Radianos e Graus | Matemática A

📌 Resumo teórico

O radiano

Um radiano é a amplitude do ângulo ao centro que, numa circunferência, determina um arco de comprimento igual ao raio. Uma volta completa corresponde a \(2\pi\) radianos.

\[ 180^\circ=\pi\ \text{rad}\qquad\qquad \frac{\text{graus}}{180}=\frac{\text{radianos}}{\pi} \]

Graus	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)	\(120^\circ\)	\(135^\circ\)	\(150^\circ\)	\(180^\circ\)	\(270^\circ\)	\(360^\circ\)
Radianos	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\frac{2\pi}{3}\)	\(\frac{3\pi}{4}\)	\(\frac{5\pi}{6}\)	\(\pi\)	\(\frac{3\pi}{2}\)	\(2\pi\)

Arcos e setores

Numa circunferência de raio \(r\), um ângulo ao centro de \(\theta\) radianos, com \(0\le\theta\le2\pi\), determina:

\[ \text{comprimento do arco}=r\,\theta\qquad\qquad \text{área do setor circular}=\frac{r^{2}\,\theta}{2} \]

Polígonos regulares

ângulo ao centro de um polígono regular de \(n\) lados: \(\dfrac{2\pi}{n}\);
soma dos ângulos internos: \((n-2)\pi\); cada ângulo interno: \(\dfrac{(n-2)\pi}{n}\).

Circunferência trigonométrica

Ângulos que diferem de \(2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)) têm o mesmo lado extremidade. O lado extremidade de \(\theta\) interseta a circunferência trigonométrica no ponto \((\cos\theta,\ \sin\theta)\). Se \(\cos\theta\ne0\), a reta que contém esse lado interseta a reta \(x=1\) no ponto \((1,\ \tan\theta)\).

1. De graus para radianos

Converta para radianos:

1.1. \(120^\circ\)	1.2. \(135^\circ\)	1.3. \(150^\circ\)
1.4. \(200^\circ\)	1.5. \(-70^\circ\)	1.6. \(-4500^\circ\)

Regra de conversão

Multiplica-se a amplitude em graus por \(\dfrac{\pi}{180}\).

1.1

120^\circ\times\dfrac{\pi}{180^\circ}=\dfrac{2\pi}{3}\text{ rad}

1.2

135^\circ\times\dfrac{\pi}{180^\circ}=\dfrac{3\pi}{4}\text{ rad}

1.3

150^\circ\times\dfrac{\pi}{180^\circ}=\dfrac{5\pi}{6}\text{ rad}

1.4

200^\circ\times\dfrac{\pi}{180^\circ}=\dfrac{10\pi}{9}\text{ rad}

1.5

-70^\circ\times\dfrac{\pi}{180^\circ}=-\dfrac{7\pi}{18}\text{ rad}

1.6

-4500^\circ\times\dfrac{\pi}{180^\circ}=-25\pi\text{ rad}

Se se pretender uma amplitude reduzida equivalente:

-4500^\circ\) \(=-180^\circ-12\times360^\circ\) \(\Rightarrow -25\pi=-\pi-12\times2\pi

\(120^\circ=\dfrac{2\pi}{3}\), \(135^\circ=\dfrac{3\pi}{4}\), \(150^\circ=\dfrac{5\pi}{6}\), \(200^\circ=\dfrac{10\pi}{9}\), \(-70^\circ=-\dfrac{7\pi}{18}\) e \(-4500^\circ=-25\pi\) rad (amplitude reduzida: \(-\pi\) rad).

2. De radianos para graus

Converta para graus:

2.1. \(\dfrac{2\pi}{3}\text{ rad}\)	2.2. \(-\dfrac{5\pi}{3}\text{ rad}\)	2.3. \(\dfrac{7\pi}{6}\text{ rad}\)
2.4. \(\dfrac{3\pi}{4}\text{ rad}\)	2.5. \(-\dfrac{5\pi}{4}\text{ rad}\)	2.6. \(1\text{ rad}\), às décimas do grau

Regra de conversão

Multiplica-se a amplitude em radianos por \(\dfrac{180^\circ}{\pi}\).

