Revisões de Trigonometria 1 | Matemática A

1. Razões trigonométricas I

1

Considere o triângulo retângulo \(ABC\), representado na figura.

Triângulo retângulo ABC com AB igual a 2 raiz de 7 e BC igual a 8

1.1. Determine o comprimento de \([AC]\).

1.2. Determine os valores exatos de \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) e \(\tan\alpha\).

1.3. Apresente os valores pedidos na forma de fração com denominador racional.

1.1 - Teorema de Pitágoras

Como \(BC\) é a hipotenusa:

BC^2=AB^2+AC^2\) \(8^2=(2\sqrt7)^2+AC^2\) \(64=28+AC^2\Rightarrow AC^2=36\Rightarrow AC=6

O comprimento de \([AC]\) é \(6\).

1.2 e 1.3 - Razões trigonométricas

Relativamente ao ângulo \(\alpha\), \(AC\) é o cateto oposto, \(AB\) o cateto adjacente e \(BC\) a hipotenusa.

\sin\alpha=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac68=\dfrac34

\cos\alpha=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{2\sqrt7}{8}=\dfrac{\sqrt7}{4}

\tan\alpha=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac6{2\sqrt7} =\dfrac3{\sqrt7}=\dfrac{3\sqrt7}{7}

\(\sin\alpha=\dfrac34,\quad \cos\alpha=\dfrac{\sqrt7}{4},\quad \tan\alpha=\dfrac{3\sqrt7}{7}\).

2. Razões trigonométricas II

2

Considere o triângulo retângulo \(ABC\), representado na figura.

Triângulo retângulo ABC com AB igual a 5 raiz de 2 e BC igual a 13 raiz de 2

2.1. Determine o valor exato de \(\sin\alpha+\cos\alpha\).

2.2. Determine a amplitude do ângulo \(ACB\), arredondada às décimas de grau.

Calcular o cateto AC

AC^2=BC^2-AB^2=(13\sqrt2)^2-(5\sqrt2)^2\) \(AC^2=338-50=288\Rightarrow AC=12\sqrt2

2.1 - Soma das razões

\sin\alpha=\dfrac{12\sqrt2}{13\sqrt2}=\dfrac{12}{13}\), \(\quad\cos\alpha=\dfrac{5\sqrt2}{13\sqrt2}=\dfrac5{13}

\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac{12}{13}+\dfrac5{13}=\dfrac{17}{13}

\(\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac{17}{13}\).

2.2 - Amplitude do ângulo

\alpha=\sin^{-1}\left(\dfrac{12}{13}\right)\approx67{,}4^\circ

Os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares.

\widehat{ACB}=90^\circ-\alpha\approx90^\circ-67{,}4^\circ=22{,}6^\circ

\(\widehat{ACB}\approx22{,}6^\circ\).

3. Triângulo isósceles

3

Considere o triângulo isósceles \(ABC\), em que \(AC=BC=5\) e \(AB=6\).

Triângulo isósceles ABC com lados iguais a 5 e base igual a 6

Determine os valores exatos de \(\sin\beta\), \(\cos\beta\) e \(\tan\beta\).

Construir um triângulo retângulo

Seja \(M\) o ponto médio de \([AB]\). Num triângulo isósceles, a altura relativa à base também é mediana, logo:

MB=\dfrac{AB}{2}=3

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo \(CMB\):

CM^2+MB^2=CB^2\Rightarrow CM^2+3^2=5^2\) \(CM^2=16\Rightarrow CM=4

Calcular as razões

\sin\beta=\dfrac{CM}{CB}=\dfrac45,\quad \cos\beta=\dfrac{MB}{CB}=\dfrac35,\quad \tan\beta=\dfrac{CM}{MB}=\dfrac43

\(\sin\beta=\dfrac45,\quad \cos\beta=\dfrac35,\quad \tan\beta=\dfrac43\).

4. Retângulo

4

Na figura está representado o retângulo \(ABCD\). Sabe-se que \(AD=4\) e que a área do retângulo é \(32\).

