Condições em ℂ e domínios planos | Matemática A

📌 Resumo teórico

Condições e as figuras que definem

Seja \(z=x+yi\), com afixo \(P(x,\,y)\), e sejam \(z_0\), \(z_1\), \(z_2\) números complexos com afixos \(P_0\), \(P_1\), \(P_2\).

Condição	Conjunto de pontos
\(\Re(z)=a\) / \(\Im(z)=b\)	reta vertical \(x=a\) / reta horizontal \(y=b\)
\(\Re(z)\ge a\), \(\Im(z)\lt b\), …	semiplanos (fechados com \(\le,\ge\); abertos com \(\lt,\gt\))
\(\Re(z)=\Im(z)\) / \(\Re(z)=-\Im(z)\)	bissetriz dos quadrantes ímpares / pares
\(\|z-z_0\|=r\)	circunferência de centro \(P_0\) e raio \(r\)
\(\|z-z_0\|\le r\) / \(\|z-z_0\|\ge r\)	círculo de centro \(P_0\) e raio \(r\) / exterior do círculo aberto
\(\|z-z_1\|=\|z-z_2\|\)	mediatriz do segmento \([P_1P_2]\)
\(\|z-z_1\|\le\|z-z_2\|\)	semiplano fechado limitado pela mediatriz que contém \(P_1\)
\(\Arg(z-z_0)=\theta\)	semirreta aberta com origem em \(P_0\) e inclinação \(\theta\) (sem o ponto \(P_0\))
\(\alpha\le\Arg(z-z_0)\le\beta\)	ângulo de vértice \(P_0\) entre as semirretas de inclinações \(\alpha\) e \(\beta\) (sem o vértice)

A conjunção (\(\wedge\)) corresponde à interseção e a disjunção (\(\vee\)) à reunião.
\(\Arg(w)\) só existe para \(w\ne 0\): as condições com \(\Arg(z-z_0)\) nunca incluem \(P_0\). Se o vértice pertence à região, acrescenta-se \(\vee\ z=z_0\).
Como \(\Arg\) toma valores em \(\left]-\pi,\,\pi\right]\), uma região que atravessa o semieixo real negativo (visto do vértice) escreve-se com duas condições: por exemplo, \(\dfrac{5\pi}{6}\le\Arg(z)\le\pi\ \vee\ -\pi\lt\Arg(z)\le-\dfrac{5\pi}{6}\).

De uma condição algébrica para um lugar geométrico

Substitui-se \(z=x+yi\), usa-se \(|z|^{2}=x^{2}+y^{2}\) e simplifica-se até reconhecer a equação de uma reta (\(ax+by=c\)) ou de uma circunferência \(\left((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\right)\). Não esquecer os pontos em que as expressões não estão definidas.

Convenção nas figuras desta ficha: as linhas a cheio que limitam uma região sombreada pertencem à região; as linhas a tracejado não pertencem.

Nota (Aprendizagens Essenciais, janeiro de 2023): as AE pedem que se caracterizem domínios planos através de condições na variável complexa e vice-versa, propondo a identificação de condições que representam regiões do plano complexo — circunferências, círculos, semirretas, retas e semiplanos. (Nas fichas antigas estas perguntas estavam assinaladas como opcionais; com as AE atuais passaram a fazer parte do programa.)

1. Lugares geométricos simples

No plano de Argand, identifique o lugar geométrico dos afixos dos números complexos que satisfazem as condições seguintes.

1.1. \(\Re(z)=\Im(z)\)
1.2. \(\Re(z)=3\)
1.3. \(\Re(z)=0\)
1.4. \(\Re(z)=-\Im(z)\)
1.5. \(\Im(z)=-2\)
1.6. \(|z|=4\)

Com \(z=x+yi\):

1.1. \(y=x\): bissetriz dos quadrantes ímpares;
1.2. \(x=3\): reta vertical que passa no ponto \((3,\,0)\);
1.3. \(x=0\): o eixo imaginário;
1.4. \(y=-x\): bissetriz dos quadrantes pares;
1.5. \(y=-2\): reta horizontal que passa no ponto \((0,\,-2)\);
1.6. \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}=4\iff x^{2}+y^{2}=16\): circunferência de centro na origem e raio \(4\).

2. Escolha múltipla: condições e regiões

Em cada alínea, selecione a opção correta.