2.1

\dfrac{2\pi}{3}\times\dfrac{180^\circ}{\pi}=120^\circ

2.2

-\dfrac{5\pi}{3}\times\dfrac{180^\circ}{\pi}=-300^\circ

2.3

\dfrac{7\pi}{6}\times\dfrac{180^\circ}{\pi}=210^\circ

2.4

\dfrac{3\pi}{4}\times\dfrac{180^\circ}{\pi}=135^\circ

2.5

-\dfrac{5\pi}{4}\times\dfrac{180^\circ}{\pi}=-225^\circ

2.6

1\text{ rad}=\dfrac{180^\circ}{\pi}\approx57{,}3^\circ

\(120^\circ\), \(-300^\circ\), \(210^\circ\), \(135^\circ\), \(-225^\circ\) e \(57{,}3^\circ\), respetivamente.

3. Ângulos em polígonos

Exprima a amplitude, em radianos, de todos os ângulos assinalados nas figuras.

Trapézio retângulo com ângulos assinalados — 3.1. Trapézio retângulo

Paralelogramo com ângulos assinalados — 3.2. Paralelogramo

Losango com ângulos assinalados — 3.3. Losango

3.1 - Trapézio retângulo

Os dois ângulos retos medem \(90^\circ\). O ângulo indicado mede \(45^\circ\) e o ângulo \(a\) completa a soma dos ângulos internos do quadrilátero.

a=360^\circ-90^\circ\) \({}-90^\circ-45^\circ\) \(=135^\circ

45^\circ=\dfrac{\pi}{4}

90^\circ=\dfrac{\pi}{2}

135^\circ=\dfrac{3\pi}{4}

3.2 - Paralelogramo

Ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares.

b=30^\circ=\dfrac{\pi}{6}

a=180^\circ-30^\circ\) \(=150^\circ=\dfrac{5\pi}{6}

3.3 - Losango

A diagonal do losango bissecta o ângulo do vértice. Assim, \(b=30^\circ\), e o ângulo consecutivo é suplementar de \(60^\circ\).

b=30^\circ=\dfrac{\pi}{6}

a=180^\circ-60^\circ\) \(=120^\circ=\dfrac{2\pi}{3}

3.1: \(\dfrac{\pi}{4}\), \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{\pi}{2}\) e \(\dfrac{3\pi}{4}\); 3.2: \(a=\dfrac{5\pi}{6}\), \(b=\dfrac{\pi}{6}\); 3.3: \(a=\dfrac{2\pi}{3}\), \(b=\dfrac{\pi}{6}\).

4. Comprimento de arco

Numa circunferência, um ângulo ao centro com \(3\) radianos de amplitude determina um arco com \(4{,}5\) cm de comprimento. Qual é o raio da circunferência?

Aplicar a fórmula do comprimento do arco

Se \(\alpha\) está em radianos, o comprimento do arco é \(s=r\alpha\).

4{,}5=3r\Rightarrow r=\dfrac{4{,}5}{3}=1{,}5

O raio da circunferência é \(1{,}5\) cm.

5. Decágono regular

Na figura está representado um decágono regular inscrito numa circunferência de centro \(O\) e raio \(4\) cm.

Decágono regular ABCDEFGHIJ com centro O e triângulo IBF

5.1. Determine a semirreta extremidade do ângulo cujo lado origem é \(\overrightarrow{OC}\) e cuja amplitude é:

5.1.1. \(-\dfrac{\pi}{5}\)	5.1.2. \(\dfrac{6\pi}{5}\)	5.1.3. \(\dfrac{212\pi}{5}\)
5.1.4. \(-\dfrac{371\pi}{5}\)	5.1.5. \(2952^\circ\)	5.1.6. \(-1008^\circ\)

5.2. Determine a amplitude, em radianos, dos ângulos internos do triângulo \([IBF]\).

5.3. Determine o perímetro do triângulo \([IBF]\), com aproximação às décimas.

Amplitude de cada arco

O decágono divide a circunferência em dez arcos iguais.

