Assíntotas | Matemática A

📌 Resumo teórico

Assíntotas verticais

A reta de equação \(x=a\) é assíntota vertical ao gráfico de \(f\) se pelo menos um dos limites laterais de \(f\) em \(a\) for infinito:

\[ \lim_{x\to a^{-}}f(x)=\pm\infty \qquad\text{ou}\qquad \lim_{x\to a^{+}}f(x)=\pm\infty \]

Os candidatos a assíntota vertical são os pontos que não pertencem ao domínio mas que estão «encostados» a ele: zeros do denominador, extremos de intervalos, pontos onde muda o ramo de uma função definida por ramos.

Atenção: um ponto fora do domínio só dá assíntota vertical se o limite lateral for infinito. Se der um valor finito, não há assíntota.

Assíntotas não verticais

A reta de equação \(y=mx+b\) é assíntota ao gráfico de \(f\) em \(+\infty\) (ou em \(-\infty\)) se

\[ \lim_{x\to +\infty}\big[f(x)-(mx+b)\big]=0 \]

Na prática, calculam-se \(m\) e \(b\) por esta ordem:

\[ m=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x} \qquad\text{e}\qquad b=\lim_{x\to +\infty}\big[f(x)-mx\big] \]

Se \(m=0\), a assíntota é horizontal (\(y=b\)); se \(m\ne 0\), é oblíqua. Os dois limites têm de existir e ser finitos, caso contrário não há assíntota.

O cálculo em \(-\infty\) faz-se separadamente: o gráfico pode ter assíntotas diferentes de cada lado. Por isso, uma função tem no máximo duas assíntotas não verticais.

Atalho para funções racionais

Numa função racional, a divisão inteira dá logo a assíntota não vertical. Se

\[ f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}=Q(x)+\frac{R(x)}{D(x)}\ , \qquad \text{grau}(R)\lt\text{grau}(D) \]

então \(\dfrac{R(x)}{D(x)}\to 0\) e a assíntota é \(y=Q(x)\). Comparando os graus do numerador e do denominador:

Graus	Assíntota não vertical
grau\((N)\lt\) grau\((D)\)	horizontal \(y=0\)
grau\((N)=\) grau\((D)\)	horizontal \(y=\) quociente dos coeficientes dos termos de maior grau
grau\((N)=\) grau\((D)+1\)	oblíqua \(y=mx+b\), com \(m\ne 0\)
grau\((N)\gt\) grau\((D)+1\)	não existe

Erros frequentes:

• Concluir que há assíntota vertical só porque o ponto não pertence ao domínio — é preciso calcular o limite.

• Calcular \(m\) e \(b\) só em \(+\infty\) e assumir que em \(-\infty\) é igual. Numa função racional é, mas em geral não tem de ser (por exemplo, com \(e^{x}\) ou com módulos).

• Trocar \(f(x)-mx\) por \(f(x)-mx-b\) no cálculo de \(b\).

Nota (Aprendizagens Essenciais, janeiro de 2023): pretende-se «determinar analiticamente as equações das assíntotas, verticais e não verticais, ao gráfico de uma função». Só estão incluídas situações de cálculo algébrico cujo grau de dificuldade não ultrapasse o dos exemplos \(f(x)=\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}+1}\), \(g(x)=\dfrac{e^{x}}{x+1}\) e \(h(x)=x+\ln x\).

1. Função definida por ramos

Estude a função \(f\), definida em \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\), por:

f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}-1}{x-1} & \text{se } x\lt 1\\[1em] \dfrac{2x}{x+1} & \text{se } x\gt 1 \end{cases}

quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico que são paralelas aos eixos coordenados.

Assíntotas paralelas aos eixos coordenados são as verticais (paralelas ao eixo \(Oy\)) e as horizontais (paralelas ao eixo \(Ox\)).

Passo 1 — candidatos a assíntota vertical

O único ponto que não pertence ao domínio é \(x=1\), que é também o ponto onde muda o ramo. Note-se que \(-1\) anula o denominador \(x+1\), mas esse ramo só é usado para \(x\gt 1\), pelo que \(-1\) não é candidato: para \(x\lt 1\) a função é dada pela outra expressão, que está definida em \(-1\).

Passo 2 — limites laterais em \(x=1\)

À esquerda, substituindo obtém-se \(\frac00\); fatoriza-se o numerador com a diferença de quadrados:

\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x^{2}-1}{x-1} =\lim_{x\to 1^{-}}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} =\lim_{x\to 1^{-}}(x+1)=2

À direita não há indeterminação:

\lim_{x\to 1^{+}}\frac{2x}{x+1}=\frac{2\times 1}{1+1}=\frac{2}{2}=1

Ambos os limites são finitos, pelo que \(x=1\) não é assíntota vertical.

O gráfico não tem assíntotas verticais.

