Resolução de Problemas com Triângulos 2 | Matemática A

📌 Resumo teórico

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

\[ \sin\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}\qquad \cos\alpha=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}\qquad \tan\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} \]

Para \(\alpha\) agudo: \(0\lt\sin\alpha\lt1\), \(0\lt\cos\alpha\lt1\) e \(\tan\alpha\gt0\). Para obter um ângulo a partir de uma razão usa-se a função inversa da calculadora (\(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\), \(\tan^{-1}\)), em modo de graus.

Fórmula fundamental: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) e \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

Valores exatos

	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\sin\)	\(\frac12\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)
\(\cos\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac12\)
\(\tan\)	\(\frac{\sqrt3}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt3\)

Estratégias

decompor um triângulo qualquer em dois triângulos retângulos, traçando uma altura (num triângulo obtusângulo, a altura pode cair no prolongamento de um lado);
com duas incógnitas (por exemplo, a altura \(h\) e uma distância \(x\)), escrever duas equações com a tangente e resolver o sistema;
ângulo de elevação ou de depressão: ângulo entre a horizontal e a linha de visão;
num triângulo isósceles, a altura relativa à base divide ao meio a base e o ângulo oposto;
nos cálculos intermédios, conservar casas decimais suficientes e arredondar só no fim.

Áreas

triângulo: \(A=\dfrac{\text{base}\times\text{altura}}{2}\); com dois lados \(a\), \(b\) e o ângulo \(\theta\) entre eles: \(A=\dfrac12\,a\,b\,\sin\theta\);
polígono regular de perímetro \(P\) e apótema \(ap\): \(A=\dfrac P2\times ap\); o ângulo ao centro de um polígono regular de \(n\) lados mede \(\dfrac{360^\circ}{n}\).

Circunferência

um triângulo inscrito numa semicircunferência é retângulo;
a tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

1. Prova de remo

O Daniel está a participar numa prova de remo. O esquema da figura ilustra a posição dos remos, num determinado instante da prova.

Esquema dos remos: triângulo isósceles QSU com ângulo de 124 graus em S e QU igual a 2,3 metros

Sabe-se que:

o triângulo \([QSU]\) é isósceles;
\(R\) e \(T\) pertencem aos lados iguais do triângulo;
\(\overline{RS}=\overline{ST}=20\) cm.

Atendendo aos dados da figura, determine o comprimento do cabo de um remo (\(\overline{QR}\), por exemplo). Apresente o resultado em metros, arredondado às centésimas.

Altura do triângulo isósceles

A altura relativa à base \([QU]\) divide o triângulo \([QSU]\) em dois triângulos retângulos iguais: divide o ângulo de \(124^\circ\) ao meio (\(62^\circ\)) e a base ao meio (\(\frac{2{,}3}{2}=1{,}15\) m).

Comprimento de [QS]

\sin62^\circ=\dfrac{1{,}15}{\overline{QS}}\) \(\Leftrightarrow\overline{QS}=\dfrac{1{,}15}{\sin62^\circ}\) \(\approx1{,}302\text{ m}

Comprimento do cabo

Como \(\overline{RS}=20\text{ cm}=0{,}2\text{ m}\):

\overline{QR}=\overline{QS}-\overline{RS}\) \(=\dfrac{1{,}15}{\sin62^\circ}-0{,}2\) \(\approx1{,}10\text{ m}

O cabo de cada remo mede, aproximadamente, \(1{,}10\) m.

2. Área de um triângulo com um ângulo obtuso

Atendendo aos dados da figura, determine a área do triângulo sombreado. Apresente o resultado arredondado às unidades. Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

Triângulo PQS com PQ igual a 6, QS igual a 9 e ângulo PQS de 105 graus; R é o pé da perpendicular

Altura relativa à base [PQ]

Os pontos \(P\), \(Q\) e \(R\) são colineares, logo \(S\hat QR=180^\circ-105^\circ=75^\circ\). No triângulo retângulo \([QRS]\):

\sin75^\circ=\dfrac{\overline{RS}}{9}\) \(\Leftrightarrow\overline{RS}=9\sin75^\circ\) \(\approx8{,}69

Área do triângulo [PQS]

Tomando \([PQ]\) como base, a altura correspondente é \(\overline{RS}\):

A=\dfrac{\overline{PQ}\times\overline{RS}}{2}\) \(=\dfrac{6\times9\sin75^\circ}{2}\) \(=27\sin75^\circ\approx26

A área do triângulo sombreado é, aproximadamente, \(26\) u.a.

3. Ângulo a partir da área

Considere o triângulo \([ABC]\), obtusângulo em \(A\), representado na figura. \(\alpha\) é a amplitude, em graus, do ângulo \(ABC\).

Triângulo ABC obtusângulo em A, com AB igual a 5, BC igual a 9 e ângulo alfa em B

Determine o valor de \(\alpha\), sabendo que o triângulo tem \(\dfrac{15}{2}\sqrt2\) unidades de área. Apresente o resultado arredondado às décimas.

Altura relativa à base [AB]

Seja \(h\) a altura do triângulo relativa ao lado \([AB]\) (como o ângulo em \(A\) é obtuso, o pé da altura fica no prolongamento de \([AB]\)).

