Revisões de Trigonometria 1 | Matemática A

📌 Resumo teórico

Razões trigonométricas de um ângulo agudo

Num triângulo retângulo, para um ângulo agudo \(\alpha\):

\[ \sin\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}\qquad \cos\alpha=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}\qquad \tan\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} \]

Teorema de Pitágoras: \(\text{hipotenusa}^{2}=\text{cateto}_1^{2}+\text{cateto}_2^{2}\).

Relações entre as razões

\[ \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\qquad\qquad \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \]

Para \(\alpha\) agudo, \(0\lt\sin\alpha\lt 1\), \(0\lt\cos\alpha\lt 1\) e \(\tan\alpha\gt 0\). Se \(\alpha\) e \(\beta\) são complementares (\(\alpha+\beta=90^\circ\)), então \(\sin\alpha=\cos\beta\).

Valores exatos

\(\alpha\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\sin\alpha\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)
\(\cos\alpha\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)
\(\tan\alpha\)	\(\frac{\sqrt3}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt3\)

Resolver problemas

identificar um triângulo retângulo que contenha o ângulo e o comprimento conhecidos;
num triângulo isósceles, a altura relativa à base divide-o em dois triângulos retângulos iguais;
um triângulo inscrito numa semicircunferência (com um lado igual ao diâmetro) é retângulo;
para determinar um ângulo usa-se \(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\) ou \(\tan^{-1}\) na calculadora.

1. Razões trigonométricas I

Considere o triângulo retângulo \(ABC\), representado na figura.

Triângulo retângulo ABC com AB igual a 2 raiz de 7 e BC igual a 8

1.1. Determine o comprimento de \([AC]\).

1.2. Determine os valores exatos de \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) e \(\tan\alpha\).

1.3. Apresente os valores pedidos na forma de fração com denominador racional.

1.1 - Teorema de Pitágoras

Como \(BC\) é a hipotenusa:

BC^2=AB^2+AC^2\) \(8^2=(2\sqrt7)^2+AC^2\) \(64=28+AC^2\) \(\Rightarrow AC^2=36\) \(\Rightarrow AC=6

O comprimento de \([AC]\) é \(6\).

1.2 e 1.3 - Razões trigonométricas

Relativamente ao ângulo \(\alpha\), \(AC\) é o cateto oposto, \(AB\) o cateto adjacente e \(BC\) a hipotenusa.

\sin\alpha=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac68=\dfrac34

\cos\alpha=\dfrac{AB}{BC}\) \(=\dfrac{2\sqrt7}{8}\) \(=\dfrac{\sqrt7}{4}

\tan\alpha=\dfrac{AC}{AB}\) \(=\dfrac6{2\sqrt7}\) \(=\dfrac3{\sqrt7}\) \(=\dfrac{3\sqrt7}{7}

\(\sin\alpha=\dfrac34\), \(\cos\alpha=\dfrac{\sqrt7}{4}\), \(\tan\alpha=\dfrac{3\sqrt7}{7}\).

2. Razões trigonométricas II

Considere o triângulo retângulo \(ABC\), representado na figura.

Triângulo retângulo ABC com AB igual a 5 raiz de 2 e BC igual a 13 raiz de 2

2.1. Determine o valor exato de \(\sin\alpha+\cos\alpha\).

2.2. Determine a amplitude do ângulo \(ACB\), arredondada às décimas de grau.

Calcular o cateto AC

AC^2=BC^2-AB^2\) \(=(13\sqrt2)^2-(5\sqrt2)^2\) \(AC^2=338-50=288\) \(\Rightarrow AC=12\sqrt2

2.1 - Soma das razões

\sin\alpha=\dfrac{12\sqrt2}{13\sqrt2}=\dfrac{12}{13}\), \(\quad\cos\alpha=\dfrac{5\sqrt2}{13\sqrt2}=\dfrac5{13}

\sin\alpha+\cos\alpha\) \(=\dfrac{12}{13}+\dfrac5{13}=\dfrac{17}{13}

\(\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac{17}{13}\).

2.2 - Amplitude do ângulo

\alpha=\sin^{-1}\left(\dfrac{12}{13}\right)\approx67{,}4^\circ

Os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares.