Passo 3 — comportamento em \(-\infty\)

Para \(x\to -\infty\) usa-se o ramo \(x\lt 1\), que se simplifica:

\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\ ,\qquad x\lt 1

\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}(x+1)=-\infty

Como o limite é infinito, não há assíntota horizontal em \(-\infty\).

Passo 4 — comportamento em \(+\infty\)

Para \(x\to +\infty\) usa-se o ramo \(x\gt 1\). Trata-se de \(\frac{\infty}{\infty}\); põe-se \(x\) em evidência (ou aplica-se a regra de L'Hôpital):

\lim_{x\to +\infty}\frac{2x}{x+1} =\lim_{x\to +\infty}\frac{2x}{x\left(1+\frac1x\right)} =\lim_{x\to +\infty}\frac{2}{1+\frac1x}=\frac{2}{1+0}=2

O limite é finito, logo \(y=2\) é assíntota horizontal quando \(x\to +\infty\).

Nota: em \(-\infty\) o gráfico coincide com a reta \(y=x+1\), que é assíntota oblíqua. Como não é paralela a nenhum dos eixos, fica fora do que o enunciado pede.

Não existem assíntotas verticais.

A única assíntota paralela aos eixos coordenados é a reta de equação \(y=2\) (horizontal, quando \(x\to+\infty\)).

2. Assíntotas de uma função racional

Determine as equações das assíntotas ao gráfico da função \(f\) definida por:

f(x)=\frac{2x^{2}-x+3}{x-1}

Passo 1 — domínio

D_f=\{x\in\mathbb{R}:x-1\ne 0\}=\mathbb{R}\setminus\{1\}

Passo 2 — assíntota vertical

O candidato é \(x=1\). Substituindo no numerador: \(2\times 1^{2}-1+3=4\ne 0\), logo o limite é do tipo \(\frac{4}{0}\) e é infinito.

\lim_{x\to 1^{-}}\frac{2x^{2}-x+3}{x-1}=\frac{4}{0^{-}}=-\infty \qquad \lim_{x\to 1^{+}}\frac{2x^{2}-x+3}{x-1}=\frac{4}{0^{+}}=+\infty

Logo \(x=1\) é assíntota vertical.

Passo 3 — declive \(m\) da assíntota não vertical

m=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^{2}-x+3}{x\,(x-1)} =\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^{2}-x+3}{x^{2}-x} =\frac{2}{1}=2

(Num quociente de polinómios do mesmo grau, o limite em \(\pm\infty\) é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau.)

Passo 4 — ordenada na origem \(b\)

b=\lim_{x\to +\infty}\big[f(x)-2x\big] =\lim_{x\to +\infty}\left[\frac{2x^{2}-x+3}{x-1}-2x\right] =\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^{2}-x+3-2x(x-1)}{x-1}

=\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^{2}-x+3-2x^{2}+2x}{x-1} =\lim_{x\to +\infty}\frac{x+3}{x-1}=1

Em \(-\infty\) os cálculos são exatamente os mesmos e dão os mesmos valores, pelo que a assíntota é a mesma dos dois lados.

Confirmação pela divisão inteira

Dividindo \(2x^{2}-x+3\) por \(x-1\) obtém-se quociente \(2x+1\) e resto \(4\):

f(x)=2x+1+\frac{4}{x-1}

Como \(\dfrac{4}{x-1}\to 0\) quando \(x\to\pm\infty\), a assíntota oblíqua é \(y=2x+1\); e como \(\dfrac{4}{x-1}\to\pm\infty\) quando \(x\to 1\), confirma-se a assíntota vertical \(x=1\).

Assíntota vertical: \(x=1\).

Assíntota oblíqua (em \(-\infty\) e em \(+\infty\)): \(y=2x+1\).

3. Verificar se uma reta é assíntota

Considere a função \(f\) definida, em \(\mathbb{R}\), por:

f(x)=2x-1+\frac{x+1}{x}

Verifique se a reta de equação \(y=2x-1\) é uma assíntota ao gráfico de \(f\).

Observação: a expressão só faz sentido para \(x\ne 0\); o domínio de \(f\) é, portanto, \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Isso não afeta o estudo do comportamento em \(\pm\infty\).

Passo 1 — aplicar a definição

A reta \(y=2x-1\) é assíntota se e só se a diferença entre a função e a reta tender para zero:

\lim_{x\to \pm\infty}\big[f(x)-(2x-1)\big]=0\ ?

Passo 2 — calcular a diferença

f(x)-(2x-1)=2x-1+\frac{x+1}{x}-2x+1=\frac{x+1}{x}

\lim_{x\to +\infty}\frac{x+1}{x} =\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac1x\right)=1+0=1\ne 0

Como a diferença tende para \(1\) e não para \(0\), a reta \(y=2x-1\) não é assíntota ao gráfico de \(f\). O mesmo acontece em \(-\infty\).

Passo 3 — qual é, então, a assíntota?

