Forma trigonométrica: problemas e demonstrações

Matemática A - 12.º ano - Novo Programa 2026 - matematicaparatodos.pt

📌 Resumo teórico

Quando é que \(\rho\,e^{i\varphi}\) é real ou imaginário puro?

Com \(\rho\gt 0\) e \(k\in\mathbb{Z}\):

O número \(\rho\,e^{i\varphi}\) é…condição no argumento
real positivo\(\varphi=2k\pi\)
real negativo\(\varphi=\pi+2k\pi\)
real\(\varphi=k\pi\)
imaginário puro de coeficiente positivo\(\varphi=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)
imaginário puro de coeficiente negativo\(\varphi=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)
imaginário puro\(\varphi=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

O menor \(n\) natural tal que \(z^{n}\) cumpre uma destas condições: escreve-se \(z=\rho\,e^{i\theta}\), impõe-se a condição a \(n\theta\), resolve-se em ordem a \(n\) e escolhe-se o menor valor natural (positivo) que se obtém fazendo variar \(k\).

Identidades com \(e^{i\theta}\)

\(e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta\qquad e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sen\theta\qquad \left|e^{i\theta}\right|=1\qquad \overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}=\dfrac{1}{e^{i\theta}}\)

Rotações e polígonos regulares

Nota (Aprendizagens Essenciais, janeiro de 2023): as AE pedem que se evidencie a interpretação geométrica das operações na forma trigonométrica e que os alunos verifiquem que dois números complexos são iguais se tiverem o mesmo módulo e o argumento diferir em \(2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\) — é esta ideia que está por trás de todos os problemas com o «menor \(n\)».

1. O menor expoente: real negativo e imaginário puro

1

Considere o número complexo \(z=(1+i)\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{3}}\). Determine o menor valor de \(n\in\mathbb{N}\) para o qual o número complexo \(z^{n}\) é:

  1. 1.1. um número real negativo;
  2. 1.2. um número imaginário puro.
Passo 1 — forma trigonométrica de \(z\) e de \(z^{n}\)
\[ z=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\times\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{3}}=2e^{i\frac{7\pi}{12}}\qquad z^{n}=2^{n}\,e^{i\frac{7n\pi}{12}} \]
1.1. — real negativo
\[ \frac{7n\pi}{12}=\pi+2k\pi\iff 7n=12(1+2k)\iff n=\frac{12(1+2k)}{7},\ k\in\mathbb{Z} \]

Para \(n\) ser natural, \(1+2k\) tem de ser múltiplo de \(7\) (e positivo). O menor caso é \(1+2k=7\), isto é, \(k=3\), que dá \(n=12\).

Confirmação: \(z^{12}=2^{12}e^{i7\pi}=2^{12}e^{i\pi}=-4096\). \(\checkmark\)

\(n=12\)
1.2. — imaginário puro
\[ \frac{7n\pi}{12}=\frac{\pi}{2}+k\pi\iff 7n=6(1+2k)\iff n=\frac{6(1+2k)}{7},\ k\in\mathbb{Z} \]

O menor caso com \(n\) natural é \(1+2k=7\), ou seja, \(n=6\). Confirmação: \(z^{6}=64e^{i\frac{7\pi}{2}}=64e^{-i\frac{\pi}{2}}=-64i\). \(\checkmark\)

\(n=6\)

2. Mais dois problemas com o menor \(n\)

2
  1. 2.1. Seja \(w_2=e^{i\frac{5\pi}{6}}\). Determine o menor valor de \(n\in\mathbb{N}\) tal que \(\left(i^{3}w_2\right)^{n}+1=0\).
  2. 2.2. Sejam \(z_1=\sqrt{3}+i\) e \(z_2=e^{i\frac{\pi}{5}}\). Determine o menor valor de \(n\in\mathbb{N}\) para o qual \(\left(z_1\times z_2\right)^{n}\) é um número real positivo.
2.1.
\[ i^{3}w_2=e^{-i\frac{\pi}{2}}\times e^{i\frac{5\pi}{6}}=e^{i\frac{\pi}{3}}\qquad \left(e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^{n}=-1=e^{i\pi} \]
\[ \frac{n\pi}{3}=\pi+2k\pi\iff n=3+6k,\ k\in\mathbb{Z} \]
\(n=3\)
2.2.
\[ z_1z_2=2e^{i\frac{\pi}{6}}\times e^{i\frac{\pi}{5}}=2e^{i\frac{11\pi}{30}}\qquad \left(z_1z_2\right)^{n}=2^{n}e^{i\frac{11n\pi}{30}} \]
\[ \frac{11n\pi}{30}=2k\pi\iff 11n=60k\iff n=\frac{60k}{11},\ k\in\mathbb{Z} \]

Como \(11\) e \(60\) não têm divisores comuns, \(n\) natural exige \(k\) múltiplo de \(11\); o menor caso positivo é \(k=11\).

