Função exponencial

Matemática A - 12.º ano - Novo Programa 2026 - matematicaparatodos.pt

📌 Resumo teórico

Função exponencial

Chama-se função exponencial de base \(a\) a toda a função do tipo \(f(x)=a^x\), com \(a\in\mathbb{R}^+\). O seu domínio é \(\mathbb{R}\) e, para \(a\neq 1\), o contradomínio é \(\mathbb{R}^+\).

\[ a^x \gt 0 \quad\text{para todo o } x\in\mathbb{R} \]

Esta é a observação mais usada na resolução de equações exponenciais: uma potência de base positiva nunca é nula nem negativa. Por isso, equações como \(2^x=0\) ou \(3^x=-5\) são impossíveis em \(\mathbb{R}\).

Regras operatórias das potências

\[ \begin{aligned} &\textbf{1.}\ a^0=1,\quad 1^x=1 &&\textbf{2.}\ a^x\times a^y=a^{x+y}\\[.35em] &\textbf{3.}\ \dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y} &&\textbf{4.}\ a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}\\[.35em] &\textbf{5.}\ a^x\times b^x=(ab)^x &&\textbf{6.}\ \dfrac{a^x}{b^x}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^x\\[.35em] &\textbf{7.}\ \left(a^x\right)^y=a^{x\,y} &&\textbf{8.}\ \sqrt[q]{a^{\,p}}=a^{\frac{p}{q}},\ a\gt 0,\ q\in\mathbb{N},\ p\in\mathbb{Z} \end{aligned} \]

Princípio fundamental na resolução de equações

Sendo \(a\in\mathbb{R}^+\setminus\{1\}\), a função \(x\mapsto a^x\) é injetiva. Logo:

\[ a^{u}=a^{v} \iff u=v \]

Resolver uma equação exponencial resume-se, quase sempre, a reescrever os dois membros como potências da mesma base e, depois, igualar os expoentes.

Estratégias mais frequentes

1. Redução à mesma base. Escrevem-se todas as potências na mesma base (normalmente a menor: \(2\), \(3\), \(5\), …) e igualam-se os expoentes.

\[ 4^{x}=8 \iff \left(2^2\right)^{x}=2^3 \iff 2^{2x}=2^{3} \iff 2x=3 \iff x=\tfrac32 \]

2. Mudança de variável. Quando aparecem \(a^{2x}\) e \(a^{x}\), faz-se \(y=a^{x}\) e obtém-se uma equação do 2.º grau. Como \(y=a^x\), só interessam as soluções \(y\gt 0\).

\[ a^{2x}=\left(a^{x}\right)^{2}=y^{2}\ ,\qquad a^{x+k}=a^{k}\times a^{x}=a^{k}\,y \]

3. Fatorização. Se todos os termos contiverem um fator comum \(a^{x}\), põe-se esse fator em evidência e usa-se a lei do anulamento do produto — lembrando que \(a^{x}\neq 0\).

4. Equações com frações. Começa-se por verificar que o denominador não se anula e desembaraça-se a equação de denominadores.

Confirmação com a calculadora gráfica

Qualquer uma destas equações pode ser confirmada graficamente: introduz-se \(Y_1\) e \(Y_2\) com os dois membros da equação e determinam-se as abcissas dos pontos de interseção dos dois gráficos.

Gráfico e propriedades da função exponencial

Seja \(f(x)=a^{x}\), com \(a\in\mathbb{R}^+\setminus\{1\}\). Em qualquer caso, \(D_f=\mathbb{R}\), \(D'_f=\mathbb{R}^{+}\), o gráfico passa no ponto \((0,\,1)\) e tem a reta \(y=0\) como assíntota horizontal.

\(a\gt 1\)\(0\lt a\lt 1\)
Monotoniacrescentedecrescente
\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}a^{x}\)\(0\)\(+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}a^{x}\)\(+\infty\)\(0\)

Recorde-se ainda que \(\left(\dfrac1a\right)^{x}=a^{-x}\): as bases \(a\) e \(\dfrac1a\) dão gráficos simétricos relativamente ao eixo \(Oy\).

Transformações do gráfico

A partir do gráfico de \(f\), obtém-se o de:

\[ \begin{aligned} &\textbf{1.}\ f(x)+c\ :\ \text{translação vertical de } c \text{ unidades} &&\textbf{2.}\ f(x-c)\ :\ \text{translação horizontal de } c \text{ unidades}\\[.35em] &\textbf{3.}\ -f(x)\ :\ \text{reflexão no eixo } Ox &&\textbf{4.}\ f(-x)\ :\ \text{reflexão no eixo } Oy \end{aligned} \]

As translações verticais e as reflexões em \(Ox\) alteram o contradomínio e a assíntota horizontal; as translações horizontais não. A reflexão em \(Ox\) (e a reflexão em \(Oy\)) troca o sentido de variação da função.

Exercício resolvido

Enunciado. Seja \(f\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=b\times a^{x}\), em que \(a\) e \(b\) são números reais. Sabendo que o gráfico de \(f\) contém os pontos de coordenadas \((1,\,10)\) e \((3,\,250)\), determine os valores de \(a\) e de \(b\).

Sugestão de resolução. Como \((1,\,10)\) pertence ao gráfico de \(f\), então \(f(1)=10 \iff b\times a=10\). Como \((3,\,250)\) pertence ao gráfico de \(f\), então \(f(3)=250 \iff b\times a^{3}=250\). Assim:

\[ \begin{cases} b\,a=10\\ b\,a^{3}=250\end{cases} \iff \begin{cases} b=\dfrac{10}{a}\\[.4em] \dfrac{10}{a}\times a^{3}=250\end{cases} \iff \begin{cases} \underline{\qquad}\\ 10a^{2}=250\end{cases} \iff \begin{cases} \underline{\qquad}\\ a=5 \ \lor\ a=-5\end{cases} \]

Como \(a\) é a base de uma função exponencial, então \(a=5\). Logo, \(b=\dfrac{10}{5}=2\).

1. Redução à mesma base

1

Resolva, em \(\mathbb{R}\), as seguintes equações.

  1. 1.1. \(2^{x+1}\times 2^{x-1}=256\)
  2. 1.2. \(4^{x^2-1}-8^{x}=0\)
1.1. — produto de potências com a mesma base

Aplica-se \(a^x\times a^y=a^{x+y}\) no primeiro membro e escreve-se \(256\) como potência de base \(2\), pois \(256=2^8\).

\[ \begin{aligned} 2^{x+1}\times 2^{x-1}=256 &\iff 2^{(x+1)+(x-1)}=2^{8}\\ &\iff 2^{2x}=2^{8}\\ &\iff 2x=8 \iff x=4 \end{aligned} \]
\(\text{C.S.}=\{4\}\)
1.2. — bases 4 e 8 reduzidas à base 2

Como \(4=2^2\) e \(8=2^3\), passa-se tudo para a base \(2\).

\[ \begin{aligned} 4^{x^2-1}-8^{x}=0 &\iff 4^{x^2-1}=8^{x}\\ &\iff \left(2^{2}\right)^{x^2-1}=\left(2^{3}\right)^{x}\\ &\iff 2^{2x^2-2}=2^{3x}\\ &\iff 2x^2-2=3x \end{aligned} \]

Obtém-se uma equação do 2.º grau:

\[ 2x^2-3x-2=0 \iff x=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{4}=\frac{3\pm 5}{4} \iff x=-\frac12 \ \lor\ x=2 \]
\(\text{C.S.}=\left\{-\dfrac12,\,2\right\}\)

2. Igualdade de expoentes com expressões

2

Resolva, em \(\mathbb{R}\), as seguintes equações.

  1. 2.1. \(9^{x^2+x}-27^{-2x-2}=0\)
  2. 2.2. \(\sqrt[3]{3^{x^2}}=9^{\,1-\frac{x}{6}}\)
  3. 2.3. \(3^{\frac{x-2}{x+2}}=27\)
2.1. — base 3 e equação do 2.º grau nos expoentes

Como \(9=3^2\) e \(27=3^3\):

\[ \begin{aligned} 9^{x^2+x}-27^{-2x-2}=0 &\iff \left(3^{2}\right)^{x^2+x}=\left(3^{3}\right)^{-2x-2}\\ &\iff 3^{2x^2+2x}=3^{-6x-6}\\ &\iff 2x^2+2x=-6x-6\\ &\iff 2x^2+8x+6=0 \iff x^2+4x+3=0 \end{aligned} \]
\[ x=\frac{-4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\frac{-4\pm 2}{2} \iff x=-3 \ \lor\ x=-1 \]
\(\text{C.S.}=\{-3,\,-1\}\)
2.2. — radical escrito como potência de expoente fracionário

Usa-se \(\sqrt[q]{a^{\,p}}=a^{\frac{p}{q}}\) no primeiro membro e \(9=3^2\) no segundo.

\[ \begin{aligned} \sqrt[3]{3^{x^2}}=9^{\,1-\frac{x}{6}} &\iff 3^{\frac{x^2}{3}}=\left(3^{2}\right)^{1-\frac{x}{6}}\\ &\iff 3^{\frac{x^2}{3}}=3^{\,2-\frac{x}{3}}\\ &\iff \frac{x^2}{3}=2-\frac{x}{3} \end{aligned} \]

Multiplicando ambos os membros por \(3\):

\[ x^2=6-x \iff x^2+x-6=0 \iff x=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{-1\pm 5}{2} \iff x=-3 \ \lor\ x=2 \]
\(\text{C.S.}=\{-3,\,2\}\)
2.3. — expoente fracionário: começar pelo domínio

A expressão \(\dfrac{x-2}{x+2}\) só está definida para \(x\neq -2\).

\[ \begin{aligned} 3^{\frac{x-2}{x+2}}=27 &\iff 3^{\frac{x-2}{x+2}}=3^{3}\\ &\iff \frac{x-2}{x+2}=3 \quad\land\quad x\neq -2\\ &\iff x-2=3(x+2) \quad\land\quad x\neq -2\\ &\iff x-2=3x+6 \iff -2x=8 \iff x=-4 \end{aligned} \]

Como \(-4\neq -2\), a solução obtida pertence ao domínio da equação.

\(\text{C.S.}=\{-4\}\)

3. Mudança de variável

3

Resolva, em \(\mathbb{R}\), as seguintes equações.

  1. 3.1. \(4^{x}-2^{x}-2=0\)
  2. 3.2. \(2^{2x-1}-2^{x-1}=1\)
  3. 3.3. \(2^{4x+1}-3\times 2^{2x+2}=-16\)
3.1. — substituição \(y=2^{x}\)

Como \(4^{x}=\left(2^{2}\right)^{x}=\left(2^{x}\right)^{2}\), fazendo \(y=2^{x}\) (com \(y\gt 0\)) obtém-se uma equação do 2.º grau.

\[ 4^{x}-2^{x}-2=0 \iff y^{2}-y-2=0 \iff y=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm 3}{2} \iff y=2 \ \lor\ y=-1 \]

Como \(y=2^{x}\gt 0\), a solução \(y=-1\) é de rejeitar. Volta-se à variável \(x\):

\[ 2^{x}=2 \iff 2^{x}=2^{1} \iff x=1 \]
\(\text{C.S.}=\{1\}\)
3.2. — separar os expoentes antes de substituir

Escrevem-se as duas potências à custa de \(2^{x}\):

\[ 2^{2x-1}=\frac{2^{2x}}{2}=\frac{\left(2^{x}\right)^{2}}{2} \qquad\text{e}\qquad 2^{x-1}=\frac{2^{x}}{2} \]

Com \(y=2^{x}\), \(y\gt 0\):

\[ \begin{aligned} \frac{y^{2}}{2}-\frac{y}{2}=1 &\iff y^{2}-y=2\\ &\iff y^{2}-y-2=0\\ &\iff y=2 \ \lor\ y=-1 \end{aligned} \]

Rejeita-se \(y=-1\), por ser negativo. Logo \(2^{x}=2\), ou seja, \(x=1\).

