Derivadas | Matemática A

📌 Resumo teórico

Derivada num ponto e reta tangente

\[ f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} =\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]

O valor \(f'(a)\) é o declive da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(a\). A equação reduzida dessa reta é:

\[ y=f'(a)\,(x-a)+f(a) \]

Em particular: a tangente é horizontal (paralela ao eixo \(Ox\)) quando \(f'(a)=0\); duas retas são paralelas quando têm o mesmo declive.

Regras de derivação

\[ \begin{aligned} &\textbf{1.}\ (\operatorname{sen} x)'=\cos x &&\textbf{2.}\ (\cos x)'=-\operatorname{sen} x\\[.35em] &\textbf{3.}\ (\tan x)'=1+\tan^{2}x &&\textbf{4.}\ \left(x^{k}\right)'=k\,x^{k-1}\\[.35em] &\textbf{5.}\ \left(a^{x}\right)'=a^{x}\ln a\ \ \left(\text{em particular }\left(e^{x}\right)'=e^{x}\right) &&\textbf{6.}\ \left(\log_a x\right)'=\dfrac{1}{x\ln a}\ \ \left(\text{em particular }(\ln x)'=\dfrac1x\right) \end{aligned} \]

Operações com derivadas (11.º ano)

\[ \begin{aligned} &\textbf{1.}\ (f+g)'=f'+g' &&\textbf{2.}\ (f-g)'=f'-g'\\[.35em] &\textbf{3.}\ (f\times g)'=f'\,g+f\,g' &&\textbf{4.}\ \left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}} \end{aligned} \]

Derivada da função composta (regra da cadeia)

\[ (f\circ g)'(x)=f'\big(g(x)\big)\times g'(x) \]

Aplicando-a às regras anteriores, obtêm-se as versões compostas, em que \(u\) é uma função de \(x\). São estas as que se usam na maior parte dos exercícios:

\[ \begin{aligned} &\textbf{1.}\ \left(u^{\alpha}\right)'=\alpha\,u^{\alpha-1}u'\ ,\ \alpha\in\mathbb{R} &&\textbf{2.}\ \left(e^{u}\right)'=u'\,e^{u}\\[.35em] &\textbf{3.}\ \left(a^{u}\right)'=u'\,a^{u}\ln a &&\textbf{4.}\ \left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}\\[.35em] &\textbf{5.}\ \left(\log_a u\right)'=\dfrac{u'}{u\ln a} &&\textbf{6.}\ \left(\operatorname{sen} u\right)'=u'\cos u\\[.35em] &\textbf{7.}\ \left(\cos u\right)'=-u'\operatorname{sen} u &&\textbf{8.}\ \left(\tan u\right)'=\dfrac{u'}{\cos^{2}u} \end{aligned} \]

Recorde-se ainda que \(\left(\tan x\right)'=\dfrac{1}{\cos^{2}x}=1+\tan^{2}x\): são duas escritas da mesma derivada.

Problemas de otimização

Para estudar a função \(f\) quanto à monotonia e à existência de extremos, podemos realizar as seguintes etapas:

obter uma expressão da derivada de \(f\);
obter os zeros da derivada de \(f\);
construir um quadro de sinal de \(f'\) e monotonia de \(f\);
apresentar os intervalos de monotonia e identificar os extremos de \(f\).

Num problema de otimização há ainda dois cuidados a ter: escrever a grandeza a otimizar em função de uma só variável e não esquecer o domínio do problema — muitas vezes mais restrito do que o domínio da expressão —, porque é nele que se procura o extremo e é ele que exclui zeros da derivada inadmissíveis.

1. Derivada e reta tangente

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=2e^{x}+3x^{2}\).

1.1. Qual dos seguintes é o valor de \(f'(1)\)?
- (A) \(2e+6\)
- (C) \(2e+3\)
- (B) \(e+6\)
- (D) \(6e\)
1.2. Escreva a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(0\).

1.1.

Derivando parcela a parcela, com \(\left(e^{x}\right)'=e^{x}\) e \(\left(x^{2}\right)'=2x\):

f'(x)=2e^{x}+6x

f'(1)=2e^{1}+6\times 1=2e+6

Opção (A)

1.2. — ordenada e declive no ponto

f(0)=2e^{0}+3\times 0^{2}=2 \qquad\text{e}\qquad f'(0)=2e^{0}+6\times 0=2

1.2. — equação da reta

y=f'(0)\,(x-0)+f(0) \iff y=2x+2

\(y=2x+2\)

2. Tangentes com declive dado

Considere a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(g(x)=\ln x+2x\).

2.1. Averigue se existe algum ponto do gráfico de \(g\) tal que a reta tangente ao gráfico seja paralela ao eixo das abcissas.
2.2. Escreva a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de \(g\) paralela à reta de equação \(y=3x\).

Passo prévio — a função derivada

g'(x)=\frac1x+2\ ,\qquad x\gt 0

2.1.

Uma reta paralela ao eixo \(Ox\) tem declive nulo, pelo que seria preciso \(g'(x)=0\):

\frac1x+2=0 \iff \frac1x=-2 \iff x=-\frac12

Ora \(-\dfrac12\notin\mathbb{R}^{+}\), pelo que não pertence ao domínio de \(g\).

De outro modo: para \(x\gt 0\) tem-se \(\dfrac1x\gt 0\) e, portanto, \(g'(x)\gt 2\gt 0\): a derivada nunca se anula.

Não existe nenhum ponto nessas condições.

2.2. — o ponto de tangência

Retas paralelas têm o mesmo declive, logo procura-se \(x\) tal que \(g'(x)=3\):

\frac1x+2=3 \iff \frac1x=1 \iff x=1

2.2. — equação da reta

g(1)=\ln 1+2\times 1=0+2=2

y=3\,(x-1)+2 \iff y=3x-1

\(y=3x-1\)

3. Declive de uma tangente

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(f(x)=\ln^{2}x\).

Determine o declive da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(\dfrac13\).

Apresente o valor obtido na forma \(-\ln(k)\), com \(k\in\mathbb{R}^{+}\).

Passo 1 — derivar com a regra da cadeia

Repare-se que \(\ln^{2}x=\left(\ln x\right)^{2}\): é uma potência de expoente \(2\) de \(u=\ln x\). Aplicando \(\left(u^{2}\right)'=2u\,u'\), com \(u'=\dfrac1x\):

f'(x)=2\ln x\times\frac1x=\frac{2\ln x}{x}

Passo 2 — calcular no ponto

f'\left(\frac13\right)=\frac{2\ln\frac13}{\frac13}=2\times 3\times\ln\frac13=6\ln\frac13

Como \(\ln\dfrac13=-\ln 3\):

f'\left(\frac13\right)=-6\ln 3

Passo 3 — escrever na forma pedida

Usando \(k\ln x=\ln\left(x^{k}\right)\):

-6\ln 3=-\ln\left(3^{6}\right)=-\ln 729

O declive é \(-\ln(729)\), ou seja, \(k=729\).

4. Um limite que é uma derivada

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=\operatorname{sen} x\).

4.1. Qual dos seguintes é o valor de \(\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{f(x)-1}{x-\frac{\pi}{2}}\)?
- (A) \(-1\)
- (C) \(1\)
- (B) \(0\)
- (D) \(2\)
4.2. No intervalo \(\left[0,\,2\pi\right]\), os gráficos das funções \(f\) e \(f'\) intersetam-se em exatamente dois pontos. Determine as abcissas desses pontos.

4.1. — reconhecer a definição de derivada

Como \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}=1\), o numerador é \(f(x)-f\left(\frac{\pi}{2}\right)\). O limite é, por definição, a derivada de \(f\) no ponto \(\dfrac{\pi}{2}\):

\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{f(x)-f\left(\frac{\pi}{2}\right)}{x-\frac{\pi}{2}}=f'\left(\frac{\pi}{2}\right)

f'(x)=\cos x \implies f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}=0

Opção (B)

4.2. — igualar as duas expressões

\operatorname{sen} x=\cos x

Nos pontos em que \(\cos x=0\) tem-se \(\operatorname{sen} x=\pm 1\neq 0\), pelo que se pode dividir ambos os membros por \(\cos x\):

\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}=1 \iff \tan x=1

4.2. — soluções no intervalo

\tan x=1 \iff x=\frac{\pi}{4}+k\pi\ ,\ k\in\mathbb{Z}

Em \(\left[0,\,2\pi\right]\), os valores obtidos são \(\dfrac{\pi}{4}\) (com \(k=0\)) e \(\dfrac{5\pi}{4}\) (com \(k=1\)).

As abcissas são \(\dfrac{\pi}{4}\) e \(\dfrac{5\pi}{4}\).

5. Retas tangentes paralelas

Considere a função \(g\), de domínio \(\left]0,+\infty\right[\), definida por \(g(x)=2x\ln^{2}x-5x\ln x+5x\), e as retas \(r\) e \(s\).

