Raízes de índice n de um número complexo

Matemática A - 12.º ano - Novo Programa 2026 - matematicaparatodos.pt

📌 Resumo teórico

Definição e fórmula

\(w\) é uma raiz de índice \(n\) de \(z\) quando \(w^{n}=z\). Todo o complexo \(z=\rho\,e^{i\theta}\ne 0\) tem exatamente \(n\) raízes de índice \(n\):

\(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho}\;e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}},\qquad k\in\{0,\,1,\,\dots,\,n-1\}\)

Todas têm o mesmo módulo \(\sqrt[n]{\rho}\) e os argumentos seguem-se de \(\dfrac{2\pi}{n}\) em \(\dfrac{2\pi}{n}\).

Interpretação geométrica

Soma e produto (\(n\ge 2\))

As raízes formam uma progressão geométrica de razão \(e^{i\frac{2\pi}{n}}\). Daí:

soma das \(n\) raízes \(=0\)     produto das \(n\) raízes \(=(-1)^{n-1}\,z\)

Em particular, as raízes de índice \(n\) de \(1\) (raízes da unidade) são \(e^{i\frac{2k\pi}{n}}\).

Raízes quadradas na forma algébrica

Para \(z=a+bi\), procura-se \(w=x+yi\) com \(w^{2}=z\). Igualando as partes e usando também \(|w|^{2}=|z|\):

\(x^{2}-y^{2}=a\qquad x^{2}+y^{2}=|z|\qquad 2xy=b\)

As duas primeiras dão \(x^{2}\) e \(y^{2}\); a terceira decide se \(x\) e \(y\) têm o mesmo sinal ou sinais contrários. As duas raízes quadradas são simétricas.

Nota (Aprendizagens Essenciais, janeiro de 2023): a radiciação faz parte das operações na forma trigonométrica, com interpretação geométrica em casos simples. As equações do tipo \(z^{n}=w\) e outras equações simples em \(\mathbb{C}\) estão na ficha «Equações em \(\mathbb{C}\)».

1. Escolha múltipla: raízes do mesmo número

1
  1. 1.1. \(2e^{i\frac{\pi}{3}}\) é uma raiz quarta de um número complexo \(z\). Qual dos seguintes números não é uma raiz quarta de \(z\)?
    • (A) \(2e^{i\frac{5\pi}{6}}\)
    • (B) \(2e^{i\frac{2\pi}{3}}\)
    • (C) \(2e^{i\frac{11\pi}{6}}\)
    • (D) \(2e^{i\frac{4\pi}{3}}\)
  2. 1.2. Em qual das opções seguintes se apresentam duas raízes cúbicas de um mesmo número complexo?
    • (A) \(e^{i\frac{\pi}{6}}\) e \(e^{i\frac{\pi}{3}}\)
    • (B) \(e^{i\frac{\pi}{6}}\) e \(e^{i\frac{5\pi}{6}}\)
    • (C) \(e^{i\frac{\pi}{6}}\) e \(e^{i\frac{7\pi}{6}}\)
    • (D) \(e^{i\frac{\pi}{6}}\) e \(e^{i\frac{11\pi}{6}}\)
1.1.

As raízes quartas seguem-se de \(\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\) em \(\dfrac{\pi}{2}\):

\[ \frac{\pi}{3},\quad\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{6},\quad\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3},\quad\frac{\pi}{3}+\frac{3\pi}{2}=\frac{11\pi}{6} \]
Opção (B)
1.2.

Os argumentos de duas raízes cúbicas do mesmo número diferem num múltiplo de \(\dfrac{2\pi}{3}\). Só em (B): \(\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{3}\). (Equivalentemente: \(\left(e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^{3}=\left(e^{i\frac{5\pi}{6}}\right)^{3}=i\).)

Opção (B)

2. O triângulo das raízes cúbicas

2

Os vértices de um triângulo são os afixos, no plano complexo, das raízes cúbicas de um número complexo. Em qual das seguintes figuras pode estar representado esse triângulo?

(A)
Opção A: triângulo equilátero centrado na origem
(B)
Opção B: triângulo com um vértice no semieixo real negativo e dois vértices no eixo imaginário
(C)
Opção C: triângulo isósceles alto, com vértice no semieixo imaginário positivo
(D)
Opção D: triângulo retângulo com um vértice na origem

As três raízes cúbicas têm o mesmo módulo e argumentos que diferem de \(\dfrac{2\pi}{3}\): os afixos são os vértices de um triângulo equilátero centrado na origem.