\dfrac{5\times h}{2}=\dfrac{15}{2}\sqrt2\) \(\Leftrightarrow h=3\sqrt2

Seno de \(\alpha\)

No triângulo retângulo formado por \(C\), pelo pé da altura e por \(B\), a hipotenusa é \([BC]\):

\sin\alpha=\dfrac{h}{9}\) \(=\dfrac{3\sqrt2}{9}=\dfrac{\sqrt2}{3}\) \(\Leftrightarrow\alpha=\sin^{-1}\left(\dfrac{\sqrt2}{3}\right)\) \(\approx28{,}1^\circ

\(\alpha\approx28{,}1^\circ\)

4. Circunferência traçada com um compasso

Na figura, está representado um compasso cujas hastes medem \(10\) cm.

Compasso com hastes de 10 centímetros abertas num ângulo de 40 graus

Determine a área delimitada pela circunferência que se constrói com este compasso, quando as hastes fazem, entre si, um ângulo de amplitude \(40^\circ\). Apresente o resultado em \(\text{cm}^2\), arredondado às unidades. Em cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.

Raio da circunferência

O raio \(r\) é a distância entre as pontas das hastes. As hastes e o segmento que une as pontas formam um triângulo isósceles; a altura divide o ângulo de \(40^\circ\) ao meio e o raio ao meio:

\sin20^\circ=\dfrac{r/2}{10}\) \(\Leftrightarrow r=20\sin20^\circ\) \(\approx6{,}840\text{ cm}

Área do círculo

A=\pi r^2\) \(=\pi\times(20\sin20^\circ)^2\approx147

A área é, aproximadamente, \(147\text{ cm}^2\).

5. A escada do André

O André vai utilizar uma escada para aceder a uma das janelas da sua casa. Começou por colocar a base da escada a \(1{,}27\) m da parede, mas, com a escada nesta posição, não conseguia aceder à janela. Aproximou a base da escada da parede, de modo que a outra extremidade da escada ficasse apoiada no parapeito da janela. A figura seguinte ilustra a situação.

Escada apoiada na parede com 65 graus a 1,27 metros e depois com 70 graus apoiada no parapeito

Determine, atendendo aos dados da figura, a altura a que o parapeito da janela se encontra do chão. Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas. Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

Comprimento da escada

Sejam \(x\) o comprimento da escada e \(h\) a altura do parapeito. Na primeira posição:

\cos65^\circ=\dfrac{1{,}27}{x}\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1{,}27}{\cos65^\circ}\) \(\approx3{,}01\text{ m}

Altura do parapeito

Na segunda posição, a escada (com o mesmo comprimento) faz \(70^\circ\) com o chão:

\sin70^\circ=\dfrac hx\) \(\Leftrightarrow h=\dfrac{1{,}27}{\cos65^\circ}\) \({}\times\sin70^\circ\) \(\approx2{,}8\text{ m}

O parapeito da janela está a, aproximadamente, \(2{,}8\) m do chão.

6. Área de um decágono regular

Determine a área de um decágono regular com \(30\) cm de perímetro. Apresente o resultado em \(\text{cm}^2\), arredondado às unidades. Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

Lado e ângulo ao centro

Cada lado mede \(30\div10=3\) cm e o ângulo ao centro correspondente a um lado mede \(360^\circ\div10=36^\circ\).

Apótema

O apótema divide cada um dos dez triângulos isósceles em dois triângulos retângulos com um ângulo de \(18^\circ\) no centro e cateto oposto \(\frac32\):

\tan18^\circ=\dfrac{\frac32}{ap}\) \(\Leftrightarrow ap=\dfrac{1{,}5}{\tan18^\circ}\) \(\approx4{,}616\text{ cm}

Área do polígono regular

A=\dfrac{P}{2}\times ap\) \(=\dfrac{30}{2}\times\dfrac{1{,}5}{\tan18^\circ}\approx69

A área do decágono é, aproximadamente, \(69\text{ cm}^2\).

7. O raio da Terra, à maneira de Al-Biruni

No século XI, Al-Biruni determinou, com sucesso, o raio da Terra. Para o obter, mediu a inclinação do horizonte a partir do topo de uma colina. A partir dessa medição, ele foi capaz de calcular o raio da Terra.

A Beatriz subiu ao topo de um farol com \(60\) metros de altura e, nesse local, mediu a inclinação com o horizonte, marcada na figura (que não está à escala) com \(\alpha\): \(14{,}9\) minutos de grau (correspondente a, aproximadamente, \(0{,}2483^\circ\)).

Farol no ponto A, reta tangente à Terra e raio r até ao centro O; ângulo alfa com a horizontal

A partir desta medida, estimou a medida do raio da Terra. Qual foi o valor estimado pela Beatriz? Apresente o resultado em km, arredondado às unidades. Em cálculos intermédios, não proceda a arredondamentos.

Triângulo retângulo

Seja \(T\) o ponto de tangência. O raio \([OT]\) é perpendicular à reta tangente, logo o triângulo \([OTA]\) é retângulo em \(T\), com \(\overline{OT}=r\) e \(\overline{OA}=r+0{,}060\) (em km).