2.1. Na figura estão representadas, no plano complexo, as bissetrizes dos 1.º e 2.º quadrantes.
Qual das seguintes condições define a reunião das duas bissetrizes?
- (A) \(\Arg(z)=\dfrac{\pi}{4}\ \vee\ \Arg(z)=\dfrac{3\pi}{4}\)
- (B) \(\Arg(z)=\dfrac{\pi}{4}\ \wedge\ \Arg(z)=\dfrac{3\pi}{4}\)
- (C) \(\dfrac{\pi}{4}\lt\Arg(z)\lt\dfrac{3\pi}{4}\)
- (D) \(\dfrac{\pi}{4}\le\Arg(z)\le\dfrac{3\pi}{4}\)
2.2. Na figura estão representados os pontos \(A\), \(B\) e \(C\), imagens dos números complexos \(-1+i\), \(-1\) e \(i\), respetivamente, e a circunferência de centro \(A\) que passa em \(B\) e em \(C\).
Uma condição em variável complexa que define a circunferência pode ser:
- (A) \(|z+1|=|z-i|\)
- (B) \(|z-1|=|z+i|\)
- (C) \(|z+1-i|=1\)
- (D) \(|z-1+i|=1\)
2.3. Qual das condições seguintes define o 1.º quadrante no plano complexo?
- (A) \(\Re(z)\gt 0\ \wedge\ \Im(z)\gt 0\)
- (B) \(\Re(z)\lt 0\ \wedge\ \Im(z)\lt 0\)
- (C) \(\Re(z)\gt 0\ \wedge\ \Im(z)\lt 0\)
- (D) \(\Re(z)\lt 0\ \wedge\ \Im(z)\gt 0\)
2.4. A reta \(r\), representada na figura, contém as bissetrizes dos quadrantes pares.
Qual das seguintes condições pode definir o domínio plano representado a cor, incluindo a fronteira?
- (A) \(\Im(z)=-\Re(z)\)
- (B) \(\Im(z)\le-\Re(z)\)
- (C) \(-\dfrac{\pi}{4}\le\Arg(z)\le\dfrac{3\pi}{4}\)
- (D) \(-\dfrac{\pi}{4}\lt\Arg(z)\lt\dfrac{3\pi}{4}\)
2.5. A condição \(|z|\le 1\) define um conjunto de pontos representado a cor numa das figuras seguintes. Qual?

(A)

(B)

(C)

(D)

2.1.

A bissetriz do 1.º quadrante é \(\Arg(z)=\dfrac{\pi}{4}\) e a do 2.º é \(\Arg(z)=\dfrac{3\pi}{4}\); a reunião traduz-se pela disjunção. A opção (B) é uma condição impossível e (C), (D) definem o ângulo entre as bissetrizes.

Opção (A)

2.2.

Raio: \(\overline{AC}=|i-(-1+i)|=|1|=1\). A circunferência é \(|z-(-1+i)|=1\iff|z+1-i|=1\). (A condição (A) define a mediatriz de \([BC]\).)

Opção (C)

2.3.

No 1.º quadrante as duas coordenadas são positivas.

Opção (A)

2.4.

A região é o semiplano \(y\ge -x\), isto é, \(\Im(z)\ge-\Re(z)\) — a opção (B) tem a desigualdade ao contrário. Vista da origem, a região é o ângulo raso entre a semirreta de inclinação \(-\dfrac{\pi}{4}\) e a de inclinação \(\dfrac{3\pi}{4}\), com as fronteiras incluídas: é a opção (C). (Rigorosamente, (C) só não contém a origem, onde \(\Arg\) não está definido.)

Opção (C)

2.5.

\(|z|\le 1\) é o círculo de centro na origem e raio \(1\).

Opção (C)

3. Representar regiões definidas por condições

Represente, no plano complexo, as regiões definidas pelas seguintes condições.

3.1. \(|z|\le 2\)
3.2. \(|z-1-i|=|z+i|\)
3.3. \(-\pi\lt\Arg(z)\lt\dfrac{\pi}{2}\ \wedge\ |z+1|\le 3\)
3.4. \(0\le\Arg(z-1)\lt\dfrac{\pi}{4}\ \wedge\ \left|z-\dfrac{1}{2}\right|\lt 2\)
3.5. \(|z-1|\lt|z-i|\)
3.6. \(|z-3-i|\ge|z-i|\ \wedge\ \left|z-\dfrac{1}{2}-i\right|\ge 2\)
3.7. \(-\dfrac{\pi}{3}\le\Arg\left(\dfrac{z}{\overline{z}}\right)\lt\dfrac{\pi}{3}\ \vee\ |z+1-i|\le 2\)

3.1.

Esboço: círculo de centro \(O\) e raio \(2\), com a circunferência incluída (traço cheio).

3.2.

É a mediatriz do segmento de extremos \(A(1,\,1)\) e \(B(0,\,-1)\). Com \(z=x+yi\):

(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=x^{2}+(y+1)^{2}\iff-2x+1-2y+1=2y+1\iff y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}

Esboço: reta de declive \(-\frac{1}{2}\) que passa no ponto médio \(\left(\frac{1}{2},\,0\right)\) de \([AB]\), perpendicular a \([AB]\).

3.3.

Esboço: \(-\pi\lt\Arg(z)\lt\frac{\pi}{2}\) é o plano todo exceto a origem, o semieixo imaginário positivo, o 2.º quadrante e o semieixo real negativo (ou seja, 1.º, 3.º e 4.º quadrantes e o semieixo real positivo e o imaginário negativo). Intersetado com o círculo de centro \((-1,\,0)\) e raio \(3\) (circunferência a cheio): fica o círculo sem a parte que está no 2.º quadrante, com as semirretas \(\Arg=\frac{\pi}{2}\) e \(\Arg=\pi\) a tracejado.

3.4.

Esboço: ângulo de vértice \((1,\,0)\) (excluído) e amplitude \(\frac{\pi}{4}\), entre a semirreta horizontal para a direita (incluída) e a semirreta de inclinação \(\frac{\pi}{4}\) (excluída, a tracejado); intersetado com o interior do círculo de centro \(\left(\frac{1}{2},\,0\right)\) e raio \(2\) (circunferência a tracejado). Obtém-se um pequeno setor que vai de \(x=1\) até \(x=\frac{5}{2}\).