\(\text{C.S.}=\{1\}\)
3.3. — substituição \(y=2^{2x}\)

Note-se que \(2^{4x+1}=2\times 2^{4x}=2\left(2^{2x}\right)^{2}\) e que \(2^{2x+2}=4\times 2^{2x}\). Fazendo \(y=2^{2x}\), com \(y\gt 0\):

\[ \begin{aligned} 2^{4x+1}-3\times 2^{2x+2}=-16 &\iff 2y^{2}-12y=-16\\ &\iff y^{2}-6y+8=0\\ &\iff y=\frac{6\pm\sqrt{36-32}}{2}=\frac{6\pm 2}{2}\\ &\iff y=2 \ \lor\ y=4 \end{aligned} \]

Ambos os valores são positivos, logo ambos são admissíveis:

\[ 2^{2x}=2 \iff 2x=1 \iff x=\frac12 \qquad\text{ou}\qquad 2^{2x}=4=2^{2} \iff 2x=2 \iff x=1 \]
\(\text{C.S.}=\left\{\dfrac12,\,1\right\}\)

4. Expoentes simétricos

4

Resolva, em \(\mathbb{R}\), as seguintes equações.

  1. 4.1. \(-3\times 2^{-x+1}+2^{x}=-1\)
  2. 4.2. \(2^{x+1}+2^{1-x}=\dfrac{65}{4}\)
4.1. — usar \(2^{-x}=\dfrac{1}{2^{x}}\)

Com \(y=2^{x}\), \(y\gt 0\), tem-se \(2^{-x+1}=2\times 2^{-x}=\dfrac{2}{y}\).

\[ -3\times 2^{-x+1}+2^{x}=-1 \iff -3\times\frac{2}{y}+y=-1 \iff -\frac{6}{y}+y=-1 \]

Multiplicando ambos os membros por \(y\) (que é diferente de zero):

\[ \begin{aligned} -6+y^{2}=-y &\iff y^{2}+y-6=0\\ &\iff y=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{-1\pm 5}{2}\\ &\iff y=2 \ \lor\ y=-3 \end{aligned} \]

Rejeita-se \(y=-3\), por ser negativo. Fica \(2^{x}=2\), isto é, \(x=1\).

\(\text{C.S.}=\{1\}\)
4.2. — separar as constantes dos expoentes

Escreve-se \(2^{x+1}=2\times 2^{x}\) e \(2^{1-x}=2\times 2^{-x}=\dfrac{2}{2^{x}}\). Com \(y=2^{x}\), \(y\gt 0\):

\[ 2^{x+1}+2^{1-x}=\frac{65}{4} \iff 2\,y+\frac{2}{y}=\frac{65}{4} \]

Multiplicando ambos os membros por \(4y\):

\[ \begin{aligned} 8y^{2}+8=65y &\iff 8y^{2}-65y+8=0\\ &\iff y=\frac{65\pm\sqrt{4225-256}}{16}=\frac{65\pm 63}{16}\\ &\iff y=8 \ \lor\ y=\frac{1}{8} \end{aligned} \]

Os dois valores são positivos, logo ambos são admissíveis:

\[ 2^{x}=8=2^{3} \iff x=3 \qquad\text{ou}\qquad 2^{x}=\frac18=2^{-3} \iff x=-3 \]
\(\text{C.S.}=\{-3,\,3\}\)

5. Fatorização (pôr em evidência)

5

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação

\[ 3^{3x}+3^{x+2}-18\times 3^{x}=0 \]
Passo 1 — escrever tudo à custa de \(3^{x}\)

Tem-se \(3^{3x}=\left(3^{x}\right)^{3}\) e \(3^{x+2}=9\times 3^{x}\). Com \(y=3^{x}\), \(y\gt 0\):

\[ 3^{3x}+3^{x+2}-18\times 3^{x}=0 \iff y^{3}+9y-18y=0 \iff y^{3}-9y=0 \]
Passo 2 — fatorizar e aplicar a lei do anulamento do produto
\[ y^{3}-9y=0 \iff y\left(y^{2}-9\right)=0 \iff y=0 \ \lor\ y=3 \ \lor\ y=-3 \]

Como \(y=3^{x}\gt 0\), rejeitam-se \(y=0\) e \(y=-3\).

Passo 3 — voltar à variável \(x\)
\[ 3^{x}=3 \iff 3^{x}=3^{1} \iff x=1 \]

Resolução alternativa: pondo \(3^{x}\) em evidência logo no início,

\[ 3^{x}\left(3^{2x}+9-18\right)=0 \iff 3^{x}=0 \ \lor\ 3^{2x}=9 \]

Como \(3^{x}\neq 0\), fica \(3^{2x}=3^{2}\iff 2x=2\iff x=1\).

\(\text{C.S.}=\{1\}\)

6. Equação com fração

6

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação

\[ \frac{3}{1+2^{-x+2}}=2 \]
Passo 1 — o denominador nunca se anula

Como \(2^{-x+2}\gt 0\) para qualquer \(x\in\mathbb{R}\), tem-se \(1+2^{-x+2}\gt 1\). O denominador nunca é nulo, pelo que a equação está definida em \(\mathbb{R}\).

Passo 2 — desembaraçar de denominadores
\[ \begin{aligned} \frac{3}{1+2^{-x+2}}=2 &\iff 3=2\left(1+2^{-x+2}\right)\\ &\iff 3=2+2\times 2^{-x+2}\\ &\iff 1=2^{1}\times 2^{-x+2}\\ &\iff 1=2^{-x+3} \end{aligned} \]
Passo 3 — igualar os expoentes
\[ 2^{-x+3}=1 \iff 2^{-x+3}=2^{0} \iff -x+3=0 \iff x=3 \]
\(\text{C.S.}=\{3\}\)

7. Equações imediatas

7

Resolva, em \(\mathbb{R}\), as seguintes equações.

  1. 7.1. \(2^{x}=\dfrac{1}{32}\)
  2. 7.2. \(3^{x-1}=81\)
  3. 7.3. \(2^{5-x}=4^{x+1}\)
  4. 7.4. \(27^{x-1}=3\)
  5. 7.5. \(2\times 16^{3x-1}=8^{2x}\)
  6. 7.6. \(\dfrac{1}{9^{x-2}}=3^{5-x}\)

Em todas as alíneas se reduzem os dois membros à mesma base e se igualam os expoentes.

7.1.
\[ 2^{x}=\frac{1}{32} \iff 2^{x}=2^{-5} \iff x=-5 \]
7.2.
\[ 3^{x-1}=81 \iff 3^{x-1}=3^{4} \iff x-1=4 \iff x=5 \]
7.3.
\[ 2^{5-x}=4^{x+1} \iff 2^{5-x}=2^{2x+2} \iff 5-x=2x+2 \iff 3=3x \iff x=1 \]
7.4.
\[ 27^{x-1}=3 \iff 3^{3(x-1)}=3^{1} \iff 3x-3=1 \iff x=\frac43 \]
7.5.
\[ \begin{aligned} 2\times 16^{3x-1}=8^{2x} &\iff 2^{1}\times 2^{4(3x-1)}=2^{3\times 2x}\\ &\iff 2^{12x-3}=2^{6x}\\ &\iff 12x-3=6x \iff x=\frac12 \end{aligned} \]
7.6.
\[ \begin{aligned} \frac{1}{9^{x-2}}=3^{5-x} &\iff 9^{-(x-2)}=3^{5-x}\\ &\iff 3^{-2x+4}=3^{5-x}\\ &\iff -2x+4=5-x \iff x=-1 \end{aligned} \]
7.1) \(\{-5\}\)  •  7.2) \(\{5\}\)  •  7.3) \(\{1\}\)  •  7.4) \(\left\{\tfrac43\right\}\)  •  7.5) \(\left\{\tfrac12\right\}\)  •  7.6) \(\{-1\}\)

8. Valor de expressões sem calculadora

8

Sem utilizar a calculadora, determine o valor das expressões seguintes.

  1. 8.1. \(27^{\frac43}+8^{\frac23}\)
  2. 8.2. \(25^{-1,5}\)
  3. 8.3. \(\left(\dfrac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[6]{5}}\right)^{12}\)
  4. 8.4. \(\left(\dfrac{1}{64}\right)^{\frac12}\times 100^{-\frac32}\)
  5. 8.5. \(\left(5^{\sqrt{10}}\times 2^{\sqrt{10}}\right):10^{\sqrt{10}-3}\)
  6. 8.6. \(\left(2^{\sqrt{18}}\right)^{\sqrt2}-7^{\pi}\times 7^{1-\pi}\)
8.1.
\[ 27^{\frac43}+8^{\frac23} =\left(3^{3}\right)^{\frac43}+\left(2^{3}\right)^{\frac23} =3^{4}+2^{2}=81+4=85 \]
8.2.

Repare-se que \(-1{,}5=-\dfrac32\).

\[ 25^{-1,5}=\left(5^{2}\right)^{-\frac32}=5^{-3}=\frac{1}{125} \]
8.3.
\[ \left(\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[6]{5}}\right)^{12} =\left(\frac{5^{\frac13}}{5^{\frac16}}\right)^{12} =\left(5^{\frac13-\frac16}\right)^{12} =\left(5^{\frac16}\right)^{12}=5^{2}=25 \]
8.4.
\[ \left(\frac{1}{64}\right)^{\frac12}\times 100^{-\frac32} =\frac{1}{8}\times\left(10^{2}\right)^{-\frac32} =\frac18\times 10^{-3}=\frac{1}{8000} \]
8.5.

Usa-se \(a^x\times b^x=(ab)^x\) no numerador.

\[ \frac{5^{\sqrt{10}}\times 2^{\sqrt{10}}}{10^{\sqrt{10}-3}} =\frac{10^{\sqrt{10}}}{10^{\sqrt{10}-3}} =10^{\sqrt{10}-\left(\sqrt{10}-3\right)}=10^{3}=1000 \]
8.6.
\[ \left(2^{\sqrt{18}}\right)^{\sqrt2}-7^{\pi}\times 7^{1-\pi} =2^{\sqrt{18}\times\sqrt2}-7^{\pi+1-\pi} =2^{\sqrt{36}}-7^{1}=2^{6}-7=64-7=57 \]
8.1) \(85\)  •  8.2) \(\tfrac{1}{125}\)  •  8.3) \(25\)  •  8.4) \(\tfrac{1}{8000}\)  •  8.5) \(1000\)  •  8.6) \(57\)

9. Simplificação de expressões

9

Sejam \(a\) e \(b\) números reais positivos. Utilizando as propriedades operatórias das potências, simplifique as expressões seguintes.