  • (B): os três vértices não estão à mesma distância da origem;
  • (C): o triângulo não é equilátero;
  • (D): um vértice é a origem, mas nenhuma raiz de um número não nulo é \(0\) (e o triângulo também não é equilátero).
Opção (A)

3. Raízes cúbicas na forma trigonométrica

3

Determine, na forma trigonométrica:

  1. 3.1. as raízes cúbicas de \(64\,e^{i\frac{6\pi}{5}}\);
  2. 3.2. as raízes cúbicas de \(\left(1+\sqrt{3}\,i\right)^{2}\).
3.1.
\[ \sqrt[3]{64\,e^{i\frac{6\pi}{5}}}=4\,e^{i\frac{\frac{6\pi}{5}+2k\pi}{3}}=4\,e^{i\left(\frac{2\pi}{5}+\frac{2k\pi}{3}\right)},\quad k\in\{0,1,2\} \]
\(4e^{i\frac{2\pi}{5}}\), \(4e^{i\frac{16\pi}{15}}\), \(4e^{i\frac{26\pi}{15}}\)
3.2.

\(1+\sqrt{3}\,i=2e^{i\frac{\pi}{3}}\), logo \(\left(1+\sqrt{3}\,i\right)^{2}=4e^{i\frac{2\pi}{3}}\).

\[ \sqrt[3]{4e^{i\frac{2\pi}{3}}}=\sqrt[3]{4}\,e^{i\left(\frac{2\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\right)},\quad k\in\{0,1,2\} \]
\(\sqrt[3]{4}\,e^{i\frac{2\pi}{9}}\), \(\sqrt[3]{4}\,e^{i\frac{8\pi}{9}}\), \(\sqrt[3]{4}\,e^{i\frac{14\pi}{9}}\)

4. Determinar e representar raízes

4

Determine, na forma trigonométrica, e represente no plano complexo:

  1. 4.1. as raízes cúbicas de \(-8i\);
  2. 4.2. as raízes quartas de \(-256\);
  3. 4.3. as raízes quintas de \(-16\sqrt{2}+16\sqrt{2}\,i\);
  4. 4.4. as raízes sextas de \(\dfrac{1}{i}\).
4.1.
\[ -8i=8e^{-i\frac{\pi}{2}}\qquad z_k=2e^{i\left(-\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}\right)}:\quad 2e^{-i\frac{\pi}{6}},\ 2e^{i\frac{\pi}{2}},\ 2e^{i\frac{7\pi}{6}} \]

Representação: triângulo equilátero inscrito na circunferência de centro \(O\) e raio \(2\), com um vértice no ponto \((0,\,2)\) e os outros em \(\left(\sqrt{3},\,-1\right)\) e \(\left(-\sqrt{3},\,-1\right)\).

4.2.
\[ -256=256e^{i\pi}\qquad z_k=4e^{i\left(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\right)}:\quad 4e^{i\frac{\pi}{4}},\ 4e^{i\frac{3\pi}{4}},\ 4e^{i\frac{5\pi}{4}},\ 4e^{i\frac{7\pi}{4}} \]

Representação: quadrado inscrito na circunferência de raio \(4\), com os vértices sobre as bissetrizes dos quadrantes: \(\left(\pm 2\sqrt{2},\,\pm 2\sqrt{2}\right)\).

4.3.

\(\left|-16\sqrt{2}+16\sqrt{2}\,i\right|=\sqrt{512+512}=32\); 2.º quadrante com \(\alpha=\dfrac{\pi}{4}\), logo o número é \(32e^{i\frac{3\pi}{4}}\).

\[ z_k=2e^{i\left(\frac{3\pi}{20}+\frac{2k\pi}{5}\right)}:\quad 2e^{i\frac{3\pi}{20}},\ 2e^{i\frac{11\pi}{20}},\ 2e^{i\frac{19\pi}{20}},\ 2e^{i\frac{27\pi}{20}},\ 2e^{i\frac{7\pi}{4}} \]

Representação: pentágono regular inscrito na circunferência de raio \(2\), com um vértice em \(\left(\sqrt{2},\,-\sqrt{2}\right)\) (argumento \(\frac{7\pi}{4}\)).

4.4.
\[ \frac{1}{i}=-i=e^{-i\frac{\pi}{2}}\qquad z_k=e^{i\left(-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}\right)}:\quad e^{-i\frac{\pi}{12}},\ e^{i\frac{\pi}{4}},\ e^{i\frac{7\pi}{12}},\ e^{i\frac{11\pi}{12}},\ e^{i\frac{5\pi}{4}},\ e^{i\frac{19\pi}{12}} \]

Representação: hexágono regular inscrito na circunferência de raio \(1\), com um vértice na bissetriz do 1.º quadrante (argumento \(\frac{\pi}{4}\)).

5. Raízes quartas na forma algébrica

5

Determine as raízes quartas de \(-\dfrac{81}{2}+\dfrac{81\sqrt{3}}{2}i\), apresentando-as na forma \(x+yi\), com \(x,y\in\mathbb{R}\).

Módulo: \(\sqrt{\dfrac{6561}{4}+\dfrac{19683}{4}}=\sqrt{6561}=81\). Afixo no 2.º quadrante com \(\tg\alpha=\sqrt{3}\), logo o número é \(81e^{i\frac{2\pi}{3}}\).

\[ z_k=3e^{i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\right)},\quad k\in\{0,1,2,3\} \]
\[ 3e^{i\frac{\pi}{6}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i\qquad 3e^{i\frac{2\pi}{3}}=-\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i\qquad 3e^{i\frac{7\pi}{6}}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i\qquad 3e^{i\frac{5\pi}{3}}=\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i \]

Repare que cada raiz se obtém da anterior multiplicando por \(i\).

