Números complexos na forma algébrica

Matemática A - 12.º ano - Novo Programa 2026 - matematicaparatodos.pt

📌 Resumo teórico

Unidade imaginária e o conjunto \(\mathbb{C}\)

\(i\) é o número tal que \(i^{2}=-1\).   \(\mathbb{C}=\left\{a+bi:\ a,b\in\mathbb{R}\right\}\)

Todo o número real \(a\) é o complexo \(a+0i\), logo \(\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\). Em \(\mathbb{C}\) não há relação de ordem: não faz sentido escrever \(z_1\lt z_2\) para complexos não reais.

Forma algébrica

Para \(z=a+bi\), com \(a,b\in\mathbb{R}\)Significado
\(\Re(z)=a\)parte real
\(\Im(z)=b\)parte imaginária (é um número real: \(\Im(2-3i)=-3\), e não \(-3i\))
\(z\) é real\(\Im(z)=0\)
\(z\) é imaginário puro\(\Re(z)=0\ \wedge\ \Im(z)\ne 0\)

Igualdade: \(a+bi=c+di \iff a=c\ \wedge\ b=d\) — dois complexos são iguais quando coincidem as partes reais e as partes imaginárias.

Potências de \(i\)

\(i^{0}\)\(i^{1}\)\(i^{2}\)\(i^{3}\)\(i^{4}\)
\(1\)\(i\)\(-1\)\(-i\)\(1\)

As potências repetem-se de 4 em 4. Se \(r\) é o resto da divisão de \(n\) por \(4\), então \(i^{n}=i^{r}\). Por exemplo, \(i^{4k}=1\), \(i^{4k+1}=i\), \(i^{4k+2}=-1\), \(i^{4k+3}=-i\).

Conjugado, simétrico e módulo

\(\overline{z}=a-bi\qquad -z=-a-bi\qquad |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\qquad z\,\overline{z}=|z|^{2}\)

Plano de Argand

O afixo (ou imagem geométrica) de \(z=a+bi\) é o ponto \(P(a,b)\). No plano:

Equações do 2.º grau com coeficientes reais

Em \(az^{2}+bz+c=0\), com \(\Delta=b^{2}-4ac\lt 0\), usa-se \(\sqrt{\Delta}=\sqrt{-\Delta}\,i\):

\(z=\dfrac{-b\pm\sqrt{-\Delta}\,i}{2a}\)   — as duas soluções são complexos conjugados.

Equações do 3.º grau com coeficientes reais têm uma, duas ou três soluções em \(\mathbb{C}\); pelo menos uma é real e, se houver soluções não reais, são conjugadas uma da outra. Conhecida uma solução real \(\alpha\), a regra de Ruffini reduz a equação a uma do 2.º grau.

Nota (Aprendizagens Essenciais, janeiro de 2023): as AE sugerem adaptar o programa em Python que resolve equações do 2.º grau de modo a incorporar números complexos. Com o módulo cmath, a raiz quadrada de um número negativo passa a ser um complexo (em Python a unidade imaginária escreve-se j):

import cmath
print('az^2+bz+c=0')
a=float(input('a?'))
b=float(input('b?'))
c=float(input('c?'))
delta=b**2-4*a*c
r=cmath.sqrt(delta)
z1=(-b-r)/(2*a)
z2=(-b+r)/(2*a)
if delta==0:
    print('Solução:',z1)
else:
    print('Duas soluções:',z1,'e',z2)

Para \(z^{2}-2z+5=0\) o programa escreve (1-2j) e (1+2j), isto é, \(1-2i\) e \(1+2i\).

1. Elementos de um número complexo

1

Em cada alínea, selecione a opção correta.

