Operações com números complexos na forma algébrica

Matemática A - 12.º ano - Novo Programa 2026 - matematicaparatodos.pt

📌 Resumo teórico

Adição, subtração e multiplicação

Opera-se como com polinómios em \(i\), substituindo \(i^{2}\) por \(-1\):

\((a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i\)

\((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)

Casos notáveis úteis: \((a+bi)^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right)+2abi\),   \((a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}\),   \((1+i)^{2}=2i\),   \((1-i)^{2}=-2i\).

Divisão e inverso

Multiplicam-se os dois termos da fração pelo conjugado do denominador, que passa a ser o número real \(c^{2}+d^{2}\):

\(\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{(a+bi)(c-di)}{c^{2}+d^{2}}\qquad\quad \dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}}\quad(z\ne 0)\qquad\quad \dfrac{1}{i}=-i\)

Potências

\(z^{n}\) calcula-se com casos notáveis ou por multiplicações sucessivas; para \(i^{n}\) usa-se o resto da divisão de \(n\) por \(4\). Uma potência de expoente negativo é o inverso: \(z^{-n}=\dfrac{1}{z^{n}}\).

Propriedades do conjugado e do módulo

ConjugadoMódulo
\(\overline{z\pm w}=\overline{z}\pm\overline{w}\)\(|zw|=|z|\,|w|\)
\(\overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w}\)\(\left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|}\)
\(\overline{\left(\dfrac{z}{w}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{w}}\)\(\left|z^{n}\right|=|z|^{n}\)
\(\overline{\overline{z}}=z\)\(|\overline{z}|=|-z|=|z|\)
\(z+\overline{z}=2\Re(z)\),   \(z-\overline{z}=2i\Im(z)\)\(z\,\overline{z}=|z|^{2}\)

Consequências muito usadas nas demonstrações: \(z\) é real \(\iff z=\overline{z}\);   \(z\) é imaginário puro \(\iff z=-\overline{z}\ \wedge\ z\ne 0\).

Nota (Aprendizagens Essenciais, janeiro de 2023): as AE pedem que se realce que, nas operações elementares entre números complexos, se mantêm as propriedades das operações definidas em \(\mathbb{R}\) (comutativa, associativa, distributiva, elementos neutros, simétrico e inverso).

1. Adição, subtração e multiplicação

1

Efetue as seguintes operações em \(\mathbb{C}\) e apresente o resultado na forma algébrica.

  1. 1.1. \((2-i)-2\times\left(\dfrac{1}{2}-2i\right)\)
  2. 1.2. \((3-i)\times(2-3i)+10i\)
  3. 1.3. \(\dfrac{1}{5}(2-i)^{2}\times(1-2i)\)
  4. 1.4. \(\left(1-i^{27}\right)^{2}\times\left(1-i^{14}\right)^{3}\)
1.1.
\[ (2-i)-(1-4i)=(2-1)+(-1+4)i=1+3i \]
1.2.
\[ (3-i)(2-3i)=6-9i-2i+3i^{2}=6-11i-3=3-11i \]
\[ 3-11i+10i=3-i \]
1.3.
\[ (2-i)^{2}=4-4i+i^{2}=3-4i \]
\[ (3-4i)(1-2i)=3-6i-4i+8i^{2}=-5-10i\qquad \frac{1}{5}(-5-10i)=-1-2i \]
1.4.

\(27=4\times 6+3\), logo \(i^{27}=i^{3}=-i\) e \(1-i^{27}=1+i\). \(14=4\times 3+2\), logo \(i^{14}=i^{2}=-1\) e \(1-i^{14}=2\).

\[ (1+i)^{2}\times 2^{3}=2i\times 8=16i \]
1.1. \(1+3i\)    1.2. \(3-i\)    1.3. \(-1-2i\)    1.4. \(16i\)

2. Quadrado e cubo de um número complexo

2

Calcule na forma \(a+bi\), com \(a,b\in\mathbb{R}\):

  1. 2.1. \(\left(\sqrt{3}-3i\right)^{2}\)
  2. 2.2. \((4+2i)^{3}\)
2.1. — quadrado da diferença
\[ \left(\sqrt{3}-3i\right)^{2}=3-2\times\sqrt{3}\times 3i+9i^{2}=3-6\sqrt{3}\,i-9=-6-6\sqrt{3}\,i \]
2.2. — quadrado e depois produto
\[ (4+2i)^{2}=16+16i+4i^{2}=12+16i \]
\[ (4+2i)^{3}=(12+16i)(4+2i)=48+24i+64i+32i^{2}=16+88i \]
2.1. \(-6-6\sqrt{3}\,i\)    2.2. \(16+88i\)

3. Multiplicação e divisão

3

Considere os números complexos \(z_1=2-4i\), \(z_2=-3-i\) e \(z_3=-3i\). Calcule e apresente na forma algébrica:

  1. 3.1. \(z_1\times z_2\)
  2. 3.2. \(z_1\times z_3\)
  3. 3.3. \(z_2\times z_3\)
  4. 3.4. \(\dfrac{z_1}{z_2}\)
  5. 3.5. \(\dfrac{z_1}{z_3}\)
  6. 3.6. \(\dfrac{z_3}{z_1}\)
3.1. a 3.3. — produtos
\[ (2-4i)(-3-i)=-6-2i+12i+4i^{2}=-10+10i \]
\[ (2-4i)(-3i)=-6i+12i^{2}=-12-6i\qquad (-3-i)(-3i)=9i+3i^{2}=-3+9i \]
3.4. — multiplicar pelo conjugado de \(-3-i\)
\[ \frac{2-4i}{-3-i}=\frac{(2-4i)(-3+i)}{(-3)^{2}+1^{2}}=\frac{-6+2i+12i-4i^{2}}{10}=\frac{-2+14i}{10}=-\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i \]
3.5. — o conjugado de \(-3i\) é \(3i\)
\[ \frac{2-4i}{-3i}=\frac{(2-4i)\times 3i}{(-3i)\times 3i}=\frac{6i-12i^{2}}{9}=\frac{12+6i}{9}=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}i \]
3.6.
\[ \frac{-3i}{2-4i}=\frac{-3i(2+4i)}{2^{2}+4^{2}}=\frac{-6i-12i^{2}}{20}=\frac{12-6i}{20}=\frac{3}{5}-\frac{3}{10}i \]
3.1. \(-10+10i\)   3.2. \(-12-6i\)   3.3. \(-3+9i\)   3.4. \(-\dfrac{1}{5}+\dfrac{7}{5}i\)   3.5. \(\dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{3}i\)   3.6. \(\dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{10}i\)

4. Operações com conjugados

4

Sejam \(z_1=-1+3i\) e \(z_2=3-i\). Calcule:

  1. 4.1. \(z_1+z_2\)
  2. 4.2. \(z_1-z_2\)
  3. 4.3. \(z_1\,z_2\)
  4. 4.4. \(\dfrac{z_1}{z_2}\)
  5. 4.5. \(\dfrac{z_1\,\overline{z_2}}{\overline{z_1}\,z_2}\)
  6. 4.6. \(-z_1\left(\overline{z_1+z_2}\right)\)
4.1. a 4.3.
\[ z_1+z_2=2+2i\qquad z_1-z_2=-4+4i\qquad z_1z_2=(-1+3i)(3-i)=-3+i+9i-3i^{2}=10i \]
4.4.
\[ \frac{-1+3i}{3-i}=\frac{(-1+3i)(3+i)}{10}=\frac{-3-i+9i+3i^{2}}{10}=\frac{-6+8i}{10}=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i \]
4.5. — o denominador é o conjugado do numerador

\(z_1\overline{z_2}=(-1+3i)(3+i)=-6+8i\) e, pelas propriedades do conjugado, \(\overline{z_1}\,z_2=\overline{z_1\,\overline{z_2}}=-6-8i\).

\[ \frac{-6+8i}{-6-8i}=\frac{(-6+8i)^{2}}{(-6)^{2}+8^{2}}=\frac{36-96i+64i^{2}}{100}=\frac{-28-96i}{100}=-\frac{7}{25}-\frac{24}{25}i \]
4.6.
\[ \overline{z_1+z_2}=2-2i\qquad -(-1+3i)(2-2i)=-\left(-2+2i+6i-6i^{2}\right)=-(4+8i)=-4-8i \]
4.1. \(2+2i\)   4.2. \(-4+4i\)   4.3. \(10i\)   4.4. \(-\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}i\)   4.5. \(-\dfrac{7}{25}-\dfrac{24}{25}i\)   4.6. \(-4-8i\)

5. Produto, inverso e quociente

5

Sejam \(z=2+3i\) e \(w=1+i\). Determine, na forma algébrica, \(zw\), \(\dfrac{1}{w}\) e \(\dfrac{\overline{w}}{z}\).

\[ zw=(2+3i)(1+i)=2+2i+3i+3i^{2}=-1+5i \]
\[ \frac{1}{w}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i \]
\[ \frac{\overline{w}}{z}=\frac{1-i}{2+3i}=\frac{(1-i)(2-3i)}{4+9}=\frac{2-3i-2i+3i^{2}}{13}=\frac{-1-5i}{13}=-\frac{1}{13}-\frac{5}{13}i \]
\(zw=-1+5i\),   \(\dfrac{1}{w}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i\),   \(\dfrac{\overline{w}}{z}=-\dfrac{1}{13}-\dfrac{5}{13}i\)

6. Inverso de um número complexo

6

Determine o inverso de cada um dos seguintes números complexos:

  1. 6.1. \(1+i\)
  2. 6.2. \(1-i\)
  3. 6.3. \(\sqrt{3}-2i\)

Usa-se \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}}\).

\[ \frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\qquad \frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\qquad \frac{1}{\sqrt{3}-2i}=\frac{\sqrt{3}+2i}{3+4}=\frac{\sqrt{3}}{7}+\frac{2}{7}i \]

Repare que o inverso de \(\overline{z}\) é o conjugado do inverso de \(z\) (alíneas 6.1 e 6.2).

7. Escrever na forma \(a+bi\)

7

Escreva os seguintes números na forma \(a+bi\), com \(a,b\in\mathbb{R}\), o mais simplificados possível.