6. Raízes quadradas na forma algébrica

6

Determine as raízes quadradas dos seguintes números complexos, apresentando-as na forma \(x+yi\), com \(x,y\in\mathbb{R}\).

  1. 6.1. \(-21+20i\)
  2. 6.2. \(-8+6i\)
  3. 6.3. \(7+24i\)

Procura-se \(w=x+yi\) com \(w^{2}=(x^{2}-y^{2})+2xyi\) igual ao número dado; usa-se também \(x^{2}+y^{2}=|w|^{2}=|z|\).

6.1.
\[ |z|=\sqrt{441+400}=29\qquad\begin{cases}x^{2}-y^{2}=-21\\x^{2}+y^{2}=29\\2xy=20\end{cases}\Rightarrow\ x^{2}=4,\ y^{2}=25,\ xy=10\gt 0 \]
\(2+5i\) e \(-2-5i\)
6.2.
\[ |z|=\sqrt{64+36}=10\qquad x^{2}=\frac{-8+10}{2}=1,\ \ y^{2}=\frac{10+8}{2}=9,\ \ xy=3\gt 0 \]
\(1+3i\) e \(-1-3i\)
6.3.
\[ |z|=\sqrt{49+576}=25\qquad x^{2}=\frac{7+25}{2}=16,\ \ y^{2}=\frac{25-7}{2}=9,\ \ xy=12\gt 0 \]
\(4+3i\) e \(-4-3i\)

Confirmação de 6.1: \((2+5i)^{2}=4+20i-25=-21+20i\). \(\checkmark\)

7. As restantes raízes sextas

7

De um número complexo \(w\) sabe-se que uma raiz sexta é \(\dfrac{1}{3}e^{i\frac{\pi}{5}}\). Determine, na forma trigonométrica, as restantes raízes sextas de \(w\).

Não é preciso calcular \(w\): as raízes sextas seguem-se de \(\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}\) em \(\dfrac{\pi}{3}\).

\[ \frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{3}=\frac{8\pi}{15},\quad \frac{\pi}{5}+\frac{2\pi}{3}=\frac{13\pi}{15},\quad \frac{\pi}{5}+\pi=\frac{6\pi}{5},\quad \frac{\pi}{5}+\frac{4\pi}{3}=\frac{23\pi}{15},\quad \frac{\pi}{5}+\frac{5\pi}{3}=\frac{28\pi}{15} \]
\(\tfrac{1}{3}e^{i\frac{8\pi}{15}}\), \(\tfrac{1}{3}e^{i\frac{13\pi}{15}}\), \(\tfrac{1}{3}e^{i\frac{6\pi}{5}}\), \(\tfrac{1}{3}e^{i\frac{23\pi}{15}}\), \(\tfrac{1}{3}e^{i\frac{28\pi}{15}}\)

8. Raízes quadradas de um quociente

8

Considere o número complexo \(w=8e^{-i\frac{2\pi}{3}}\). Determine as raízes quadradas do número complexo \(\dfrac{\overline{w}}{-4w}\), apresentando-as na forma trigonométrica e na forma \(a+bi\), com \(a,b\in\mathbb{R}\).

\[ \overline{w}=8e^{i\frac{2\pi}{3}}\qquad -4w=32e^{i\left(-\frac{2\pi}{3}+\pi\right)}=32e^{i\frac{\pi}{3}}\qquad \frac{\overline{w}}{-4w}=\frac{1}{4}e^{i\frac{\pi}{3}} \]
\[ \sqrt{\frac{1}{4}e^{i\frac{\pi}{3}}}=\frac{1}{2}e^{i\left(\frac{\pi}{6}+k\pi\right)},\quad k\in\{0,1\} \]
\(\dfrac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{6}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}+\dfrac{1}{4}i\)   e   \(\dfrac{1}{2}e^{i\frac{7\pi}{6}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{1}{4}i\)

9. Raízes cúbicas depois de simplificar

9

Considere os números complexos \(z=5-\sqrt{6}\,i\) e \(w=-\sqrt{6}+5i\). Determine as raízes cúbicas do número complexo \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\times\dfrac{z+w}{5-\sqrt{6}}\), apresentando-as na forma trigonométrica.

\[ z+w=\left(5-\sqrt{6}\right)+\left(5-\sqrt{6}\right)i=\left(5-\sqrt{6}\right)(1+i) \]
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\left(5-\sqrt{6}\right)(1+i)}{5-\sqrt{6}}=\frac{1+i}{\sqrt{2}}=e^{i\frac{\pi}{4}} \]
\[ \sqrt[3]{e^{i\frac{\pi}{4}}}=e^{i\left(\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}\right)},\quad k\in\{0,1,2\} \]
\(e^{i\frac{\pi}{12}}\), \(e^{i\frac{3\pi}{4}}\), \(e^{i\frac{17\pi}{12}}\)

10. Conhecida uma raiz cúbica, as outras

10

Considere o número complexo \(z=\dfrac{2}{1-i}-2i^{97}\).