A horizontal em \(A\) é perpendicular a \(OA\); como a tangente faz um ângulo \(\alpha\) com a horizontal, \(O\hat AT=90^\circ-\alpha\).

Equação em \(r\)

\sin(90^\circ-\alpha)\) \(=\dfrac{r}{r+0{,}060}\) \(\Leftrightarrow r=(r+0{,}060)\sin(89{,}7517^\circ)

\Leftrightarrow r-r\sin(89{,}7517^\circ)\) \(=0{,}060\sin(89{,}7517^\circ)\) \(\Leftrightarrow r=\dfrac{0{,}060\sin(89{,}7517^\circ)}{1-\sin(89{,}7517^\circ)}

r\approx6390\text{ km}

A Beatriz estimou o raio da Terra em, aproximadamente, \(6390\) km.

8. Triângulo inscrito num círculo

Na figura, está representado um triângulo inscrito numa circunferência de centro no ponto \(O\); o círculo correspondente tem \(16\pi\text{ cm}^2\) de área. O ponto \(O\) pertence a um dos lados do triângulo.

Triângulo inscrito numa circunferência com um lado a passar pelo centro O e ângulo alfa

Qual das seguintes expressões dá a área do triângulo, em \(\text{cm}^2\)?

(A) \(8\sin\alpha\cos\alpha\)(B) \(16\sin\alpha\cos\alpha\)(C) \(32\sin\alpha\cos\alpha\)(D) \(64\sin\alpha\cos\alpha\)

Raio e diâmetro

\pi r^2=16\pi\) \(\Leftrightarrow r=4\quad(r\gt0)

O triângulo está inscrito numa semicircunferência, logo é retângulo, e a hipotenusa é um diâmetro: mede \(8\) cm.

Catetos

Sejam \(b\) o cateto oposto a \(\alpha\) e \(h\) o cateto adjacente:

\dfrac b8=\sin\alpha\Leftrightarrow b=8\sin\alpha

\dfrac h8=\cos\alpha\Leftrightarrow h=8\cos\alpha

A=\dfrac{b\times h}{2}\) \(=\dfrac{8\sin\alpha\times8\cos\alpha}{2}\) \(=32\sin\alpha\cos\alpha

Opção (C).

9. Planificação de uma pirâmide num quadrado

Na figura, estão representados o quadrado \([ABCD]\) e a planificação de uma pirâmide reta, cuja base é um quadrado de lado \(4\) cm.

Quadrado ABCD com a planificação de uma pirâmide de base quadrada de lado 4 centímetros e um ângulo de 140 graus

Como a figura ilustra, um dos vértices de cada triângulo da planificação pertence a um dos lados do quadrado \([ABCD]\).

Determine, atendendo aos dados da figura, a área do quadrado \([ABCD]\). Apresente o valor pedido em \(\text{cm}^2\), arredondado às décimas. Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.

Ângulos da base das faces laterais

As faces laterais são triângulos isósceles iguais. Seja \(\beta\) a amplitude de cada ângulo da base desses triângulos. À volta de um vértice da base da pirâmide, os ângulos somam \(360^\circ\):

90^\circ+\beta+\beta+140^\circ=360^\circ\) \(\Leftrightarrow2\beta=130^\circ\) \(\Leftrightarrow\beta=65^\circ

Altura de cada face lateral

A altura \(x\) de uma face, relativa ao lado da base, cai no ponto médio desse lado (a \(2\) cm dos extremos):

\tan65^\circ=\dfrac x2\) \(\Leftrightarrow x=2\tan65^\circ\) \(\approx4{,}2890

Lado e área do quadrado [ABCD]

\overline{AB}=x+4+x\) \(=4\tan65^\circ+4\) \(\approx12{,}5780

A_{[ABCD]}=\left(4\tan65^\circ+4\right)^2\) \(\approx158{,}2

A área do quadrado \([ABCD]\) é, aproximadamente, \(158{,}2\text{ cm}^2\).

10. Altura de um poste

Um poste vertical está preso ao chão de um terreno plano e horizontal, por dois cabos de aço fixos.

Poste preso por dois cabos que fazem 49 e 67 graus com o chão; distância entre as bases dos cabos de 90 metros

Determine, atendendo aos dados da figura, a altura do poste. Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas. Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve três casas decimais.

Sistema de equações

Sejam \(h\) a altura do poste e \(x\) a distância do pé do poste ao cabo que faz \(67^\circ\); a distância ao outro cabo é \(90-x\).

\begin{cases}\dfrac hx=\tan67^\circ\\[.5em]\dfrac{h}{90-x}=\tan49^\circ\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}h=x\tan67^\circ\\ x\tan67^\circ=(90-x)\tan49^\circ\end{cases}

x\tan67^\circ+x\tan49^\circ\) \(=90\tan49^\circ\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{90\tan49^\circ}{\tan67^\circ+\tan49^\circ}\) \(\approx29{,}529

Altura

h=\dfrac{90\tan49^\circ}{\tan67^\circ+\tan49^\circ}\) \({}\times\tan67^\circ\) \(\approx69{,}6

A altura do poste é, aproximadamente, \(69{,}6\) m.