  1. 1.1. Seja \(z=2-3i\). Então:
    • (A) \(|z|=-1\)
    • (B) \(|z|=5\)
    • (C) \(|z|=\sqrt{5}\)
    • (D) \(|z|=\sqrt{13}\)
  2. 1.2. Seja \(z=2-3i\). Então:
    • (A) \(\Re(z)=2\)
    • (B) \(\Re(z)=-3\)
    • (C) \(\Re(z)=-2\)
    • (D) \(\Re(z)=3\)
  3. 1.3. Seja \(z=2-3i\). Então:
    • (A) \(\Im(z)=2\)
    • (B) \(\Im(z)=-3\)
    • (C) \(\Im(z)=-2\)
    • (D) \(\Im(z)=3\)
  4. 1.4. Qual dos seguintes números complexos é um imaginário puro?
    • (A) \(2\)
    • (B) \(2+2i\)
    • (C) \(2i\)
    • (D) \(2-2i\)
  5. 1.5. Seja \(z=x+yi\), com \(x,y\in\mathbb{R}\). Então:
    • (A) \(\overline{z}=x+yi\)
    • (B) \(\overline{z}=-x+yi\)
    • (C) \(\overline{z}=x-yi\)
    • (D) \(\overline{z}=-x-yi\)
  6. 1.6. Seja \(z=x+yi\), com \(x,y\in\mathbb{R}\). Então:
    • (A) \(-z=x+yi\)
    • (B) \(-z=-x+yi\)
    • (C) \(-z=x-yi\)
    • (D) \(-z=-x-yi\)
  7. 1.7. Quais são as coordenadas do afixo de \(-3-2i\) no plano complexo?
    • (A) \((-3,\,-2)\)
    • (B) \((-2,\,-3)\)
    • (C) \((3,\,2)\)
    • (D) \((2,\,3)\)
1.1.
\[ |z|=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13} \]

O módulo nunca é negativo, o que exclui logo a opção (A).

Opção (D)
1.2. e 1.3.

Em \(z=2-3i=2+(-3)i\), a parte real é \(2\) e a parte imaginária é o número real \(-3\) (o coeficiente de \(i\)).

1.2. Opção (A)    1.3. Opção (B)
1.4.

\(2i\) tem \(\Re(2i)=0\) e \(\Im(2i)=2\ne 0\), logo é imaginário puro. \(2\) é real; \(2+2i\) e \(2-2i\) têm parte real não nula.

Opção (C)
1.5. e 1.6.

O conjugado muda o sinal da parte imaginária: \(\overline{z}=x-yi\). O simétrico muda o sinal das duas partes: \(-z=-x-yi\).

1.5. Opção (C)    1.6. Opção (D)
1.7.

O afixo de \(a+bi\) é o ponto \((a,\,b)\): parte real na abcissa, parte imaginária na ordenada.

Opção (A)

2. Potências de \(i\)

2

Em cada alínea, selecione a opção correta.

  1. 2.1. \(i^{4}\) é igual a:
    • (A) \(1\)
    • (B) \(-1\)
    • (C) \(i\)
    • (D) \(-i\)
  2. 2.2. \(i^{41}\) é igual a:
    • (A) \(1\)
    • (B) \(-1\)
    • (C) \(i\)
    • (D) \(-i\)
  3. 2.3. \(i^{4n+2}\), com \(n\in\mathbb{N}\), é igual a:
    • (A) \(1\)
    • (B) \(-1\)
    • (C) \(i\)
    • (D) \(-i\)
  4. 2.4. Na figura estão representadas, no plano de Argand, as imagens geométricas de quatro números complexos \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\) e \(z_4\), situadas sobre os eixos.
    Plano de Argand com z1 no semieixo real positivo, z2 no semieixo imaginário positivo, z3 no semieixo real negativo e z4 no semieixo imaginário negativo

    Qual destes números complexos pode ser igual a \(i^{4n}+i^{4n+1}+i^{4n+2}\), com \(n\in\mathbb{N}\)?

    • (A) \(z_1\)
    • (B) \(z_2\)
    • (C) \(z_3\)
    • (D) \(z_4\)
2.1.
\[ i^{4}=\left(i^{2}\right)^{2}=(-1)^{2}=1 \]
Opção (A)
2.2.

Divide-se o expoente por \(4\): \(41=4\times 10+1\), resto \(1\).

\[ i^{41}=\left(i^{4}\right)^{10}\times i^{1}=1\times i=i \]
Opção (C)
2.3.
\[ i^{4n+2}=\left(i^{4}\right)^{n}\times i^{2}=1^{n}\times(-1)=-1 \]
Opção (B)
2.4.
\[ i^{4n}+i^{4n+1}+i^{4n+2}=1+i+(-1)=i \]

O afixo de \(i\) é o ponto \((0,\,1)\), no semieixo imaginário positivo — onde está \(z_2\).

Opção (B)

3. Parte real e parte imaginária conhecidas

3

Considere o número complexo

\[ z=(x-2y)+(2x-y)\,i\ ,\quad x,y\in\mathbb{R} \]

Determine os valores de \(x\) e de \(y\) sabendo que \(\Re(z)=-5\ \wedge\ \Im(z)=-4\).

