Forma trigonométrica de um número complexo

Matemática A - 12.º ano - Novo Programa 2026 - matematicaparatodos.pt

📌 Resumo teórico

Módulo e argumento

Seja \(z\ne 0\) com afixo \(P\). Um argumento de \(z\) é a amplitude \(\theta\) de um ângulo orientado com lado origem no semieixo real positivo e lado extremidade \(\dot{O}P\). Se \(\theta\) é um argumento, os outros são \(\theta+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).

O número \(0\) tem módulo \(0\) e não tem argumento.

Forma trigonométrica

\(z=\rho\,e^{i\theta}=\rho\left(\cos\theta+i\sen\theta\right)\),   com \(\rho=|z|\gt 0\) e \(\theta\) um argumento de \(z\)

De algébrica para trigonométricaDe trigonométrica para algébrica
\(\rho=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\); o ângulo de referência \(\alpha\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]\) tem \(\tg\alpha=\left|\dfrac{b}{a}\right|\); depois escolhe-se \(\theta\) no quadrante do afixo\(a=\rho\cos\theta\)   e   \(b=\rho\sen\theta\)
Quadrante do afixo1.º2.º3.º4.º
\(\Arg(z)\)\(\alpha\)\(\pi-\alpha\)\(-\pi+\alpha\)\(-\alpha\)

Sobre os eixos: \(\rho=\rho\,e^{i0}\), \(\ -\rho=\rho\,e^{i\pi}\), \(\ \rho i=\rho\,e^{i\frac{\pi}{2}}\), \(\ -\rho i=\rho\,e^{-i\frac{\pi}{2}}\) (com \(\rho\gt 0\)).

Equação de Euler: \(e^{i\pi}+1=0\) — junta os números \(0\), \(1\), \(\pi\), \(e\) e \(i\).

Igualdade, conjugado e simétrico

\(\rho_1e^{i\theta_1}=\rho_2e^{i\theta_2}\iff\rho_1=\rho_2\ \wedge\ \theta_1-\theta_2=2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)

NúmeroForma trigonométricaAfixo (em relação ao de \(z\))
\(z\)\(\rho\,e^{i\theta}\)—
\(\overline{z}\)\(\rho\,e^{-i\theta}\)simétrico em relação ao eixo real
\(-z\)\(\rho\,e^{i(\theta+\pi)}\)simétrico em relação à origem
\(-\overline{z}\)\(\rho\,e^{i(\pi-\theta)}\)simétrico em relação ao eixo imaginário

Um número é unitário quando \(|z|=1\), isto é, quando \(z=e^{i\theta}\); o seu afixo está na circunferência de centro \(O\) e raio \(1\).

Nota (Aprendizagens Essenciais, janeiro de 2023): as AE usam a notação \(\rho\,e^{i\theta}\), com \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sen\theta\), e pedem que se compare números complexos cujas imagens geométricas estão em posições simétricas em relação ao eixo real, ao eixo imaginário ou à origem.

1. Complexos unitários

1

Considere os números complexos \(z_1=\dfrac{5}{13}+\dfrac{12}{13}i\) e \(z_2=\sen\dfrac{\pi}{7}+i\cos\dfrac{\pi}{7}\).

Verifique que \(z_1\) e \(z_2\) são complexos unitários.

\[ |z_1|=\sqrt{\left(\frac{5}{13}\right)^{2}+\left(\frac{12}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25+144}{169}}=\sqrt{\frac{169}{169}}=1 \]
\[ |z_2|=\sqrt{\sen^{2}\frac{\pi}{7}+\cos^{2}\frac{\pi}{7}}=\sqrt{1}=1 \]

(fórmula fundamental da trigonometria). Os dois números têm módulo \(1\). \(\blacksquare\)

Um passo mais: como \(\sen\dfrac{\pi}{7}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{7}\right)\) e \(\cos\dfrac{\pi}{7}=\sen\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{7}\right)\), tem-se \(z_2=e^{i\frac{5\pi}{14}}\). Atenção: \(\dfrac{\pi}{7}\) não é um argumento de \(z_2\), porque o seno está na parte real.