  1. 10.1. Represente \(z\) na forma algébrica e na forma trigonométrica.
  2. 10.2. Sabendo que \(z\) é uma das raízes de índice \(3\) de um número complexo \(w\), determine, sem calcular \(w\), as restantes raízes de índice \(3\) de \(w\) e represente-as geometricamente.
10.1.
\[ \frac{2}{1-i}=\frac{2(1+i)}{2}=1+i\qquad i^{97}=i\qquad z=1+i-2i=1-i=\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}} \]
10.2.

Somam-se \(\dfrac{2\pi}{3}\) e \(\dfrac{4\pi}{3}\) ao argumento:

\[ \sqrt{2}\,e^{i\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{3}\right)}=\sqrt{2}\,e^{i\frac{5\pi}{12}}\qquad \sqrt{2}\,e^{i\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{3}\right)}=\sqrt{2}\,e^{i\frac{13\pi}{12}} \]

Representação: os três afixos são os vértices de um triângulo equilátero inscrito na circunferência de centro \(O\) e raio \(\sqrt{2}\), com um vértice no ponto \((1,\,-1)\).

\(\sqrt{2}\,e^{i\frac{5\pi}{12}}\) e \(\sqrt{2}\,e^{i\frac{13\pi}{12}}\)

11. Uma raiz cúbica de \(8i\)

11

Considere os números complexos \(z_1=2\cos\dfrac{\pi}{6}-2i\sen\dfrac{7\pi}{6}\) e \(z_2=8i\).

  1. 11.1. Escreva \(z_1\) na forma trigonométrica.
  2. 11.2. Mostre que \(z_1\) é uma raiz cúbica de \(z_2\).
  3. 11.3. Seja \(z_3=i^{2}z_1\). Escreva \(|z_3|\) em função de \(|z_1|\) e \(\Arg(z_3)\) em função de \(\Arg(z_1)\).
11.1.

\(\sen\dfrac{7\pi}{6}=-\sen\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{1}{2}\), logo \(-2i\sen\dfrac{7\pi}{6}=i\) e

\[ z_1=2\cos\frac{\pi}{6}+2i\sen\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}+i=2e^{i\frac{\pi}{6}} \]
11.2.
\[ z_1^{\,3}=8e^{i\frac{\pi}{2}}=8i=z_2\ \ \blacksquare \]
11.3.

\(i^{2}=-1\), logo \(z_3=-z_1\): o afixo de \(z_3\) é o simétrico do de \(z_1\) em relação à origem.

\(|z_3|=|z_1|\) e \(\Arg(z_3)=\Arg(z_1)-\pi\)  (aqui, \(-\dfrac{5\pi}{6}\))

(Subtrai-se \(\pi\) e não se soma porque \(\Arg(z_1)=\dfrac{\pi}{6}\gt 0\): somar daria \(\dfrac{7\pi}{6}\), fora de \(\left]-\pi,\,\pi\right]\).)

12. Verificar que um número é raiz cúbica

12

Considere os números \(w_1=i^{12n-9}\left(20\sqrt{3}-20i\right)\), com \(n\in\mathbb{N}\), e \(w_2=2\sqrt[3]{5}\,e^{i\frac{10\pi}{9}}\).

Mostre que \(w_2\) é uma raiz cúbica de \(w_1\).

Passo 1 — simplificar \(w_1\)

\(i^{12n-9}=\left(i^{4}\right)^{3n}\times i^{-12}\times i^{3}=-i\):

\[ w_1=-i\left(20\sqrt{3}-20i\right)=-20\sqrt{3}\,i+20i^{2}=-20-20\sqrt{3}\,i=40e^{-i\frac{2\pi}{3}} \]

(\(|w_1|=\sqrt{400+1200}=40\); 3.º quadrante com \(\tg\alpha=\sqrt{3}\).)

Passo 2 — calcular \(w_2^{\,3}\)
\[ w_2^{\,3}=8\times 5\times e^{i\frac{30\pi}{9}}=40e^{i\frac{10\pi}{3}}=40e^{i\left(\frac{10\pi}{3}-4\pi\right)}=40e^{-i\frac{2\pi}{3}}=w_1\ \ \blacksquare \]

13. O número de que se conhece uma raiz cúbica

13

Considere \(z_2=4-\sqrt{3}\,i+i^{4n+2018}\), com \(n\in\mathbb{N}\). Sabe-se que \(z_2\) é uma das raízes cúbicas de um certo número complexo \(w\). Determine \(w\) e apresente o resultado na forma algébrica.

\(2018=4\times 504+2\), logo \(i^{4n+2018}=i^{2}=-1\) e \(z_2=3-\sqrt{3}\,i\).