  1. 9.1. \(\left(a^{\frac73}\right)^{\frac67}\)
  2. 9.2. \(\left(b^{-\frac13}\right)^{-\frac34}\times b^{\frac12}\)
  3. 9.3. \(\left(\dfrac{a^{-2}}{a^{\frac12}}\right)^{-2}\)
  4. 9.4. \(\sqrt[3]{27a^{9}}\times\left(b^{-6}\right)^{\frac12}\)
  5. 9.5. \(\dfrac{\left(a^{\frac13}b^{-2}\right)^{-3}}{\left(a^{6}b^{4}\right)^{\frac12}}\)
  6. 9.6. \(\left(a^{2}\times b^{-3}\right)^{3}\times\left(\dfrac{b}{a}\right)^{6}\)
9.1.
\[ \left(a^{\frac73}\right)^{\frac67}=a^{\frac73\times\frac67}=a^{2} \]
9.2.
\[ \left(b^{-\frac13}\right)^{-\frac34}\times b^{\frac12} =b^{\frac14}\times b^{\frac12} =b^{\frac14+\frac12}=b^{\frac34} \]
9.3.
\[ \left(\frac{a^{-2}}{a^{\frac12}}\right)^{-2} =\left(a^{-2-\frac12}\right)^{-2} =\left(a^{-\frac52}\right)^{-2}=a^{5} \]
9.4.
\[ \sqrt[3]{27a^{9}}\times\left(b^{-6}\right)^{\frac12} =3a^{3}\times b^{-3} =\frac{3a^{3}}{b^{3}} \]
9.5.
\[ \frac{\left(a^{\frac13}b^{-2}\right)^{-3}}{\left(a^{6}b^{4}\right)^{\frac12}} =\frac{a^{-1}b^{6}}{a^{3}b^{2}} =a^{-1-3}\,b^{6-2} =a^{-4}b^{4}=\frac{b^{4}}{a^{4}} \]
9.6.
\[ \left(a^{2}\times b^{-3}\right)^{3}\times\left(\frac{b}{a}\right)^{6} =a^{6}b^{-9}\times\frac{b^{6}}{a^{6}} =b^{-9+6}=b^{-3}=\frac{1}{b^{3}} \]
9.1) \(a^{2}\)  •  9.2) \(b^{\frac34}\)  •  9.3) \(a^{5}\)  •  9.4) \(\dfrac{3a^{3}}{b^{3}}\)  •  9.5) \(\dfrac{b^{4}}{a^{4}}\)  •  9.6) \(\dfrac{1}{b^{3}}\)

10. Reescrever numa base indicada

10

Utilizando as propriedades das potências, reescreva cada expressão na base indicada.

  1. 10.1. \(9^{3x}\) na base \(3\)
  2. 10.2. \(32^{\frac{x}{5}}\) na base \(2\)
  3. 10.3. \(\left(\dfrac{1}{16}\right)^{-2x}\) na base \(2\)
  4. 10.4. \(1000^{\,x+\frac13}\) na base \(10\)
  5. 10.5. \(5^{4x}\) na base \(25\)
  6. 10.6. \(\left(27^{x}\right)^{2}\) na base \(9\)
10.1.
\[ 9^{3x}=\left(3^{2}\right)^{3x}=3^{6x} \]
10.2.
\[ 32^{\frac{x}{5}}=\left(2^{5}\right)^{\frac{x}{5}}=2^{x} \]
10.3.

Como \(\dfrac{1}{16}=2^{-4}\):

\[ \left(\frac{1}{16}\right)^{-2x}=\left(2^{-4}\right)^{-2x}=2^{8x} \]
10.4.
\[ 1000^{\,x+\frac13}=\left(10^{3}\right)^{x+\frac13}=10^{3x+1} \]
10.5.

Agora a base pedida é maior do que a dada: escreve-se \(5=25^{\frac12}\).

\[ 5^{4x}=\left(25^{\frac12}\right)^{4x}=25^{2x} \]
10.6.
\[ \left(27^{x}\right)^{2}=27^{2x}=\left(3^{3}\right)^{2x}=3^{6x}=\left(3^{2}\right)^{3x}=9^{3x} \]
10.1) \(3^{6x}\)  •  10.2) \(2^{x}\)  •  10.3) \(2^{8x}\)  •  10.4) \(10^{3x+1}\)  •  10.5) \(25^{2x}\)  •  10.6) \(9^{3x}\)

11. Valores a partir de uma condição

11

Seja \(x\) um número real. Sabe-se que \(2^{x+3}=40\).

Determine o valor de:

  1. 11.1. \(2^{x}\)
  2. 11.2. \(2^{x-2}\)
  3. 11.3. \(4^{x}\)
  4. 11.4. \(2^{3x}\)
  5. 11.5. \(\dfrac{2^{x}}{2^{3}}\)
  6. 11.6. \(2^{-x+2}\)
  7. 11.7. \(2^{\frac{x}{2}}\)
  8. 11.8. \(\left(\dfrac12\right)^{-x-3}\)
Passo prévio — determinar \(2^{x}\)
\[ 2^{x+3}=40 \iff 2^{x}\times 2^{3}=40 \iff 8\times 2^{x}=40 \iff 2^{x}=5 \]

Todas as alíneas se escrevem à custa de \(2^{x}=5\).

11.1. a 11.4.
\[ \begin{aligned} &\textbf{11.1.}\ 2^{x}=5 &&\textbf{11.2.}\ 2^{x-2}=\frac{2^{x}}{2^{2}}=\frac54\\[.35em] &\textbf{11.3.}\ 4^{x}=\left(2^{x}\right)^{2}=5^{2}=25 &&\textbf{11.4.}\ 2^{3x}=\left(2^{x}\right)^{3}=5^{3}=125 \end{aligned} \]
11.5. a 11.8.
\[ \begin{aligned} &\textbf{11.5.}\ \frac{2^{x}}{2^{3}}=\frac58 &&\textbf{11.6.}\ 2^{-x+2}=\frac{2^{2}}{2^{x}}=\frac45\\[.35em] &\textbf{11.7.}\ 2^{\frac{x}{2}}=\left(2^{x}\right)^{\frac12}=\sqrt5 &&\textbf{11.8.}\ \left(\frac12\right)^{-x-3}=2^{x+3}=40 \end{aligned} \]

Na alínea 11.8. basta notar que \(\left(\frac12\right)^{-x-3}=\left(2^{-1}\right)^{-(x+3)}=2^{x+3}\), valor que é dado no enunciado.

11.1) \(5\)  •  11.2) \(\tfrac54\)  •  11.3) \(25\)  •  11.4) \(125\)  •  11.5) \(\tfrac58\)  •  11.6) \(\tfrac45\)  •  11.7) \(\sqrt5\)  •  11.8) \(40\)

12. Expressões com \(a\), \(b\) e \(c\)

12

Sejam \(a\), \(b\) e \(c\) três números reais tais que \(3^{a}=2\), \(3^{b}=7\) e \(2^{c}=5\).

Determine os seguintes valores.

  1. 12.1. \(3^{-a}\)
  2. 12.2. \(3^{b+2}\)
  3. 12.3. \(2^{3c}\)
  4. 12.4. \(3^{\frac{a}{2}}\)
  5. 12.5. \(4^{\frac{c}{2}}\)
  6. 12.6. \(3^{a+b}\)
  7. 12.7. \(3^{2a-b}\)
  8. 12.8. \(8^{-c}\)
  9. 12.9. \(2^{-\frac{c}{2}}\)
  10. 12.10. \(3^{ac}\)
12.1. a 12.5.
\[ \begin{aligned} &\textbf{12.1.}\ 3^{-a}=\frac{1}{3^{a}}=\frac12 &&\textbf{12.2.}\ 3^{b+2}=3^{b}\times 3^{2}=7\times 9=63\\[.35em] &\textbf{12.3.}\ 2^{3c}=\left(2^{c}\right)^{3}=5^{3}=125 &&\textbf{12.4.}\ 3^{\frac{a}{2}}=\left(3^{a}\right)^{\frac12}=\sqrt2\\[.35em] &\textbf{12.5.}\ 4^{\frac{c}{2}}=\left(2^{2}\right)^{\frac{c}{2}}=2^{c}=5 \end{aligned} \]
12.6. a 12.9.
\[ \begin{aligned} &\textbf{12.6.}\ 3^{a+b}=3^{a}\times 3^{b}=2\times 7=14 &&\textbf{12.7.}\ 3^{2a-b}=\frac{\left(3^{a}\right)^{2}}{3^{b}}=\frac{4}{7}\\[.35em] &\textbf{12.8.}\ 8^{-c}=\left(2^{3}\right)^{-c}=\frac{1}{\left(2^{c}\right)^{3}}=\frac{1}{125} &&\textbf{12.9.}\ 2^{-\frac{c}{2}}=\frac{1}{\left(2^{c}\right)^{\frac12}}=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5} \end{aligned} \]
12.10. — combinar as três condições

Aqui usa-se \(\left(3^{a}\right)^{c}=3^{ac}\) e, em seguida, a condição \(2^{c}=5\).

\[ 3^{ac}=\left(3^{a}\right)^{c}=2^{c}=5 \]
12.1) \(\tfrac12\)  •  12.2) \(63\)  •  12.3) \(125\)  •  12.4) \(\sqrt2\)  •  12.5) \(5\)  •  12.6) \(14\)  •  12.7) \(\tfrac47\)  •  12.8) \(\tfrac{1}{125}\)  •  12.9) \(\tfrac{\sqrt5}{5}\)  •  12.10) \(5\)

13. Determinar \(a\) e \(b\)

13

Determine os valores reais de \(a\) e de \(b\), com \(b\gt 0\), de modo que a função \(f(x)=b\,a^{x}\) satisfaça as seguintes condições.

  1. 13.1. \(f\) é decrescente e o seu gráfico passa no ponto de coordenadas \((0,\,7)\).
  2. 13.2. O gráfico de \(f\) passa nos pontos de coordenadas \((1,\,12)\) e \((2,\,48)\).
  3. 13.3. A imagem de \(-1\) é \(15\) e o gráfico de \(f\) passa no ponto de coordenadas \((0,\,5)\).
13.1.

Como \(f(0)=b\,a^{0}=b\), a condição \(f(0)=7\) dá \(b=7\).

Sendo \(b=7\gt 0\), a função \(f(x)=7a^{x}\) é decrescente se, e só se, a base verificar \(0\lt a\lt 1\).

\(b=7\) e \(a\in\left]0,\,1\right[\)
13.2.
\[ \begin{cases} f(1)=12\\ f(2)=48\end{cases} \iff \begin{cases} b\,a=12\\ b\,a^{2}=48\end{cases} \iff \begin{cases} b=\dfrac{12}{a}\\[.4em] \dfrac{12}{a}\times a^{2}=48\end{cases} \]

Da segunda equação vem \(12a=48\), ou seja, \(a=4\). Substituindo, \(b=\dfrac{12}{4}=3\).

\(a=4\) e \(b=3\)
13.3.

De \(f(0)=5\) vem imediatamente \(b=5\). Da imagem de \(-1\):

\[ f(-1)=15 \iff 5a^{-1}=15 \iff \frac{5}{a}=15 \iff a=\frac13 \]

Como \(a=\dfrac13\gt 0\), o valor obtido é admissível para base de uma função exponencial.

\(a=\dfrac13\) e \(b=5\)

14. Transformações do gráfico de \(3^{x}\)

14

Seja \(f(x)=3^{x}\). Para cada uma das seguintes funções, indique o domínio, o contradomínio, as coordenadas dos pontos de interseção com os eixos coordenados, a monotonia e o comportamento quando \(x\) tende para mais infinito e para menos infinito.