3.5.

(x-1)^{2}+y^{2}\lt x^{2}+(y-1)^{2}\iff-2x\lt-2y\iff y\lt x

Esboço: semiplano aberto abaixo da bissetriz dos quadrantes ímpares (a reta fica a tracejado); é o lado que contém o afixo de \(1\).

3.6.

(x-3)^{2}+(y-1)^{2}\ge x^{2}+(y-1)^{2}\iff-6x+9\ge 0\iff x\le\frac{3}{2}

Esboço: semiplano fechado à esquerda da reta \(x=\frac{3}{2}\), intersetado com o exterior do círculo de centro \(\left(\frac{1}{2},\,1\right)\) e raio \(2\) (circunferência incluída, a cheio). A reta \(x=\frac{3}{2}\) atravessa o círculo, que fica «recortado» do semiplano.

3.7. — o argumento de \(\dfrac{z}{\overline{z}}\)

Para \(z=\rho\,e^{i\theta}\ne 0\): \(\dfrac{z}{\overline{z}}=e^{i2\theta}\). A condição \(-\dfrac{\pi}{3}\le\Arg\left(e^{i2\theta}\right)\lt\dfrac{\pi}{3}\) significa \(2\theta\in\left[-\dfrac{\pi}{3},\,\dfrac{\pi}{3}\right[+2k\pi\), ou seja, \(\theta\in\left[-\dfrac{\pi}{6},\,\dfrac{\pi}{6}\right[+k\pi\).

Esboço: dois ângulos verticalmente opostos, de vértice \(O\) e amplitude \(\frac{\pi}{3}\): um entre as semirretas de inclinação \(-\frac{\pi}{6}\) (a cheio) e \(\frac{\pi}{6}\) (a tracejado), à volta do semieixo real positivo; o outro, simétrico, à volta do semieixo real negativo, entre \(\frac{5\pi}{6}\) (a cheio) e \(\frac{7\pi}{6}\) (a tracejado). A tudo isto junta-se o círculo de centro \((-1,\,1)\) e raio \(2\) (que contém a origem).

4. Regiões definidas a partir de números dados

4.1. Sejam \(z_1=e^{i\frac{2\pi}{3}}\) e \(z_2=2e^{i\frac{5\pi}{4}}\). Represente, no plano complexo, a região definida pela condição \(|z-z_1|\le|z-z_2|\ \wedge\ |z-z_1|\le 3\).
4.2. Sejam \(z_1=-1-i\) e \(z_3=\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{2}}\). Represente, no plano complexo, a região definida pela condição \(|z-z_1|\le\sqrt{2}\ \wedge\ \Im(z)\ge\Re(z_3)\).
4.3. Seja \(w=2e^{i\frac{7\pi}{4}}\). Represente, no plano complexo, o conjunto definido por \(|z-w|\le 2\ \wedge\ -\dfrac{3\pi}{4}\le\Arg(z-w)\le-\dfrac{\pi}{4}\).

4.1.

\(z_1=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\) e \(z_2=-\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i\). Com \(z=x+yi\), a primeira condição fica

|z-z_1|^{2}\le|z-z_2|^{2}\iff\left(1-2\sqrt{2}\right)x-\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)y-3\le 0

Esboço: a mediatriz de \([Z_1Z_2]\) divide o plano; fica o semiplano fechado que contém \(Z_1\left(-\frac{1}{2},\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\). Intersetado com o círculo de centro \(Z_1\) e raio \(3\): obtém-se a parte do círculo que está do lado de \(Z_1\) em relação à mediatriz (fronteiras incluídas).

4.2.

\(\Re(z_3)=\Re\left(-\sqrt{2}\,i\right)=0\), logo a segunda condição é \(\Im(z)\ge 0\).

Esboço: o círculo de centro \((-1,\,-1)\) e raio \(\sqrt{2}\) passa na origem e em \((-2,\,0)\). A condição pede a parte desse círculo que está no semiplano \(y\ge 0\): um pequeno segmento circular acima do eixo real, entre \(x=-2\) e \(x=0\), com altura máxima \(-1+\sqrt{2}\approx 0{,}41\) em \(x=-1\).

4.3.

\(w=\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i\), com afixo \(W\left(\sqrt{2},\,-\sqrt{2}\right)\).

Esboço: setor circular de centro \(W\) e raio \(2\), entre as semirretas com origem em \(W\) e inclinações \(-\frac{3\pi}{4}\) e \(-\frac{\pi}{4}\) (ambas para baixo): é um quarto de círculo «virado para baixo», com o arco e os raios incluídos e sem o vértice \(W\).

5. Duas condições que definem o mesmo conjunto

Justifique que a condição \(|z-ai|=|z+a|\) define o mesmo lugar geométrico que a condição \(|z+ai|=|z-a|\), com \(a\) real.

Caso \(a\ne 0\)

\(|z-ai|=|z-(-a)|\) é a mediatriz do segmento de extremos \((0,\,a)\) e \((-a,\,0)\); \(|z-(-ai)|=|z-a|\) é a mediatriz do segmento de extremos \((0,\,-a)\) e \((a,\,0)\). Com \(z=x+yi\):

|z-ai|^{2}-|z+a|^{2}=x^{2}+(y-a)^{2}-(x+a)^{2}-y^{2}=-2a(x+y)

|z+ai|^{2}-|z-a|^{2}=x^{2}+(y+a)^{2}-(x-a)^{2}-y^{2}=2a(x+y)

Em ambos os casos a condição equivale a \(x+y=0\): as duas definem a bissetriz dos quadrantes pares.