  1. 7.1. \(-3+2(4-i)-(3i-1)^{2}\)
  2. 7.2. \(\left(1-\sqrt{2}\,i\right)^{2}+i\left(\sqrt{2}+i\right)^{2}\)
  3. 7.3. \(\left(i^{2}+4i\right)\times 3i-2(i+2)^{2}\)
  4. 7.4. \(\left(\sqrt{3}-i\right)^{3}-\sqrt{3}\,(-1+2i)^{2}\)
  5. 7.5. \(2\left(\sqrt{2}\,i-i\right)^{2}-(i-2)^{4}\)
  6. 7.6. \((\cos x+i\sen x)^{2}+(1+i)^{2}\), com \(x\in\mathbb{R}\)
7.1.
\[ (3i-1)^{2}=9i^{2}-6i+1=-8-6i\qquad -3+8-2i-(-8-6i)=13+4i \]
7.2.
\[ \left(1-\sqrt{2}\,i\right)^{2}=1-2\sqrt{2}\,i+2i^{2}=-1-2\sqrt{2}\,i\qquad \left(\sqrt{2}+i\right)^{2}=2+2\sqrt{2}\,i+i^{2}=1+2\sqrt{2}\,i \]
\[ -1-2\sqrt{2}\,i+i\left(1+2\sqrt{2}\,i\right)=-1-2\sqrt{2}\,i+i-2\sqrt{2}=\left(-1-2\sqrt{2}\right)+\left(1-2\sqrt{2}\right)i \]
7.3.
\[ (-1+4i)\times 3i=-3i+12i^{2}=-12-3i\qquad 2(i+2)^{2}=2(3+4i)=6+8i \]
\[ -12-3i-(6+8i)=-18-11i \]
7.4. — cubo de um binómio
\[ \left(\sqrt{3}-i\right)^{3}=3\sqrt{3}-3\times 3\times i+3\sqrt{3}\,i^{2}-i^{3}=3\sqrt{3}-9i-3\sqrt{3}+i=-8i \]
\[ (-1+2i)^{2}=1-4i+4i^{2}=-3-4i\qquad -8i-\sqrt{3}(-3-4i)=3\sqrt{3}+\left(4\sqrt{3}-8\right)i \]
7.5.
\[ \left(\left(\sqrt{2}-1\right)i\right)^{2}=\left(\sqrt{2}-1\right)^{2}i^{2}=-\left(3-2\sqrt{2}\right)\ \Rightarrow\ 2\times\left(-3+2\sqrt{2}\right)=-6+4\sqrt{2} \]
\[ (i-2)^{2}=i^{2}-4i+4=3-4i\qquad (i-2)^{4}=(3-4i)^{2}=9-24i+16i^{2}=-7-24i \]
\[ -6+4\sqrt{2}-(-7-24i)=\left(1+4\sqrt{2}\right)+24i \]
7.6.
\[ (\cos x+i\sen x)^{2}=\cos^{2}x-\sen^{2}x+2i\sen x\cos x=\cos(2x)+i\sen(2x)\qquad (1+i)^{2}=2i \]
\[ \cos(2x)+\left(\sen(2x)+2\right)i \]
7.1. \(13+4i\)   7.2. \(\left(-1-2\sqrt{2}\right)+\left(1-2\sqrt{2}\right)i\)   7.3. \(-18-11i\)   7.4. \(3\sqrt{3}+\left(4\sqrt{3}-8\right)i\)   7.5. \(\left(1+4\sqrt{2}\right)+24i\)   7.6. \(\cos(2x)+\left(\sen(2x)+2\right)i\)

8. Conjugado de somas e de produtos

8

Considere os números complexos \(z_1=-3-2i^{3}\) e \(z_2=1+2i\). Escreva na forma algébrica:

  1. 8.1. \(\overline{z_1}\)
  2. 8.2. \(\overline{z_2}\)
  3. 8.3. \(\overline{z_1+z_2}\)
  4. 8.4. \(\overline{z_1-z_2}\)
  5. 8.5. \(\overline{z_1\times z_2}\)
  6. 8.6. \(\overline{i\,z_1\times\overline{z_2}}\)

Como \(i^{3}=-i\), tem-se \(z_1=-3+2i\).

8.1. a 8.4.
\[ \overline{z_1}=-3-2i\qquad \overline{z_2}=1-2i\qquad \overline{z_1+z_2}=\overline{-2+4i}=-2-4i\qquad \overline{z_1-z_2}=\overline{-4}=-4 \]

Confirma-se a propriedade \(\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}\): \((-3-2i)+(1-2i)=-2-4i\).

8.5.
\[ z_1z_2=(-3+2i)(1+2i)=-3-6i+2i+4i^{2}=-7-4i\qquad \overline{z_1z_2}=-7+4i \]
8.6.