\dfrac{2\pi}{10}=\dfrac{\pi}{5}=36^\circ

5.1 - Semirretas extremidade

-\dfrac{\pi}{5}\) \(\longrightarrow\overrightarrow{OB}

\dfrac{6\pi}{5}\) \(\longrightarrow\overrightarrow{OI}

\dfrac{212\pi}{5}=21(2\pi)+\dfrac{2\pi}{5}\) \(\longrightarrow\overrightarrow{OE}

-\dfrac{371\pi}{5}\) \(=-38(2\pi)+\dfrac{9\pi}{5}\) \(\longrightarrow\overrightarrow{OB}

2952^\circ=8(360^\circ)+72^\circ\) \(\longrightarrow\overrightarrow{OE}

-1008^\circ\) \(=-3(360^\circ)+72^\circ\) \(\longrightarrow\overrightarrow{OE}

Em \(-1008^\circ\), a amplitude coterminal entre \(0^\circ\) e \(360^\circ\) é \(72^\circ\). Por isso, a semirreta extremidade correta é \(\overrightarrow{OE}\).

5.2 - Ângulos do triângulo IBF

O arco \(\widehat{BF}\) ocupa quatro lados do decágono, logo mede \(\dfrac{4\pi}{5}\). O ângulo inscrito \(\widehat{BIF}\) mede metade.

\widehat{BIF}=\dfrac12\times\dfrac{4\pi}{5}=\dfrac{2\pi}{5}

Como os arcos \(\widehat{IB}\) e \(\widehat{IF}\) têm ambos três divisões, \(IB=IF\). O triângulo é isósceles.

\widehat{IBF}=\widehat{IFB}\) \(=\dfrac{\pi-\frac{2\pi}{5}}{2} =\dfrac{3\pi}{10}

5.3 - Perímetro

Uma corda que subtende um ângulo ao centro \(\theta\), numa circunferência de raio \(4\), mede \(8\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\).

BF=8\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\) \(\approx7{,}608\text{ cm}

IB=IF\) \(=8\sin\left(\dfrac{3\pi}{10}\right)\) \(\approx6{,}472\text{ cm}

P=IB+IF+BF\) \(\approx2(6{,}472)+7{,}608\) \(=20{,}552\text{ cm}

5.1: \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OI}\), \(\overrightarrow{OE}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OE}\), \(\overrightarrow{OE}\).
5.2: \(\dfrac{2\pi}{5}\), \(\dfrac{3\pi}{10}\) e \(\dfrac{3\pi}{10}\).
5.3: o perímetro é aproximadamente \(20{,}6\) cm.

6. Setor de uma coroa circular

Na figura estão representadas duas circunferências de centro \(O\) e raios \(2\) e \(6\). Os pontos \(P\) e \(Q\) pertencem à circunferência de raio \(2\), e \(R\) e \(S\) à circunferência de raio \(6\).

O ponto \(R\) pertence à semirreta \(\overrightarrow{OP}\), o ponto \(S\) pertence à semirreta \(\overrightarrow{OQ}\), e o ângulo \(POQ\) tem amplitude \(1{,}5\) radianos.

Setor de uma coroa circular com raios 2 e 6 e ângulo de 1,5 radianos

Calcule o perímetro e a área da região colorida.

Perímetro

O contorno é formado por dois segmentos de comprimento \(6-2\), pelo arco interior de raio \(2\) e pelo arco exterior de raio \(6\).

P=(6-2)+(6-2)\) \({}+2(1{,}5)+6(1{,}5)

\(P=4+4+3+9=20\)

Área

Subtrai-se ao setor de raio \(6\) o setor de raio \(2\). Para um ângulo \(\alpha\) em radianos, \(A_{\text{setor}}=\dfrac{\alpha r^2}{2}\).

A=\dfrac{1{,}5\times6^2}{2}-\dfrac{1{,}5\times2^2}{2}\) \(=27-3=24

O perímetro é \(20\) unidades e a área é \(24\) unidades quadradas.

7. Roda-gigante

A figura representa uma roda-gigante com \(8\) m de raio. A circunferência está dividida em \(16\) arcos iguais e roda no sentido positivo. O Pedro parte do ponto \(P\), dá no máximo uma volta completa e para num dos pontos assinalados.

Fotografia e esquema de uma roda-gigante dividida em 16 arcos iguais

7.1. Se o Pedro descrever um arco com \(12\pi\) m de comprimento, qual é a amplitude desse arco, em radianos?

7.2. Admita que a amplitude do arco é \(135^\circ\). Determine o comprimento do arco e a amplitude em radianos.

7.3. Indique o ponto onde o Pedro irá parar se descrever um arco com amplitude \(45^\circ\), \(\dfrac{5\pi}{8}\) rad ou \(\dfrac{5\pi}{4}\) rad.