\widehat{ACB}=90^\circ-\alpha\) \(\approx90^\circ-67{,}4^\circ\) \(=22{,}6^\circ

\(\widehat{ACB}\approx22{,}6^\circ\).

3. Triângulo isósceles

Considere o triângulo isósceles \(ABC\), em que \(AC=BC=5\) e \(AB=6\).

Triângulo isósceles ABC com lados iguais a 5 e base igual a 6

Determine os valores exatos de \(\sin\beta\), \(\cos\beta\) e \(\tan\beta\).

Construir um triângulo retângulo

Seja \(M\) o ponto médio de \([AB]\). Num triângulo isósceles, a altura relativa à base também é mediana, logo:

MB=\dfrac{AB}{2}=3

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo \(CMB\):

CM^2+MB^2=CB^2\) \(\Rightarrow CM^2+3^2=5^2\) \(CM^2=16\) \(\Rightarrow CM=4

Calcular as razões

\sin\beta=\dfrac{CM}{CB}=\dfrac45

\cos\beta=\dfrac{MB}{CB}=\dfrac35

\tan\beta=\dfrac{CM}{MB}=\dfrac43

\(\sin\beta=\dfrac45\), \(\cos\beta=\dfrac35\), \(\tan\beta=\dfrac43\).

4. Retângulo

Na figura está representado o retângulo \(ABCD\). Sabe-se que \(AD=4\) e que a área do retângulo é \(32\).

Retângulo ABCD com diagonal DB, ângulo alfa em D e ângulo beta em B

4.1. Determine as amplitudes dos ângulos \(\alpha\) e \(\beta\), arredondadas às décimas de grau.

4.2. Determine os valores exatos de \(\sin\beta\), \(\cos\beta\) e \(\tan\beta\).

Determinar as dimensões

AB\times AD=32\) \(\Rightarrow AB\times4=32\) \(\Rightarrow AB=8

4.1 - Amplitudes

\tan\alpha=\dfrac{AB}{AD}\) \(=\dfrac84=2\) \(\Rightarrow \alpha=\tan^{-1}(2)\) \(\approx63{,}4^\circ

\beta=90^\circ-\alpha\approx26{,}6^\circ

\(\alpha\approx63{,}4^\circ\) e \(\beta\approx26{,}6^\circ\).

4.2 - Comprimento da diagonal

DB=\sqrt{AB^2+AD^2}\) \(=\sqrt{8^2+4^2}\) \(=\sqrt{80}\) \(=4\sqrt5

Razões trigonométricas de beta

\sin\beta=\dfrac{AD}{DB}\) \(=\dfrac4{4\sqrt5}\) \(=\dfrac1{\sqrt5}\) \(=\dfrac{\sqrt5}{5}

\cos\beta=\dfrac{AB}{DB}\) \(=\dfrac8{4\sqrt5}\) \(=\dfrac2{\sqrt5}\) \(=\dfrac{2\sqrt5}{5}

\tan\beta=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac48=\dfrac12

\(\sin\beta=\dfrac{\sqrt5}{5}\), \(\cos\beta=\dfrac{2\sqrt5}{5}\), \(\tan\beta=\dfrac12\).

5. Relações entre razões trigonométricas

Considere que \(\alpha\) é um ângulo agudo. Determine o valor exato de cada expressão.

5.1. Sabendo que \(\sin\alpha=\dfrac35\), calcule \(\cos\alpha+\tan\alpha\).

5.2. Sabendo que \(\cos\alpha=\dfrac23\), calcule \(\sin\alpha-\tan\alpha\).

5.3. Sabendo que \(\tan\alpha=2\), calcule \(2\sin\alpha-3\cos\alpha\).

5.1 - Partir do seno

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) \(\Rightarrow\left(\dfrac35\right)^2+\cos^2\alpha=1\) \(\cos^2\alpha=\dfrac{16}{25}\) \(\Rightarrow\cos\alpha=\dfrac45

Como \(\alpha\) é agudo, as razões trigonométricas são positivas.