2. Unitários e os seus argumentos

2

Considere os números complexos

\[ z_1=\frac{1+i}{\sqrt{2}}\qquad z_2=2\cos\frac{7\pi}{12}\left(\cos\frac{7\pi}{12}+i\sen\frac{7\pi}{12}\right)-1\qquad z_3=\frac{1-\sqrt{3}\,i}{2} \]

Mostre que:

  1. 2.1. \(z_1\) é um complexo unitário e indique três argumentos de \(z_1\);
  2. 2.2. \(z_2\) é um complexo unitário e indique o argumento principal de \(z_2\);
  3. 2.3. \(z_3\) é um complexo unitário e determine o argumento principal de \(z_3\).
2.1.
\[ z_1=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\qquad |z_1|=\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{2}{4}}=1 \]

\(\cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) e \(\sen\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), logo \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\) é um argumento; os outros obtêm-se somando múltiplos de \(2\pi\).

\(|z_1|=1\); por exemplo \(\dfrac{\pi}{4}\), \(\dfrac{9\pi}{4}\) e \(-\dfrac{7\pi}{4}\).
2.2. — reconhecer fórmulas do ângulo duplo
\[ z_2=\left(2\cos^{2}\frac{7\pi}{12}-1\right)+i\left(2\sen\frac{7\pi}{12}\cos\frac{7\pi}{12}\right)=\cos\frac{7\pi}{6}+i\sen\frac{7\pi}{6} \]

usando \(\cos(2x)=2\cos^{2}x-1\) e \(\sen(2x)=2\sen x\cos x\), com \(x=\dfrac{7\pi}{12}\). Logo \(z_2=e^{i\frac{7\pi}{6}}\) e \(|z_2|=1\).

\(\dfrac{7\pi}{6}\notin\left]-\pi,\,\pi\right]\); subtraindo \(2\pi\): \(\dfrac{7\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{5\pi}{6}\).

\(|z_2|=1\) e \(\Arg(z_2)=-\dfrac{5\pi}{6}\)
2.3.
\[ z_3=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\qquad |z_3|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1 \]

\(\cos\theta=\dfrac{1}{2}\) e \(\sen\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\): o afixo está no 4.º quadrante e o ângulo de referência é \(\dfrac{\pi}{3}\).

\(|z_3|=1\) e \(\Arg(z_3)=-\dfrac{\pi}{3}\)

3. Escolha múltipla: argumentos e igualdade

3

Em cada alínea, selecione a opção correta.

  1. 3.1. Qual das expressões seguintes representa um número real?
    • (A) \(e^{i\frac{\pi}{3}}\)
    • (B) \(3e^{i\frac{\pi}{3}}\)
    • (C) \(e^{i\frac{\pi}{2}}\)
    • (D) \(e^{i\pi}\)
  2. 3.2. Qual das expressões seguintes representa um número imaginário puro?
    • (A) \(e^{i\frac{\pi}{3}}\)
    • (B) \(3e^{i\frac{\pi}{3}}\)
    • (C) \(e^{i\frac{\pi}{2}}\)
    • (D) \(e^{i\pi}\)
  3. 3.3. Seja \(z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\). Qual é o argumento principal de \(z\)?
    • (A) \(\dfrac{\pi}{4}\)
    • (B) \(-\dfrac{\pi}{4}\)
    • (C) \(\dfrac{7\pi}{4}\)
    • (D) \(-\dfrac{7\pi}{4}\)
  4. 3.4. Considere o número complexo \(w=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sen\dfrac{\pi}{3}\right)\). Qual das opções apresenta um número complexo igual a \(w\)?
    • (A) \(-2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sen\dfrac{\pi}{3}\right)\)
    • (B) \(-2\left(\sen\dfrac{\pi}{3}+i\cos\dfrac{\pi}{3}\right)\)
    • (C) \(3\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sen\dfrac{\pi}{3}\right)\)
    • (D) \(2\left(\cos\dfrac{7\pi}{3}+i\sen\dfrac{7\pi}{3}\right)\)
3.1. e 3.2.

\(e^{i\pi}=\cos\pi+i\sen\pi=-1\) é real. \(e^{i\frac{\pi}{2}}=\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sen\dfrac{\pi}{2}=i\) é imaginário puro. As opções (A) e (B) têm afixo no 1.º quadrante, fora dos eixos.

3.1. Opção (D)    3.2. Opção (C)
3.3.

O afixo está no 4.º quadrante e \(\tg\alpha=1\), logo \(\alpha=\dfrac{\pi}{4}\) e \(\Arg(z)=-\dfrac{\pi}{4}\). Também \(\dfrac{7\pi}{4}\) é um argumento de \(z\), mas não pertence a \(\left]-\pi,\,\pi\right]\).

Opção (B)
3.4.

