Resolução de Problemas com Triângulos 1 | Matemática A

📌 Resumo teórico

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

\[ \sin\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}\qquad \cos\alpha=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}\qquad \tan\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} \]

Para obter um ângulo a partir de uma razão usa-se a função inversa da calculadora (\(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\), \(\tan^{-1}\)), em modo de graus.

Estratégias

traçar uma altura para decompor um triângulo qualquer em dois triângulos retângulos;
quando há duas incógnitas (por exemplo, a altura \(h\) e uma distância \(x\)), escrever duas equações com a tangente e resolver o sistema;
ângulo de elevação (ou de depressão): ângulo entre a horizontal e a linha de visão; não esquecer somar a altura do observador ou do instrumento;
a soma dos ângulos internos de um triângulo é \(180^\circ\);
nos cálculos intermédios, conservar casas decimais suficientes e arredondar só no fim.

Áreas

triângulo de lados \(a\) e \(b\) que formam um ângulo \(\theta\): \(A=\dfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin\theta\);
paralelogramo de lados \(a\) e \(b\) e ângulo \(\theta\): \(A=a\,b\,\sin\theta\);
trapézio: \(A=\dfrac{B+b}{2}\times h\).

Circunferência

um ângulo inscrito numa semicircunferência é reto;
a tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência;
a amplitude de um ângulo inscrito é metade da do arco compreendido entre os seus lados.

1. Altura do vulcão Mayon

Mayon é um vulcão situado nas Filipinas que apresenta a forma de um cone quase perfeito. O Tiago encontrava-se nas margens do golfo de Albay, a cerca de \(10\) km da base do vulcão.

Esquema para determinar a altura do vulcão Mayon

Com os dados da figura, determine, em metros, a altura do vulcão. Apresente o resultado arredondado às unidades.

Determinar a distância horizontal

Desde o ponto de observação \(T\) até ao pé da altura \(I\), a distância é:

TI=TG+GI\) \(=10+1{,}6\) \(=11{,}6\text{ km}

Aplicar a tangente

\tan12^\circ=\dfrac{AI}{11{,}6}\) \(\Rightarrow AI=11{,}6\tan12^\circ\) \(\approx2{,}46565\text{ km}

2{,}46565\text{ km}=2465{,}65\text{ m}

A altura do vulcão é, aproximadamente, \(2466\) m.

2. Altura de uma torre

Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo colocou o teodolito a \(100\) m da base e obteve um ângulo de \(30^\circ\). O óculo do teodolito está a \(1{,}70\) m do solo.

Topógrafo a medir uma torre com um ângulo de 30 graus

Determine a altura da torre, em metros, arredondada às décimas. Nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.

Altura acima do nível do teodolito

\tan30^\circ=\dfrac{h}{100}\) \(\Rightarrow h=100\tan30^\circ

h\approx100\times0{,}5774\) \(\approx57{,}735\text{ m}

Adicionar a altura do óculo

H=57{,}735+1{,}70\) \(=59{,}435\text{ m}

A altura da torre é, aproximadamente, \(59{,}4\) m.

3. Área de um paralelogramo

Na figura está representado o paralelogramo \([ABCD]\).

\(\widehat{DAB}=140^\circ\)
\(CD=7\) cm
\(BC=5\) cm

Paralelogramo ABCD com lados de 7 e 5 centímetros e ângulo de 140 graus

Calcule a área do paralelogramo, em centímetros quadrados, arredondada às décimas.

Calcular a altura

O ângulo agudo formado pelo lado de comprimento \(5\) cm e a base é \(40^\circ\).

\sin40^\circ=\dfrac{h}{5}\Rightarrow h=5\sin40^\circ

Calcular a área

A_{[ABCD]}=7\times h\) \(=7\times5\sin40^\circ\) \(=35\sin40^\circ\) \(\approx22{,}5\text{ cm}^2

A área do paralelogramo é, aproximadamente, \(22{,}5\text{ cm}^2\).

4. Escada dos bombeiros

A janela \(J\) encontra-se a \(20\) m do solo. O ponto de apoio \(P\) da escada encontra-se a \(1{,}6\) m do solo e a distância entre \(P\) e o prédio é \(12\) m.

Escada dos bombeiros apoiada numa janela de um prédio

4.1. Qual é o comprimento da escada? Apresente o resultado, em metros, arredondado às décimas.

4.2. Qual é o valor mais próximo da amplitude do ângulo \(QPJ\)?

(A) \(61{,}4^\circ\)(B) \(61{,}5^\circ\)(C) \(56{,}9^\circ\)(D) \(57^\circ\)

Diferença de alturas

QJ=JS-QS\) \(=20-1{,}6\) \(=18{,}4\text{ m}

4.1 - Teorema de Pitágoras

Seja \(x=PJ\), o comprimento da escada.

x^2=18{,}4^2+12^2\) \(\Rightarrow x=\sqrt{18{,}4^2+12^2}\) \(\approx21{,}967

O comprimento da escada é, aproximadamente, \(22{,}0\) m.

4.2 - Amplitude do ângulo

Seja \(\alpha=\widehat{QPJ}\).

\tan\alpha=\dfrac{18{,}4}{12}\) \(\Rightarrow \alpha=\tan^{-1}\left(\dfrac{18{,}4}{12}\right)\) \(\approx56{,}889^\circ

O valor mais próximo é \(56{,}9^\circ\): opção (C).

5. Triângulo equilátero inscrito

Na figura está representado um triângulo equilátero \([ABC]\), de lado \(AB=4\sqrt3\), inscrito numa circunferência de centro \(O\).

Triângulo equilátero ABC inscrito numa circunferência

5.1. Determine o raio da circunferência.

5.2. Designe por \(A_1\) a área do triângulo e por \(A_2\) a área do círculo. Mostre que \(\dfrac{A_2}{A_1}=\dfrac{4\sqrt3\pi}{9}\).