  1. 14.1. \(f_1(x)=f(x)-3\)
  2. 14.2. \(f_2(x)=f(x+2)\)
  3. 14.3. \(f_3(x)=f(x-1)+2\)
  4. 14.4. \(f_4(x)=-f(x)+9\)
  5. 14.5. \(f_5(x)=-f(x-2)\)
  6. 14.6. \(f_6(x)=f(-x)-1\)

Em todas as alíneas o domínio é \(\mathbb{R}\). Recorde-se que \(3^{x}\gt 0\) para todo o \(x\), que \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}3^{x}=0\) e que \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}3^{x}=+\infty\).

14.1. \(f_1(x)=3^{x}-3\)

Translação vertical de \(3\) unidades para baixo.

\[ f_1(x)=0 \iff 3^{x}=3 \iff x=1 \qquad\text{e}\qquad f_1(0)=1-3=-2 \]

\(D'_{f_1}=\left]-3,\,+\infty\right[\)  •  \(Ox\): \((1,\,0)\)  •  \(Oy\): \((0,\,-2)\)  •  crescente

\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f_1(x)=-3\) (assíntota horizontal \(y=-3\))  •  \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f_1(x)=+\infty\)

14.2. \(f_2(x)=3^{x+2}\)

Translação horizontal de \(2\) unidades para a esquerda; o gráfico mantém-se acima do eixo \(Ox\).

\[ f_2(0)=3^{2}=9 \]

\(D'_{f_2}=\mathbb{R}^{+}\)  •  \(Ox\): não interseta  •  \(Oy\): \((0,\,9)\)  •  crescente

\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f_2(x)=0\) (assíntota horizontal \(y=0\))  •  \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f_2(x)=+\infty\)

14.3. \(f_3(x)=3^{x-1}+2\)
\[ f_3(0)=3^{-1}+2=\frac13+2=\frac73 \]

Como \(3^{x-1}\gt 0\), tem-se \(f_3(x)\gt 2\) e a função nunca se anula.

\(D'_{f_3}=\left]2,\,+\infty\right[\)  •  \(Ox\): não interseta  •  \(Oy\): \(\left(0,\,\frac73\right)\)  •  crescente

\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f_3(x)=2\) (assíntota horizontal \(y=2\))  •  \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f_3(x)=+\infty\)

14.4. \(f_4(x)=-3^{x}+9\)

Reflexão do gráfico de \(f\) no eixo \(Ox\), seguida de translação de \(9\) unidades para cima.

\[ f_4(x)=0 \iff 3^{x}=9 \iff x=2 \qquad\text{e}\qquad f_4(0)=-1+9=8 \]

\(D'_{f_4}=\left]-\infty,\,9\right[\)  •  \(Ox\): \((2,\,0)\)  •  \(Oy\): \((0,\,8)\)  •  decrescente

\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f_4(x)=9\) (assíntota horizontal \(y=9\))  •  \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f_4(x)=-\infty\)

14.5. \(f_5(x)=-3^{x-2}\)
\[ f_5(0)=-3^{-2}=-\frac19 \]

Como \(3^{x-2}\gt 0\), tem-se \(f_5(x)\lt 0\) e a função nunca se anula.

\(D'_{f_5}=\mathbb{R}^{-}\)  •  \(Ox\): não interseta  •  \(Oy\): \(\left(0,\,-\frac19\right)\)  •  decrescente

\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f_5(x)=0\) (assíntota horizontal \(y=0\))  •  \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f_5(x)=-\infty\)

14.6. \(f_6(x)=3^{-x}-1\)

Reflexão no eixo \(Oy\), seguida de translação de \(1\) unidade para baixo.

\[ f_6(x)=0 \iff 3^{-x}=1 \iff -x=0 \iff x=0 \qquad\text{e}\qquad f_6(0)=0 \]

\(D'_{f_6}=\left]-1,\,+\infty\right[\)  •  \(Ox\) e \(Oy\): a origem \((0,\,0)\)  •  decrescente

\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f_6(x)=+\infty\)  •  \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f_6(x)=-1\) (assíntota horizontal \(y=-1\))

15. Transformações do gráfico de \(\left(\frac13\right)^{x}\)

15

Seja \(f(x)=\left(\dfrac13\right)^{x}\). Para cada uma das seguintes funções, indique o domínio, o contradomínio, as coordenadas dos pontos de interseção com os eixos coordenados, a monotonia e o comportamento quando \(x\) tende para mais infinito e para menos infinito.

  1. 15.1. \(f_1(x)=f(x)+2\)
  2. 15.2. \(f_2(x)=f(x-2)\)
  3. 15.3. \(f_3(x)=-f(x)-2\)
  4. 15.4. \(f_4(x)=f(x+1)-3\)

Agora a base é \(\dfrac13\), com \(0\lt\dfrac13\lt 1\): a função \(f\) é decrescente, \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty\) e \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=0\). O domínio é \(\mathbb{R}\) em todas as alíneas.

15.1. \(f_1(x)=\left(\frac13\right)^{x}+2\)
\[ f_1(0)=1+2=3 \]

Como \(\left(\frac13\right)^{x}\gt 0\), tem-se \(f_1(x)\gt 2\): a função nunca se anula.

\(D'_{f_1}=\left]2,\,+\infty\right[\)  •  \(Ox\): não interseta  •  \(Oy\): \((0,\,3)\)  •  decrescente

\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f_1(x)=+\infty\)  •  \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f_1(x)=2\) (assíntota horizontal \(y=2\))

15.2. \(f_2(x)=\left(\frac13\right)^{x-2}\)
\[ f_2(0)=\left(\frac13\right)^{-2}=3^{2}=9 \]

\(D'_{f_2}=\mathbb{R}^{+}\)  •  \(Ox\): não interseta  •  \(Oy\): \((0,\,9)\)  •  decrescente

\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f_2(x)=+\infty\)  •  \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f_2(x)=0\) (assíntota horizontal \(y=0\))

15.3. \(f_3(x)=-\left(\frac13\right)^{x}-2\)

A reflexão no eixo \(Ox\) troca o sentido de variação: \(f_3\) é crescente.

\[ f_3(0)=-1-2=-3 \]

Como \(-\left(\frac13\right)^{x}\lt 0\), tem-se \(f_3(x)\lt -2\).

\(D'_{f_3}=\left]-\infty,\,-2\right[\)  •  \(Ox\): não interseta  •  \(Oy\): \((0,\,-3)\)  •  crescente

\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f_3(x)=-\infty\)  •  \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f_3(x)=-2\) (assíntota horizontal \(y=-2\))

15.4. \(f_4(x)=\left(\frac13\right)^{x+1}-3\)
\[ f_4(x)=0 \iff \left(\frac13\right)^{x+1}=3 \iff 3^{-x-1}=3^{1} \iff -x-1=1 \iff x=-2 \]
\[ f_4(0)=\frac13-3=-\frac83 \]

\(D'_{f_4}=\left]-3,\,+\infty\right[\)  •  \(Ox\): \((-2,\,0)\)  •  \(Oy\): \(\left(0,\,-\frac83\right)\)  •  decrescente

\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f_4(x)=+\infty\)  •  \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f_4(x)=-3\) (assíntota horizontal \(y=-3\))

16. Valor lógico de afirmações

16

Considere a função \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) tal que \(f(x)=2^{x+1}-3\).

Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das seguintes afirmações.

  1. 16.1. O contradomínio da função \(f\) é \(\left]-3,\,+\infty\right[\).
  2. 16.2. O gráfico da função \(f\) interseta o eixo \(Oy\) no ponto de coordenadas \((0,\,-1)\).
  3. 16.3. A função \(f\) é decrescente.
  4. 16.4. O ponto de coordenadas \((2,\,5)\) pertence ao gráfico de \(f\).
  5. 16.5. \(f(x)\gt -3,\ \forall x\in\mathbb{R}\).
  6. 16.6. Existe um ponto no gráfico de \(f\) onde \(f(x)=-4\).
  7. 16.7. \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=-3\).
  8. 16.8. \(f(3)\) é o dobro de \(f(2)\).
16.1. — Verdadeira

Como \(2^{x+1}\gt 0\) para todo o \(x\in\mathbb{R}\), vem \(2^{x+1}-3\gt -3\); além disso \(2^{x+1}\) toma todos os valores positivos.

16.2. — Verdadeira
\[ f(0)=2^{0+1}-3=2-3=-1 \]
16.3. — Falsa

A base é \(2\gt 1\), logo \(x\mapsto 2^{x+1}\) é crescente e \(f\) também é crescente.

16.4. — Verdadeira
\[ f(2)=2^{3}-3=8-3=5 \]
16.5. — Verdadeira

É a mesma justificação da alínea 16.1.: \(2^{x+1}\gt 0 \Rightarrow f(x)\gt -3\).

16.6. — Falsa

Seria preciso \(2^{x+1}=-1\), o que é impossível, pois uma potência de base \(2\) é sempre positiva. Note-se ainda que \(-4\notin D'_f=\left]-3,+\infty\right[\).

16.7. — Verdadeira
\[ \lim_{x\to -\infty}\left(2^{x+1}-3\right)=0-3=-3 \]

A reta de equação \(y=-3\) é assíntota horizontal do gráfico de \(f\) quando \(x\to -\infty\).

16.8. — Falsa
\[ f(3)=2^{4}-3=13 \qquad\text{e}\qquad 2\times f(2)=2\times 5=10 \]

Como \(13\neq 10\), a afirmação é falsa.

16.1) V  •  16.2) V  •  16.3) F  •  16.4) V  •  16.5) V  •  16.6) F  •  16.7) V  •  16.8) F

17. Interseção com uma reta

17

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por:

\[ f(x)=\frac{120\times 3^{x}}{9^{x}+9} \]

Sejam \(A\) e \(B\) os pontos de interseção do gráfico de \(f\) com a reta de equação \(y=2x+16\), cuja abcissa é superior a \(-1\).

Seja \(d\) a distância entre os pontos \(A\) e \(B\), sendo \(A\) o ponto com menor abcissa e \(B\) o ponto com maior abcissa.

Recorrendo à calculadora gráfica, apresente as coordenadas dos pontos \(A\) e \(B\), com arredondamento às centésimas, e determine o valor de \(d\), com arredondamento às centésimas.

Passo 1 — visualizar na calculadora

Introduzem-se as duas funções:

\[ Y_1=\frac{120\times 3^{x}}{9^{x}+9} \qquad\text{e}\qquad Y_2=2x+16 \]

Numa janela como \(x\in\left[-1,\,3\right]\) e \(y\in\left[0,\,25\right]\) observam-se dois pontos de interseção. (O gráfico de \(f\) tem um máximo em \(x=1\), onde \(f(1)=20\), e tende para \(0\) quando \(x\to\pm\infty\).)