\(n=60\)

3. Os valores exatos de \(\cos\dfrac{\pi}{12}\) e \(\sen\dfrac{\pi}{12}\)

3

Seja \(w=\dfrac{\sqrt{2}\,i-\sqrt{2}}{-\sqrt{3}-i}\).

  1. 3.1. Sem recorrer à calculadora, mostre que \(w=e^{-i\frac{5\pi}{12}}\).
  2. 3.2. Calcule o valor exato de \(\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+\sen\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\).
    Sugestão: comece por escrever \(w\) na forma algébrica, determinar os valores exatos de \(\cos\left(-\dfrac{5\pi}{12}\right)\) e \(\sen\left(-\dfrac{5\pi}{12}\right)\) e justificar que \(\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{5\pi}{12}\).
  3. 3.3. Determine o menor valor de \(n\in\mathbb{N}\) para o qual o afixo de \(w^{n}\) se situa sobre o semieixo real positivo.
3.1.

Numerador: \(-\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i\), módulo \(2\), 2.º quadrante, logo \(2e^{i\frac{3\pi}{4}}\). Denominador: \(-\sqrt{3}-i\), módulo \(2\), 3.º quadrante com \(\alpha=\dfrac{\pi}{6}\), logo \(2e^{-i\frac{5\pi}{6}}\).

\[ w=e^{i\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{5\pi}{6}\right)}=e^{i\frac{19\pi}{12}}=e^{i\left(\frac{19\pi}{12}-2\pi\right)}=e^{-i\frac{5\pi}{12}}\ \ \blacksquare \]
3.2. — forma algébrica de \(w\)
\[ w=\frac{\left(-\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i\right)\left(-\sqrt{3}+i\right)}{3+1}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}\,i-\sqrt{6}\,i-\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}i \]

Comparando com \(w=\cos\left(-\dfrac{5\pi}{12}\right)+i\sen\left(-\dfrac{5\pi}{12}\right)\):

\[ \cos\left(-\frac{5\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\qquad \sen\left(-\frac{5\pi}{12}\right)=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \]
3.2. — ângulos complementares

\(\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{5\pi}{12}\), logo \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\sen\dfrac{5\pi}{12}\) e \(\sen\dfrac{\pi}{12}=\cos\dfrac{5\pi}{12}\). Como o seno é ímpar e o cosseno é par:

\[ \cos\frac{\pi}{12}=-\sen\left(-\frac{5\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\qquad \sen\frac{\pi}{12}=\cos\left(-\frac{5\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \]
\[ \cos\frac{\pi}{12}+\sen\frac{\pi}{12}=\frac{2\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{6}}{2} \]
\(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)
3.3.
\[ w^{n}=e^{-i\frac{5n\pi}{12}}\qquad -\frac{5n\pi}{12}=2k\pi\iff n=-\frac{24k}{5},\ k\in\mathbb{Z} \]

\(n\) é natural quando \(k\) é múltiplo de \(5\) e negativo; o menor caso é \(k=-5\).

\(n=24\)

4. Um argumento que torna o quociente imaginário puro

4

Considere \(z_1=-1+\sqrt{3}\,i\) e \(z_2=e^{i\alpha}\).

Calcule o valor de \(\alpha\), pertencente ao intervalo \(\left[-\pi,\,\pi\right[\), para o qual \(\dfrac{z_1}{z_2}\) é um número imaginário puro de coeficiente negativo.

\[ z_1=2e^{i\frac{2\pi}{3}}\qquad \frac{z_1}{z_2}=2e^{i\left(\frac{2\pi}{3}-\alpha\right)} \]

Imaginário puro de coeficiente negativo:

\[ \frac{2\pi}{3}-\alpha=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\iff\alpha=\frac{7\pi}{6}-2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \]

Para \(k=1\): \(\alpha=\dfrac{7\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{5\pi}{6}\in\left[-\pi,\,\pi\right[\). Confirmação: \(\dfrac{z_1}{z_2}=2e^{i\frac{3\pi}{2}}=-2i\). \(\checkmark\)

\(\alpha=-\dfrac{5\pi}{6}\)

5. Potências de \(1+i\) e raízes de índice \(4\)

5

Considere \(z_1=1+i\), \(z_2=\sqrt[4]{2}\,e^{i\frac{2\pi}{3}}\) e \(z_3=\sqrt[4]{2}\,e^{i\frac{5\pi}{3}}\).

  1. 5.1. Mostre que \(w=\dfrac{\left(z_1\right)^{10}}{\left(\overline{z_1}\right)^{6}}\) é um número real.
  2. 5.2. Determine os números naturais \(n\) tais que \(\left(\dfrac{z_1}{\overline{z_1}}\right)^{n}\) é imaginário puro de coeficiente negativo.
  3. 5.3. Determine os valores reais \(a\) e \(b\) tais que \(z_1\) seja solução da equação \(z^{5}+az^{3}=-b\).
  4. 5.4. Mostre que \(z_2\) e \(z_3\) são raízes de índice \(4\) do mesmo número complexo e determine esse número na forma trigonométrica.