Caso \(a=0\)

As duas condições ficam \(|z|=|z|\), universais: definem ambas todo o plano. \(\blacksquare\)

6. O módulo de um quociente igual a \(1\)

Determine o conjunto dos afixos dos números complexos \(z\) que verificam a condição \(\left|\dfrac{z-1-i}{z+1+i}\right|=1\).

Para \(z\ne-1-i\):

\left|\frac{z-1-i}{z+1+i}\right|=1\iff|z-(1+i)|=|z-(-1-i)|

É a mediatriz do segmento de extremos \(A(1,\,1)\) e \(B(-1,\,-1)\). Como \(A\) e \(B\) estão na bissetriz dos quadrantes ímpares e são simétricos em relação a \(O\), a mediatriz é a perpendicular a essa bissetriz pela origem: \(y=-x\). O ponto excluído \((-1,\,-1)\) não está nesta reta.

A bissetriz dos quadrantes pares, \(y=-x\).

7. Quando é que um quociente é real?

Determine o conjunto dos números complexos \(z\) tais que \(w=\dfrac{2z-i}{2+iz}\) é um número real.

Sugestão: recorde que \(w\) é real se e só se \(w=\overline{w}\), ou, de modo equivalente, se e só se o numerador multiplicado pelo conjugado do denominador tiver parte imaginária nula.

Passo 1 — o denominador

\(2+iz=0\iff z=\dfrac{-2}{i}=2i\). Este valor fica excluído.

Passo 2 — tornar o denominador real

\(w=\dfrac{(2z-i)\,\overline{(2+iz)}}{|2+iz|^{2}}\) é real se e só se \((2z-i)\left(2-i\overline{z}\right)\) tem parte imaginária nula. Com \(z=x+yi\):

(2z-i)\left(2-i\overline{z}\right)=4z-2i\,z\overline{z}-2i-\overline{z}=\left(4x-x\right)+\left(4y-2\left(x^{2}+y^{2}\right)-2+y\right)i

5y-2x^{2}-2y^{2}-2=0\iff x^{2}+y^{2}-\frac{5}{2}y+1=0\iff x^{2}+\left(y-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}

Passo 3 — conclusão

É a circunferência de centro \(\left(0,\,\dfrac{5}{4}\right)\) e raio \(\dfrac{3}{4}\). O ponto \((0,\,2)\), afixo de \(2i\), pertence a esta circunferência mas tem de ser retirado.

Os afixos de \(z\) formam a circunferência de centro \(\left(0,\,\frac{5}{4}\right)\) e raio \(\frac{3}{4}\), excluindo o ponto \((0,\,2)\).

8. Quando é que um quociente é imaginário puro?

Determine o conjunto dos números complexos \(z\) tais que \(\dfrac{z-1-i}{z+1+i}\) é um imaginário puro.

Seja \(a=1+i\) (então \(|a|^{2}=2\)) e \(z\ne-a\). Multiplicando pelo conjugado do denominador:

(z-a)\left(\overline{z}+\overline{a}\right)=|z|^{2}+z\overline{a}-a\overline{z}-|a|^{2}=\left(|z|^{2}-2\right)+\left(z\overline{a}-\overline{z\overline{a}}\right)=\left(|z|^{2}-2\right)+2i\,\Im\left(z\overline{a}\right)

Com \(z=x+yi\), \(z\overline{a}=(x+yi)(1-i)=(x+y)+(y-x)i\), logo \(\Im\left(z\overline{a}\right)=y-x\).

O quociente é imaginário puro quando a parte real é nula e a imaginária não é:

|z|^{2}=2\ \wedge\ y\ne x

Na circunferência \(x^{2}+y^{2}=2\), os pontos com \(y=x\) são \((1,\,1)\) e \((-1,\,-1)\) — afixos de \(1+i\) (onde o quociente é \(0\)) e de \(-1-i\) (onde não está definido).

Circunferência de centro \(O\) e raio \(\sqrt{2}\), exceto os afixos de \(1+i\) e de \(-1-i\).

9. Três afixos colineares

Determine o conjunto dos valores do número complexo \(z\) para os quais os pontos \(M_1\), \(M_2\) e \(M_3\), afixos, respetivamente, dos números complexos \(1+i\), \(1-z\) e \(1+iz\), são colineares.

Passo 1 — coordenadas

Com \(z=x+yi\): \(M_1(1,\,1)\), \(M_2(1-x,\,-y)\) e, como \(1+iz=(1-y)+xi\), \(M_3(1-y,\,x)\).

