Resolução de Problemas com Triângulos 1 | Matemática A

1. Altura do vulcão Mayon

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Mayon é um vulcão situado nas Filipinas que apresenta a forma de um cone quase perfeito. O Tiago encontrava-se nas margens do golfo de Albay, a cerca de \(10\) km da base do vulcão.

Esquema para determinar a altura do vulcão Mayon

Com os dados da figura, determine, em metros, a altura do vulcão. Apresente o resultado arredondado às unidades.

Determinar a distância horizontal

Desde o ponto de observação \(T\) até ao pé da altura \(I\), a distância é:

TI=TG+GI=10+1{,}6=11{,}6\text{ km}

Aplicar a tangente

\tan12^\circ=\dfrac{AI}{11{,}6}\Rightarrow AI=11{,}6\tan12^\circ\approx2{,}46565\text{ km}

2{,}46565\text{ km}=2465{,}65\text{ m}

A altura do vulcão é, aproximadamente, \(2466\) m.

2. Altura de uma torre

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Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo colocou o teodolito a \(100\) m da base e obteve um ângulo de \(30^\circ\). O óculo do teodolito está a \(1{,}70\) m do solo.

Topógrafo a medir uma torre com um ângulo de 30 graus

Determine a altura da torre, em metros, arredondada às décimas. Nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.

Altura acima do nível do teodolito

\tan30^\circ=\dfrac{h}{100}\Rightarrow h=100\tan30^\circ

h\approx100\times0{,}5774\approx57{,}735\text{ m}

Adicionar a altura do óculo

H=57{,}735+1{,}70=59{,}435\text{ m}

A altura da torre é, aproximadamente, \(59{,}4\) m.

3. Área de um paralelogramo

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Na figura está representado o paralelogramo \([ABCD]\).

\(\widehat{DAB}=140^\circ\)
\(CD=7\) cm
\(BC=5\) cm

Paralelogramo ABCD com lados de 7 e 5 centímetros e ângulo de 140 graus

Calcule a área do paralelogramo, em centímetros quadrados, arredondada às décimas.

Calcular a altura

O ângulo agudo formado pelo lado de comprimento \(5\) cm e a base é \(40^\circ\).

\sin40^\circ=\dfrac{h}{5}\Rightarrow h=5\sin40^\circ

Calcular a área

A_{[ABCD]}=7\times h=7\times5\sin40^\circ =35\sin40^\circ\approx22{,}5\text{ cm}^2

A área do paralelogramo é, aproximadamente, \(22{,}5\text{ cm}^2\).

4. Escada dos bombeiros

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A janela \(J\) encontra-se a \(20\) m do solo. O ponto de apoio \(P\) da escada encontra-se a \(1{,}6\) m do solo e a distância entre \(P\) e o prédio é \(12\) m.

Escada dos bombeiros apoiada numa janela de um prédio

4.1. Qual é o comprimento da escada? Apresente o resultado, em metros, arredondado às décimas.

4.2. Qual é o valor mais próximo da amplitude do ângulo \(QPJ\)?

(A) \(61{,}4^\circ\)(B) \(61{,}5^\circ\)(C) \(56{,}9^\circ\)(D) \(57^\circ\)

Diferença de alturas

QJ=JS-QS=20-1{,}6=18{,}4\text{ m}

4.1 - Teorema de Pitágoras

Seja \(x=PJ\), o comprimento da escada.

x^2=18{,}4^2+12^2\Rightarrow x=\sqrt{18{,}4^2+12^2}\approx21{,}967

O comprimento da escada é, aproximadamente, \(22{,}0\) m.

4.2 - Amplitude do ângulo

Seja \(\alpha=\widehat{QPJ}\).

\tan\alpha=\dfrac{18{,}4}{12}\Rightarrow \alpha=\tan^{-1}\left(\dfrac{18{,}4}{12}\right) \approx56{,}889^\circ

O valor mais próximo é \(56{,}9^\circ\): opção (C).

5. Triângulo equilátero inscrito

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Na figura está representado um triângulo equilátero \([ABC]\), de lado \(AB=4\sqrt3\), inscrito numa circunferência de centro \(O\).

Triângulo equilátero ABC inscrito numa circunferência

5.1. Determine o raio da circunferência.

5.2. Designe por \(A_1\) a área do triângulo e por \(A_2\) a área do círculo. Mostre que \(\dfrac{A_2}{A_1}=\dfrac{4\sqrt3\pi}{9}\).

5.1 - Determinar o raio

Seja \(D\) o ponto médio de \([AB]\). Então \(AD=2\sqrt3\) e \(\widehat{DAO}=30^\circ\).

\cos30^\circ=\dfrac{AD}{AO} =\dfrac{2\sqrt3}{r}

\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{2\sqrt3}{r}\Rightarrow r=4

O raio da circunferência é \(4\).

5.2 - Área do triângulo

A altura \(CD\) divide o triângulo equilátero em dois triângulos retângulos.

