Operações na forma trigonométrica

Matemática A - 12.º ano - Novo Programa 2026 - matematicaparatodos.pt

📌 Resumo teórico

Multiplicação, divisão e potências

Para \(z_1=\rho_1e^{i\theta_1}\) e \(z_2=\rho_2e^{i\theta_2}\):

\(z_1\,z_2=\rho_1\rho_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}\qquad \dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{\rho_1}{\rho_2}\,e^{i(\theta_1-\theta_2)}\qquad \dfrac{1}{z_1}=\dfrac{1}{\rho_1}\,e^{-i\theta_1}\qquad z_1^{\,n}=\rho_1^{\,n}\,e^{in\theta_1}\)

Multiplicam-se (dividem-se) os módulos e somam-se (subtraem-se) os argumentos. No fim, é costume reduzir o argumento a \(\left]-\pi,\,\pi\right]\).

Qual forma usar?

OperaçãoForma mais cómoda
adição e subtraçãoalgébrica
multiplicação, divisão, potênciastrigonométrica

Números que convém saber de cor: \(1=e^{i0}\), \(\ -1=e^{i\pi}\), \(\ i=e^{i\frac{\pi}{2}}\), \(\ -i=e^{-i\frac{\pi}{2}}\), \(\ 1+i=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\), \(\ 1+\sqrt{3}\,i=2e^{i\frac{\pi}{3}}\), \(\ \sqrt{3}+i=2e^{i\frac{\pi}{6}}\).

Multiplicar por \(-1\) é somar \(\pi\) ao argumento; multiplicar por \(i\) é somar \(\dfrac{\pi}{2}\); o conjugado troca o sinal do argumento.

Interpretação geométrica

Multiplicar \(z\) por \(\rho\,e^{i\alpha}\) corresponde a aplicar ao afixo de \(z\) uma rotação de centro \(O\) e amplitude \(\alpha\), seguida de uma homotetia de centro \(O\) e razão \(\rho\). Em particular, multiplicar por \(e^{i\alpha}\) é só rodar de \(\alpha\).

Ângulos úteis

\(\theta\)\(\frac{\pi}{12}\)\(\frac{5\pi}{12}\)
\(\cos\theta\)\(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)\(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
\(\sen\theta\)\(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)\(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

Obtêm-se, por exemplo, de \(\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\) com as fórmulas do cosseno e do seno da diferença.

Nota (Aprendizagens Essenciais, janeiro de 2023): as AE pedem que se efetuem operações na forma trigonométrica (multiplicação, divisão, potenciação e radiciação), obtendo números complexos na forma trigonométrica resultantes dessas operações e evidenciando a sua interpretação geométrica em casos simples. A radiciação é tratada na ficha «Raízes de índice \(n\) de um número complexo».

1. Escolha múltipla: produto, inverso e quociente

1

Considere os números complexos \(z=2e^{i\frac{\pi}{3}}\) e \(w=3e^{i\frac{\pi}{4}}\). Em cada alínea, selecione a opção correta.

  1. 1.1. \(zw\) é igual a:
    • (A) \(5e^{i\frac{7\pi}{12}}\)
    • (B) \(6e^{i\frac{7\pi}{12}}\)
    • (C) \(6e^{i\frac{\pi^{2}}{12}}\)
    • (D) \(6e^{i\frac{2\pi^{2}}{12}}\)
  2. 1.2. \(\dfrac{1}{z}\) é igual a:
    • (A) \(\dfrac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{3}}\)
    • (B) \(\dfrac{1}{2}e^{i\frac{3}{\pi}}\)
    • (C) \(2e^{i\left(-\frac{\pi}{3}\right)}\)
    • (D) \(\dfrac{1}{2}e^{i\left(-\frac{\pi}{3}\right)}\)
  3. 1.3. \(\dfrac{z}{w}\) é igual a:
    • (A) \(\dfrac{4}{3}e^{i\frac{4\pi}{3}}\)
    • (B) \(\dfrac{2}{3}e^{i\frac{\pi}{12}}\)
    • (C) \(-e^{i\frac{\pi}{12}}\)
    • (D) \(\dfrac{2}{3}e^{-i\frac{\pi}{12}}\)
1.1.
\[ zw=2\times 3\,e^{i\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)}=6e^{i\frac{7\pi}{12}} \]

Somam-se os argumentos (não se multiplicam) e multiplicam-se os módulos (não se somam).

Opção (B)
1.2.
\[ \frac{1}{z}=\frac{1e^{i0}}{2e^{i\frac{\pi}{3}}}=\frac{1}{2}e^{-i\frac{\pi}{3}} \]
Opção (D)
1.3.
\[ \frac{z}{w}=\frac{2}{3}e^{i\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{2}{3}e^{i\frac{\pi}{12}} \]
Opção (B)

2. Produtos e quocientes com três números

2

Em \(\mathbb{C}\), considere \(z_1=2e^{-i\frac{\pi}{3}}\), \(z_2=-3-\sqrt{27}\,i\) e \(z_3=\dfrac{4}{i}\). Escreva na forma trigonométrica:

  1. 2.1. \(z_1\times z_2\)
  2. 2.2. \(2z_1\times\overline{z_3}\)
  3. 2.3. \(-\dfrac{\overline{z_2}}{\frac{1}{2}z_1}\)
  4. 2.4. \(\dfrac{-\overline{z_3}\times z_1}{z_2}\)
  5. 2.5. \(-\dfrac{1}{3}\overline{z_2}\times\dfrac{1}{\overline{z_3}}\)
  6. 2.6. \(z_1+z_2+2\sqrt{3}\,i\)
Passo 1 — tudo na forma trigonométrica

\(z_2=-3-3\sqrt{3}\,i\): \(|z_2|=\sqrt{9+27}=6\), 3.º quadrante, \(\tg\alpha=\sqrt{3}\Rightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{3}\), logo \(z_2=6e^{-i\frac{2\pi}{3}}\).