Pelas propriedades, \(\overline{i\,z_1\,\overline{z_2}}=\overline{i}\times\overline{z_1}\times z_2=-i\,(-3-2i)(1+2i)\):

\[ (-3-2i)(1+2i)=-3-6i-2i-4i^{2}=1-8i\qquad -i(1-8i)=-i+8i^{2}=-8-i \]
8.1. \(-3-2i\)   8.2. \(1-2i\)   8.3. \(-2-4i\)   8.4. \(-4\)   8.5. \(-7+4i\)   8.6. \(-8-i\)

9. Conjugado na forma algébrica

9

Apresente na forma algébrica o conjugado de:

  1. 9.1. \(3-2i\)
  2. 9.2. \((2-i)(1-3i)\)
  3. 9.3. \(i\left(3-i^{11}\right)-2\left(\overline{1+2i}\right)\)
9.1.
\[ \overline{3-2i}=3+2i \]
9.2.
\[ (2-i)(1-3i)=2-6i-i+3i^{2}=-1-7i\ \Rightarrow\ \text{conjugado: }-1+7i \]
9.3.

\(i^{11}=i^{3}=-i\), logo \(i(3-i^{11})=i(3+i)=-1+3i\); e \(2\left(\overline{1+2i}\right)=2(1-2i)=2-4i\).

\[ (-1+3i)-(2-4i)=-3+7i\ \Rightarrow\ \text{conjugado: }-3-7i \]
9.1. \(3+2i\)    9.2. \(-1+7i\)    9.3. \(-3-7i\)

10. Quocientes na forma \(a+bi\)

10

Calcule e apresente na forma \(a+bi\), com \(a,b\in\mathbb{R}\):

  1. 10.1. \(\dfrac{3+i}{2-3i}\)
  2. 10.2. \(\dfrac{1-i+i^{11}}{1+i}\)
  3. 10.3. \(\dfrac{3-i}{i(4+i)}-\dfrac{i^{3}(4-i)}{3-i}\)
10.1.
\[ \frac{(3+i)(2+3i)}{4+9}=\frac{6+9i+2i+3i^{2}}{13}=\frac{3+11i}{13}=\frac{3}{13}+\frac{11}{13}i \]
10.2.

\(i^{11}=-i\), logo o numerador é \(1-2i\).

\[ \frac{(1-2i)(1-i)}{2}=\frac{1-i-2i+2i^{2}}{2}=\frac{-1-3i}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i \]
10.3. — cada fração em separado
\[ i(4+i)=-1+4i\qquad \frac{3-i}{-1+4i}=\frac{(3-i)(-1-4i)}{17}=\frac{-3-12i+i+4i^{2}}{17}=\frac{-7-11i}{17} \]
\[ i^{3}(4-i)=-i(4-i)=-1-4i\qquad \frac{-1-4i}{3-i}=\frac{(-1-4i)(3+i)}{10}=\frac{-3-i-12i-4i^{2}}{10}=\frac{1-13i}{10} \]
\[ \frac{-7-11i}{17}-\frac{1-13i}{10}=\frac{-70-110i-17+221i}{170}=\frac{-87+111i}{170} \]
10.1. \(\dfrac{3}{13}+\dfrac{11}{13}i\)    10.2. \(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i\)    10.3. \(-\dfrac{87}{170}+\dfrac{111}{170}i\)

11. Parte real e parte imaginária (I)

11

Determine a parte real e a parte imaginária dos seguintes números complexos.

  1. 11.1. \(-i(2-3i)^{2}+\dfrac{1+2i}{i}\)
  2. 11.2. \(\dfrac{5+19i}{2i+i^{2}}-(1+2i)^{-1}\)
  3. 11.3. \(2-2i-\dfrac{i}{2-2i}+\left(\dfrac{1}{i}\right)^{5}\)
  4. 11.4. \(i^{73}+\dfrac{5-10i}{1+2i}+\left(\sqrt{3}\,i\right)^{2}\)
11.1.
\[ (2-3i)^{2}=-5-12i\qquad -i(-5-12i)=5i+12i^{2}=-12+5i\qquad \frac{1+2i}{i}=(1+2i)(-i)=2-i \]
\[ -12+5i+2-i=-10+4i \]
\(\Re=-10\), \(\Im=4\)
11.2.
\[ \frac{5+19i}{-1+2i}=\frac{(5+19i)(-1-2i)}{5}=\frac{-5-10i-19i-38i^{2}}{5}=\frac{33-29i}{5}\qquad (1+2i)^{-1}=\frac{1-2i}{5} \]
\[ \frac{33-29i}{5}-\frac{1-2i}{5}=\frac{32-27i}{5} \]
\(\Re=\dfrac{32}{5}\), \(\Im=-\dfrac{27}{5}\)
11.3.
\[ \frac{i}{2-2i}=\frac{i(2+2i)}{8}=\frac{-2+2i}{8}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i\qquad \left(\frac{1}{i}\right)^{5}=(-i)^{5}=-i \]
\[ 2-2i-\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i\right)-i=\frac{9}{4}-\frac{13}{4}i \]
\(\Re=\dfrac{9}{4}\), \(\Im=-\dfrac{13}{4}\)
11.4.
\[ i^{73}=i\qquad \frac{5-10i}{1+2i}=\frac{(5-10i)(1-2i)}{5}=\frac{-15-20i}{5}=-3-4i\qquad \left(\sqrt{3}\,i\right)^{2}=-3 \]
\[ i-3-4i-3=-6-3i \]
\(\Re=-6\), \(\Im=-3\)