\(z_1=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\) e \(\overline{z_1}=\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}\).

5.1.
\[ w=\frac{\left(\sqrt{2}\right)^{10}e^{i\frac{10\pi}{4}}}{\left(\sqrt{2}\right)^{6}e^{-i\frac{6\pi}{4}}}=\frac{32}{8}e^{i\left(\frac{5\pi}{2}+\frac{3\pi}{2}\right)}=4e^{i4\pi}=4\in\mathbb{R}\ \ \blacksquare \]
5.2.
\[ \frac{z_1}{\overline{z_1}}=e^{i\frac{\pi}{2}}=i\qquad \left(\frac{z_1}{\overline{z_1}}\right)^{n}=i^{n} \]

\(i^{n}\) é imaginário puro de coeficiente negativo quando \(i^{n}=-i\), isto é, quando o resto da divisão de \(n\) por \(4\) é \(3\).

\(n=4k+3\), com \(k\in\mathbb{N}\) — ou seja, \(n\in\{3,\,7,\,11,\,\dots\}\)
5.3.
\[ z_1^{\,5}=4\sqrt{2}\,e^{i\frac{5\pi}{4}}=-4-4i\qquad z_1^{\,3}=2\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}=-2+2i \]
\[ -4-4i+a(-2+2i)+b=0\iff(-4-2a+b)+(-4+2a)i=0\iff\begin{cases}a=2\\b=8\end{cases} \]
\(a=2\ \wedge\ b=8\)
5.4.
\[ z_2^{\,4}=\left(\sqrt[4]{2}\right)^{4}e^{i\frac{8\pi}{3}}=2e^{i\frac{2\pi}{3}}\qquad z_3^{\,4}=2e^{i\frac{20\pi}{3}}=2e^{i\left(\frac{20\pi}{3}-6\pi\right)}=2e^{i\frac{2\pi}{3}} \]

As quartas potências coincidem, logo \(z_2\) e \(z_3\) são raízes de índice \(4\) do mesmo número. \(\blacksquare\)

\(2e^{i\frac{2\pi}{3}}\)

6. Argumentos, uma equação e um parâmetro angular

6

Considere \(z_1=2e^{i\frac{\pi}{3}}\), \(z_2=-\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i\) e \(z_3=2e^{i\theta}\), com \(\theta\in\mathbb{R}\).

  1. 6.1. Determine o argumento principal do número complexo \(w=\dfrac{\left(\overline{z_1}\right)^{5}\times|z_1|\times\left(-z_1\right)}{\frac{1}{2}z_1}\).
  2. 6.2. Resolva, em \(\mathbb{C}\), a equação \(\left(z_2\right)^{4}\times z_1=zi\). Apresente a solução na forma algébrica.
  3. 6.3. Determine uma expressão geral dos valores de \(\theta\) para os quais \(w=\dfrac{-2}{z_2\times\left(z_3\right)^{3}}\) é um número real.
6.1.

\(\left(\overline{z_1}\right)^{5}=32e^{-i\frac{5\pi}{3}}=32e^{i\frac{\pi}{3}}\), \(|z_1|=2\) e \(\dfrac{-z_1}{\frac{1}{2}z_1}=-2\).

\[ w=32e^{i\frac{\pi}{3}}\times 2\times(-2)=-128e^{i\frac{\pi}{3}}=128e^{i\left(\frac{\pi}{3}-\pi\right)}=128e^{-i\frac{2\pi}{3}} \]
\(\Arg(w)=-\dfrac{2\pi}{3}\)
6.2.
\[ z_2=2e^{-i\frac{3\pi}{4}}\qquad z_2^{\,4}=16e^{-i3\pi}=16e^{i\pi}\qquad z_2^{\,4}z_1=32e^{i\frac{4\pi}{3}} \]
\[ z=\frac{32e^{i\frac{4\pi}{3}}}{e^{i\frac{\pi}{2}}}=32e^{i\frac{5\pi}{6}}=32\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=-16\sqrt{3}+16i \]
\(z=-16\sqrt{3}+16i\)
6.3.
\[ w=\frac{2e^{i\pi}}{2e^{-i\frac{3\pi}{4}}\times 8e^{i3\theta}}=\frac{1}{8}e^{i\left(\pi+\frac{3\pi}{4}-3\theta\right)}=\frac{1}{8}e^{i\left(\frac{7\pi}{4}-3\theta\right)} \]
\[ w\in\mathbb{R}\iff\frac{7\pi}{4}-3\theta=k\pi\iff\theta=\frac{7\pi}{12}-\frac{k\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z} \]
\(\theta=\dfrac{7\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z}\)  (o mesmo conjunto que \(\theta=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{3}\))

7. Um parâmetro real e uma equação trigonométrica

7

Considere \(z_1=1-\sqrt{2}\,i\) e \(w=\dfrac{z_1\times i^{4n+3}-b}{\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}}\), com \(b\in\mathbb{R}\) e \(n\in\mathbb{N}\). Determine:

  1. 7.1. o valor de \(b\) para o qual \(w\) é um imaginário puro;
  2. 7.2. os valores reais de \(x\) e \(y\) que verificam a condição \(\cos x-\sqrt{3}\sen x+yi=z_1\).
7.1.

