Equações e interpretação geométrica na forma algébrica

Matemática A - 12.º ano - Novo Programa 2026 - matematicaparatodos.pt

📌 Resumo teórico

Equações em \(\mathbb{C}\) na forma algébrica

Tipo de equaçãoEstratégia
só aparece \(z\) (1.º grau)agrupar os termos em \(z\), pôr \(z\) em evidência e dividir: \(z\,(a+bi)=c+di\iff z=\dfrac{c+di}{a+bi}\)
aparecem \(z\) e \(\overline{z}\)substituir \(z=x+yi\) e \(\overline{z}=x-yi\), com \(x,y\in\mathbb{R}\), e igualar as partes reais e as partes imaginárias (sistema em \(x\) e \(y\))
aparece \(|z|\) ou um parâmetro realusar \(|z|^{2}=x^{2}+y^{2}\) e as propriedades \(|zw|=|z||w|\), \(\left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|}\)

Numa equação com frações, é preciso garantir que os denominadores não se anulam nas soluções encontradas.

Interpretação geométrica das operações

Seja \(P\) o afixo de \(z\).

OperaçãoTransformação de \(P\)
\(z+w\), com \(w=a+bi\)translação de vetor \((a,\,b)\); o afixo de \(z_1+z_2\) é o 4.º vértice do paralelogramo construído sobre \(O\), \(Z_1\) e \(Z_2\) (regra do paralelogramo)
\(kz\), com \(k\in\mathbb{R}^{+}\)homotetia de centro \(O\) e razão \(k\)
\(iz\)rotação de centro \(O\) e amplitude \(\dfrac{\pi}{2}\)
\(-iz\)rotação de centro \(O\) e amplitude \(-\dfrac{\pi}{2}\)
\(-z\)meia-volta (reflexão central de centro \(O\))
\(\overline{z}\)  /  \(-\overline{z}\)reflexão de eixo real  /  reflexão de eixo imaginário
\(i(z-a)+a\)rotação de centro no afixo de \(a\) e amplitude \(\dfrac{\pi}{2}\)

Para \(z=x+yi\): \(iz=-y+xi\), ou seja, \((x,\,y)\mapsto(-y,\,x)\) — a regra da rotação de \(90^{\circ}\) do 3.º ciclo.

Perpendicularidade: se \(u=u_1+u_2i\) e \(v=v_1+v_2i\) representam vetores não nulos, \(\Re\left(u\,\overline{v}\right)=u_1v_1+u_2v_2\) é o produto escalar. Logo os vetores são perpendiculares se e só se \(u\,\overline{v}\) (ou \(\dfrac{u}{v}\)) é imaginário puro.

Nota (Aprendizagens Essenciais, janeiro de 2023): as AE sugerem a construção geométrica dos pontos correspondentes à soma e ao produto de dois números complexos, utilizando ferramentas tecnológicas (por exemplo, o GeoGebra, onde se escreve z1=2+3i e o programa marca o afixo).

1. Números reais num produto de complexos

1
  1. 1.1. Determine os números reais \(a\) e \(b\) tais que \((a-4i)\times(2-3i)=10+bi\).
  2. 1.2. Determine os valores reais de \(p\) e \(q\) de modo que \((p+3i)(4+qi)=15+9i\).
1.1.
\[ (a-4i)(2-3i)=2a-3ai-8i+12i^{2}=(2a-12)+(-3a-8)i \]
\[ \begin{cases}2a-12=10\\-3a-8=b\end{cases}\iff\begin{cases}a=11\\b=-41\end{cases} \]
\(a=11\ \wedge\ b=-41\)
1.2. — desenvolver e igualar
\[ (p+3i)(4+qi)=4p+pqi+12i+3qi^{2}=(4p-3q)+(pq+12)i \]
\[ \begin{cases}4p-3q=15\\pq+12=9\end{cases}\iff\begin{cases}4p-3q=15\\pq=-3\end{cases} \]
1.2. — resolver o sistema

Da 2.ª equação, \(q\ne 0\) e \(p=-\dfrac{3}{q}\). Substituindo na 1.ª:

\[ -\frac{12}{q}-3q=15\iff -12-3q^{2}=15q\iff q^{2}+5q+4=0\iff q=-1\ \vee\ q=-4 \]

Se \(q=-1\), \(p=3\); se \(q=-4\), \(p=\dfrac{3}{4}\).