Sabe-se que:

• a reta \(r\) é tangente ao gráfico de \(g\) no ponto de abcissa \(\dfrac{1}{\sqrt{e^{5}}}\);
• a reta \(s\) é tangente ao gráfico de \(g\) num ponto \(A\);
• as retas \(r\) e \(s\) são paralelas.

Determine a equação reduzida da reta \(s\).

Passo 1 — a função derivada

Deriva-se parcela a parcela, usando a regra do produto nas duas primeiras.

\begin{aligned} \left(2x\ln^{2}x\right)'&=2\ln^{2}x+2x\times 2\ln x\times\frac1x=2\ln^{2}x+4\ln x\\ \left(-5x\ln x\right)'&=-5\ln x-5x\times\frac1x=-5\ln x-5\\ (5x)'&=5 \end{aligned}

g'(x)=2\ln^{2}x+4\ln x-5\ln x-5+5=2\ln^{2}x-\ln x

Passo 2 — o declive da reta \(r\)

A abcissa do ponto de tangência de \(r\) é \(\dfrac{1}{\sqrt{e^{5}}}=e^{-\frac52}\), pelo que \(\ln x=-\dfrac52\):

g'\left(e^{-\frac52}\right)=2\left(-\frac52\right)^{2}-\left(-\frac52\right)=2\times\frac{25}{4}+\frac52=\frac{25}{2}+\frac52=15

Como \(r\) e \(s\) são paralelas, o declive de \(s\) é também \(15\).

Passo 3 — a abcissa do ponto \(A\)

Procura-se \(x\) tal que \(g'(x)=15\). Fazendo \(u=\ln x\):

2u^{2}-u=15 \iff 2u^{2}-u-15=0 \iff u=\frac{1\pm\sqrt{1+120}}{4}=\frac{1\pm 11}{4} \iff u=3 \ \lor\ u=-\frac52

O valor \(u=-\dfrac52\) corresponde ao ponto de tangência de \(r\); logo, para o ponto \(A\), tem-se \(\ln x=3\), ou seja, \(x=e^{3}\).

Passo 4 — a equação de \(s\)

g\left(e^{3}\right)=2e^{3}\times 3^{2}-5e^{3}\times 3+5e^{3} =18e^{3}-15e^{3}+5e^{3}=8e^{3}

y=15\left(x-e^{3}\right)+8e^{3} \iff y=15x-15e^{3}+8e^{3} \iff y=15x-7e^{3}

\(y=15x-7e^{3}\)

6. Tangente que passa na origem

Para certos valores reais de \(a\) e \(m\), não nulos, a reta de equação \(y=mx\) é tangente ao gráfico da função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=a\,e^{3x}\).

Determine a abcissa do ponto de tangência.

Passo 1 — traduzir a tangência

Seja \(x_0\) a abcissa do ponto de tangência. Ser tangente significa que, nesse ponto, a reta e o gráfico têm o mesmo valor e o mesmo declive:

\begin{cases} f(x_0)=m\,x_0\\[.3em] f'(x_0)=m \end{cases}

Como \(f'(x)=3a\,e^{3x}\), o sistema escreve-se:

\begin{cases} a\,e^{3x_0}=m\,x_0\\[.3em] 3a\,e^{3x_0}=m \end{cases}

Passo 2 — substituir \(m\)

Substituindo \(m=3a\,e^{3x_0}\) na primeira equação:

a\,e^{3x_0}=3a\,e^{3x_0}\times x_0

Como \(a\neq 0\) e \(e^{3x_0}\neq 0\), pode dividir-se ambos os membros por \(a\,e^{3x_0}\):

1=3x_0 \iff x_0=\frac13

Repare-se que o resultado não depende de \(a\): qualquer que seja \(a\neq 0\), a tangente ao gráfico que passa na origem toca-o sempre no ponto de abcissa \(\dfrac13\).

A abcissa do ponto de tangência é \(\dfrac13\).

7. Derivada da função composta

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções diferenciáveis em \(\mathbb{R}\), tais que:

• a função \(f\) é definida por \(f(x)=\cos x+2x\);
• a reta de equação \(y=2x-\pi\) é tangente ao gráfico da função \(g\) no ponto de abcissa \(\pi\).

Determine \((f\circ g)'(\pi)\).

Passo 1 — o que a reta tangente nos diz sobre \(g\)

Uma reta tangente ao gráfico de \(g\) no ponto de abcissa \(\pi\) tem, nesse ponto, a mesma ordenada e o mesmo declive que \(g\):

g(\pi)=2\pi-\pi=\pi \qquad\text{e}\qquad g'(\pi)=2

(O declive lê-se diretamente da equação reduzida \(y=2x-\pi\).)

Passo 2 — a derivada de \(f\)

f'(x)=-\operatorname{sen} x+2

Passo 3 — regra da cadeia

(f\circ g)'(\pi)=f'\big(g(\pi)\big)\times g'(\pi)=f'(\pi)\times 2

f'(\pi)=-\operatorname{sen}\pi+2=-0+2=2

(f\circ g)'(\pi)=2\times 2=4

\((f\circ g)'(\pi)=4\)

8. Regra da cadeia

Determine uma expressão da derivada da função \(f\) definida por:

8.1. \(f(x)=\sqrt{x^{2}+4}\)
8.2. \(f(x)=\sqrt[3]{3x-2}\)
8.3. \(f(x)=\operatorname{sen}(3x+2)\)
8.4. \(f(x)=\cos\left(x^{3}\right)\)
8.5. \(f(x)=\tan\left(x^{2}\right)\)
8.6. \(f(x)=\cos^{2}(x)\)

Em todas as alíneas se aplica a regra da cadeia: identifica-se a função "de dentro", \(u\), deriva-se a função "de fora" e multiplica-se por \(u'\).

8.1. — com \(u=x^{2}+4\)

Escrevendo \(\sqrt{u}=u^{\frac12}\), vem \(\left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\):

f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+4}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}

8.2. — expoente fracionário

f(x)=(3x-2)^{\frac13} \implies f'(x)=\frac13(3x-2)^{-\frac23}\times 3=(3x-2)^{-\frac23}

f'(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{(3x-2)^{2}}}

8.3. — com \(u=3x+2\)

f'(x)=\cos(3x+2)\times 3=3\cos(3x+2)

8.4. — com \(u=x^{3}\)

f'(x)=-\operatorname{sen}\left(x^{3}\right)\times 3x^{2}=-3x^{2}\operatorname{sen}\left(x^{3}\right)

8.5. — com \(u=x^{2}\)

Usa-se \((\tan u)'=\left(1+\tan^{2}u\right)u'\):

f'(x)=\left(1+\tan^{2}\left(x^{2}\right)\right)\times 2x=2x\left(1+\tan^{2}\left(x^{2}\right)\right)

8.6. — potência de uma função

Aqui \(\cos^{2}(x)=\left(\cos x\right)^{2}\): é uma potência de expoente \(2\) de \(u=\cos x\).

f'(x)=2\cos x\times(-\operatorname{sen} x)=-2\operatorname{sen} x\cos x

Pela fórmula do seno do dobro, \(2\operatorname{sen} x\cos x=\operatorname{sen}(2x)\), pelo que também se pode escrever \(f'(x)=-\operatorname{sen}(2x)\).

9. Tangente paralela à bissetriz

Considere a função \(f\) definida por \(f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{3}\).

Prove que a reta tangente ao gráfico da função \(f\) em \(x=0\) é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Passo 1 — o declive da bissetriz

A bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta de equação \(y=x\), cujo declive é \(1\). Provar o paralelismo é, portanto, provar que \(f'(0)=1\).

Passo 2 — derivar

A constante \(\dfrac13\) fica em fator e aplica-se a regra da cadeia a \(\operatorname{sen}(3x)\):

f'(x)=\frac13\times\cos(3x)\times 3=\cos(3x)

Passo 3 — calcular em \(x=0\)

f'(0)=\cos(3\times 0)=\cos 0=1

Como \(f'(0)=1\), a reta tangente ao gráfico de \(f\) em \(x=0\) tem declive \(1\), igual ao da bissetriz dos quadrantes ímpares: as duas retas são paralelas.

10. Derivada de \(f(ax+b)\)

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções deriváveis em \(\mathbb{R}\) tais que

f'(x)=4x+3 \qquad\text{e}\qquad g(x)=f(3x-2)

Determine:

10.1. \(g'(x)\)
10.2. os valores de \(x\) para os quais a reta tangente ao gráfico de \(g\), no ponto com essa abcissa, é horizontal.