Passo 2 — pontos de interseção

Usando a funcionalidade de interseção da calculadora obtém-se:

\[ A\approx\left(0{,}46\,;\ 16{,}92\right) \qquad\text{e}\qquad B\approx\left(1{,}34\,;\ 18{,}68\right) \]
Passo 3 — distância entre \(A\) e \(B\)
\[ d=\overline{AB}=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^{2}+\left(y_B-y_A\right)^{2}} \approx\sqrt{0{,}88^{2}+1{,}76^{2}} \approx\sqrt{3{,}8720}\approx 1{,}97 \]
\(A\approx(0{,}46\,;\ 16{,}92)\), \(B\approx(1{,}34\,;\ 18{,}68)\) e \(d\approx 1{,}97\)

18. Valor de um equipamento

18

O valor de um equipamento, em milhares de euros, \(t\) anos após a sua compra, é dado pela função:

\[ V(t)=32\times 0{,}85^{\,t} \]
  1. 18.1. Qual é o valor do equipamento no momento da compra?
  2. 18.2. Qual é a taxa média de variação do valor do equipamento durante o terceiro ano? Interprete o resultado obtido no contexto do problema.
  3. 18.3. Determine o valor de \(\displaystyle\lim_{t\to +\infty} V(t)\) e interprete-o no contexto do problema.
  4. 18.4. Recorrendo à calculadora gráfica, determine ao fim de quantos anos o valor do equipamento desce para metade do valor inicial. Apresente o resultado arredondado às décimas.
18.1.
\[ V(0)=32\times 0{,}85^{0}=32 \]
No momento da compra o equipamento valia \(32\,000\) euros.
18.2. — taxa média de variação em \(\left[2,\,3\right]\)

O terceiro ano decorre entre \(t=2\) e \(t=3\).

\[ \begin{aligned} V(2)&=32\times 0{,}85^{2}=32\times 0{,}7225=23{,}12\\ V(3)&=32\times 0{,}85^{3}=32\times 0{,}614125=19{,}652 \end{aligned} \]
\[ t.m.v._{\left[2,3\right]}=\frac{V(3)-V(2)}{3-2}=\frac{19{,}652-23{,}12}{1}=-3{,}468 \]
Durante o terceiro ano o equipamento desvalorizou, em média, \(3\,468\) euros por ano.
18.3.

Como \(0\lt 0{,}85\lt 1\), tem-se \(\displaystyle\lim_{t\to +\infty}0{,}85^{\,t}=0\).

\[ \lim_{t\to +\infty} V(t)=32\times 0=0 \]
A longo prazo o valor do equipamento tende para zero, embora nunca chegue a anular-se.
18.4.

Metade do valor inicial é \(16\) milhares de euros. Na calculadora, determina-se a interseção de \(Y_1=32\times 0{,}85^{x}\) com \(Y_2=16\):

\[ 32\times 0{,}85^{\,t}=16 \iff 0{,}85^{\,t}=0{,}5 \implies t\approx 4{,}265 \]
Ao fim de aproximadamente \(4{,}3\) anos.

19. Propagação de uma notícia falsa

19

O número de pessoas, \(N\), em milhões, que tomaram conhecimento de uma notícia falsa (fake news), \(t\) dias após a sua publicação numa rede social, é dado pela função:

\[ N(t)=\frac{5}{1+999\times 0{,}4^{\,t}} \]
  1. 19.1. Quantas pessoas tinham conhecimento da notícia quando foi publicada?
  2. 19.2. Determine o número máximo de pessoas que, a longo prazo, se prevê que tomem conhecimento desta notícia.
  3. 19.3. Recorrendo à calculadora gráfica, determine em que momento o número de pessoas que tomaram conhecimento da notícia atinge \(90\%\) do seu potencial máximo. Apresente o resultado arredondado às unidades.
19.1.

No momento da publicação tem-se \(t=0\):

\[ N(0)=\frac{5}{1+999\times 0{,}4^{0}}=\frac{5}{1+999}=\frac{5}{1000}=0{,}005 \]
\(0{,}005\) milhões, ou seja, \(5\,000\) pessoas.
19.2.

Como \(0\lt 0{,}4\lt 1\), tem-se \(\displaystyle\lim_{t\to +\infty}0{,}4^{\,t}=0\) e, portanto:

\[ \lim_{t\to +\infty} N(t)=\frac{5}{1+999\times 0}=\frac{5}{1}=5 \]
A longo prazo prevê-se que a notícia chegue, no máximo, a \(5\) milhões de pessoas.
19.3.

\(90\%\) do potencial máximo corresponde a \(0{,}9\times 5=4{,}5\) milhões. Na calculadora, determina-se a interseção de \(Y_1=N(x)\) com \(Y_2=4{,}5\):

\[ \frac{5}{1+999\times 0{,}4^{\,t}}=4{,}5 \implies t\approx 9{,}94 \]
Cerca de \(10\) dias após a publicação.

20. Determinar \(k\) e \(m\)

20

Seja \(f\) uma função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=k+3^{\,mx}\), em que \(k\) e \(m\) são números reais.

Sabendo que o gráfico da função \(f\) contém os pontos de coordenadas \((1,\,11)\) e \((2,\,83)\), determine os valores de \(k\) e de \(m\).

Passo 1 — traduzir as condições
\[ \begin{cases} f(1)=11\\ f(2)=83 \end{cases} \iff \begin{cases} k+3^{\,m}=11\\ k+3^{\,2m}=83 \end{cases} \]
Passo 2 — mudança de variável

Faz-se \(u=3^{\,m}\), com \(u\gt 0\). Como \(3^{\,2m}=\left(3^{\,m}\right)^{2}=u^{2}\):

\[ \begin{cases} k+u=11\\ k+u^{2}=83 \end{cases} \]

Subtraindo a primeira equação da segunda, elimina-se \(k\):

\[ u^{2}-u=72 \iff u^{2}-u-72=0 \iff u=\frac{1\pm\sqrt{1+288}}{2}=\frac{1\pm 17}{2} \iff u=9 \ \lor\ u=-8 \]

Como \(u=3^{\,m}\gt 0\), rejeita-se \(u=-8\).

Passo 3 — voltar a \(k\) e \(m\)
\[ 3^{\,m}=9=3^{2} \iff m=2 \qquad\text{e}\qquad k=11-u=11-9=2 \]

Verificação: \(f(x)=2+3^{2x}\) dá \(f(1)=2+9=11\) e \(f(2)=2+81=83\).

\(k=2\) e \(m=2\)

21. Juro composto

21

A Luísa depositou \(8000\) euros em regime de juro composto, a uma taxa anual de \(3\%\), com juros pagos anualmente.

  1. 21.1. Qual é o capital acumulado ao fim de um ano? E ao fim de três anos?
  2. 21.2. Escreva uma expressão que permita obter o capital acumulado, \(C\), ao fim de \(n\) anos.
  3. 21.3. Determine, recorrendo à calculadora gráfica, quanto tempo demora a acumular um capital de \(12\,000\) euros. Apresente o resultado em anos e meses, com os meses arredondados às unidades.
  4. 21.4. Calcule, com arredondamento às centésimas, o valor de \(\dfrac{C(n+10)}{C(n)}\) e interprete o resultado obtido no contexto do problema.
21.1.

Em cada ano o capital fica multiplicado por \(1+0{,}03=1{,}03\).

\[ \begin{aligned} \text{1 ano: }\ & 8000\times 1{,}03=8240\\ \text{3 anos: }\ & 8000\times 1{,}03^{3}=8000\times 1{,}092727=8741{,}816 \end{aligned} \]
\(8\,240\) euros ao fim de um ano e, aproximadamente, \(8\,741{,}82\) euros ao fim de três anos.
21.2.
\[ C(n)=8000\times 1{,}03^{\,n}\ ,\qquad n\in\mathbb{N}_0 \]
21.3.

Na calculadora, determina-se a interseção de \(Y_1=8000\times 1{,}03^{x}\) com \(Y_2=12000\):

\[ 8000\times 1{,}03^{\,n}=12000 \iff 1{,}03^{\,n}=1{,}5 \implies n\approx 13{,}72 \]

A parte decimal corresponde a \(0{,}72\times 12\approx 8{,}6\) meses, ou seja, cerca de \(9\) meses.

Aproximadamente \(13\) anos e \(9\) meses.
21.4.
\[ \frac{C(n+10)}{C(n)} =\frac{8000\times 1{,}03^{\,n+10}}{8000\times 1{,}03^{\,n}} =1{,}03^{10}\approx 1{,}34 \]
De \(10\) em \(10\) anos o capital fica multiplicado por, aproximadamente, \(1{,}34\) — ou seja, aumenta cerca de \(34\%\) —, qualquer que seja o ano considerado.

22. Duas consolas de jogos

22

Duas empresas, Gama \((\gamma)\) e Delta \((\delta)\), lançaram novas consolas de jogos.

O número de utilizadores, \(U\), em milhares, \(t\) meses após o lançamento, é dado por:

\[ U_{\gamma}(t)=180\times\left(1-0{,}75^{\,t}\right) \qquad\text{e}\qquad U_{\delta}(t)=\frac{240}{1+239\times 0{,}6^{\,t}} \]
  1. 22.1. Quantos utilizadores tem cada consola um mês após o lançamento?
  2. 22.2. Determine \(\displaystyle\lim_{t\to +\infty} U_{\gamma}(t)\) e interprete o valor obtido no contexto do problema.
  3. 22.3. Qual das duas consolas tem o maior número de utilizadores a longo prazo?
  4. 22.4. Recorrendo à calculadora gráfica, determine ao fim de quanto tempo o número de utilizadores da consola Delta é superior em \(10\) mil ao número de utilizadores da consola Gama. Apresente o resultado em meses arredondado às unidades.
22.1.
\[ \begin{aligned} U_{\gamma}(1)&=180\times\left(1-0{,}75\right)=180\times 0{,}25=45\\ U_{\delta}(1)&=\frac{240}{1+239\times 0{,}6}=\frac{240}{144{,}4}\approx 1{,}662 \end{aligned} \]
Um mês após o lançamento: \(45\,000\) utilizadores na Gama e cerca de \(1\,662\) utilizadores na Delta.
22.2.

Como \(0\lt 0{,}75\lt 1\), tem-se \(\displaystyle\lim_{t\to +\infty}0{,}75^{\,t}=0\).

\[ \lim_{t\to +\infty} U_{\gamma}(t)=180\times\left(1-0\right)=180 \]
A longo prazo o número de utilizadores da consola Gama tende para \(180\) mil, valor que nunca chega a atingir.
22.3.
\[ \lim_{t\to +\infty} U_{\delta}(t)=\frac{240}{1+239\times 0}=240 \]

Como \(240\gt 180\), a longo prazo a consola Delta tem mais utilizadores.

A consola Delta, com um valor tendente para \(240\) mil utilizadores.
22.4.

Pretende-se \(U_{\delta}(t)-U_{\gamma}(t)=10\). Na calculadora, determina-se a interseção de

\[ Y_1=\frac{240}{1+239\times 0{,}6^{x}}-180\times\left(1-0{,}75^{x}\right) \qquad\text{com}\qquad Y_2=10 \]

obtendo-se \(t\approx 13{,}14\). Repare-se que, antes desse instante, a diferença é menor do que \(10\) mil (por exemplo, para \(t=13\) a diferença é de cerca de \(7{,}2\) mil).

Ao fim de aproximadamente \(13\) meses.

23. Associar gráficos a funções exponenciais

23

Na figura apresentam-se as representações gráficas das funções \(f\), \(g\) e \(h\), de domínio \(\mathbb{R}\).

Três gráficos de funções exponenciais: o 1 decrescente, e o 2 e o 3 crescentes, sendo o 2 o mais acentuado

Associe cada uma das funções, \(f\), \(g\) e \(h\), a seguir definidas, à sua representação gráfica.

\[ f(x)=0{,}35^{x}\ ;\qquad g(x)=3^{x}\ ;\qquad h(x)=9{,}1^{x} \]
Passo 1 — crescente ou decrescente?