Verificação: \((3+3i)(4-i)=12-3i+12i+3=15+9i\) e \(\left(\tfrac{3}{4}+3i\right)(4-4i)=3-3i+12i+12=15+9i\). \(\checkmark\)

\(p=3\ \wedge\ q=-1\)   ou   \(p=\dfrac{3}{4}\ \wedge\ q=-4\)

2. Equações em \(z\)

2

Resolva, em \(\mathbb{C}\), as equações seguintes. Apresente as soluções na forma algébrica.

  1. 2.1. \((3-i)z=2+3i\)
  2. 2.2. \(iz=1-i\)
  3. 2.3. \(zi=-\dfrac{2}{3-i}\)
  4. 2.4. \(\dfrac{2z+1}{i+1}=2z-i\)
  5. 2.5. \(i^{38}+z=\dfrac{1}{1+i}-zi\)
  6. 2.6. \((1+i)^{-3}=zi+z\)
  7. 2.7. \((2-i)z=\dfrac{-z+3}{i^{12n+3}}\), \(n\in\mathbb{N}\)
  8. 2.8. \(z-2iz=\dfrac{2-z}{3i+1}\)
  9. 2.9. \(\dfrac{z+2i}{1-z}=-i+1\)
  10. 2.10. \((1+2i)^{3}=zi+2z\)
2.1.
\[ z=\frac{2+3i}{3-i}=\frac{(2+3i)(3+i)}{10}=\frac{6+2i+9i-3}{10}=\frac{3}{10}+\frac{11}{10}i \]
2.2.
\[ z=\frac{1-i}{i}=(1-i)(-i)=-i+i^{2}=-1-i \]
2.3.
\[ -\frac{2}{3-i}=-\frac{2(3+i)}{10}=-\frac{3}{5}-\frac{1}{5}i\qquad z=\left(-\frac{3}{5}-\frac{1}{5}i\right)\times\frac{1}{i}=\left(-\frac{3}{5}-\frac{1}{5}i\right)(-i)=-\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i \]
2.4.
\[ 2z+1=(2z-i)(1+i)=2z+2zi-i-i^{2}=2z+2zi-i+1\iff 0=2zi-i\iff z=\frac{i}{2i}=\frac{1}{2} \]
2.5.

\(i^{38}=i^{2}=-1\) e \(\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1-i}{2}\).

\[ z+zi=\frac{1-i}{2}+1\iff z(1+i)=\frac{3-i}{2}\iff z=\frac{3-i}{2(1+i)}=\frac{(3-i)(1-i)}{4}=\frac{2-4i}{4}=\frac{1}{2}-i \]
2.6.
\[ (1+i)^{3}=(1+i)^{2}(1+i)=2i(1+i)=-2+2i\qquad (1+i)^{-3}=\frac{1}{-2+2i}=\frac{-2-2i}{8}=-\frac{1}{4}(1+i) \]
\[ z(1+i)=-\frac{1}{4}(1+i)\iff z=-\frac{1}{4} \]
2.7.

\(i^{12n+3}=\left(i^{4}\right)^{3n}i^{3}=-i\), e dividir por \(-i\) é multiplicar por \(i\):

\[ (2-i)z=i(-z+3)\iff 2z-iz=-iz+3i\iff 2z=3i\iff z=\frac{3}{2}i \]
2.8.
\[ z(1-2i)(1+3i)=2-z\qquad (1-2i)(1+3i)=1+3i-2i+6=7+i \]
\[ z(7+i)+z=2\iff z(8+i)=2\iff z=\frac{2(8-i)}{65}=\frac{16}{65}-\frac{2}{65}i \]
2.9. — com \(z\ne 1\)
\[ z+2i=(1-i)(1-z)=1-z-i+iz\iff 2z-iz=1-3i\iff z=\frac{1-3i}{2-i}=\frac{(1-3i)(2+i)}{5}=\frac{5-5i}{5}=1-i \]

\(1-i\ne 1\), por isso é solução.