Dois complexos na forma trigonométrica são iguais quando têm o mesmo módulo e os argumentos diferem num múltiplo de \(2\pi\). Em (D), \(\dfrac{7\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}=2\pi\). Em (A) e (B), o fator \(-2\) não é um módulo (os números valem \(-1-\sqrt{3}\,i\) e \(-\sqrt{3}-i\)); em (C) o módulo é \(3\).

Opção (D)

4. Forma trigonométrica: afixos sobre os eixos

4

Escreva na forma trigonométrica os números complexos seguintes.

  1. 4.1. \(z=4i\)
  2. 4.2. \(z=-3\)
  3. 4.3. \(z=-\dfrac{1}{2}i\)
  4. 4.4. \(z=-100\)
  5. 4.5. \(z=3i^{5}\)
  6. 4.6. \(z=\dfrac{2}{i}\)
  7. 4.7. \(z=|1+i|\times i\)

Quando o afixo está num semieixo, o módulo é a distância à origem e o argumento lê-se diretamente: \(0\) (real positivo), \(\pi\) (real negativo), \(\dfrac{\pi}{2}\) (imaginário positivo) ou \(-\dfrac{\pi}{2}\) (imaginário negativo).

  • 4.1. \(4i\): semieixo imaginário positivo \(\Rightarrow 4e^{i\frac{\pi}{2}}\)
  • 4.2. \(-3\): semieixo real negativo \(\Rightarrow 3e^{i\pi}\)
  • 4.3. \(-\dfrac{1}{2}i\): semieixo imaginário negativo \(\Rightarrow \dfrac{1}{2}e^{-i\frac{\pi}{2}}\)
  • 4.4. \(-100\) \(\Rightarrow 100e^{i\pi}\)
  • 4.5. \(i^{5}=i\), logo \(3i^{5}=3i\) \(\Rightarrow 3e^{i\frac{\pi}{2}}\)
  • 4.6. \(\dfrac{2}{i}=2\times(-i)=-2i\) \(\Rightarrow 2e^{-i\frac{\pi}{2}}\)
  • 4.7. \(|1+i|=\sqrt{2}\), logo \(z=\sqrt{2}\,i\) \(\Rightarrow \sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{2}}\)

Repare, em 4.2 e 4.4, que o módulo é \(3\) e \(100\) (e não \(-3\) e \(-100\)): o sinal "fica" no argumento \(\pi\).

5. Forma trigonométrica: afixos nos quadrantes

5

Escreva na forma trigonométrica os números complexos seguintes.

  1. 5.1. \(z=1-i\)
  2. 5.2. \(z=\sqrt{3}-i\)
  3. 5.3. \(z=-2+2\sqrt{3}\,i\)
  4. 5.4. \(z=-4-4i\)
  5. 5.5. \(z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
  6. 5.6. \(z=2\sqrt{3}-2i\)
  7. 5.7. \(z=-1+\sqrt{3}\,i\)
  8. 5.8. \(z=-2-2i\)
  9. 5.9. \(z=3+\sqrt{3}\,i\)
  10. 5.10. \(z=\dfrac{\sqrt{3}\,i-1}{4}\)

Para cada número: módulo, quadrante do afixo, ângulo de referência \(\alpha\) (com \(\tg\alpha=\left|\dfrac{b}{a}\right|\)) e argumento principal pela tabela do resumo.