Passo 1 — identificar as partes

Como \(x\) e \(y\) são reais, \(\Re(z)=x-2y\) e \(\Im(z)=2x-y\).

Passo 2 — resolver o sistema
\[ \begin{cases} x-2y=-5\\ 2x-y=-4 \end{cases} \iff \begin{cases} x-2(2x+4)=-5\\ y=2x+4 \end{cases} \iff \begin{cases} -3x=3\\ y=2x+4 \end{cases} \iff \begin{cases} x=-1\\ y=2 \end{cases} \]

Verificação: \(z=(-1-4)+(-2-2)i=-5-4i\). \(\checkmark\)

\(x=-1\ \wedge\ y=2\)

4. Número real ou imaginário puro

4

Indique os valores de \(x\in\mathbb{R}\) de modo que o número complexo \(x+2+(2x-6)\,i\) seja:

  1. 4.1. um número real;
  2. 4.2. um imaginário puro.

A parte real é \(x+2\) e a parte imaginária é \(2x-6\).

4.1. — real
\[ \Im(z)=0\iff 2x-6=0\iff x=3 \]
\(x=3\)  (o número é \(5\))
4.2. — imaginário puro
\[ \Re(z)=0\ \wedge\ \Im(z)\ne 0\iff x+2=0\ \wedge\ 2x-6\ne 0\iff x=-2\ \wedge\ x\ne 3\iff x=-2 \]
\(x=-2\)  (o número é \(-10i\))

5. Valores de \(k\) para um número real ou imaginário puro

5

Determine o(s) valor(es) de \(k\in\mathbb{R}\) para os quais:

  1. 5.1. \(z=-3k+2i\) é imaginário puro;
  2. 5.2. \(z=(k-3)+\left(k^{2}-9\right)i\) é imaginário puro;
  3. 5.3. \(z=\left(k^{2}-k\right)+ki\) é imaginário puro;
  4. 5.4. \(z=2ki-3+k^{2}i+k\) é um número real;
  5. 5.5. \(z=\sen k+i\cos k\) é um número real negativo;
  6. 5.6. \(z=\sen k+i\left(2\cos^{2}k-2\sen^{2}k-1\right)\) é um número real.
5.1.
\[ \Re(z)=0\ \wedge\ \Im(z)\ne 0\iff -3k=0\ \wedge\ 2\ne 0\iff k=0 \]
\(k=0\)
5.2.
\[ k-3=0\ \wedge\ k^{2}-9\ne 0\iff k=3\ \wedge\ k\ne\pm 3 \]

As duas condições são incompatíveis: para \(k=3\) obtém-se \(z=0\), que é real.

Não existe \(k\): \(z\) nunca é imaginário puro.
5.3.
\[ k^{2}-k=0\ \wedge\ k\ne 0\iff k(k-1)=0\ \wedge\ k\ne 0\iff k=1 \]
\(k=1\)
5.4.

Agrupando: \(z=(k-3)+\left(k^{2}+2k\right)i\).

\[ \Im(z)=0\iff k^{2}+2k=0\iff k(k+2)=0\iff k=0\ \vee\ k=-2 \]
\(k=0\ \vee\ k=-2\)
5.5.

\(z\) é real negativo quando \(\Im(z)=0\) e \(\Re(z)\lt 0\), isto é, \(\cos k=0\ \wedge\ \sen k\lt 0\).

\(\cos k=0\iff k=\dfrac{\pi}{2}+n\pi\), \(n\in\mathbb{Z}\). Nestes ângulos \(\sen k=1\) ou \(\sen k=-1\); o seno é negativo apenas em \(k=-\dfrac{\pi}{2}+2n\pi\).

\(k=-\dfrac{\pi}{2}+2n\pi,\ n\in\mathbb{Z}\)
5.6.