2.10.
\[ (1+2i)^{2}=-3+4i\qquad (1+2i)^{3}=(1+2i)(-3+4i)=-3+4i-6i-8=-11-2i \]
\[ z(2+i)=-11-2i\iff z=\frac{(-11-2i)(2-i)}{5}=\frac{-22+11i-4i-2}{5}=-\frac{24}{5}+\frac{7}{5}i \]
2.1. \(\tfrac{3}{10}+\tfrac{11}{10}i\)   2.2. \(-1-i\)   2.3. \(-\tfrac{1}{5}+\tfrac{3}{5}i\)   2.4. \(\tfrac{1}{2}\)   2.5. \(\tfrac{1}{2}-i\)   2.6. \(-\tfrac{1}{4}\)   2.7. \(\tfrac{3}{2}i\)   2.8. \(\tfrac{16}{65}-\tfrac{2}{65}i\)   2.9. \(1-i\)   2.10. \(-\tfrac{24}{5}+\tfrac{7}{5}i\)

3. Equações com o conjugado

3

Resolva, em \(\mathbb{C}\), as equações seguintes. Apresente as soluções na forma algébrica.

  1. 3.1. \(i-3z=\overline{z}\)
  2. 3.2. \(z+i\,\overline{z}=1-4i\)
  3. 3.3. \((1-2i)z-i\,\overline{z}=2\)
  4. 3.4. \(\dfrac{2z+3i\left(\overline{z}+2\right)}{1+i}=13+4i\)

Em todas se faz \(z=x+yi\) e \(\overline{z}=x-yi\), com \(x,y\in\mathbb{R}\).

3.1.
\[ i-3x-3yi=x-yi\iff -4x+(1-2y)i=0\iff\begin{cases}x=0\\y=\dfrac{1}{2}\end{cases} \]
\(z=\dfrac{1}{2}i\)
3.2.
\[ x+yi+i(x-yi)=x+yi+xi+y=(x+y)+(x+y)i \]
\[ (x+y)+(x+y)i=1-4i\iff\begin{cases}x+y=1\\x+y=-4\end{cases} \]

O sistema é impossível.

A equação é impossível: \(S=\varnothing\).
3.3.
\[ (1-2i)(x+yi)=(x+2y)+(y-2x)i\qquad -i(x-yi)=-y-xi \]
\[ (x+y)+(y-3x)i=2\iff\begin{cases}x+y=2\\y=3x\end{cases}\iff\begin{cases}x=\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{3}{2}\end{cases} \]
\(z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}i\)
3.4.
\[ 2z+3i\,\overline{z}+6i=(13+4i)(1+i)=13+13i+4i-4=9+17i \]
\[ 2x+2yi+3i(x-yi)+6i=(2x+3y)+(3x+2y+6)i \]
\[ \begin{cases}2x+3y=9\\3x+2y=11\end{cases}\iff\begin{cases}6x+9y=27\\6x+4y=22\end{cases}\iff\begin{cases}5y=5\\3x+2y=11\end{cases}\iff\begin{cases}y=1\\x=3\end{cases} \]
\(z=3+i\)

4. Um expoente natural desconhecido

4

Determine o número natural \(n\) tal que \((2i)^{n}+(1+i)^{2n}=64i\).

Passo 1 — reconhecer a mesma base
\[ (1+i)^{2n}=\left[(1+i)^{2}\right]^{n}=(2i)^{n} \]
Passo 2 — simplificar a equação
\[ 2(2i)^{n}=64i\iff 2^{n}\,i^{n}=32i \]
Passo 3 — comparar

\(i^{n}\) é \(1\), \(i\), \(-1\) ou \(-i\). Para o produto ser \(32i\) é preciso \(2^{n}=32\) e \(i^{n}=i\). Ora \(2^{n}=32\iff n=5\), e de facto \(i^{5}=i\).