\overrightarrow{M_1M_2}=(-x,\,-y-1)\qquad \overrightarrow{M_1M_3}=(-y,\,x-1)

Passo 2 — vetores colineares

Os pontos são colineares se e só se estes vetores são colineares, isto é, se o «produto cruzado» das coordenadas é nulo:

(-x)(x-1)-(-y-1)(-y)=0\iff-x^{2}+x-y^{2}-y=0\iff x^{2}-x+y^{2}+y=0

\iff\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}

Os afixos de \(z\) formam a circunferência de centro \(\left(\frac{1}{2},\,-\frac{1}{2}\right)\) e raio \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Nota: nesta circunferência estão \(z=0\), \(z=1\) e \(z=-i\), para os quais dois dos três pontos coincidem (\(M_2=M_3\), \(M_3=M_1\) e \(M_2=M_1\), respetivamente). Se se exigir que os três pontos sejam distintos, esses três valores ficam excluídos.

10. Uma circunferência escondida numa condição

Mostre que a condição \(|z-2i|=3\,|z+3|\) define, no plano complexo, uma circunferência de centro no afixo do número complexo \(-\dfrac{27}{8}-\dfrac{1}{4}i\) e de raio \(\dfrac{\sqrt{117}}{8}\).

Os dois membros são não negativos, por isso pode elevar-se ao quadrado. Com \(z=x+yi\):

x^{2}+(y-2)^{2}=9\left[(x+3)^{2}+y^{2}\right]\iff x^{2}+y^{2}-4y+4=9x^{2}+54x+81+9y^{2}

\iff 8x^{2}+8y^{2}+54x+4y+77=0\iff x^{2}+\frac{27}{4}x+y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{77}{8}=0

Completando os quadrados:

\left(x+\frac{27}{8}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{729}{64}+\frac{1}{16}-\frac{77}{8}=\frac{729+4-616}{64}=\frac{117}{64}

Circunferência de centro \(\left(-\frac{27}{8},\,-\frac{1}{4}\right)\) e raio \(\sqrt{\frac{117}{64}}=\frac{\sqrt{117}}{8}\). \(\blacksquare\)

11. Um conjunto que é um semiplano

Considere o conjunto de números complexos

A=\left\{z\in\mathbb{C}:\ \Im(z)\lt 0\ \wedge\ \Re\left(iz-\frac{1}{2}\right)\ge 1\right\}

Mostre que os afixos dos números complexos do conjunto \(A\) pertencem a um semiplano.

Seja \(z=x+yi\). A condição \(\Im(z)\lt 0\) é o semiplano aberto \(y\lt 0\). Além disso:

iz-\frac{1}{2}=i(x+yi)-\frac{1}{2}=\left(-y-\frac{1}{2}\right)+xi\qquad \Re\left(iz-\frac{1}{2}\right)\ge 1\iff-y-\frac{1}{2}\ge 1\iff y\le-\frac{3}{2}

A interseção de \(y\lt 0\) com \(y\le-\dfrac{3}{2}\) é \(y\le-\dfrac{3}{2}\).

Os afixos dos elementos de \(A\) formam o semiplano fechado \(y\le-\frac{3}{2}\), abaixo da reta horizontal \(y=-\frac{3}{2}\). \(\blacksquare\)

12. Um argumento de \(\dfrac{\pi}{2}\) implica módulo \(1\)

Mostre que \(\Arg\left(\dfrac{z+1}{z-1}\right)=\dfrac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ |z|=1\).

Se o argumento principal de \(\dfrac{z+1}{z-1}\) é \(\dfrac{\pi}{2}\), esse número é imaginário puro de coeficiente positivo: \(\dfrac{z+1}{z-1}=ki\), com \(k\gt 0\).

z+1=ki(z-1)\iff z(1-ki)=-1-ki\iff z=-\frac{1+ki}{1-ki}

Pelas propriedades do módulo:

|z|=\frac{|1+ki|}{|1-ki|}=\frac{\sqrt{1+k^{2}}}{\sqrt{1+k^{2}}}=1\ \ \blacksquare

Interpretação geométrica: sendo \(A(-1,0)\) e \(B(1,0)\), a condição diz que o ângulo \(AZB\) é reto, logo \(Z\) está na circunferência de diâmetro \([AB]\) — a de centro \(O\) e raio \(1\).

13. Dentro da circunferência e sobre uma reta (I)

No referencial da figura estão representadas a circunferência de centro na origem \(O\) e raio \(2\) e a reta \(r\) que passa pela origem e tem inclinação \(150^{\circ}\).

Circunferência de centro O e raio 2 e reta r pela origem com inclinação de 150 graus

Mostre que o afixo do número complexo \(w=\dfrac{\left(\sqrt{3}+i\right)^{2}}{\dfrac{\left(2e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^{3}+2}{-i}}\) se situa no interior da circunferência e sobre a reta \(r\).

\left(\sqrt{3}+i\right)^{2}=\left(2e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^{2}=4e^{i\frac{\pi}{3}}\qquad \left(2e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^{3}+2=8e^{i\pi}+2=-6\qquad \frac{-6}{-i}=\frac{6}{i}=-6i=6e^{-i\frac{\pi}{2}}

w=\frac{4e^{i\frac{\pi}{3}}}{6e^{-i\frac{\pi}{2}}}=\frac{2}{3}e^{i\frac{5\pi}{6}}

\(|w|=\dfrac{2}{3}\lt 2\): o afixo está no interior da circunferência. \(\Arg(w)=\dfrac{5\pi}{6}=150^{\circ}\): o afixo está na semirreta com origem em \(O\) e inclinação \(150^{\circ}\), que faz parte da reta \(r\). \(\blacksquare\)

(Na forma algébrica, \(w=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{1}{3}i\).)