11. Da escola ao cinema

A casa da Sofia situa-se a \(5{,}2\) km da escola e a \(9{,}4\) km do cinema.

Triângulo casa-escola-cinema com 5,2 km, 9,4 km e ângulo de 60 graus na casa

Determine, atendendo aos dados da figura, a distância (em linha reta) entre a escola e o cinema. Apresente o valor pedido em km, arredondado às décimas. Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve três casas decimais.

Altura relativa ao lado casa–cinema

Seja \(h\) a altura do triângulo traçada a partir da escola; o seu pé divide o lado de \(9{,}4\) km em \(x\) (junto da casa) e \(y\) (junto do cinema).

\dfrac{h}{5{,}2}=\sin60^\circ\) \(\Leftrightarrow h=5{,}2\times\dfrac{\sqrt3}{2}\) \(=2{,}6\sqrt3

\dfrac{x}{5{,}2}=\cos60^\circ\Leftrightarrow x=2{,}6

\(y=9{,}4-2{,}6=6{,}8\)

Teorema de Pitágoras

Seja \(z\) a distância entre a escola e o cinema:

z^2=h^2+y^2\) \(=\left(2{,}6\sqrt3\right)^2+6{,}8^2\) \(=20{,}28+46{,}24\) \(=66{,}52

z=\sqrt{66{,}52}\approx8{,}2\quad(z\gt0)

A distância entre a escola e o cinema é, aproximadamente, \(8{,}2\) km.

12. Dois pássaros e um pedaço de pão

Dois pássaros, identificados por \(P_1\) e \(P_2\), estão no topo de dois prédios quando veem um pedaço de pão no chão. Levantam voo no mesmo instante, em linha reta e com a mesma velocidade, em direção ao pão. O esquema, que não está à escala, ilustra a situação.

Pássaros no topo de prédios de 15 e 10 metros; as duas trajetórias formam um ângulo reto no pão; ângulo alfa

Sabe-se que \(\cos\alpha=\dfrac45\).

Qual dos dois pássaros chega primeiro ao pedaço de pão? Justifique a sua resposta.

Trajetória do pássaro \(P_2\)

Sejam \(x\) a distância de \(P_2\) ao pão e \(z\) a distância, no chão, do pão ao prédio de \(10\) m.

\dfrac zx=\cos\alpha\) \(\Leftrightarrow\dfrac zx=\dfrac45\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{5z}{4}

x^2=z^2+10^2\) \(\Leftrightarrow\dfrac{25z^2}{16}-z^2=100\) \(\Leftrightarrow\dfrac{9z^2}{16}=100\) \(\Leftrightarrow z=\dfrac{40}{3}\quad(z\gt0)

x=\dfrac54\times\dfrac{40}{3}\) \(=\dfrac{50}{3}\) \(\approx16{,}7\text{ m}

Trajetória do pássaro \(P_1\)

Na figura, as duas trajetórias formam um ângulo reto no pão. Assim, a trajetória de \(P_1\) faz com o chão um ângulo de \(180^\circ-90^\circ-\alpha=90^\circ-\alpha\) e, no triângulo retângulo do prédio de \(15\) m, o ângulo em \(P_1\) mede \(\alpha\). Seja \(y\) a distância de \(P_1\) ao pão:

\dfrac{15}{y}=\cos\alpha\) \(\Leftrightarrow\dfrac{15}{y}=\dfrac45\) \(\Leftrightarrow y=\dfrac{75}{4}\) \(=18{,}75\text{ m}

O pássaro \(P_2\) chega primeiro, porque está a cerca de \(16{,}7\) m do pão, enquanto \(P_1\) está a \(18{,}75\) m (e ambos voam à mesma velocidade).

13. Área sem calculadora

Na figura, está representado o triângulo \([ABC]\), retângulo em \(B\), no qual está assinalada a amplitude de um ângulo agudo, \(\alpha\).

Triângulo ABC retângulo em B com BC igual a 4 e ângulo alfa em A

Sabe-se que \(\overline{BC}=4\) e que \(\cos\alpha=\dfrac13\).

Determine, sem recorrer à calculadora, o valor da área do triângulo \([ABC]\).

Relação entre AC e AB

\cos\alpha=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac13\) \(\Leftrightarrow\overline{AC}=3\overline{AB}

Teorema de Pitágoras

\overline{AC}^{\,2}=\overline{AB}^{\,2}+\overline{BC}^{\,2}\) \(\Leftrightarrow9\overline{AB}^{\,2}=\overline{AB}^{\,2}+16\) \(\Leftrightarrow\overline{AB}^{\,2}=2\) \(\Leftrightarrow\overline{AB}=\sqrt2

Área

A=\dfrac{\overline{AB}\times\overline{BC}}{2}\) \(=\dfrac{\sqrt2\times4}{2}\) \(=2\sqrt2

A área do triângulo \([ABC]\) é \(2\sqrt2\) u.a.

14. Ângulos com o ponto médio de um cateto

Na figura, está representado o triângulo \([ABC]\), retângulo em \(B\), no qual está assinalado o ponto \(P\), ponto médio de \([BC]\), e assinaladas as amplitudes de dois ângulos agudos: \(\alpha=B\hat AP\) e \(\beta=B\hat AC\).