\(n=5\)

5. Módulos com o inverso e o conjugado

5

Seja \(a\) um número real e \(z=a+i\). Determine os valores de \(a\) de modo que:

  1. 5.1. \(\left|\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{\overline{z}}\right|=\dfrac{1}{2}\)
  2. 5.2. \(\left|\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{\overline{z}}\right|=\dfrac{1}{2}\)

Reduzindo ao mesmo denominador, \(z\,\overline{z}=|z|^{2}=a^{2}+1\).

5.1.
\[ \frac{1}{z}-\frac{1}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}-z}{z\,\overline{z}}=\frac{-2i}{a^{2}+1}\qquad\left|\frac{-2i}{a^{2}+1}\right|=\frac{2}{a^{2}+1} \]
\[ \frac{2}{a^{2}+1}=\frac{1}{2}\iff a^{2}+1=4\iff a=-\sqrt{3}\ \vee\ a=\sqrt{3} \]
5.2.
\[ \frac{1}{z}+\frac{1}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}+z}{z\,\overline{z}}=\frac{2a}{a^{2}+1}\qquad\frac{2|a|}{a^{2}+1}=\frac{1}{2}\iff a^{2}-4|a|+1=0 \]
\[ |a|=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=2\pm\sqrt{3} \]

Os dois valores \(2+\sqrt{3}\) e \(2-\sqrt{3}\) são positivos, logo servem como \(|a|\).

5.1. \(a=\pm\sqrt{3}\)    5.2. \(a\in\left\{-2-\sqrt{3},\,-2+\sqrt{3},\,2-\sqrt{3},\,2+\sqrt{3}\right\}\)

6. Parâmetro real e \(|z|=1\)

6

Seja \(k\) um número real e \(z=\dfrac{k-i}{1+2i}\). Determine os valores de \(k\) de modo que \(|z|=1\).

Pelas propriedades do módulo
\[ |z|=\frac{|k-i|}{|1+2i|}=\frac{\sqrt{k^{2}+1}}{\sqrt{5}}\qquad |z|=1\iff k^{2}+1=5\iff k^{2}=4\iff k=\pm 2 \]

De outro modo: \(z=\dfrac{(k-i)(1-2i)}{5}=\dfrac{k-2}{5}-\dfrac{2k+1}{5}i\) e \(|z|^{2}=\dfrac{(k-2)^{2}+(2k+1)^{2}}{25}=\dfrac{5k^{2}+5}{25}\), que é \(1\) para \(k^{2}=4\).

\(k=-2\ \vee\ k=2\)

7. Um parâmetro a partir da parte imaginária

7

Considere os números complexos \(z\) e \(w\) tais que

\[ z+2i=iz+k,\ \ k\in\mathbb{R}\qquad\text{e}\qquad \frac{w}{z}=2+2i \]

Sabendo que \(\Im(w)=8\), determine o valor real de \(k\).

Passo 1 — \(z\) em função de \(k\)
\[ z-iz=k-2i\iff z=\frac{k-2i}{1-i}=\frac{(k-2i)(1+i)}{2}=\frac{(k+2)+(k-2)i}{2} \]
Passo 2 — \(w\) em função de \(k\)
\[ w=(2+2i)z=(1+i)\left[(k+2)+(k-2)i\right]=(k+2)+(k-2)i+(k+2)i-(k-2)=4+2ki \]
Passo 3 — a condição
\[ \Im(w)=8\iff 2k=8\iff k=4 \]
\(k=4\)

8. Um afixo na mediatriz de \([OA]\)

8

Sejam \(z\) e \(w\) dois números complexos não nulos, de afixos \(A\) e \(B\), respetivamente, e seja \(O\) a origem do referencial.

Supondo que \(B\) pertence à mediatriz do segmento de reta \([OA]\), prove que \(|z|^{2}=2\Re\left(z\,\overline{w}\right)\).