\(z_3=\dfrac{4}{i}=-4i=4e^{-i\frac{\pi}{2}}\).

2.1.
\[ 2e^{-i\frac{\pi}{3}}\times 6e^{-i\frac{2\pi}{3}}=12e^{-i\pi}=12e^{i\pi} \]
2.2.
\[ 4e^{-i\frac{\pi}{3}}\times 4e^{i\frac{\pi}{2}}=16e^{i\frac{\pi}{6}} \]
2.3.
\[ \frac{\overline{z_2}}{\frac{1}{2}z_1}=\frac{6e^{i\frac{2\pi}{3}}}{e^{-i\frac{\pi}{3}}}=6e^{i\pi}\qquad -6e^{i\pi}=e^{i\pi}\times 6e^{i\pi}=6e^{i2\pi}=6e^{i0} \]
2.4.

\(\overline{z_3}=4e^{i\frac{\pi}{2}}\), logo \(-\overline{z_3}=4e^{i\left(\frac{\pi}{2}-\pi\right)}=4e^{-i\frac{\pi}{2}}\).

\[ \frac{4e^{-i\frac{\pi}{2}}\times 2e^{-i\frac{\pi}{3}}}{6e^{-i\frac{2\pi}{3}}}=\frac{8}{6}e^{i\left(-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)}=\frac{4}{3}e^{-i\frac{\pi}{6}} \]
2.5.
\[ -\frac{1}{3}\times 6e^{i\frac{2\pi}{3}}\times\frac{1}{4}e^{-i\frac{\pi}{2}}=-\frac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}e^{i\left(\frac{\pi}{6}+\pi\right)}=\frac{1}{2}e^{i\frac{7\pi}{6}}=\frac{1}{2}e^{-i\frac{5\pi}{6}} \]
2.6. — uma soma: passar à forma algébrica
\[ z_1=2\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1-\sqrt{3}\,i\qquad z_1+z_2+2\sqrt{3}\,i=1-\sqrt{3}\,i-3-3\sqrt{3}\,i+2\sqrt{3}\,i=-2-2\sqrt{3}\,i \]

Módulo \(\sqrt{4+12}=4\); 3.º quadrante com \(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\).

2.1. \(12e^{i\pi}\)   2.2. \(16e^{i\frac{\pi}{6}}\)   2.3. \(6e^{i0}\)   2.4. \(\tfrac{4}{3}e^{-i\frac{\pi}{6}}\)   2.5. \(\tfrac{1}{2}e^{-i\frac{5\pi}{6}}\)   2.6. \(4e^{-i\frac{2\pi}{3}}\)

3. Conjugados e quadrados na forma trigonométrica

3

Considere os números complexos \(z_1=2e^{i\frac{\pi}{4}}\) e \(z_2=4\left(\cos\dfrac{\pi}{8}+i\sen\dfrac{\pi}{8}\right)\). Determine, na forma trigonométrica:

  1. 3.1. \(z_1\times\overline{z_2}\)
  2. 3.2. \(-z_1\times z_2^{\,2}\)
  3. 3.3. \(\dfrac{i\,\overline{z_1}^{\,2}}{z_2^{\,2}}\)

\(z_2=4e^{i\frac{\pi}{8}}\), \(\overline{z_2}=4e^{-i\frac{\pi}{8}}\), \(z_2^{\,2}=16e^{i\frac{\pi}{4}}\) e \(\overline{z_1}^{\,2}=\left(2e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)^{2}=4e^{-i\frac{\pi}{2}}\).

3.1.
\[ 2e^{i\frac{\pi}{4}}\times 4e^{-i\frac{\pi}{8}}=8e^{i\frac{\pi}{8}} \]
3.2.
\[ -z_1z_2^{\,2}=e^{i\pi}\times 2e^{i\frac{\pi}{4}}\times 16e^{i\frac{\pi}{4}}=32e^{i\frac{3\pi}{2}}=32e^{-i\frac{\pi}{2}} \]
3.3.
\[ \frac{e^{i\frac{\pi}{2}}\times 4e^{-i\frac{\pi}{2}}}{16e^{i\frac{\pi}{4}}}=\frac{4e^{i0}}{16e^{i\frac{\pi}{4}}}=\frac{1}{4}e^{-i\frac{\pi}{4}} \]
3.1. \(8e^{i\frac{\pi}{8}}\)    3.2. \(32e^{-i\frac{\pi}{2}}\)    3.3. \(\dfrac{1}{4}e^{-i\frac{\pi}{4}}\)

4. Potências

4

Calcule e apresente o resultado na forma algébrica.

