Ficha de Trabalho — Raízes e Equações em ℂ

1Determine as raízes cúbicas de $\;64\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{6\pi}{5}}$, apresentando-as na forma trigonométrica.

2Determine as raízes quartas de $\;-\dfrac{81}{2}+\dfrac{81\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{i}$, apresentando-as na forma $x+y\,\mathrm{i}\;\;(x,y\in\mathbb{R})$.

3Resolva, em $\mathbb{C}$, as seguintes equações. Apresente as soluções não nulas na forma trigonométrica.

3.1.

$z^{3}=\dfrac{16}{z}$

3.2.

$z^{5}-z\,\mathrm{i}=0$

3.3.

$z^{3}+64\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{5}}=0$

3.4.

$(z^{2}+9)(z^{3}-8)=0$

4Determine as raízes quadradas de $\;-21+20\,\mathrm{i}$, apresentando-as na forma $x+y\,\mathrm{i}\;\;(x,y\in\mathbb{R})$.

5De um número complexo $w$ sabe-se que uma raiz sexta é $\;\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{5}}$. Determine, na forma trigonométrica, as restantes raízes sextas de $w$.

6Considere o número complexo $\;w=8\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$. Determine as raízes quadradas do número complexo $\;\dfrac{\overline{w}}{-4w}$, apresentando-as na forma trigonométrica e na forma $a+b\,\mathrm{i}\;\;(a,b\in\mathbb{R})$.

7Considere os números complexos $\;z=5-\sqrt{6}\,\mathrm{i}\;$ e $\;w=-\sqrt{6}+5\,\mathrm{i}$. Determine as raízes cúbicas do número complexo $\;\dfrac{1}{\sqrt{2}}\times\dfrac{z+w}{5-\sqrt{6}}$, apresentando-as na forma trigonométrica.

8Considere os números complexos:

$z_{1}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{11\pi}{12}}\;,\quad z_{2}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}\;,\quad z_{3}=\sqrt{2}+\sqrt{2}\,\mathrm{i}$

8.1.

Determine $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\;$ na forma trigonométrica e na forma $\;a+b\,\mathrm{i}\;(a,b\in\mathbb{R})$.

8.2.

Determine $z_{2}\;$ na forma $\;a+b\,\mathrm{i}\;(a,b\in\mathbb{R})$.

8.3.

Determine $\dfrac{z_{3}}{z_{2}}\;$ na forma $\;a+b\,\mathrm{i}\;(a,b\in\mathbb{R})$.

8.4.

Seja $z=\dfrac{z_{1}}{z_{2}}+\dfrac{z_{3}}{z_{2}}$. Determine $z$ na forma $\;a+b\,\mathrm{i}\;(a,b\in\mathbb{R})$.

8.5.

$z$ é uma raiz quarta de $w$. Determine $w$ na forma trigonométrica e na forma $\;a+b\,\mathrm{i}\;(a,b\in\mathbb{R})$.

8.6.

Sejam $P$ e $Q$, respetivamente, os afixos de $z$ e de $w$. Determine a área do triângulo $[OPQ]$.

9Seja $w=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ um número complexo não nulo. Seja $n$ um número natural maior do que $1$. Sejam $z_{0},z_{1},\ldots,z_{n-1}$ as raízes índice $n$ de $w$. Mostre que:

9.1.

as raízes índice $n$ de $w$ estão em progressão geométrica de razão $\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{n}}$;

9.2.

$z_{0}+z_{1}+\ldots+z_{n-1}=0$;

9.3.

$z_{0}\times z_{1}\times\ldots\times z_{n-1}=(-1)^{n-1}\,w$.

10Seja $w$ um número complexo não nulo. Sabe-se que $\;\sqrt{3}+\mathrm{i}\;$ é uma raiz de índice $5$ de $w$.

10.1.

Determine, na forma trigonométrica, as raízes quintas de $w$.

10.2.

Determine o perímetro do pentágono regular cujos vértices são os afixos das raízes quintas de $w$. Apresente o resultado na forma $\;a\,\mathrm{sen}\,\dfrac{\pi}{5}$.

11Determine, em $\mathbb{C}$, as soluções das seguintes equações:

11.1.

$z^{2}-6z+18=0$

11.2.

$5z^{2}+2z+2=0$

11.3.