\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac34

\cos\alpha+\tan\alpha\) \(=\dfrac45+\dfrac34=\dfrac{31}{20}

5.1. \(\dfrac{31}{20}\)

5.2 - Partir do cosseno

\sin^2\alpha=1-\left(\dfrac23\right)^2=\dfrac59\) \(\Rightarrow\sin\alpha=\dfrac{\sqrt5}{3}

\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) \(=\dfrac{\sqrt5/3}{2/3}\) \(=\dfrac{\sqrt5}{2}

\sin\alpha-\tan\alpha\) \(=\dfrac{\sqrt5}{3}-\dfrac{\sqrt5}{2}\) \(=-\dfrac{\sqrt5}{6}

5.2. \(-\dfrac{\sqrt5}{6}\)

5.3 - Partir da tangente

1+\tan^2\alpha=\dfrac1{\cos^2\alpha}\) \(\Rightarrow1+2^2=\dfrac1{\cos^2\alpha}\) \(\cos^2\alpha=\dfrac15\) \(\Rightarrow\cos\alpha=\dfrac{\sqrt5}{5}

\sin\alpha=\tan\alpha\cos\alpha\) \(=2\times\dfrac{\sqrt5}{5}\) \(=\dfrac{2\sqrt5}{5}

2\sin\alpha-3\cos\alpha\) \(=\dfrac{4\sqrt5}{5}-\dfrac{3\sqrt5}{5}\) \(=\dfrac{\sqrt5}{5}

5.3. \(\dfrac{\sqrt5}{5}\)

6. Circunferência

Na figura, \(A\), \(B\) e \(C\) são pontos da circunferência, \([AB]\) é um diâmetro, o arco \(BC\) tem amplitude \(26^\circ\) e \(AC=3\).

Circunferência com diâmetro AB, ponto C e arco BC de 26 graus

6.1. Determine a amplitude do ângulo \(CAB\).

6.2. Determine o raio da circunferência, arredondado às décimas.

6.1 - Ângulo inscrito

A amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude do arco que ele abrange.

\widehat{CAB}=\dfrac{\widehat{BC}}2=\dfrac{26^\circ}{2}=13^\circ

\(\widehat{CAB}=13^\circ\).

6.2 - Aplicar o cosseno

Como \([AB]\) é um diâmetro, o ângulo \(ACB\) é reto. Se \(r\) é o raio, então \(AB=2r\).

\cos13^\circ=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac3{2r}

2r\cos13^\circ=3\) \(\Rightarrow r=\dfrac3{2\cos13^\circ}\) \(\approx1{,}54

Arredondando às décimas, o raio é \(1{,}5\).

7. Valores exatos

Determine o valor exato de cada expressão.

7.1. \(\left(1+2\sin30^\circ\right)^2\)

7.2. \(\dfrac{2\sin60^\circ+\tan45^\circ}{1+\tan60^\circ}\)

7.3. \(\left(\sin30^\circ+2\cos30^\circ\right)^2\)

7.4. \(\left(\tan60^\circ+\cos30^\circ\right)^2\)

Valores trigonométricos necessários

Ângulo	Seno	Cosseno	Tangente
\(30^\circ\)	\(\dfrac12\)	\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt3}{3}\)
\(45^\circ\)	\(\dfrac{\sqrt2}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt2}{2}\)	\(1\)
\(60^\circ\)	\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)	\(\dfrac12\)	\(\sqrt3\)

7.1

\left(1+2\sin30^\circ\right)^2\) \(=\left(1+2\times\dfrac12\right)^2\) \(=2^2=4

7.1. \(4\)

7.2

\dfrac{2\sin60^\circ+\tan45^\circ}{1+\tan60^\circ}\) \(=\dfrac{2\times\dfrac{\sqrt3}{2}+1}{1+\sqrt3}\) \(=\dfrac{\sqrt3+1}{1+\sqrt3}=1

7.2. \(1\)

7.3

\left(\sin30^\circ+2\cos30^\circ\right)^2\) \(=\left(\dfrac12+2\times\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2

\left(\dfrac12+\sqrt3\right)^2\) \(=\dfrac14+\sqrt3+3\) \(=\dfrac{13}{4}+\sqrt3

7.3. \(\dfrac{13}{4}+\sqrt3\)

7.4

\left(\tan60^\circ+\cos30^\circ\right)^2\) \(=\left(\sqrt3+\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2\) \(=\left(\dfrac{3\sqrt3}{2}\right)^2=\dfrac{27}{4}

7.4. \(\dfrac{27}{4}\)

8. Resolução de problemas

Determine o valor de \(x\) em cada uma das figuras, apresentando o resultado arredondado às centésimas.