5.1 - Determinar o raio

Seja \(D\) o ponto médio de \([AB]\). Então \(AD=2\sqrt3\) e \(\widehat{DAO}=30^\circ\).

\cos30^\circ=\dfrac{AD}{AO} =\dfrac{2\sqrt3}{r}

\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{2\sqrt3}{r}\Rightarrow r=4

O raio da circunferência é \(4\).

5.2 - Área do triângulo

A altura \(CD\) divide o triângulo equilátero em dois triângulos retângulos.

\sin60^\circ=\dfrac{CD}{4\sqrt3}\) \(\Rightarrow CD=\dfrac{\sqrt3}{2}\times4\sqrt3=6

A_1=\dfrac{4\sqrt3\times6}{2}=12\sqrt3

Área do círculo e razão

A_2=\pi r^2=16\pi

\dfrac{A_2}{A_1}=\dfrac{16\pi}{12\sqrt3}\) \(=\dfrac{4\pi}{3\sqrt3}\) \(=\dfrac{4\sqrt3\pi}{9}

Fica demonstrado que \(\dfrac{A_2}{A_1}=\dfrac{4\sqrt3\pi}{9}\).

6. Circunferência inscrita num losango

Na figura está representada uma circunferência de centro \(O\) inscrita no losango \([ABCD]\). Sabe-se que \(BD=8\) e \(\widehat{CBA}=70^\circ\).

6.1. Determine a área do losango, arredondada às centésimas.

6.2. Determine o comprimento da circunferência, arredondado às centésimas.

Elementos do losango

As diagonais do losango são perpendiculares e bissetam os ângulos dos vértices.

\widehat{CBD}=35^\circ

BO=\dfrac{BD}{2}=4

6.1 - Área do losango

\tan35^\circ=\dfrac{OC}{BO}\) \(\Rightarrow OC=4\tan35^\circ

Logo, \(AC=2OC=8\tan35^\circ\).

A_{[ABCD]}=\dfrac{AC\times BD}{2}\) \(=\dfrac{8\tan35^\circ\times8}{2}\) \(=32\tan35^\circ\) \(\approx22{,}41

A área do losango é, aproximadamente, \(22{,}41\) unidades quadradas.

6.2 - Raio da circunferência

O raio é perpendicular ao lado do losango no ponto de tangência.

\sin35^\circ=\dfrac{r}{4}\Rightarrow r=4\sin35^\circ

P=2\pi r\) \(=2\pi(4\sin35^\circ)\) \(\approx14{,}42

O comprimento da circunferência é, aproximadamente, \(14{,}42\).

7. Escadas rolantes

A figura representa uma estrutura de três pisos onde serão montadas duas escadas rolantes.

Estrutura de três pisos com duas escadas rolantes

Sabe-se que \(AD=23\) m, \(BC=12\) m, \(AB=CD\) e \(\widehat{BAH}=\widehat{EGF}=30^\circ\).

7.1. Determine \(DF\), a distância da superfície do rés-do-chão à superfície do 2.º andar.

7.2. Determine \(AH\).

Determinar AB e CD

\(AD=AB+BC+CD\)

Como \(AB=CD\):

23=2AB+12\) \(\Rightarrow2AB=11\) \(\Rightarrow AB=CD=\dfrac{11}{2}

7.1 - Altura de cada piso

\tan30^\circ=\dfrac{HB}{AB}\) \(\Rightarrow HB=\dfrac{11}{2}\times\dfrac{\sqrt3}{3}\) \(=\dfrac{11\sqrt3}{6}

As duas escadas têm a mesma inclinação e o mesmo avanço horizontal, logo \(HB=DE=EF\).

DF=DE+EF\) \(=2\times\dfrac{11\sqrt3}{6}\) \(=\dfrac{11\sqrt3}{3}\text{ m}

\(DF=\dfrac{11\sqrt3}{3}\) m.

7.2 - Comprimento da primeira escada

\cos30^\circ=\dfrac{AB}{AH} =\dfrac{11/2}{AH}

AH=\dfrac{11}{2\cos30^\circ}\) \(=\dfrac{11}{\sqrt3}\) \(=\dfrac{11\sqrt3}{3}\text{ m}

\(AH=\dfrac{11\sqrt3}{3}\) m.

8. Área de um trapézio

O ponto \(D\) pertence a \([CE]\) e o quadrilátero \([ABCD]\) é um quadrado. O ângulo \(DAE\) tem amplitude \(\alpha\).

Determine a área do trapézio \([ABCE]\), sabendo que \(AE=10\) e \(\sin\alpha=\dfrac35\).

Determinar ED

\sin\alpha=\dfrac{ED}{AE}\) \(\Rightarrow \dfrac35=\dfrac{ED}{10}\) \(\Rightarrow ED=6

Determinar o lado do quadrado

AD^2=AE^2-ED^2\) \(=10^2-6^2=64\) \(\Rightarrow AD=8

Como \([ABCD]\) é um quadrado, \(AB=CD=AD=8\). Assim:

CE=CD+DE\) \(=8+6=14

Área do trapézio

A_{[ABCE]}=\dfrac{CE+AB}{2}\times AD\) \(=\dfrac{14+8}{2}\times8=88

A área do trapézio é \(88\) unidades quadradas.

9. Triângulo numa circunferência

Na figura está representada uma circunferência de centro \(O\) e raio \(6\). Os pontos \(A\) e \(B\) são extremos de um diâmetro e \(C\) pertence à circunferência. O ângulo \(BAC\) tem amplitude \(\alpha\).

Triângulo ABC inscrito numa circunferência com AB como diâmetro

9.1. Justifique que o ângulo \(ACB\) é reto.

9.2. Determine o perímetro do triângulo \([ABC]\), sabendo que \(\cos\alpha=\dfrac13\).

9.1 - Ângulo inscrito

O ângulo \(ACB\) está inscrito na circunferência e abrange o arco \(AB\), que é uma semicircunferência.

\widehat{ACB}=\dfrac{\widehat{AB}}2 =\dfrac{180^\circ}{2}=90^\circ

O ângulo \(ACB\) é reto.