Passo 1 — traduzir «pertence à mediatriz»

\(B\) está à mesma distância de \(O\) e de \(A\): \(\overline{BO}=\overline{BA}\), isto é,

\[ |w|=|w-z|\iff |w|^{2}=|w-z|^{2} \]
Passo 2 — desenvolver com \(|u|^{2}=u\,\overline{u}\)
\[ |w-z|^{2}=(w-z)\left(\overline{w}-\overline{z}\right)=|w|^{2}-w\overline{z}-z\overline{w}+|z|^{2} \]
\[ |w|^{2}=|w|^{2}-w\overline{z}-z\overline{w}+|z|^{2}\iff |z|^{2}=z\overline{w}+\overline{z}w \]
Passo 3 — reconhecer uma parte real

\(\overline{z}\,w=\overline{z\,\overline{w}}\), logo \(z\overline{w}+\overline{z}w=u+\overline{u}\) com \(u=z\overline{w}\), que é \(2\Re(u)\):

\[ |z|^{2}=2\Re\left(z\,\overline{w}\right)\ \ \blacksquare \]

Atenção ao conjugado: a igualdade \(|z|^{2}=2\Re(zw)\), sem conjugado, não é verdadeira em geral. Por exemplo, \(z=2i\) e \(w=1+i\) (o afixo de \(w\) está na mediatriz \(y=1\)): \(|z|^{2}=4\), mas \(2\Re(zw)=2\Re(-2+2i)=-4\).

9. Os afixos de \(z\), \(z^{2}\) e \(z^{3}\)

9

Dado um número complexo \(z\), considere os pontos \(M_1\), \(M_2\) e \(M_3\), afixos, respetivamente, dos números complexos \(z\), \(z^{2}\) e \(z^{3}\).

  1. 9.1. Determine para que valores de \(z\) os pontos \(M_1\), \(M_2\) e \(M_3\) são distintos dois a dois.
  2. 9.2. Determine para que valores de \(z\) o triângulo \([M_1M_2M_3]\) é retângulo em \(M_2\).
9.1.
\[ z=z^{2}\iff z(1-z)=0\iff z=0\ \vee\ z=1 \]
\[ z=z^{3}\iff z\left(1-z^{2}\right)=0\iff z=0\ \vee\ z=1\ \vee\ z=-1\qquad z^{2}=z^{3}\iff z^{2}(1-z)=0\iff z=0\ \vee\ z=1 \]
Os pontos são distintos dois a dois se e só se \(z\notin\{-1,\,0,\,1\}\).
9.2. — condição de perpendicularidade

O ângulo em \(M_2\) é reto quando os vetores \(\overrightarrow{M_2M_1}\) e \(\overrightarrow{M_2M_3}\), representados por \(u=z-z^{2}\) e \(v=z^{3}-z^{2}\), são perpendiculares, ou seja, quando \(\dfrac{u}{v}\) é imaginário puro (ver resumo).

\[ \frac{u}{v}=\frac{z(1-z)}{z^{2}(z-1)}=-\frac{1}{z}\qquad (z\notin\{-1,0,1\}) \]
9.2. — quando é \(-\dfrac{1}{z}\) imaginário puro?

\(-\dfrac{1}{z}=-\dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}}\) tem a mesma «forma» que \(\overline{z}\): é imaginário puro se e só se \(\overline{z}\) o for, isto é, se e só se \(z\) for imaginário puro.

\(z=bi\), com \(b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\) (estes valores já cumprem a condição de 9.1).

Exemplo: \(z=i\) dá \(M_1(0,1)\), \(M_2(-1,0)\), \(M_3(0,-1)\), e o ângulo em \(M_2\) é de facto reto.

10. Qual é o afixo de \(z_1+z_2\)?

10

No plano complexo da figura estão representados seis pontos. Os pontos \(Z_1\) e \(Z_2\) são os afixos de dois números complexos \(z_1\) e \(z_2\), respetivamente.

Plano complexo com Z1 no 1.º quadrante, Z2 no 2.º quadrante mais à esquerda e mais abaixo, A e B acima, perto do eixo imaginário, e C e D abaixo, simétricos de A e B

Um dos pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) é o afixo de \(z_1+z_2\). Qual deles? Justifique a sua resposta.

