Equações em ℂ | Matemática A

📌 Resumo teórico

Equações do tipo \(z^{n}=w\)

As soluções são as raízes de índice \(n\) de \(w\). Para \(w=\rho\,e^{i\theta}\ne 0\):

\(z^{n}=\rho\,e^{i\theta}\iff z=\sqrt[n]{\rho}\;e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}},\quad k\in\{0,\,1,\,\dots,\,n-1\}\)

Há sempre \(n\) soluções distintas (e \(z^{n}=0\iff z=0\)).

Equações que se reduzem a \(z^{n}=w\)

isolar a potência: \(az^{n}+b=0\iff z^{n}=-\dfrac{b}{a}\);
pôr \(z\) em evidência: \(z^{n}+cz=0\iff z=0\ \vee\ z^{n-1}=-c\);
lei do anulamento do produto: \((z^{2}+9)(z^{3}-8)=0\iff z^{2}=-9\ \vee\ z^{3}=8\).

Equações com \(\overline{z}\) ou com \(|z|\)

Escreve-se \(z=\rho\,e^{i\theta}\), logo \(\overline{z}=\rho\,e^{-i\theta}\) e \(|z|=\rho\). A equação passa a ser uma igualdade entre dois números na forma trigonométrica:

\(\rho_1e^{i\theta_1}=\rho_2e^{i\theta_2}\ \ (\rho_1,\rho_2\gt 0)\iff\rho_1=\rho_2\ \wedge\ \theta_1=\theta_2+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)

Atenção ao caso \(\rho=0\): o número \(0\) não tem argumento e deve ser testado à parte.

Equações polinomiais com uma solução conhecida

Se \(\alpha\) é solução de uma equação polinomial, o polinómio é divisível por \(z-\alpha\) — a regra de Ruffini funciona também com coeficientes complexos.

Nota (Aprendizagens Essenciais, janeiro de 2023): as AE pedem que se resolvam «equações simples em \(\mathbb{C}\)». As equações do 2.º e 3.º grau com coeficientes reais estão na ficha «Números complexos na forma algébrica».

1. Equações do tipo \(z^{n}=w\)

Resolva, em \(\mathbb{C}\), as equações, apresentando as soluções na forma trigonométrica.

1.1. \(z^{2}=-16\)
1.2. \(z^{2}=4\)
1.3. \(z^{4}=-1\)
1.4. \(z^{5}=32\,e^{i\frac{\pi}{5}}\)
1.5. \(z^{3}=-3\sqrt{3}+9i\)
1.6. \(z^{6}=\dfrac{128}{-1+i}\)

1.1.

z^{2}=16e^{i\pi}\iff z=4e^{i\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)},\ k\in\{0,1\}

\(z=4e^{i\frac{\pi}{2}}\ \vee\ z=4e^{-i\frac{\pi}{2}}\)

1.2.

z^{2}=4e^{i0}\iff z=2e^{ik\pi},\ k\in\{0,1\}

\(z=2e^{i0}\ \vee\ z=2e^{i\pi}\)

1.3.

z^{4}=e^{i\pi}\iff z=e^{i\left(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\right)},\ k\in\{0,1,2,3\}

\(z=e^{i\frac{\pi}{4}}\ \vee\ z=e^{i\frac{3\pi}{4}}\ \vee\ z=e^{i\frac{5\pi}{4}}\ \vee\ z=e^{i\frac{7\pi}{4}}\)

1.4.

z=2e^{i\left(\frac{\pi}{25}+\frac{2k\pi}{5}\right)},\ k\in\{0,\dots,4\}

\(z\in\left\{2e^{i\frac{\pi}{25}},\ 2e^{i\frac{11\pi}{25}},\ 2e^{i\frac{21\pi}{25}},\ 2e^{i\frac{31\pi}{25}},\ 2e^{i\frac{41\pi}{25}}\right\}\)

1.5.

\(\left|-3\sqrt{3}+9i\right|=\sqrt{27+81}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\); 2.º quadrante com \(\tg\alpha=\dfrac{9}{3\sqrt{3}}=\sqrt{3}\), logo o 2.º membro é \(6\sqrt{3}\,e^{i\frac{2\pi}{3}}\). Como \(\sqrt[3]{6\sqrt{3}}=\sqrt[3]{\sqrt{108}}=\sqrt[6]{108}\):

z=\sqrt[6]{108}\;e^{i\left(\frac{2\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\right)},\ k\in\{0,1,2\}

\(z\in\left\{\sqrt[6]{108}\,e^{i\frac{2\pi}{9}},\ \sqrt[6]{108}\,e^{i\frac{8\pi}{9}},\ \sqrt[6]{108}\,e^{i\frac{14\pi}{9}}\right\}\)

1.6.