  1. 4.1. \((1+i)^{6}\)
  2. 4.2. \(\left(\sqrt{3}-i\right)^{6}\)
  3. 4.3. \(\dfrac{\left(\sqrt{3}+3i\right)^{6}}{(2i)^{5}}\)
  4. 4.4. \((1+i)^{10}-(1-i)^{10}\)
4.1.
\[ (1+i)^{6}=\left(\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{6}=8e^{i\frac{3\pi}{2}}=8e^{-i\frac{\pi}{2}}=-8i \]
4.2.
\[ \left(\sqrt{3}-i\right)^{6}=\left(2e^{-i\frac{\pi}{6}}\right)^{6}=64e^{-i\pi}=-64 \]
4.3.

\(\sqrt{3}+3i\): módulo \(\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}\), 1.º quadrante, \(\tg\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\), logo \(\sqrt{3}+3i=2\sqrt{3}\,e^{i\frac{\pi}{3}}\).

\[ \left(2\sqrt{3}\right)^{6}e^{i2\pi}=64\times 27=1728\qquad (2i)^{5}=32\,i^{5}=32i \]
\[ \frac{1728}{32i}=\frac{54}{i}=-54i \]
4.4.
\[ (1+i)^{10}=\left(\sqrt{2}\right)^{10}e^{i\frac{10\pi}{4}}=32e^{i\frac{5\pi}{2}}=32e^{i\frac{\pi}{2}}=32i \]
\[ (1-i)^{10}=\left(\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)^{10}=32e^{-i\frac{5\pi}{2}}=32e^{-i\frac{\pi}{2}}=-32i\qquad 32i-(-32i)=64i \]
4.1. \(-8i\)    4.2. \(-64\)    4.3. \(-54i\)    4.4. \(64i\)

5. Potências e quocientes na forma algébrica

5

Apresente na forma algébrica os números complexos seguintes.

  1. 5.1. \(z=\dfrac{(-2i)^{3}}{\left(\overline{1+i}\right)^{6}}\)
  2. 5.2. \(z=\dfrac{\left(\sqrt{3}-i\right)^{6}-(4i)^{3}}{\left(i^{43}+1\right)^{4}\times e^{-i\frac{\pi}{12}}}\)
5.1.
\[ (-2i)^{3}=-8i^{3}=8i\qquad \overline{1+i}=1-i=\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}\qquad (1-i)^{6}=8e^{-i\frac{3\pi}{2}}=8e^{i\frac{\pi}{2}}=8i \]
\[ z=\frac{8i}{8i}=1 \]
5.2. — numerador

\(\left(\sqrt{3}-i\right)^{6}=-64\) (ver 4.2) e \((4i)^{3}=64i^{3}=-64i\):

\[ -64-(-64i)=-64+64i=64\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}} \]
5.2. — denominador

\(i^{43}=i^{3}=-i\), logo \(\left(i^{43}+1\right)^{4}=(1-i)^{4}=\left(\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)^{4}=4e^{-i\pi}=4e^{i\pi}\).

\[ 4e^{i\pi}\times e^{-i\frac{\pi}{12}}=4e^{i\frac{11\pi}{12}} \]
5.2. — quociente
\[ z=\frac{64\sqrt{2}}{4}e^{i\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{11\pi}{12}\right)}=16\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{6}}=16\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=8\sqrt{6}-8\sqrt{2}\,i \]
5.1. \(1\)    5.2. \(8\sqrt{6}-8\sqrt{2}\,i\)

6. Somas com parcelas na forma trigonométrica

6

Calcule e apresente o resultado na forma trigonométrica.

  1. 6.1. \(z=\left(\sqrt{3}-i\right)^{2}+2e^{-i\frac{\pi}{3}}\)
  2. 6.2. \(z=\overline{1+i}+2\sqrt{2}\,e^{i\frac{5\pi}{6}}\times e^{-i\frac{\pi}{12}}\)

Há uma soma: calculam-se as parcelas na forma algébrica, soma-se e só no fim se passa à forma trigonométrica.

6.1.
\[ \left(\sqrt{3}-i\right)^{2}=3-2\sqrt{3}\,i-1=2-2\sqrt{3}\,i\qquad 2e^{-i\frac{\pi}{3}}=1-\sqrt{3}\,i \]
\[ z=3-3\sqrt{3}\,i\qquad |z|=\sqrt{9+27}=6\qquad \tg\alpha=\sqrt{3},\ \text{4.º quadrante} \]
\(z=6e^{-i\frac{\pi}{3}}\)
6.2.
\[ 2\sqrt{2}\,e^{i\left(\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{12}\right)}=2\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}=2\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=-2+2i \]
\[ z=1-i-2+2i=-1+i \]
\(z=\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\)

7. Módulo e argumento principal de potências e quocientes

7

Determine o módulo e o argumento principal dos números complexos seguintes.

  1. 7.1. \((1-i)^{3}\)
  2. 7.2. \(\left(1-i\sqrt{3}\right)^{5}\)
  3. 7.3. \(i\,\dfrac{(1-i)^{2}}{1+i\sqrt{3}}\)
  4. 7.4. \(\dfrac{\left(1-i\sqrt{3}\right)^{5}}{(-1+i)^{4}\times 2i^{3}}\)

\(1-i=\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}\), \(\ 1-i\sqrt{3}=2e^{-i\frac{\pi}{3}}\), \(\ 1+i\sqrt{3}=2e^{i\frac{\pi}{3}}\), \(\ -1+i=\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\).