\(i^{4n+3}=-i\), logo \(z_1\times(-i)=-i+\sqrt{2}\,i^{2}=-\sqrt{2}-i\). E \(\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}=1-i\).

\[ w=\frac{\left(-\sqrt{2}-b\right)-i}{1-i}=\frac{\left[\left(-\sqrt{2}-b\right)-i\right](1+i)}{2}=\frac{1-\sqrt{2}-b}{2}+\frac{-1-\sqrt{2}-b}{2}i \]
\[ \Re(w)=0\iff b=1-\sqrt{2}\qquad\text{e então}\qquad \Im(w)=\frac{-1-\sqrt{2}-1+\sqrt{2}}{2}=-1\ne 0 \]
\(b=1-\sqrt{2}\)
7.2.

Igualando as partes: \(y=-\sqrt{2}\) e \(\cos x-\sqrt{3}\sen x=1\). Dividindo por \(2\):

\[ \frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sen x=\frac{1}{2}\iff\cos\frac{\pi}{3}\cos x-\sen\frac{\pi}{3}\sen x=\frac{1}{2}\iff\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3} \]
\[ x+\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\iff x=2k\pi\ \vee\ x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \]
\(y=-\sqrt{2}\) e \(\left(x=2k\pi\ \vee\ x=-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right)\)

8. Dois números que afinal são iguais

8

Considere os números complexos

\[ z_1=\frac{\cos\alpha+i\sen(-\alpha)}{\sen\alpha+i\cos(-\alpha)},\ \ \alpha\in\mathbb{R}\qquad\text{e}\qquad z_2=\frac{\left[i^{4n+1}\times\left(e^{i\frac{\pi}{5}}\right)^{5}-1\right]^{2}}{2i^{10}},\ \ n\in\mathbb{N} \]
  1. 8.1. Prove que \(z_1\) é um imaginário puro de coeficiente negativo.
  2. 8.2. Sem utilizar a calculadora, prove que \(z_2=z_1\).
8.1.

O numerador é \(\cos\alpha-i\sen\alpha=e^{-i\alpha}\). No denominador, \(\sen\alpha=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\) e \(\cos\alpha=\sen\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\):

\[ z_1=\frac{e^{-i\alpha}}{e^{i\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}}=e^{i\left(-\alpha-\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i \]

\(\Re(z_1)=0\) e \(\Im(z_1)=-1\lt 0\). \(\blacksquare\)

8.2.

\(i^{4n+1}=i\), \(\left(e^{i\frac{\pi}{5}}\right)^{5}=e^{i\pi}=-1\) e \(i^{10}=i^{2}=-1\):

\[ z_2=\frac{\left(-i-1\right)^{2}}{-2}=\frac{1+2i+i^{2}}{-2}=\frac{2i}{-2}=-i=z_1\ \ \blacksquare \]

9. Módulos desconhecidos e argumentos num intervalo

9

Considere \(z_1=|z_1|\,e^{i\theta}\), sendo \(\theta\in\left]\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right[\), \(z_2=|z_2|\,e^{i\frac{\pi}{3}}\) e \(z_3=2\sqrt{3}\,e^{i\beta}\), com \(\beta\in\mathbb{R}\).

  1. 9.1. Justifique que o afixo de \(z_1^{\,3}\) não pode pertencer ao terceiro quadrante.
  2. 9.2. Sem recorrer à calculadora, determine \(\dfrac{z_3\times\overline{z_3}}{8}+\left(\dfrac{z_2}{|z_2|}\right)^{9}\).
9.1.

\(z_1^{\,3}=|z_1|^{3}e^{i3\theta}\) e, como \(\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\pi\), tem-se \(\dfrac{3\pi}{2}\lt 3\theta\lt 3\pi\).

O afixo estaria no 3.º quadrante se \(3\theta\in\left]\pi+2k\pi,\,\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi\right[\) para algum \(k\in\mathbb{Z}\). Para \(k=0\) o intervalo é \(\left]\pi,\,\dfrac{3\pi}{2}\right[\) e para \(k=1\) é \(\left]3\pi,\,\dfrac{7\pi}{2}\right[\): nenhum deles interseta \(\left]\dfrac{3\pi}{2},\,3\pi\right[\) (e os restantes valores de \(k\) ficam ainda mais longe).