Numa função exponencial \(y=a^{x}\), o sentido de variação depende da base:

\[ a\gt 1 \Longrightarrow \text{crescente} \qquad\qquad 0\lt a\lt 1 \Longrightarrow \text{decrescente} \]

Como \(0\lt 0{,}35\lt 1\), a função \(f\) é decrescente: só pode ser o gráfico \(1\), o único que desce.

As bases de \(g\) e de \(h\) são maiores do que \(1\), pelo que ambas são crescentes: são os gráficos \(2\) e \(3\).

Passo 2 — distinguir \(g\) de \(h\)

Entre duas exponenciais crescentes, a de maior base cresce mais depressa para \(x\gt 0\). Como \(9{,}1\gt 3\), o gráfico de \(h\) sobe mais rapidamente — é o gráfico \(2\), o mais «encostado» ao eixo \(Oy\). Sobra o gráfico \(3\) para \(g\).

Confirma-se com um ponto, por exemplo \(x=1\):

\[ f(1)=0{,}35\ ;\qquad g(1)=3\ ;\qquad h(1)=9{,}1 \]

Note-se ainda que os três gráficos passam no ponto \((0,1)\), porque \(a^{0}=1\) para qualquer base \(a\).

\(f\to\) gráfico \(1\) \(\qquad\) \(g\to\) gráfico \(3\) \(\qquad\) \(h\to\) gráfico \(2\)

24. Arrefecimento de uma peça de vidro

24

Numa empresa fabricam-se peças de vidro.

As peças são arrefecidas num compartimento a uma temperatura constante de \(22\,^{\circ}\mathrm{C}\).

O arrefecimento de uma peça de vidro é modelado pela função \(f\) definida por:

\[ f(t)=78\times 0{,}25^{\,t}+22\ ,\qquad t\in[0,10] \]

em que \(f(t)\) é a temperatura, em \(^{\circ}\mathrm{C}\), \(t\) horas após o instante inicial.

  1. 24.1. Calcule a temperatura, em \(^{\circ}\mathrm{C}\), arredondada às décimas, para:
    • a) \(t=0\)
    • b) \(t=2{,}5\)
  2. 24.2. Considera-se que a peça está totalmente arrefecida quando atinge uma temperatura de \(22{,}1\,^{\circ}\mathrm{C}\). Determine o tempo, em horas e minutos, que a peça demora a ficar totalmente arrefecida.
  3. 24.3. Admitindo que o modelo seria válido para \(t\in\mathbb{R}^{+}\), qual seria a equação da assíntota horizontal ao gráfico da função?
24.1. a)

Como \(0{,}25^{0}=1\):

\[ f(0)=78\times 1+22=100 \]
\(100{,}0\,^{\circ}\mathrm{C}\) — é a temperatura da peça no instante inicial.
24.1. b)

Repare-se que \(0{,}25=\dfrac14=4^{-1}\), pelo que \(0{,}25^{2{,}5}=4^{-2{,}5}=\dfrac{1}{4^{2}\times\sqrt{4}}=\dfrac{1}{32}\).

\[ f(2{,}5)=78\times\frac{1}{32}+22=2{,}4375+22=24{,}4375 \]
\(f(2{,}5)\approx 24{,}4\,^{\circ}\mathrm{C}\)
24.2. — a equação
\[ 78\times 0{,}25^{\,t}+22=22{,}1 \iff 78\times 0{,}25^{\,t}=0{,}1 \iff 0{,}25^{\,t}=\frac{0{,}1}{78}=\frac{1}{780} \]
24.2. — resolver em ordem a \(t\)

Aplicando logaritmos (ou, de imediato, a definição de logaritmo):

\[ t=\log_{0{,}25}\frac{1}{780} =\frac{\ln\frac{1}{780}}{\ln 0{,}25} =\frac{-\ln 780}{-\ln 4} =\frac{\ln 780}{\ln 4}\approx 4{,}8037 \]

O valor pertence a \([0,10]\), pelo que é aceitável no contexto. Convertendo a parte decimal em minutos:

\[ 0{,}8037\times 60\approx 48{,}2 \]

Na calculadora gráfica chegava-se ao mesmo resultado, determinando a interseção de \(Y_1=78\times 0{,}25^{x}+22\) com \(Y_2=22{,}1\).

A peça demora aproximadamente \(4\) horas e \(48\) minutos a ficar totalmente arrefecida.
24.3.

Quando \(t\to +\infty\), a base \(0{,}25\) está entre \(0\) e \(1\), pelo que \(0{,}25^{\,t}\to 0\):

\[ \lim_{t\to +\infty}\left(78\times 0{,}25^{\,t}+22\right)=78\times 0+22=22 \]

\(y=22\)

É a temperatura do compartimento: a peça arrefece aproximando-se dos \(22\,^{\circ}\mathrm{C}\), sem nunca os atingir.

25. Decaimento de uma substância

25

A massa, \(m\), de uma substância, em gramas, decresce com a passagem do tempo, \(t\), em horas.

A massa, em gramas, de uma amostra dessa substância, ao fim de \(t\) horas de observação, é dada para determinados valores reais de \(a\) e \(k\) por:

\[ m(t)=a\times 4^{-kt} \]

Sabendo que, no instante \(t=0\), a massa da amostra era \(10\) g e que, a partir da segunda hora, a massa existente em cada instante era \(12{,}5\%\) da massa existente uma hora antes, determine os valores de \(a\) e de \(k\).

Passo 1 — determinar \(a\)

A primeira informação dá \(m(0)=10\). Como \(4^{0}=1\):

\[ m(0)=a\times 4^{-k\times 0}=a\times 4^{0}=a \qquad\Longrightarrow\qquad a=10 \]
Passo 2 — traduzir a segunda condição

«A massa em cada instante é \(12{,}5\%\) da massa existente uma hora antes» escreve-se:

\[ m(t+1)=0{,}125\times m(t) \]

Dividindo ambos os membros por \(m(t)\), que nunca é nulo:

\[ \frac{m(t+1)}{m(t)}=\frac{a\times 4^{-k(t+1)}}{a\times 4^{-kt}} =4^{-k(t+1)-(-kt)}=4^{-k} \]

Repare-se que o resultado não depende de \(t\): em qualquer hora a razão é sempre a mesma.

Passo 3 — determinar \(k\)

Fica \(4^{-k}=0{,}125\). Escrevendo tudo na base \(2\), com \(0{,}125=\dfrac18=2^{-3}\) e \(4^{-k}=\left(2^{2}\right)^{-k}=2^{-2k}\):

\[ 2^{-2k}=2^{-3} \iff -2k=-3 \iff k=\frac32 \]
Verificação

Com \(a=10\) e \(k=1{,}5\) vem \(m(t)=10\times 4^{-1{,}5t}=10\times 8^{-t}\):

\[ m(0)=10\ ;\quad m(1)=\frac{10}{8}=1{,}25\ ;\quad \frac{m(1)}{m(0)}=0{,}125\quad\checkmark \]
\(a=10\) e \(k=\dfrac32=1{,}5\)

26. Capitalizações trimestrais e semestrais

26

Um capital de \(15\,000\) € foi depositado num banco à taxa anual de \(2{,}1\%\) no regime de juros compostos.

Calcule o capital, em euros, arredondado ao cêntimo, disponível ao fim de:

  1. 26.1. um ano com capitalizações trimestrais;
  2. 26.2. dois anos com capitalizações semestrais.
A fórmula a usar

Com um capital inicial \(C_0\), uma taxa anual \(i\) e \(n\) capitalizações por ano, ao fim de \(t\) anos o capital é:

\[ C=C_0\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n\,t} \]

Em cada período aplica-se a taxa \(\dfrac{i}{n}\) e há, ao todo, \(n\times t\) períodos.

26.1. — um ano, capitalizações trimestrais

Trimestrais significa \(n=4\) (quatro trimestres por ano); \(t=1\), logo há \(4\) capitalizações. A taxa trimestral é \(\dfrac{0{,}021}{4}=0{,}00525\).

\[ C=15\,000\left(1+\frac{0{,}021}{4}\right)^{4\times 1} =15\,000\times 1{,}00525^{4}\approx 15\,317{,}489 \]
\(15\,317{,}49\) €
26.2. — dois anos, capitalizações semestrais

Semestrais significa \(n=2\); com \(t=2\) anos há \(2\times 2=4\) capitalizações. A taxa semestral é \(\dfrac{0{,}021}{2}=0{,}0105\).

\[ C=15\,000\left(1+\frac{0{,}021}{2}\right)^{2\times 2} =15\,000\times 1{,}0105^{4}\approx 15\,639{,}992 \]
\(15\,639{,}99\) €

27. Duplicação do número de bactérias

27

Numa infeção, o número de bactérias existentes num organismo, \(x\) horas após um instante inicial, é bem modelado pela função \(f\) definida por:

\[ f(x)=30\,000\times 1{,}25^{\,x} \]

Determine o tempo que é necessário decorrer para que o número de bactérias duplique.

Apresente o resultado em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.

Passo 1 — escrever a equação

No instante inicial há \(f(0)=30\,000\times 1{,}25^{0}=30\,000\) bactérias. Duplicar é chegar a \(60\,000\):

\[ 30\,000\times 1{,}25^{\,x}=60\,000 \iff 1{,}25^{\,x}=2 \]

Repare-se que o valor inicial se cancela: o tempo de duplicação não depende do número de bactérias no início.

Passo 2 — resolver
\[ x=\log_{1{,}25}2=\frac{\ln 2}{\ln 1{,}25}\approx 3{,}1063 \]
Passo 3 — passar a horas e minutos
\[ 0{,}1063\times 60\approx 6{,}4 \]
São necessárias, aproximadamente, \(3\) horas e \(6\) minutos.

28. Arrefecimento de um chá

28

Às \(17\!:\!00\), a Alice serviu um chá quente numa chávena que deixou a arrefecer até ficar a uma temperatura próxima da temperatura ambiente.

Admita que a temperatura do chá, \(t\) minutos após ter sido colocado na chávena, é dada, em \(^{\circ}\mathrm{C}\), por:

\[ T(t)=65e^{-0{,}1t}+25 \]
  1. 28.1. A que temperatura foi servido o chá?
  2. 28.2. A que horas a temperatura do chá atingiu \(35\,^{\circ}\mathrm{C}\)?
    Recorra à calculadora gráfica para resolver a equação que lhe permite dar a resposta.
    Apresente o resultado em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.
  3. 28.3. Determine a temperatura ambiente do local em que foi servido o chá.
28.1.

O chá foi servido no instante inicial, \(t=0\). Como \(e^{0}=1\):

\[ T(0)=65e^{0}+25=65+25=90 \]
O chá foi servido a \(90\,^{\circ}\mathrm{C}\).
28.2. — com a calculadora gráfica

Introduzem-se as duas funções e procura-se a interseção dos gráficos, numa janela adequada (por exemplo, \(x\in[0,60]\) e \(y\in[20,95]\)):

\[ Y_1=65e^{-0{,}1x}+25 \qquad\text{e}\qquad Y_2=35 \]

Obtém-se \(t\approx 18{,}72\) minutos, ou seja, \(19\) minutos com os minutos arredondados às unidades.

28.2. — confirmação analítica
\[ 65e^{-0{,}1t}+25=35 \iff e^{-0{,}1t}=\frac{10}{65}=\frac{2}{13} \]
\[ -0{,}1t=\ln\frac{2}{13} \iff t=-10\ln\frac{2}{13} \iff t=10\ln 6{,}5\approx 18{,}72 \]
28.2. — responder no contexto

O chá foi servido às \(17\!:\!00\), pelo que se somam \(19\) minutos.