Triângulo ABC retângulo em B, com P ponto médio de BC e ângulos alfa e beta em A

Quais poderão ser as amplitudes, arredondadas às centésimas de grau, de \(\alpha\) e \(\beta\)?

(A) \(\alpha\approx33{,}69^\circ\) e \(\beta\approx53{,}13^\circ\)(B) \(\alpha\approx25{,}12^\circ\) e \(\beta\approx50{,}24^\circ\)(C) \(\alpha\approx20{,}14^\circ\) e \(\beta\approx43{,}52^\circ\)(D) \(\alpha\approx40{,}35^\circ\) e \(\beta\approx52{,}14^\circ\)

Relação entre as tangentes

\tan\alpha=\dfrac{\overline{BP}}{\overline{AB}}

\tan\beta=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}\) \(=\dfrac{2\overline{BP}}{\overline{AB}}\quad(\overline{BC}=2\overline{BP})

Logo, \(\tan\beta=2\tan\alpha\). Basta testar as opções:

\text{(A)}\ \ 2\tan33{,}69^\circ\approx1{,}333\) \(\text{ e }\ \tan53{,}13^\circ\) \(\approx1{,}333

Nas restantes opções a igualdade falha: (B) \(0{,}938\ne1{,}202\); (C) \(0{,}733\ne0{,}950\); (D) \(1{,}699\ne1{,}287\).

Opção (A).

15. Distância do barco ao cais

Na figura estão representados um barco num rio e o triângulo \([ABC]\).

Rio com o triângulo ABC, AC igual a 500 metros e ângulo de 45 graus em C

Sabe-se que:

a localização do barco é representada pelo ponto \(B\);
o ponto \(C\) representa o cais de partida do barco;
o triângulo \([ABC]\) é retângulo em \(B\);
\(\overline{AC}=500\) m.

Determine a distância do barco ao cais de onde partiu. Apresente o resultado em metros, arredondado às centésimas.

Cosseno do ângulo em C

\cos45^\circ=\dfrac{\overline{BC}}{500}\) \(\Leftrightarrow\overline{BC}=500\times\dfrac{\sqrt2}{2}\) \(=250\sqrt2\) \(\approx353{,}55

O barco está a, aproximadamente, \(353{,}55\) m do cais.

16. Diferença de alturas de dois edifícios

No esquema representado na figura, um observador está a igual distância dos edifícios A e B.

Observador entre dois edifícios afastados 22 metros, com ângulos de elevação de 68 e 57 graus

Determine, em metros, a diferença de alturas dos dois edifícios. Apresente o resultado arredondado às unidades. Se utilizar arredondamentos intermédios, conserve quatro casas decimais.

Distância a cada edifício

O observador está a \(22\div2=11\) m de cada edifício. Sejam \(h_A\) e \(h_B\) as alturas dos edifícios acima do nível de observação.

\tan68^\circ=\dfrac{h_A}{11}\) \(\Leftrightarrow h_A=11\tan68^\circ

\tan57^\circ=\dfrac{h_B}{11}\) \(\Leftrightarrow h_B=11\tan57^\circ

Diferença

h_A-h_B=11\tan68^\circ\) \({}-11\tan57^\circ\) \(\approx27{,}2260\) \({}-16{,}9384\approx10

A diferença de alturas dos dois edifícios é, aproximadamente, \(10\) m.

17. A Ana a caminho do edifício

A Ana caminha, em linha reta, em direção ao edifício onde mora uma amiga. Tal como é sugerido pela figura, a Ana observa o topo do edifício, em dois momentos diferentes.

Edifício de 45 metros observado de A com 20 graus e de B com 70 graus

Atendendo à informação dada na figura, determine a distância entre os pontos \(A\) e \(B\). Apresente o resultado em metros, arredondado às unidades. Se utilizar arredondamentos intermédios, conserve quatro casas decimais.

Distâncias de A e de B ao edifício

Sejam \(x\) e \(y\) as distâncias do ponto \(A\) e do ponto \(B\) ao edifício, respetivamente.

\tan20^\circ=\dfrac{45}{x}\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{45}{\tan20^\circ}\) \(\approx123{,}6354

\tan70^\circ=\dfrac{45}{y}\) \(\Leftrightarrow y=\dfrac{45}{\tan70^\circ}\) \(\approx16{,}3786

Distância AB

\overline{AB}=x-y\) \(\approx123{,}6354\) \({}-16{,}3786\approx107

A distância entre \(A\) e \(B\) é, aproximadamente, \(107\) m.

18. Comprimento de [CD]

Atendendo às informações dadas nas figuras, determine \(\overline{CD}\), em centímetros e arredondado às unidades. Se utilizar arredondamentos intermédios, conserve quatro casas decimais.

Triângulo ABC retângulo em A com AB igual a 6 cm, ângulo ADB de 50 graus e ângulo DBC de 10 graus — 18.1.

Triângulo ABC retângulo em B com AB igual a 4 cm, ângulo de 30 graus em C e ângulo DAC de 25 graus — 18.2.