7.4. Admita que o Pedro parou no ponto \(P_{11}\). Determine a amplitude do arco descrito, em radianos, e a amplitude que falta para completar uma volta, em graus.

7.5. O arco descrito tem amplitude superior a \(200^\circ\) e inferior a \(\dfrac{7\pi}{6}\) rad. Indique a sua amplitude em graus e em radianos.

Divisão da circunferência

\dfrac{360^\circ}{16}=22{,}5^\circ

\text{e}\ \dfrac{2\pi}{16}=\dfrac{\pi}{8}\text{ rad}

7.1

Usando \(s=r\alpha\):

12\pi=8\alpha\) \(\Rightarrow\alpha=\dfrac{12\pi}{8}\) \(=\dfrac{3\pi}{2}\text{ rad}

7.2

135^\circ\times\dfrac{\pi}{180^\circ}=\dfrac{3\pi}{4}\text{ rad}

s=r\alpha=8\times\dfrac{3\pi}{4}=6\pi\text{ m}

7.3

45^\circ=2(22{,}5^\circ)\longrightarrow P_2

\dfrac{5\pi}{8}=5\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\) \(\longrightarrow P_5

\dfrac{5\pi}{4}=10\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\) \(\longrightarrow P_{10}

7.4

P_{11}\longrightarrow11\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{11\pi}{8}\text{ rad}

11(22{,}5^\circ)\) \(=247{,}5^\circ

360^\circ-247{,}5^\circ\) \(=112{,}5^\circ

7.5

Primeiro, converte-se o limite superior:

\dfrac{7\pi}{6}\text{ rad}=210^\circ

Entre \(200^\circ\) e \(210^\circ\), a única amplitude que corresponde a um múltiplo de \(22{,}5^\circ\) é \(202{,}5^\circ\).

202{,}5^\circ=9(22{,}5^\circ)\) \(=9\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\) \(=\dfrac{9\pi}{8}\text{ rad}

7.1: \(\dfrac{3\pi}{2}\) rad.
7.2: \(6\pi\) m e \(\dfrac{3\pi}{4}\) rad.
7.3: \(P_2\), \(P_5\) e \(P_{10}\).
7.4: \(\dfrac{11\pi}{8}\) rad e \(112{,}5^\circ\).
7.5: \(202{,}5^\circ=\dfrac{9\pi}{8}\) rad.

8. Círculo trigonométrico

Num referencial o.n. \(Oxy\), estão representados o círculo trigonométrico e a reta de equação \(x=1\).

\(\overrightarrow{OA}\) é o lado extremidade do ângulo de amplitude \(\dfrac{7\pi}{3}\);
\(\overrightarrow{OC}\) é o lado extremidade do ângulo de amplitude \(\dfrac{41\pi}{6}\).

Círculo trigonométrico com os pontos A, B, C e D e a reta x igual a 1

8.1. Determine \(\alpha\) e \(k\), com \(0\leq\alpha\leq2\pi\) e \(k\in\mathbb{N}_0\), de modo que:

8.1.1. \(\dfrac{7\pi}{3}=\alpha+2k\pi\)

8.1.2. \(\dfrac{41\pi}{6}=\alpha+2k\pi\)

8.2. Determine as coordenadas dos pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\).

8.1.1

\dfrac{7\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{6\pi}{3} =\dfrac{\pi}{3}+2\pi

\(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\) e \(k=1\).

8.1.2

\dfrac{41\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{36\pi}{6}\) \(=\dfrac{5\pi}{6}+3(2\pi)

\(\alpha=\dfrac{5\pi}{6}\) e \(k=3\).

8.2 - Pontos A e C

Num círculo trigonométrico, o ponto do lado extremidade de \(\alpha\) tem coordenadas \((\cos\alpha,\sin\alpha)\).

A=\left(\cos\dfrac{\pi}{3},\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\) \(=\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)

C=\left(\cos\dfrac{5\pi}{6},\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\) \(=\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12\right)

8.2 - Pontos B e D

Na reta tangente \(x=1\), a ordenada da interseção com a reta que forma um ângulo \(\alpha\) é \(\tan\alpha\).