A temperatura do chá atingiu \(35\,^{\circ}\mathrm{C}\) às \(17\!:\!19\).
28.3.

O chá arrefece até ficar a uma temperatura próxima da do ambiente, ou seja, a temperatura ambiente é o valor para que \(T\) tende a longo prazo. Como \(-0{,}1\lt 0\), tem-se \(e^{-0{,}1t}\to 0\) quando \(t\to +\infty\):

\[ \lim_{t\to +\infty}\left(65e^{-0{,}1t}+25\right)=65\times 0+25=25 \]

A reta de equação \(y=25\) é assíntota horizontal do gráfico de \(T\).

A temperatura ambiente do local é \(25\,^{\circ}\mathrm{C}\).

29. Função exponencial e a sua inversa

29

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=4^{x}\).

  1. 29.1. Determine \(f^{-1}\left(\dfrac{1}{16}\right)\).
  2. 29.2. Determine a solução da equação \(f(x)=f(-x)\).
29.1. — usar a definição de inversa

A função exponencial é injetiva, logo invertível. Por definição, \(f^{-1}\left(\frac{1}{16}\right)=a \iff f(a)=\frac{1}{16}\).

\[ 4^{a}=\frac{1}{16} \iff 4^{a}=4^{-2} \iff a=-2 \]
\(f^{-1}\left(\dfrac{1}{16}\right)=-2\)
29.2.

Como a base \(4\) é diferente de \(1\), a igualdade de potências obriga à igualdade dos expoentes:

\[ 4^{x}=4^{-x} \iff x=-x \iff 2x=0 \iff x=0 \]

Geometricamente: o gráfico de \(f(-x)=\left(\frac14\right)^{x}\) é a reflexão do gráfico de \(f\) no eixo \(Oy\), e os dois só se intersetam no ponto \((0,\,1)\).

\(x=0\), ou seja, \(\text{C.S.}=\{0\}\)

30. Comparação de \(2^{x}\) com \(3^{-x}\)

30

Considere as funções \(f\) e \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definidas por \(f(x)=2^{x}\) e \(g(x)=3^{-x}\).

  1. 30.1. Para que valores de \(x\) se tem \(f(x)\gt g(x)\)?
  2. 30.2. Considere a função \(\dfrac{g}{f}\), de domínio \(\mathbb{R}\). Qual é o valor de \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{g}{f}\right)(x)\)?
30.1. — reduzir a uma só potência

Como \(3^{x}\gt 0\) para todo o \(x\), pode multiplicar-se ambos os membros por \(3^{x}\) sem alterar o sentido da desigualdade:

\[ 2^{x}\gt 3^{-x} \iff 2^{x}\gt\frac{1}{3^{x}} \iff 2^{x}\times 3^{x}\gt 1 \iff 6^{x}\gt 6^{0} \]

A base é \(6\gt 1\), pelo que a função \(x\mapsto 6^{x}\) é estritamente crescente e a desigualdade entre potências passa para os expoentes com o mesmo sentido:

\[ 6^{x}\gt 6^{0} \iff x\gt 0 \]
\(f(x)\gt g(x)\) para \(x\in\mathbb{R}^{+}=\left]0,\,+\infty\right[\)
30.2. — simplificar antes de calcular o limite
\[ \left(\frac{g}{f}\right)(x)=\frac{3^{-x}}{2^{x}}=\frac{1}{3^{x}\times 2^{x}}=\frac{1}{6^{x}}=\left(\frac16\right)^{x} \]

Como \(0\lt\dfrac16\lt 1\), a função é estritamente decrescente e tende para zero:

\[ \lim_{x\to +\infty}\left(\frac16\right)^{x}=0 \]
\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{g}{f}\right)(x)=0\)

31. Equação com a inversa e a composta

31

Considere as funções \(f\) e \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definidas por \(f(x)=2x+3\) e \(g(x)=3^{x}\).

Determine, com recurso à calculadora gráfica, a solução da equação \(\left(f^{-1}\circ g\right)(x)=10\).

Apresente o valor pedido arredondado às décimas.

Passo 1 — expressão de \(f^{-1}\)

\(f\) é afim de declive \(2\neq 0\), logo invertível.

\[ y=2x+3 \iff 2x=y-3 \iff x=\frac{y-3}{2} \qquad\Longrightarrow\qquad f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2} \]
Passo 2 — expressão da composta
\[ \left(f^{-1}\circ g\right)(x)=f^{-1}\big(g(x)\big)=f^{-1}\left(3^{x}\right)=\frac{3^{x}-3}{2} \]
Passo 3 — simplificar a equação
\[ \frac{3^{x}-3}{2}=10 \iff 3^{x}-3=20 \iff 3^{x}=23 \]
Passo 4 — calculadora gráfica

Introduzem-se as funções

\[ Y_1=3^{x} \qquad\text{e}\qquad Y_2=23 \]

numa janela como \(x\in\left[0,\,4\right]\) e \(y\in\left[0,\,30\right]\). Usando a funcionalidade de interseção obtém-se \(x\approx 2{,}854\).

Como \(3^{2}=9\) e \(3^{3}=27\), a solução tinha mesmo de estar entre \(2\) e \(3\), mais perto de \(3\).

\(x\approx 2{,}9\)

32. Função exponencial de base \(e\)

32

Na figura, está representada, em referencial o.n. \(Oxy\), parte do gráfico da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=e^{x}\).

Gráfico crescente de f(x) igual a e elevado a x, com um ponto P no semieixo positivo das abcissas, o ponto A do gráfico com a mesma abcissa de P, e o triângulo OAP sombreado
  1. 32.1. Qual dos seguintes é o valor de \(\left(f\circ f\right)(0)\)?
    • (A) \(0\)
    • (C) \(1\)
    • (B) \(\dfrac{1}{e}\)
    • (D) \(e\)
  2. 32.2. Qual dos seguintes é o valor de \(f^{-1}(1)+f(-1)\)?
    • (A) \(0\)
    • (C) \(1\)
    • (B) \(\dfrac{1}{e}\)
    • (D) \(e\)
  3. 32.3. Considere um ponto \(P\), que se desloca sobre o semieixo positivo das abcissas. Seja \(A\) o ponto pertencente ao gráfico da função que tem a mesma abcissa que o ponto \(P\). Para cada posição do ponto \(P\), define-se um triângulo \([OAP]\).

    Qual das expressões seguintes representa, em função de \(x\) (abcissa do ponto \(P\)), a área do triângulo \([OAP]\)?

    • (A) \(x\cdot e^{x}\)
    • (C) \(\dfrac{x+e^{x}}{2}\)
    • (B) \(\dfrac{x\cdot e^{x}}{2}\)
    • (D) \(e^{x}\)

Adaptado de Exame, Época Especial, 2009

32.1.

Calcula-se de dentro para fora, começando por \(f(0)=e^{0}=1\):

\[ \left(f\circ f\right)(0)=f\big(f(0)\big)=f(1)=e^{1}=e \]
Opção (D)
32.2.

Pela definição de função inversa, \(f^{-1}(1)=a \iff e^{a}=1 \iff a=0\).

\[ f^{-1}(1)+f(-1)=0+e^{-1}=\frac{1}{e} \]

A opção (D) resulta de trocar \(f^{-1}(1)\) por \(f(1)\); a opção (C), de esquecer que \(e^{-1}\neq 1\).

Opção (B)
32.3. — identificar os catetos

Sendo \(x\) a abcissa de \(P\), tem-se \(P=(x,\,0)\) e \(A=\left(x,\,e^{x}\right)\). O triângulo \([OAP]\) é retângulo em \(P\), com:

\[ \overline{OP}=x \qquad\text{e}\qquad \overline{AP}=e^{x} \]
\[ A_{[OAP]}=\frac{\overline{OP}\times\overline{AP}}{2}=\frac{x\cdot e^{x}}{2} \]

A opção (A) esquece a divisão por \(2\) e a opção (C) soma os catetos em vez de os multiplicar.

Opção (B)

33. Juro composto e o número \(e\)

33

A Sofia tem \(10\,000\) euros depositados num banco na modalidade de juros compostos.

  1. 33.1. Suponha que a taxa de juro anual é de \(2{,}5\%\). Determine o capital acumulado ao final de \(4\) anos, arredondando aos cêntimos, se as capitalizações forem:
    • a) semestrais;
    • b) mensais.
  2. 33.2. Admita que o número de períodos de capitalização por ano pode ser tanto quanto se queira. Qual é o valor máximo do capital acumulado ao fim de um ano?
Fórmula do juro composto

Com \(n\) capitalizações por ano, cada período tem taxa \(\dfrac{r}{n}\) e, ao fim de \(t\) anos, houve \(n\times t\) capitalizações:

\[ C=C_0\left(1+\frac{r}{n}\right)^{\,n\,t} \qquad\text{com}\qquad C_0=10\,000 \ \text{ e }\ r=0{,}025 \]
33.1. a) — capitalizações semestrais

\(n=2\) e \(t=4\), ou seja, \(8\) períodos de taxa \(\dfrac{0{,}025}{2}=0{,}0125\).

\[ C=10\,000\left(1+0{,}0125\right)^{8}=10\,000\times 1{,}0125^{8}\approx 10\,000\times 1{,}1044861 \]
\(C\approx 11\,044{,}86\) euros
33.1. b) — capitalizações mensais

\(n=12\) e \(t=4\), ou seja, \(48\) períodos de taxa \(\dfrac{0{,}025}{12}\).

\[ C=10\,000\left(1+\frac{0{,}025}{12}\right)^{48}\approx 10\,000\times 1{,}1050560 \]
\(C\approx 11\,050{,}56\) euros

Aumentar a frequência das capitalizações aumenta o capital, mas pouco: a diferença entre as duas alíneas é de apenas \(5{,}70\) euros.

33.2. — fazer \(n\) tender para infinito

Ao fim de um ano \((t=1)\), o capital em função do número \(n\) de capitalizações é:

\[ C(n)=10\,000\left(1+\frac{0{,}025}{n}\right)^{n} \]

Trata-se de uma sucessão crescente e limitada. Recorde-se o limite notável que define o número \(e\) e a sua generalização:

\[ \lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e \qquad\Longrightarrow\qquad \lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n}=e^{\,a} \]
\[ \lim_{n\to +\infty} C(n)=10\,000\,e^{\,0{,}025}\approx 10\,000\times 1{,}0253151 \]

Este é o regime de capitalização contínua: por mais que se aumente o número de períodos, o capital ao fim de um ano nunca chega a \(10\,253{,}16\) euros.

O valor máximo é \(10\,000\,e^{0{,}025}\approx 10\,253{,}15\) euros.

34. Produto de \(e^{x}\) por \(e^{-x}\)

34

Considere as funções \(f\) e \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definidas por \(f(x)=e^{x}\) e \(g(x)=e^{-x}\).

Qual das seguintes funções é constante?