7.1.
\[ \left(\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)^{3}=2\sqrt{2}\,e^{-i\frac{3\pi}{4}} \]
Módulo \(2\sqrt{2}\); \(\Arg=-\dfrac{3\pi}{4}\)
7.2.
\[ \left(2e^{-i\frac{\pi}{3}}\right)^{5}=32e^{-i\frac{5\pi}{3}}=32e^{i\left(-\frac{5\pi}{3}+2\pi\right)}=32e^{i\frac{\pi}{3}} \]
Módulo \(32\); \(\Arg=\dfrac{\pi}{3}\)
7.3.
\[ (1-i)^{2}=-2i=2e^{-i\frac{\pi}{2}}\qquad i(1-i)^{2}=e^{i\frac{\pi}{2}}\times 2e^{-i\frac{\pi}{2}}=2\qquad \frac{2}{2e^{i\frac{\pi}{3}}}=e^{-i\frac{\pi}{3}} \]
Módulo \(1\); \(\Arg=-\dfrac{\pi}{3}\)
7.4.

Numerador: \(32e^{i\frac{\pi}{3}}\) (alínea 7.2). Denominador: \((-1+i)^{4}=4e^{i3\pi}=4e^{i\pi}\) e \(2i^{3}=-2i=2e^{-i\frac{\pi}{2}}\), logo o produto é \(8e^{i\frac{\pi}{2}}\).

\[ \frac{32e^{i\frac{\pi}{3}}}{8e^{i\frac{\pi}{2}}}=4e^{i\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}\right)}=4e^{-i\frac{\pi}{6}} \]
Módulo \(4\); \(\Arg=-\dfrac{\pi}{6}\)

8. Da forma trigonométrica de volta à algébrica

8

Apresente na forma algébrica o número complexo \(\dfrac{i\left(1+\sqrt{3}\,i\right)^{4}}{(-1+i)^{9}}\).

Passo 1 — numerador e denominador
\[ i\left(1+\sqrt{3}\,i\right)^{4}=e^{i\frac{\pi}{2}}\times\left(2e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^{4}=e^{i\frac{\pi}{2}}\times 16e^{i\frac{4\pi}{3}}=16e^{i\frac{11\pi}{6}} \]
\[ (-1+i)^{9}=\left(\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\right)^{9}=16\sqrt{2}\,e^{i\frac{27\pi}{4}}=16\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\qquad\left(\tfrac{27\pi}{4}-6\pi=\tfrac{3\pi}{4}\right) \]
Passo 2 — quociente
\[ \frac{16}{16\sqrt{2}}e^{i\left(\frac{11\pi}{6}-\frac{3\pi}{4}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{13\pi}{12}} \]
Passo 3 — forma algébrica

\(\dfrac{13\pi}{12}=\pi+\dfrac{\pi}{12}\), logo \(\cos\dfrac{13\pi}{12}=-\cos\dfrac{\pi}{12}=-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) e \(\sen\dfrac{13\pi}{12}=-\sen\dfrac{\pi}{12}=-\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) (ver resumo).

\[ \frac{\sqrt{2}}{2}\left(-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}i\right)=-\frac{\sqrt{12}+2}{8}-\frac{\sqrt{12}-2}{8}i=-\frac{\sqrt{3}+1}{4}-\frac{\sqrt{3}-1}{4}i \]
\(-\dfrac{\sqrt{3}+1}{4}+\dfrac{1-\sqrt{3}}{4}i\)

9. O cubo de \(2-2i\)

9

Considere o número \(z_1=(2-2i)^{3}\). Sem recorrer à calculadora, escreva \(z_1\) na forma trigonométrica.

\(|2-2i|=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\); o afixo está no 4.º quadrante com \(\tg\alpha=1\), logo \(2-2i=2\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}\).

\[ z_1=\left(2\sqrt{2}\right)^{3}e^{-i\frac{3\pi}{4}}=16\sqrt{2}\,e^{-i\frac{3\pi}{4}} \]

(Confirmação: \(16\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\right)=-16-16i\), e de facto \((2-2i)^{2}=-8i\) e \(-8i(2-2i)=-16-16i\).)

\(z_1=16\sqrt{2}\,e^{-i\frac{3\pi}{4}}\)

10. Um quociente com uma quarta potência

10

Sejam \(z_1=1+i\) e \(z_2=\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\). Escreva \(\dfrac{z_2}{z_1^{\,4}}\) na forma trigonométrica.

\(|z_2|=\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{3}\) e \(\tg\alpha=\dfrac{\sqrt{3}/2}{3/2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) no 1.º quadrante, logo \(z_2=\sqrt{3}\,e^{i\frac{\pi}{6}}\).

\[ z_1^{\,4}=\left(\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{4}=4e^{i\pi}\qquad \frac{z_2}{z_1^{\,4}}=\frac{\sqrt{3}}{4}e^{i\left(\frac{\pi}{6}-\pi\right)}=\frac{\sqrt{3}}{4}e^{-i\frac{5\pi}{6}} \]
\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}e^{-i\frac{5\pi}{6}}\)

11. Potência e rotação de \(-1+i\)

11

Seja \(z=-1+i\).