9.2 - Determinar os lados

Como o raio é \(6\), o diâmetro é \(AB=12\).

\cos\alpha=\dfrac{AC}{AB}\) \(\Rightarrow \dfrac13=\dfrac{AC}{12}\) \(\Rightarrow AC=4

Pelo Teorema de Pitágoras:

BC^2=AB^2-AC^2\) \(=12^2-4^2=128\) \(\Rightarrow BC=8\sqrt2

P_{[ABC]}=AB+AC+BC\) \(=12+4+8\sqrt2\) \(=16+8\sqrt2

O perímetro é \(16+8\sqrt2\).

10. Gráfico de uma função

Seja \(f\) a função de domínio \([0,+\infty[\), definida por \(f(x)=-x^2+x+6\). Os pontos \(A\) e \(B\) são as interseções do gráfico com os eixos \(Ox\) e \(Oy\), respetivamente. Seja \(O\) a origem e seja \(\alpha=\widehat{OAB}\).

Determine os valores de \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) e \(\tan\alpha\).

Determinar o ponto A

No eixo \(Ox\), \(y=0\).

f(x)=0\) \(\Rightarrow-x^2+x+6=0\) \(\Rightarrow x=-2\) \({}\vee\ x=3

Como o domínio é \([0,+\infty[\), considera-se \(x=3\), logo \(A=(3,0)\).

Determinar o ponto B

f(0)=6\Rightarrow B=(0,6)

Comprimento da hipotenusa

AB=\sqrt{OA^2+OB^2}\) \(=\sqrt{3^2+6^2}\) \(=\sqrt{45}\) \(=3\sqrt5

Razões trigonométricas

\sin\alpha=\dfrac{OB}{AB}\) \(=\dfrac6{3\sqrt5}\) \(=\dfrac{2\sqrt5}{5}

\cos\alpha=\dfrac{OA}{AB}\) \(=\dfrac3{3\sqrt5}\) \(=\dfrac{\sqrt5}{5}

\tan\alpha=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac63=2

\(\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt5}{5}\), \(\cos\alpha=\dfrac{\sqrt5}{5}\), \(\tan\alpha=2\).

11. Tangentes a uma circunferência

Na figura está representada uma circunferência de centro \(O\) e raio \(3\). Os pontos \(A\) e \(B\) pertencem à circunferência, \(\widehat{AOB}=60^\circ\), e as retas \(r\) e \(s\) são tangentes nos pontos \(A\) e \(B\), intersetando-se em \(C\).

Duas tangentes a uma circunferência nos pontos A e B

Determine a área do quadrilátero \([OACB]\).

Analisar a figura

Os raios \(OA\) e \(OB\) são perpendiculares às respetivas tangentes. Os triângulos \(OAC\) e \(OBC\) são geometricamente iguais, pelo que \(OC\) bisseta o ângulo \(AOB\).

\widehat{AOC}=30^\circ

Determinar AC

\tan30^\circ=\dfrac{AC}{OA}\) \(\Rightarrow AC=3\tan30^\circ\) \(=3\times\dfrac{\sqrt3}{3}=\sqrt3

Calcular a área

A_{[OACB]}=2A_{[OAC]}\) \(=2\times\dfrac{OA\times AC}{2}\) \(=2\times\dfrac{3\sqrt3}{2}\) \(=3\sqrt3

A área do quadrilátero é \(3\sqrt3\).

12. Perímetro de um triângulo

Dois ângulos internos de um triângulo têm amplitudes \(37^\circ\) e \(65^\circ\). O lado oposto ao ângulo de \(37^\circ\) mede \(9{,}66\).

Calcule, com aproximação às unidades, o perímetro do triângulo. Nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.

Determinar o terceiro ângulo

\widehat{A}=180^\circ-37^\circ-65^\circ=78^\circ

Triângulo com ângulos de 37, 65 e 78 graus

Construir a altura

Seja \(P\) a projeção ortogonal de \(B\) em \([AC]\), \(AP=x\) e \(BP=h\). Então \(PC=9{,}66-x\).

\tan65^\circ\) \(=\dfrac{h}{9{,}66-x}\) \(\Rightarrow h=(9{,}66-x)\tan65^\circ

\tan78^\circ=\dfrac{h}{x}\) \(\Rightarrow h=x\tan78^\circ

Resolver o sistema

x\tan78^\circ\) \(=(9{,}66-x)\tan65^\circ

4{,}705x=2{,}145(9{,}66-x)\) \(\Rightarrow 6{,}850x=20{,}721\) \(\Rightarrow x\approx3{,}025

h=x\tan78^\circ\approx14{,}230

Determinar os lados

\cos78^\circ=\dfrac{x}{AB}\) \(\Rightarrow AB=\dfrac{3{,}025}{\cos78^\circ}\) \(\approx14{,}548

\sin65^\circ=\dfrac{h}{BC}\) \(\Rightarrow BC=\dfrac{14{,}230}{\sin65^\circ}\) \(\approx15{,}701

Calcular o perímetro

P=AB+BC+AC\) \(\approx14{,}548+15{,}701+9{,}66\) \(=39{,}909

O perímetro do triângulo é, aproximadamente, \(40\).

13. Trapézio dividido em três triângulos retângulos

Na figura está representado o trapézio \([ABCD]\), dividido em três triângulos retângulos, \([DAE]\), \([DEC]\) e \([EBC]\).

Trapézio ABCD dividido nos triângulos retângulos DAE, DEC e EBC

Sabe-se que:

\(E\) pertence a \([AB]\);
\(B\hat EC=60^\circ\) e \(A\hat ED=30^\circ\);
\(\overline{CE}=8\) e \(\overline{AD}=\dfrac{7\sqrt3}{3}\).