\sin60^\circ=\dfrac{CD}{4\sqrt3}\Rightarrow CD=\dfrac{\sqrt3}{2}\times4\sqrt3=6

A_1=\dfrac{4\sqrt3\times6}{2}=12\sqrt3

Área do círculo e razão

A_2=\pi r^2=16\pi

\dfrac{A_2}{A_1}=\dfrac{16\pi}{12\sqrt3} =\dfrac{4\pi}{3\sqrt3} =\dfrac{4\sqrt3\pi}{9}

Fica demonstrado que \(\dfrac{A_2}{A_1}=\dfrac{4\sqrt3\pi}{9}\).

6. Circunferência inscrita num losango

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Na figura está representada uma circunferência de centro \(O\) inscrita no losango \([ABCD]\). Sabe-se que \(BD=8\) e \(\widehat{CBA}=70^\circ\).

6.1. Determine a área do losango, arredondada às centésimas.

6.2. Determine o comprimento da circunferência, arredondado às centésimas.

Elementos do losango

As diagonais do losango são perpendiculares e bissetam os ângulos dos vértices.

\widehat{CBD}=35^\circ,\qquad BO=\dfrac{BD}{2}=4

6.1 - Área do losango

\tan35^\circ=\dfrac{OC}{BO}\Rightarrow OC=4\tan35^\circ

Logo, \(AC=2OC=8\tan35^\circ\).

A_{[ABCD]}=\dfrac{AC\times BD}{2} =\dfrac{8\tan35^\circ\times8}{2} =32\tan35^\circ\approx22{,}41

A área do losango é, aproximadamente, \(22{,}41\) unidades quadradas.

6.2 - Raio da circunferência

O raio é perpendicular ao lado do losango no ponto de tangência.

\sin35^\circ=\dfrac{r}{4}\Rightarrow r=4\sin35^\circ

P=2\pi r=2\pi(4\sin35^\circ)\approx14{,}42

O comprimento da circunferência é, aproximadamente, \(14{,}42\).

7. Escadas rolantes

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A figura representa uma estrutura de três pisos onde serão montadas duas escadas rolantes.

Estrutura de três pisos com duas escadas rolantes

Sabe-se que \(AD=23\) m, \(BC=12\) m, \(AB=CD\) e \(\widehat{BAH}=\widehat{EGF}=30^\circ\).

7.1. Determine \(DF\), a distância da superfície do rés-do-chão à superfície do 2.º andar.

7.2. Determine \(AH\).

Determinar AB e CD

\(AD=AB+BC+CD\)

Como \(AB=CD\):

23=2AB+12\Rightarrow2AB=11\Rightarrow AB=CD=\dfrac{11}{2}

7.1 - Altura de cada piso

\tan30^\circ=\dfrac{HB}{AB}\Rightarrow HB=\dfrac{11}{2}\times\dfrac{\sqrt3}{3} =\dfrac{11\sqrt3}{6}

As duas escadas têm a mesma inclinação e o mesmo avanço horizontal, logo \(HB=DE=EF\).

DF=DE+EF=2\times\dfrac{11\sqrt3}{6} =\dfrac{11\sqrt3}{3}\text{ m}

\(DF=\dfrac{11\sqrt3}{3}\) m.

7.2 - Comprimento da primeira escada

\cos30^\circ=\dfrac{AB}{AH} =\dfrac{11/2}{AH}

AH=\dfrac{11}{2\cos30^\circ} =\dfrac{11}{\sqrt3} =\dfrac{11\sqrt3}{3}\text{ m}

\(AH=\dfrac{11\sqrt3}{3}\) m.

8. Área de um trapézio

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O ponto \(D\) pertence a \([CE]\) e o quadrilátero \([ABCD]\) é um quadrado. O ângulo \(DAE\) tem amplitude \(\alpha\).

Determine a área do trapézio \([ABCE]\), sabendo que \(AE=10\) e \(\sin\alpha=\dfrac35\).

Determinar ED

\sin\alpha=\dfrac{ED}{AE}\Rightarrow \dfrac35=\dfrac{ED}{10}\Rightarrow ED=6

Determinar o lado do quadrado

AD^2=AE^2-ED^2=10^2-6^2=64\Rightarrow AD=8

Como \([ABCD]\) é um quadrado, \(AB=CD=AD=8\). Assim:

\(CE=CD+DE=8+6=14\)

Área do trapézio

A_{[ABCE]}=\dfrac{CE+AB}{2}\times AD =\dfrac{14+8}{2}\times8=88

A área do trapézio é \(88\) unidades quadradas.

9. Triângulo numa circunferência

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Na figura está representada uma circunferência de centro \(O\) e raio \(6\). Os pontos \(A\) e \(B\) são extremos de um diâmetro e \(C\) pertence à circunferência. O ângulo \(BAC\) tem amplitude \(\alpha\).

Triângulo ABC inscrito numa circunferência com AB como diâmetro

9.1. Justifique que o ângulo \(ACB\) é reto.

9.2. Determine o perímetro do triângulo \([ABC]\), sabendo que \(\cos\alpha=\dfrac13\).

9.1 - Ângulo inscrito

O ângulo \(ACB\) está inscrito na circunferência e abrange o arco \(AB\), que é uma semicircunferência.