O afixo de \(z_1^{\,3}\) está no 4.º, 1.º ou 2.º quadrante ou no semieixo real positivo, mas nunca no 3.º quadrante. \(\blacksquare\)
9.2.
\[ \frac{z_3\overline{z_3}}{8}=\frac{|z_3|^{2}}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\qquad \frac{z_2}{|z_2|}=e^{i\frac{\pi}{3}}\qquad\left(e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^{9}=e^{i3\pi}=-1 \]
\(\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2}\)

10. Uma soma de 31 parcelas

10

Considere os números complexos

\[ z_1=\sum_{k=0}^{30}\left(2e^{i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\right)}\right)\qquad\text{e}\qquad z_2=\frac{i^{74}-2i^{11}}{i-3} \]
  1. 10.1. Mostre que \(z_1=\sqrt{3}+i\).
  2. 10.2. Escreva \(z_2\) na forma trigonométrica.
  3. 10.3. Resolva, em \(\mathbb{C}\), a equação \(w^{3}\times\overline{w}=z_2^{\,4}\). Apresente as soluções na forma algébrica.
10.1. — uma progressão geométrica
\[ z_1=2e^{i\frac{\pi}{6}}\sum_{k=0}^{30}q^{k},\qquad q=e^{i\frac{\pi}{3}} \]

É a soma dos \(31\) primeiros termos de uma progressão geométrica de razão \(q\ne 1\) e primeiro termo \(1\):

\[ \sum_{k=0}^{30}q^{k}=\frac{1-q^{31}}{1-q}\qquad q^{31}=e^{i\frac{31\pi}{3}}=e^{i\left(\frac{31\pi}{3}-10\pi\right)}=e^{i\frac{\pi}{3}}=q \]

Logo a soma vale \(\dfrac{1-q}{1-q}=1\) e

\[ z_1=2e^{i\frac{\pi}{6}}=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=\sqrt{3}+i\ \ \blacksquare \]

Outra leitura: os termos repetem-se de \(6\) em \(6\) e cada grupo de \(6\) soma \(0\) (são as raízes sextas da unidade); de \(k=0\) a \(k=29\) há \(5\) grupos completos e sobra o termo \(k=30\), que vale \(e^{i10\pi}=1\).

10.2.

\(i^{74}=i^{2}=-1\) e \(i^{11}=i^{3}=-i\):

\[ z_2=\frac{-1+2i}{-3+i}=\frac{(-1+2i)(-3-i)}{10}=\frac{3+i-6i+2}{10}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-i\frac{\pi}{4}} \]
10.3.

\(z_2^{\,4}=\dfrac{1}{4}e^{-i\pi}=\dfrac{1}{4}e^{i\pi}\). Seja \(w=\rho\,e^{i\theta}\) (o \(0\) não é solução):

\[ \rho^{3}e^{i3\theta}\times\rho\,e^{-i\theta}=\rho^{4}e^{i2\theta}=\frac{1}{4}e^{i\pi}\iff\rho^{4}=\frac{1}{4}\ \wedge\ 2\theta=\pi+2k\pi \]
\[ \iff\rho=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \wedge\ \theta=\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \]
\(w=\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\ \vee\ w=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\)

11. Um quadrado de um módulo e uma potência de ordem \(10\)

11

Considere \(z_1=\sqrt{3}+i\), \(z_2=e^{i\frac{\pi}{5}}\) e \(z_3=3+i\).

  1. 11.1. Mostre que \(\left|z_2+z_3\right|^{2}=11+6\cos\dfrac{\pi}{5}+2\sen\dfrac{\pi}{5}\).
  2. 11.2. Determine o número complexo \(w=\dfrac{i-z_2^{\,10}}{z_1-i^{5}}\). Apresente o resultado na forma trigonométrica.
11.1.
\[ z_2+z_3=\left(3+\cos\frac{\pi}{5}\right)+\left(1+\sen\frac{\pi}{5}\right)i \]
\[ \left|z_2+z_3\right|^{2}=9+6\cos\frac{\pi}{5}+\cos^{2}\frac{\pi}{5}+1+2\sen\frac{\pi}{5}+\sen^{2}\frac{\pi}{5}=11+6\cos\frac{\pi}{5}+2\sen\frac{\pi}{5}\ \ \blacksquare \]
11.2.

\(z_2^{\,10}=e^{i2\pi}=1\) e \(i^{5}=i\):

\[ w=\frac{i-1}{\sqrt{3}+i-i}=\frac{-1+i}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}e^{i\frac{3\pi}{4}} \]
\(w=\dfrac{\sqrt{6}}{3}e^{i\frac{3\pi}{4}}\)

12. Descobrir \(z\) a partir de \(z^{2}\)

12

Considere o número complexo \(z=\sqrt{2+\sqrt{3}}-i\sqrt{2-\sqrt{3}}\).

Calcule \(z^{2}\) e deduza uma representação de \(z\) na forma trigonométrica.

Passo 1 — \(z^{2}\)
\[ z^{2}=\left(2+\sqrt{3}\right)-\left(2-\sqrt{3}\right)-2i\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=2\sqrt{3}-2i\sqrt{4-3}=2\sqrt{3}-2i \]

\(|z^{2}|=\sqrt{12+4}=4\); 4.º quadrante com \(\tg\alpha=\dfrac{2}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), logo \(z^{2}=4e^{-i\frac{\pi}{6}}\).