12. Parte real e parte imaginária (II)

12

Determine a parte real e a parte imaginária dos seguintes números complexos:

  1. 12.1. \(-i(3+2i)^{2}\)
  2. 12.2. \(\dfrac{1}{1+3i}\)
  3. 12.3. \(\dfrac{3+5i}{1+7i}\)
  4. 12.4. \(i^{191}\)
  5. 12.5. \(\left(1-\sqrt{2}\,i\right)^{3}\)
12.1.
\[ (3+2i)^{2}=9+12i-4=5+12i\qquad -i(5+12i)=-5i-12i^{2}=12-5i \]
12.2. e 12.3.
\[ \frac{1-3i}{1+9}=\frac{1}{10}-\frac{3}{10}i\qquad \frac{(3+5i)(1-7i)}{1+49}=\frac{3-21i+5i+35}{50}=\frac{38-16i}{50}=\frac{19}{25}-\frac{8}{25}i \]
12.4.

\(191=4\times 47+3\), logo \(i^{191}=i^{3}=-i\).

12.5. — cubo de um binómio
\[ \left(1-\sqrt{2}\,i\right)^{3}=1-3\sqrt{2}\,i+3\left(\sqrt{2}\,i\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\,i\right)^{3}=1-3\sqrt{2}\,i-6+2\sqrt{2}\,i=-5-\sqrt{2}\,i \]
12.1. \(\Re=12,\ \Im=-5\)   12.2. \(\Re=\tfrac{1}{10},\ \Im=-\tfrac{3}{10}\)   12.3. \(\Re=\tfrac{19}{25},\ \Im=-\tfrac{8}{25}\)   12.4. \(\Re=0,\ \Im=-1\)   12.5. \(\Re=-5,\ \Im=-\sqrt{2}\)

13. Forma algébrica de expressões com quocientes

13

Calcule e apresente o resultado na forma algébrica.

  1. 13.1. \(\dfrac{1-i}{1+i}-\dfrac{\sqrt{2}+i}{2i}\)
  2. 13.2. \(\dfrac{1}{4+i}-\dfrac{1+2i}{i}\)
  3. 13.3. \(\dfrac{2}{(3+i)^{2}}-i^{-7}\)
  4. 13.4. \(\dfrac{2+i}{(2i-1)^{2}}-\dfrac{2-i}{(2i+1)^{2}}\)
  5. 13.5. \(\dfrac{1-3i}{1+2i}-\left(i^{3}-1\right)^{2}\)
  6. 13.6. \(\dfrac{i^{40n+1}+3-2i}{3i-1}+(1+2i)\left(3i^{3}\right)\), com \(n\in\mathbb{N}\)
13.1.
\[ \frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)^{2}}{2}=\frac{-2i}{2}=-i\qquad \frac{\sqrt{2}+i}{2i}=\frac{(\sqrt{2}+i)(-2i)}{4}=\frac{2-2\sqrt{2}\,i}{4}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i \]
\[ -i-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i=-\frac{1}{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-1\right)i \]
13.2.
\[ \frac{1}{4+i}=\frac{4-i}{17}\qquad \frac{1+2i}{i}=2-i\qquad \frac{4-i}{17}-2+i=-\frac{30}{17}+\frac{16}{17}i \]
13.3.
\[ (3+i)^{2}=8+6i\qquad \frac{2}{8+6i}=\frac{2(8-6i)}{100}=\frac{4}{25}-\frac{3}{25}i\qquad i^{-7}=\frac{1}{i^{7}}=\frac{1}{-i}=i \]
\[ \frac{4}{25}-\frac{3}{25}i-i=\frac{4}{25}-\frac{28}{25}i \]
13.4.
\[ (2i-1)^{2}=-3-4i\qquad \frac{2+i}{-3-4i}=\frac{(2+i)(-3+4i)}{25}=\frac{-10+5i}{25}=-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i \]
\[ (2i+1)^{2}=-3+4i\qquad \frac{2-i}{-3+4i}=\frac{(2-i)(-3-4i)}{25}=\frac{-10-5i}{25}=-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i \]
\[ \left(-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i\right)-\left(-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i\right)=\frac{2}{5}i \]

(A segunda fração é o conjugado da primeira, por isso a diferença é \(2i\Im\) da primeira.)

13.5.
\[ \frac{(1-3i)(1-2i)}{5}=\frac{-5-5i}{5}=-1-i\qquad \left(i^{3}-1\right)^{2}=(-1-i)^{2}=2i\qquad -1-i-2i=-1-3i \]
13.6.

\(40n\) é múltiplo de \(4\), logo \(i^{40n+1}=i\) e o numerador é \(3-i\).

\[ \frac{3-i}{-1+3i}=\frac{(3-i)(-1-3i)}{10}=\frac{-6-8i}{10}=-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i\qquad (1+2i)(-3i)=6-3i \]
\[ -\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i+6-3i=\frac{27}{5}-\frac{19}{5}i \]
13.1. \(-\tfrac{1}{2}+\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}-1\right)i\)   13.2. \(-\tfrac{30}{17}+\tfrac{16}{17}i\)   13.3. \(\tfrac{4}{25}-\tfrac{28}{25}i\)   13.4. \(\tfrac{2}{5}i\)   13.5. \(-1-3i\)   13.6. \(\tfrac{27}{5}-\tfrac{19}{5}i\)

14. Expressões com potências e quocientes

14

Calcule e apresente o resultado na forma \(a+bi\), com \(a,b\in\mathbb{R}\).

