Ficha de Trabalho — Números Complexos | 12.º ano

1. Valores reais de \(k\) — imaginário puro ou real

1

Determine o(s) valor(es) de \(k \in \mathbb{R}\), para os quais:

1.1 \(z = -3k + 2\mathrm{i}\) é imaginário puro;
1.2 \(z = (k-3) + (k^2 - 9)\mathrm{i}\) é imaginário puro;
1.3 \(z = (k^2 - k) + k\mathrm{i}\) é imaginário puro;
1.4 \(z = 2k\mathrm{i} - 3 + k^2\mathrm{i} + k\) é um número real;
1.5 \(z = \sin k + \mathrm{i}\cos k\) é um número real negativo;
1.6 \(z = \sin k + \mathrm{i}\bigl(2\cos^{2}k - 2\sin^{2}k - 1\bigr)\) é um número real.

1.1

\(z\) é imaginário puro \(\Leftrightarrow \operatorname{Re}(z)=0 \;\land\; \operatorname{Im}(z)\neq 0\).

-3k=0 \;\land\; 2\neq 0 \;\Leftrightarrow\; k=0

\(k=0\)

1.2

k-3=0 \;\land\; k^{2}-9\neq 0 \;\Leftrightarrow\; k=3 \;\land\; k\neq \pm 3

\(k\in\varnothing\); logo, \(z\) nunca é imaginário puro.

1.3

k^{2}-k=0 \;\land\; k\neq 0 \;\Leftrightarrow\; k(k-1)=0 \;\land\; k\neq 0 \;\Leftrightarrow\; k=1

\(k=1\)

1.4

\(z = (k-3) + (2k + k^{2})\mathrm{i}\). É real \(\Leftrightarrow \operatorname{Im}(z)=0\):

k^{2}+2k=0 \;\Leftrightarrow\; k(k+2)=0 \;\Leftrightarrow\; k=0 \;\lor\; k=-2

1.5

\(z\) real \(\Leftrightarrow \cos k=0\); negativo \(\Leftrightarrow \sin k<0\).

\cos k=0 \;\Leftrightarrow\; k=\dfrac{\pi}{2}+n\pi, \; n\in\mathbb{Z}

Destes, os que dão \(\sin k = -1 < 0\) são:

\(k=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi, \; k\in\mathbb{Z}\)

1.6

Usando \(\cos(2k)=\cos^{2}k-\sin^{2}k\), a parte imaginária é \(2\cos(2k)-1\).

2\cos(2k)-1=0 \;\Leftrightarrow\; \cos(2k)=\dfrac{1}{2} \;\Leftrightarrow\; 2k=\pm\dfrac{\pi}{3}+2n\pi

\(k=\dfrac{\pi}{6}+n\pi \;\lor\; k=-\dfrac{\pi}{6}+n\pi, \; n\in\mathbb{Z}\)

2. Equações em \(\mathbb{C}\)

2

Resolva, em \(\mathbb{C}\), as equações seguintes, apresentando a(s) solução(ões) na forma algébrica e o mais simplificada(s) possível(is).

2.1 \(z^{2}+8=0\)
2.2 \(z^{2}-2z+4=0\)
2.3 \(z^{2}+27=0\)
2.4 \(9z^{2}+2z+1=0\)
2.5 \(z^{2}\bigl[(z-2)^{2}+9\bigr]=0\)
2.6 \(z^{3}+5z=0\)
2.7 \((z-5)^{2}+1=0\)
2.8 \(z^{3}-z^{2}+z=0\)

2.1

z^{2}=-8 \;\Leftrightarrow\; z=\pm\sqrt{-8}=\pm 2\sqrt{2}\,\mathrm{i}

\(z=-2\sqrt{2}\,\mathrm{i} \;\lor\; z=2\sqrt{2}\,\mathrm{i}\)

2.2

z=\dfrac{2\pm\sqrt{4-16}}{2}=\dfrac{2\pm\sqrt{-12}}{2}=\dfrac{2\pm 2\sqrt{3}\,\mathrm{i}}{2}=1\pm\sqrt{3}\,\mathrm{i}

\(z=1+\sqrt{3}\,\mathrm{i} \;\lor\; z=1-\sqrt{3}\,\mathrm{i}\)

2.3

z^{2}=-27 \;\Leftrightarrow\; z=\pm 3\sqrt{3}\,\mathrm{i}

2.4

z=\dfrac{-2\pm\sqrt{4-36}}{18}=\dfrac{-2\pm 4\sqrt{2}\,\mathrm{i}}{18}=\dfrac{-1\pm 2\sqrt{2}\,\mathrm{i}}{9}

2.5

\(z^{2}=0 \;\lor\; (z-2)^{2}=-9\), donde \(z-2=\pm 3\mathrm{i}\):

\(z=0 \;\lor\; z=2-3\mathrm{i} \;\lor\; z=2+3\mathrm{i}\)

2.6

\(z(z^{2}+5)=0 \;\Leftrightarrow\; z=0 \;\lor\; z^{2}=-5\):

\(z=0 \;\lor\; z=-\sqrt{5}\,\mathrm{i} \;\lor\; z=\sqrt{5}\,\mathrm{i}\)

2.7

(z-5)^{2}=-1 \;\Leftrightarrow\; z-5=\pm\mathrm{i} \;\Leftrightarrow\; z=5\pm\mathrm{i}

2.8

\(z(z^{2}-z+1)=0 \;\Leftrightarrow\; z=0 \;\lor\; z^{2}-z+1=0\):

z=\dfrac{1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{i}

\(z=0 \;\lor\; z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i} \;\lor\; z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\)

3. Determinar \(a, b\in\mathbb{R}\) — igualdade de complexos

3

Determine os valores reais \(a\) e \(b\) de modo que:

3.1 \((1-2a) - b\mathrm{i} + 3\mathrm{i} = 4 - 2\mathrm{i}\)
3.2 \(a\mathrm{i} - 4 + 3\mathrm{i} + 2b = -\mathrm{i}\)
3.3 \(\operatorname{Re}(-a + 2\mathrm{i} - 3) = \operatorname{Im}\!\bigl[(9+a)\mathrm{i} + 4b\bigr]\)
3.4 \(a^{2}\mathrm{i} - 2a + b = (b-3+a) - \mathrm{i} + a^{2}\mathrm{i} - 2b\mathrm{i}\)

3.1

Escrevendo a equação na forma \(\alpha + \beta\mathrm{i} = 4 - 2\mathrm{i}\):

(1-2a) + (3-b)\mathrm{i} = 4 - 2\mathrm{i} \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} 1-2a=4 \\ 3-b=-2 \end{cases} \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} a=-\dfrac{3}{2} \\ b=5 \end{cases}

3.2

(-4+2b) + (a+3)\mathrm{i} = -\mathrm{i} \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} -4+2b=0 \\ a+3=-1 \end{cases} \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} b=2 \\ a=-4 \end{cases}

3.3

\(\operatorname{Re}(-a-3+2\mathrm{i}) = -a-3\;\) e \(\;\operatorname{Im}\!\bigl(4b+(9+a)\mathrm{i}\bigr) = 9+a\). Logo:

-a-3 = 9+a \;\Leftrightarrow\; -2a = 12 \;\Leftrightarrow\; a=-6

\(a=-6\) e \(b\in\mathbb{R}\) qualquer.