Passo 2 — voltar a \(z\)

Se \(z=\rho\,e^{i\theta}\), então \(\rho^{2}e^{i2\theta}=4e^{-i\frac{\pi}{6}}\), donde \(\rho=2\) e \(2\theta=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\), ou seja, \(\theta=-\dfrac{\pi}{12}+k\pi\). Há dois candidatos: \(2e^{-i\frac{\pi}{12}}\) e \(2e^{i\frac{11\pi}{12}}\).

Como \(\Re(z)=\sqrt{2+\sqrt{3}}\gt 0\) e \(\Im(z)=-\sqrt{2-\sqrt{3}}\lt 0\), o afixo de \(z\) está no 4.º quadrante, o que exclui \(\dfrac{11\pi}{12}\).

\(z=2e^{-i\frac{\pi}{12}}\)

13. Um quociente de somas de potências

13

Seja \(w=r\,e^{i\theta}\) um número complexo, com \(r\gt 0\) e, para \(n\in\mathbb{N}\), \(\theta\ne\dfrac{k\pi}{n}\) e \(\theta\ne\dfrac{\pi}{2n}+\dfrac{k\pi}{n}\), para \(k\in\mathbb{Z}\).

Mostre que \(\dfrac{w^{n}+\overline{w}^{\,n}}{w^{n}-\overline{w}^{\,n}}\) é um imaginário puro, seja qual for o número natural \(n\).

\(w^{n}=r^{n}e^{in\theta}\) e \(\overline{w}^{\,n}=r^{n}e^{-in\theta}\). Pelas identidades do resumo:

\[ \frac{w^{n}+\overline{w}^{\,n}}{w^{n}-\overline{w}^{\,n}}=\frac{r^{n}\left(e^{in\theta}+e^{-in\theta}\right)}{r^{n}\left(e^{in\theta}-e^{-in\theta}\right)}=\frac{2\cos(n\theta)}{2i\sen(n\theta)}=-\frac{\cos(n\theta)}{\sen(n\theta)}\,i \]
  • \(\theta\ne\dfrac{k\pi}{n}\iff n\theta\ne k\pi\iff\sen(n\theta)\ne 0\): o quociente existe;
  • \(\theta\ne\dfrac{\pi}{2n}+\dfrac{k\pi}{n}\iff n\theta\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\iff\cos(n\theta)\ne 0\): a parte imaginária não é nula.

A parte real é \(0\) e a parte imaginária, \(-\dfrac{\cos(n\theta)}{\sen(n\theta)}\), é um real não nulo. \(\blacksquare\)

14. Se \(z+\dfrac{1}{z}=2\cos\alpha\)…

14

Dado \(\alpha\in\mathbb{R}\), considere um número complexo \(z\) tal que \(z+\dfrac{1}{z}=2\cos\alpha\).

Mostre que, para todo o número natural \(n\), \(z^{n}+\dfrac{1}{z^{n}}=2\cos(n\alpha)\).

Passo 1 — descobrir \(z\)

Como \(z\ne 0\), multiplica-se por \(z\):

\[ z^{2}-2\cos\alpha\,z+1=0\iff z=\frac{2\cos\alpha\pm\sqrt{4\cos^{2}\alpha-4}}{2}=\cos\alpha\pm\sqrt{-\sen^{2}\alpha} \]
\[ \iff z=\cos\alpha\pm i\sen\alpha\iff z=e^{i\alpha}\ \vee\ z=e^{-i\alpha} \]
Passo 2 — calcular a expressão

Se \(z=e^{i\alpha}\):

\[ z^{n}+\frac{1}{z^{n}}=e^{in\alpha}+e^{-in\alpha}=\cos(n\alpha)+i\sen(n\alpha)+\cos(n\alpha)-i\sen(n\alpha)=2\cos(n\alpha) \]

Se \(z=e^{-i\alpha}\), as duas parcelas trocam de lugar e o resultado é o mesmo. \(\blacksquare\)

15. Duas identidades com \(e^{i\theta}\)

15
  1. 15.1. Seja \(w=e^{i\theta}\), com \(\theta\in\mathbb{R}\). Mostre que \(\sen(n\theta)=\dfrac{w^{n}-w^{-n}}{2i}\), para todo o \(n\in\mathbb{N}\).
  2. 15.2. Seja \(z=e^{i\alpha}\), com \(\alpha\in\mathbb{R}\). Mostre que \(\left|z-z^{3}\right|=2\left|\sen\alpha\right|\), para todo o \(\alpha\in\mathbb{R}\).
15.1.
\[ \frac{w^{n}-w^{-n}}{2i}=\frac{e^{in\theta}-e^{-in\theta}}{2i}=\frac{\cos(n\theta)+i\sen(n\theta)-\cos(n\theta)+i\sen(n\theta)}{2i}=\frac{2i\sen(n\theta)}{2i}=\sen(n\theta)\ \ \blacksquare \]
15.2.