B=\left(1,\tan\dfrac{\pi}{3}\right)=(1,\sqrt3)

D=\left(1,\tan\dfrac{5\pi}{6}\right)\) \(=\left(1,-\dfrac{\sqrt3}{3}\right)

\(A\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\), \(B(1,\sqrt3)\), \(C\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12\right)\) e \(D\left(1,-\dfrac{\sqrt3}{3}\right)\).

9. Mais conversões para radianos

Converta em radianos:

9.1. \(60^\circ\)9.2. \(30^\circ\)9.3. \(45^\circ\)9.4. \(240^\circ\)9.5. \(-540^\circ\)9.6. \(1170^\circ\)9.7. \(70^\circ\)9.8. \(252^\circ\)9.9. \(300^\circ\)

Regra de três simples

\(180^\circ\) correspondem a \(\pi\) rad, logo \(x^\circ\) correspondem a \(\dfrac{x\,\pi}{180}\) rad.

60^\circ=\dfrac{60\pi}{180}=\dfrac{\pi}{3}

30^\circ=\dfrac{\pi}{6}

45^\circ=\dfrac{\pi}{4}

240^\circ=\dfrac{240\pi}{180}=\dfrac{4\pi}{3}

-540^\circ=-\dfrac{540\pi}{180}=-3\pi

1170^\circ=\dfrac{1170\pi}{180}=\dfrac{13\pi}{2}

70^\circ=\dfrac{70\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{18}

252^\circ=\dfrac{252\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{5}

300^\circ=\dfrac{300\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{3}

10. Mais conversões para graus

Converta em graus:

10.1. \(\dfrac{11\pi}{2}\) rad10.2. \(-\dfrac{19\pi}{4}\) rad10.3. \(\dfrac{3\pi}{5}\) rad10.4. \(-\dfrac{17\pi}{3}\) rad10.5. \(\dfrac{5\pi}{8}\) rad10.6. \(\dfrac{7\pi}{10}\) rad10.7. \(\dfrac{2\pi}{9}\) rad

Substituir π por 180°

\dfrac{11\pi}{2}=\dfrac{11\times180^\circ}{2}=990^\circ

-\dfrac{19\pi}{4}\) \(=-\dfrac{19\times180^\circ}{4}\) \(=-855^\circ

\dfrac{3\pi}{5}=\dfrac{3\times180^\circ}{5}=108^\circ

-\dfrac{17\pi}{3}\) \(=-\dfrac{17\times180^\circ}{3}\) \(=-1020^\circ

\dfrac{5\pi}{8}=\dfrac{5\times180^\circ}{8}=112{,}5^\circ

\dfrac{7\pi}{10}=126^\circ

\dfrac{2\pi}{9}=40^\circ

11. Quantos graus? Quantos radianos?

11.1. Quantos graus correspondem a \(\dfrac56\pi\) rad?

(A) \(150^\circ\)(B) \(120^\circ\)(C) \(60^\circ\)(D) \(45^\circ\)

11.2. Quantos radianos correspondem a \(820^\circ\)?

(A) \(\dfrac49\pi\)(B) \(\pi\)(C) \(14\pi\)(D) \(\dfrac{41}{9}\pi\)

\dfrac56\pi\text{ rad}=\dfrac{5\times180^\circ}{6}=150^\circ

820^\circ=\dfrac{820\pi}{180}\text{ rad}\) \(=\dfrac{41\pi}{9}\text{ rad}

11.1. Opção (A)
11.2. Opção (D)

12. Um ângulo de 4 radianos

Em qual das opções pode estar representado um ângulo com amplitude \(4\) rad?

Ângulo côncavo de pouco mais de 180 graus — (A)

Ângulo obtuso de cerca de 115 graus — (B)

4\text{ rad}=\dfrac{4\times180^\circ}{\pi}\approx229{,}2^\circ

Procura-se um ângulo côncavo com pouco mais de \(180^\circ\) (e bastante menos do que \(270^\circ\)). Em (B) e (C) os ângulos são convexos e em (D) mede \(270^\circ\).

Opção (A).

13. Um radiano na circunferência trigonométrica

Em cada uma das figuras está representado, na circunferência trigonométrica, a traço colorido, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo \(Ox\).