  1. 11.1. Escreva \(z\) na forma trigonométrica.
  2. 11.2. Escreva \((-1+i)^{4}\) na forma algébrica.
  3. 11.3. Considere, no plano de Argand, o afixo de \(z\). Qual é o número complexo \(z'\) cujo afixo é o transformado do afixo de \(z\) pela rotação de centro na origem e amplitude \(\dfrac{\pi}{4}\)? Escreva-o na forma algébrica.
11.1.

\(|z|=\sqrt{2}\); 2.º quadrante com \(\alpha=\dfrac{\pi}{4}\), logo \(\Arg(z)=\dfrac{3\pi}{4}\).

\(z=\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\)
11.2.
\[ (-1+i)^{4}=\left(\sqrt{2}\right)^{4}e^{i3\pi}=4e^{i\pi}=-4 \]
11.3.

Rodar de \(\dfrac{\pi}{4}\) é multiplicar por \(e^{i\frac{\pi}{4}}\):

\[ z'=\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\times e^{i\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\,e^{i\pi}=-\sqrt{2} \]
11.2. \(-4\)    11.3. \(z'=-\sqrt{2}\)

12. Uma expressão sem calculadora

12

Determine, apresentando o resultado na forma algébrica:

\[ \frac{(2-i)^{2}+4e^{i\frac{\pi}{2}}+3\sqrt{3}\,i}{3e^{i\frac{\pi}{12}}}+8e^{i\frac{\pi}{4}} \]
Passo 1 — o numerador (forma algébrica)
\[ (2-i)^{2}=3-4i\qquad 4e^{i\frac{\pi}{2}}=4i\qquad 3-4i+4i+3\sqrt{3}\,i=3+3\sqrt{3}\,i=6e^{i\frac{\pi}{3}} \]
Passo 2 — a divisão (forma trigonométrica)
\[ \frac{6e^{i\frac{\pi}{3}}}{3e^{i\frac{\pi}{12}}}=2e^{i\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i \]
Passo 3 — a soma (forma algébrica)
\[ 8e^{i\frac{\pi}{4}}=4\sqrt{2}+4\sqrt{2}\,i\qquad \sqrt{2}+\sqrt{2}\,i+4\sqrt{2}+4\sqrt{2}\,i=5\sqrt{2}+5\sqrt{2}\,i \]
\(5\sqrt{2}+5\sqrt{2}\,i\)

13. Módulo e argumento de \(w\) conhecido \(\dfrac{w}{z_1}\)

13

Considere os números complexos \(z_1=1+\sqrt{3}\,i\) e \(w\) tal que \(\dfrac{w}{z_1}=2+2i\).

Determine o valor exato do módulo e de um argumento de \(w\).

\[ w=(2+2i)\,z_1=2\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\times 2e^{i\frac{\pi}{3}}=4\sqrt{2}\,e^{i\frac{7\pi}{12}} \]
\(|w|=4\sqrt{2}\) e um argumento de \(w\) é \(\dfrac{7\pi}{12}\).

14. O inverso de um produto

14

Considere \(z_1=\sqrt{3}-i\) e \(z_2=-2i\). Seja \(w\) o inverso de \(z_1\times z_2\). Determine \(w\) na forma trigonométrica.

\[ z_1=2e^{-i\frac{\pi}{6}}\qquad z_2=2e^{-i\frac{\pi}{2}}\qquad z_1z_2=4e^{-i\frac{2\pi}{3}} \]
\[ w=\frac{1}{4e^{-i\frac{2\pi}{3}}}=\frac{1}{4}e^{i\frac{2\pi}{3}} \]
\(w=\dfrac{1}{4}e^{i\frac{2\pi}{3}}\)

15. Uma soma com um cubo

15

Considere \(z_1=\sqrt{2}\,e^{-i\frac{3\pi}{4}}\) e \(z_2=3+4i\). Calcule \(z_1+z_2^{\,3}\) e apresente o resultado na forma algébrica.

\[ z_1=\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=-1-i \]
\[ z_2^{\,2}=9+24i-16=-7+24i\qquad z_2^{\,3}=(-7+24i)(3+4i)=-21-28i+72i-96=-117+44i \]

Aqui \(z_2\) não tem um argumento «notável», por isso a forma algébrica é o caminho natural.

\(z_1+z_2^{\,3}=-118+43i\)

16. Duas expressões com \(w_1\) e \(w_3\)

16

Considere \(w_1=2e^{i\frac{2\pi}{3}}\) e \(w_3=\dfrac{i}{1-i}-i^{24n+2}\), com \(n\in\mathbb{N}\).

  1. 16.1. Escreva \(w_3\) na forma trigonométrica, sem recorrer à calculadora.
  2. 16.2. Seja \(z=\dfrac{\overline{w_1}}{w_1+1}\). Apresente \(z\) na forma trigonométrica.
16.1.
\[ i^{24n+2}=\left(i^{4}\right)^{6n}\times i^{2}=-1\qquad \frac{i}{1-i}=\frac{i(1+i)}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \]
\[ w_3=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i+1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\qquad |w_3|=\frac{\sqrt{2}}{2},\ \ \Arg(w_3)=\frac{\pi}{4} \]
\(w_3=\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\)
16.2.