3.4

Igualando partes real e imaginária:

-2a+b = b-3+a \;\Rightarrow\; -3a=-3 \;\Rightarrow\; a=1

a^{2} = -1 + a^{2} - 2b \;\Rightarrow\; 0 = -1 - 2b \;\Rightarrow\; b=-\dfrac{1}{2}

\(a=1\) e \(b=-\dfrac{1}{2}\)

4. Escrever na forma \(a+b\mathrm{i}\) (I)

4

Escreva os seguintes números na forma \(a + b\mathrm{i}\), onde \(a, b \in \mathbb{R}\), com \(a\) e \(b\) o mais simplificado possível.

4.1 \(-3 + 2(4-\mathrm{i}) - (3\mathrm{i}-1)^{2}\)
4.2 \((1-\sqrt{2}\,\mathrm{i})^{2} + \mathrm{i}(\sqrt{2}+\mathrm{i})^{2}\)
4.3 \((\mathrm{i}^{2}+4\mathrm{i})\cdot 3\mathrm{i} - 2(\mathrm{i}+2)^{2}\)
4.4 \((\sqrt{3}-\mathrm{i})^{3} - \sqrt{3}(-1+2\mathrm{i})^{2}\)
4.5 \(2(\sqrt{2}\,\mathrm{i}-\mathrm{i})^{2} - (\mathrm{i}-2)^{4}\)
4.6 \((\cos x + \mathrm{i}\sin x)^{2} + (1+\mathrm{i})^{2}\)

4.1

(3\mathrm{i}-1)^{2} = 9\mathrm{i}^{2}-6\mathrm{i}+1 = -8-6\mathrm{i}

-3+(8-2\mathrm{i}) - (-8-6\mathrm{i}) = -3+8-2\mathrm{i}+8+6\mathrm{i} = 13+4\mathrm{i}

4.2

(1-\sqrt{2}\,\mathrm{i})^{2} = 1 - 2\sqrt{2}\,\mathrm{i} + 2\mathrm{i}^{2} = -1 - 2\sqrt{2}\,\mathrm{i}

(\sqrt{2}+\mathrm{i})^{2} = 2 + 2\sqrt{2}\,\mathrm{i} + \mathrm{i}^{2} = 1 + 2\sqrt{2}\,\mathrm{i}

\mathrm{i}(1+2\sqrt{2}\,\mathrm{i}) = -2\sqrt{2}+\mathrm{i}

(-1-2\sqrt{2}\,\mathrm{i}) + (-2\sqrt{2}+\mathrm{i}) = (-1-2\sqrt{2}) + (1-2\sqrt{2})\mathrm{i}

4.3

(-1+4\mathrm{i})\cdot 3\mathrm{i} = -3\mathrm{i}-12 = -12-3\mathrm{i}

(\mathrm{i}+2)^{2} = 3+4\mathrm{i} \;\Rightarrow\; 2(3+4\mathrm{i})=6+8\mathrm{i}

(-12-3\mathrm{i}) - (6+8\mathrm{i}) = -18-11\mathrm{i}

4.4

(\sqrt{3}-\mathrm{i})^{3} = (\sqrt{3})^{3} - 3(\sqrt{3})^{2}\mathrm{i} + 3\sqrt{3}\,\mathrm{i}^{2} - \mathrm{i}^{3} = 3\sqrt{3}-9\mathrm{i}-3\sqrt{3}+\mathrm{i} = -8\mathrm{i}

(-1+2\mathrm{i})^{2} = 1-4\mathrm{i}-4 = -3-4\mathrm{i}

-\sqrt{3}(-3-4\mathrm{i}) = 3\sqrt{3}+4\sqrt{3}\,\mathrm{i}

-8\mathrm{i} + 3\sqrt{3}+4\sqrt{3}\,\mathrm{i} = 3\sqrt{3} + (4\sqrt{3}-8)\mathrm{i}

4.5

(\sqrt{2}\,\mathrm{i}-\mathrm{i})^{2} = ((\sqrt{2}-1)\mathrm{i})^{2} = (\sqrt{2}-1)^{2}\mathrm{i}^{2} = -(3-2\sqrt{2}) = -3+2\sqrt{2}

2(-3+2\sqrt{2}) = -6+4\sqrt{2}

(\mathrm{i}-2)^{2}=3-4\mathrm{i}, \;\; (\mathrm{i}-2)^{4}=(3-4\mathrm{i})^{2}=-7-24\mathrm{i}

(-6+4\sqrt{2}) - (-7-24\mathrm{i}) = (1+4\sqrt{2}) + 24\mathrm{i}

4.6

Pelas fórmulas do dobro: \((\cos x + \mathrm{i}\sin x)^{2} = \cos(2x) + \mathrm{i}\sin(2x)\) e \((1+\mathrm{i})^{2} = 2\mathrm{i}\).

\cos(2x) + \mathrm{i}\sin(2x) + 2\mathrm{i} = \cos(2x) + \bigl(\sin(2x)+2\bigr)\mathrm{i}

5. Parte real e parte imaginária

5

Determine a parte real e a parte imaginária dos seguintes números complexos.

5.1 \(-\mathrm{i}(2-3\mathrm{i})^{2} + \dfrac{1+2\mathrm{i}}{\mathrm{i}}\)
5.2 \(\dfrac{5+19\mathrm{i}}{2\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}} - (1+2\mathrm{i})^{-1}\)
5.3 \(2-2\mathrm{i} - \dfrac{\mathrm{i}}{2-2\mathrm{i}} + \left(\dfrac{1}{\mathrm{i}}\right)^{5}\)
5.4 \(\mathrm{i}^{73} + \dfrac{5-10\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}} + (\sqrt{3}\,\mathrm{i})^{2}\)

5.1

(2-3\mathrm{i})^{2}=-5-12\mathrm{i}; \;\; -\mathrm{i}(-5-12\mathrm{i}) = -12+5\mathrm{i}

\dfrac{1+2\mathrm{i}}{\mathrm{i}} = \dfrac{(1+2\mathrm{i})(-\mathrm{i})}{1} = 2-\mathrm{i}

