)(x)=x\) para todo o \(x\in D_g\) significa que \(g\) é a função inversa de \(f\), ou seja, \(g=f^{-1}\).

Como \(D_f=\left]-2,+\infty\right[\) e \(D'_f=\mathbb{R}\) (o logaritmo toma todos os valores reais), vem:

D_g=D'_f=\mathbb{R} \qquad\text{e}\qquad D'_g=D_f=\left]-2,+\infty\right[

19.2. — expressão

y=3\log_{2}(2x+4)-9 \iff \log_{2}(2x+4)=\frac{y+9}{3} \iff 2x+4=2^{\frac{y+9}{3}}

\iff x=\frac{2^{\frac{y+9}{3}}-4}{2} \iff x=2^{\frac{y+9}{3}-1}-2 \iff x=2^{\frac{y+6}{3}}-2

Verificação

Com \(x=0\): \(g(0)=2^{2}-2=2\), e de facto \(f(2)=0\). Com \(x=6\): \(g(6)=2^{4}-2=14\), e \(f(14)=6\ \checkmark\)

\(g:\ \mathbb{R}\to\left]-2,+\infty\right[\ ,\qquad g(x)=2^{\frac{x+6}{3}}-2\)