\(w_1=2\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-1+\sqrt{3}\,i\), logo \(w_1+1=\sqrt{3}\,i=\sqrt{3}\,e^{i\frac{\pi}{2}}\); e \(\overline{w_1}=2e^{-i\frac{2\pi}{3}}\).

\[ z=\frac{2e^{-i\frac{2\pi}{3}}}{\sqrt{3}\,e^{i\frac{\pi}{2}}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}e^{-i\frac{7\pi}{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}e^{i\frac{5\pi}{6}} \]
\(z=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}e^{i\frac{5\pi}{6}}\)

17. Uma expressão com um parâmetro que desaparece

17

Considere \(z_1=e^{i\frac{2\pi}{3}}\) e \(z_2=3\sqrt{2}\,e^{i\theta}\), com \(\theta\in\mathbb{R}\).

Determine \(\dfrac{\sqrt{2}\,|z_1|}{z_1}-\dfrac{z_2\times\overline{z_2}}{\sqrt{2}\,i}\) e apresente o resultado na forma algébrica.

Passo 1 — a primeira parcela
\[ \frac{\sqrt{2}\times 1}{e^{i\frac{2\pi}{3}}}=\sqrt{2}\,e^{-i\frac{2\pi}{3}}=\sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i \]
Passo 2 — a segunda parcela

\(z_2\,\overline{z_2}=|z_2|^{2}=18\), qualquer que seja \(\theta\):

\[ \frac{18}{\sqrt{2}\,i}=\frac{9\sqrt{2}}{i}=-9\sqrt{2}\,i \]
Passo 3 — subtrair
\[ -\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i-\left(-9\sqrt{2}\,i\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\left(9\sqrt{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)i \]
\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\left(9\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)i\)

18. Conjugado e simétrico na forma algébrica

18

Escreva na forma algébrica o conjugado e o simétrico dos seguintes números complexos.

  1. 18.1. \(z=2e^{-i\frac{2\pi}{3}}\)
  2. 18.2. \(z=e^{-i\frac{\pi}{4}}-2e^{-i\pi}\)
  3. 18.3. \(z=\dfrac{8i\,e^{i\frac{\pi}{6}}}{e^{-i\frac{\pi}{4}}}\)
  4. 18.4. \(z=\dfrac{e^{-i\frac{\pi}{2}}\times\left(\sqrt{3}-i\right)}{i^{7}\,e^{i\frac{2\pi}{3}}}\)
18.1.
\[ z=2\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-1-\sqrt{3}\,i \]
\(\overline{z}=-1+\sqrt{3}\,i\); \(\ -z=1+\sqrt{3}\,i\)
18.2.
\[ e^{-i\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\qquad e^{-i\pi}=-1\qquad z=\left(2+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\frac{\sqrt{2}}{2}i \]
\(\overline{z}=\left(2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\); \(\ -z=\left(-2-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\)
18.3.

\(i=e^{i\frac{\pi}{2}}\), logo o numerador é \(8e^{i\frac{2\pi}{3}}\) e \(z=8e^{i\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)}=8e^{i\frac{11\pi}{12}}\). Como \(\dfrac{11\pi}{12}=\pi-\dfrac{\pi}{12}\):

\[ z=8\left(-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}i\right)=\left(-2\sqrt{6}-2\sqrt{2}\right)+\left(2\sqrt{6}-2\sqrt{2}\right)i \]
\(\overline{z}=\left(-2\sqrt{6}-2\sqrt{2}\right)-\left(2\sqrt{6}-2\sqrt{2}\right)i\); \(\ -z=\left(2\sqrt{6}+2\sqrt{2}\right)+\left(2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)i\)
18.4.

\(\sqrt{3}-i=2e^{-i\frac{\pi}{6}}\) e \(i^{7}=i^{3}=-i=e^{-i\frac{\pi}{2}}\).

\[ z=\frac{e^{-i\frac{\pi}{2}}\times 2e^{-i\frac{\pi}{6}}}{e^{-i\frac{\pi}{2}}\times e^{i\frac{2\pi}{3}}}=2e^{i\left(-\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi}{3}\right)}=2e^{-i\frac{5\pi}{6}}=-\sqrt{3}-i \]
\(\overline{z}=-\sqrt{3}+i\); \(\ -z=\sqrt{3}+i\)

19. Uma diferença e um quociente

19

Considere \(z_1=\sqrt{3}\,e^{i\frac{2\pi}{3}}\), \(z_2=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{12}}\) e \(z_3=2+2i\).

  1. 19.1. Calcule \(z_1-i\) na forma trigonométrica.
  2. 19.2. Determine o valor de \(\dfrac{z_3\times z_2-2}{\sqrt{3}\,i^{5}}\). Apresente o resultado na forma algébrica.
19.1.
\[ z_1=\sqrt{3}\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i\qquad z_1-i=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \]

Módulo \(\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}=1\); 2.º quadrante com \(\tg\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), \(\alpha=\dfrac{\pi}{6}\).

\(z_1-i=e^{i\frac{5\pi}{6}}\)
19.2.
\[ z_3z_2=2\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\times\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{12}}=4e^{i\frac{\pi}{3}}=2+2\sqrt{3}\,i\qquad z_3z_2-2=2\sqrt{3}\,i \]
\[ i^{5}=i\qquad \frac{2\sqrt{3}\,i}{\sqrt{3}\,i}=2 \]
\(2\)

20. Conjugado, simétrico e quocientes

20

Considere \(z_1=\sqrt{3}\,e^{-i\frac{2\pi}{3}}\) e \(z_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{\pi}{4}}-2^{-1}\).