\(|z_2|=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}\); 4.º quadrante com \(\tg\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), logo \(z_2=2\sqrt{3}\,e^{-i\frac{\pi}{6}}\).

\[ w=z_2^{\,3}=\left(2\sqrt{3}\right)^{3}e^{-i\frac{\pi}{2}}=24\sqrt{3}\times(-i)=-24\sqrt{3}\,i \]
\(w=-24\sqrt{3}\,i\)

14. Dois números, uma soma e uma raiz quarta

14

Considere os números complexos \(z_1=-1+i\) e \(z_2=2+2i\).

  1. 14.1. Represente \(z_1\) e \(z_2\) geometricamente.
  2. 14.2. Escreva \(z_1\) e \(z_2\) na forma trigonométrica.
  3. 14.3. Calcule \(\dfrac{z_1+z_2}{\overline{z_1}}\). Apresente o resultado na forma algébrica.
  4. 14.4. Calcule \(\sqrt[4]{z_2^{\,3}}\) sem recorrer à calculadora. Apresente os resultados na forma trigonométrica.
14.1.

Os afixos são \((-1,\,1)\), na bissetriz do 2.º quadrante, e \((2,\,2)\), na bissetriz do 1.º quadrante.

14.2.
\[ z_1=\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\qquad z_2=2\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}} \]
14.3.
\[ \frac{1+3i}{-1-i}=\frac{(1+3i)(-1+i)}{2}=\frac{-1+i-3i-3}{2}=-2-i \]
14.4.
\[ z_2^{\,3}=\left(2\sqrt{2}\right)^{3}e^{i\frac{3\pi}{4}}=16\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\qquad \sqrt[4]{16\sqrt{2}}=2\sqrt[8]{2} \]
\[ \sqrt[4]{z_2^{\,3}}=2\sqrt[8]{2}\,e^{i\left(\frac{3\pi}{16}+\frac{k\pi}{2}\right)},\quad k\in\{0,1,2,3\} \]
\(2\sqrt[8]{2}\,e^{i\frac{3\pi}{16}}\), \(2\sqrt[8]{2}\,e^{i\frac{11\pi}{16}}\), \(2\sqrt[8]{2}\,e^{i\frac{19\pi}{16}}\), \(2\sqrt[8]{2}\,e^{i\frac{27\pi}{16}}\)

15. O quadrado das raízes quartas

15

Considere \(z_1=2e^{i\frac{\pi}{12}}\). Sabe-se que \(z_1\) é uma das raízes quartas de um dado número complexo \(w\).

  1. 15.1. Determine as restantes três raízes quartas de \(w\). Apresente-as na forma trigonométrica.
  2. 15.2. Determine a medida da área do polígono que tem como vértices os afixos das raízes quartas de \(w\).
  3. 15.3. Mostre que a soma das quatro raízes quartas de \(w\) é \(0\).
15.1.
\[ 2e^{i\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{2}\right)}=2e^{i\frac{7\pi}{12}}\qquad 2e^{i\frac{13\pi}{12}}\qquad 2e^{i\frac{19\pi}{12}} \]
15.2.

Os afixos são os vértices de um quadrado inscrito na circunferência de raio \(2\): as diagonais medem \(4\).

\[ A=\frac{d^{2}}{2}=\frac{16}{2}=8 \]
\(8\) u.a.
15.3.

As raízes são \(z_1\), \(iz_1\), \(i^{2}z_1\) e \(i^{3}z_1\):

\[ z_1\left(1+i+i^{2}+i^{3}\right)=z_1(1+i-1-i)=0\ \ \blacksquare \]

16. Raízes quintas e o perímetro de um pentágono

16

Seja \(w\) um número complexo não nulo. Sabe-se que \(\sqrt{3}+i\) é uma raiz de índice \(5\) de \(w\).

  1. 16.1. Determine, na forma trigonométrica, as raízes quintas de \(w\).
  2. 16.2. Determine o perímetro do pentágono regular cujos vértices são os afixos das raízes quintas de \(w\). Apresente o resultado na forma \(a\sen\dfrac{\pi}{5}\).
16.1.

\(\sqrt{3}+i=2e^{i\frac{\pi}{6}}\); as outras raízes obtêm-se somando \(\dfrac{2\pi}{5}\) sucessivamente:

\(2e^{i\frac{\pi}{6}}\), \(2e^{i\frac{17\pi}{30}}\), \(2e^{i\frac{29\pi}{30}}\), \(2e^{i\frac{41\pi}{30}}\), \(2e^{i\frac{53\pi}{30}}\)
16.2.