10.1. — regra da cadeia

A função \(g\) é a composta de \(f\) com \(x\mapsto 3x-2\), cuja derivada é \(3\):

g'(x)=f'(3x-2)\times 3

Substituindo \(x\) por \(3x-2\) na expressão de \(f'\):

\begin{aligned} f'(3x-2)&=4(3x-2)+3=12x-8+3=12x-5\\ g'(x)&=3(12x-5)=36x-15 \end{aligned}

\(g'(x)=36x-15\)

10.2. — tangente horizontal

Uma reta horizontal tem declive nulo:

g'(x)=0 \iff 36x-15=0 \iff x=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}

\(x=\dfrac{5}{12}\)

11. Composta com parâmetro

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções deriváveis em \(\mathbb{R}\). Sabe-se que:

• \(f\) e \(g\) são definidas por \(f(x)=\operatorname{sen} x+k\) e \(g(x)=-x^{2}+k\), para \(k\in\mathbb{R}\);
• o mínimo de \(f\) é \(0\);
• a reta tangente ao gráfico de \(g\) no ponto \(P\) tem inclinação \(135^{\circ}\).

Determine o declive da reta tangente ao gráfico de \(f\circ g\) no ponto com abcissa igual à abcissa de \(P\).

Passo 1 — determinar \(k\)

Como \(-1\leqslant\operatorname{sen} x\leqslant 1\), o mínimo de \(f\) é \(-1+k\). Logo:

-1+k=0 \iff k=1

Fica \(f(x)=\operatorname{sen} x+1\) e \(g(x)=-x^{2}+1\).

Passo 2 — a abcissa de \(P\)

O declive de uma reta é a tangente da sua inclinação:

m=\tan\left(135^{\circ}\right)=-1

Como \(g'(x)=-2x\), a abcissa \(x_P\) verifica:

-2x_P=-1 \iff x_P=\frac12

Passo 3 — regra da cadeia

(f\circ g)'(x)=f'\big(g(x)\big)\times g'(x)=\cos\big(g(x)\big)\times(-2x)

g\left(\frac12\right)=-\frac14+1=\frac34

(f\circ g)'\left(\frac12\right)=\cos\left(\frac34\right)\times\left(-2\times\frac12\right)=-\cos\left(\frac34\right)

Com a calculadora em radianos, \(-\cos(0{,}75)\approx -0{,}73\).

O declive pedido é \(-\cos\left(\dfrac34\right)\approx -0{,}73\).

12. Tangentes paralelas e extremos

Considere, num referencial o.n. \(Oxy\), a função \(f\) definida, em \(\left[0,\,2\pi\right]\), por \(f(x)=2x+2\operatorname{sen} x\).

12.1. Prove, usando métodos analíticos, que existem dois pontos do gráfico de \(f\) cuja reta tangente nesses pontos é paralela à reta de equação \(y=2x\).
12.2. Justifique que é falsa a proposição:
"Se \(f'(a)=0\), com \(a\in\left[0,\,2\pi\right]\), então \(f\) tem um extremo relativo em \(x=a\)."

Passo prévio — a função derivada

f'(x)=2+2\cos x

12.1.

A reta \(y=2x\) tem declive \(2\), pelo que se procuram os pontos onde \(f'(x)=2\):

2+2\cos x=2 \iff 2\cos x=0 \iff \cos x=0

\cos x=0 \iff x=\frac{\pi}{2}+k\pi\ ,\ k\in\mathbb{Z}

No intervalo \(\left[0,\,2\pi\right]\) obtêm-se exatamente dois valores: \(x=\dfrac{\pi}{2}\) e \(x=\dfrac{3\pi}{2}\).

Existem dois pontos nessas condições, de abcissas \(\dfrac{\pi}{2}\) e \(\dfrac{3\pi}{2}\).

12.2. — encontrar um contraexemplo

f'(x)=0 \iff 2+2\cos x=0 \iff \cos x=-1

Em \(\left[0,\,2\pi\right]\), a única solução é \(x=\pi\). Vejamos que aí não há extremo relativo.

12.2. — estudar o sinal da derivada

Como \(\cos x\geqslant -1\) para todo o \(x\), tem-se:

f'(x)=2+2\cos x\geqslant 0\ ,\quad \forall x\in\left[0,\,2\pi\right]

A derivada é positiva em todo o intervalo, exceto no ponto isolado \(x=\pi\), onde é nula. Logo \(f\) é crescente em \(\left[0,\,2\pi\right]\) e não muda de sentido de variação em \(x=\pi\): a função não tem aí nem máximo nem mínimo relativo — a tangente é apenas horizontal.

A proposição é falsa: \(a=\pi\) verifica \(f'(\pi)=2+2\cos\pi=0\), mas \(f\) não tem extremo relativo em \(x=\pi\), por ser crescente em todo o intervalo.

13. Composta com uma reta tangente

Sejam \(f\) e \(g\) funções de domínio \(\mathbb{R}\), sendo \(g\) definida por \(g(x)=e^{x}\).

A reta \(t\) é tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \(A\), de abcissa \(-2\), e é definida pela equação \(y=2x+5\).

13.1. Determine as coordenadas do ponto \(A\).
13.2. Determine \((g\circ f)'(-2)\).

13.1.

O ponto \(A\) pertence à reta \(t\) (é o ponto de tangência), pelo que basta substituir \(x=-2\) na equação de \(t\):

y=2\times(-2)+5=1

\(A(-2,\,1)\)

13.2. — o que a tangente nos diz sobre \(f\)

Como \(A\) também pertence ao gráfico de \(f\) e o declive de \(t\) é a derivada nesse ponto:

f(-2)=1 \qquad\text{e}\qquad f'(-2)=2

13.2. — regra da cadeia

(g\circ f)'(x)=g'\big(f(x)\big)\times f'(x)=e^{f(x)}\times f'(x)

(g\circ f)'(-2)=e^{f(-2)}\times f'(-2)=e^{1}\times 2=2e

\((g\circ f)'(-2)=2e\)

14. Derivada de uma composta

Considere as funções \(f\), \(g\) e \(h\), tais que \(h(x)=(f\circ g)(x)\), com \(x\in\mathbb{R}\).

Sabe-se que a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), é definida por \(g(x)=x^{2}+2\), e que \(h'(3)=\dfrac16\).

Qual poderá ser o valor de \(f'(11)\)?

(A) \(\dfrac{1}{36}\)
(C) \(6\)
(B) \(\dfrac{1}{33}\)
(D) \(33\)

Passo 1 — porquê \(f'(11)\)

Pela regra da cadeia, \(h'(x)=f'\big(g(x)\big)\times g'(x)\). Em \(x=3\):

g(3)=3^{2}+2=11 \qquad\text{e}\qquad g'(x)=2x \implies g'(3)=6

É por isso que a informação dada permite chegar a \(f'(11)\).

Passo 2 — resolver

h'(3)=f'(11)\times 6=\frac16 \iff f'(11)=\frac{1}{36}

Opção (A)

15. Expressões da derivada

Determine a expressão algébrica de \(f'(x)\), se:

15.1. \(f(x)=3^{x^{2}-4x}\)
15.2. \(f(x)=\ln\left(7x-x^{2}\right)\)
15.3. \(f(x)=\log_3\left(\sqrt{x+2}\right)\)
15.4. \(f(x)=\sqrt{x^{2}-5x}\)
15.5. \(f(x)=\dfrac{e^{3x^{2}-1}}{x}\)
15.6. \(f(x)=\dfrac{\ln(3x)}{e^{3x}}\)
15.7. \(f(x)=\log\left(\dfrac{5}{x+3}\right)\)
15.8. \(f(x)=x\,3^{\frac1x}\)
15.9. \(f(x)=2\pi x\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\)
15.10. \(f(x)=\tan(5x)\)
15.11. \(f(x)=\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\)
15.12. \(f(x)=x\operatorname{sen}(3x)\)

15.1. — \(\left(a^{u}\right)'=u'a^{u}\ln a\)

f'(x)=(2x-4)\,3^{x^{2}-4x}\ln 3

15.2. — \(\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}\)

f'(x)=\frac{7-2x}{7x-x^{2}}

15.3. — simplificar antes de derivar

Como \(\sqrt{x+2}=(x+2)^{\frac12}\), tem-se \(\log_3\left(\sqrt{x+2}\right)=\dfrac12\log_3(x+2)\):

f'(x)=\frac12\times\frac{1}{(x+2)\ln 3}=\frac{1}{2(x+2)\ln 3}

15.4. — \(\left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\)

f'(x)=\frac{2x-5}{2\sqrt{x^{2}-5x}}

15.5. — regra do quociente

\begin{aligned} f'(x)&=\frac{6x\,e^{3x^{2}-1}\times x-e^{3x^{2}-1}\times 1}{x^{2}}\\ &=\frac{e^{3x^{2}-1}\left(6x^{2}-1\right)}{x^{2}} \end{aligned}

15.6.

\begin{aligned} f'(x)&=\frac{\dfrac{3}{3x}\,e^{3x}-\ln(3x)\times 3e^{3x}}{\left(e^{3x}\right)^{2}} =\frac{e^{3x}\left(\dfrac1x-3\ln(3x)\right)}{e^{6x}}\\ &=\frac{1-3x\ln(3x)}{x\,e^{3x}} \end{aligned}