Retângulo ABCD com diagonal DB, ângulo alfa em D e ângulo beta em B

4.1. Determine as amplitudes dos ângulos \(\alpha\) e \(\beta\), arredondadas às décimas de grau.

4.2. Determine os valores exatos de \(\sin\beta\), \(\cos\beta\) e \(\tan\beta\).

Determinar as dimensões

AB\times AD=32\Rightarrow AB\times4=32\Rightarrow AB=8

4.1 - Amplitudes

\tan\alpha=\dfrac{AB}{AD}=\dfrac84=2\Rightarrow \alpha=\tan^{-1}(2)\approx63{,}4^\circ

\beta=90^\circ-\alpha\approx26{,}6^\circ

\(\alpha\approx63{,}4^\circ\) e \(\beta\approx26{,}6^\circ\).

4.2 - Comprimento da diagonal

DB=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt5

Razões trigonométricas de beta

\sin\beta=\dfrac{AD}{DB}=\dfrac4{4\sqrt5} =\dfrac1{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}

\cos\beta=\dfrac{AB}{DB}=\dfrac8{4\sqrt5} =\dfrac2{\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}{5}

\tan\beta=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac48=\dfrac12

\(\sin\beta=\dfrac{\sqrt5}{5},\quad \cos\beta=\dfrac{2\sqrt5}{5},\quad \tan\beta=\dfrac12\).

5. Relações entre razões trigonométricas

5

Considere que \(\alpha\) é um ângulo agudo. Determine o valor exato de cada expressão.

5.1. Sabendo que \(\sin\alpha=\dfrac35\), calcule \(\cos\alpha+\tan\alpha\).

5.2. Sabendo que \(\cos\alpha=\dfrac23\), calcule \(\sin\alpha-\tan\alpha\).

5.3. Sabendo que \(\tan\alpha=2\), calcule \(2\sin\alpha-3\cos\alpha\).

5.1 - Partir do seno

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow \left(\dfrac35\right)^2+\cos^2\alpha=1\) \(\cos^2\alpha=\dfrac{16}{25}\Rightarrow\cos\alpha=\dfrac45

Como \(\alpha\) é agudo, as razões trigonométricas são positivas.

\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac34

\cos\alpha+\tan\alpha=\dfrac45+\dfrac34=\dfrac{31}{20}

5.1. \(\dfrac{31}{20}\)

5.2 - Partir do cosseno

\sin^2\alpha=1-\left(\dfrac23\right)^2=\dfrac59 \Rightarrow\sin\alpha=\dfrac{\sqrt5}{3}

\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\dfrac{\sqrt5/3}{2/3}=\dfrac{\sqrt5}{2}

\sin\alpha-\tan\alpha=\dfrac{\sqrt5}{3}-\dfrac{\sqrt5}{2} =-\dfrac{\sqrt5}{6}

5.2. \(-\dfrac{\sqrt5}{6}\)

5.3 - Partir da tangente

1+\tan^2\alpha=\dfrac1{\cos^2\alpha}\Rightarrow 1+2^2=\dfrac1{\cos^2\alpha}\) \(\cos^2\alpha=\dfrac15\Rightarrow\cos\alpha=\dfrac{\sqrt5}{5}

\sin\alpha=\tan\alpha\cos\alpha =2\times\dfrac{\sqrt5}{5}=\dfrac{2\sqrt5}{5}

2\sin\alpha-3\cos\alpha =\dfrac{4\sqrt5}{5}-\dfrac{3\sqrt5}{5}=\dfrac{\sqrt5}{5}

5.3. \(\dfrac{\sqrt5}{5}\)

6. Circunferência

6

Na figura, \(A\), \(B\) e \(C\) são pontos da circunferência, \([AB]\) é um diâmetro, o arco \(BC\) tem amplitude \(26^\circ\) e \(AC=3\).

Circunferência com diâmetro AB, ponto C e arco BC de 26 graus

6.1. Determine a amplitude do ângulo \(CAB\).

6.2. Determine o raio da circunferência, arredondado às décimas.

6.1 - Ângulo inscrito

A amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude do arco que ele abrange.

\widehat{CAB}=\dfrac{\widehat{BC}}2=\dfrac{26^\circ}{2}=13^\circ

\(\widehat{CAB}=13^\circ\).