  1. 14.1. \(\dfrac{10-15i}{1+2i}\times(7i-4)\)
  2. 14.2. \(\dfrac{(2-i)^{3}-i^{3}}{1-i}\)
  3. 14.3. \(\dfrac{\left(1-2i^{3}\right)(3-i)+i^{13}+i^{14}}{2i}\)
14.1.
\[ \frac{10-15i}{1+2i}=\frac{(10-15i)(1-2i)}{5}=\frac{-20-35i}{5}=-4-7i \]
\[ (-4-7i)(-4+7i)=(-4)^{2}+7^{2}=65 \]
14.2.
\[ (2-i)^{2}=3-4i\qquad (2-i)^{3}=(2-i)(3-4i)=6-8i-3i+4i^{2}=2-11i \]
\[ \frac{2-11i-(-i)}{1-i}=\frac{(2-10i)(1+i)}{2}=\frac{2+2i-10i-10i^{2}}{2}=\frac{12-8i}{2}=6-4i \]
14.3.

\(i^{3}=-i\), \(i^{13}=i\) e \(i^{14}=-1\).

\[ (1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i^{2}=5+5i\qquad 5+5i+i-1=4+6i \]
\[ \frac{4+6i}{2i}=\frac{(4+6i)(-i)}{2}=\frac{-4i+6}{2}=3-2i \]
14.1. \(65\)    14.2. \(6-4i\)    14.3. \(3-2i\)

15. Operações que envolvem módulos

15

Considere os números complexos \(z_1=1-i\), \(z_2=3-4i\) e \(z_3=2i\). Calcule e apresente o resultado na forma algébrica.

  1. 15.1. \(\dfrac{5\times\overline{z_1}}{z_2}\)
  2. 15.2. \(\dfrac{i\,z_3}{|z_2|+z_2}\)
  3. 15.3. \(\left(\left|\dfrac{z_2}{z_3}\right|+i\right)\times\dfrac{z_1}{i}\)
  4. 15.4. \(\dfrac{|2z_3-z_2|}{(1+i)^{4}}\)
  5. 15.5. \(\dfrac{(z_3-i)^{11}+|z_3|}{2+z_1}\)
15.1.
\[ \frac{5(1+i)}{3-4i}=\frac{(5+5i)(3+4i)}{25}=\frac{15+20i+15i-20}{25}=\frac{-5+35i}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i \]
15.2.

\(|z_2|=\sqrt{9+16}=5\) e \(i\,z_3=2i^{2}=-2\).

\[ \frac{-2}{5+3-4i}=\frac{-2}{8-4i}=\frac{-2(8+4i)}{80}=-\frac{1}{5}-\frac{1}{10}i \]
15.3.

Pela propriedade do módulo do quociente, \(\left|\dfrac{z_2}{z_3}\right|=\dfrac{|z_2|}{|z_3|}=\dfrac{5}{2}\). Além disso, \(\dfrac{z_1}{i}=(1-i)(-i)=-1-i\).

\[ \left(\frac{5}{2}+i\right)(-1-i)=-\frac{5}{2}-\frac{5}{2}i-i-i^{2}=-\frac{3}{2}-\frac{7}{2}i \]
15.4.

\(2z_3-z_2=4i-3+4i=-3+8i\), com módulo \(\sqrt{9+64}=\sqrt{73}\); e \((1+i)^{4}=\left[(1+i)^{2}\right]^{2}=(2i)^{2}=-4\).

\[ \frac{\sqrt{73}}{-4}=-\frac{\sqrt{73}}{4} \]
15.5.

\(z_3-i=i\), \(i^{11}=-i\), \(|z_3|=2\) e \(2+z_1=3-i\).

\[ \frac{2-i}{3-i}=\frac{(2-i)(3+i)}{10}=\frac{6+2i-3i-i^{2}}{10}=\frac{7-i}{10}=\frac{7}{10}-\frac{1}{10}i \]
15.1. \(-\tfrac{1}{5}+\tfrac{7}{5}i\)   15.2. \(-\tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{10}i\)   15.3. \(-\tfrac{3}{2}-\tfrac{7}{2}i\)   15.4. \(-\tfrac{\sqrt{73}}{4}\)   15.5. \(\tfrac{7}{10}-\tfrac{1}{10}i\)

16. Quociente com o conjugado

16

Considere os números complexos \(z=-1-i\) e \(w=4-3i\). Determine, na forma algébrica, \(-\dfrac{\overline{w}}{2z+i}\).

\(\overline{w}=4+3i\) e \(2z+i=-2-2i+i=-2-i\).

\[ -\frac{4+3i}{-2-i}=\frac{4+3i}{2+i}=\frac{(4+3i)(2-i)}{5}=\frac{8-4i+6i-3i^{2}}{5}=\frac{11+2i}{5} \]
\(\dfrac{11}{5}+\dfrac{2}{5}i\)

17. De que equação \(i\) não é solução?

17

O número \(i\) não é solução de qual das seguintes equações em \(\mathbb{C}\)?