Dois vértices consecutivos \(A\) e \(B\) e o centro \(O\) formam um triângulo isósceles com \(\overline{OA}=\overline{OB}=2\) e ângulo \(AOB=\dfrac{2\pi}{5}\). A altura relativa a \([AB]\) divide-o em dois triângulos retângulos com ângulo \(\dfrac{\pi}{5}\) em \(O\):

\[ \frac{\overline{AB}}{2}=2\sen\frac{\pi}{5}\iff\overline{AB}=4\sen\frac{\pi}{5}\qquad P=5\times 4\sen\frac{\pi}{5}=20\sen\frac{\pi}{5} \]
\(P=20\sen\dfrac{\pi}{5}\)

17. Um pentágono regular centrado na origem

17

Na figura está representado um pentágono regular com centro na origem do referencial. Um dos vértices do pentágono é um ponto do semieixo real positivo, imagem geométrica do número complexo \(z=3\).

Pentágono regular centrado na origem com um vértice no ponto (3, 0)
  1. 17.1. Escreva, na forma trigonométrica, os números complexos cujos afixos são os vértices do pentágono.
  2. 17.2. Defina, por uma condição em variável complexa, a circunferência circunscrita ao pentágono.
  3. 17.3. Considere o número complexo \(w\) cujo afixo é a interseção do semieixo imaginário negativo com um lado do pentágono. Justifique que o afixo de \(w^{5}\) pertence ao semieixo imaginário negativo, enquanto a imagem geométrica de \(w^{4}\) pertence ao semieixo real positivo.
  4. 17.4. Os vértices do pentágono são os afixos das raízes de índice \(n\) de um número complexo \(c\). Indique o valor de \(n\) e determine \(c\).
17.1.

Rotações sucessivas de \(\dfrac{2\pi}{5}\) a partir de \(3=3e^{i0}\):

\(3e^{i0}\), \(3e^{i\frac{2\pi}{5}}\), \(3e^{i\frac{4\pi}{5}}\), \(3e^{i\frac{6\pi}{5}}\), \(3e^{i\frac{8\pi}{5}}\)
17.2.

Todos os vértices estão a \(3\) unidades da origem.

\(|z|=3\)
17.3.

O afixo de \(w\) está no semieixo imaginário negativo, logo \(w=ai\) com \(a\lt 0\).

\[ w^{5}=a^{5}i^{5}=a^{5}\,i\quad\text{com }a^{5}\lt 0\qquad\qquad w^{4}=a^{4}i^{4}=a^{4}\gt 0 \]

\(w^{5}\) é imaginário puro de coeficiente negativo (semieixo imaginário negativo) e \(w^{4}\) é real positivo (semieixo real positivo). \(\blacksquare\)

17.4.

São \(5\) vértices, logo \(n=5\); e \(c\) é a quinta potência de qualquer um deles: \(c=3^{5}=243\).

\(n=5\) e \(c=243\)

18. Um quadrado centrado na origem

18

Considere o número complexo \(2\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\), cujo afixo é um vértice de um quadrado com centro na origem do referencial.

  1. 18.1. Represente o quadrado no plano complexo. Comece por determinar as coordenadas do vértice correspondente a \(2\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\).
  2. 18.2. Determine os números complexos que definem os outros três vértices do quadrado. Represente-os na forma trigonométrica e na forma algébrica.
  3. 18.3. Determine a medida do lado e a medida da diagonal do quadrado.
  4. 18.4. Para um qualquer número complexo \(z=r\,e^{i\theta}\), apresente na forma trigonométrica os outros números complexos cujos afixos, com o afixo de \(z\), são os vértices de um quadrado centrado na origem do referencial.
18.1.
\[ 2\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}=2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=2+2i\ \longrightarrow\ (2,\,2) \]

Representação: quadrado de vértices \((2,2)\), \((-2,2)\), \((-2,-2)\) e \((2,-2)\), com lados paralelos aos eixos.

18.2.

Multiplica-se sucessivamente por \(i=e^{i\frac{\pi}{2}}\):

\[ 2\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}=-2+2i\qquad 2\sqrt{2}\,e^{-i\frac{3\pi}{4}}=-2-2i\qquad 2\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}=2-2i \]
18.3.
Lado \(=|(2+2i)-(-2+2i)|=4\);   diagonal \(=|(2+2i)-(-2-2i)|=4\sqrt{2}\)
18.4.
\(r\,e^{i\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}\), \(r\,e^{i(\theta+\pi)}\) e \(r\,e^{i\left(\theta+\frac{3\pi}{2}\right)}\)

19. Uma raiz quarta e a área de um triângulo

19

Considere os números complexos \(z_1=e^{i\frac{11\pi}{12}}\), \(z_2=e^{i\frac{\pi}{6}}\) e \(z_3=\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i\).