8.1.

Dois triângulos retângulos com ângulos de 12 e 32 graus e uma distância de 10

8.2.

Triângulo retângulo com ângulo de 24 graus, altura interior de 2,8 e distância de 4,5

8.1 - Definir uma incógnita auxiliar

Seja \(y\) a distância horizontal entre o ponto onde está o ângulo de \(32^\circ\) e a vertical de altura \(x\).

\tan32^\circ=\dfrac{x}{y}\) \(\Rightarrow x=y\tan32^\circ

No triângulo maior, a base mede \(10+y\):

\tan12^\circ\) \(=\dfrac{x}{10+y}\) \(\Rightarrow x=(10+y)\tan12^\circ

Igualando as duas expressões de \(x\):

y\tan32^\circ=(10+y)\tan12^\circ

y(\tan32^\circ-\tan12^\circ)\) \(=10\tan12^\circ\) \(\Rightarrow y=\dfrac{10\tan12^\circ}{\tan32^\circ-\tan12^\circ}\) \(\approx5{,}16

x=(10+5{,}16)\tan12^\circ\) \(\approx3{,}22

8.1. \(x\approx3{,}22\)

8.2 - Calcular a primeira parte da base

Seja \(y\) a distância horizontal desde o vértice do ângulo de \(24^\circ\) até à vertical de altura \(2{,}8\).

\tan24^\circ=\dfrac{2{,}8}{y}\) \(\Rightarrow y=\dfrac{2{,}8}{\tan24^\circ}

A base do triângulo maior mede \(y+4{,}5\).

\tan24^\circ\) \(=\dfrac{x}{y+4{,}5}\) \(\Rightarrow x=(y+4{,}5)\tan24^\circ

x=\left(\dfrac{2{,}8}{\tan24^\circ}+4{,}5\right)\tan24^\circ\) \(=2{,}8+4{,}5\tan24^\circ\) \(\approx4{,}80

8.2. \(x\approx4{,}80\)

9. Valores exatos com ângulos notáveis

Determine o valor exato das seguintes expressões.

9.1. \(\sin45^\circ\times\cos45^\circ-\cos60^\circ-\sin60^\circ\)

9.2. \(\sin30^\circ+\tan60^\circ\times\cos30^\circ\) \({}-\tan45^\circ\times\cos60^\circ\)

9.3. \(\tan30^\circ-\tan60^\circ\) \({}+\cos30^\circ+\sin60^\circ\)

9.4. \(\tan45^\circ+\cos30^\circ\) \({}-\tan60^\circ\times\sin60^\circ\)

Valores a usar

\sin30^\circ\) \(=\cos60^\circ=\dfrac12

\sin60^\circ\) \(=\cos30^\circ\) \(=\dfrac{\sqrt3}{2}

\sin45^\circ\) \(=\cos45^\circ\) \(=\dfrac{\sqrt2}{2}

\tan30^\circ\) \(=\dfrac{\sqrt3}{3}

\tan45^\circ=1

\tan60^\circ=\sqrt3

9.1

\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}\) \(=\dfrac12-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}\) \(=-\dfrac{\sqrt3}{2}

9.2

\dfrac12+\sqrt3\times\dfrac{\sqrt3}{2}-1\times\dfrac12\) \(=\dfrac12+\dfrac32-\dfrac12=\dfrac32

9.3

\dfrac{\sqrt3}{3}-\sqrt3+\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\) \(=\dfrac{\sqrt3}{3}-\sqrt3+\sqrt3\) \(=\dfrac{\sqrt3}{3}

9.4

1+\dfrac{\sqrt3}{2}-\sqrt3\times\dfrac{\sqrt3}{2}\) \(=1+\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac32\) \(=\dfrac{\sqrt3-1}{2}

9.1. \(-\dfrac{\sqrt3}{2}\)
9.2. \(\dfrac32\)
9.3. \(\dfrac{\sqrt3}{3}\)
9.4. \(\dfrac{\sqrt3-1}{2}\)

10. Lados de triângulos com ângulos notáveis

Tendo em conta os dados de cada figura, em que a medida do comprimento dos lados está expressa numa dada unidade, determine os valores exatos de \(a\) e de \(b\).