Passo 1 — a parte imaginária

\(\Im(z_1)\gt 0\) e \(\Im(z_2)\gt 0\), logo \(\Im(z_1+z_2)=\Im(z_1)+\Im(z_2)\gt 0\): o afixo está acima do eixo real e mais acima do que \(Z_1\) e \(Z_2\). Ficam excluídos \(C\) e \(D\).

Passo 2 — a parte real

\(\Re(z_1)\gt 0\), \(\Re(z_2)\lt 0\) e, na figura, \(Z_2\) está mais afastado do eixo imaginário do que \(Z_1\): \(|\Re(z_2)|\gt\Re(z_1)\). Logo \(\Re(z_1+z_2)=\Re(z_1)+\Re(z_2)\lt 0\) — o afixo está à esquerda do eixo imaginário.

Regra do paralelogramo: o afixo de \(z_1+z_2\) é o quarto vértice do paralelogramo de lados \([OZ_1]\) e \([OZ_2]\); obtém-se aplicando a \(Z_2\) a translação de vetor \(\overrightarrow{OZ_1}\).

O afixo de \(z_1+z_2\) é o ponto \(A\).

11. Rotações de centro na origem

11

Seja \(z=-3+2i\). Qual é o número complexo cujo afixo é o transformado do afixo de \(z\) por uma:

  1. 11.1. rotação de centro na origem do referencial e amplitude \(\dfrac{\pi}{2}\)?
    • (A) \(-3+2i\)
    • (B) \(-2-3i\)
    • (C) \(-2+3i\)
    • (D) \(-3+2i+\dfrac{\pi}{2}\)
  2. 11.2. rotação de centro na origem do referencial e amplitude \(-\dfrac{\pi}{2}\), seguida de uma translação de vetor \(\vec{u}(1,\,-1)\)?
    • (A) \(-3-2i\)
    • (B) \(3+2i\)
    • (C) \(3-2i\)
    • (D) \(-3+2i\)
11.1. — multiplicar por \(i\)
\[ i(-3+2i)=-3i+2i^{2}=-2-3i \]

Confirmação: os vetores \((-3,\,2)\) e \((-2,\,-3)\) têm a mesma norma e produto escalar \(6-6=0\).

Opção (B)
11.2. — multiplicar por \(-i\) e somar \(1-i\)
\[ -i(-3+2i)=3i-2i^{2}=2+3i\qquad (2+3i)+(1-i)=3+2i \]
Opção (B)

12. Translação seguida de homotetia

12

Seja \(M(a,\,b)\) o afixo de um número complexo. Quais são as coordenadas do transformado de \(M\) por uma translação de vetor \(\vec{u}(1,\,0)\) seguida de uma homotetia de centro na origem e razão \(2\)?

  • (A) \((2a,\,2b)\)
  • (B) \((a+1,\,b+1)\)
  • (C) \((2a+1,\,2b+1)\)
  • (D) \((2a+2,\,2b)\)

Com \(z=a+bi\): a translação soma \(1\), dando \(z+1=(a+1)+bi\); a homotetia multiplica por \(2\):

\[ 2(z+1)=(2a+2)+2bi\ \longrightarrow\ (2a+2,\,2b) \]

Repare que a ordem importa: homotetia seguida de translação daria \(2z+1\), isto é, \((2a+1,\,2b)\), que não é nenhuma das opções.

Opção (D)

13. Funções complexas como transformações do plano

13

Considere as funções \(f\), \(g\) e \(h\), definidas em \(\mathbb{C}\) por:

\[ f(z)=z+\overline{2-i}\qquad g(z)=\overline{z}-3\qquad h(z)=-\left(\overline{z}+i\right) \]
  1. 13.1. Para cada uma das funções, caracterize a transformação do plano (translação, reflexão, reflexão deslizante ou outra) que leva o afixo de cada \(z\in\mathbb{C}\) no afixo da respetiva imagem.
  2. 13.2. Determine a imagem do triângulo de vértices \(A(-1,\,0)\), \(O(0,\,0)\) e \(B(0,\,1)\) por cada uma das transformações indicadas em 13.1.
13.1. — \(f\)

\(\overline{2-i}=2+i\), logo \(f(z)=z+(2+i)\): é a translação de vetor \((2,\,1)\).