\frac{128}{-1+i}=\frac{128(-1-i)}{2}=-64-64i=64\sqrt{2}\,e^{-i\frac{3\pi}{4}}\qquad \sqrt[6]{64\sqrt{2}}=\sqrt[6]{2^{6}\times 2^{\frac{1}{2}}}=2\sqrt[12]{2}

z=2\sqrt[12]{2}\;e^{i\left(-\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{3}\right)},\ k\in\{0,\dots,5\}

\(z\in\left\{2\sqrt[12]{2}\,e^{-i\frac{\pi}{8}},\ 2\sqrt[12]{2}\,e^{i\frac{5\pi}{24}},\ 2\sqrt[12]{2}\,e^{i\frac{13\pi}{24}},\ 2\sqrt[12]{2}\,e^{i\frac{7\pi}{8}},\ 2\sqrt[12]{2}\,e^{i\frac{29\pi}{24}},\ 2\sqrt[12]{2}\,e^{i\frac{37\pi}{24}}\right\}\)

2. Duas equações muito simples

Resolva, em \(\mathbb{C}\), as equações seguintes, apresentando as soluções na forma trigonométrica.

2.1. \(z^{3}-8i=0\)
2.2. \(z+z_1=-2\), sendo \(z_1=5i-2\)

2.1.

z^{3}=8i=8e^{i\frac{\pi}{2}}\iff z=2e^{i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}\right)},\ k\in\{0,1,2\}

\(z=2e^{i\frac{\pi}{6}}\ \vee\ z=2e^{i\frac{5\pi}{6}}\ \vee\ z=2e^{i\frac{3\pi}{2}}\)

2.2.

z=-2-z_1=-2-5i+2=-5i=5e^{-i\frac{\pi}{2}}

\(z=5e^{-i\frac{\pi}{2}}\)

3. Soluções na forma algébrica

Resolva, em \(\mathbb{C}\), a equação \(4z^{6}+256=0\). Apresente as soluções na forma algébrica.

4z^{6}+256=0\iff z^{6}=-64=64e^{i\pi}\iff z=2e^{i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\right)},\ k\in\{0,\dots,5\}

2e^{i\frac{\pi}{6}}=\sqrt{3}+i\quad 2e^{i\frac{\pi}{2}}=2i\quad 2e^{i\frac{5\pi}{6}}=-\sqrt{3}+i\quad 2e^{i\frac{7\pi}{6}}=-\sqrt{3}-i\quad 2e^{i\frac{3\pi}{2}}=-2i\quad 2e^{i\frac{11\pi}{6}}=\sqrt{3}-i

\(S=\left\{\sqrt{3}+i,\ 2i,\ -\sqrt{3}+i,\ -\sqrt{3}-i,\ -2i,\ \sqrt{3}-i\right\}\)

4. Isolar a potência

Resolva, em \(\mathbb{C}\), as equações seguintes. Apresente as soluções na forma trigonométrica.

4.1. \(z^{3}=z_1^{\,2}\), sendo \(z_1=\sqrt{2}\,e^{-i\frac{3\pi}{4}}\)
4.2. \(|w|\,z^{3}-w=0\), sendo \(w=2e^{i\frac{7\pi}{4}}\)

4.1.

z_1^{\,2}=2e^{-i\frac{3\pi}{2}}=2e^{i\frac{\pi}{2}}\qquad z^{3}=2e^{i\frac{\pi}{2}}\iff z=\sqrt[3]{2}\,e^{i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}\right)},\ k\in\{0,1,2\}

\(z=\sqrt[3]{2}\,e^{i\frac{\pi}{6}}\ \vee\ z=\sqrt[3]{2}\,e^{i\frac{5\pi}{6}}\ \vee\ z=\sqrt[3]{2}\,e^{-i\frac{\pi}{2}}\)

4.2.

|w|=2\qquad 2z^{3}=w\iff z^{3}=e^{i\frac{7\pi}{4}}\iff z=e^{i\left(\frac{7\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}\right)},\ k\in\{0,1,2\}

\(z=e^{i\frac{7\pi}{12}}\ \vee\ z=e^{i\frac{5\pi}{4}}\ \vee\ z=e^{i\frac{23\pi}{12}}\)

5. Equações que se reduzem a \(z^{n}=w\)

Resolva, em \(\mathbb{C}\), as seguintes equações. Apresente as soluções não nulas na forma trigonométrica.