15.7. — separar o logaritmo

Começa-se por separar o logaritmo do quociente:

\log\left(\frac{5}{x+3}\right)=\log 5-\log(x+3)

A parcela \(\log 5\) é uma constante, cuja derivada é nula:

f'(x)=-\frac{1}{(x+3)\ln 10}

15.8. — regra do produto

Com \(u=\dfrac1x\), vem \(u'=-\dfrac{1}{x^{2}}\):

\begin{aligned} f'(x)&=1\times 3^{\frac1x}+x\times\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)3^{\frac1x}\ln 3\\ &=3^{\frac1x}\left(1-\frac{\ln 3}{x}\right) \end{aligned}

15.9. — produto e cadeia

f'(x)=2\pi\cos\left(\frac{x}{2}\right)+2\pi x\times\left(-\frac12\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)\right) =2\pi\cos\left(\frac{x}{2}\right)-\pi x\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)

15.10. — \(\left(\tan u\right)'=\dfrac{u'}{\cos^{2}u}\)

f'(x)=\frac{5}{\cos^{2}(5x)}

15.11. — regra do quociente

\begin{aligned} f'(x)&=\frac{-\operatorname{sen} x\times\operatorname{sen} x-\cos x\times\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}\\ &=\frac{-\left(\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x\right)}{\operatorname{sen}^{2}x} =-\frac{1}{\operatorname{sen}^{2}x} \end{aligned}

Usou-se a fórmula fundamental da trigonometria, \(\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1\).

15.12.

f'(x)=1\times\operatorname{sen}(3x)+x\times 3\cos(3x)=\operatorname{sen}(3x)+3x\cos(3x)

16. Cálculo de \(f'(a)\)

Seja \(f\) uma função real de variável real e \(f'\) a derivada de \(f\).

Em cada uma das situações seguintes, sem recorrer à tecnologia, determine \(f'(a)\), com \(a\in D_{f'}\).

16.1. \(f(x)=\sqrt{3x+7}\) e \(a=-1\)
16.2. \(f(x)=x\ln(3x-2)\) e \(a=1\)
16.3. \(f(x)=\dfrac{2x+5}{e^{3x}}\) e \(a=0\)
16.4. \(f(x)=x\,3^{x^{2}+1}\) e \(a=0\)
16.5. \(f(x)=\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi x}{6}\right)\) e \(a=3\)
16.6. \(f(x)=x\cos\left(\dfrac{x}{3}\right)\) e \(a=\dfrac{3\pi}{2}\)

16.1.

f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+7}} \implies f'(-1)=\frac{3}{2\sqrt{4}}=\frac{3}{4}

16.2.

f'(x)=\ln(3x-2)+x\times\frac{3}{3x-2}

f'(1)=\ln 1+\frac{3}{1}=0+3=3

16.3.

f'(x)=\frac{2e^{3x}-(2x+5)\,3e^{3x}}{\left(e^{3x}\right)^{2}} =\frac{2-3(2x+5)}{e^{3x}}

f'(0)=\frac{2-15}{1}=-13

16.4.

f'(x)=3^{x^{2}+1}+x\times 2x\,3^{x^{2}+1}\ln 3

f'(0)=3^{1}+0=3

16.5.

f'(x)=\frac{\pi}{6}\cos\left(\frac{\pi x}{6}\right) \implies f'(3)=\frac{\pi}{6}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0

16.6.

f'(x)=\cos\left(\frac{x}{3}\right)-\frac{x}{3}\operatorname{sen}\left(\frac{x}{3}\right)

f'\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{\pi}{2}\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}

16.1) \(\tfrac34\) • 16.2) \(3\) • 16.3) \(-13\) • 16.4) \(3\) • 16.5) \(0\) • 16.6) \(-\tfrac{\pi}{2}\)

17. Declive num ponto do 2.º quadrante

Seja \(g\) uma função de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=3\log_2\left(x^{2}+3\right)\), e \(P\) um ponto do 2.º quadrante que pertence ao gráfico de \(g\). Sabe-se que \(P\) tem ordenada igual a \(6\).

Qual é o declive da reta tangente ao gráfico da função \(g\) no ponto \(P\)?

(A) \(-\dfrac{3}{2\ln 2}\)
(C) \(-\dfrac32\ln 2\)
(B) \(-\dfrac{6}{\ln 2}\)
(D) \(\dfrac{3}{2\ln 2}\)

Passo 1 — a abcissa de \(P\)

\begin{aligned} 3\log_2\left(x^{2}+3\right)=6 &\iff \log_2\left(x^{2}+3\right)=2\\ &\iff x^{2}+3=2^{2}\\ &\iff x^{2}=1 \iff x=1 \ \lor\ x=-1 \end{aligned}

No 2.º quadrante a abcissa é negativa, logo \(x_P=-1\).

Passo 2 — a derivada

Aplicando \(\left(\log_a u\right)'=\dfrac{u'}{u\ln a}\), com \(u=x^{2}+3\):

g'(x)=3\times\frac{2x}{\left(x^{2}+3\right)\ln 2}=\frac{6x}{\left(x^{2}+3\right)\ln 2}

Passo 3 — calcular em \(x=-1\)

g'(-1)=\frac{-6}{4\ln 2}=-\frac{3}{2\ln 2}

Opção (A)

18. Interseção de duas tangentes

Num referencial o.n. \(Oxy\), considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), e a reta \(t\), tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \(A\).

Sabe-se que:

• a reta \(t\) interseta o eixo \(Ox\) no ponto \(B\), de abcissa \(-4\);
• \(A\) é o ponto de interseção do gráfico de \(f\) com o eixo \(Oy\) e tem ordenada \(4\).

18.1. Seja \(f'\) a derivada de \(f\); determine \(f'(0)\).
18.2. Determine uma equação, na forma reduzida, da reta \(t\).
18.3. Considere a função \(g\), de domínio \(\left]-\infty,-4\right]\cup\left[4,+\infty\right[\), definida por \(g(x)=\sqrt{x^{2}-16}\).
Seja \(r\) a reta tangente ao gráfico de \(g\) num ponto de abcissa \(-5\). Determine as coordenadas do ponto de interseção das retas \(r\) e \(t\).

18.1. — o declive lê-se de dois pontos

Os pontos \(A(0,\,4)\) e \(B(-4,\,0)\) pertencem à reta \(t\), que é tangente ao gráfico de \(f\) em \(A\). O declive de \(t\) é a derivada de \(f\) na abcissa de \(A\), que é \(0\):

f'(0)=m_t=\frac{4-0}{0-(-4)}=\frac44=1

\(f'(0)=1\)

18.2.

A reta \(t\) tem declive \(1\) e interseta \(Oy\) em \((0,\,4)\), pelo que a ordenada na origem é \(4\):

t:\ y=x+4

18.3. — a reta \(r\)

g(-5)=\sqrt{25-16}=\sqrt9=3

g'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}-16}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-16}} \implies g'(-5)=\frac{-5}{3}

r:\ y=-\frac53\,(x+5)+3 \iff y=-\frac53 x-\frac{25}{3}+3 \iff y=-\frac53 x-\frac{16}{3}

18.3. — interseção de \(r\) com \(t\)

\begin{aligned} x+4=-\frac53 x-\frac{16}{3} &\iff 3x+12=-5x-16\\ &\iff 8x=-28 \iff x=-\frac72 \end{aligned}

y=-\frac72+4=\frac12

As retas intersetam-se no ponto de coordenadas \(\left(-\dfrac72,\ \dfrac12\right)\).

19. Tangente comum a dois gráficos

Num referencial o.n. \(Oxy\), considere as funções \(f\) e \(g\) e a reta \(r\), a única reta que é simultaneamente tangente aos gráficos de \(f\) e de \(g\).

Sabe-se que:

• a função \(f\) tem domínio \(\mathbb{R}\) e é definida por \(f(x)=e^{x-2}+3\);
• a função \(g\) tem domínio \(\left]-3,+\infty\right[\) e é definida por \(g(x)=\ln(x+3)\);
• a reta \(r\) é tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \(A\) e é tangente ao gráfico de \(g\) no ponto \(B\);
• a abcissa de \(B\) é o zero da função \(g\).

19.1. Mostre que o declive da reta \(r\) é \(1\).
19.2. Determine as coordenadas do ponto \(A\).

19.1. — o ponto \(B\)

A abcissa de \(B\) é o zero de \(g\):

\ln(x+3)=0 \iff x+3=e^{0}=1 \iff x=-2

Logo \(B(-2,\,0)\). O declive de \(r\) é a derivada de \(g\) nesse ponto:

g'(x)=\frac{1}{x+3} \implies g'(-2)=\frac{1}{-2+3}=1

O declive da reta \(r\) é \(1\).