\(z\)\(|z|\)quadr.\(\tg\alpha\)\(\alpha\)\(\Arg(z)\)forma trig.
5.1.\(1-i\)\(\sqrt{2}\)4.º\(1\)\(\frac{\pi}{4}\)\(-\frac{\pi}{4}\)\(\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}\)
5.2.\(\sqrt{3}-i\)\(2\)4.º\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)\(\frac{\pi}{6}\)\(-\frac{\pi}{6}\)\(2e^{-i\frac{\pi}{6}}\)
5.3.\(-2+2\sqrt{3}\,i\)\(4\)2.º\(\sqrt{3}\)\(\frac{\pi}{3}\)\(\frac{2\pi}{3}\)\(4e^{i\frac{2\pi}{3}}\)
5.4.\(-4-4i\)\(4\sqrt{2}\)3.º\(1\)\(\frac{\pi}{4}\)\(-\frac{3\pi}{4}\)\(4\sqrt{2}\,e^{-i\frac{3\pi}{4}}\)
5.5.\(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)\(1\)4.º\(\sqrt{3}\)\(\frac{\pi}{3}\)\(-\frac{\pi}{3}\)\(e^{-i\frac{\pi}{3}}\)
5.6.\(2\sqrt{3}-2i\)\(4\)4.º\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)\(\frac{\pi}{6}\)\(-\frac{\pi}{6}\)\(4e^{-i\frac{\pi}{6}}\)
5.7.\(-1+\sqrt{3}\,i\)\(2\)2.º\(\sqrt{3}\)\(\frac{\pi}{3}\)\(\frac{2\pi}{3}\)\(2e^{i\frac{2\pi}{3}}\)
5.8.\(-2-2i\)\(2\sqrt{2}\)3.º\(1\)\(\frac{\pi}{4}\)\(-\frac{3\pi}{4}\)\(2\sqrt{2}\,e^{-i\frac{3\pi}{4}}\)
5.9.\(3+\sqrt{3}\,i\)\(2\sqrt{3}\)1.º\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)\(\frac{\pi}{6}\)\(\frac{\pi}{6}\)\(2\sqrt{3}\,e^{i\frac{\pi}{6}}\)
5.10.\(-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i\)\(\frac{1}{2}\)2.º\(\sqrt{3}\)\(\frac{\pi}{3}\)\(\frac{2\pi}{3}\)\(\frac{1}{2}e^{i\frac{2\pi}{3}}\)
Exemplo detalhado — 5.4.
\[ |z|=\sqrt{(-4)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\qquad \tg\alpha=\left|\frac{-4}{-4}\right|=1\ \Rightarrow\ \alpha=\frac{\pi}{4} \]

O afixo \((-4,\,-4)\) está no 3.º quadrante, logo \(\Arg(z)=-\pi+\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{3\pi}{4}\).

Exemplo detalhado — 5.9.
\[ |z|=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\qquad \tg\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\ \Rightarrow\ \alpha=\frac{\pi}{6} \]

1.º quadrante, logo \(\Arg(z)=\dfrac{\pi}{6}\).

6. Simplificar e escrever na forma trigonométrica

6

Escreva na forma trigonométrica os números complexos seguintes.

  1. 6.1. \(z=\dfrac{(3+i)^{2}-4+2i}{2-i}\)
  2. 6.2. \(z=2i\,(1+i)^{-3}\)
  3. 6.3. \(z=2+\left(1+i^{43}\right)^{2}\)
  4. 6.4. \(z=i+\dfrac{3i+1-\sqrt{3}}{i}\)
6.1.
\[ (3+i)^{2}-4+2i=8+6i-4+2i=4+8i\qquad \frac{4+8i}{2-i}=\frac{(4+8i)(2+i)}{5}=\frac{8+4i+16i-8}{5}=4i \]
\(z=4e^{i\frac{\pi}{2}}\)
6.2.
\[ (1+i)^{3}=2i(1+i)=-2+2i\qquad z=\frac{2i}{-2+2i}=\frac{i}{-1+i}=\frac{i(-1-i)}{2}=\frac{1-i}{2} \]

\(|z|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\); 4.º quadrante com \(\alpha=\dfrac{\pi}{4}\).

\(z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\)
6.3.
\[ i^{43}=i^{3}=-i\qquad (1-i)^{2}=-2i\qquad z=2-2i \]

\(|z|=2\sqrt{2}\); 4.º quadrante com \(\alpha=\dfrac{\pi}{4}\).

\(z=2\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}\)
6.4.
\[ \frac{3i+1-\sqrt{3}}{i}=\left(3i+1-\sqrt{3}\right)(-i)=3-i+\sqrt{3}\,i\qquad z=i+3-i+\sqrt{3}\,i=3+\sqrt{3}\,i \]

\(|z|=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\); 1.º quadrante com \(\tg\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).

\(z=2\sqrt{3}\,e^{i\frac{\pi}{6}}\)

7. Módulo e argumento de expressões

7

Determine o módulo e um argumento dos seguintes números complexos.

  1. 7.1. \((1+2i)^{3}+13\)
  2. 7.2. \(2-2\sqrt{3}\,i^{21}+\dfrac{1}{2}\left(8e^{-i\frac{5\pi}{3}}\right)\)
  3. 7.3. \(\dfrac{\left(1-\sqrt{3}\,i\right)+\left(i-\sqrt{3}\right)}{\sqrt{2}-\sqrt{6}}\)
  4. 7.4. \(\dfrac{4i^{120}}{-1+i^{3}\sqrt{3}}\)
7.1.
\[ (1+2i)^{2}=-3+4i\qquad (1+2i)^{3}=(1+2i)(-3+4i)=-11-2i\qquad -11-2i+13=2-2i \]
Módulo \(2\sqrt{2}\); um argumento: \(-\dfrac{\pi}{4}\)
7.2.