Pela fórmula \(\cos(2k)=\cos^{2}k-\sen^{2}k\), a parte imaginária é \(2\cos(2k)-1\).

\[ 2\cos(2k)-1=0\iff\cos(2k)=\frac{1}{2}\iff 2k=\pm\frac{\pi}{3}+2n\pi\iff k=\pm\frac{\pi}{6}+n\pi,\ n\in\mathbb{Z} \]
\(k=\dfrac{\pi}{6}+n\pi\ \vee\ k=-\dfrac{\pi}{6}+n\pi,\ n\in\mathbb{Z}\)

6. Igualdade de números complexos

6

Determine os valores reais \(a\) e \(b\) de modo que:

  1. 6.1. \((1-2a)-bi+3i=4-2i\)
  2. 6.2. \(ai-4+3i+2b=-i\)
  3. 6.3. \(\Re(-a+2i-3)=\Im\left[(9+a)i+4b\right]\)
  4. 6.4. \(a^{2}i-2a+b=(b-3+a)-i+a^{2}i-2bi\)

Em cada caso escreve-se cada membro na forma \(\text{(real)}+\text{(real)}\,i\) e igualam-se as partes reais e as partes imaginárias.

6.1.
\[ (1-2a)+(3-b)i=4-2i\iff\begin{cases}1-2a=4\\3-b=-2\end{cases}\iff\begin{cases}a=-\dfrac{3}{2}\\b=5\end{cases} \]
\(a=-\dfrac{3}{2}\ \wedge\ b=5\)
6.2.
\[ (2b-4)+(a+3)i=0-i\iff\begin{cases}2b-4=0\\a+3=-1\end{cases}\iff\begin{cases}b=2\\a=-4\end{cases} \]
\(a=-4\ \wedge\ b=2\)
6.3.

\(\Re(-a-3+2i)=-a-3\) e \(\Im\left(4b+(9+a)i\right)=9+a\).

\[ -a-3=9+a\iff -2a=12\iff a=-6 \]

O \(b\) não aparece na condição: pode ser qualquer número real.

\(a=-6\) e \(b\in\mathbb{R}\)
6.4.

1.º membro: \((-2a+b)+a^{2}i\). 2.º membro: \((b-3+a)+\left(a^{2}-1-2b\right)i\).

\[ \begin{cases}-2a+b=b-3+a\\a^{2}=a^{2}-1-2b\end{cases}\iff\begin{cases}-3a=-3\\2b=-1\end{cases}\iff\begin{cases}a=1\\b=-\dfrac{1}{2}\end{cases} \]
\(a=1\ \wedge\ b=-\dfrac{1}{2}\)

7. Um parâmetro e três condições

7

Considere o número complexo \(z=(1-ai)^{2}+(a+1)\,i^{5}\), com \(a\in\mathbb{R}\). Determine o valor de \(a\) de modo que:

  1. 7.1. \(z\) seja um número real;
  2. 7.2. \(z\) seja um imaginário puro;
  3. 7.3. \(z=-3-i\).
Passo 1 — forma algébrica de \(z\)

\(i^{5}=i^{4}\times i=i\) e \((1-ai)^{2}=1-2ai+a^{2}i^{2}=\left(1-a^{2}\right)-2ai\). Então:

\[ z=\left(1-a^{2}\right)-2ai+(a+1)i=\left(1-a^{2}\right)+(1-a)\,i \]
7.1.
\[ \Im(z)=0\iff 1-a=0\iff a=1 \]
\(a=1\)
7.2.
\[ 1-a^{2}=0\ \wedge\ 1-a\ne 0\iff (a=1\ \vee\ a=-1)\ \wedge\ a\ne 1\iff a=-1 \]
\(a=-1\)  (fica \(z=2i\))
7.3.
\[ \begin{cases}1-a^{2}=-3\\1-a=-1\end{cases}\iff\begin{cases}a^{2}=4\\a=2\end{cases}\iff a=2 \]
\(a=2\)

8. Um complexo a partir de \(z-\overline{z}\) e de \(z+\overline{z}\)

8

A diferença entre um número complexo e o seu conjugado é \(4i\) e a soma entre eles é \(10\).

Determine o número complexo na forma algébrica.

Seja \(z=a+bi\), com \(a,b\in\mathbb{R}\). Então \(\overline{z}=a-bi\) e:

\[ z-\overline{z}=2bi\qquad z+\overline{z}=2a \]
\[ \begin{cases}2bi=4i\\2a=10\end{cases}\iff\begin{cases}b=2\\a=5\end{cases} \]
\(z=5+2i\)

9. Módulo de um número complexo

9

Determine \(|z|\) para:

  1. 9.1. \(z=2-i\)
  2. 9.2. \(z=-5\)
  3. 9.3. \(z=\dfrac{1}{2}\,i\)
\[ |2-i|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{5}\qquad |-5|=\sqrt{(-5)^{2}+0^{2}}=5\qquad \left|\tfrac{1}{2}i\right|=\sqrt{0^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=\tfrac{1}{2} \]

Para números reais, o módulo complexo coincide com o valor absoluto; o afixo de \(-5\) está a \(5\) unidades da origem.