19.2. — o ponto \(A\)

Em \(A\), a reta \(r\) é tangente ao gráfico de \(f\); logo a derivada de \(f\) na abcissa de \(A\) é também \(1\):

f'(x)=e^{x-2} \implies e^{x-2}=1 \iff x-2=0 \iff x=2

f(2)=e^{0}+3=1+3=4

Confirmação

A reta que passa em \(B(-2,\,0)\) com declive \(1\) é \(y=x+2\); em \(x=2\) dá \(y=4\), que é exatamente a ordenada de \(A\) — trata-se, de facto, da mesma reta.

\(A(2,\,4)\)

20. Tangente ao gráfico de \(\ln\left(ax^{2}\right)\)

Para certos valores reais de \(a\) e \(m\), não nulos, a reta de equação \(y=mx+3\) é tangente ao gráfico da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), definida por \(f(x)=\ln\left(ax^{2}\right)\), no ponto de abcissa \(e^{3}\).

Determine os valores de \(a\) e de \(m\).

Passo 1 — a derivada não depende de \(a\)

f'(x)=\frac{\left(ax^{2}\right)'}{ax^{2}}=\frac{2ax}{ax^{2}}=\frac{2}{x}

(Em alternativa: \(\ln\left(ax^{2}\right)=\ln a+2\ln|x|\), e a parcela \(\ln a\) é constante.)

Passo 2 — determinar \(m\)

O declive da reta é a derivada no ponto de tangência:

m=f'\left(e^{3}\right)=\frac{2}{e^{3}}

Passo 3 — determinar \(a\)

No ponto de tangência, a reta e o gráfico têm a mesma ordenada:

f\left(e^{3}\right)=m\,e^{3}+3 \iff \ln\left(a\,e^{6}\right)=\frac{2}{e^{3}}\times e^{3}+3

\begin{aligned} \ln a+\ln e^{6}=2+3 &\iff \ln a+6=5\\ &\iff \ln a=-1 \iff a=e^{-1} \end{aligned}

\(a=e^{-1}=\dfrac1e\) e \(m=\dfrac{2}{e^{3}}\)

21. Área de um triângulo

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=-2x\cos\left(\dfrac{x^{2}}{3}\right)+3\).

Num referencial o.n. \(Oxy\), seja \(t\) a reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(0\).

Sejam \(P\) e \(Q\) os pontos de interseção da reta \(t\) com \(Ox\) e com \(Oy\), respetivamente.

Mostre que a área do triângulo \([OPQ]\) é igual a \(\dfrac94\).

Passo 1 — a derivada

Aplica-se a regra do produto e, no segundo fator, a regra da cadeia com \(u=\dfrac{x^{2}}{3}\), \(u'=\dfrac{2x}{3}\):

\begin{aligned} f'(x)&=-2\cos\left(\frac{x^{2}}{3}\right)-2x\times\left(-\frac{2x}{3}\operatorname{sen}\left(\frac{x^{2}}{3}\right)\right)\\ &=-2\cos\left(\frac{x^{2}}{3}\right)+\frac{4x^{2}}{3}\operatorname{sen}\left(\frac{x^{2}}{3}\right) \end{aligned}

Passo 2 — a reta \(t\)

f(0)=0+3=3 \qquad\text{e}\qquad f'(0)=-2\cos 0+0=-2

t:\ y=-2x+3

Passo 3 — os pontos \(P\) e \(Q\)

\text{em }Oy:\ x=0 \implies y=3 \implies Q(0,\,3)

\text{em }Ox:\ -2x+3=0 \iff x=\frac32 \implies P\left(\frac32,\,0\right)

Passo 4 — a área

O triângulo \([OPQ]\) é retângulo em \(O\), com catetos sobre os eixos:

A_{[OPQ]}=\frac{\overline{OP}\times\overline{OQ}}{2}=\frac{\dfrac32\times 3}{2}=\frac94

A área do triângulo \([OPQ]\) é \(\dfrac94\), como se pretendia mostrar.

22. Tangente ao gráfico de um produto

Sejam \(f\), \(g\) e \(h\) funções de domínio \(\mathbb{R}\), tais que \(h(x)=(f\times g)(x)\). Sabe-se que:

• \(f(1)=f'(1)=-3\);
• \(g(x)=e^{x^{2}-x}\).

Qual das opções representa a reta tangente ao gráfico de \(h\) no ponto de abcissa \(1\)?

(A) \(y=-6x+3\)
(C) \(y=-3x+3\)
(B) \(y=-6x-3\)
(D) \(y=-3x-6\)

Passo 1 — valores de \(g\) e \(g'\) em \(1\)

g(1)=e^{1-1}=e^{0}=1

g'(x)=(2x-1)\,e^{x^{2}-x} \implies g'(1)=1\times e^{0}=1

Passo 2 — a derivada do produto

h'(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x)

h'(1)=f'(1)\,g(1)+f(1)\,g'(1)=(-3)\times 1+(-3)\times 1=-6

Passo 3 — a reta tangente

h(1)=f(1)\times g(1)=(-3)\times 1=-3

y=h'(1)\,(x-1)+h(1) \iff y=-6(x-1)-3 \iff y=-6x+3

Opção (A)

23. Relação entre as abcissas

Num referencial o.n. \(Oxy\), considere parte dos gráficos de duas funções \(f\) e \(g\) e uma reta \(r\).

Sabe-se que:

• a função \(f\) tem domínio \(\mathbb{R}\) e é definida por \(f(x)=-2e^{x}\);
• a função \(g\) tem domínio \(\mathbb{R}^{+}\) e é definida por \(g(x)=\ln\left(\dfrac1x\right)\);
• a reta \(r\) é tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \(A\) e é tangente ao gráfico de \(g\) no ponto \(B\).

Sejam \(x_A\) a abcissa do ponto \(A\) e \(x_B\) a abcissa do ponto \(B\).

Qual das igualdades seguintes relaciona corretamente \(x_A\) com \(x_B\)?

(A) \(e^{x_A}=\dfrac{1}{2x_B}\)
(C) \(x_A=-\ln\left(\dfrac{x_B}{2}\right)\)
(B) \(2e^{x_A}=x_B\)
(D) \(\ln\left(\dfrac{1}{x_B}\right)=2e^{x_A}\)

Passo 1 — a ideia

A reta \(r\) é a mesma nos dois pontos de tangência, pelo que tem um único declive. Assim, o declive em \(A\) (dado por \(f'\)) tem de ser igual ao declive em \(B\) (dado por \(g'\)).

Passo 2 — as duas derivadas

f'(x)=-2e^{x}

Para \(g\), começa-se por simplificar: \(\ln\left(\dfrac1x\right)=-\ln x\).

g'(x)=-\frac1x

Passo 3 — igualar os declives

f'(x_A)=g'(x_B) \iff -2e^{x_A}=-\frac{1}{x_B} \iff 2e^{x_A}=\frac{1}{x_B} \iff e^{x_A}=\frac{1}{2x_B}

Opção (A)

24. Declive dado, com tecnologia

Seja \(f\) a função de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), definida por \(f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(\pi x)}{x}\).

Considere uma reta \(t\), tangente ao gráfico de \(f\), num ponto \(A\) de abcissa \(a\), com \(-1\lt a\lt 0\).

Recorra à tecnologia e, sabendo que o declive da reta \(t\) é \(2\), determine, com arredondamento às milésimas, a abcissa de \(A\).

Passo 1 — a condição a resolver

O declive da tangente no ponto de abcissa \(a\) é \(f'(a)\), pelo que se pretende resolver \(f'(a)=2\) em \(\left]-1,\,0\right[\).

Passo 2 — a expressão da derivada

Pela regra do quociente, com \(\big(\operatorname{sen}(\pi x)\big)'=\pi\cos(\pi x)\):

f'(x)=\frac{\pi\cos(\pi x)\times x-\operatorname{sen}(\pi x)}{x^{2}}

Passo 3 — resolver com a calculadora

Introduzem-se

Y_1=\frac{\pi\cos(\pi x)\times x-\operatorname{sen}(\pi x)}{x^{2}} \qquad\text{e}\qquad Y_2=2

e procura-se a abcissa do ponto de interseção que pertence ao intervalo dado.

Em alternativa, se a calculadora dispuser de derivada numérica, define-se \(Y_1\) diretamente como a derivada de \(f\).

a\approx -0{,}201

Neste intervalo a solução é única, pelo que não há outros valores a considerar.

\(a\approx -0{,}201\)

25. Derivar exponenciais e logaritmos

Determine uma expressão analítica da função derivada de cada uma das funções a seguir definidas.

25.1. \(f(x)=-2+5e^{-2x}\)
25.2. \(g(x)=-2e^{-x+1}+e^{3x}\)
25.3. \(h(x)=5-\dfrac12\ln(x)\)
25.4. \(i(x)=1-\ln 10\,\log(x)\)

Usam-se as versões compostas \(\left(e^{u}\right)'=u'e^{u}\) e \(\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}\), lembrando que a derivada de uma constante é nula.

25.1.