  1. 20.1. Sem recorrer à calculadora, determine \(\dfrac{\overline{z_1}}{\frac{\sqrt{3}}{2}+z_1}\). Apresente o resultado na forma trigonométrica.
  2. 20.2. Determine \(w=\dfrac{-z_1\times z_2}{i}\). Apresente o resultado na forma trigonométrica.
20.1.
\[ z_1=\sqrt{3}\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i\qquad \frac{\sqrt{3}}{2}+z_1=-\frac{3}{2}i=\frac{3}{2}e^{-i\frac{\pi}{2}} \]
\[ \frac{\sqrt{3}\,e^{i\frac{2\pi}{3}}}{\frac{3}{2}e^{-i\frac{\pi}{2}}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}e^{i\frac{7\pi}{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}e^{-i\frac{5\pi}{6}} \]
\(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}e^{-i\frac{5\pi}{6}}\)
20.2.
\[ z_2=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i=\frac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{2}}\qquad -z_1=\sqrt{3}\,e^{i\frac{\pi}{3}} \]
\[ w=\frac{\sqrt{3}\,e^{i\frac{\pi}{3}}\times\frac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{2}}}{e^{i\frac{\pi}{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}e^{i\frac{\pi}{3}} \]
\(w=\dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{i\frac{\pi}{3}}\)

21. Operações em função de um argumento \(\theta\)

21

Considere \(z=1+3i\) e seja \(\theta\) um argumento de \(z\).

  1. 21.1. Exprima, na forma trigonométrica e em função de \(\theta\), o produto de \(i\) pelo simétrico de \(z\).
  2. 21.2. Determine o valor exato de \(\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)\).
21.1.

\(|z|=\sqrt{10}\), logo \(z=\sqrt{10}\,e^{i\theta}\) e \(-z=\sqrt{10}\,e^{i(\theta+\pi)}\).

\[ i\times(-z)=e^{i\frac{\pi}{2}}\times\sqrt{10}\,e^{i(\theta+\pi)}=\sqrt{10}\,e^{i\left(\theta+\frac{3\pi}{2}\right)} \]
\(\sqrt{10}\,e^{i\left(\theta+\frac{3\pi}{2}\right)}\)  (ou, equivalentemente, \(\sqrt{10}\,e^{i\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}\))
21.2.

De \(1+3i=\sqrt{10}\left(\cos\theta+i\sen\theta\right)\): \(\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\) e \(\sen\theta=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\).

\[ \cos\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\theta\cos\frac{\pi}{6}-\sen\theta\sen\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{10}}{10}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{10}}{10}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{30}-3\sqrt{10}}{20} \]
\(\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{30}-3\sqrt{10}}{20}\)

22. Uma potência negativa e uma equação

22

Considere \(z_1=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\) e \(z_2=2+3i\).

  1. 22.1. Determine, na forma algébrica, \(e^{-i\pi}\times\left(z_2\right)^{-3}\).
  2. 22.2. Resolva, em \(\mathbb{C}\), a equação \(|z_1|-\overline{z_2}\times z=iz\). Apresente a solução na forma trigonométrica.
22.1.
\[ z_2^{\,2}=-5+12i\qquad z_2^{\,3}=(2+3i)(-5+12i)=-46+9i\qquad z_2^{\,-3}=\frac{-46-9i}{46^{2}+9^{2}}=\frac{-46-9i}{2197} \]

\(e^{-i\pi}=-1\), logo:

\(\dfrac{46}{2197}+\dfrac{9}{2197}i\)
22.2.

\(|z_1|=1\) e \(\overline{z_2}=2-3i\):

\[ 1=iz+(2-3i)z=(2-2i)z\iff z=\frac{1}{2-2i}=\frac{2+2i}{8}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i \]
\(z=\dfrac{\sqrt{2}}{4}e^{i\frac{\pi}{4}}\)

23. Um quociente imaginário puro

23

Considere os números complexos

\[ w_1=\frac{1}{i}\qquad\text{e}\qquad w_2=-\sen\left(\frac{5\pi}{4}\right)-i\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) \]
  1. 23.1. Escreva \(w_1\) e \(w_2\) na forma trigonométrica.
  2. 23.2. Mostre que \(\dfrac{w_1w_2}{\overline{w_1w_2}}\) representa um imaginário puro.
23.1.
\[ w_1=\frac{1}{i}=-i=e^{-i\frac{\pi}{2}} \]
\[ w_2=-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-i\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i=e^{i\frac{\pi}{4}} \]
23.2.
\[ w_1w_2=e^{-i\frac{\pi}{4}}\qquad \overline{w_1w_2}=e^{i\frac{\pi}{4}}\qquad \frac{w_1w_2}{\overline{w_1w_2}}=e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i \]

\(-i\) tem parte real nula e parte imaginária \(-1\ne 0\): é imaginário puro. \(\blacksquare\)

24. Cálculos sem calculadora

24
  1. 24.1. Sejam \(z_1=e^{i\frac{2\pi}{3}}\) e \(z_2=2e^{i\frac{5\pi}{4}}\). Resolva a equação \(z+z_1\,|z_2|=0\). Apresente o resultado na forma algébrica.
  2. 24.2. Sejam \(z_1=-1-i\), \(z_2=\sqrt{3}\,e^{i\frac{\pi}{12}}\) e \(z_3=\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{2}}\). Determine, sem recorrer à calculadora, \(\dfrac{z_1\times z_2+1}{z_3}\). Apresente o resultado na forma algébrica.
  3. 24.3. Seja \(w=-2i\). Resolva, sem recorrer à calculadora, a equação \(z\left(\sqrt{3}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\right)=w+1\). Apresente o resultado na forma algébrica.
24.1.
\[ z=-z_1\,|z_2|=-2e^{i\frac{2\pi}{3}}=-2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1-\sqrt{3}\,i \]
\(z=1-\sqrt{3}\,i\)
24.2.