  • (A) \(\dfrac{f}{g}\)
  • (C) \(f+g\)
  • (B) \(\dfrac{g}{f}\)
  • (D) \(f\times g\)
Testar as quatro opções

Basta aplicar as propriedades operatórias das potências de base \(e\):

\[ \begin{aligned} &\textbf{(A)}\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{e^{x}}{e^{-x}}=e^{x-(-x)}=e^{2x} &&\textbf{(B)}\ \left(\frac{g}{f}\right)(x)=\frac{e^{-x}}{e^{x}}=e^{-2x}\\[.45em] &\textbf{(C)}\ (f+g)(x)=e^{x}+e^{-x} &&\textbf{(D)}\ (f\times g)(x)=e^{x}\times e^{-x}=e^{x-x}=e^{0}=1 \end{aligned} \]

Só em (D) o resultado não depende de \(x\): a função \(f\times g\) é constante e igual a \(1\).

Que as outras não são constantes vê-se com dois valores. Por exemplo, em (C):

\[ (f+g)(0)=1+1=2 \qquad\text{e}\qquad (f+g)(1)=e+\frac{1}{e}\approx 3{,}09 \]
Opção (D)

35. Contradomínio, interseções e área

35

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=2^{x}-4\).

  1. 35.1. Qual é o contradomínio da função \(f\)?
  2. 35.2. Determine as coordenadas do ponto de interseção do gráfico da função \(f\) com a reta de equação \(y=4\).
  3. 35.3. Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), o gráfico da função \(f\) e o triângulo \([AOB]\) em que \(A\) e \(B\) são os pontos de interseção do gráfico da função \(f\) com o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas, respetivamente. Determine a área do triângulo \([AOB]\).
35.1.

A função \(x\mapsto 2^{x}\) toma todos os valores positivos e só esses. Subtrair \(4\) é uma translação vertical de \(4\) unidades para baixo:

\[ 2^{x}\gt 0 \implies 2^{x}-4\gt -4 \]
\(D'_f=\left]-4,\,+\infty\right[\) (a reta \(y=-4\) é assíntota horizontal quando \(x\to -\infty\))
35.2.
\[ 2^{x}-4=4 \iff 2^{x}=8 \iff 2^{x}=2^{3} \iff x=3 \]
O ponto de interseção é \((3,\,4)\).
35.3. — coordenadas de \(A\) e de \(B\)

\(A\) está no eixo \(Ox\), logo tem ordenada nula:

\[ f(x)=0 \iff 2^{x}=4 \iff 2^{x}=2^{2} \iff x=2 \qquad\Longrightarrow\qquad A=(2,\,0) \]

\(B\) está no eixo \(Oy\), logo tem abcissa nula:

\[ f(0)=2^{0}-4=1-4=-3 \qquad\Longrightarrow\qquad B=(0,\,-3) \]
35.3. — área

O triângulo \([AOB]\) é retângulo em \(O\), com catetos sobre os eixos:

\[ \overline{OA}=2 \ ,\qquad \overline{OB}=\left|-3\right|=3 \qquad\Longrightarrow\qquad A_{[AOB]}=\frac{2\times 3}{2}=3 \]
A área do triângulo \([AOB]\) é \(3\) unidades de área.

36. Sinal de \(a\) e de \(b\) a partir do gráfico

36

Na figura, está representada graficamente a função \(f\) definida por \(f(x)=a^{x}+b\), com \(a\in\mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}\) e \(b\in\mathbb{R}\).

Gráfico decrescente de uma função exponencial que interseta o eixo das abcissas e tende para uma assíntota horizontal situada abaixo do eixo Ox

Pode afirmar-se que:

  • (A) \(a\gt 1 \ \land\ b\gt 0\)
  • (C) \(0\lt a\lt 1 \ \land\ b\gt 0\)
  • (B) \(a\gt 1 \ \land\ b\lt 0\)
  • (D) \(0\lt a\lt 1 \ \land\ b\lt 0\)
Passo 1 — a monotonia dá a base \(a\)

Somar \(b\) é apenas uma translação vertical, que não altera o sentido de variação. Como o gráfico é decrescente, a função \(x\mapsto a^{x}\) também é decrescente e, portanto:

\[ 0\lt a\lt 1 \]

Ficam excluídas as opções (A) e (B).

Passo 2 — a assíntota dá \(b\)

Sendo \(0\lt a\lt 1\), tem-se \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}a^{x}=0\) e, portanto:

\[ \lim_{x\to +\infty}f(x)=0+b=b \]

A reta de equação \(y=b\) é assíntota horizontal do gráfico. Na figura, essa reta está abaixo do eixo \(Ox\), logo \(b\lt 0\).

Confirmação — o gráfico interseta o eixo \(Ox\)

Um zero de \(f\) obriga a \(a^{x}=-b\); como uma potência de base positiva é sempre positiva, isso só é possível se \(-b\gt 0\), ou seja, \(b\lt 0\).

Opção (D)

37. Área de um triângulo

37

Na figura, está representado, em referencial o.n. \(Oxy\), o gráfico da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=2^{x}+3\).

O ponto \(A\) é o ponto de interseção do gráfico de \(f\) com o eixo das ordenadas.

Gráfico crescente de f(x) igual a 2 elevado a x mais 3, com o ponto A no eixo das ordenadas, o ponto P sobre o gráfico com abcissa positiva e o ponto B com a abcissa de P e a ordenada de A, formando um triângulo sombreado

Considere um ponto \(P\) a deslocar-se sobre o gráfico de \(f\), com abcissa positiva. Para cada posição do ponto \(P\), define-se um triângulo \([ABP]\), retângulo em \(B\), em que \(B\) tem a mesma abcissa que o ponto \(P\) e a mesma ordenada que o ponto \(A\).

Qual das expressões seguintes representa, em função de \(x\) (abcissa do ponto \(P\)), a área do triângulo \([ABP]\)?

  • (A) \(\dfrac{x\left(2^{x}+3\right)}{2}\)
  • (C) \(\dfrac{x\left(2^{x}-1\right)}{2}\)
  • (B) \(x\times\left(2^{x-1}-1\right)\)
  • (D) \(x\times\left(2^{x}+3\right)\)
Passo 1 — coordenadas dos três vértices

\(A\) está no eixo \(Oy\), logo \(A=\big(0,\,f(0)\big)\):

\[ f(0)=2^{0}+3=1+3=4 \qquad\Longrightarrow\qquad A=(0,\,4) \]

Sendo \(x\) a abcissa de \(P\), vem \(P=\left(x,\,2^{x}+3\right)\) e, por construção, \(B=(x,\,4)\).

Passo 2 — os catetos

\([AB]\) é horizontal e \([BP]\) é vertical:

\[ \overline{AB}=x-0=x \qquad\text{e}\qquad \overline{BP}=\left(2^{x}+3\right)-4=2^{x}-1 \]

Note-se que \(\overline{BP}\gt 0\), pois \(x\gt 0\) implica \(2^{x}\gt 2^{0}=1\).

Passo 3 — área
\[ A_{[ABP]}=\frac{\overline{AB}\times\overline{BP}}{2}=\frac{x\left(2^{x}-1\right)}{2} \]

A opção (A) usa a ordenada de \(P\) em vez do comprimento de \([BP]\), e a opção (D) esquece ainda a divisão por \(2\).

Opção (C)

38. Contradomínio e composta de \(4^{-x}-8\)

38

Considere a função \(h\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(h(x)=4^{-x}-8\).

  1. 38.1. Qual é o contradomínio da função \(h\)?
  2. 38.2. Determine \(h^{-1}(24)+\left(h\circ h\right)\left(-\dfrac32\right)\).
38.1.

Escrevendo \(4^{-x}=\left(\dfrac14\right)^{x}\), trata-se de uma exponencial de base \(\dfrac14\), que toma todos os valores positivos e só esses:

\[ 4^{-x}\gt 0 \implies 4^{-x}-8\gt -8 \]
\(D'_h=\left]-8,\,+\infty\right[\)
38.2. — primeira parcela: \(h^{-1}(24)\)

Pela definição de inversa, \(h^{-1}(24)=a \iff h(a)=24\):

\[ 4^{-a}-8=24 \iff 4^{-a}=32 \iff 2^{-2a}=2^{5} \iff -2a=5 \iff a=-\frac52 \]
38.2. — segunda parcela: \(\left(h\circ h\right)\left(-\frac32\right)\)

Calcula-se de dentro para fora:

\[ h\left(-\frac32\right)=4^{\frac32}-8=\left(\sqrt4\right)^{3}-8=8-8=0 \]
\[ \left(h\circ h\right)\left(-\frac32\right)=h(0)=4^{0}-8=1-8=-7 \]
38.2. — soma
\[ h^{-1}(24)+\left(h\circ h\right)\left(-\frac32\right)=-\frac52+(-7)=-\frac52-\frac{14}{2}=-\frac{19}{2} \]
\(-\dfrac{19}{2}=-9{,}5\)

39. Contradomínio de uma função composta

39

Considere as funções \(f\) e \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definidas por \(f(x)=2^{x}-3\) e \(g(x)=(x+3)^{2}\).

Determine o contradomínio da função \(g\circ f\).

Passo 1 — expressão da composta

Como \(D_f=D_g=\mathbb{R}\), a composta tem domínio \(\mathbb{R}\). Substituindo:

\[ \left(g\circ f\right)(x)=g\big(f(x)\big)=\big(f(x)+3\big)^{2}=\left(2^{x}-3+3\right)^{2}=\left(2^{x}\right)^{2}=4^{x} \]

O \(-3\) de \(f\) e o \(+3\) de \(g\) anulam-se: a composta é simplesmente a exponencial de base \(4\).

Passo 2 — contradomínio

A função \(x\mapsto 4^{x}\) toma todos os valores positivos e só esses.

\[ D'_{g\circ f}=\mathbb{R}^{+}=\left]0,\,+\infty\right[ \]

Chegava-se ao mesmo sem simplificar: \(D'_f=\left]-3,+\infty\right[\), logo \(f(x)+3\) percorre \(\mathbb{R}^{+}\), e o quadrado de um número positivo qualquer volta a percorrer \(\mathbb{R}^{+}\).

\(D'_{g\circ f}=\mathbb{R}^{+}\)

40. Determinar \(g(4)\)

40

Considere a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=a^{x}+b\), com \(a\in\mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}\) e \(b\in\mathbb{R}\).

Sabe-se que:

  • • \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} g(x)=\dfrac52\);
  • • \(g(2)=\dfrac92\).

Determine \(g(4)\).

Passo 1 — o limite dá \(b\) (e o sinal de \(a-1\))

O comportamento de \(a^{x}\) quando \(x\to -\infty\) depende da base:

\[ \lim_{x\to -\infty}a^{x}= \begin{cases} 0 & \text{se } a\gt 1\\ +\infty & \text{se } 0\lt a\lt 1 \end{cases} \]

Como o limite de \(g\) é finito, tem de ser \(a\gt 1\) e, nesse caso:

\[ \lim_{x\to -\infty} g(x)=0+b=b=\frac52 \]
Passo 2 — a imagem de \(2\) dá \(a\)
\[ g(2)=\frac92 \iff a^{2}+\frac52=\frac92 \iff a^{2}=2 \iff a=\sqrt2 \ \ \left(a\gt 0\right) \]

O valor obtido é admissível: \(\sqrt2\approx 1{,}41\gt 1\), como exigia o Passo 1.

Passo 3 — calcular \(g(4)\)
\[ g(4)=\left(\sqrt2\right)^{4}+\frac52=4+\frac52=\frac{13}{2} \]

Em alternativa, sem determinar \(a\): \(a^{4}=\left(a^{2}\right)^{2}=2^{2}=4\).

\(g(4)=\dfrac{13}{2}=6{,}5\)