-12+5\mathrm{i}+2-\mathrm{i} = -10+4\mathrm{i}

\(\operatorname{Re}=-10\); \(\;\operatorname{Im}=4\)

5.2

2\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2} = -1+2\mathrm{i}

\dfrac{5+19\mathrm{i}}{-1+2\mathrm{i}} = \dfrac{(5+19\mathrm{i})(-1-2\mathrm{i})}{5} = \dfrac{33-29\mathrm{i}}{5}

(1+2\mathrm{i})^{-1} = \dfrac{1-2\mathrm{i}}{5}

\dfrac{33-29\mathrm{i}}{5} - \dfrac{1-2\mathrm{i}}{5} = \dfrac{32-27\mathrm{i}}{5} = \dfrac{32}{5} - \dfrac{27}{5}\mathrm{i}

\(\operatorname{Re}=\dfrac{32}{5}\); \(\;\operatorname{Im}=-\dfrac{27}{5}\)

5.3

\dfrac{\mathrm{i}}{2-2\mathrm{i}} = \dfrac{\mathrm{i}(2+2\mathrm{i})}{8} = \dfrac{-2+2\mathrm{i}}{8} = -\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\mathrm{i}

\left(\dfrac{1}{\mathrm{i}}\right)^{5} = (-\mathrm{i})^{5} = -\mathrm{i}

2-2\mathrm{i} - \!\left(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\mathrm{i}\right) + (-\mathrm{i}) = \dfrac{9}{4} - \dfrac{13}{4}\mathrm{i}

\(\operatorname{Re}=\dfrac{9}{4}\); \(\;\operatorname{Im}=-\dfrac{13}{4}\)

5.4

\mathrm{i}^{73}=\mathrm{i}; \;\; (\sqrt{3}\,\mathrm{i})^{2}=-3

\dfrac{5-10\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}} = \dfrac{(5-10\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})}{5} = \dfrac{-15-20\mathrm{i}}{5} = -3-4\mathrm{i}

\mathrm{i} + (-3-4\mathrm{i}) + (-3) = -6-3\mathrm{i}

\(\operatorname{Re}=-6\); \(\;\operatorname{Im}=-3\)

6. Forma algébrica (II)

6

Calcule e apresente o resultado na forma algébrica.

6.1 \(\dfrac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}} - \dfrac{\sqrt{2}+\mathrm{i}}{2\mathrm{i}}\)
6.2 \(\dfrac{1}{4+\mathrm{i}} - \dfrac{1+2\mathrm{i}}{\mathrm{i}}\)
6.3 \(\dfrac{2}{(3+\mathrm{i})^{2}} - \mathrm{i}^{-7}\)
6.4 \(\dfrac{2+\mathrm{i}}{(2\mathrm{i}-1)^{2}} - \dfrac{2-\mathrm{i}}{(2\mathrm{i}+1)^{2}}\)
6.5 \(\dfrac{1-3\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}} - (\mathrm{i}^{3}-1)^{2}\)
6.6 \(\dfrac{\mathrm{i}^{40n+1}+3-2\mathrm{i}}{3\mathrm{i}-1} + (1+2\mathrm{i})(3\mathrm{i}^{3})\)

6.1

\dfrac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}} = \dfrac{(1-\mathrm{i})^{2}}{2} = \dfrac{-2\mathrm{i}}{2} = -\mathrm{i}

\dfrac{\sqrt{2}+\mathrm{i}}{2\mathrm{i}} = \dfrac{(\sqrt{2}+\mathrm{i})(-2\mathrm{i})}{4} = \dfrac{2-2\sqrt{2}\,\mathrm{i}}{4} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}

-\mathrm{i} - \!\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}\right) = -\dfrac{1}{2} + \!\left(-1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\mathrm{i}

6.2

\dfrac{1}{4+\mathrm{i}} = \dfrac{4-\mathrm{i}}{17}; \;\; \dfrac{1+2\mathrm{i}}{\mathrm{i}} = 2-\mathrm{i}

\dfrac{4-\mathrm{i}}{17} - (2-\mathrm{i}) = -\dfrac{30}{17} + \dfrac{16}{17}\mathrm{i}

6.3

(3+\mathrm{i})^{2}=8+6\mathrm{i}; \;\; \dfrac{2}{8+6\mathrm{i}} = \dfrac{2(8-6\mathrm{i})}{100} = \dfrac{4}{25} - \dfrac{3}{25}\mathrm{i}

\mathrm{i}^{-7} = \dfrac{1}{\mathrm{i}^{7}} = \dfrac{1}{-\mathrm{i}} = \mathrm{i}

\dfrac{4}{25} - \dfrac{3}{25}\mathrm{i} - \mathrm{i} = \dfrac{4}{25} - \dfrac{28}{25}\mathrm{i}

6.4

(2\mathrm{i}-1)^{2} = -3-4\mathrm{i}; \;\; (2\mathrm{i}+1)^{2} = -3+4\mathrm{i}

\dfrac{2+\mathrm{i}}{-3-4\mathrm{i}} = \dfrac{(2+\mathrm{i})(-3+4\mathrm{i})}{25} = \dfrac{-10+5\mathrm{i}}{25} = -\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}\mathrm{i}

\dfrac{2-\mathrm{i}}{-3+4\mathrm{i}} = \dfrac{(2-\mathrm{i})(-3-4\mathrm{i})}{25} = -\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{5}\mathrm{i}

\left(-\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}\mathrm{i}\right) - \left(-\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{5}\mathrm{i}\right) = \dfrac{2}{5}\mathrm{i}

6.5

\dfrac{1-3\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}} = \dfrac{(1-3\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})}{5} = \dfrac{-5-5\mathrm{i}}{5} = -1-\mathrm{i}

(\mathrm{i}^{3}-1)^{2} = (-\mathrm{i}-1)^{2} = \mathrm{i}^{2}+2\mathrm{i}+1 = 2\mathrm{i}

-1-\mathrm{i} - 2\mathrm{i} = -1-3\mathrm{i}

6.6

Como \(40n\) é múltiplo de 4, \(\mathrm{i}^{40n+1}=\mathrm{i}\). Logo o numerador é \(3-\mathrm{i}\) e o denominador \(-1+3\mathrm{i}\):

\dfrac{3-\mathrm{i}}{-1+3\mathrm{i}} = \dfrac{(3-\mathrm{i})(-1-3\mathrm{i})}{10} = \dfrac{-6-8\mathrm{i}}{10} = -\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5}\mathrm{i}

(1+2\mathrm{i})(3\mathrm{i}^{3}) = (1+2\mathrm{i})(-3\mathrm{i}) = 6-3\mathrm{i}

-\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5}\mathrm{i} + 6-3\mathrm{i} = \dfrac{27}{5} - \dfrac{19}{5}\mathrm{i}

7. Equações em \(\mathbb{C}\) — forma algébrica

7

Resolva, em \(\mathbb{C}\), as equações, apresentando a solução na forma algébrica.