  • (A) \(z^{6}=z^{14}\)
  • (B) \(z=-\overline{z}\)
  • (C) \(\dfrac{z}{\overline{z}}=1\)
  • (D) \(z\times\overline{z}=1\)

Substitui-se \(z=i\), sabendo que \(\overline{i}=-i\):

  • (A) \(i^{6}=i^{2}=-1\) e \(i^{14}=i^{2}=-1\): verifica.
  • (B) \(-\overline{i}=-(-i)=i\): verifica.
  • (C) \(\dfrac{i}{-i}=-1\ne 1\): não verifica.
  • (D) \(i\times(-i)=-i^{2}=1\): verifica.
Opção (C)

18. Mostrar que…

18

Prove que:

  1. 18.1. \(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}i\) é solução da equação \(1+2i=3iz\);
  2. 18.2. \(w=\dfrac{(1-3i)(2+i)}{1+2i^{4n+1}}-\dfrac{3}{i}\), com \(n\in\mathbb{N}\), é um número real;
  3. 18.3. \(\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{7}}{2}i\) é solução da equação \(z^{3}-z(3z-4)=0\);
  4. 18.4. \(z=\dfrac{(4-3i)^{2}}{i}-\left(2\sqrt{6}\,i\right)^{2}\) é imaginário puro;
  5. 18.5. \(\dfrac{1+i}{1-i}-\dfrac{1-i}{1+i}=2i\).
18.1.
\[ 3i\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}i\right)=2i-i^{2}=1+2i \]

O segundo membro fica igual ao primeiro, logo o número é solução. \(\blacksquare\)

18.2.

\(i^{4n+1}=\left(i^{4}\right)^{n}\times i=i\), logo o denominador é \(1+2i\).

\[ (1-3i)(2+i)=2+i-6i-3i^{2}=5-5i\qquad \frac{5-5i}{1+2i}=\frac{(5-5i)(1-2i)}{5}=\frac{-5-15i}{5}=-1-3i \]
\[ \frac{3}{i}=-3i\qquad w=-1-3i-(-3i)=-1\in\mathbb{R}\ \ \blacksquare \]
18.3.

A equação é equivalente a \(z\left(z^{2}-3z+4\right)=0\). Basta ver que o número anula o fator do 2.º grau:

\[ z^{2}=\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{7}}{2}i\right)^{2}=\frac{9}{4}-\frac{3\sqrt{7}}{2}i-\frac{7}{4}=\frac{1}{2}-\frac{3\sqrt{7}}{2}i \]
\[ z^{2}-3z+4=\frac{1}{2}-\frac{3\sqrt{7}}{2}i-\frac{9}{2}+\frac{3\sqrt{7}}{2}i+4=0\ \ \blacksquare \]
18.4.
\[ (4-3i)^{2}=16-24i+9i^{2}=7-24i\qquad \frac{7-24i}{i}=(7-24i)(-i)=-24-7i\qquad \left(2\sqrt{6}\,i\right)^{2}=-24 \]
\[ z=-24-7i-(-24)=-7i \]

\(\Re(z)=0\) e \(\Im(z)=-7\ne 0\): \(z\) é imaginário puro. \(\blacksquare\)

18.5.
\[ \frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^{2}}{2}=\frac{2i}{2}=i\qquad \frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)^{2}}{2}=\frac{-2i}{2}=-i\qquad i-(-i)=2i\ \ \blacksquare \]

19. O inverso não é real nem imaginário puro

19

Sejam \(a\) e \(b\) números reais não nulos e \(z=a+bi\).

Mostre que o inverso de \(z\) não é real nem imaginário puro.

\[ \frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^{2}}=\frac{a-bi}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\,i \]

Como \(a\ne 0\), \(\Re\left(\dfrac{1}{z}\right)\ne 0\), logo \(\dfrac{1}{z}\) não é imaginário puro. Como \(b\ne 0\), \(\Im\left(\dfrac{1}{z}\right)\ne 0\), logo \(\dfrac{1}{z}\) não é real. \(\blacksquare\)

20. Um quociente que não é real

20

Seja \(z=a+\sqrt{2}\,i\), com \(a\in\mathbb{R}\).

Mostre que \(\dfrac{1-\overline{z}}{\overline{z}}\) não é um número real.

\(\overline{z}=a-\sqrt{2}\,i\ne 0\) (a parte imaginária é \(-\sqrt{2}\)), por isso o quociente existe.

\[ \frac{1-\overline{z}}{\overline{z}}=\frac{1}{\overline{z}}-1=\frac{z}{|z|^{2}}-1=\frac{a+\sqrt{2}\,i}{a^{2}+2}-1=\frac{a-a^{2}-2}{a^{2}+2}+\frac{\sqrt{2}}{a^{2}+2}\,i \]

A parte imaginária é \(\dfrac{\sqrt{2}}{a^{2}+2}\), que é positiva para qualquer \(a\in\mathbb{R}\). Logo o número nunca é real. \(\blacksquare\)

21. Uma igualdade para complexos de módulo \(1\)

21

Seja \(z\) um número complexo tal que \(|z|=1\).