13.1. — \(g\)

Para \(z=x+yi\): \(g(z)=(x-3)-yi\), isto é, \((x,\,y)\mapsto(x-3,\,-y)\). É a reflexão de eixo real (\(z\mapsto\overline{z}\)) seguida da translação de vetor \((-3,\,0)\), paralelo ao eixo: uma reflexão deslizante de eixo real e vetor \((-3,\,0)\).

13.1. — \(h\)

\(h(z)=-\overline{z}-i=-x+(y-1)i\), isto é, \((x,\,y)\mapsto(-x,\,y-1)\). É a reflexão de eixo imaginário (\(z\mapsto-\overline{z}\)) seguida da translação de vetor \((0,\,-1)\), paralelo ao eixo: uma reflexão deslizante de eixo imaginário e vetor \((0,\,-1)\).

13.2. — imagens dos vértices
\(A(-1,0)\)\(O(0,0)\)\(B(0,1)\)
\(f\)\((1,\,1)\)\((2,\,1)\)\((2,\,2)\)
\(g\)\((-4,\,0)\)\((-3,\,0)\)\((-3,\,-1)\)
\(h\)\((1,\,-1)\)\((0,\,-1)\)\((0,\,0)\)

Esboço: o triângulo original é retângulo isósceles, com o ângulo reto em \(O\) e catetos de medida \(1\) sobre os semieixos real negativo e imaginário positivo. Por \(f\) desliza para o 1.º quadrante sem mudar de orientação; por \(g\) fica abaixo do eixo real, com o ângulo reto em \((-3,0)\); por \(h\) fica no 4.º quadrante, com o ângulo reto em \((0,-1)\) e o vértice \(B'\) na origem. As reflexões deslizantes invertem a orientação dos vértices.

14. Composição de uma rotação com translações

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Num plano munido de um referencial cartesiano de origem \(O\), considere as seguintes transformações:

  • \(f\): rotação de centro \(O\) e amplitude \(-\dfrac{\pi}{2}\);
  • \(g\): translação de vetor \(\vec{u}(1,\,2)\);
  • \(h\): translação de vetor \(\vec{v}(-2,\,1)\).

Mostre que \(f\circ h=g\circ f\).

Passo 1 — escrever as transformações em \(\mathbb{C}\)
\[ f(z)=-iz\qquad g(z)=z+1+2i\qquad h(z)=z-2+i \]
Passo 2 — as duas composições
\[ (f\circ h)(z)=f(z-2+i)=-i(z-2+i)=-iz+2i-i^{2}=-iz+1+2i \]
\[ (g\circ f)(z)=g(-iz)=-iz+1+2i \]

As duas expressões coincidem para todo o \(z\in\mathbb{C}\). \(\blacksquare\)

Porquê: rodar e depois transladar por \(\vec{u}\) é o mesmo que transladar primeiro pelo vetor que, rodado de \(-\dfrac{\pi}{2}\), dá \(\vec{u}\). E, de facto, \(-i(-2+i)=1+2i\).

15. Quadrado de centro num ponto dado

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No plano complexo, os pontos \(A\) e \(P\) são os afixos dos números complexos \(3+3i\) e \(2-i\), respetivamente. O ponto \(A\) é um vértice de um quadrado com centro no ponto \(P\).

Determine os números complexos cujos afixos são os restantes vértices do quadrado. Escreva-os na forma algébrica.

Passo 1 — a ideia

Os vértices de um quadrado de centro \(P\) obtêm-se de \(A\) por rotações sucessivas de \(\dfrac{\pi}{2}\) com centro em \(P\). O vetor \(\overrightarrow{PA}\) é representado por \(a-p=(3+3i)-(2-i)=1+4i\); rodá-lo de \(\dfrac{\pi}{2}\) é multiplicá-lo por \(i\).