14. Dentro da circunferência e sobre uma reta (II)

Na figura estão representadas a circunferência de centro na origem do referencial e raio \(2\), a reta \(r\), que contém as bissetrizes dos quadrantes ímpares, e o ponto \(A\), afixo de uma das raízes cúbicas de \(8i\).

Circunferência de raio 2, bissetriz dos quadrantes ímpares, ponto A no 2.º quadrante sobre a circunferência e três setores sombreados

14.1. Mostre que o afixo do número complexo \(w=\dfrac{(1+i)^{4}}{2\sqrt{3}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}}\) se situa no interior da circunferência e pertence à reta \(r\).
14.2. Defina, por uma condição em \(\mathbb{C}\), a região sombreada, incluindo a fronteira.

14.1.

(1+i)^{4}=\left[(1+i)^{2}\right]^{2}=(2i)^{2}=-4=4e^{i\pi}\qquad w=\frac{4e^{i\pi}}{2\sqrt{3}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}e^{i\frac{5\pi}{4}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}e^{-i\frac{3\pi}{4}}

\(|w|=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1{,}15\lt 2\) e \(\Arg(w)=-\dfrac{3\pi}{4}\), que é a inclinação da semirreta da bissetriz no 3.º quadrante. \(\blacksquare\)

14.2. — o ponto \(A\)

\(8i=8e^{i\frac{\pi}{2}}\), cujas raízes cúbicas são \(2e^{i\frac{\pi}{6}}\), \(2e^{i\frac{5\pi}{6}}\) e \(2e^{i\frac{3\pi}{2}}\). \(A\) está no 2.º quadrante, logo \(A\) é o afixo de \(2e^{i\frac{5\pi}{6}}\).

14.2. — a região

A região é formada pelos pontos do círculo de raio \(2\) cujo argumento está entre \(0\) e \(\dfrac{\pi}{4}\), entre \(\dfrac{5\pi}{6}\) e \(\pi\), ou entre \(-\pi\) e \(-\dfrac{3\pi}{4}\) (este último é o prolongamento do anterior para lá do semieixo real negativo).

\(|z|\le 2\ \wedge\ \left(0\le\Arg(z)\le\dfrac{\pi}{4}\ \vee\ \dfrac{5\pi}{6}\le\Arg(z)\le\pi\ \vee\ -\pi\lt\Arg(z)\le-\dfrac{3\pi}{4}\right)\ \ \vee\ z=0\)

15. Uma região num hexágono regular

O afixo de \(w=3e^{i\frac{\pi}{3}}\) é um dos vértices de um hexágono regular com centro na origem do referencial, representado na figura.

Hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 3, com um losango sombreado formado pela origem e pelos três vértices da esquerda

Defina, por meio de uma condição em \(\mathbb{C}\), a região sombreada, incluindo a fronteira.

Passo 1 — os vértices envolvidos

Os vértices são \(3e^{i\frac{k\pi}{3}}\). A região é o losango de vértices \(O\), \(3e^{i\frac{2\pi}{3}}=\left(-\frac{3}{2},\,\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\), \(-3\) e \(3e^{-i\frac{2\pi}{3}}=\left(-\frac{3}{2},\,-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\).

Passo 2 — os dois lados que passam na origem

São partes das semirretas \(\Arg(z)=\dfrac{2\pi}{3}\) e \(\Arg(z)=-\dfrac{2\pi}{3}\); a região está no ângulo entre elas que contém o semieixo real negativo:

\frac{2\pi}{3}\le\Arg(z)\le\pi\ \vee\ -\pi\lt\Arg(z)\le-\frac{2\pi}{3}

Passo 3 — os dois lados do hexágono

O lado que une \(\left(-\frac{3}{2},\,\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\) a \((-3,\,0)\) está na reta \(y=\sqrt{3}(x+3)\) e o que une \((-3,\,0)\) a \(\left(-\frac{3}{2},\,-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\) na reta \(y=-\sqrt{3}(x+3)\). A região fica entre as duas:

-\sqrt{3}\left(\Re(z)+3\right)\le\Im(z)\le\sqrt{3}\left(\Re(z)+3\right)

\(\left(\dfrac{2\pi}{3}\le\Arg(z)\le\pi\ \vee\ -\pi\lt\Arg(z)\le-\dfrac{2\pi}{3}\ \vee\ z=0\right)\ \wedge\ |\Im(z)|\le\sqrt{3}\left(\Re(z)+3\right)\)

Atenção: é tentador escrever \(|z|\le 3\) em vez da última condição, mas isso daria um setor circular (limitado por um arco), e não o losango limitado pelos lados do hexágono.

16. Uma circunferência de centro no afixo de \(e^{i\pi}\)

Na figura está representada a circunferência de centro no ponto \(A\) e raio \(\overline{AB}\), sendo \(A\) e \(B\) os afixos dos números complexos \(e^{i\pi}\) e \(2e^{i\frac{\pi}{2}}\), respetivamente.

Circunferência de centro A(-1,0) que passa em B(0,2), com a parte do círculo no 1.º quadrante sombreada

16.1. Mostre que o afixo do número complexo \(1+i\) pertence à circunferência.
16.2. Defina, por uma condição em variável complexa, a região sombreada na figura, incluindo a fronteira.
16.3. Seja \(C\) o afixo do número complexo \(2i\,e^{i\frac{\pi}{2}}\). Justifique que \(C\) não pertence à circunferência.