13.1. Determine os valores de \(\overline{AB}\) e de \(\overline{BC}\).

13.2. Determine o valor do perímetro do trapézio.

13.1 - Triângulo [DAE]

\tan30^\circ=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{AE}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{\frac{7\sqrt3}{3}}{\overline{AE}}\) \(\Leftrightarrow\overline{AE}=7

Triângulo [EBC]

\cos60^\circ=\dfrac{\overline{BE}}{\overline{CE}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac12=\dfrac{\overline{BE}}{8}\) \(\Leftrightarrow\overline{BE}=4

\sin60^\circ=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{CE}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\overline{BC}}{8}\) \(\Leftrightarrow\overline{BC}=4\sqrt3

\overline{AB}=\overline{AE}+\overline{EB}\) \(=7+4=11

\(\overline{AB}=11\) e \(\overline{BC}=4\sqrt3\).

13.2 - Comprimento de [DE]

\sin30^\circ=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{DE}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac12=\dfrac{\frac{7\sqrt3}{3}}{\overline{DE}}\) \(\Leftrightarrow\overline{DE}=\dfrac{14\sqrt3}{3}

Comprimento de [CD]

Como \(D\hat EC=180^\circ-30^\circ-60^\circ=90^\circ\), pelo Teorema de Pitágoras:

\overline{CD}^{\,2}=\overline{DE}^{\,2}+\overline{CE}^{\,2}\) \(=\left(\dfrac{14\sqrt3}{3}\right)^2+8^2\) \(=\dfrac{196}{3}+64\) \(=\dfrac{388}{3}

\overline{CD}=\sqrt{\dfrac{388}{3}}\) \(=\dfrac{\sqrt{1164}}{3}\) \(=\dfrac{2\sqrt{291}}{3}

Perímetro

P=\overline{AD}+\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}\) \(=\dfrac{7\sqrt3}{3}+11\) \({}+4\sqrt3+\dfrac{2\sqrt{291}}{3}\) \(=11+\dfrac{19\sqrt3}{3}\) \({}+\dfrac{2\sqrt{291}}{3}

\(P_{[ABCD]}\) \(=11+\dfrac{19\sqrt3+2\sqrt{291}}{3}\) u.c. \((\approx33{,}3)\)

14. Perímetro de um trapézio retângulo

Seja \([ABCD]\) um trapézio retângulo. Sabe-se que \(\alpha=120^\circ\) e que \(\overline{AB}=\overline{AD}=6\).

Trapézio retângulo ABCD com ângulo alfa em D

Determine o valor exato do perímetro do trapézio.

Traçar a altura [DE]

Seja \(E\) a projeção ortogonal de \(D\) sobre \([BC]\). Então \(\overline{DE}=\overline{AB}=6\) e \(\overline{BE}=\overline{AD}=6\).

C\hat DE=120^\circ-90^\circ=30^\circ

Triângulo [DEC]

\tan30^\circ=\dfrac{\overline{CE}}{\overline{DE}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{\overline{CE}}{6}\) \(\Leftrightarrow\overline{CE}=2\sqrt3

\cos30^\circ=\dfrac{\overline{DE}}{\overline{CD}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{6}{\overline{CD}}\) \(\Leftrightarrow\overline{CD}=\dfrac{12}{\sqrt3}\) \(=4\sqrt3

Perímetro

\overline{BC}=\overline{BE}+\overline{EC}=6+2\sqrt3

P=\overline{AB}+\overline{BC}\) \({}+\overline{CD}+\overline{AD}\) \(=6+6+2\sqrt3\) \({}+4\sqrt3+6\) \(=18+6\sqrt3

\(P_{[ABCD]}=18+6\sqrt3\) u.c.

15. Área de um trapézio com dois triângulos retângulos

Na figura estão representados dois triângulos retângulos, \([ABD]\) e \([ECD]\).

Triângulos retângulos ABD e ECD com ângulo de 30 graus em D

Sabe-se que:

\(C\) pertence a \([BD]\) e \(E\) pertence a \([AD]\);
\(A\hat DB=E\hat DC=30^\circ\);
\(\overline{BC}=\overline{EC}\);
\(\overline{CD}=3\sqrt3\).

Determine o valor exato da área do trapézio \([ABCE]\).

Triângulo [ECD]

\tan30^\circ=\dfrac{\overline{CE}}{\overline{CD}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{\overline{CE}}{3\sqrt3}\) \(\Leftrightarrow\overline{CE}=3

Logo, \(\overline{BC}=\overline{CE}=3\) e \(\overline{BD}=\overline{BC}+\overline{CD}=3+3\sqrt3\).

Triângulo [ABD]

\tan30^\circ=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{BD}}\) \(\Leftrightarrow\overline{AB}=\dfrac{\sqrt3}{3}\left(3+3\sqrt3\right)\) \(=\sqrt3+3

Área do trapézio

As bases são \([AB]\) e \([CE]\) (ambas perpendiculares a \([BD]\)) e a altura é \(\overline{BC}\).

A_{[ABCE]}=\dfrac{\overline{AB}+\overline{CE}}{2}\times\overline{BC}\) \(=\dfrac{\sqrt3+3+3}{2}\times3\) \(=\dfrac{18+3\sqrt3}{2}\) \(=9+\dfrac{3\sqrt3}{2}

\(A_{[ABCE]}=9+\dfrac{3\sqrt3}{2}\) u.a.

16. Perímetro de um trapézio num quadrado

Na figura está representado o quadrado \([ABCD]\), de lado \(12\) cm.

Quadrado ABCD com o ponto E no lado CD e o ângulo alfa em A

Sabe-se que:

\(E\) pertence ao lado \([CD]\);
\(\alpha\) designa a amplitude do ângulo \(DAE\);
\(\cos\alpha=\dfrac45\).

Determine o valor do perímetro do trapézio \([ABCE]\).