$z^{2}+\sqrt{3}\,z+7=0$

12Considere o polinómio $\;x^{3}+6x+20$. Verifique que $-2$ é uma raiz do polinómio e determine, em $\mathbb{C}$, as restantes raízes do polinómio.

13Na figura seguinte estão representadas, no plano de Argand, as imagens geométricas de quatro números complexos $z_{1},z_{2},z_{3}$ e $z_{4}$.

Qual destes é o número complexo que, com $n\in\mathbb{N}$, pode ser igual a $\;\mathrm{i}^{4n}+\mathrm{i}^{4n+1}+\mathrm{i}^{4n+2}\;$?

(A) $z_{1}$

(B) $z_{2}$

(D) $z_{4}$

14Sejam $\;z_{1}=1+\mathrm{i}\;$ e $\;z_{2}=\dfrac{3}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Escreva $\;\dfrac{z_{2}}{z_{1}^{4}}\;$ na forma trigonométrica.

15Seja $\;z=-1+\mathrm{i}\;$ um número complexo.

15.1.

Escreva $z$ na forma trigonométrica.

15.2.

Escreva $(-1+\mathrm{i})^{4}$ na forma algébrica.

15.3.

Considere, no plano de Argand, o afixo de $z$. Qual é o número complexo $z'$ cujo afixo é o transformado do afixo de $z$ por uma rotação de centro na origem e amplitude $\;\dfrac{\pi}{4}\;$? Escreva o número na forma algébrica.

16Considere o número complexo $\;z=\dfrac{2}{1-\mathrm{i}}-2\,\mathrm{i}^{97}$.

16.1.

Represente $z$ na forma algébrica e na forma trigonométrica.

16.2.

Sabendo que $z$ é uma das raízes de índice $3$ de um número complexo $w$, determine, sem calcular $w$, as restantes raízes de índice $3$ de $w$ e represente-as geometricamente.

17Determine as raízes de índice $8$ de $1$. Mostre que a soma dessas raízes é $0$ e que o produto é $1$.

18Determine, na forma trigonométrica, as soluções complexas da equação $\;z^{3}-8\,\mathrm{i}=0$.

19Em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, considere:

$z_{1}=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}\;,\quad z_{2}=-\sqrt{2}-\sqrt{2}\,\mathrm{i}\;,\quad z_{3}=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\,,\;\theta\in\mathbb{R}$

19.1.

Determine o argumento principal do número complexo $\;w=\dfrac{(\overline{z_{1}})^{5}\times|z_{1}|\times(-z_{1})}{\frac{1}{2}z_{1}}$.

19.2.

Resolva, em $\mathbb{C}$, a equação $\;(z_{2})^{4}\times z_{1}=z\,\mathrm{i}$. Apresente a solução na forma algébrica.

19.3.

Determine uma expressão geral dos valores de $\theta$ para os quais $\;w=\dfrac{-2}{z_{2}\times(z_{3})^{3}}\;$ é um número real.

20Em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, considere:

$z_{1}=1+\mathrm{i}\;,\quad z_{2}=\sqrt[4]{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}\;,\quad z_{3}=\sqrt[4]{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{3}}$

20.1.

Mostre que o número $\;w=\dfrac{(z_{1})^{10}}{(\overline{z_{1}})^{6}}\;$ é um número real.

20.2.

Determine os números naturais $n$ tais que $\;\left(\dfrac{z_{1}}{\overline{z_{1}}}\right)^{n}\;$ é imaginário puro de coeficiente negativo.

20.3.

Determine os valores reais $a$ e $b$ tais que $z_{1}$ seja solução da equação $\;z^{5}+az^{3}=-b$.

20.4.

Mostre que $z_{2}$ e $z_{3}$ são raízes de índice $4$ do mesmo número complexo e determine esse número na forma trigonométrica.

21Resolva, em $\mathbb{C}$, a equação $\;4z^{6}+256=0$. Apresente as soluções na forma algébrica.

22Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações, apresentando as soluções na forma trigonométrica.

22.1.

$z^{2}=-16$

22.2.

$z^{2}=4$

22.3.

$z^{4}=-1$

22.4.

$z^{5}=32\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{5}}$

22.5.

$z^{3}=-3\sqrt{3}+9\,\mathrm{i}$

22.6.