  1. 19.1. Determine \(\dfrac{z_1}{z_2}\) na forma trigonométrica e na forma \(a+bi\), com \(a,b\in\mathbb{R}\).
  2. 19.2. Determine \(z_2\) na forma \(a+bi\).
  3. 19.3. Determine \(\dfrac{z_3}{z_2}\) na forma \(a+bi\).
  4. 19.4. Seja \(z=\dfrac{z_1}{z_2}+\dfrac{z_3}{z_2}\). Determine \(z\) na forma \(a+bi\).
  5. 19.5. \(z\) é uma raiz quarta de \(w\). Determine \(w\) na forma trigonométrica e na forma \(a+bi\).
  6. 19.6. Sejam \(P\) e \(Q\), respetivamente, os afixos de \(z\) e de \(w\). Determine a área do triângulo \([OPQ]\).
19.1. e 19.2.
\[ \frac{z_1}{z_2}=e^{i\left(\frac{11\pi}{12}-\frac{2\pi}{12}\right)}=e^{i\frac{3\pi}{4}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\qquad z_2=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \]
19.3.

\(z_3=2e^{i\frac{\pi}{4}}\), logo \(\dfrac{z_3}{z_2}=2e^{i\frac{\pi}{12}}\). Com os valores de \(\cos\dfrac{\pi}{12}\) e \(\sen\dfrac{\pi}{12}\):

\[ 2e^{i\frac{\pi}{12}}=2\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}i\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}i \]
19.4.
\[ z=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)i=\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i \]
19.5.

\(|z|=\sqrt{\dfrac{6}{4}+\dfrac{6}{4}}=\sqrt{3}\) e \(\Arg(z)=\dfrac{\pi}{4}\), logo \(z=\sqrt{3}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\) e

\[ w=z^{4}=9e^{i\pi}=-9 \]
19.6.

\(P\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2},\,\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)\) e \(Q(-9,\,0)\). Tomando \([OQ]\) como base (sobre o eixo real), a altura é a ordenada de \(P\):

\[ A=\frac{9\times\frac{\sqrt{6}}{2}}{2}=\frac{9\sqrt{6}}{4} \]
19.5. \(w=9e^{i\pi}=-9\)    19.6. \(\dfrac{9\sqrt{6}}{4}\) u.a.

20. As raízes de índice \(8\) da unidade

20

Determine as raízes de índice \(8\) de \(1\). Mostre que a soma dessas raízes é \(0\) e que o produto é \(-1\).

As raízes
\[ \sqrt[8]{1}=e^{i\frac{2k\pi}{8}}=e^{i\frac{k\pi}{4}},\quad k\in\{0,1,\dots,7\} \]
\(e^{i0}\), \(e^{i\frac{\pi}{4}}\), \(e^{i\frac{\pi}{2}}\), \(e^{i\frac{3\pi}{4}}\), \(e^{i\pi}\), \(e^{i\frac{5\pi}{4}}\), \(e^{i\frac{3\pi}{2}}\), \(e^{i\frac{7\pi}{4}}\)
A soma

Agrupando cada raiz com a que tem argumento \(\pi\) a mais: \(e^{i\frac{k\pi}{4}}+e^{i\left(\frac{k\pi}{4}+\pi\right)}=e^{i\frac{k\pi}{4}}-e^{i\frac{k\pi}{4}}=0\). Os quatro pares somam \(0\). \(\blacksquare\)

O produto
\[ \prod_{k=0}^{7}e^{i\frac{k\pi}{4}}=e^{i\frac{\pi}{4}(0+1+\dots+7)}=e^{i\frac{28\pi}{4}}=e^{i7\pi}=e^{i\pi}=-1\ \ \blacksquare \]

Está de acordo com a regra do resumo: o produto das \(n\) raízes de índice \(n\) de \(z\) é \((-1)^{n-1}z\), aqui \((-1)^{7}\times 1=-1\).

21. Propriedades das raízes de índice \(n\)

21

Seja \(w=r\,e^{i\theta}\) um número complexo não nulo e seja \(n\) um número natural maior do que \(1\). Sejam \(z_0,\,z_1,\,\dots,\,z_{n-1}\) as raízes de índice \(n\) de \(w\). Mostre que:

  1. 21.1. as raízes de índice \(n\) de \(w\) estão em progressão geométrica de razão \(e^{i\frac{2\pi}{n}}\);
  2. 21.2. \(z_0+z_1+\dots+z_{n-1}=0\);
  3. 21.3. \(z_0\times z_1\times\dots\times z_{n-1}=(-1)^{n-1}\,w\).

As raízes são \(z_k=\sqrt[n]{r}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}\), \(k=0,\dots,n-1\). Seja \(q=e^{i\frac{2\pi}{n}}\).

21.1.
\[ \frac{z_{k+1}}{z_k}=e^{i\frac{\theta+2(k+1)\pi-\theta-2k\pi}{n}}=e^{i\frac{2\pi}{n}}=q \]

O quociente entre termos consecutivos é constante: \(z_k=z_0\,q^{k}\). \(\blacksquare\)

21.2.