\(e^{i\pi}=-1\) e \(2e^{i\frac{\pi}{2}}=2i\), logo \(A(-1,\,0)\), \(B(0,\,2)\) e o raio é \(\overline{AB}=|2i-(-1)|=|1+2i|=\sqrt{5}\). A circunferência é \(|z+1|=\sqrt{5}\).

16.1.

|(1+i)+1|=|2+i|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}

A distância ao centro é igual ao raio. \(\blacksquare\)

16.2.

São os pontos do círculo que estão no 1.º quadrante, com os eixos incluídos.

\(|z+1|\le\sqrt{5}\ \wedge\ \Re(z)\ge 0\ \wedge\ \Im(z)\ge 0\)

16.3.

2i\,e^{i\frac{\pi}{2}}=2i\times i=-2\qquad |-2+1|=1\ne\sqrt{5}

A distância de \(C(-2,\,0)\) ao centro não é igual ao raio: \(C\) não pertence à circunferência (está no seu interior). \(\blacksquare\)

17. Setores de um círculo cortado por uma reta

Na figura está representada a circunferência que passa na origem do referencial e tem centro no afixo de \(2i\). Está representada também a reta \(r\), que passa pelo centro da circunferência e interseta o eixo real no ponto de abcissa \(2\).

Circunferência de centro (0,2) e raio 2, reta r pelo centro e por (2,0), e dois setores sombreados

Apresente uma condição, em \(\mathbb{C}\), que defina a região sombreada, incluindo a fronteira.

Passo 1 — circunferência e reta

O raio é a distância do centro \((0,\,2)\) à origem: \(2\). O círculo é \(|z-2i|\le 2\).

A reta \(r\) passa em \((0,\,2)\) e \((2,\,0)\): tem declive \(-1\) e inclinação \(\dfrac{3\pi}{4}\). Vistas a partir do centro, as suas duas semirretas têm inclinações \(\dfrac{3\pi}{4}\) (para cima e para a esquerda) e \(-\dfrac{\pi}{4}\) (para baixo e para a direita).

Passo 2 — os dois setores

O setor de cima está entre o semieixo imaginário «para cima» (inclinação \(\dfrac{\pi}{2}\)) e a semirreta de inclinação \(\dfrac{3\pi}{4}\); o de baixo está entre a direção «para baixo» (\(-\dfrac{\pi}{2}\)) e a semirreta de inclinação \(-\dfrac{\pi}{4}\).

\(|z-2i|\le 2\ \wedge\ \left(\dfrac{\pi}{2}\le\Arg(z-2i)\le\dfrac{3\pi}{4}\ \vee\ -\dfrac{\pi}{2}\le\Arg(z-2i)\le-\dfrac{\pi}{4}\right)\ \ \vee\ z=2i\)

18. Condições para regiões dadas

Defina, por uma condição em variável complexa, as regiões do plano complexo representadas a sombreado em cada uma das alíneas, tendo em conta as informações dadas. (Linhas a cheio pertencem à região; linhas a tracejado não pertencem.)

18.1. \(A\) e \(B\) pertencem às retas que contêm as bissetrizes dos quadrantes.
18.2. \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) são os afixos, respetivamente, dos números complexos \(1+i\), \(-1+i\), \(-1-i\) e \(1-i\); as quatro circunferências têm raio \(1\).
18.3. \(A\) e \(B\) são os afixos dos números complexos \(-1-i\) e \(1+i\); a circunferência tem centro em \(A\) e passa em \(B\).
18.4. \(A\) é o afixo do número real \(-1\); a circunferência tem centro em \(A\) e raio \(1\).
18.5. \(A\) e \(B\) são os afixos dos números complexos \(-2-2i\) e \(1\); \(C\) é o ponto médio de \([AB]\) e a reta representada é a mediatriz de \([AB]\).
18.6. \(A\), \(B\) e \(C\) são os afixos dos números complexos \(a\), \(b\) e \(c\) tais que \(a=2i\), \(|a|=|b|\), \(b\) é um número real negativo e \(\Re(c)=-\Re(b)\), com \(c\) real.
18.7. Os pontos assinalados são os vértices de um polígono regular de \(12\) lados com centro na origem; as semirretas passam em vértices do polígono.

18.1.

Ângulo de vértice \(O\) entre as bissetrizes do 1.º e 2.º quadrantes, fronteira excluída.

\(\dfrac{\pi}{4}\lt\Arg(z)\lt\dfrac{3\pi}{4}\)

18.2.

Pontos que não estão no interior de nenhum dos quatro círculos (as circunferências estão incluídas).

\(|z-1-i|\ge 1\ \wedge\ |z+1-i|\ge 1\ \wedge\ |z+1+i|\ge 1\ \wedge\ |z-1+i|\ge 1\)

18.3.

Raio \(\overline{AB}=|(1+i)-(-1-i)|=|2+2i|=2\sqrt{2}\). Interior do círculo, no 3.º quadrante, fronteiras excluídas.

\(|z+1+i|\lt 2\sqrt{2}\ \wedge\ \Re(z)\lt 0\ \wedge\ \Im(z)\lt 0\)

18.4.