7.1 \(z\mathrm{i} = -\dfrac{2}{3-\mathrm{i}}\)
7.2 \(\dfrac{2z+1}{\mathrm{i}+1} = 2z - \mathrm{i}\)
7.3 \(\mathrm{i}^{38} + z = \dfrac{1}{1+\mathrm{i}} - z\mathrm{i}\)
7.4 \((1+\mathrm{i})^{-3} = z\mathrm{i} + z\)
7.5 \((2-\mathrm{i})z = \dfrac{-z+3}{\mathrm{i}^{12n+3}}\)
7.6 \(z - 2\mathrm{i}z = \dfrac{2-z}{3\mathrm{i}+1}\)

7.1

-\dfrac{2}{3-\mathrm{i}} = -\dfrac{2(3+\mathrm{i})}{10} = -\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{5}\mathrm{i}

z = \dfrac{-\tfrac{3}{5}-\tfrac{1}{5}\mathrm{i}}{\mathrm{i}} = \left(-\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{5}\mathrm{i}\right)(-\mathrm{i}) = -\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}\mathrm{i}

7.2

2z+1 = (2z-\mathrm{i})(\mathrm{i}+1) = 2z\mathrm{i}+2z+1-\mathrm{i}

0 = 2z\mathrm{i} - \mathrm{i} \;\Leftrightarrow\; z=\dfrac{1}{2}

7.3

\(\mathrm{i}^{38}=\mathrm{i}^{2}=-1\). Logo:

-1 + z + z\mathrm{i} = \dfrac{1}{1+\mathrm{i}} = \dfrac{1-\mathrm{i}}{2}

z(1+\mathrm{i}) = \dfrac{1-\mathrm{i}}{2} + 1 = \dfrac{3-\mathrm{i}}{2}

z = \dfrac{3-\mathrm{i}}{2(1+\mathrm{i})} = \dfrac{(3-\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{4} = \dfrac{2-4\mathrm{i}}{4} = \dfrac{1}{2}-\mathrm{i}

7.4

(1+\mathrm{i})^{3} = (1+\mathrm{i})(2\mathrm{i}) = -2+2\mathrm{i}

(1+\mathrm{i})^{-3} = \dfrac{1}{-2+2\mathrm{i}} = \dfrac{-2-2\mathrm{i}}{8} = -\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\mathrm{i} = -\dfrac{1}{4}(1+\mathrm{i})

z(1+\mathrm{i}) = -\dfrac{1}{4}(1+\mathrm{i}) \;\Rightarrow\; z = -\dfrac{1}{4}

7.5

\(\mathrm{i}^{12n+3} = \mathrm{i}^{3} = -\mathrm{i}\). Logo:

(2-\mathrm{i})z = \dfrac{-z+3}{-\mathrm{i}} = \mathrm{i}(-z+3)/(-\mathrm{i})(-\mathrm{i})...

\dfrac{-z+3}{-\mathrm{i}} = (z-3)\cdot\dfrac{1}{\mathrm{i}} \cdot(-1)\cdot(-1) = -\mathrm{i}z+3\mathrm{i}

De facto: \(\dfrac{-z+3}{-\mathrm{i}} = \dfrac{(-z+3)\mathrm{i}}{-\mathrm{i}\cdot\mathrm{i}} = \dfrac{(-z+3)\mathrm{i}}{1} = -z\mathrm{i}+3\mathrm{i}\). Então:

(2-\mathrm{i})z = -z\mathrm{i}+3\mathrm{i} \;\Leftrightarrow\; 2z-z\mathrm{i}+z\mathrm{i} = 3\mathrm{i} \;\Leftrightarrow\; 2z=3\mathrm{i} \;\Leftrightarrow\; z=\dfrac{3}{2}\mathrm{i}

7.6

z(1-2\mathrm{i}) = \dfrac{2-z}{1+3\mathrm{i}} \;\Leftrightarrow\; z(1-2\mathrm{i})(1+3\mathrm{i}) = 2-z

(1-2\mathrm{i})(1+3\mathrm{i}) = 7+\mathrm{i}

z(7+\mathrm{i}) + z = 2 \;\Leftrightarrow\; z(8+\mathrm{i}) = 2 \;\Leftrightarrow\; z = \dfrac{2}{8+\mathrm{i}} = \dfrac{2(8-\mathrm{i})}{65} = \dfrac{16}{65}-\dfrac{2}{65}\mathrm{i}

8. Provas / demonstrações

8

Prove que:

8.1 \(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\mathrm{i}\) é solução da equação \(1+2\mathrm{i}=3\mathrm{i}z\);
8.2 \(w = \dfrac{(1-3\mathrm{i})(2+\mathrm{i})}{1+2\mathrm{i}^{4n+1}} - \dfrac{3}{\mathrm{i}}\) é um número real;
8.3 \(\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{7}}{2}\mathrm{i}\) é solução de \(z^{3}-z(3z-4)=0\);
8.4 \(z = \dfrac{(4-3\mathrm{i})^{2}}{\mathrm{i}} - (2\sqrt{6}\,\mathrm{i})^{2}\) é imaginário puro.

8.1

3\mathrm{i}\!\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\mathrm{i}\right) = 2\mathrm{i}-\mathrm{i}^{2} = 1+2\mathrm{i}

Logo, \(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\mathrm{i}\) verifica a equação. \(\;\blacksquare\)

8.2

\(\mathrm{i}^{4n+1}=\mathrm{i}\), então \(1+2\mathrm{i}^{4n+1}=1+2\mathrm{i}\).

(1-3\mathrm{i})(2+\mathrm{i}) = 5-5\mathrm{i}

\dfrac{5-5\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}} = \dfrac{(5-5\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})}{5} = \dfrac{-5-15\mathrm{i}}{5} = -1-3\mathrm{i}

\dfrac{3}{\mathrm{i}} = -3\mathrm{i}

w = -1-3\mathrm{i} - (-3\mathrm{i}) = -1 \in \mathbb{R} \;\;\blacksquare

8.3

A equação simplifica-se a \(z(z^{2}-3z+4)=0\). Raízes do trinómio:

z = \dfrac{3\pm\sqrt{9-16}}{2} = \dfrac{3}{2}\pm\dfrac{\sqrt{7}}{2}\mathrm{i}

Logo \(\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{7}}{2}\mathrm{i}\) é solução. \(\;\blacksquare\)

8.4

(4-3\mathrm{i})^{2}=7-24\mathrm{i}; \;\; \dfrac{7-24\mathrm{i}}{\mathrm{i}} = (7-24\mathrm{i})(-\mathrm{i}) = -24-7\mathrm{i}

(2\sqrt{6}\,\mathrm{i})^{2} = -24

z = -24-7\mathrm{i} - (-24) = -7\mathrm{i}

\(\operatorname{Re}(z)=0\) e \(\operatorname{Im}(z)=-7\neq 0\): \(z\) é imaginário puro. \(\;\blacksquare\)

9. Operações em \(\mathbb{C}\) — forma algébrica

9

Efetue as seguintes operações em \(\mathbb{C}\) e apresente o resultado na forma algébrica.