6.2 - Aplicar o cosseno

Como \([AB]\) é um diâmetro, o ângulo \(ACB\) é reto. Se \(r\) é o raio, então \(AB=2r\).

\cos13^\circ=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac3{2r}

2r\cos13^\circ=3\Rightarrow r=\dfrac3{2\cos13^\circ}\approx1{,}54

Arredondando às décimas, o raio é \(1{,}5\).

7. Valores exatos

7

Determine o valor exato de cada expressão.

7.1. \(\left(1+2\sin30^\circ\right)^2\)

7.2. \(\dfrac{2\sin60^\circ+\tan45^\circ}{1+\tan60^\circ}\)

7.3. \(\left(\sin30^\circ+2\cos30^\circ\right)^2\)

7.4. \(\left(\tan60^\circ+\cos30^\circ\right)^2\)

Valores trigonométricos necessários

Ângulo	Seno	Cosseno	Tangente
\(30^\circ\)	\(\dfrac12\)	\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt3}{3}\)
\(45^\circ\)	\(\dfrac{\sqrt2}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt2}{2}\)	\(1\)
\(60^\circ\)	\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)	\(\dfrac12\)	\(\sqrt3\)

7.1

\left(1+2\sin30^\circ\right)^2 =\left(1+2\times\dfrac12\right)^2=2^2=4

7.1. \(4\)

7.2

\dfrac{2\sin60^\circ+\tan45^\circ}{1+\tan60^\circ} =\dfrac{2\times\dfrac{\sqrt3}{2}+1}{1+\sqrt3} =\dfrac{\sqrt3+1}{1+\sqrt3}=1

7.2. \(1\)

7.3

\left(\sin30^\circ+2\cos30^\circ\right)^2 =\left(\dfrac12+2\times\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2

\left(\dfrac12+\sqrt3\right)^2 =\dfrac14+\sqrt3+3=\dfrac{13}{4}+\sqrt3

7.3. \(\dfrac{13}{4}+\sqrt3\)

7.4

\left(\tan60^\circ+\cos30^\circ\right)^2 =\left(\sqrt3+\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2 =\left(\dfrac{3\sqrt3}{2}\right)^2=\dfrac{27}{4}

7.4. \(\dfrac{27}{4}\)

8. Resolução de problemas

8

Determine o valor de \(x\) em cada uma das figuras, apresentando o resultado arredondado às centésimas.

8.1.

Dois triângulos retângulos com ângulos de 12 e 32 graus e uma distância de 10

8.2.

Triângulo retângulo com ângulo de 24 graus, altura interior de 2,8 e distância de 4,5

8.1 - Definir uma incógnita auxiliar

Seja \(y\) a distância horizontal entre o ponto onde está o ângulo de \(32^\circ\) e a vertical de altura \(x\).

\tan32^\circ=\dfrac{x}{y}\Rightarrow x=y\tan32^\circ

No triângulo maior, a base mede \(10+y\):

\tan12^\circ=\dfrac{x}{10+y}\Rightarrow x=(10+y)\tan12^\circ

Igualando as duas expressões de \(x\):

y\tan32^\circ=(10+y)\tan12^\circ

y(\tan32^\circ-\tan12^\circ)=10\tan12^\circ\Rightarrow y=\dfrac{10\tan12^\circ}{\tan32^\circ-\tan12^\circ}\approx5{,}16

x=(10+5{,}16)\tan12^\circ\approx3{,}22

8.1. \(x\approx3{,}22\)

8.2 - Calcular a primeira parte da base

Seja \(y\) a distância horizontal desde o vértice do ângulo de \(24^\circ\) até à vertical de altura \(2{,}8\).

\tan24^\circ=\dfrac{2{,}8}{y}\Rightarrow y=\dfrac{2{,}8}{\tan24^\circ}

A base do triângulo maior mede \(y+4{,}5\).

\tan24^\circ=\dfrac{x}{y+4{,}5}\Rightarrow x=(y+4{,}5)\tan24^\circ

x=\left(\dfrac{2{,}8}{\tan24^\circ}+4{,}5\right)\tan24^\circ =2{,}8+4{,}5\tan24^\circ\approx4{,}80

8.2. \(x\approx4{,}80\)