\widehat{ACB}=\dfrac{\widehat{AB}}2 =\dfrac{180^\circ}{2}=90^\circ

O ângulo \(ACB\) é reto.

9.2 - Determinar os lados

Como o raio é \(6\), o diâmetro é \(AB=12\).

\cos\alpha=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow \dfrac13=\dfrac{AC}{12}\Rightarrow AC=4

Pelo Teorema de Pitágoras:

BC^2=AB^2-AC^2=12^2-4^2=128 \Rightarrow BC=8\sqrt2

P_{[ABC]}=AB+AC+BC=12+4+8\sqrt2=16+8\sqrt2

O perímetro é \(16+8\sqrt2\).

10. Gráfico de uma função

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Seja \(f\) a função de domínio \([0,+\infty[\), definida por \(f(x)=-x^2+x+6\). Os pontos \(A\) e \(B\) são as interseções do gráfico com os eixos \(Ox\) e \(Oy\), respetivamente. Seja \(O\) a origem e seja \(\alpha=\widehat{OAB}\).

Determine os valores de \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) e \(\tan\alpha\).

Determinar o ponto A

No eixo \(Ox\), \(y=0\).

f(x)=0\Rightarrow-x^2+x+6=0 \Rightarrow x=-2\ \vee\ x=3

Como o domínio é \([0,+\infty[\), considera-se \(x=3\), logo \(A=(3,0)\).

Determinar o ponto B

f(0)=6\Rightarrow B=(0,6)

Comprimento da hipotenusa

AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+6^2} =\sqrt{45}=3\sqrt5

Razões trigonométricas

\sin\alpha=\dfrac{OB}{AB} =\dfrac6{3\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}{5}

\cos\alpha=\dfrac{OA}{AB} =\dfrac3{3\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}

\tan\alpha=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac63=2

\(\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt5}{5},\quad \cos\alpha=\dfrac{\sqrt5}{5},\quad \tan\alpha=2\).

11. Tangentes a uma circunferência

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Na figura está representada uma circunferência de centro \(O\) e raio \(3\). Os pontos \(A\) e \(B\) pertencem à circunferência, \(\widehat{AOB}=60^\circ\), e as retas \(r\) e \(s\) são tangentes nos pontos \(A\) e \(B\), intersetando-se em \(C\).

Duas tangentes a uma circunferência nos pontos A e B

Determine a área do quadrilátero \([OACB]\).

Analisar a figura

Os raios \(OA\) e \(OB\) são perpendiculares às respetivas tangentes. Os triângulos \(OAC\) e \(OBC\) são geometricamente iguais, pelo que \(OC\) bisseta o ângulo \(AOB\).

\widehat{AOC}=30^\circ

Determinar AC

\tan30^\circ=\dfrac{AC}{OA} \Rightarrow AC=3\tan30^\circ =3\times\dfrac{\sqrt3}{3}=\sqrt3

Calcular a área

A_{[OACB]}=2A_{[OAC]} =2\times\dfrac{OA\times AC}{2} =2\times\dfrac{3\sqrt3}{2}=3\sqrt3

A área do quadrilátero é \(3\sqrt3\).

12. Perímetro de um triângulo

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Dois ângulos internos de um triângulo têm amplitudes \(37^\circ\) e \(65^\circ\). O lado oposto ao ângulo de \(37^\circ\) mede \(9{,}66\).

Calcule, com aproximação às unidades, o perímetro do triângulo. Nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.

Determinar o terceiro ângulo

\widehat{A}=180^\circ-37^\circ-65^\circ=78^\circ

Triângulo com ângulos de 37, 65 e 78 graus

Construir a altura

Seja \(P\) a projeção ortogonal de \(B\) em \([AC]\), \(AP=x\) e \(BP=h\). Então \(PC=9{,}66-x\).

\tan65^\circ=\dfrac{h}{9{,}66-x} \Rightarrow h=(9{,}66-x)\tan65^\circ

\tan78^\circ=\dfrac{h}{x} \Rightarrow h=x\tan78^\circ

Resolver o sistema

x\tan78^\circ=(9{,}66-x)\tan65^\circ

4{,}705x=2{,}145(9{,}66-x)\Rightarrow 6{,}850x=20{,}721\Rightarrow x\approx3{,}025

h=x\tan78^\circ\approx14{,}230

Determinar os lados

\cos78^\circ=\dfrac{x}{AB}\Rightarrow AB=\dfrac{3{,}025}{\cos78^\circ}\approx14{,}548

\sin65^\circ=\dfrac{h}{BC}\Rightarrow BC=\dfrac{14{,}230}{\sin65^\circ}\approx15{,}701

Calcular o perímetro

P=AB+BC+AC\approx14{,}548+15{,}701+9{,}66 =39{,}909

O perímetro do triângulo é, aproximadamente, \(40\).