Faixa \(-1\le\Im(z)\le 1\), à direita de \(\Re(z)=-1\), sem o interior do círculo de centro \(A\) e raio \(1\).

\(|z+1|\ge 1\ \wedge\ \Re(z)\ge-1\ \wedge\ -1\le\Im(z)\le 1\)

18.5.

Os pontos à direita da mediatriz estão mais perto de \(B\) do que de \(A\): \(|z-1|\le|z+2+2i|\). A região está ainda no 2.º quadrante, com as partes dos eixos incluídas.

\(|z-1|\le|z+2+2i|\ \wedge\ \Re(z)\le 0\ \wedge\ \Im(z)\ge 0\)

18.6.

\(A(0,\,2)\), \(B(-2,\,0)\) e \(C(2,\,0)\). As retas \(AB\) e \(AC\) têm inclinações \(\dfrac{\pi}{4}\) e \(\dfrac{3\pi}{4}\); a partir de \(A\), os lados \([AB]\) e \([AC]\) apontam nas direções \(-\dfrac{3\pi}{4}\) e \(-\dfrac{\pi}{4}\). O triângulo é a parte desse ângulo acima do eixo real.

\(\left(-\dfrac{3\pi}{4}\le\Arg(z-2i)\le-\dfrac{\pi}{4}\ \vee\ z=2i\right)\ \wedge\ \Im(z)\ge 0\)

18.7.

Os vértices do polígono de \(12\) lados estão de \(\dfrac{\pi}{6}\) em \(\dfrac{\pi}{6}\). Os quatro ângulos sombreados são \(\left[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right]\), \(\left[\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}\right]\) e os seus simétricos em relação ao eixo real.

\(\dfrac{\pi}{6}\le\Arg(z)\le\dfrac{\pi}{3}\ \vee\ \dfrac{2\pi}{3}\le\Arg(z)\le\dfrac{5\pi}{6}\ \vee\ -\dfrac{5\pi}{6}\le\Arg(z)\le-\dfrac{2\pi}{3}\ \vee\ -\dfrac{\pi}{3}\le\Arg(z)\le-\dfrac{\pi}{6}\)

19. Dezoito semirretas e oito setores

Na figura está representada a circunferência de centro no afixo do número complexo \(2+i\) e que passa na imagem geométrica do número complexo \(2i\). A partir do centro da circunferência traçaram-se \(18\) semirretas (duas das quais paralelas ao eixo real), que definem \(18\) setores iguais. Sombrearam-se oito desses setores.

Circunferência de centro (2,1) que passa em (0,2), dezoito semirretas a partir do centro e oito setores sombreados

19.1. Escreva uma condição, em variável complexa, que defina a circunferência.
19.2. Defina, por uma condição em variável complexa, o conjunto das \(18\) semirretas, sem usar a conjunção de condições.
19.3. Escreva uma condição em \(\mathbb{C}\) que defina a região sombreada.

19.1.

Raio: \(|2i-(2+i)|=|-2+i|=\sqrt{5}\).

\(|z-2-i|=\sqrt{5}\)

19.2.

\(18\) setores iguais correspondem a ângulos de \(\dfrac{2\pi}{18}=\dfrac{\pi}{9}\). Como duas semirretas são paralelas ao eixo real, as inclinações são os múltiplos de \(\dfrac{\pi}{9}\) em \(\left]-\pi,\,\pi\right]\):

\(\Arg(z-2-i)=\dfrac{k\pi}{9},\ \ k\in\{-8,-7,\dots,8,9\}\)

19.3.

Lendo a figura a partir da semirreta horizontal para a direita, estão sombreados os setores entre \(-\dfrac{\pi}{9}\) e \(\dfrac{\pi}{9}\) (dois setores), entre \(\dfrac{2\pi}{9}\) e \(\dfrac{\pi}{3}\), entre \(\dfrac{2\pi}{3}\) e \(\dfrac{7\pi}{9}\), entre \(\dfrac{8\pi}{9}\) e \(\dfrac{10\pi}{9}\) (dois setores, à volta da horizontal para a esquerda), entre \(\dfrac{11\pi}{9}\) e \(\dfrac{4\pi}{3}\), e entre \(\dfrac{5\pi}{3}\) e \(\dfrac{16\pi}{9}\) — oito setores ao todo. Passando para \(\left]-\pi,\,\pi\right]\):

\(|z-2-i|\le\sqrt{5}\ \wedge\ \Big(-\tfrac{\pi}{9}\le\Arg(z-2-i)\le\tfrac{\pi}{9}\ \vee\ \tfrac{2\pi}{9}\le\Arg(z-2-i)\le\tfrac{\pi}{3}\ \vee\ \tfrac{2\pi}{3}\le\Arg(z-2-i)\le\tfrac{7\pi}{9}\ \vee\ \tfrac{8\pi}{9}\le\Arg(z-2-i)\le\pi\ \vee\ -\pi\lt\Arg(z-2-i)\le-\tfrac{8\pi}{9}\ \vee\ -\tfrac{7\pi}{9}\le\Arg(z-2-i)\le-\tfrac{2\pi}{3}\ \vee\ -\tfrac{\pi}{3}\le\Arg(z-2-i)\le-\tfrac{2\pi}{9}\Big)\)