9.1 \((2-\mathrm{i}) - 2\times\!\left(\dfrac{1}{2}-2\mathrm{i}\right)\)
9.2 \((3-\mathrm{i})\times(2-3\mathrm{i}) + 10\mathrm{i}\)
9.3 \(\dfrac{1}{5}(2-\mathrm{i})^{2}\times(1-2\mathrm{i})\)
9.4 \((1-\mathrm{i}^{27})^{2}\times(1-\mathrm{i}^{14})^{3}\)

9.1

(2-\mathrm{i}) - (1-4\mathrm{i}) = 1+3\mathrm{i}

9.2

(3-\mathrm{i})(2-3\mathrm{i}) = 6-9\mathrm{i}-2\mathrm{i}-3 = 3-11\mathrm{i}

3-11\mathrm{i}+10\mathrm{i} = 3-\mathrm{i}

9.3

(2-\mathrm{i})^{2} = 3-4\mathrm{i}

(3-4\mathrm{i})(1-2\mathrm{i}) = 3-6\mathrm{i}-4\mathrm{i}-8 = -5-10\mathrm{i}

\dfrac{1}{5}(-5-10\mathrm{i}) = -1-2\mathrm{i}

9.4

\(\mathrm{i}^{27}=\mathrm{i}^{3}=-\mathrm{i}\), logo \(1-\mathrm{i}^{27}=1+\mathrm{i}\) e \((1+\mathrm{i})^{2}=2\mathrm{i}\).

\(\mathrm{i}^{14}=\mathrm{i}^{2}=-1\), logo \(1-\mathrm{i}^{14}=2\) e \(2^{3}=8\).

2\mathrm{i}\times 8 = 16\mathrm{i}

10. Reais \(a, b\) num produto

10

Determine os números reais \(a\) e \(b\) tais que

(a-4\mathrm{i})\times(2-3\mathrm{i}) = 10 + b\mathrm{i}.

(a-4\mathrm{i})(2-3\mathrm{i}) = 2a - 3a\mathrm{i} - 8\mathrm{i} - 12 = (2a-12) + (-3a-8)\mathrm{i}

\begin{cases} 2a-12 = 10 \\ -3a-8 = b \end{cases} \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} a=11 \\ b=-41 \end{cases}

\(a=11\) e \(b=-41\)

11. Determinar \(a\) num complexo

11

Considere o número complexo

z = (1 - a\mathrm{i})^{2} + (a+1)\mathrm{i}^{5}, \;\; a \in \mathbb{R}.

Determine o valor de \(a\) de forma que:

11.1 \(z\) seja um número real;
11.2 \(z\) seja um imaginário puro;
11.3 \(z = -3 - \mathrm{i}\).

Simplificando \(z\) (com \(\mathrm{i}^{5}=\mathrm{i}\)):

z = (1-a\mathrm{i})^{2} + (a+1)\mathrm{i} = (1-a^{2}) - 2a\mathrm{i} + (a+1)\mathrm{i} = (1-a^{2}) + (1-a)\mathrm{i}

11.1

\operatorname{Im}(z)=0 \;\Leftrightarrow\; 1-a=0 \;\Leftrightarrow\; a=1

11.2

\operatorname{Re}(z)=0 \;\land\; \operatorname{Im}(z)\neq 0 \;\Leftrightarrow\; 1-a^{2}=0 \;\land\; a\neq 1 \;\Leftrightarrow\; a=-1

11.3

\begin{cases} 1-a^{2}=-3 \\ 1-a=-1 \end{cases} \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} a^{2}=4 \\ a=2 \end{cases} \;\Leftrightarrow\; a=2

12. Conjugado de somas e produtos

12

Considere os números complexos \(z_1 = -3 - 2\mathrm{i}^{3}\) e \(z_2 = 1 + 2\mathrm{i}\). Escreva na forma algébrica:

12.1 \(\overline{z_1}\)
12.2 \(\overline{z_2}\)
12.3 \(\overline{z_1 + z_2}\)
12.4 \(\overline{z_1 - z_2}\)
12.5 \(\overline{z_1 \times z_2}\)
12.6 \(\overline{\mathrm{i}\,z_1 \times \overline{z_2}}\)

Como \(\mathrm{i}^{3}=-\mathrm{i}\), tem-se \(z_1 = -3 + 2\mathrm{i}\) e \(z_2 = 1 + 2\mathrm{i}\).

12.1

\overline{z_1} = -3 - 2\mathrm{i}

12.2

\overline{z_2} = 1 - 2\mathrm{i}

12.3

\(z_1+z_2 = -2+4\mathrm{i}\):

\overline{z_1+z_2} = -2-4\mathrm{i}

12.4

\(z_1-z_2 = -4\):

\overline{z_1-z_2} = -4

12.5

\(z_1 z_2 = (-3+2\mathrm{i})(1+2\mathrm{i}) = -3-6\mathrm{i}+2\mathrm{i}-4 = -7-4\mathrm{i}\):

\overline{z_1 z_2} = -7+4\mathrm{i}

12.6

\mathrm{i}\,z_1 = \mathrm{i}(-3+2\mathrm{i}) = -2-3\mathrm{i}

(-2-3\mathrm{i})\cdot\overline{z_2} = (-2-3\mathrm{i})(1-2\mathrm{i}) = -2+4\mathrm{i}-3\mathrm{i}-6 = -8+\mathrm{i}

\overline{\mathrm{i}\,z_1 \times \overline{z_2}} = -8-\mathrm{i}

13. Funções como transformações do plano complexo

13

Considere as funções \(f, g\) e \(h\) definidas em \(\mathbb{C}\) por:

f(z) = z + \overline{2-\mathrm{i}}, \;\; g(z) = \overline{z} - 3, \;\; h(z) = -(\overline{z} + \mathrm{i})

13.1 Para cada uma das funções, caracterize as aplicações do plano complexo (translação, reflexão, reflexão deslizante ou outra) que transformam o afixo de cada \(z \in \mathbb{C}\) no afixo da respetiva imagem.

13.2 Construa a imagem do triângulo de vértices \(A(-1, 0)\), \(O(0, 0)\) e \(B(0, 1)\) por cada uma das aplicações indicadas em 13.1.