Com \(u=-2x\) e \(u'=-2\):

f'(x)=0+5\times(-2)e^{-2x}=-10e^{-2x}

\(f'(x)=-10e^{-2x}\ ,\ x\in\mathbb{R}\)

25.2.

Derivam-se as duas parcelas: na primeira \(u=-x+1\) e \(u'=-1\); na segunda \(u=3x\) e \(u'=3\).

g'(x)=-2\times(-1)e^{-x+1}+3e^{3x}=2e^{-x+1}+3e^{3x}

\(g'(x)=2e^{-x+1}+3e^{3x}\ ,\ x\in\mathbb{R}\)

25.3.

O domínio é \(\mathbb{R}^{+}\). Como \(-\dfrac12\) é uma constante multiplicativa:

h'(x)=0-\frac12\times\frac1x=-\frac{1}{2x}

\(h'(x)=-\dfrac{1}{2x}\ ,\ x\gt 0\)

25.4. — simplificar primeiro

Repare-se que \(\ln 10\) é apenas um número. Pela fórmula da mudança de base, \(\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}\), pelo que

\ln 10\,\log(x)=\ln 10\times\frac{\ln x}{\ln 10}=\ln x \qquad\Longrightarrow\qquad i(x)=1-\ln x

i'(x)=-\frac1x

Sem simplificar chegava-se ao mesmo, usando \(\left(\log_a x\right)'=\dfrac{1}{x\ln a}\):

i'(x)=-\ln 10\times\frac{1}{x\ln 10}=-\frac1x

\(i'(x)=-\dfrac{1}{x}\ ,\ x\gt 0\)

26. Determinar um parâmetro a partir de \(f'(0)\)

Sendo \(f(x)=e^{kx}+x\) e \(f'(0)=2\), determine \(k\).

Passo 1 — a função derivada

Com \(u=kx\) e \(u'=k\) (note-se que \(k\) é uma constante):

f'(x)=k\,e^{kx}+1

Passo 2 — usar a condição dada

f'(0)=k\,e^{k\times 0}+1=k\,e^{0}+1=k+1

k+1=2 \iff k=1

Verificação

Com \(k=1\) vem \(f(x)=e^{x}+x\) e \(f'(x)=e^{x}+1\), donde \(f'(0)=1+1=2\ \checkmark\)

\(k=1\)

27. Monotonia e área de um triângulo

Seja \(f\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por:

f(x)=2x\,e^{\frac{x}{2}}

Gráfico de f com o triângulo OAB, em que OA é a tangente em x = 0 e AB está sobre a reta x = 1

27.1. Estude \(f\) quanto à monotonia e quanto à existência de extremos.
27.2. Determine a medida exata da área do triângulo \([OAB]\), tal que:
- \(OA\) é a reta tangente ao gráfico da função \(f\) no ponto de abcissa \(0\);
- \(AB\) é a reta de equação \(x=1\) que interseta o gráfico de \(f\) no ponto \(B\).

27.1. — a função derivada

É um produto. Com \(\left(e^{\frac{x}{2}}\right)'=\dfrac12 e^{\frac{x}{2}}\):

f'(x)=2e^{\frac{x}{2}}+2x\times\frac12 e^{\frac{x}{2}} =2e^{\frac{x}{2}}+x\,e^{\frac{x}{2}}

Pondo \(e^{\frac{x}{2}}\) em evidência:

f'(x)=e^{\frac{x}{2}}\,(x+2)

27.1. — sinal de \(f'\)

Uma exponencial é sempre positiva, pelo que \(e^{\frac{x}{2}}\gt 0\) para todo o \(x\): o sinal de \(f'\) é o sinal de \(x+2\).

f'(x)=0 \iff x+2=0 \iff x=-2

\(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)		\(\searrow\)	mín.	\(\nearrow\)

f(-2)=2\times(-2)\times e^{-1}=-\frac{4}{e}\approx -1{,}47

\(f\) é decrescente em \(\left]-\infty,-2\right]\) e crescente em \(\left[-2,+\infty\right[\).

Tem um mínimo relativo (e absoluto) igual a \(-\dfrac{4}{e}\), para \(x=-2\).

27.2. — a reta tangente em \(x=0\)

f(0)=2\times 0\times e^{0}=0 \qquad\text{e}\qquad f'(0)=e^{0}\,(0+2)=2

y=f'(0)(x-0)+f(0) \iff y=2x

Confirma-se que a tangente passa na origem — daí o vértice \(O\) do triângulo.

27.2. — os pontos \(A\) e \(B\)

\(A\) é o ponto da reta tangente com abcissa \(1\); \(B\) é o ponto do gráfico de \(f\) com abcissa \(1\):

A=(1,\,2\times 1)=(1,2) \qquad\text{e}\qquad B=\left(1,\,2\times 1\times e^{\frac12}\right)=\left(1,\,2\sqrt{e}\,\right)

Como \(2\sqrt{e}\approx 3{,}30\gt 2\), o ponto \(B\) está acima de \(A\), tal como na figura.

27.2. — área

Os pontos \(A\) e \(B\) têm a mesma abcissa, pelo que \([AB]\) é vertical: toma-se para base. A altura correspondente é a distância de \(O\) à reta \(x=1\), ou seja, \(1\).

\overline{AB}=2\sqrt{e}-2 \qquad\text{e}\qquad \text{altura}=1

A_{[OAB]}=\frac{\left(2\sqrt{e}-2\right)\times 1}{2}=\sqrt{e}-1

A área do triângulo é \(\sqrt{e}-1\approx 0{,}65\) (unidades de área).

28. Tangente horizontal

A reta tangente ao gráfico da função \(f\) no ponto \(P\) é uma reta horizontal.

Sendo \(f(x)=\dfrac{x^{2}}{e^{x}}\), determine as coordenadas do ponto \(P\).

Passo 1 — traduzir a condição

Uma reta horizontal tem declive nulo. Como o declive da tangente no ponto de abcissa \(a\) é \(f'(a)\), procura-se \(a\) tal que \(f'(a)=0\).

Passo 2 — a função derivada

É mais simples escrever \(f(x)=x^{2}e^{-x}\) e usar a regra do produto, com \(\left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}\):

f'(x)=2x\,e^{-x}+x^{2}\times\left(-e^{-x}\right)=e^{-x}\left(2x-x^{2}\right)

Pela regra do quociente obtinha-se o mesmo: \(f'(x)=\dfrac{2x\,e^{x}-x^{2}e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}=\dfrac{2x-x^{2}}{e^{x}}\).

Passo 3 — resolver \(f'(x)=0\)

Como \(e^{-x}\gt 0\) para todo o \(x\), a derivada só se anula quando o outro fator se anula:

2x-x^{2}=0 \iff x\,(2-x)=0 \iff x=0 \ \vee\ x=2

Passo 4 — as ordenadas

f(0)=\frac{0^{2}}{e^{0}}=0 \qquad\text{e}\qquad f(2)=\frac{2^{2}}{e^{2}}=\frac{4}{e^{2}}\approx 0{,}54

Há, portanto, dois pontos do gráfico em que a tangente é horizontal. Pelo quadro de sinal de \(f'\) (o sinal de \(x(2-x)\)), o primeiro corresponde a um mínimo e o segundo a um máximo.

\(P=(0,0)\) ou \(P=\left(2,\dfrac{4}{e^{2}}\right)\)

29. Monotonia, inversa e declive

Considere a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por:

g(x)=\frac{1}{2^{-x}}+4^{x}

29.1. Mostre que \(g\) é estritamente crescente.
29.2. Justifique que \(g\) admite inversa.
29.3. Determine \(g^{-1}(2)\).
29.4. Determine o declive da reta tangente ao gráfico de \(g\) no ponto de abcissa \(-1\).

Passo prévio — simplificar a expressão

Como \(\dfrac{1}{2^{-x}}=2^{x}\):

g(x)=2^{x}+4^{x}

29.1.

Usando \(\left(a^{x}\right)'=a^{x}\ln a\):

g'(x)=2^{x}\ln 2+4^{x}\ln 4

Ora, para todo o \(x\in\mathbb{R}\): \(2^{x}\gt 0\), \(4^{x}\gt 0\), e \(\ln 2\gt 0\) e \(\ln 4\gt 0\) porque \(2\gt 1\) e \(4\gt 1\). A soma de dois números positivos é positiva:

g'(x)\gt 0\ ,\quad \forall x\in\mathbb{R}

Como a derivada é positiva em todo o \(\mathbb{R}\), \(g\) é estritamente crescente em \(\mathbb{R}\). \(\blacksquare\)

29.2.

Uma função estritamente crescente é injetiva: se \(x_1\ne x_2\), digamos \(x_1\lt x_2\), então \(g(x_1)\lt g(x_2)\) e, em particular, \(g(x_1)\ne g(x_2)\).

Sendo injetiva, \(g\) é invertível: admite função inversa.

