Ficha de Trabalho — Números Complexos

1Prove que:

1.1.

$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\,\mathrm{i}\;$ é solução da equação $\;1+2\mathrm{i}=3\mathrm{i}\,z\;$;

1.2.

$w=\dfrac{(1-3\mathrm{i})(2+\mathrm{i})}{1+2\,\mathrm{i}^{4n+1}}-\dfrac{3}{\mathrm{i}}\;$ é um número real;

1.3.

$\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{7}}{2}\,\mathrm{i}\;$ é solução da equação $\;z^{3}-z(3z-4)=0\;$;

1.4.

$z=\dfrac{(4-3\mathrm{i})^{2}}{\mathrm{i}}-\big(2\sqrt{6}\,\mathrm{i}\big)^{2}\;$ é imaginário puro.

2Escreva na forma trigonométrica os seguintes números complexos.

2.1.

$z=4\mathrm{i}$

2.2.

$z=-3$

2.3.

$z=1-\mathrm{i}$

2.4.

$z=\sqrt{3}-\mathrm{i}$

2.5.

$z=-2+2\sqrt{3}\,\mathrm{i}$

2.6.

$z=-4-4\mathrm{i}$

2.7.

$z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$

2.8.

$z=\dfrac{(3+\mathrm{i})^{2}-4+2\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}$

2.9.

$z=2\mathrm{i}\,(1+\mathrm{i})^{-3}$

3Determine o módulo e um argumento dos seguintes números complexos.

3.1.

$(1+2\mathrm{i})^{3}+13$

3.2.

$2-2\sqrt{3}\,\mathrm{i}^{21}+\dfrac{1}{2}\!\left(8\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{3}}\right)$

3.3.

$\dfrac{(1-\sqrt{3}\,\mathrm{i})+(\mathrm{i}-\sqrt{3})}{\sqrt{2}-\sqrt{6}}$

3.4.

$\dfrac{4\,\mathrm{i}^{120}}{-1+\mathrm{i}^{3}\sqrt{3}}$

4Em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, considere $z_{1}=2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$, $\;z_{2}=-3-\sqrt{27}\,\mathrm{i}\;$ e $\;z_{3}=\dfrac{4}{\mathrm{i}}$.
Escreva na forma trigonométrica:

4.1.

$z_{1}\times z_{2}$

4.2.

$2z_{1}\times \overline{z_{3}}$

4.3.

$-\dfrac{\overline{z_{2}}}{\frac{1}{2}z_{1}}$

4.4.

$\dfrac{-\overline{z_{3}}\times z_{1}}{z_{2}}$

4.5.

$-\dfrac{1}{3}\overline{z_{2}}\times \dfrac{1}{\overline{z_{3}}}$

4.6.

$z_{1}+z_{2}+2\sqrt{3}\,\mathrm{i}$

5Escreva na forma algébrica o conjugado e o simétrico dos seguintes números complexos.

5.1.

$z=2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$

5.2.

$z=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}-2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi}$

5.3.

$z=\dfrac{8\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}}{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}}$

5.4.

$z=\dfrac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}\times(\sqrt{3}-\mathrm{i})}{\mathrm{i}^{7}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}}$

6Em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, considere $z_{1}=\sqrt{3}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$, $\;z_{2}=\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}\;$ e $\;z_{3}=2+2\mathrm{i}$.

6.1.

Calcule $z_{1}-\mathrm{i}$ na forma trigonométrica.

6.2.

Determine o valor de $\dfrac{z_{3}\times z_{2}-2}{\sqrt{3}\,\mathrm{i}^{5}}$. Apresente o resultado na forma algébrica.

7Em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, considere $z_{1}=\sqrt{3}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}\;$ e $\;z_{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}-2^{-1}$.

7.1.

Sem recorrer à calculadora, determine o valor de $\;\dfrac{\overline{z_{1}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}+z_{1}}\;$. Apresente o resultado na forma trigonométrica.

7.2.

Determine o número complexo $w=\dfrac{-z_{1}\times z_{2}}{\mathrm{i}}$. Apresente o resultado na forma trigonométrica.

8Em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, considere $z=1+3\mathrm{i}$. Seja $\theta$ um argumento de $z$.

8.1.

Exprima, na forma trigonométrica, em função de $\theta$, o produto de $\mathrm{i}$ pelo simétrico de $z$.

8.2.

Determine o valor exato de $\cos\!\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)$.

9Em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, considere $z_{1}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\;$ e $\;z_{2}=2+3\mathrm{i}$.

9.1.

Determine, na forma algébrica, $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi}\times(z_{2})^{-3}$.

9.2.

Resolva, em $\mathbb{C}$, a equação $\;|z_{1}|-\overline{z_{2}}\times z=\mathrm{i}\,z$. Apresente a solução na forma trigonométrica.

Soluções

1. Demonstrações (ver resolução desenvolvida em aula).

2.1. $z=4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}$

2.2. $z=3\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}$

2.3. $z=\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$

2.4. $z=2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$

2.5. $z=4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$

2.6. $z=4\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$

2.7. $z=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$

2.8. $z=4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}$

2.9. $z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$

3.1. O módulo é $2\sqrt{2}$ e um argumento é, por exemplo, $-\dfrac{\pi}{4}$.

3.2. O módulo é $4$ e um argumento é, por exemplo, $0$.

3.3. O módulo é $1$ e um argumento é, por exemplo, $\dfrac{\pi}{4}$.

3.4. O módulo é $2$ e um argumento é, por exemplo, $\dfrac{2\pi}{3}$.

4.1. $12\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}$

4.2. $16\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$

4.3. $6\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\times 0}$

4.4. $\dfrac{4}{3}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$

4.5. $\dfrac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$

4.6. $4\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$

5.1. $\overline{z}=-1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}\;\;;\;\;-z=1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}$

5.2. $\overline{z}=\left(2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}\;\;;\;\;-z=\left(-2-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}$

5.3. $\overline{z}=(-2\sqrt{6}-2\sqrt{2})-(2\sqrt{6}-2\sqrt{2})\mathrm{i}\;\;;\;\;-z=(2\sqrt{6}+2\sqrt{2})+(2\sqrt{2}-2\sqrt{6})\mathrm{i}$

5.4. $\overline{z}=-\sqrt{3}+\mathrm{i}\;\;;\;\;-z=\sqrt{3}+\mathrm{i}$

6.1. $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$

6.2. $2$

7.1. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$

7.2. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$

8.1. $\sqrt{10}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{3\pi}{2}+\theta\right)}$

8.2. $\cos\!\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{30}-3\sqrt{10}}{20}$

9.1. $\dfrac{46}{2197}+\dfrac{9}{2197}\mathrm{i}$

9.2. $z=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$