\(\left|z-z^{3}\right|=|z|\left|1-z^{2}\right|=\left|1-e^{i2\alpha}\right|\), porque \(|z|=1\):

\[ \left|1-\cos(2\alpha)-i\sen(2\alpha)\right|=\sqrt{\left(1-\cos 2\alpha\right)^{2}+\sen^{2}2\alpha}=\sqrt{2-2\cos 2\alpha} \]

Com \(\cos 2\alpha=1-2\sen^{2}\alpha\):

\[ \sqrt{2-2+4\sen^{2}\alpha}=\sqrt{4\sen^{2}\alpha}=2\left|\sen\alpha\right|\ \ \blacksquare \]

16. Rotação com centro fora da origem

16

Considere um ponto \(M\), afixo de um número complexo \(z\), e o ponto \(A\), afixo do número complexo \(z_A=1+i\).

  1. 16.1. Mostre que o afixo de \(i\left(z-1-i\right)+1+i\) é a imagem de \(M\) pela rotação de centro \(A\) e amplitude \(\dfrac{\pi}{2}\).
  2. 16.2. Dado \(\theta\in\mathbb{R}\), proponha uma expressão para o número complexo cujo afixo é a imagem de \(M\) pela rotação de centro \(A\) e amplitude \(\theta\).
16.1.
  • O vetor \(\overrightarrow{AM}\) é representado por \(z-z_A=z-1-i\).
  • Rodar esse vetor de \(\dfrac{\pi}{2}\) é multiplicá-lo por \(i=e^{i\frac{\pi}{2}}\): obtém-se \(i\left(z-1-i\right)\), que representa \(\overrightarrow{AM'}\), com \(M'\) a imagem de \(M\).
  • Somando \(z_A\) (isto é, aplicando o vetor a partir de \(A\)) obtém-se o afixo de \(M'\): \(i\left(z-1-i\right)+1+i\).

Como \(\left|i(z-z_A)\right|=|z-z_A|\), tem-se \(\overline{AM'}=\overline{AM}\), e o ângulo de \(\overrightarrow{AM}\) para \(\overrightarrow{AM'}\) é \(\dfrac{\pi}{2}\). \(\blacksquare\)

16.2.
\(e^{i\theta}\left(z-1-i\right)+1+i\)

17. Quadrado inscrito numa circunferência

17

Considere o quadrado \([ABCD]\), cujo centro é a origem \(O\) do referencial o.n. representado. Sabe-se que o ponto \(A\) é o afixo do número complexo \(z_1=\sqrt{2}+2\sqrt{2}\,i\).

Quadrado ABCD centrado na origem, inscrito numa circunferência, com A no 1.º quadrante, B no 2.º, C no 3.º e D no 4.º quadrante
  1. 17.1. Determine as coordenadas dos restantes vértices do quadrado \([ABCD]\).
  2. 17.2. Determine a medida da área da região do plano interior à circunferência circunscrita ao quadrado \([ABCD]\) e exterior ao quadrado.
17.1.

Os vértices seguem-se por rotações de \(\dfrac{\pi}{2}\) com centro \(O\) (no sentido positivo, de \(A\) para \(B\)), ou seja, por multiplicações sucessivas por \(i\):

\[ z_B=i\,z_1=-2\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i\qquad z_C=i^{2}z_1=-\sqrt{2}-2\sqrt{2}\,i\qquad z_D=i^{3}z_1=2\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i \]
\(B\left(-2\sqrt{2},\,\sqrt{2}\right)\), \(C\left(-\sqrt{2},\,-2\sqrt{2}\right)\), \(D\left(2\sqrt{2},\,-\sqrt{2}\right)\)
17.2.

O raio da circunferência circunscrita é \(\overline{OA}=|z_1|=\sqrt{2+8}=\sqrt{10}\), logo a área do círculo é \(10\pi\).

O lado do quadrado é \(\overline{AB}=\left|z_1-z_B\right|=\left|3\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i\right|=\sqrt{18+2}=\sqrt{20}\), logo a área do quadrado é \(20\).

\(10\pi-20\) u.a.

18. Um quociente e um triângulo

18

Considere os números complexos \(z_1=1+2i\,e^{i\frac{5\pi}{6}}\) e \(z_2=1+i\sqrt{3}\).

  1. 18.1. Determine, sem recorrer à calculadora, \(w=\dfrac{z_1}{z_2}\). Apresente o resultado na forma trigonométrica.
  2. 18.2. Considere \(z=\overline{z_2}\). No plano complexo, sejam \(A\) e \(B\) os afixos de \(z\) e de \(z_2\), respetivamente. Determine o valor exato do perímetro do triângulo \([AOB]\), em que \(O\) é a origem do referencial.
18.1.
\[ 2i\,e^{i\frac{5\pi}{6}}=2e^{i\frac{\pi}{2}}e^{i\frac{5\pi}{6}}=2e^{i\frac{4\pi}{3}}=-1-\sqrt{3}\,i\qquad z_1=1-1-\sqrt{3}\,i=-\sqrt{3}\,i=\sqrt{3}\,e^{-i\frac{\pi}{2}} \]
\[ w=\frac{\sqrt{3}\,e^{-i\frac{\pi}{2}}}{2e^{i\frac{\pi}{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}e^{-i\frac{5\pi}{6}} \]
\(w=\dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{-i\frac{5\pi}{6}}\)
18.2.