9.1. \(\sqrt{5}\)    9.2. \(5\)    9.3. \(\dfrac{1}{2}\)

10. Dois complexos conjugados

10

A soma de dois números complexos conjugados é \(16\) e a soma dos seus módulos é \(20\).

Determine esses números.

Sejam \(z=a+bi\) e \(\overline{z}=a-bi\).

Passo 1 — a soma
\[ z+\overline{z}=2a=16\iff a=8 \]
Passo 2 — os módulos

Um complexo e o seu conjugado têm o mesmo módulo, logo \(|z|+|\overline{z}|=2|z|=20\), ou seja, \(|z|=10\):

\[ \sqrt{8^{2}+b^{2}}=10\iff 64+b^{2}=100\iff b^{2}=36\iff b=6\ \vee\ b=-6 \]

As duas hipóteses dão o mesmo par de números.

\(8+6i\) e \(8-6i\)

11. Triângulo com os afixos de \(z\) e de \(\overline{z}\)

11

Seja \(z=2-3i\).

Determine a área e o perímetro do triângulo \([OAB]\), em que \(O\) é a origem do referencial, \(A\) é o afixo de \(z\) e \(B\) é o afixo de \(\overline{z}\).

Passo 1 — os vértices

\(A(2,\,-3)\) e, como \(\overline{z}=2+3i\), \(B(2,\,3)\). Os pontos \(A\) e \(B\) são simétricos em relação ao eixo real e o lado \([AB]\) é vertical (sobre a reta \(x=2\)).

Passo 2 — área

Base \(\overline{AB}=|z-\overline{z}|=|-6i|=6\); altura relativa a essa base = distância de \(O\) à reta \(x=2\), que é \(2\).

\[ A_{[OAB]}=\frac{6\times 2}{2}=6 \]
Passo 3 — perímetro
\[ \overline{OA}=|z|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}=|\overline{z}|=\overline{OB} \]
\[ P_{[OAB]}=\sqrt{13}+\sqrt{13}+6=2\sqrt{13}+6 \]
Área \(=6\) u.a.   e   perímetro \(=2\sqrt{13}+6\) u.c.

12. Retângulo com os afixos de \(z\), \(\overline{z}\), \(-z\) e \(-\overline{z}\)

12

Seja \(z=a+bi\), com \(a,b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Considere, no plano de Argand, o retângulo cujos vértices são os afixos de \(z\), \(\overline{z}\), \(-z\) e \(-\overline{z}\).

Mostre que a área do retângulo é dada por \(4\,|ab|\).

Passo 1 — os vértices

Os afixos são \((a,\,b)\), \((a,\,-b)\), \((-a,\,-b)\) e \((-a,\,b)\): um retângulo de lados paralelos aos eixos, centrado na origem.

Passo 2 — os lados

Um lado liga os afixos de \(z\) e de \(\overline{z}\); outro liga os afixos de \(z\) e de \(-\overline{z}\):

\[ |z-\overline{z}|=|2bi|=2|b|\qquad\quad |z-(-\overline{z})|=|z+\overline{z}|=|2a|=2|a| \]
Passo 3 — a área
\[ A=2|b|\times 2|a|=4\,|a|\,|b|=4\,|ab| \]
A área do retângulo é \(4\,|ab|\). \(\blacksquare\)

13. Em que quadrante está o afixo?

13

Considere os números complexos \(z\) e \(w\) tais que

\[ z=3i,\qquad \Re(w)\gt 0,\qquad \Im(w)\lt 0\qquad\text{e}\qquad |\Im(w)|\lt|\Im(z)| \]

Indique o quadrante em que se encontra o afixo de:

  1. 13.1. \(z+w\)
  2. 13.2. \(z-w\)
  3. 13.3. \(z+\Re(w)\)
  4. 13.4. \(\overline{z}+w\)
Passo 1 — traduzir os dados

Seja \(w=p+qi\). Os dados dizem que \(p\gt 0\), \(q\lt 0\) e \(|q|\lt 3\), ou seja, \(-3\lt q\lt 0\). Além disso \(\Re(z)=0\) e \(\Im(z)=3\).