$z^{6}=\dfrac{128}{-1+\mathrm{i}}$

23Determine, na forma trigonométrica, e represente no plano complexo:

23.1.

as raízes cúbicas de $\;-8\,\mathrm{i}$;

23.2.

as raízes quartas de $\;-256$;

23.3.

as raízes quintas de $\;-16\sqrt{2}+16\sqrt{2}\,\mathrm{i}$;

23.4.

as raízes sextas de $\;\dfrac{1}{\mathrm{i}}$.

24Em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, considere $\;z_{1}=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}$. Sabe-se que $z_{1}$ é uma das raízes quartas de um dado número complexo $w$.

24.1.

Determine as restantes três raízes quartas de $w$. Apresente-as na forma trigonométrica.

24.2.

Determine a medida da área do polígono que tem como vértices os afixos das raízes quartas de $w$.

24.3.

Mostre que a soma das quatro raízes quartas de $w$ é $0$.

25Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações seguintes:

25.1.

$z^{4}-\mathrm{i}\,z+\sqrt{3}\,z=0$

25.2.

$z^{5}+32\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}=0$

25.3.

$z^{3}+3\,\mathrm{i}\,\overline{z}=0$

25.4.

$\overline{z}^{\,3}-9z=0$

25.5.

$z^{3}=(2+\mathrm{i})^{3}$

Soluções

$4\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{5}}\;,\;4\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{16\pi}{15}}\;,\;4\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{26\pi}{15}}$

$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\mathrm{i}\;,\;-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\;,\;-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{2}\mathrm{i}\;,\;\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$

3.1. $2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,0}\;,\;2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}\;,\;2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}\;,\;2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{2}}$

3.2. $0\;,\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{8}}\;,\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{8}}\;,\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{9\pi}{8}}\;,\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{8}}$

3.3. $4\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{8\pi}{15}}\;,\;4\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{6\pi}{5}}\;,\;4\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{28\pi}{15}}$

3.4. $3\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}\;,\;3\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{2}}\;,\;2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,0}\;,\;2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}\;,\;2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}{3}}$

$2+5\,\mathrm{i}\;,\;-2-5\,\mathrm{i}$

$\dfrac{1}{3}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{8\pi}{15}}\;,\;\dfrac{1}{3}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{15}}\;,\;\dfrac{1}{3}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{6\pi}{5}}\;,\;\dfrac{1}{3}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{23\pi}{15}}\;,\;\dfrac{1}{3}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{28\pi}{15}}$

$\dfrac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}+\dfrac{1}{4}\mathrm{i}\;\;;\;\;\dfrac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{6}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{1}{4}\mathrm{i}$

$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}\;,\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}\;,\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{17\pi}{12}}$

8.1. $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}$

8.2. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}$

8.3. $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}$

8.4. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}+\dfrac{\sqrt{6}}{2}\mathrm{i}$

8.5. $w=9\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-9$

8.6. $\dfrac{9\sqrt{6}}{4}$

9. Demonstrações (ver resolução desenvolvida em aula).

10.

10.1. $2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}\;,\;2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{17\pi}{30}}\;,\;2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{29\pi}{30}}\;,\;2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{41\pi}{30}}\;,\;2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{53\pi}{30}}$

10.2. $20\,\mathrm{sen}\,\dfrac{\pi}{5}$

11.

11.1. $z=3+3\,\mathrm{i}\;\;\vee\;\;z=3-3\,\mathrm{i}$

11.2. $z=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}\mathrm{i}\;\;\vee\;\;z=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{5}\mathrm{i}$

11.3. $z=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{5}{2}\mathrm{i}\;\;\vee\;\;z=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{5}{2}\mathrm{i}$

12.

As restantes raízes são $\;1+3\,\mathrm{i}\;$ e $\;1-3\,\mathrm{i}$.

13.

Opção (B) $\;z_{2}\;$. (Tem-se $\;\mathrm{i}^{4n}+\mathrm{i}^{4n+1}+\mathrm{i}^{4n+2}=1+\mathrm{i}-1=\mathrm{i}$.)

14.

$\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{6}}$

15.

15.1. $\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$

15.2. $-4$

15.3. $z'=-\sqrt{2}$

16.

16.1. $z=1-\mathrm{i}\;\;;\;\;z=\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(-\frac{\pi}{4}\right)}$

16.2. $\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{12}}\;$ e $\;\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{12}}$

17.