\(A\left(1,\,-\sqrt{3}\right)\) e \(B\left(1,\,\sqrt{3}\right)\).

\[ \overline{OA}=\overline{OB}=|z_2|=2\qquad \overline{AB}=\left|z_2-\overline{z_2}\right|=\left|2\sqrt{3}\,i\right|=2\sqrt{3} \]
\(P=4+2\sqrt{3}\) u.c.

19. Um losango e o valor de \(\tg\dfrac{3\pi}{8}\)

19

Considere os números complexos \(z=\dfrac{1+i}{1-i}\) e \(w=\dfrac{\sqrt{2}}{1-i}\).

  1. 19.1. Determine \(z\) e \(w\) na forma trigonométrica.
  2. 19.2. No referencial o.n. da figura está representado o quadrilátero \([OABC]\). Sabe-se que \(O\) é a origem do referencial, \(A\) é o afixo de \(z\), \(B\) é o afixo de \(z+w\) e \(C\) é o afixo de \(w\).
    Quadrilátero OABC com A no semieixo imaginário positivo, C no 1.º quadrante e B acima de C
    Prove que \(\tg\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)=1+\sqrt{2}\).
19.1.
\[ z=\frac{\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}}=e^{i\frac{\pi}{2}}\qquad w=\frac{\sqrt{2}\,e^{i0}}{\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}}=e^{i\frac{\pi}{4}} \]
19.2. — geometria do quadrilátero

Pela regra do paralelogramo, \([OABC]\) é um paralelogramo; como \(|z|=|w|=1\), tem os quatro lados iguais — é um losango. Num losango, a diagonal \([OB]\) é bissetriz do ângulo \(AOC\).

O ângulo \(AOC\) mede \(\Arg(z)-\Arg(w)=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}\); a bissetriz faz com \(\dot{O}C\) um ângulo de \(\dfrac{\pi}{8}\), logo

\[ \Arg(z+w)=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{8}=\frac{3\pi}{8} \]
19.2. — forma algébrica de \(z+w\)
\[ z+w=i+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2+\sqrt{2}}{2}i \]

Como o afixo está no 1.º quadrante e \(\dfrac{3\pi}{8}\) é um argumento de \(z+w\):

\[ \tg\frac{3\pi}{8}=\frac{\Im(z+w)}{\Re(z+w)}=\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}=1+\sqrt{2}\ \ \blacksquare \]

20. Dois parâmetros: módulo e argumento

20

Considere os números complexos \(z=p\,e^{i\frac{\pi}{2}}\), com \(p\in\mathbb{R}^{+}\), e \(w=2e^{i\frac{t\pi}{5}}\), com \(t\in\mathbb{R}\).

  1. 20.1. Determine \(p\) para que \(|z\times w|\le 10\).
  2. 20.2. Determine \(t\) para que:
    • a) o afixo de \(z\times w\) pertença ao 3.º quadrante;
    • b) \(\dfrac{z}{w}\) seja um imaginário puro com \(\Im\left(\dfrac{z}{w}\right)\lt 0\).
20.1.
\[ |z\times w|=|z|\,|w|=2p\le 10\iff p\le 5 \]
\(p\in\left]0,\,5\right]\)
20.2. a)
\[ z\times w=2p\,e^{i\left(\frac{\pi}{2}+\frac{t\pi}{5}\right)}\qquad \pi+2k\pi\lt\frac{\pi}{2}+\frac{t\pi}{5}\lt\frac{3\pi}{2}+2k\pi \]
\[ \iff\frac{\pi}{2}+2k\pi\lt\frac{t\pi}{5}\lt\pi+2k\pi\iff\frac{5}{2}+10k\lt t\lt 5+10k,\ k\in\mathbb{Z} \]
\(t\in\left]\dfrac{5}{2}+10k,\,5+10k\right[\), \(k\in\mathbb{Z}\)
20.2. b)
\[ \frac{z}{w}=\frac{p}{2}e^{i\left(\frac{\pi}{2}-\frac{t\pi}{5}\right)}\qquad \frac{\pi}{2}-\frac{t\pi}{5}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\iff\frac{t\pi}{5}=\pi-2k\pi\iff t=5-10k,\ k\in\mathbb{Z} \]
\(t=5+10k\), \(k\in\mathbb{Z}\)  (por exemplo \(t=5\) dá \(\dfrac{z}{w}=-\dfrac{p}{2}i\))