13.1.

\(z+w=p+(3+q)i\): \(p\gt 0\) e \(3+q\gt 0\) (porque \(q\gt -3\)).

1.º quadrante
13.2.

\(z-w=-p+(3-q)i\): \(-p\lt 0\) e \(3-q\gt 3\gt 0\).

2.º quadrante
13.3.

\(z+\Re(w)=p+3i\): \(p\gt 0\) e \(3\gt 0\).

1.º quadrante
13.4.

\(\overline{z}=-3i\), logo \(\overline{z}+w=p+(q-3)i\): \(p\gt 0\) e \(q-3\lt -3\lt 0\).

4.º quadrante

14. Módulos, distâncias e afixos

14

Considere os números complexos \(z_1=3\), \(z_2=-3+2i\), \(z_3=1+4i\) e \(z_4=3+5i\), cujos afixos são, respetivamente, os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\).

  1. 14.1. Determine \(|z_1|\), \(|z_2|\), \(|z_3|\) e \(|z_4|\).
  2. 14.2. Calcule \(|z_3-z_2|\), \(|z_4-z_3|\) e \(|z_4-z_2|\) e justifique que os pontos \(B\), \(C\) e \(D\) são colineares.
  3. 14.3. Justifique que o triângulo \([ABC]\) é retângulo em \(C\) e isósceles.
  4. 14.4. Determine uma equação cartesiana da circunferência que passa nos pontos \(A\), \(B\) e \(C\).
14.1.
\[ |z_1|=3\qquad |z_2|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\qquad |z_3|=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\qquad |z_4|=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \]
14.2. — distâncias
\[ |z_3-z_2|=|4+2i|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\qquad |z_4-z_3|=|2+i|=\sqrt{5}\qquad |z_4-z_2|=|6+3i|=\sqrt{45}=3\sqrt{5} \]

Estes números são as distâncias \(\overline{BC}\), \(\overline{CD}\) e \(\overline{BD}\). Como

\[ \overline{BC}+\overline{CD}=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}=\overline{BD} \]

o ponto \(C\) está sobre o segmento \([BD]\) (se não estivesse, a desigualdade triangular seria estrita).

\(B\), \(C\) e \(D\) são colineares.
14.3.

\(A(3,\,0)\), \(B(-3,\,2)\), \(C(1,\,4)\), logo \(\overrightarrow{CA}=(2,\,-4)\) e \(\overrightarrow{CB}=(-4,\,-2)\).

\[ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=2\times(-4)+(-4)\times(-2)=-8+8=0 \]
\[ \overline{CA}=|z_1-z_3|=|2-4i|=\sqrt{20}\qquad \overline{CB}=|z_2-z_3|=|-4-2i|=\sqrt{20} \]
O ângulo em \(C\) é reto e \(\overline{CA}=\overline{CB}\): o triângulo é retângulo em \(C\) e isósceles. \(\blacksquare\)
14.4.

Num triângulo retângulo, a hipotenusa é um diâmetro da circunferência circunscrita. Aqui a hipotenusa é \([AB]\):

\[ \text{centro}=\left(\frac{3+(-3)}{2},\,\frac{0+2}{2}\right)=(0,\,1)\qquad \text{raio}=\frac{\overline{AB}}{2}=\frac{|z_1-z_2|}{2}=\frac{|6-2i|}{2}=\frac{\sqrt{40}}{2}=\sqrt{10} \]

Confirmação com \(C(1,\,4)\): \(1^{2}+(4-1)^{2}=10\). \(\checkmark\)

\(x^{2}+(y-1)^{2}=10\)

15. Raízes quadradas de números negativos

15

Em cada alínea, selecione a opção correta.

  1. 15.1. Quais são as raízes quadradas de \(-2{,}25\) em \(\mathbb{C}\)?
    • (A) \(-1{,}5i\) e \(1{,}5\)
    • (B) \(-1{,}5\) e \(1{,}5i\)
    • (C) \(-1{,}5i\) e \(1{,}5i\)
    • (D) \(-1{,}5\) e \(1{,}5\)
  2. 15.2. Qual é o conjunto-solução da equação \(x^{2}+4=0\) em \(\mathbb{C}\)?
    • (A) \(\{-2,\,2\}\)
    • (B) \(\{-4,\,4\}\)
    • (C) \(\{-2i,\,2i\}\)
    • (D) \(\{-4i,\,4i\}\)
15.1.