\(z_1=\sqrt{2}\,e^{-i\frac{3\pi}{4}}\), logo \(z_1z_2=\sqrt{6}\,e^{-i\frac{2\pi}{3}}=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}i\) (porque \(\sqrt{6}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)).

\[ z_1z_2+1=\left(1-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)-\frac{3\sqrt{2}}{2}i\qquad z_3=-\sqrt{2}\,i\qquad \frac{1}{-\sqrt{2}\,i}=\frac{i}{\sqrt{2}} \]
\[ \frac{i}{\sqrt{2}}\left[\left(1-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)-\frac{3\sqrt{2}}{2}i\right]=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)i=\frac{3}{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i \]
\(\dfrac{3}{2}+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)i\)
24.3.
\[ z=\frac{1-2i}{\sqrt{3}\,e^{i\frac{\pi}{4}}}=\frac{(1-2i)\,e^{-i\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{3}}=\frac{(1-2i)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)}{\sqrt{3}} \]
\[ (1-2i)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i-\sqrt{2}\,i-\sqrt{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}i \]
\[ z=-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}-\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}i=-\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{\sqrt{6}}{2}i \]
\(z=-\dfrac{\sqrt{6}}{6}-\dfrac{\sqrt{6}}{2}i\)

25. Mostrar uma forma trigonométrica dada

25

Seja \(w=-\left(\dfrac{1}{i}\right)^{25}+(1-2i)^{2}\). Mostre que \(\overline{w}=3\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\).

\[ \frac{1}{i}=-i\qquad (-i)^{25}=-\,i^{25}=-i\qquad -\left(\frac{1}{i}\right)^{25}=i \]
\[ (1-2i)^{2}=1-4i-4=-3-4i\qquad w=i-3-4i=-3-3i\qquad \overline{w}=-3+3i \]

\(|\overline{w}|=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}\); o afixo \((-3,\,3)\) está no 2.º quadrante com \(\tg\alpha=1\), logo \(\Arg(\overline{w})=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}\).

\(\overline{w}=3\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\) \(\blacksquare\)

26. Mostrar que um número é real

26
  1. 26.1. Considere \(w=3e^{i\frac{\pi}{3}}\). Mostre que \(w^{2}\times e^{i\frac{4\pi}{3}}\) é um número real.
  2. 26.2. Seja \(w=\dfrac{2}{\sqrt{3}-i}+i^{43}\). Represente \(w\) na forma trigonométrica e mostre que \(w^{12}\) é um número real.
26.1.
\[ w^{2}\times e^{i\frac{4\pi}{3}}=9e^{i\frac{2\pi}{3}}\times e^{i\frac{4\pi}{3}}=9e^{i2\pi}=9\in\mathbb{R}\ \ \blacksquare \]
26.2.
\[ \frac{2}{\sqrt{3}-i}=\frac{2\left(\sqrt{3}+i\right)}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\qquad i^{43}=-i\qquad w=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i=e^{-i\frac{\pi}{6}} \]
\[ w^{12}=e^{-i\frac{12\pi}{6}}=e^{-i2\pi}=1\in\mathbb{R}\ \ \blacksquare \]

27. Escolha múltipla: onde está o afixo?

27

Seja \(z\) um número complexo não nulo cujo afixo pertence ao 2.º quadrante e está sobre a reta que contém as bissetrizes dos quadrantes pares. Na figura estão representados os afixos de quatro números complexos, situados sobre os eixos.

Plano de Argand com z1 no semieixo real positivo, z2 no semieixo imaginário positivo, z3 no semieixo real negativo e z4 no semieixo imaginário negativo
  1. 27.1. Qual dos pontos pode ser o afixo de \(\dfrac{z}{\overline{z}}\)?
    • (A) \(z_1\)
    • (B) \(z_2\)
    • (C) \(z_3\)
    • (D) \(z_4\)
  2. 27.2. Qual dos pontos pode ser o afixo de \(z\times\overline{z}\)?
    • (A) \(z_1\)
    • (B) \(z_2\)
    • (C) \(z_3\)
    • (D) \(z_4\)

O afixo de \(z\) está na bissetriz do 2.º quadrante, logo \(z=\rho\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\) e \(\overline{z}=\rho\,e^{-i\frac{3\pi}{4}}\).

27.1.
\[ \frac{z}{\overline{z}}=e^{i\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)}=e^{i\frac{3\pi}{2}}=-i \]

O afixo está no semieixo imaginário negativo.

Opção (D)
27.2.
\[ z\times\overline{z}=\rho^{2}e^{i0}=\rho^{2}\gt 0 \]

É um real positivo: o afixo está no semieixo real positivo.

Opção (A)