Passo 2 — os três vértices
\[ p+i(1+4i)=2-i+(-4+i)=-2 \]
\[ p+i^{2}(1+4i)=2-i+(-1-4i)=1-5i \]
\[ p+i^{3}(1+4i)=2-i+(4-i)=6-2i \]

Verificação de um lado: \(|(3+3i)-(-2)|=|5+3i|=\sqrt{34}\) e \(|(-2)-(1-5i)|=|-3+5i|=\sqrt{34}\). \(\checkmark\)

\(-2\),   \(1-5i\)   e   \(6-2i\)

16. Losango centrado na origem

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No plano complexo, um losango com centro na origem do referencial tem perímetro \(4\sqrt{5}\), e um dos seus vértices é o afixo do número complexo \(-2i\).

Determine os números complexos cujas imagens geométricas são os restantes vértices do losango.

Passo 1 — o vértice oposto

As diagonais de um losango bisetam-se no centro. O vértice oposto ao afixo de \(-2i\) é o seu simétrico em relação a \(O\): o afixo de \(2i\).

Passo 2 — os outros dois vértices

As diagonais de um losango são perpendiculares. Como uma delas está sobre o eixo imaginário, a outra está sobre o eixo real: os restantes vértices são os afixos de \(a\) e de \(-a\), com \(a\gt 0\).

Passo 3 — usar o perímetro

O lado mede \(\dfrac{4\sqrt{5}}{4}=\sqrt{5}\):

\[ |a-(-2i)|=\sqrt{5}\iff\sqrt{a^{2}+4}=\sqrt{5}\iff a^{2}=1\iff a=1\quad(a\gt 0) \]
\(2i\),   \(1\)   e   \(-1\)

17. Um trapézio retângulo

17

Considere os números complexos \(z_1=3\sqrt{2}\,(1+i)\), \(z_2=3\sqrt{2}\,i\) e \(z_3=3\sqrt{2}\,(1-i)\), cujos afixos são, respetivamente, os pontos \(M_1\), \(M_2\) e \(M_3\).

  1. 17.1. Indique as coordenadas dos pontos \(M_1\), \(M_2\) e \(M_3\) e represente-os no plano complexo.
  2. 17.2. Mostre que o quadrilátero de vértices \(O\), \(M_1\), \(M_2\) e \(M_3\) é um trapézio retângulo.
17.1.
\[ M_1\left(3\sqrt{2},\,3\sqrt{2}\right)\qquad M_2\left(0,\,3\sqrt{2}\right)\qquad M_3\left(3\sqrt{2},\,-3\sqrt{2}\right) \]

Esboço: \(M_2\) está no semieixo imaginário positivo; \(M_1\) está à mesma altura, na bissetriz do 1.º quadrante; \(M_3\) está na vertical de \(M_1\), na bissetriz do 4.º quadrante. Percorrendo o contorno, os vértices surgem pela ordem \(O\), \(M_2\), \(M_1\), \(M_3\).

17.2. — um par de lados paralelos
\[ \overrightarrow{OM_2}\ \to\ z_2-0=3\sqrt{2}\,i\qquad \overrightarrow{M_3M_1}\ \to\ z_1-z_3=6\sqrt{2}\,i \]

\(6\sqrt{2}\,i=2\times 3\sqrt{2}\,i\): os vetores são colineares (ambos verticais) e têm comprimentos diferentes, logo \([OM_2]\parallel[M_3M_1]\) e o quadrilátero é um trapézio (e não um paralelogramo).

17.2. — o ângulo reto
\[ \overrightarrow{M_2M_1}\ \to\ z_1-z_2=3\sqrt{2} \]

\(\overrightarrow{M_2M_1}\) é horizontal e \(\overrightarrow{M_2O}\) é vertical, logo o ângulo \(OM_2M_1\) é reto (e o ângulo \(M_2M_1M_3\) também).

O quadrilátero \([OM_2M_1M_3]\) tem \([OM_2]\parallel[M_3M_1]\) e um lado perpendicular às bases: é um trapézio retângulo. \(\blacksquare\)