Comprimento de [AE]

\cos\alpha=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{AE}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac45=\dfrac{12}{\overline{AE}}\) \(\Leftrightarrow\overline{AE}=15

Comprimento de [DE] e de [EC]

\overline{DE}^{\,2}=\overline{AE}^{\,2}-\overline{AD}^{\,2}\) \(=225-144=81\) \(\Leftrightarrow\overline{DE}=9

\overline{EC}=\overline{DC}-\overline{DE}\) \(=12-9=3

Perímetro

P_{[ABCE]}=\overline{AB}+\overline{BC}\) \({}+\overline{CE}+\overline{EA}\) \(=12+12\) \({}+3+15=42

O perímetro do trapézio é \(42\) cm.

17. Papagaio inscrito numa circunferência

Na figura está representada uma circunferência de diâmetro \([AC]\) e centro \(O\), na qual está inscrito o papagaio \([ABCD]\), cuja diagonal maior é \([AC]\).

Papagaio ABCD inscrito numa circunferência de diâmetro AC

Sabe-se que:

\(B\hat CA=A\hat CD=\alpha\), \(\alpha\in\,]0^\circ,90^\circ[\);
\(\overline{AO}=r\).

Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de \(\alpha\), por \(A(\alpha)=r^2(\pi-4\sin\alpha\cos\alpha)\).

O triângulo [ABC] é retângulo

O triângulo \([ABC]\) está inscrito numa semicircunferência (\([AC]\) é um diâmetro), logo é retângulo em \(B\). Além disso, \(\overline{AC}=2r\).

\cos\alpha=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}}\) \(\Leftrightarrow\overline{BC}=2r\cos\alpha

\sin\alpha=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}\) \(\Leftrightarrow\overline{AB}=2r\sin\alpha

A_{[ABC]}=\dfrac{\overline{AB}\times\overline{BC}}{2}\) \(=\dfrac{2r\sin\alpha\times2r\cos\alpha}{2}\) \(=2r^2\sin\alpha\cos\alpha

Área do papagaio

Os triângulos \([ABC]\) e \([ADC]\) são geometricamente iguais (o papagaio é simétrico relativamente a \(AC\)):

A_{[ABCD]}=2\times2r^2\sin\alpha\cos\alpha\) \(=4r^2\sin\alpha\cos\alpha

Região sombreada = círculo − papagaio

A(\alpha)=\pi r^2-4r^2\sin\alpha\cos\alpha\) \(=r^2(\pi-4\sin\alpha\cos\alpha)

Fica provado que \(A(\alpha)=r^2(\pi-4\sin\alpha\cos\alpha)\).

18. Altura do hotel Dom Henrique

O hotel Dom Henrique é um dos edifícios mais altos do Porto. Para determinar a sua altura, mediram-se os ângulos de elevação a partir de dois pontos situados no plano da sua base, a \(68\) metros um do outro, de acordo com os dados da figura.

Hotel Dom Henrique com ângulos de elevação de 64 e 35 graus medidos a 68 metros de distância

Determine a altura deste edifício, em metros, com arredondamento às unidades.

Duas equações com a tangente

Seja \(\overline{AD}\) a altura do edifício e \(\overline{AB}\) a distância de \(B\) à base.

\tan64^\circ=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{AB}}\) \(\Leftrightarrow\overline{AD}=\overline{AB}\tan64^\circ

\tan35^\circ\) \(=\dfrac{\overline{AD}}{68+\overline{AB}}\) \(\Leftrightarrow\overline{AD}=\left(68+\overline{AB}\right)\tan35^\circ

Resolver em ordem a AB

\overline{AB}\tan64^\circ\) \(=68\tan35^\circ+\overline{AB}\tan35^\circ\) \(\Leftrightarrow\overline{AB}\left(\tan64^\circ-\tan35^\circ\right)\) \(=68\tan35^\circ

\overline{AB}=\dfrac{68\tan35^\circ}{\tan64^\circ-\tan35^\circ}\) \(\approx35{,}27

Altura

\overline{AD}=\dfrac{68\tan35^\circ}{\tan64^\circ-\tan35^\circ}\) \({}\times\tan64^\circ\) \(\approx72{,}3

A altura do edifício é, aproximadamente, \(72\) metros.

19. Altura do farol de Leça

O farol de Leça é o segundo farol mais alto de Portugal. Para determinar a sua altura, mediram-se os ângulos de elevação a partir de dois pontos situados no plano da base, a \(76\) metros um do outro, de acordo com os dados da figura.

Farol de Leça com ângulos de elevação de 59 e 44 graus em pontos a 76 metros um do outro

Determine a altura do farol, em metros, com arredondamento às unidades.

Duas equações com a tangente

O ponto \(D\), pé do farol, está entre \(A\) e \(B\), logo \(\overline{DB}=76-\overline{AD}\).

\tan59^\circ=\dfrac{\overline{CD}}{\overline{AD}}\) \(\Leftrightarrow\overline{CD}=\overline{AD}\tan59^\circ

\tan44^\circ\) \(=\dfrac{\overline{CD}}{76-\overline{AD}}\) \(\Leftrightarrow\overline{CD}=\left(76-\overline{AD}\right)\tan44^\circ

Resolver em ordem a AD

\overline{AD}\tan59^\circ\) \(=76\tan44^\circ\) \({}-\overline{AD}\tan44^\circ\) \(\Leftrightarrow\overline{AD}\left(\tan59^\circ+\tan44^\circ\right)\) \(=76\tan44^\circ

\overline{AD}=\dfrac{76\tan44^\circ}{\tan59^\circ+\tan44^\circ}\) \(\approx27{,}91

Altura

\overline{CD}=\dfrac{76\tan44^\circ}{\tan59^\circ+\tan44^\circ}\) \({}\times\tan59^\circ\) \(\approx46{,}4

A altura do farol é, aproximadamente, \(46\) metros.

20. Lados de triângulos obliquângulos

Tendo em conta os dados de cada figura, em que a medida do comprimento dos lados está expressa numa dada unidade, determine o valor de \(x\), arredondado às décimas.

Triângulo ABC com AB igual a 5, ângulo de 45 graus em A e de 59 graus em C — 20.1.

Triângulo ABC com AB igual a 4,5, ângulo de 64 graus em A e de 55 graus em C — 20.2.