5.1. \(z^{3}=\dfrac{16}{z}\)
5.2. \(z^{5}-zi=0\)
5.3. \(z^{3}+64\,e^{i\frac{3\pi}{5}}=0\)
5.4. \(\left(z^{2}+9\right)\left(z^{3}-8\right)=0\)

5.1. — com \(z\ne 0\)

z^{3}=\frac{16}{z}\iff z^{4}=16\iff z=2e^{i\frac{k\pi}{2}},\ k\in\{0,1,2,3\}

\(z=2e^{i0}\ \vee\ z=2e^{i\frac{\pi}{2}}\ \vee\ z=2e^{i\pi}\ \vee\ z=2e^{i\frac{3\pi}{2}}\)

5.2. — pôr \(z\) em evidência

z\left(z^{4}-i\right)=0\iff z=0\ \vee\ z^{4}=e^{i\frac{\pi}{2}}\iff z=0\ \vee\ z=e^{i\left(\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\right)}

\(z=0\ \vee\ z=e^{i\frac{\pi}{8}}\ \vee\ z=e^{i\frac{5\pi}{8}}\ \vee\ z=e^{i\frac{9\pi}{8}}\ \vee\ z=e^{i\frac{13\pi}{8}}\)

5.3.

\(-64e^{i\frac{3\pi}{5}}=64e^{i\left(\frac{3\pi}{5}+\pi\right)}=64e^{i\frac{8\pi}{5}}\):

z^{3}=64e^{i\frac{8\pi}{5}}\iff z=4e^{i\left(\frac{8\pi}{15}+\frac{2k\pi}{3}\right)},\ k\in\{0,1,2\}

\(z=4e^{i\frac{8\pi}{15}}\ \vee\ z=4e^{i\frac{6\pi}{5}}\ \vee\ z=4e^{i\frac{28\pi}{15}}\)

5.4. — anulamento do produto

z^{2}=-9=9e^{i\pi}\iff z=3e^{i\frac{\pi}{2}}\ \vee\ z=3e^{i\frac{3\pi}{2}}\qquad z^{3}=8\iff z=2e^{i\frac{2k\pi}{3}}

\(z\in\left\{3e^{i\frac{\pi}{2}},\ 3e^{i\frac{3\pi}{2}},\ 2e^{i0},\ 2e^{i\frac{2\pi}{3}},\ 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\right\}\)

6. Pôr \(z\) em evidência

Resolva, em \(\mathbb{C}\), as equações seguintes. Apresente os elementos do conjunto-solução na forma trigonométrica.

6.1. \(\dfrac{z^{4}}{4}-\sqrt{2}\,(1+i)\,z=0\)
6.2. \(z^{4}+z\times z_1=0\), sendo \(z_1=\sqrt{3}+i\)

6.1.

z\left(\frac{z^{3}}{4}-\sqrt{2}(1+i)\right)=0\iff z=0\ \vee\ z^{3}=4\sqrt{2}(1+i)

\(4\sqrt{2}(1+i)=4\sqrt{2}\times\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}=8e^{i\frac{\pi}{4}}\):

z^{3}=8e^{i\frac{\pi}{4}}\iff z=2e^{i\left(\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}\right)},\ k\in\{0,1,2\}

\(z=0\ \vee\ z=2e^{i\frac{\pi}{12}}\ \vee\ z=2e^{i\frac{3\pi}{4}}\ \vee\ z=2e^{i\frac{17\pi}{12}}\)

6.2.

z\left(z^{3}+\sqrt{3}+i\right)=0\iff z=0\ \vee\ z^{3}=-\sqrt{3}-i=2e^{-i\frac{5\pi}{6}}

z^{3}=2e^{-i\frac{5\pi}{6}}\iff z=\sqrt[3]{2}\,e^{i\left(-\frac{5\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}\right)},\ k\in\{0,1,2\}

\(z=0\ \vee\ z=\sqrt[3]{2}\,e^{-i\frac{5\pi}{18}}\ \vee\ z=\sqrt[3]{2}\,e^{i\frac{7\pi}{18}}\ \vee\ z=\sqrt[3]{2}\,e^{i\frac{19\pi}{18}}\)

7. Equações com o conjugado e com potências

Resolva, em \(\mathbb{C}\), as equações seguintes.

7.1. \(z^{4}-iz+\sqrt{3}\,z=0\)
7.2. \(z^{5}+32\,e^{i\frac{\pi}{3}}=0\)
7.3. \(z^{3}+3i\,\overline{z}=0\)
7.4. \(\overline{z}^{\,3}-9z=0\)
7.5. \(z^{3}=(2+i)^{3}\)

7.1.

z\left(z^{3}-i+\sqrt{3}\right)=0\iff z=0\ \vee\ z^{3}=-\sqrt{3}+i=2e^{i\frac{5\pi}{6}}

\(z=0\ \vee\ z=\sqrt[3]{2}\,e^{i\frac{5\pi}{18}}\ \vee\ z=\sqrt[3]{2}\,e^{i\frac{17\pi}{18}}\ \vee\ z=\sqrt[3]{2}\,e^{i\frac{29\pi}{18}}\)

7.2.