13.1 — \(f\)

\(\overline{2-\mathrm{i}} = 2+\mathrm{i}\). Logo \(f(z) = z + (2+\mathrm{i})\): translação associada ao vetor \(\vec{u}=(2,1)\).

13.1 — \(g\)

Para \(z=a+b\mathrm{i}\): \(g(z) = (a-b\mathrm{i}) - 3 = (a-3) - b\mathrm{i}\). É a composição da reflexão sobre o eixo real (\(z\mapsto\overline{z}\)) com a translação \((-3,0)\) — paralela ao eixo de reflexão. É uma reflexão deslizante de eixo real e vetor \((-3, 0)\).

13.1 — \(h\)

\(h(z) = -\overline{z} - \mathrm{i}\). Para \(z=a+b\mathrm{i}\): \(h(z) = -(a-b\mathrm{i}) - \mathrm{i} = -a + (b-1)\mathrm{i}\). É a reflexão sobre o eixo imaginário (\(z\mapsto -\overline{z}\)) seguida da translação \((0,-1)\) — paralela ao eixo de reflexão. Reflexão deslizante de eixo imaginário e vetor \((0,-1)\).

13.2 — Imagens dos vértices

Aplicando cada transformação a \(A(-1,0)\), \(O(0,0)\), \(B(0,1)\):

\(f\): \(A \mapsto (1,1)\); \(\;O \mapsto (2,1)\); \(\;B \mapsto (2,2)\).
\(g\): \(A \mapsto (-4,0)\); \(\;O \mapsto (-3,0)\); \(\;B \mapsto (-3,-1)\).
\(h\): \(A \mapsto (1,-1)\); \(\;O \mapsto (0,-1)\); \(\;B \mapsto (0,0)\).

14. Afixos no plano de Argand

14

Considere os números complexos \(z_1 = 3\), \(z_2 = -3 + 2\mathrm{i}\), \(z_3 = 1 + 4\mathrm{i}\) e \(z_4 = 3 + 5\mathrm{i}\), de afixos \(A, B, C\) e \(D\), respetivamente.

14.1 Determine \(|z_1|, |z_2|, |z_3|\) e \(|z_4|\).

14.2 Calcule \(|z_3 - z_2|, |z_4 - z_3|\) e \(|z_4 - z_2|\) e justifique que os pontos \(B, C\) e \(D\) são colineares.

14.3 Justifique que o triângulo \([ABC]\) é retângulo em \(C\) e isósceles.

14.4 Determine uma equação cartesiana da circunferência que passa nos pontos \(A, B\) e \(C\).

14.1 — Módulos

|z_1|=3; \;\; |z_2|=\sqrt{13}; \;\; |z_3|=\sqrt{17}; \;\; |z_4|=\sqrt{34}

14.2 — Distâncias e colinearidade

|z_3-z_2| = |4+2\mathrm{i}| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

|z_4-z_3| = |2+\mathrm{i}| = \sqrt{5}

|z_4-z_2| = |6+3\mathrm{i}| = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}

Como \(|z_3-z_2| + |z_4-z_3| = 2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}=|z_4-z_2|\), o ponto \(C\) está entre \(B\) e \(D\): \(B, C, D\) são colineares.

14.3 — Triângulo \([ABC]\)

\(A=(3,0)\), \(B=(-3,2)\), \(C=(1,4)\).

\vec{CA}=(2,-4); \;\; \vec{CB}=(-4,-2)

\vec{CA}\cdot\vec{CB} = 2\cdot(-4) + (-4)\cdot(-2) = 0 \;\Rightarrow\; \vec{CA}\perp\vec{CB}

|\vec{CA}|=\sqrt{20} = |\vec{CB}|

O triângulo é retângulo em \(C\) e isósceles. \(\;\blacksquare\)

14.4 — Circunferência circunscrita

Sendo \([ABC]\) retângulo em \(C\), \([AB]\) é o diâmetro da circunferência circunscrita.

\text{Centro} = \dfrac{A+B}{2} = (0, 1); \;\; \text{Raio} = \dfrac{|AB|}{2} = \dfrac{\sqrt{40}}{2} = \sqrt{10}

Equação: \(x^{2} + (y-1)^{2} = 10\).

15. \(zw, \dfrac{1}{w}, \dfrac{\overline{w}}{z}\)

15

Seja \(z = 2+3\mathrm{i}\) e \(w = 1+\mathrm{i}\). Determine \(zw\), \(\dfrac{1}{w}\) e \(\dfrac{\overline{w}}{z}\).

\(zw\)

zw = (2+3\mathrm{i})(1+\mathrm{i}) = 2+2\mathrm{i}+3\mathrm{i}-3 = -1+5\mathrm{i}

\(\dfrac{1}{w}\)

\dfrac{1}{1+\mathrm{i}} = \dfrac{1-\mathrm{i}}{2} = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}

\(\dfrac{\overline{w}}{z}\)

\dfrac{1-\mathrm{i}}{2+3\mathrm{i}} = \dfrac{(1-\mathrm{i})(2-3\mathrm{i})}{13} = \dfrac{-1-5\mathrm{i}}{13} = -\dfrac{1}{13}-\dfrac{5}{13}\mathrm{i}

16. Forma algébrica — avançado

16

Calcule e apresente o resultado na forma \(a + b\mathrm{i}\), com \(a, b \in \mathbb{R}\).

16.1 \(\dfrac{10-15\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}\times(7\mathrm{i}-4)\)
16.2 \(\dfrac{(2-\mathrm{i})^{3}-\mathrm{i}^{3}}{1-\mathrm{i}}\)
16.3 \(\dfrac{(1-2\mathrm{i}^{3})(3-\mathrm{i})+\mathrm{i}^{13}+\mathrm{i}^{14}}{2\mathrm{i}}\)

16.1

\dfrac{10-15\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}} = \dfrac{(10-15\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})}{5} = \dfrac{-20-35\mathrm{i}}{5} = -4-7\mathrm{i}

(-4-7\mathrm{i})(7\mathrm{i}-4) = -28\mathrm{i}+16+49+28\mathrm{i} = 65

16.2

(2-\mathrm{i})^{2}=3-4\mathrm{i}; \;\; (2-\mathrm{i})^{3} = (2-\mathrm{i})(3-4\mathrm{i}) = 2-11\mathrm{i}

\mathrm{i}^{3}=-\mathrm{i}; \;\; (2-11\mathrm{i})-(-\mathrm{i}) = 2-10\mathrm{i}

\dfrac{2-10\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} = \dfrac{(2-10\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{2} = \dfrac{12-8\mathrm{i}}{2} = 6-4\mathrm{i}

16.3

\(\mathrm{i}^{3}=-\mathrm{i}\), logo \(1-2\mathrm{i}^{3}=1+2\mathrm{i}\). \(\mathrm{i}^{13}=\mathrm{i}\), \(\mathrm{i}^{14}=-1\).