\(i^{21}=i\), logo \(2-2\sqrt{3}\,i^{21}=2-2\sqrt{3}\,i\). Como \(-\dfrac{5\pi}{3}+2\pi=\dfrac{\pi}{3}\):

\[ \frac{1}{2}\times 8e^{-i\frac{5\pi}{3}}=4e^{i\frac{\pi}{3}}=4\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=2+2\sqrt{3}\,i \]
\[ 2-2\sqrt{3}\,i+2+2\sqrt{3}\,i=4 \]
Módulo \(4\); um argumento: \(0\)
7.3. — pôr em evidência
\[ \frac{\left(1-\sqrt{3}\right)+\left(1-\sqrt{3}\right)i}{\sqrt{2}\left(1-\sqrt{3}\right)}=\frac{\left(1-\sqrt{3}\right)(1+i)}{\sqrt{2}\left(1-\sqrt{3}\right)}=\frac{1+i}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i \]
Módulo \(1\); um argumento: \(\dfrac{\pi}{4}\)
7.4.

\(i^{120}=1\) e \(i^{3}=-i\):

\[ \frac{4}{-1-\sqrt{3}\,i}=\frac{4\left(-1+\sqrt{3}\,i\right)}{1+3}=-1+\sqrt{3}\,i \]

\(|-1+\sqrt{3}\,i|=2\); 2.º quadrante com \(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\).

Módulo \(2\); um argumento: \(\dfrac{2\pi}{3}\)

8. Da forma trigonométrica para a forma algébrica

8

Escreva na forma algébrica os números complexos seguintes.

  1. 8.1. \(z=12e^{i\frac{\pi}{4}}\)
  2. 8.2. \(z=e^{i\frac{17\pi}{3}}\)
  3. 8.3. \(z=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{2}}\)
  4. 8.4. \(z=2e^{-i\frac{19\pi}{3}}\)
  5. 8.5. \(z=2\sqrt{3}\,e^{i\frac{13\pi}{6}}\)
  6. 8.6. \(z=\sqrt{2}\,e^{-i\frac{21\pi}{4}}\)

Primeiro reduz-se o argumento a \(\left]-\pi,\,\pi\right]\) somando ou subtraindo múltiplos de \(2\pi\); depois usa-se \(a=\rho\cos\theta\) e \(b=\rho\sen\theta\).

8.1.
\[ 12\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sen\frac{\pi}{4}\right)=12\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=6\sqrt{2}+6\sqrt{2}\,i \]
8.2.

\(\dfrac{17\pi}{3}=6\pi-\dfrac{\pi}{3}\), logo \(z=e^{-i\frac{\pi}{3}}\):

\[ z=\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sen\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \]
8.3.
\[ \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sen\frac{\pi}{2}\right)=\sqrt{2}\,i \]
8.4.

\(-\dfrac{19\pi}{3}=-6\pi-\dfrac{\pi}{3}\), logo \(z=2e^{-i\frac{\pi}{3}}=2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1-\sqrt{3}\,i\).

8.5.

\(\dfrac{13\pi}{6}=2\pi+\dfrac{\pi}{6}\), logo \(z=2\sqrt{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)=3+\sqrt{3}\,i\).

8.6.

\(-\dfrac{21\pi}{4}=-6\pi+\dfrac{3\pi}{4}\), logo \(z=\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\right)=-1+i\).

8.1. \(6\sqrt{2}+6\sqrt{2}\,i\)   8.2. \(\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i\)   8.3. \(\sqrt{2}\,i\)   8.4. \(1-\sqrt{3}\,i\)   8.5. \(3+\sqrt{3}\,i\)   8.6. \(-1+i\)

9. Igualdade na forma trigonométrica

9
  1. 9.1. Mostre que \(z_1=z_2\), sendo \(z_1=2e^{i\frac{10\pi}{3}}\) e \(z_2=2e^{-i\frac{2\pi}{3}}\).
  2. 9.2. Verifique se são iguais os números complexos \(z_1=3e^{i\frac{29\pi}{3}}\) e \(z_2=3e^{i\frac{8\pi}{3}}\).
9.1.

Os módulos são iguais (\(2\)). A diferença dos argumentos é

\[ \frac{10\pi}{3}-\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{12\pi}{3}=4\pi=2\times 2\pi \]

um múltiplo de \(2\pi\). Logo \(z_1=z_2\). \(\blacksquare\)

9.2.