20.1 - Traçar a altura [BD], com D em [AC]

\sin45^\circ=\dfrac{\overline{BD}}{5}\) \(\Leftrightarrow\overline{BD}=5\sin45^\circ\) \(=\dfrac{5\sqrt2}{2}

\sin59^\circ=\dfrac{\overline{BD}}{x}\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{5\sqrt2}{2\sin59^\circ}\approx4{,}1

20.1. \(x\approx4{,}1\)

20.2 - Traçar a altura [AD], com D em [BC]

A\hat BC=180^\circ-64^\circ-55^\circ=61^\circ

\sin61^\circ=\dfrac{\overline{AD}}{4{,}5}\) \(\Leftrightarrow\overline{AD}=4{,}5\sin61^\circ

\sin55^\circ=\dfrac{\overline{AD}}{x}\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{4{,}5\sin61^\circ}{\sin55^\circ}\approx4{,}8

20.2. \(x\approx4{,}8\)

21. Triângulo com a − b = √3

Na figura está representado o triângulo \([ABC]\) tal que \(\overline{BC}=a\), \(\overline{AC}=b\), \(A\hat BC=45^\circ\) e \(C\hat AB=60^\circ\).

Triângulo ABC com ângulos de 60 graus em A e 45 graus em B

Sabendo que \(a-b=\sqrt3\), determine o valor de \(a\). Apresente o valor de \(a\) com o denominador racionalizado.

Altura relativa ao vértice C

Seja \(h\) o comprimento da altura do triângulo relativa ao vértice \(C\). Nos dois triângulos retângulos que a altura determina:

\sin60^\circ=\dfrac hb\Leftrightarrow h=\dfrac{\sqrt3}{2}\,b

\sin45^\circ=\dfrac ha\Leftrightarrow h=\dfrac{\sqrt2}{2}\,a

Igualar e substituir \(b=a-\sqrt3\)

\dfrac{\sqrt3}{2}\left(a-\sqrt3\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}\,a\) \(\Leftrightarrow\sqrt3\,a-3=\sqrt2\,a\) \(\Leftrightarrow a\left(\sqrt3-\sqrt2\right)=3

a=\dfrac{3}{\sqrt3-\sqrt2}\) \(=\dfrac{3\left(\sqrt3+\sqrt2\right)}{\left(\sqrt3-\sqrt2\right)\left(\sqrt3+\sqrt2\right)}\) \(=\dfrac{3\left(\sqrt3+\sqrt2\right)}{3-2}\) \(=3\sqrt3+3\sqrt2

\(a=3\sqrt3+3\sqrt2\)

22. Ângulos numa pirâmide quadrangular regular

Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular \([ABCDV]\), tal que \(\overline{AB}=\dfrac23\,\overline{AV}\).

Determine, apresentando o resultado em graus, arredondado às décimas, a amplitude de cada um dos seguintes ângulos.

22.1. \(ABV\)22.2. \(AVB\)22.3. \(AVC\)22.4. \(ACV\)

22.1 - Face lateral [ABV]

A face \([ABV]\) é um triângulo isósceles (\(\overline{AV}=\overline{BV}\)); a altura relativa a \([AB]\) cai no ponto médio de \([AB]\).

\cos\left(A\hat BV\right)\) \(=\dfrac{\frac12\overline{AB}}{\overline{BV}}\) \(=\dfrac{\frac12\times\frac23\overline{AV}}{\overline{AV}}=\dfrac13

A\hat BV=\cos^{-1}\left(\dfrac13\right)\approx70{,}5^\circ

22.2 - Soma dos ângulos internos

A\hat VB=180^\circ-2\cos^{-1}\left(\dfrac13\right)\) \(\approx38{,}9^\circ

22.3 - Diagonal da base

Pelo Teorema de Pitágoras, na base:

\overline{AC}^{\,2}=\overline{AB}^{\,2}+\overline{BC}^{\,2}\) \(=2\left(\dfrac23\overline{AV}\right)^2\) \(=\dfrac89\overline{AV}^{\,2}\) \(\Leftrightarrow\overline{AC}=\dfrac{2\sqrt2}{3}\overline{AV}

O triângulo \([AVC]\) é isósceles; a altura relativa a \([AC]\) divide o ângulo \(AVC\) ao meio:

\sin\left(\dfrac{A\hat VC}{2}\right)\) \(=\dfrac{\frac12\overline{AC}}{\overline{AV}}=\dfrac{\sqrt2}{3}\) \(\Leftrightarrow A\hat VC=2\sin^{-1}\left(\dfrac{\sqrt2}{3}\right)\) \(\approx56{,}3^\circ

22.4 - Ângulo da base do triângulo [AVC]

A\hat CV=\dfrac{180^\circ-2\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt2}{3}\right)}{2}\) \(\approx61{,}9^\circ

22.1. \(\approx70{,}5^\circ\)
22.2. \(\approx38{,}9^\circ\)
22.3. \(\approx56{,}3^\circ\)
22.4. \(\approx61{,}9^\circ\)

23. Quadrilátero inscrito numa circunferência

Na figura está representado um quadrilátero \([ABCD]\), inscrito numa circunferência.

Quadrilátero ABCD inscrito numa circunferência, com a diagonal AC mediatriz de BD

Sabe-se que:

a reta \(AC\) é a mediatriz da corda \([BD]\) e interseta-a no ponto \(E\);
a amplitude do ângulo \(ABE\) é \(\alpha\);
\(\overline{AB}=2\).

Mostre que a área do quadrilátero \([ABCD]\) é dada pela expressão \(\dfrac{4}{\tan\alpha}\).

[AC] é um diâmetro

A mediatriz de uma corda passa no centro da circunferência, logo \([AC]\) é um diâmetro. O triângulo \([ABC]\) está inscrito numa semicircunferência, pelo que é retângulo em \(B\).