\(-32e^{i\frac{\pi}{3}}=32e^{i\frac{4\pi}{3}}\):

z^{5}=32e^{i\frac{4\pi}{3}}\iff z=2e^{i\left(\frac{4\pi}{15}+\frac{2k\pi}{5}\right)},\ k\in\{0,\dots,4\}

\(z\in\left\{2e^{i\frac{4\pi}{15}},\ 2e^{i\frac{2\pi}{3}},\ 2e^{i\frac{16\pi}{15}},\ 2e^{i\frac{22\pi}{15}},\ 2e^{i\frac{28\pi}{15}}\right\}\)

7.3. — escrever \(z=\rho\,e^{i\theta}\)

\(z=0\) é solução. Para \(\rho\gt 0\), como \(-3i=3e^{-i\frac{\pi}{2}}\):

\rho^{3}e^{i3\theta}=3e^{-i\frac{\pi}{2}}\times\rho\,e^{-i\theta}\iff\rho^{3}e^{i3\theta}=3\rho\,e^{i\left(-\theta-\frac{\pi}{2}\right)}

\iff\rho^{2}=3\ \wedge\ 3\theta=-\theta-\frac{\pi}{2}+2k\pi\iff\rho=\sqrt{3}\ \wedge\ \theta=-\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}

\(z=0\ \vee\ z=\sqrt{3}\,e^{-i\frac{\pi}{8}}\ \vee\ z=\sqrt{3}\,e^{i\frac{3\pi}{8}}\ \vee\ z=\sqrt{3}\,e^{i\frac{7\pi}{8}}\ \vee\ z=\sqrt{3}\,e^{i\frac{11\pi}{8}}\)

7.4.

\(z=0\) é solução. Para \(\rho\gt 0\):

\rho^{3}e^{-i3\theta}=9\rho\,e^{i\theta}\iff\rho^{2}=9\ \wedge\ -3\theta=\theta+2k\pi\iff\rho=3\ \wedge\ \theta=-\frac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}

\(z=0\ \vee\ z=3e^{i0}\ \vee\ z=3e^{-i\frac{\pi}{2}}\ \vee\ z=3e^{i\pi}\ \vee\ z=3e^{i\frac{\pi}{2}}\) (isto é, \(0\), \(3\), \(-3i\), \(-3\), \(3i\))

7.5. — uma solução é evidente

\(z=2+i\) é solução; as outras duas obtêm-se multiplicando por \(e^{i\frac{2\pi}{3}}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\) e por \(e^{i\frac{4\pi}{3}}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\):

(2+i)\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\left(-1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\sqrt{3}-\frac{1}{2}\right)i

(2+i)\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\left(-1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(-\sqrt{3}-\frac{1}{2}\right)i

\(z=2+i\ \vee\ z=\left(-1-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\sqrt{3}-\tfrac{1}{2}\right)i\ \vee\ z=\left(-1+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)-\left(\sqrt{3}+\tfrac{1}{2}\right)i\)

8. Uma equação com o módulo

Considere \(z_1=\sqrt{3}-i\). Resolva, em \(\mathbb{C}\), a equação \(|z|\times z^{2}=z_1^{\,3}\). Apresente as soluções na forma trigonométrica.

\(z_1=2e^{-i\frac{\pi}{6}}\), logo \(z_1^{\,3}=8e^{-i\frac{\pi}{2}}\). O \(0\) não é solução; com \(z=\rho\,e^{i\theta}\), \(\rho\gt 0\):

\rho\times\rho^{2}e^{i2\theta}=8e^{-i\frac{\pi}{2}}\iff\rho^{3}=8\ \wedge\ 2\theta=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\iff\rho=2\ \wedge\ \theta=-\frac{\pi}{4}+k\pi

\(z=2e^{-i\frac{\pi}{4}}\ \vee\ z=2e^{i\frac{3\pi}{4}}\)

9. Uma equação do 3.º grau com uma solução conhecida

Resolva a equação \(z^{3}-z^{2}i+16(z-i)=0\), sabendo que \(i\) é solução.

Passo 1 — regra de Ruffini

A equação é \(z^{3}-iz^{2}+16z-16i=0\). Dividindo por \(z-i\):

	\(1\)	\(-i\)	\(16\)	\(-16i\)
\(i\)		\(i\)	\(0\)	\(16i\)
	\(1\)	\(0\)	\(16\)	\(0\)

z^{3}-iz^{2}+16z-16i=(z-i)\left(z^{2}+16\right)

Sem Ruffini: \(z^{2}(z-i)+16(z-i)=(z-i)(z^{2}+16)\).

Passo 2 — o fator do 2.º grau

z^{2}+16=0\iff z^{2}=-16\iff z=4i\ \vee\ z=-4i

\(S=\{i,\ 4i,\ -4i\}\)