Os módulos são iguais (\(3\)), mas

\[ \frac{29\pi}{3}-\frac{8\pi}{3}=\frac{21\pi}{3}=7\pi \]

não é múltiplo de \(2\pi\) (é um múltiplo ímpar de \(\pi\)).

\(z_1\ne z_2\). Na verdade \(z_1=3e^{-i\frac{\pi}{3}}\) e \(z_2=3e^{i\frac{2\pi}{3}}\) são simétricos: \(z_1=-z_2\).

10. Simétrico e conjugado na forma trigonométrica

10

Escreva na forma trigonométrica o simétrico e o conjugado dos números complexos

\[ z_1=2e^{-i\frac{\pi}{6}}\qquad\text{e}\qquad z_2=3e^{i\frac{2\pi}{3}} \]

O conjugado troca o sinal do argumento; o simétrico soma \(\pi\) ao argumento (ou subtrai, para ficar em \(\left]-\pi,\pi\right]\)). O módulo não muda.

\[ -z_1=2e^{i\left(-\frac{\pi}{6}+\pi\right)}=2e^{i\frac{5\pi}{6}}\qquad \overline{z_1}=2e^{i\frac{\pi}{6}} \]
\[ -z_2=3e^{i\left(\frac{2\pi}{3}-\pi\right)}=3e^{-i\frac{\pi}{3}}\qquad \overline{z_2}=3e^{-i\frac{2\pi}{3}} \]
\(-z_1=2e^{i\frac{5\pi}{6}}\), \(\overline{z_1}=2e^{i\frac{\pi}{6}}\);   \(-z_2=3e^{-i\frac{\pi}{3}}\), \(\overline{z_2}=3e^{-i\frac{2\pi}{3}}\)

11. Escolha múltipla: conjugado e simétrico

11

Seja \(z=2e^{i\frac{\pi}{3}}\).

  1. 11.1. O conjugado de \(z\) é:
    • (A) \(-2e^{i\frac{\pi}{3}}\)
    • (B) \(2-e^{i\frac{\pi}{3}}\)
    • (C) \(2e^{i\left(-\frac{\pi}{3}\right)}\)
    • (D) \(2e^{i\frac{4\pi}{3}}\)
  2. 11.2. O simétrico de \(z\) é:
    • (A) \(-2e^{i\frac{\pi}{3}}\)
    • (B) \(2-e^{i\frac{\pi}{3}}\)
    • (C) \(2e^{i\left(-\frac{\pi}{3}\right)}\)
    • (D) \(2e^{i\frac{4\pi}{3}}\)

\(\overline{z}=2e^{-i\frac{\pi}{3}}\) e \(-z=2e^{i\left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)}=2e^{i\frac{4\pi}{3}}\).

Na opção (A), \(-2e^{i\frac{\pi}{3}}\) é de facto igual a \(-z\), mas não está escrito na forma trigonométrica (\(-2\) não é um módulo); entre as opções, a forma trigonométrica do simétrico é a (D).

11.1. Opção (C)    11.2. Opção (D)

12. Vértices de um retângulo centrado na origem

12

Na figura está representado, num referencial o.n., o retângulo \([ABCD]\), de lados paralelos aos eixos, cujo centro é a origem do referencial.

Retângulo ABCD centrado na origem, com A no 1.º quadrante, B no 2.º, C no 3.º e D no 4.º quadrante

Seja \(z\) o número complexo cujo afixo é o ponto \(A\). Admita que o módulo de \(z\) é \(\rho\) e que um argumento de \(z\) é \(\theta\).

Escreva, em função de \(\rho\) e de \(\theta\), na forma trigonométrica, os números complexos cujos afixos são os restantes vértices do retângulo.

O retângulo tem lados paralelos aos eixos e centro em \(O\), logo os vértices são simétricos uns dos outros em relação aos eixos e à origem.

Vértice \(D\) — reflexão de eixo real
\[ \overline{z}=\rho\,e^{-i\theta} \]
Vértice \(C\) — reflexão central de centro \(O\)
\[ -z=\rho\,e^{i(\theta+\pi)} \]
Vértice \(B\) — reflexão de eixo imaginário
\[ -\overline{z}=\rho\,e^{i(\pi-\theta)} \]
\(B\to\rho\,e^{i(\pi-\theta)}\),   \(C\to\rho\,e^{i(\theta+\pi)}\),   \(D\to\rho\,e^{-i\theta}\)