$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,0}\;,\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\;,\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}\;,\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}\;,\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}\;,\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{4}}\;,\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{2}}\;,\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{4}}$

18.

$z=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}\;\vee\;z=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}\;\vee\;z=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{2}}$

19.

19.1. $-\dfrac{2\pi}{3}$

19.2. $z=-16\sqrt{3}+16\,\mathrm{i}$

19.3. $\theta=-\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{k\pi}{3}\;,\;k\in\mathbb{Z}$

20.

20.1. Demonstração (ver resolução desenvolvida em aula).

20.2. $n=3+4k\;,\;k\in\mathbb{Z}$

20.3. $a=2\;$ e $\;b=8$

20.4. $2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$

21.

$z_{0}=\sqrt{3}+\mathrm{i}\;;\;z_{1}=2\,\mathrm{i}\;;\;z_{2}=-\sqrt{3}+\mathrm{i}\;;\;z_{3}=-\sqrt{3}-\mathrm{i}\;;\;z_{4}=-2\,\mathrm{i}\;;\;z_{5}=\sqrt{3}-\mathrm{i}$

22.

22.1. $z=4\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}\;\vee\;z=4\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{2}}$

22.2. $z=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\times 0}\;\vee\;z=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}$

22.3. $z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\;\vee\;z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}\;\vee\;z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{4}}\;\vee\;z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{4}}$

22.4. $z=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{25}}\;\vee\;z=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{11\pi}{25}}\;\vee\;z=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{21\pi}{25}}\;\vee\;z=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{31\pi}{25}}\;\vee\;z=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{41\pi}{25}}$

22.5. $z=\sqrt[6]{108}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{9}}\;\vee\;z=\sqrt[6]{108}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{8\pi}{9}}\;\vee\;z=\sqrt[6]{108}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{14\pi}{9}}$

22.6. $z=2\sqrt[12]{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{8}}\;\vee\;z=2\sqrt[12]{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{24}}\;\vee\;z=2\sqrt[12]{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{24}}\;\vee$
$\;\vee\;z=2\sqrt[12]{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{8}}\;\vee\;z=2\sqrt[12]{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{29\pi}{24}}\;\vee\;z=2\sqrt[12]{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{37\pi}{24}}$

23.

23.1. $z_{0}=2\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}\;;\;z_{1}=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}\;;\;z_{2}=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{6}}$

23.2. $z_{0}=4\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\;;\;z_{1}=4\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}\;;\;z_{2}=4\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{4}}\;;\;z_{3}=4\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{4}}$

23.3. $z_{0}=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{20}}\;;\;z_{1}=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{11\pi}{20}}\;;\;z_{2}=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{19\pi}{20}}\;;\;z_{3}=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{27\pi}{20}}\;;\;z_{4}=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{4}}$

23.4. $z_{0}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}\;;\;z_{1}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\;;\;z_{2}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{12}}\;;\;z_{3}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{11\pi}{12}}\;;\;z_{4}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{4}}\;;\;z_{5}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{19\pi}{12}}$

24.

24.1. $z_{2}=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{12}}\;;\;z_{3}=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{12}}\;;\;z_{4}=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{19\pi}{12}}$

24.2. A medida da área do polígono é $\;8\;$ u.a.

24.3. Demonstração (ver resolução desenvolvida em aula).

25.

25.1. $z=0\;\vee\;z=\sqrt[3]{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{18}}\;\vee\;z=\sqrt[3]{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{17\pi}{18}}\;\vee\;z=\sqrt[3]{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{29\pi}{18}}$

25.2. $z=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}{5}}\;\vee\;z=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}\;\vee\;z=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{16\pi}{15}}\;\vee\;z=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{22\pi}{15}}\;\vee\;z=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{28\pi}{15}}$

25.3. $z=0\;\vee\;z=\sqrt{3}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{8}}\;\vee\;z=\sqrt{3}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{8}}\;\vee\;z=\sqrt{3}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{8}}\;\vee\;z=\sqrt{3}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{11\pi}{8}}$

25.4. $z=0\;\vee\;z=3\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\times 0}\;\vee\;z=3\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}\;\vee\;z=3\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi}\;\vee\;z=3\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{3\pi}{2}}$

25.5. $z=2+\mathrm{i}\;;\;z=\left(-1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}\right)\mathrm{i}\;;\;z=\left(-1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(-\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}\right)\mathrm{i}$