(1+2\mathrm{i})(3-\mathrm{i}) = 3-\mathrm{i}+6\mathrm{i}+2 = 5+5\mathrm{i}

5+5\mathrm{i}+\mathrm{i}-1 = 4+6\mathrm{i}

\dfrac{4+6\mathrm{i}}{2\mathrm{i}} = \dfrac{(4+6\mathrm{i})(-\mathrm{i})}{2} = \dfrac{6-4\mathrm{i}}{2} = 3-2\mathrm{i}

17. Cálculos com \(z_1, z_2, z_3\)

17

Considere os números complexos

z_1 = 1 - \mathrm{i}, \;\; z_2 = 3 - 4\mathrm{i} \;\; \text{e} \;\; z_3 = 2\mathrm{i}.

Calcule e apresente o resultado na forma algébrica.

17.1 \(\dfrac{5\times\overline{z_1}}{z_2}\)
17.2 \(\dfrac{\mathrm{i}\,z_3}{|z_2|+z_2}\)
17.3 \(\left(\!\left|\dfrac{z_2}{z_3}\right|+\mathrm{i}\right)\times\dfrac{z_1}{\mathrm{i}}\)
17.4 \(\dfrac{|2z_3 - z_2|}{(1+\mathrm{i})^{4}}\)
17.5 \(\dfrac{(z_3-\mathrm{i})^{11} + |z_3|}{2+z_1}\)

17.1

\dfrac{5(1+\mathrm{i})}{3-4\mathrm{i}} = \dfrac{(5+5\mathrm{i})(3+4\mathrm{i})}{25} = \dfrac{-5+35\mathrm{i}}{25} = -\dfrac{1}{5}+\dfrac{7}{5}\mathrm{i}

17.2

\(|z_2|=5\); \(\mathrm{i}\,z_3 = -2\):

\dfrac{-2}{5+3-4\mathrm{i}} = \dfrac{-2}{8-4\mathrm{i}} = \dfrac{-2(8+4\mathrm{i})}{80} = -\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{10}\mathrm{i}

17.3

\dfrac{z_2}{z_3} = \dfrac{3-4\mathrm{i}}{2\mathrm{i}} = \dfrac{(3-4\mathrm{i})(-2\mathrm{i})}{4} = -2-\dfrac{3}{2}\mathrm{i}

\left|\dfrac{z_2}{z_3}\right| = \sqrt{4+\dfrac{9}{4}} = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2}

\dfrac{z_1}{\mathrm{i}} = \dfrac{1-\mathrm{i}}{\mathrm{i}} = (1-\mathrm{i})(-\mathrm{i}) = -1-\mathrm{i}

\!\left(\dfrac{5}{2}+\mathrm{i}\right)(-1-\mathrm{i}) = -\dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{2}\mathrm{i}-\mathrm{i}+1 = -\dfrac{3}{2}-\dfrac{7}{2}\mathrm{i}

17.4

\(2z_3-z_2 = 4\mathrm{i}-3+4\mathrm{i} = -3+8\mathrm{i}\), \(|2z_3-z_2|=\sqrt{73}\); \((1+\mathrm{i})^{4}=(2\mathrm{i})^{2}=-4\).

\dfrac{\sqrt{73}}{-4} = -\dfrac{\sqrt{73}}{4}

17.5

\(z_3-\mathrm{i}=\mathrm{i}\), \((\mathrm{i})^{11}=\mathrm{i}^{3}=-\mathrm{i}\); \(|z_3|=2\); \(2+z_1=3-\mathrm{i}\).

\dfrac{-\mathrm{i}+2}{3-\mathrm{i}} = \dfrac{(2-\mathrm{i})(3+\mathrm{i})}{10} = \dfrac{7-\mathrm{i}}{10} = \dfrac{7}{10}-\dfrac{1}{10}\mathrm{i}

18. Inverso de um número complexo

18

Determine o inverso de cada um dos seguintes números complexos:

18.1 \(1 + \mathrm{i}\)
18.2 \(1 - \mathrm{i}\)
18.3 \(\sqrt{3} - 2\mathrm{i}\)

18.1

\dfrac{1}{1+\mathrm{i}} = \dfrac{1-\mathrm{i}}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\mathrm{i}

18.2

\dfrac{1}{1-\mathrm{i}} = \dfrac{1+\mathrm{i}}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\mathrm{i}

18.3

\dfrac{1}{\sqrt{3}-2\mathrm{i}} = \dfrac{\sqrt{3}+2\mathrm{i}}{7} = \dfrac{\sqrt{3}}{7} + \dfrac{2}{7}\mathrm{i}

19. Multiplicação e divisão de complexos

19

Considere os complexos \(z_1 = 2-4\mathrm{i}\), \(z_2 = -3-\mathrm{i}\) e \(z_3 = -3\mathrm{i}\). Calcule:

19.1 \(z_1 \times z_2\)
19.2 \(z_1 \times z_3\)
19.3 \(z_2 \times z_3\)
19.4 \(\dfrac{z_1}{z_2}\)
19.5 \(\dfrac{z_1}{z_3}\)
19.6 \(\dfrac{z_3}{z_1}\)

19.1

(2-4\mathrm{i})(-3-\mathrm{i}) = -6-2\mathrm{i}+12\mathrm{i}-4 = -10+10\mathrm{i}

19.2

(2-4\mathrm{i})(-3\mathrm{i}) = -6\mathrm{i}-12 = -12-6\mathrm{i}

19.3

(-3-\mathrm{i})(-3\mathrm{i}) = 9\mathrm{i}-3 = -3+9\mathrm{i}

19.4

\dfrac{2-4\mathrm{i}}{-3-\mathrm{i}} = \dfrac{(2-4\mathrm{i})(-3+\mathrm{i})}{10} = \dfrac{-2+14\mathrm{i}}{10} = -\dfrac{1}{5}+\dfrac{7}{5}\mathrm{i}

19.5

\dfrac{2-4\mathrm{i}}{-3\mathrm{i}} = \dfrac{(2-4\mathrm{i})\cdot 3\mathrm{i}}{9} = \dfrac{6\mathrm{i}+12}{9} = \dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{3}\mathrm{i}

19.6

\dfrac{-3\mathrm{i}}{2-4\mathrm{i}} = \dfrac{-3\mathrm{i}(2+4\mathrm{i})}{20} = \dfrac{12-6\mathrm{i}}{20} = \dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{10}\mathrm{i}

20. Operações e conjugados

20

Sejam \(z_1 = -1 + 3\mathrm{i}\) e \(z_2 = 3 - \mathrm{i}\). Calcule:

20.1 \(z_1 + z_2\)
20.2 \(z_1 - z_2\)
20.3 \(z_1\,z_2\)
20.4 \(\dfrac{z_1}{z_2}\)
20.5 \(\dfrac{z_1\,\overline{z_2}}{\overline{z_1}\,z_2}\)
20.6 \(-z_1\bigl(\overline{z_1+z_2}\bigr)\)

20.1

z_1+z_2 = 2+2\mathrm{i}

20.2

z_1-z_2 = -4+4\mathrm{i}

20.3

(-1+3\mathrm{i})(3-\mathrm{i}) = -3+\mathrm{i}+9\mathrm{i}+3 = 10\mathrm{i}

20.4

\dfrac{-1+3\mathrm{i}}{3-\mathrm{i}} = \dfrac{(-1+3\mathrm{i})(3+\mathrm{i})}{10} = \dfrac{-6+8\mathrm{i}}{10} = -\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}\mathrm{i}

20.5

Usa-se \(\dfrac{z}{\overline{z}} = \dfrac{z^{2}}{|z|^{2}}\):

\dfrac{z_1}{\overline{z_1}} = \dfrac{(-1+3\mathrm{i})^{2}}{10} = -\dfrac{4}{5}-\dfrac{3}{5}\mathrm{i}; \;\; \dfrac{\overline{z_2}}{z_2} = \dfrac{(3+\mathrm{i})^{2}}{10} = \dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{5}\mathrm{i}

\dfrac{z_1\overline{z_2}}{\overline{z_1}z_2} = -\!\left(\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{5}\mathrm{i}\right)^{2} = -\dfrac{7}{25}-\dfrac{24}{25}\mathrm{i}

20.6

\(\overline{z_1+z_2} = 2-2\mathrm{i}\):

-(-1+3\mathrm{i})(2-2\mathrm{i}) = -(4+8\mathrm{i}) = -4-8\mathrm{i}

21. Simplificação — mostrar que \(z = 2\mathrm{i}\)

21

Em \(\mathbb{C}\), considere

z = \dfrac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} - \dfrac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}.

Mostre que \(z = 2\mathrm{i}\).

\dfrac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} = \dfrac{(1+\mathrm{i})^{2}}{2} = \dfrac{2\mathrm{i}}{2} = \mathrm{i}

\dfrac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}} = \dfrac{1}{\mathrm{i}} = -\mathrm{i}

z = \mathrm{i} - (-\mathrm{i}) = 2\mathrm{i} \;\blacksquare

22. Expressão com conjugado

22

Considere os complexos \(z = -1-\mathrm{i}\) e \(w = 4-3\mathrm{i}\). Determine \(-\dfrac{\overline{w}}{2z+\mathrm{i}}\).

\overline{w}=4+3\mathrm{i}; \;\; 2z+\mathrm{i} = -2-\mathrm{i}

-\dfrac{4+3\mathrm{i}}{-2-\mathrm{i}} = \dfrac{4+3\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}} = \dfrac{(4+3\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}{5} = \dfrac{11+2\mathrm{i}}{5} = \dfrac{11}{5}+\dfrac{2}{5}\mathrm{i}

23. Equação \(\mathrm{i}z = z_1\)

23

Resolva, em \(\mathbb{C}\), a equação \(\mathrm{i}z = z_1\), com \(z_1 = 1-\mathrm{i}\).

\mathrm{i}z = 1-\mathrm{i} \;\Leftrightarrow\; -\mathrm{i}\cdot \mathrm{i}z = -\mathrm{i}(1-\mathrm{i}) \;\Leftrightarrow\; z = -1-\mathrm{i}

24. Equação \(\mathrm{i} - 3z = \overline{z}\)

24

Resolva, em \(\mathbb{C}\), a equação \(\mathrm{i} - 3z = \overline{z}\).

Seja \(z = a + b\mathrm{i}\):

\mathrm{i} - 3(a+b\mathrm{i}) = a - b\mathrm{i} \;\Leftrightarrow\; -2a + (1-2b)\mathrm{i} = 0 \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} a=0 \\ b=\tfrac{1}{2} \end{cases}

\(z = \dfrac{1}{2}\mathrm{i}\)

25. Inverso não é real nem imaginário puro

25

Sejam \(a\) e \(b\) números reais não nulos e \(z = a + b\mathrm{i}\). Mostre que o inverso de \(z\) não é real nem imaginário puro.

\dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}} = \dfrac{a}{a^{2}+b^{2}} - \dfrac{b}{a^{2}+b^{2}}\mathrm{i}

Como \(a\neq 0\), \(\operatorname{Re}\!\left(\tfrac{1}{z}\right)\neq 0\). Como \(b\neq 0\), \(\operatorname{Im}\!\left(\tfrac{1}{z}\right)\neq 0\). Logo \(\tfrac{1}{z}\) não é real nem imaginário puro. \(\;\blacksquare\)

26. Equações com módulo do inverso

26

Seja \(a\) um número real e \(z = a + \mathrm{i}\). Determine os valores de \(a\) de forma que:

26.1 \(\left|\dfrac{1}{z} - \dfrac{1}{\overline{z}}\right| = \dfrac{1}{2}\)
26.2 \(\left|\dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{\overline{z}}\right| = \dfrac{1}{2}\)

26.1

\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{\overline{z}} = \dfrac{\overline{z}-z}{|z|^{2}} = \dfrac{-2\mathrm{i}}{a^{2}+1}

\dfrac{2}{a^{2}+1} = \dfrac{1}{2} \;\Leftrightarrow\; a^{2}=3 \;\Leftrightarrow\; a=\pm\sqrt{3}

26.2

\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{\overline{z}} = \dfrac{2a}{a^{2}+1}

\dfrac{2|a|}{a^{2}+1} = \dfrac{1}{2} \;\Leftrightarrow\; |a| = \dfrac{a^{2}+1}{4} \;\Leftrightarrow\; a^{2}\mp 4a + 1 = 0

\(a = 2\pm\sqrt{3} \;\lor\; a = -2\pm\sqrt{3}\)

27. Parâmetro real e \(|z| = 1\)

27

Seja \(k\) um número real e \(z = \dfrac{k - \mathrm{i}}{1 + 2\mathrm{i}}\). Determine os valores de \(k\) de forma a que \(|z| = 1\).

z = \dfrac{(k-\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})}{5} = \dfrac{k-2}{5} - \dfrac{2k+1}{5}\mathrm{i}

|z|^{2} = \dfrac{(k-2)^{2}+(2k+1)^{2}}{25} = \dfrac{5k^{2}+5}{25}

|z|=1 \;\Leftrightarrow\; 5k^{2}+5 = 25 \;\Leftrightarrow\; k^{2}=4 \;\Leftrightarrow\; k=\pm 2