18.1 - Ângulos em B

D\hat BA=180^\circ-90^\circ-50^\circ=40^\circ

C\hat BA=40^\circ+10^\circ=50^\circ

\tan40^\circ=\dfrac{\overline{AD}}{6}\) \(\Leftrightarrow\overline{AD}=6\tan40^\circ\) \(\approx5{,}0346

\tan50^\circ=\dfrac{\overline{AC}}{6}\) \(\Leftrightarrow\overline{AC}=6\tan50^\circ\) \(\approx7{,}1505

\overline{CD}=\overline{AC}-\overline{AD}\) \(\approx7{,}1505-5{,}0346\approx2

18.1. \(\overline{CD}\approx2\) cm

18.2 - Ângulos em A

C\hat DA=180^\circ-25^\circ-30^\circ\) \(=125^\circ\) \(\Rightarrow A\hat DB=180^\circ-125^\circ=55^\circ

B\hat AD=180^\circ-90^\circ-55^\circ=35^\circ

B\hat AC=25^\circ+35^\circ=60^\circ

\tan60^\circ=\dfrac{\overline{BC}}{4}\) \(\Leftrightarrow\overline{BC}=4\tan60^\circ\) \(\approx6{,}9282

\tan35^\circ=\dfrac{\overline{BD}}{4}\) \(\Leftrightarrow\overline{BD}=4\tan35^\circ\) \(\approx2{,}8008

\overline{CD}=\overline{BC}-\overline{BD}\) \(\approx6{,}9282-2{,}8008\approx4

18.2. \(\overline{CD}\approx4\) cm

19. Ponte suspensa

Para concluir um trilho de exploração numa floresta, é necessário construir uma ponte suspensa a ligar os pontos \(B\) e \(C\), representados na figura.

Triângulo ABC sobre um desfiladeiro, com AB igual a 60 metros, ângulo de 150 graus em B e de 20 graus em A

Atendendo à informação dada, determine \(\overline{BC}\), em metros e arredondado às unidades. No caso de utilizar arredondamentos em cálculos intermédios, conserve quatro casas decimais.

Terceiro ângulo

A\hat CB=180^\circ-150^\circ-20^\circ=10^\circ

Altura [BD], com D em [AC]

\sin20^\circ=\dfrac{\overline{BD}}{60}\) \(\Leftrightarrow\overline{BD}=60\sin20^\circ\) \(\approx20{,}5212

\sin10^\circ=\dfrac{\overline{BD}}{\overline{BC}}\) \(\Leftrightarrow\overline{BC}=\dfrac{60\sin20^\circ}{\sin10^\circ}\approx118

\(\overline{BC}\approx118\) m.

20. Da varanda do Ricardo

Da varanda do seu apartamento, o Ricardo observa o edifício em frente, que se encontra a \(30\) metros de distância.

Dois edifícios a 30 metros; da varanda, o topo é visto a 30 graus acima da horizontal e a base a 41 graus abaixo

De acordo com os dados apresentados na figura, determine:

20.1. a que altura o Ricardo fez a sua observação, apresentando o resultado arredondado às unidades;

20.2. a altura do edifício que o Ricardo está a observar, apresentando o resultado arredondado às unidades.

20.1 - Ângulo de depressão de 41°

Seja \(x\) a altura pretendida:

\tan41^\circ=\dfrac{x}{30}\) \(\Leftrightarrow x=30\tan41^\circ\approx26

20.1. O Ricardo fez a observação a cerca de \(26\) m de altura.

20.2 - Ângulo de elevação de 30°

Seja \(y\) a diferença entre a altura do edifício e a altura a que o Ricardo se encontra:

\tan30^\circ=\dfrac{y}{30}\) \(\Leftrightarrow y=30\tan30^\circ

x+y=30\tan41^\circ\) \({}+30\tan30^\circ\approx43

20.2. O edifício tem, aproximadamente, \(43\) m de altura.

21. Altura de um rochedo

Para obter a altura aproximada de um rochedo, fizeram-se as medições dos ângulos de elevação em dois pontos distintos, \(A\) e \(B\).

Rochedo com topo C e pé D, observado de A com 26 graus e de B com 34 graus, sendo AB igual a 180 metros

Considerando as informações dadas na figura, sabe-se que:

os pontos \(A\), \(B\) e \(D\) pertencem à mesma reta;
\(\overline{AB}=180\) m;
\(D\hat BC=34^\circ\) e \(D\hat AC=26^\circ\).

Determine a altura do rochedo e apresente o resultado em metros, arredondado às unidades. Se utilizar arredondamentos intermédios, conserve quatro casas decimais.

Sistema de equações

Sejam \(h=\overline{CD}\) (a altura do rochedo) e \(x=\overline{BD}\).

\tan26^\circ\) \(=\dfrac{h}{x+180}\) \({}\wedge\ \tan34^\circ=\dfrac hx\) \(\Leftrightarrow h=(x+180)\tan26^\circ\) \({}\wedge\ h=x\tan34^\circ

x\tan34^\circ\) \(=x\tan26^\circ+180\tan26^\circ\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{180\tan26^\circ}{\tan34^\circ-\tan26^\circ}\) \(\approx470{,}0384

Altura

h\approx470{,}0384\times\tan34^\circ\approx317

A altura do rochedo é, aproximadamente, \(317\) m.