29.3. — traduzir

g^{-1}(2)=a \iff g(a)=2 \iff 2^{a}+4^{a}=2

29.3. — mudança de variável

Como \(4^{a}=\left(2^{2}\right)^{a}=\left(2^{a}\right)^{2}\), faz-se \(y=2^{a}\), com \(y\gt 0\):

y^{2}+y=2 \iff y^{2}+y-2=0 \iff y=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2}

\iff y=1 \ \vee\ y=-2

Rejeita-se \(y=-2\) porque \(2^{a}\gt 0\). Fica \(2^{a}=1=2^{0}\), ou seja, \(a=0\).

\(g^{-1}(2)=0\)

29.4.

O declive pedido é \(g'(-1)\). Note-se que \(\ln 4=\ln 2^{2}=2\ln 2\):

g'(-1)=2^{-1}\ln 2+4^{-1}\ln 4 =\frac12\ln 2+\frac14\times 2\ln 2

=\frac12\ln 2+\frac12\ln 2=\ln 2

O declive é \(\ln 2\approx 0{,}69\).

30. Zeros, tangentes simétricas e monotonia

Considere a função \(f\), de domínio \(\left]-5,5\right[\), definida por:

f(x)=\log_{2}\left(25-x^{2}\right)-4

30.1. Determine os zeros de \(f\).
30.2. Mostre que as retas tangentes ao gráfico de \(f\) nos pontos correspondentes aos zeros têm declives simétricos.
30.3. Estude \(f\) quanto à monotonia.

30.1.

\log_{2}\left(25-x^{2}\right)-4=0 \iff \log_{2}\left(25-x^{2}\right)=4 \iff 25-x^{2}=2^{4}=16

\iff x^{2}=9 \iff x=-3 \ \vee\ x=3

Ambos os valores pertencem a \(\left]-5,5\right[\), pelo que são aceitáveis.

Os zeros de \(f\) são \(-3\) e \(3\).

30.2. — a função derivada

Com \(\left(\log_a u\right)'=\dfrac{u'}{u\ln a}\), sendo \(u=25-x^{2}\) e \(u'=-2x\):

f'(x)=\frac{-2x}{\left(25-x^{2}\right)\ln 2}

30.2. — os dois declives

Note-se que \(25-(\pm 3)^{2}=25-9=16\) nos dois casos:

f'(3)=\frac{-6}{16\ln 2}=-\frac{3}{8\ln 2} \qquad\text{e}\qquad f'(-3)=\frac{6}{16\ln 2}=\frac{3}{8\ln 2}

f'(-3)=-f'(3) \qquad\blacksquare

De outro modo: \(f(-x)=\log_{2}\left(25-(-x)^{2}\right)-4=f(x)\), pelo que \(f\) é uma função par; o seu gráfico é simétrico relativamente ao eixo \(Oy\) e, portanto, a derivada é ímpar: \(f'(-x)=-f'(x)\). Como os zeros são simétricos, os declives também o são.

30.3. — sinal de \(f'\)

No domínio \(\left]-5,5\right[\) tem-se \(x^{2}\lt 25\), logo \(25-x^{2}\gt 0\); e \(\ln 2\gt 0\). O denominador de \(f'\) é, portanto, sempre positivo, e o sinal de \(f'\) é o sinal de \(-2x\).

\(x\)	\(-5\)		\(0\)		\(5\)
\(f'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(f(x)\)		\(\nearrow\)	máx.	\(\searrow\)

f(0)=\log_{2}25-4=\log_{2}25-\log_{2}16=\log_{2}\frac{25}{16}\approx 0{,}64

\(f\) é crescente em \(\left]-5,0\right]\) e decrescente em \(\left[0,5\right[\).

Tem um máximo relativo (e absoluto) igual a \(\log_{2}\dfrac{25}{16}\), para \(x=0\).

31. Custo operacional mínimo

O custo operacional diário de um hotel, \(C\), em euros, é dado, em função da sua taxa de ocupação diária, \(t\), em percentagem, por

C(t)=t^{2}-90t+3500 \ ,\qquad \text{para } t\in\left[0,\,100\right]

Determine a taxa de ocupação diária para a qual o custo operacional é mínimo.

Passo 1 — derivada

\[ C'(t)=2t-90 \]

Passo 2 — zeros da derivada

2t-90=0 \iff t=45

O valor \(45\) pertence ao intervalo \(\left[0,\,100\right]\), pelo que é admissível.

Passo 3 — quadro de sinal

\(t\)	\(0\)		\(45\)		\(100\)
\(C'(t)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(C(t)\)		\(\searrow\)	mín.	\(\nearrow\)

O custo decresce até \(t=45\) e cresce a partir daí: em \(t=45\) há um mínimo absoluto.

Passo 4 — valor do custo mínimo

C(45)=45^{2}-90\times 45+3500=2025-4050+3500=1475

O custo operacional é mínimo para uma taxa de ocupação de \(45\%\), sendo então de \(1475\) euros.

32. Monotonia de \(\ln(\cos x)\)

Considere a função \(f\), de domínio \(\left]0,\,\dfrac{\pi}{2}\right[\), definida por \(f(x)=\ln(\cos x)\).

Estude, sem recorrer às capacidades gráficas da calculadora, a função \(f\) quanto à monotonia.

Passo prévio — o domínio faz sentido

Em \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\) tem-se \(\cos x\gt 0\), pelo que \(\ln(\cos x)\) está bem definido.

Passo 1 — derivada

Aplica-se \(\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}\), com \(u=\cos x\) e \(u'=-\operatorname{sen} x\):

f'(x)=\frac{-\operatorname{sen} x}{\cos x}=-\tan x

Passo 2 — sinal da derivada

No intervalo \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\) (1.º quadrante) tem-se \(\operatorname{sen} x\gt 0\) e \(\cos x\gt 0\), logo:

\tan x\gt 0 \implies f'(x)=-\tan x\lt 0 \ ,\quad \forall x\in\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[

A derivada é negativa em todo o domínio e nunca se anula.

Passo 3 — quadro de sinal

\(x\)	\(0\)		\(\dfrac{\pi}{2}\)
\(f'(x)\)		\(-\)
\(f(x)\)		\(\searrow\)

\(f\) é estritamente decrescente em \(\left]0,\,\dfrac{\pi}{2}\right[\).

Não tem extremos: o intervalo é aberto e a função é monótona.

Confirma-se pelos valores nos extremos: quando \(x\to 0^{+}\), \(\cos x\to 1\) e \(f(x)\to 0\); quando \(x\to\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}\), \(\cos x\to 0^{+}\) e \(f(x)\to -\infty\).

33. Área máxima de um triângulo isósceles

Na figura, está representada, em referencial ortogonal \(Oxy\), parte do gráfico da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=2e^{-x}(x-1)\).

Gráfico de f(x)=2e^(-x)(x-1), que interseta o eixo das abcissas no ponto A, sobe até um máximo e depois decresce; sobre o gráfico marca-se o ponto P e no eixo das abcissas o ponto B, formando o triângulo isósceles APB sombreado

Seja \(P\) um ponto do 1.º quadrante pertencente ao gráfico de \(f\). Para cada posição do ponto \(P\), considere o triângulo isósceles \([APB]\), em que:

• \(A\) é o ponto de interseção do gráfico de \(f\) com o eixo das abcissas;
• o ponto \(B\), com abcissa maior do que a abcissa do ponto \(A\), é o ponto do eixo das abcissas tal que \(\overline{AP}=\overline{BP}\).

Seja \(x\) a abcissa do ponto \(P\).

33.1. Mostre que a área, \(F\), do triângulo \([APB]\) pode ser dada, em função de \(x\), por \(F(x)=2e^{-x}(x-1)^{2}\), com \(x\gt 1\).
33.2. Determine, sem recorrer às capacidades gráficas da calculadora, o valor de \(x\) para o qual a área do triângulo \([APB]\) é máxima.

33.1. — coordenadas de \(A\)

\(A\) é o zero de \(f\). Como \(2e^{-x}\neq 0\) para todo o \(x\):

2e^{-x}(x-1)=0 \iff x-1=0 \iff x=1 \qquad\Longrightarrow\qquad A=(1,\,0)

Pela mesma razão, \(f(x)\gt 0 \iff x\gt 1\): é essa a condição para \(P\) estar no 1.º quadrante.