\((\pm 1{,}5i)^{2}=2{,}25\,i^{2}=-2{,}25\). Os números \(\pm 1{,}5\) têm quadrado positivo, por isso só servem os imaginários.

Opção (C)
15.2.
\[ x^{2}+4=0\iff x^{2}=-4\iff x=\pm\sqrt{4}\,i\iff x=-2i\ \vee\ x=2i \]
Opção (C)

16. Equações do 2.º grau em \(\mathbb{C}\)

16

Resolva, em \(\mathbb{C}\), as equações seguintes. Apresente as soluções na forma algébrica.

  1. 16.1. \(z^{2}+4=0\)
  2. 16.2. \(z^{2}+8=0\)
  3. 16.3. \(z^{2}+27=0\)
  4. 16.4. \((z-5)^{2}+1=0\)
  5. 16.5. \(z^{2}-2z+4=0\)
  6. 16.6. \(z^{2}-6z+18=0\)
  7. 16.7. \(5z^{2}+2z+2=0\)
  8. 16.8. \(9z^{2}+2z+1=0\)
  9. 16.9. \(z^{2}+\sqrt{3}\,z+7=0\)
16.1. a 16.3. — equações incompletas
\[ z^{2}=-4\iff z=\pm 2i\qquad z^{2}=-8\iff z=\pm\sqrt{8}\,i=\pm 2\sqrt{2}\,i\qquad z^{2}=-27\iff z=\pm 3\sqrt{3}\,i \]
16.1. \(\{-2i,\,2i\}\)    16.2. \(\{-2\sqrt{2}\,i,\,2\sqrt{2}\,i\}\)    16.3. \(\{-3\sqrt{3}\,i,\,3\sqrt{3}\,i\}\)
16.4.
\[ (z-5)^{2}=-1\iff z-5=\pm i\iff z=5\pm i \]
\(\{5-i,\,5+i\}\)
16.5.
\[ \Delta=(-2)^{2}-4\times 1\times 4=-12\qquad z=\frac{2\pm\sqrt{12}\,i}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{3}\,i}{2}=1\pm\sqrt{3}\,i \]
\(\{1-\sqrt{3}\,i,\,1+\sqrt{3}\,i\}\)
16.6.
\[ \Delta=36-72=-36\qquad z=\frac{6\pm 6i}{2}=3\pm 3i \]
\(\{3-3i,\,3+3i\}\)
16.7.
\[ \Delta=4-40=-36\qquad z=\frac{-2\pm 6i}{10}=-\frac{1}{5}\pm\frac{3}{5}\,i \]
\(\left\{-\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{5}i,\ -\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}i\right\}\)
16.8.
\[ \Delta=4-36=-32\qquad z=\frac{-2\pm\sqrt{32}\,i}{18}=\frac{-2\pm 4\sqrt{2}\,i}{18}=-\frac{1}{9}\pm\frac{2\sqrt{2}}{9}\,i \]
\(\left\{-\dfrac{1}{9}-\dfrac{2\sqrt{2}}{9}i,\ -\dfrac{1}{9}+\dfrac{2\sqrt{2}}{9}i\right\}\)
16.9.
\[ \Delta=3-28=-25\qquad z=\frac{-\sqrt{3}\pm 5i}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\pm\frac{5}{2}\,i \]
\(\left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{5}{2}i,\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{5}{2}i\right\}\)

Em todas as alíneas as duas soluções são conjugadas, como acontece sempre que os coeficientes são reais e \(\Delta\lt 0\).

17. Equações de grau superior ao 2.º

17

Resolva, em \(\mathbb{C}\), as equações seguintes. Apresente as soluções na forma algébrica.

  1. 17.1. \(z^{3}+2z=0\)
  2. 17.2. \(z^{3}+5z=0\)
  3. 17.3. \(z^{3}-z^{2}+z=0\)
  4. 17.4. \(z^{2}\left[(z-2)^{2}+9\right]=0\)

Em todas se põe \(z\) em evidência e se usa a lei do anulamento do produto, que continua válida em \(\mathbb{C}\).