Mostre que \(\left|\dfrac{1}{z}+1\right|^{2}+\left|\dfrac{1}{z}-1\right|^{2}=4\).

Passo 1 — o inverso

Como \(z\,\overline{z}=|z|^{2}=1\), tem-se \(\dfrac{1}{z}=\overline{z}\). Seja \(\overline{z}=a+bi\); então \(a^{2}+b^{2}=|\overline{z}|^{2}=1\).

Passo 2 — calcular os dois módulos
\[ |\overline{z}+1|^{2}=(a+1)^{2}+b^{2}\qquad |\overline{z}-1|^{2}=(a-1)^{2}+b^{2} \]
\[ (a+1)^{2}+b^{2}+(a-1)^{2}+b^{2}=2a^{2}+2b^{2}+2=2\times 1+2=4\ \ \blacksquare \]

Interpretação geométrica: é a lei do paralelogramo — a soma dos quadrados das diagonais é igual à soma dos quadrados dos quatro lados.

22. Um afixo no semieixo real positivo

22

Seja \(w\) um número complexo não nulo.

Mostre que o afixo do número complexo \(z=\left(w+\overline{w}\right)^{2}-\left(w-\overline{w}\right)^{2}\) pertence ao semieixo real positivo.

Seja \(w=a+bi\), com \(a,b\in\mathbb{R}\) não simultaneamente nulos. Então \(w+\overline{w}=2a\) e \(w-\overline{w}=2bi\):

\[ z=(2a)^{2}-(2bi)^{2}=4a^{2}-4b^{2}i^{2}=4a^{2}+4b^{2}=4|w|^{2} \]

Como \(w\ne 0\), \(|w|^{2}\gt 0\): \(z\) é um número real positivo e o seu afixo está no semieixo real positivo. \(\blacksquare\)

Sem partes real e imaginária: pela diferença de quadrados, \(z=\left[(w+\overline{w})-(w-\overline{w})\right]\left[(w+\overline{w})+(w-\overline{w})\right]=2\overline{w}\times 2w=4|w|^{2}\).

23. Uma identidade com módulos e partes reais

23

Mostre que, para quaisquer números complexos \(z\) e \(w\):

\[ |z+w|^{2}-\left|z-\overline{w}\right|^{2}=4\Re(z)\Re(w) \]
Passo 1 — escrever os módulos como produtos

Usa-se \(|u|^{2}=u\,\overline{u}\) e as propriedades do conjugado:

\[ |z+w|^{2}=(z+w)\left(\overline{z}+\overline{w}\right)=z\overline{z}+z\overline{w}+w\overline{z}+w\overline{w} \]
\[ \left|z-\overline{w}\right|^{2}=\left(z-\overline{w}\right)\left(\overline{z}-w\right)=z\overline{z}-zw-\overline{w}\,\overline{z}+\overline{w}w \]
Passo 2 — subtrair
\[ |z+w|^{2}-\left|z-\overline{w}\right|^{2}=z\overline{w}+w\overline{z}+zw+\overline{z}\,\overline{w}=z\left(\overline{w}+w\right)+\overline{z}\left(w+\overline{w}\right)=\left(z+\overline{z}\right)\left(w+\overline{w}\right) \]
Passo 3 — partes reais
\[ \left(z+\overline{z}\right)\left(w+\overline{w}\right)=2\Re(z)\times 2\Re(w)=4\Re(z)\Re(w)\ \ \blacksquare \]

24. Produto de somas de dois quadrados

24

Considere os números naturais \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\), com \(ac-bd\ne 0\).

  1. 24.1. Determine números naturais \(\alpha\) e \(\beta\) tais que \(\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\alpha^{2}+\beta^{2}\).
    Sugestão: utilize a igualdade \(|zz'|=|z|\,|z'|\), válida para quaisquer números complexos \(z\) e \(z'\).
  2. 24.2. Utilize o resultado da alínea anterior e as igualdades \(90=81+9\) e \(68=64+4\) para escrever o número \(6120\) como soma de dois quadrados.
24.1. — escolher \(z\) e \(z'\)

Sejam \(z=a+bi\) e \(z'=c+di\). Então \(|z|^{2}=a^{2}+b^{2}\) e \(|z'|^{2}=c^{2}+d^{2}\), e

\[ zz'=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i \]

Elevando ao quadrado a igualdade \(|zz'|=|z|\,|z'|\):

\[ (ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right) \]

Como \(ac-bd\ne 0\), \(|ac-bd|\) é um número natural; \(ad+bc\) também é natural.

Por exemplo, \(\alpha=|ac-bd|\) e \(\beta=ad+bc\).
24.2.

\(6120=90\times 68=\left(9^{2}+3^{2}\right)\left(8^{2}+2^{2}\right)\). Com \(a=9\), \(b=3\), \(c=8\), \(d=2\):

\[ \alpha=|9\times 8-3\times 2|=66\qquad \beta=9\times 2+3\times 8=42 \]

Verificação: \(66^{2}+42^{2}=4356+1764=6120\). \(\checkmark\)

\(6120=66^{2}+42^{2}\)