22. Slide parado sobre o rio

Num trilho com atividades de aventura é possível atravessar um rio em slide através de um cabo, como é sugerido pela figura. O sistema bloqueou e um participante ficou parado no slide enquanto atravessava o rio. Observe o esquema.

Participante suspenso num slide sobre um rio

Esquema: P acima do rio MN, com ângulos de 60 graus em M e 30 graus em N e R o pé da perpendicular

Sabe-se que:

o ponto \(P\) representa a posição do participante no momento em que o sistema bloqueou;
a largura do rio, representada por \(\overline{MN}\), é igual a \(36\) metros.

Determine, em metros, a altura do participante em relação ao rio, quando o sistema bloqueou. Utilize valores exatos das razões trigonométricas.

Sistema de equações

Sejam \(h=\overline{PR}\) (a altura pedida) e \(x=\overline{MR}\). Então \(\overline{NR}=36-x\).

\tan60^\circ=\dfrac hx\) \({}\wedge\ \tan30^\circ=\dfrac{h}{36-x}\) \(\Leftrightarrow h=x\tan60^\circ\) \({}\wedge\ h=(36-x)\tan30^\circ

\sqrt3\,x=(36-x)\dfrac{\sqrt3}{3}\) \(\Leftrightarrow3x=36-x\) \(\Leftrightarrow x=9

Altura

h=9\tan60^\circ=9\sqrt3\approx15{,}6

O participante ficou a \(9\sqrt3\) metros de altura (cerca de \(15{,}6\) m).

23. Trapézio retângulo com um quadrado

Na figura está representado um trapézio retângulo \([ABCD]\), sendo \([BCDE]\) um quadrado.

Trapézio retângulo ABCD formado pelo triângulo ADE e pelo quadrado BCDE, com ângulo de 30 graus em A

Sabe-se que:

o ponto \(E\) pertence a \([AB]\);
a área do quadrado é \(36\);
\(D\hat AE=30^\circ\).

Determine o valor exato do perímetro do trapézio \([ABCD]\).

Lado do quadrado

A_{[BCDE]}=36\) \(\Rightarrow\overline{DE}=\overline{BE}\) \(=\overline{BC}\) \(=\overline{CD}=6

Triângulo [ADE]

\sin30^\circ=\dfrac{\overline{DE}}{\overline{AD}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac12=\dfrac{6}{\overline{AD}}\) \(\Leftrightarrow\overline{AD}=12

\tan30^\circ=\dfrac{\overline{DE}}{\overline{AE}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{6}{\overline{AE}}\) \(\Leftrightarrow\overline{AE}=\dfrac{18}{\sqrt3}\) \(=6\sqrt3

Perímetro

P_{[ABCD]}=\overline{AE}+\overline{EB}\) \({}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}\) \(=6\sqrt3+6\) \({}+6+6+12\) \(=30+6\sqrt3

\(P_{[ABCD]}=30+6\sqrt3\) u.c.

24. Ângulo entre as diagonais de um retângulo

Considere um retângulo, cuja medida da largura é um quarto da medida do comprimento.

Qual é o valor, em graus, arredondado às unidades, da amplitude do ângulo agudo formado pelas diagonais desse retângulo?

(A) \(14^\circ\)(B) \(28^\circ\)(C) \(45^\circ\)(D) \(56^\circ\)

Metade do ângulo

Sejam \(c\) o comprimento e \(\dfrac c4\) a largura. As diagonais cortam-se no centro do retângulo. O segmento que une o centro ao ponto médio da largura divide o ângulo agudo \(\alpha\) ao meio e forma um triângulo retângulo com catetos \(\dfrac c2\) e \(\dfrac c8\):

\tan\left(\dfrac\alpha2\right)=\dfrac{\frac c8}{\frac c2}=\dfrac14

\dfrac\alpha2=\tan^{-1}\left(\dfrac14\right)\) \(\approx14{,}04^\circ\) \(\Leftrightarrow\alpha\approx28^\circ

Opção (B).

25. Cosseno de um ângulo num triângulo escaleno

Na figura está representado um triângulo escaleno \([ABC]\).

Triângulo ABC com AC igual a 5, BC igual a 6, ângulo de 45 graus em B e ângulo alfa em A

Sabe-se que \(\overline{AC}=5\) cm, \(\overline{BC}=6\) cm, \(A\hat BC=45^\circ\) e \(C\hat AB=\alpha\).

Qual é o valor de \(\cos\alpha\)?

(A) \(\dfrac{3\sqrt2}{5}\)(B) \(\dfrac56\)(C) \(\dfrac{\sqrt7}{5}\)(D) \(\dfrac{3\sqrt{14}}{7}\)

Altura [CD], com D em [AB]

\sin45^\circ=\dfrac{\overline{CD}}{6}\) \(\Leftrightarrow\overline{CD}=6\times\dfrac{\sqrt2}{2}\) \(=3\sqrt2

\sin\alpha=\dfrac{\overline{CD}}{5}=\dfrac{3\sqrt2}{5}

Fórmula fundamental da trigonometria

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) \(\Leftrightarrow\cos^2\alpha\) \(=1-\dfrac{18}{25}=\dfrac{7}{25}

Como \(\alpha\) é agudo, \(\cos\alpha\gt0\):

\cos\alpha=\dfrac{\sqrt7}{5}

Opção (C).