Triângulo retângulo de hipotenusa 6 com ângulo de 60 graus; b adjacente e a oposto — 10.1.

Triângulo retângulo com cateto vertical 6, ângulo de 45 graus, cateto a e hipotenusa b — 10.2.

Triângulo com ângulo de 30 graus, altura 2, lado a e base b — 10.3.

Triângulo dividido pela altura a em ângulos de 60 e 45 graus, com lado raiz de 2 — 10.4.

Triângulo retângulo com ângulo de 45 graus e segmento interior de comprimento 4 — 10.5.

Triângulo com ângulos de 30 e 60 graus e segmento de comprimento 4 — 10.6.

10.1 - Hipotenusa 6

\sin60^\circ=\dfrac{a}{6}\) \(\Leftrightarrow a=6\times\dfrac{\sqrt3}{2}\) \(=3\sqrt3

\cos60^\circ=\dfrac{b}{6}\) \(\Leftrightarrow b=6\times\dfrac12=3

\(a=3\sqrt3\) e \(b=3\).

10.2 - Triângulo retângulo isósceles

O triângulo é retângulo e tem um ângulo agudo de \(45^\circ\); o outro ângulo agudo também mede \(45^\circ\), logo o triângulo é isósceles e \(a=6\).

\sin45^\circ=\dfrac{6}{b}\) \(\Leftrightarrow b=\dfrac{6}{\frac{\sqrt2}{2}}\) \(=\dfrac{12}{\sqrt2}\) \(=6\sqrt2

\(a=6\) e \(b=6\sqrt2\).

10.3 - Usar a altura 2

A altura divide a base \(b\) em duas partes: \(b_1\) (junto de \(a\)) e \(b_2\) (junto do ângulo de \(30^\circ\)). No triângulo da direita, o ângulo de \(30^\circ\) é adjacente à altura.

\cos30^\circ=\dfrac{2}{a}\) \(\Leftrightarrow a=\dfrac{2}{\frac{\sqrt3}{2}}\) \(=\dfrac{4}{\sqrt3}\) \(=\dfrac{4\sqrt3}{3}

\tan30^\circ=\dfrac{b_1}{2}\) \(\Leftrightarrow b_1=2\times\dfrac{\sqrt3}{3}\) \(=\dfrac{2\sqrt3}{3}

\tan30^\circ=\dfrac{2}{b_2}\) \(\Leftrightarrow b_2=\dfrac{2}{\frac{\sqrt3}{3}}\) \(=\dfrac{6}{\sqrt3}\) \(=2\sqrt3

b=b_1+b_2\) \(=\dfrac{2\sqrt3}{3}+2\sqrt3\) \(=\dfrac{8\sqrt3}{3}

\(a=\dfrac{4\sqrt3}{3}\) e \(b=\dfrac{8\sqrt3}{3}\).

10.4 - A altura é comum aos dois triângulos

\cos45^\circ=\dfrac{a}{\sqrt2}\) \(\Leftrightarrow a=\sqrt2\times\dfrac{\sqrt2}{2}=1

\cos60^\circ=\dfrac{a}{b}\Leftrightarrow b=\dfrac{1}{\frac12}=2

\(a=1\) e \(b=2\).

10.5 - Triângulos retângulos isósceles

O segmento interior de comprimento \(4\) é um cateto do triângulo pequeno, oposto ao ângulo de \(45^\circ\).

\sin45^\circ=\dfrac{4}{a}\) \(\Leftrightarrow a=\dfrac{4}{\frac{\sqrt2}{2}}\) \(=\dfrac{8}{\sqrt2}\) \(=4\sqrt2

Como o triângulo pequeno tem um ângulo de \(45^\circ\), é isósceles e a sua base mede \(b_1=4\). Pela mesma razão, o triângulo grande também é isósceles, logo

\(b=b_1+2=4+2=6\)

\(a=4\sqrt2\) e \(b=6\).

10.6 - Triângulo retângulo da direita

\cos60^\circ=\dfrac{4}{a}\Leftrightarrow a=\dfrac{4}{\frac12}=8

O triângulo da esquerda tem um ângulo de \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\) e um ângulo de \(30^\circ\); o terceiro ângulo mede \(180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ\). Tem dois ângulos iguais, logo é isósceles e \(b=a\).

\(a=8\) e \(b=8\).