33.1. — coordenadas de \(B\)

O triângulo é isósceles com \(\overline{AP}=\overline{BP}\), logo \(P\) pertence à mediatriz de \([AB]\). Como \(A\) e \(B\) estão ambos no eixo \(Ox\), a abcissa de \(P\) é o ponto médio das abcissas de \(A\) e de \(B\):

x=\frac{1+x_B}{2} \iff x_B=2x-1 \qquad\Longrightarrow\qquad B=(2x-1,\,0)

33.1. — área

A base \([AB]\) está sobre o eixo \(Ox\) e a altura correspondente é a ordenada de \(P\):

\overline{AB}=(2x-1)-1=2(x-1) \qquad\text{e}\qquad \text{altura}=f(x)=2e^{-x}(x-1)

F(x)=\frac{\overline{AB}\times f(x)}{2} =\frac{2(x-1)\times 2e^{-x}(x-1)}{2} =2e^{-x}(x-1)^{2}

Como se pretendia, \(F(x)=2e^{-x}(x-1)^{2}\), com \(x\gt 1\). \(\blacksquare\)

33.2. — derivada

Derivada de um produto, com \(\left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}\):

\begin{aligned} F'(x)&=2\left[-e^{-x}(x-1)^{2}+e^{-x}\times 2(x-1)\right]\\ &=2e^{-x}(x-1)\left[-(x-1)+2\right]\\ &=2e^{-x}(x-1)(3-x) \end{aligned}

33.2. — sinal da derivada

Para \(x\gt 1\) tem-se \(2e^{-x}\gt 0\) e \(x-1\gt 0\), pelo que o sinal de \(F'\) é o sinal de \(3-x\):

\(x\)	\(1\)		\(3\)		\(+\infty\)
\(F'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(F(x)\)		\(\nearrow\)	máx.	\(\searrow\)

A área cresce até \(x=3\) e decresce a partir daí: o máximo ocorre em \(x=3\).

F(3)=2e^{-3}\times 2^{2}=\frac{8}{e^{3}}\approx 0{,}40

A área é máxima para \(x=3\).

34. Área de um retângulo

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) e os pontos \(A\) e \(B\), tais que:

• \(A\) é o ponto de interseção do gráfico da função \(f\) com o eixo das abcissas;
• \(B\) é o ponto do gráfico de \(f\) cuja ordenada é o valor máximo de \(f\).

Determine a área do retângulo de diagonal \([AB]\) que tem um dos lados contido no eixo \(Ox\).

Passo 1 — coordenadas de \(A\)

Uma fração é nula quando o numerador é nulo (com denominador não nulo):

\frac{\ln x}{x}=0 \ \land\ x\gt 0 \iff \ln x=0 \iff x=1 \qquad\Longrightarrow\qquad A=(1,\,0)

Passo 2 — máximo de \(f\)

Derivada de um quociente:

f'(x)=\frac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln x\times 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}

Como \(x^{2}\gt 0\), o sinal de \(f'\) é o sinal de \(1-\ln x\):

1-\ln x=0 \iff \ln x=1 \iff x=e

\(x\)	\(0\)		\(e\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(f(x)\)		\(\nearrow\)	máx.	\(\searrow\)

f(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac1e \qquad\Longrightarrow\qquad B=\left(e,\,\frac1e\right)

Passo 3 — o retângulo

Se \([AB]\) é a diagonal e um dos lados está contido em \(Ox\), os quatro vértices são:

(1,\,0)\ ,\quad (e,\,0)\ ,\quad \left(e,\,\frac1e\right)\ ,\quad \left(1,\,\frac1e\right)

Os lados medem, portanto, \(e-1\) (na horizontal) e \(\dfrac1e\) (na vertical).

A_{\text{retângulo}}=(e-1)\times\frac1e=\frac{e-1}{e}=1-\frac1e

A área do retângulo é \(\dfrac{e-1}{e}=1-\dfrac1e\approx 0{,}63\) unidades de área.

35. Área máxima de um retângulo

Na figura, está representado, em referencial ortogonal \(Oxy\), parte do gráfico da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}^{+}\), definida por \(f(x)=8-\ln^{2}x\).

Gráfico de f(x)=8 menos o quadrado do logaritmo de x, com um ponto P do 1.º quadrante sobre o gráfico e o retângulo sombreado de diagonal OP com dois lados sobre os eixos coordenados

Seja \(P\) um ponto do 1.º quadrante pertencente ao gráfico de \(f\). Para cada posição do ponto \(P\), considere o retângulo de diagonal \([OP]\), com dois dos lados contidos nos eixos coordenados.

Seja \(x\) a abcissa do ponto \(P\).

Determine o valor máximo da área do retângulo de diagonal \([OP]\).

Passo 1 — a área em função de \(x\)

Os lados do retângulo são a abcissa e a ordenada de \(P\):

A(x)=x\times f(x)=x\left(8-\ln^{2}x\right)

Para \(P\) estar no 1.º quadrante é preciso \(x\gt 0\) e \(f(x)\gt 0\):

8-\ln^{2}x\gt 0 \iff \ln^{2}x\lt 8 \iff -2\sqrt2\lt\ln x\lt 2\sqrt2 \iff e^{-2\sqrt2}\lt x\lt e^{2\sqrt2}

Passo 2 — derivada

Derivada de um produto, com \(\left(\ln^{2}x\right)'=2\ln x\times\dfrac1x\):

A'(x)=1\times\left(8-\ln^{2}x\right)+x\times\left(-\frac{2\ln x}{x}\right) =8-\ln^{2}x-2\ln x

Passo 3 — zeros da derivada

Fazendo \(y=\ln x\), obtém-se uma equação do 2.º grau:

-y^{2}-2y+8=0 \iff y^{2}+2y-8=0 \iff y=\frac{-2\pm\sqrt{4+32}}{2} \iff y=2 \ \lor\ y=-4

\ln x=2 \iff x=e^{2} \qquad\text{e}\qquad \ln x=-4 \iff x=e^{-4}

Como \(-4\lt -2\sqrt2\approx -2{,}83\), o valor \(e^{-4}\) está fora do intervalo obtido no Passo 1: só \(x=e^{2}\) é admissível.

Passo 4 — sinal da derivada

Fatorizando, \(A'(x)=-\left(\ln x+4\right)\left(\ln x-2\right)\). No intervalo considerado tem-se \(\ln x\gt -2\sqrt2\gt -4\), logo \(\ln x+4\gt 0\) e o sinal de \(A'\) é o sinal de \(-\left(\ln x-2\right)\):

\(x\)	\(e^{-2\sqrt2}\)		\(e^{2}\)		\(e^{2\sqrt2}\)
\(A'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(A(x)\)		\(\nearrow\)	máx.	\(\searrow\)

Passo 5 — valor máximo

A\left(e^{2}\right)=e^{2}\left(8-\ln^{2}\left(e^{2}\right)\right)=e^{2}\left(8-2^{2}\right)=4e^{2}

O valor máximo da área é \(4e^{2}\approx 29{,}6\) unidades de área (atingido para \(x=e^{2}\)).

36. Monotonia de uma função composta

Na figura, está representada, em referencial o.n. \(Oxy\), parte do gráfico da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\).

Curva em forma de U com vértice na origem, decrescente à esquerda de zero e crescente à direita de zero

Como a figura ilustra, a função \(f\) é decrescente em \(\left]-\infty,\,0\right]\) e crescente em \(\left[0,\,+\infty\right[\).

Seja \(g\) a função, de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=x^{2}+x+5\).

Estude a função \(f\circ g\) quanto à monotonia e à existência de extremos.

Passo 1 — regra da cadeia

\left(f\circ g\right)'(x)=f'\big(g(x)\big)\times g'(x)

O sinal desta derivada é o produto dos sinais dos dois fatores; vamos estudá-los separadamente.

Passo 2 — sinal de \(f'\big(g(x)\big)\)

Completando o quadrado em \(g\):

g(x)=x^{2}+x+5=\left(x+\frac12\right)^{2}+\frac{19}{4}\geq\frac{19}{4}\gt 0

Ou seja, \(g(x)\gt 0\) para todo o \(x\in\mathbb{R}\). Como \(f\) é crescente em \(\left[0,+\infty\right[\), tem-se \(f'(t)\gt 0\) para \(t\gt 0\) e, portanto:

f'\big(g(x)\big)\gt 0 \ ,\quad \forall x\in\mathbb{R}

Este fator é sempre positivo: não influencia o sinal da derivada.

Passo 3 — sinal de \(g'(x)\)

g'(x)=2x+1 \qquad\text{e}\qquad 2x+1=0 \iff x=-\frac12

É uma função afim de declive positivo: negativa antes de \(-\frac12\) e positiva depois.

Passo 4 — quadro de sinal

\(x\)		\(-\dfrac12\)
\(f'\big(g(x)\big)\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(g'(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(\left(f\circ g\right)'(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(\left(f\circ g\right)(x)\)	\(\searrow\)	mín.	\(\nearrow\)

Passo 5 — conclusão

g\left(-\frac12\right)=\frac14-\frac12+5=\frac{19}{4}

\(f\circ g\) é estritamente decrescente em \(\left]-\infty,\,-\dfrac12\right]\) e estritamente crescente em \(\left[-\dfrac12,\,+\infty\right[\).

Tem um mínimo relativo (e absoluto) em \(x=-\dfrac12\), igual a \(f\left(\dfrac{19}{4}\right)\). Não tem máximo.

Repare-se que o mínimo de \(f\circ g\) não está onde \(f\) tem o seu mínimo: como \(g\) nunca chega a \(0\), a composta só "sente" a parte crescente de \(f\), e é \(g\) que decide a monotonia.