26. Altura da torre Vasco da Gama

A torre Vasco da Gama, em Lisboa, é um dos edifícios mais altos de Portugal. Para determinar a sua altura, fizeram-se medições de ângulos em dois pontos, que distam \(80\) metros, focando o ponto mais alto da torre. Obtiveram-se os valores indicados na figura.

Torre Vasco da Gama observada com ângulos de 75 e 50 graus a partir de pontos distanciados 80 metros

Determine, com arredondamento às unidades, a altura da torre Vasco da Gama.

Duas equações

Sejam \(x\) a altura da torre e \(y\) a distância do ponto mais próximo à base da torre.

\tan75^\circ=\dfrac xy\) \(\Leftrightarrow x=y\tan75^\circ

\tan50^\circ\) \(=\dfrac{x}{y+80}\) \(\Leftrightarrow x=(y+80)\tan50^\circ

y\tan75^\circ\) \(=y\tan50^\circ+80\tan50^\circ\) \(\Leftrightarrow y=\dfrac{80\tan50^\circ}{\tan75^\circ-\tan50^\circ}

Altura

x=\dfrac{80\tan50^\circ}{\tan75^\circ-\tan50^\circ}\) \({}\times\tan75^\circ\approx140

A altura da torre Vasco da Gama é, aproximadamente, \(140\) metros.

27. Paralelepípedo retângulo

A figura representa um paralelepípedo retângulo \([ABCDEFGH]\).

Paralelepípedo retângulo ABCDEFGH com o ângulo x entre EF e EB

Sabe-se que \(\overline{AB}=\dfrac34\,\overline{AD}\), \(\overline{AE}=1\) e \(F\hat EB=x\).

27.1. Escreva, em função de \(x\):

a) o volume do paralelepípedo;

b) a área total das faces do paralelepípedo.

27.2. Determine o volume e a área total das faces do paralelepípedo para \(x=30^\circ\).

27.1 a) - Arestas em função de \(x\)

Na face \([ABFE]\), \(\overline{BF}=\overline{AE}=1\) e \(\overline{EF}=\overline{AB}\). No triângulo retângulo \([EFB]\):

\tan x=\dfrac{\overline{BF}}{\overline{EF}}=\dfrac{1}{\overline{EF}}\) \(\Leftrightarrow\overline{AB}=\overline{EF}\) \(=\dfrac{1}{\tan x}

\overline{AB}=\dfrac34\overline{AD}\) \(\Leftrightarrow\overline{AD}=\dfrac43\overline{AB}\) \(=\dfrac{4}{3\tan x}

V=\overline{AB}\times\overline{AD}\times\overline{AE}\) \(=\dfrac{1}{\tan x}\times\dfrac{4}{3\tan x}\times1\) \(=\dfrac{4}{3\tan^2x}

27.1 b) - Área total

A=2\times\dfrac{1}{\tan x}\) \({}\times\dfrac{4}{3\tan x}+2\times\dfrac{1}{\tan x}\) \({}\times1+2\times\dfrac{4}{3\tan x}\times1\) \(=\dfrac{8}{3\tan^2x}\) \({}+\dfrac{2}{\tan x}+\dfrac{8}{3\tan x}

A=\dfrac{8}{3\tan^2x}+\dfrac{14}{3\tan x}

27.2 - Para \(x=30^\circ\)

Como \(\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3}\), tem-se \(\tan^230^\circ=\dfrac13\).

V=\dfrac{4}{3\times\frac13}=4

A=\dfrac{8}{3\times\frac13}+\dfrac{14}{3\times\frac{\sqrt3}{3}}\) \(=8+\dfrac{14}{\sqrt3}\) \(=8+\dfrac{14\sqrt3}{3}

\(V=4\) u.v. e \(A=8+\dfrac{14\sqrt3}{3}\) u.a.

28. Lado de um triângulo obtusângulo

Na figura está representado um triângulo \([ABC]\).

Triângulo ABC com AB igual a 6, ângulo de 26 graus em A e de 118 graus em B

Sabe-se que \(\overline{AB}=6\), \(B\hat AC=26^\circ\) e \(C\hat BA=118^\circ\).

Determine o valor de \(\overline{BC}\), arredondado às décimas.

Altura [BD], com D em [AC]

\sin26^\circ=\dfrac{\overline{BD}}{6}\) \(\Leftrightarrow\overline{BD}=6\sin26^\circ

A\hat CB=180^\circ-26^\circ-118^\circ=36^\circ

\sin36^\circ=\dfrac{\overline{BD}}{\overline{BC}}\) \(\Leftrightarrow\overline{BC}=\dfrac{6\sin26^\circ}{\sin36^\circ}\approx4{,}5

\(\overline{BC}\approx4{,}5\)