Ângulo BCA

No triângulo \([ABC]\), \([BE]\) é a altura relativa à hipotenusa. Os ângulos \(ABE\) e \(BCA\) são ambos complementares do ângulo \(BAC\), logo \(B\hat CA=A\hat BE=\alpha\).

\tan\alpha=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{BC}}\) \(\Leftrightarrow\overline{BC}=\dfrac{2}{\tan\alpha}

Área

Como \(AC\) é eixo de simetria do quadrilátero, os triângulos \([ABC]\) e \([ADC]\) são geometricamente iguais:

A_{[ABCD]}=2\times\dfrac{\overline{AB}\times\overline{BC}}{2}\) \(=2\times\dfrac{2}{\tan\alpha}\) \(=\dfrac{4}{\tan\alpha}

Fica provado que \(A_{[ABCD]}=\dfrac{4}{\tan\alpha}\).

24. Área do triângulo [AOP] num quarto de círculo

Na figura, está representada uma circunferência de centro \(O\) e raio \([OA]\), sendo \(\overline{OA}=r\). O ponto \(P\) move-se sobre a circunferência, entre o ponto \(A\) e o ponto \(B\), sendo \(A\hat OP=x\) \(\left(0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}\right)\).

Quarto de circunferência com o triângulo AOP e o ângulo x em O

24.1. Mostre que a área do triângulo \([AOP]\) é dada, em função de \(x\), por \(A(x)=\dfrac{r^2\sin x}{2}\).

24.2. Calcule a área do triângulo para \(x=30^\circ\) e \(r=10\) cm.

24.1 - Base e altura

Tomando \([OA]\) como base (\(b=r\)), a altura \(a\) é a distância de \(P\) a \(OA\):

\sin x=\dfrac ar\Leftrightarrow a=r\sin x

A(x)=\dfrac{b\times a}{2}\) \(=\dfrac{r\times r\sin x}{2}\) \(=\dfrac{r^2\sin x}{2}

24.2 - Substituir

A(30^\circ)=\dfrac{10^2\sin30^\circ}{2}\) \(=\dfrac{100\times\frac12}{2}=25

A área do triângulo é \(25\text{ cm}^2\).

25. Triângulos retângulos com um lado comum

Na figura, estão representados os triângulos \([ABC]\) e \([ABD]\).

Triângulos ABC e ABD retângulos em B, com ângulos de 46 e 9 graus em A e CD igual a 1,4 cm

Sabe-se que:

o ponto \(C\) pertence ao segmento de reta \([BD]\);
os triângulos \([ABC]\) e \([ABD]\) são retângulos em \(B\);
\(B\hat AC=46^\circ\), \(C\hat AD=9^\circ\) e \(\overline{CD}=1{,}4\) cm.

25.1. Seja \(x=\overline{BC}\). Mostre que \(x=\dfrac{1{,}4\tan46^\circ}{\tan55^\circ-\tan46^\circ}\).

25.2. Determine a área do triângulo \([ACD]\). Apresente o resultado em centímetros quadrados, arredondado às décimas.

25.1 - Duas expressões para AB

\(B\hat AD=46^\circ+9^\circ=55^\circ\) e \(\overline{BD}=x+1{,}4\).

\tan55^\circ\) \(=\dfrac{x+1{,}4}{\overline{AB}}\) \(\Leftrightarrow\overline{AB}=\dfrac{x+1{,}4}{\tan55^\circ}

\tan46^\circ=\dfrac{x}{\overline{AB}}\) \(\Leftrightarrow\overline{AB}=\dfrac{x}{\tan46^\circ}

\dfrac{x+1{,}4}{\tan55^\circ}\) \(=\dfrac{x}{\tan46^\circ}\) \(\Leftrightarrow x\tan46^\circ\) \({}+1{,}4\tan46^\circ\) \(=x\tan55^\circ

\Leftrightarrow x\left(\tan55^\circ-\tan46^\circ\right)\) \(=1{,}4\tan46^\circ\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1{,}4\tan46^\circ}{\tan55^\circ-\tan46^\circ}

25.2 - Área de [ACD]

Tomando \([CD]\) como base, a altura é \(\overline{AB}\):

\overline{AB}=\dfrac{x}{\tan46^\circ}\) \(=\dfrac{1{,}4}{\tan55^\circ-\tan46^\circ}\) \(\approx3{,}566

A_{[ACD]}=\dfrac{\overline{CD}\times\overline{AB}}{2}\) \(=\dfrac{1{,}4\times3{,}566}{2}\approx2{,}5

A área do triângulo \([ACD]\) é, aproximadamente, \(2{,}5\text{ cm}^2\).

26. Pirâmide octogonal regular

Considere a pirâmide octogonal regular representada na figura. O perímetro da base é igual a \(16\) cm e a altura é igual a \(6\) cm.

Pirâmide octogonal regular de vértice V e centro da base O

26.1. Qual é a amplitude do ângulo \(AOB\)?

26.2. Calcule o volume da pirâmide. Apresente o resultado com arredondamento às décimas do centímetro cúbico.

26.1 - Ângulo ao centro do octógono

A\hat OB=\dfrac{360^\circ}{8}=45^\circ

\(A\hat OB=45^\circ\)

26.2 - Apótema da base

Cada lado mede \(16\div8=2\) cm. No triângulo \([OAB]\), a altura \(a\) (apótema) divide-o em dois triângulos retângulos com ângulo de \(22{,}5^\circ\) em \(O\) e cateto oposto \(1\):

\tan22{,}5^\circ=\dfrac1a\) \(\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{\tan22{,}5^\circ}

Área da base

A_{[OAB]}=\dfrac{2\times a}{2}\) \(=\dfrac{1}{\tan22{,}5^\circ}

A_b=8\times\dfrac{1}{\tan22{,}5^\circ}\) \(=\dfrac{8}{\tan22{,}5^\circ}

Volume

V=\dfrac13\times A_b\times h\) \(=\dfrac13\times\dfrac{8}{\tan22{,}5^\circ}\times6\) \(=\dfrac{16}{\tan22{,}5^\circ}\) \(\approx38{,}6

O volume da pirâmide é, aproximadamente, \(38{,}6\text{ cm}^3\).