Como \(n\gt 1\), \(q\ne 1\); e \(q^{n}=e^{i2\pi}=1\). Pela soma dos termos de uma progressão geométrica:

\[ z_0+z_1+\dots+z_{n-1}=z_0\,\frac{1-q^{n}}{1-q}=z_0\times\frac{0}{1-q}=0\ \ \blacksquare \]
21.3.
\[ \prod_{k=0}^{n-1}z_0\,q^{k}=z_0^{\,n}\,q^{0+1+\dots+(n-1)}=w\,q^{\frac{n(n-1)}{2}}=w\,e^{i\frac{2\pi}{n}\times\frac{n(n-1)}{2}}=w\,e^{i(n-1)\pi}=(-1)^{n-1}\,w\ \ \blacksquare \]

(Usou-se \(z_0^{\,n}=w\) e \(e^{i\pi}=-1\).)

22. Um pentágono regular com centro fora da origem

22

Fixado um plano munido de um referencial ortonormado, considere um pentágono regular inscrito numa circunferência de centro \(A(2,\,2)\).

  1. 22.1. Sabendo que um dos vértices do pentágono é a origem \(O\), determine as coordenadas dos restantes vértices.
  2. 22.2. Indique uma equação cujas soluções sejam os números complexos cujos afixos são os vértices do pentágono.
22.1. — rodar em torno de \(A\)

Seja \(a=2+2i\). O vetor \(\overrightarrow{AO}\) é representado por \(0-a=-2-2i=2\sqrt{2}\,e^{-i\frac{3\pi}{4}}\). Os restantes vértices obtêm-se rodando este vetor de \(\dfrac{2\pi}{5}\), \(\dfrac{4\pi}{5}\), \(\dfrac{6\pi}{5}\) e \(\dfrac{8\pi}{5}\) e somando \(a\):

\[ v_k=2+2i+2\sqrt{2}\,e^{i\left(-\frac{3\pi}{4}+\frac{2k\pi}{5}\right)},\quad k\in\{1,2,3,4\} \]

Os argumentos são \(-\dfrac{7\pi}{20}\), \(\dfrac{\pi}{20}\), \(\dfrac{9\pi}{20}\) e \(\dfrac{17\pi}{20}\). As coordenadas são \(\left(2+2\sqrt{2}\cos\beta,\ 2+2\sqrt{2}\sen\beta\right)\) para cada um desses \(\beta\):

\(\left(2+2\sqrt{2}\cos\left(-\tfrac{7\pi}{20}\right),\,2+2\sqrt{2}\sen\left(-\tfrac{7\pi}{20}\right)\right)\approx(3{,}28;\,-0{,}52)\),   \(\left(2+2\sqrt{2}\cos\tfrac{\pi}{20},\,2+2\sqrt{2}\sen\tfrac{\pi}{20}\right)\approx(4{,}79;\,2{,}44)\),   \(\left(2+2\sqrt{2}\cos\tfrac{9\pi}{20},\,2+2\sqrt{2}\sen\tfrac{9\pi}{20}\right)\approx(2{,}44;\,4{,}79)\),   \(\left(2+2\sqrt{2}\cos\tfrac{17\pi}{20},\,2+2\sqrt{2}\sen\tfrac{17\pi}{20}\right)\approx(-0{,}52;\,3{,}28)\)
22.2.

Os números \(z-a\), com \(z\) um vértice, são os vértices de um pentágono regular centrado na origem, um dos quais é \(-a\): são as raízes quintas de \((-a)^{5}\).

\[ (-2-2i)^{5}=\left(2\sqrt{2}\right)^{5}e^{-i\frac{15\pi}{4}}=128\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}=128+128i \]
\((z-2-2i)^{5}=128+128i\)

23. Uma soma de cossenos a partir das raízes da unidade

23

Mostre que \(\cos\dfrac{2\pi}{7}+\cos\dfrac{4\pi}{7}+\cos\dfrac{6\pi}{7}=-\dfrac{1}{2}\).

Sugestão: comece por resolver a equação \(z^{7}=1\) e tenha em consideração que a soma de todas as raízes é nula.

Passo 1 — as raízes e a sua soma

As soluções de \(z^{7}=1\) são \(e^{i\frac{2k\pi}{7}}\), \(k=0,\dots,6\), e a sua soma é \(0\):

\[ 1+e^{i\frac{2\pi}{7}}+e^{i\frac{4\pi}{7}}+e^{i\frac{6\pi}{7}}+e^{i\frac{8\pi}{7}}+e^{i\frac{10\pi}{7}}+e^{i\frac{12\pi}{7}}=0 \]
Passo 2 — ficar só com a parte real

Se um complexo é \(0\), a parte real é \(0\):

\[ 1+\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{8\pi}{7}+\cos\frac{10\pi}{7}+\cos\frac{12\pi}{7}=0 \]
Passo 3 — ângulos que somam \(2\pi\)

\(\cos(2\pi-x)=\cos x\), logo \(\cos\dfrac{8\pi}{7}=\cos\dfrac{6\pi}{7}\), \(\cos\dfrac{10\pi}{7}=\cos\dfrac{4\pi}{7}\) e \(\cos\dfrac{12\pi}{7}=\cos\dfrac{2\pi}{7}\):

\[ 1+2\left(\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}\right)=0\iff\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}\ \ \blacksquare \]