17.1.
\[ z\left(z^{2}+2\right)=0\iff z=0\ \vee\ z^{2}=-2\iff z=0\ \vee\ z=\pm\sqrt{2}\,i \]
\(\{0,\,-\sqrt{2}\,i,\,\sqrt{2}\,i\}\)
17.2.
\[ z\left(z^{2}+5\right)=0\iff z=0\ \vee\ z=\pm\sqrt{5}\,i \]
\(\{0,\,-\sqrt{5}\,i,\,\sqrt{5}\,i\}\)
17.3.
\[ z\left(z^{2}-z+1\right)=0\iff z=0\ \vee\ z=\frac{1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{3}\,i}{2} \]
\(\left\{0,\ \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i,\ \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right\}\)
17.4.
\[ z^{2}=0\ \vee\ (z-2)^{2}=-9\iff z=0\ \vee\ z-2=\pm 3i\iff z=0\ \vee\ z=2\pm 3i \]
\(\{0,\,2-3i,\,2+3i\}\)  (\(z=0\) é solução dupla)

18. Raízes de um polinómio do 3.º grau

18

Considere o polinómio \(x^{3}+6x+20\).

Verifique que \(-2\) é uma raiz do polinómio e determine, em \(\mathbb{C}\), as restantes raízes.

Passo 1 — verificar a raiz
\[ (-2)^{3}+6\times(-2)+20=-8-12+20=0 \]
Passo 2 — regra de Ruffini
\(1\)\(0\)\(6\)\(20\)
\(-2\)\(-2\)\(4\)\(-20\)
\(1\)\(-2\)\(10\)\(0\)
\[ x^{3}+6x+20=(x+2)\left(x^{2}-2x+10\right) \]
Passo 3 — o fator do 2.º grau
\[ x^{2}-2x+10=0\iff x=\frac{2\pm\sqrt{4-40}}{2}=\frac{2\pm 6i}{2}=1\pm 3i \]
As restantes raízes são \(1+3i\) e \(1-3i\).

19. Triângulo com os afixos das soluções de uma equação

19

Considere a equação \(z^{3}-z+6=0\).

Sabendo que esta equação tem três soluções em \(\mathbb{C}\), sendo uma delas o número real \(-2\), e que os afixos dessas três soluções são vértices de um triângulo, determine o perímetro desse triângulo.

Passo 1 — Ruffini com \(-2\)
\(1\)\(0\)\(-1\)\(6\)
\(-2\)\(-2\)\(4\)\(-6\)
\(1\)\(-2\)\(3\)\(0\)
\[ z^{2}-2z+3=0\iff z=\frac{2\pm\sqrt{4-12}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}\,i}{2}=1\pm\sqrt{2}\,i \]
Passo 2 — os vértices

\(A(-2,\,0)\), \(B\left(1,\,\sqrt{2}\right)\) e \(C\left(1,\,-\sqrt{2}\right)\).

Passo 3 — os lados
\[ \overline{BC}=\left|2\sqrt{2}\,i\right|=2\sqrt{2}\qquad \overline{AB}=\left|3+\sqrt{2}\,i\right|=\sqrt{9+2}=\sqrt{11}=\overline{AC} \]
\(P=2\sqrt{11}+2\sqrt{2}\) u.c.

20. Coeficientes de um polinómio com uma raiz dada

20

Considere o número complexo \(z_1=-1+\sqrt{3}\,i\).

Determine os números reais \(b\) e \(c\) para os quais \(z_1\) é raiz do polinómio \(x^{2}+bx+c\).

Passo 1 — calcular \(z_1^{2}\)
\[ z_1^{2}=\left(-1+\sqrt{3}\,i\right)^{2}=1-2\sqrt{3}\,i+3i^{2}=-2-2\sqrt{3}\,i \]
Passo 2 — substituir e separar as partes
\[ z_1^{2}+bz_1+c=0\iff\left(-2-b+c\right)+\left(-2\sqrt{3}+\sqrt{3}\,b\right)i=0 \]
\[ \begin{cases}-2-b+c=0\\ \sqrt{3}\,b-2\sqrt{3}=0\end{cases}\iff\begin{cases}c=4\\b=2\end{cases} \]
\(b=2\ \wedge\ c=4\)

De outro modo: como os coeficientes são reais, a outra raiz é \(\overline{z_1}=-1-\sqrt{3}\,i\). Então \(x^{2}+bx+c=(x-z_1)(x-\overline{z_1})\), donde \(-b=z_1+\overline{z_1}=-2\) e \(c=z_1\overline{z_1}=|z_1|^{2}=4\).