27. Comprimento de [AD]

Na figura, está representado o triângulo \([ABC]\).

Triângulo ABC com D em AB, ângulos de 45 e 30 graus em C e de 30 graus em B

Sabe-se que:

\(\overline{BC}=3+\sqrt3\);
\(C\hat BD=D\hat CB=30^\circ\) e \(A\hat CD=45^\circ\);
\(D\) é um ponto do segmento de reta \([AB]\).

Determine \(\overline{AD}\).

O triângulo [ABC] é isósceles

B\hat AC=180^\circ-(30^\circ+45^\circ+30^\circ)\) \(=75^\circ\) \(=A\hat CB

Logo, \(\overline{AB}=\overline{BC}=3+\sqrt3\).

O triângulo [DBC] também é isósceles

Como \(C\hat BD=D\hat CB=30^\circ\), a projeção ortogonal de \(D\) sobre \([BC]\) é o ponto médio de \([BC]\):

\cos30^\circ\) \(=\dfrac{\frac{3+\sqrt3}{2}}{\overline{BD}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3+\sqrt3}{2\,\overline{BD}}\) \(\Leftrightarrow\overline{BD}=\dfrac{3+\sqrt3}{\sqrt3}\) \(=\sqrt3+1

Comprimento de [AD]

\overline{AD}=\overline{AB}-\overline{BD}\) \(=3+\sqrt3\) \({}-\left(1+\sqrt3\right)=2

\(\overline{AD}=2\)

28. Triângulos semelhantes

Na figura, está representado o triângulo \([ABC]\), retângulo em \(C\). \([CD]\) é uma altura do triângulo, \(A\hat CD=60^\circ\) e \(\overline{CD}=1\) cm.

Triângulo ABC retângulo em C com a altura CD e ângulo de 60 graus

28.1. Justifique que os triângulos \([ABC]\) e \([ACD]\) são semelhantes.

28.2. Determine \(\overline{AB}\) com arredondamento às décimas.

28.1 - Critério AA

Os triângulos \([ABC]\) e \([ACD]\) têm dois ângulos iguais: o ângulo \(BAC\) é comum (\(B\hat AC=D\hat AC\)) e \(C\hat DA=A\hat CB=90^\circ\). Logo, são semelhantes.

28.2 - Triângulo [ACD]

\cos60^\circ=\dfrac{\overline{CD}}{\overline{AC}}\) \(\Leftrightarrow\overline{AC}=\dfrac{1}{\cos60^\circ}=2

Triângulo [ABC]

B\hat AC=90^\circ-60^\circ=30^\circ

\cos30^\circ=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}\) \(\Leftrightarrow\overline{AB}=\dfrac{2}{\cos30^\circ}\) \(=\dfrac{4\sqrt3}{3}\approx2{,}3

\(\overline{AB}\approx2{,}3\) cm.

29. Altura de um prédio

O Pedro determinou os ângulos de elevação do solo até ao cimo de um prédio a partir de dois pontos \(A\) e \(B\), sendo esses ângulos de \(72^\circ\) e \(60^\circ\), respetivamente.

Prédio com ângulos de elevação de 72 graus em A e 60 graus em B, com 30 metros entre A e B

Sabendo que os pontos \(A\) e \(B\) distam \(30\) m um do outro, determine a altura do prédio. Apresente o resultado em metros, arredondado às unidades.

Duas equações

\tan72^\circ=\dfrac xy\) \(\Leftrightarrow x=y\tan72^\circ

\tan60^\circ\) \(=\dfrac{x}{30+y}\) \(\Leftrightarrow x=30\tan60^\circ\) \({}+y\tan60^\circ

Resolver em ordem a \(y\)

y\tan72^\circ\) \(=30\tan60^\circ+y\tan60^\circ\) \(\Leftrightarrow y\left(\tan72^\circ-\tan60^\circ\right)\) \(=30\tan60^\circ\) \(\Leftrightarrow y=\dfrac{30\tan60^\circ}{\tan72^\circ-\tan60^\circ}

Altura

x=\dfrac{30\tan60^\circ}{\tan72^\circ-\tan60^\circ}\) \({}\times\tan72^\circ\approx119

A altura do prédio é, aproximadamente, \(119\) m.

30. Área do triângulo [AOB] numa circunferência

Na figura, está representada uma circunferência de raio \(r\) e centro na origem do referencial cartesiano.

Circunferência centrada na origem com o triângulo AOB e C, ponto médio de AB, no eixo Ox

Sabe-se que:

\(A\) e \(B\) são pontos da circunferência e \(\alpha=C\hat OB\);
o ponto \(C\) pertence ao eixo \(Ox\) e é o ponto médio de \([AB]\).

30.1. Mostre que a área do triângulo \([AOB]\) é dada, em função de \(r\) e de \(\alpha\), por \(A=r^2\sin\alpha\cos\alpha\).

30.2. Calcule a área do triângulo \([AOB]\), sabendo que \(r=1\) e \(\alpha=45^\circ\).

30.1 - Dois triângulos retângulos iguais

Como \(\overline{OA}=\overline{OB}=r\) e \(C\) é o ponto médio de \([AB]\), \([OC]\) é perpendicular a \([AB]\) e divide \([AOB]\) em dois triângulos retângulos iguais.

\overline{OC}=r\cos\alpha

\overline{CB}=r\sin\alpha

A=2\times\dfrac{\overline{OC}\times\overline{CB}}{2}\) \(=\overline{OC}\times\overline{CB}\) \(=r\cos\alpha\times r\sin\alpha\) \(=r^2\sin\alpha\cos\alpha

30.2 - Substituir

A=1^2\times\sin45^\circ\) \({}\times\cos45^\circ\) \(=\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac12

A área do triângulo \([AOB]\) é \(\dfrac12\) u.a.