Simplificando a expressão de \(f\):

f(x)=2x-1+\frac{x+1}{x}=2x-1+1+\frac1x=2x+\frac1x

Assim, \(f(x)-2x=\dfrac1x\to 0\) quando \(x\to\pm\infty\).

Confirmando pelas fórmulas: \(m=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\left(2+\frac{1}{x^{2}}\right)=2\) e \(b=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\big[f(x)-2x\big]=\lim\frac1x=0\).

A reta \(y=2x-1\) não é assíntota: \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\big[f(x)-(2x-1)\big]=1\ne 0\).

A assíntota oblíqua ao gráfico de \(f\) é a reta de equação \(y=2x\).

4. Ler assíntotas num gráfico

Na figura está representado, em referencial o. n. \(Oxy\), o gráfico de uma função \(f\), tal como é sugerido, com duas assíntotas: uma vertical de equação \(x=1\) e uma oblíqua com ordenada na origem igual a \(2\).

Sabe-se que o ponto de interseção das assíntotas tem ordenada \(3\).

Gráfico de f com assíntota vertical x=1 e assíntota oblíqua de ordenada na origem 2, que se intersetam no ponto de ordenada 3

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) \(\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=+\infty\)
(B) \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=1\)
(C) \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\big(f(x)-x+2\big)=0\)
(D) \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=1\)

Passo 1 — determinar a assíntota oblíqua

A assíntota oblíqua tem ordenada na origem \(2\), pelo que é da forma \(y=mx+2\).

As duas assíntotas intersetam-se num ponto da reta \(x=1\) e esse ponto tem ordenada \(3\), ou seja, o ponto é \((1,3)\). Substituindo:

3=m\times 1+2 \iff m=1

\text{assíntota oblíqua: } y=x+2

Passo 2 — analisar cada opção

(A) Pelo gráfico, \(\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty\) e \(\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty\). Como os limites laterais são diferentes, não existe \(\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)\). Falsa.

(B) Em \(-\infty\) o gráfico aproxima-se da reta \(y=x+2\), logo \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty\). Falsa. (Só haveria limite finito se existisse assíntota horizontal.)

(C) Da definição de assíntota sabe-se que \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\big[f(x)-(x+2)\big]=0\), ou seja, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\big(f(x)-x\big)=2\). Então \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\big(f(x)-x+2\big)=2+2=4\ne 0\). Falsa.

(D) O declive da assíntota oblíqua é \(m=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}\). Como \(m=1\), a afirmação é verdadeira.

Opção (D)

5. Escolher o gráfico a partir de um limite

Indique em qual dos seguintes gráficos se encontram representados uma função \(f\) e uma sua assíntota oblíqua, bem como os seus pontos de interseção com os eixos coordenados, tal que:

\lim_{x\to +\infty}\big(f(x)-2x+1\big)=2

(A)

Opção A: assíntota oblíqua crescente que interseta o eixo Ox em menos um e o eixo Oy em um meio

(B)

Opção B: assíntota oblíqua crescente que interseta o eixo Ox em menos um meio e o eixo Oy em um

(C)

Opção C: assíntota oblíqua decrescente que interseta o eixo Ox em menos um meio e o eixo Oy em menos um

(D)

Opção D: assíntota oblíqua decrescente que interseta o eixo Ox em um meio e o eixo Oy em um

Passo 1 — descobrir a equação da assíntota

Parte-se do limite dado e reescreve-se na forma da definição de assíntota:

\lim_{x\to +\infty}\big(f(x)-2x+1\big)=2 \iff \lim_{x\to +\infty}\big(f(x)-2x\big)=1

\iff \lim_{x\to +\infty}\big[f(x)-(2x+1)\big]=0

Ou seja, a assíntota oblíqua é a reta de equação:

\[ y=2x+1 \]

Passo 2 — pontos de interseção da assíntota com os eixos

Com o eixo \(Oy\) (fazendo \(x=0\)): \(y=1\), ou seja, o ponto \((0,1)\).

Com o eixo \(Ox\) (fazendo \(y=0\)):

2x+1=0 \iff x=-\frac12

Logo o ponto \(\left(-\dfrac12,0\right)\).

Passo 3 — escolher o gráfico

O declive é \(m=2\gt 0\), pelo que a assíntota é uma reta crescente. Isso elimina imediatamente as opções (C) e (D), em que a reta é decrescente.

Em (A) a reta passa em \((-1,0)\) e em \(\left(0,\frac12\right)\), pelo que o seu declive é \(m=\dfrac{\frac12-0}{0-(-1)}=\dfrac12\ne 2\). Não serve.

Em (B) a reta passa em \(\left(-\frac12,0\right)\) e em \((0,1)\): o declive é \(m=\dfrac{1-0}{0-\left(-\frac12\right)}=2\) e a ordenada na origem é \(1\), ou seja, \(y=2x+1\). Serve.

Opção (B)