Em qual das figuras esse ângulo pode ter \(1\) radiano de amplitude?

Lado extremidade no primeiro quadrante, a cerca de 20 graus — (A)

Lado extremidade sobre o semieixo negativo Ox — (B)

Lado extremidade no segundo quadrante — (C)

Lado extremidade no primeiro quadrante, a cerca de 57 graus — (D)

\dfrac{180^\circ}{\pi}=\dfrac{x}{1}\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{180^\circ}{\pi}\approx57^\circ

O lado extremidade deve estar no 1.º quadrante, entre as semirretas de \(45^\circ\) e de \(60^\circ\). Só a figura (D) corresponde: em (A) o ângulo é muito menor, em (B) mede \(180^\circ\) e em (C) está no 2.º quadrante.

Opção (D).

14. Octógono regular e ângulos em radianos

Na figura está representado o octógono regular \([ABCDEFGH]\), inscrito numa circunferência de centro \(O\).

Octógono regular ABCDEFGH inscrito numa circunferência de centro O, com D e C à direita

Sendo \(\dot{O}D\) o lado origem, indique o lado extremidade dos ângulos de amplitudes:

14.1. \(\left(\dfrac{3\pi}{4}\text{ rad},\ 2\right)\)14.2. \(\left(-\dfrac{7\pi}{4}\text{ rad},\ -1\right)\)14.3. \(\left(\dfrac{5\pi}{4}\text{ rad},\ 3\right)\)14.4. \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\ -2\right)\)14.5. \(\dfrac{5\pi}{2}\) rad14.6. \(-\dfrac{15\pi}{4}\) rad14.7. \(-4\pi\) rad14.8. \(-\dfrac{11\pi}{2}\) rad

Ângulo ao centro

\(2\pi:8=\dfrac{\pi}{4}\). No sentido positivo, a partir de \(\dot{O}D\), encontram-se \(E,F,G,H,A,B,C\). Basta escrever cada amplitude como múltiplo de \(\frac{\pi}{4}\) e retirar as voltas completas (\(8\times\frac{\pi}{4}=2\pi\)).

\dfrac{3\pi}{4}=3\times\dfrac{\pi}{4}\to\dot{O}G

-\dfrac{7\pi}{4}=-7\times\dfrac{\pi}{4}\) \(\to\dot{O}E

(7 vértices no sentido negativo: \(C,B,A,H,G,F,E\))

\dfrac{5\pi}{4}=5\times\dfrac{\pi}{4}\to\dot{O}A

-\dfrac{\pi}{2}=-2\times\dfrac{\pi}{4}\to\dot{O}B

\dfrac{5\pi}{2}=2\pi+\dfrac{\pi}{2}\) \(=2\pi+2\times\dfrac{\pi}{4}\) \(\to\dot{O}F

-\dfrac{15\pi}{4}=-4\pi+\dfrac{\pi}{4}\to\dot{O}E

-4\pi\ (\text{duas voltas completas})\) \(\to\dot{O}D

-\dfrac{11\pi}{2}=-6\pi+\dfrac{\pi}{2}\to\dot{O}F

14.1. \(\dot{O}G\)
14.2. \(\dot{O}E\)
14.3. \(\dot{O}A\)
14.4. \(\dot{O}B\)
14.5. \(\dot{O}F\)
14.6. \(\dot{O}E\)
14.7. \(\dot{O}D\)
14.8. \(\dot{O}F\)

15. Rotações num decágono regular

Na figura está representado um decágono regular, de centro em \(C\).

Decágono regular de centro C com os vértices U, T, S, R, Q, P, O, X, W e V

Indique o transformado do ponto \(U\) por uma rotação de centro em \(C\) e amplitude:

15.1. \(\dfrac{2\pi}{10}\)15.2. \(-\dfrac{14\pi}{10}\)15.3. \(\dfrac{6\pi}{5}\)15.4. \(-\dfrac{21\pi}{5}\)

Ângulo ao centro

\(2\pi:10=\dfrac{\pi}{5}\ (=36^\circ)\). No sentido positivo, a partir de \(U\): \(V,W,X,O,P,Q,R,S,T\).

\dfrac{2\pi}{10}=\dfrac{\pi}{5}\to V

-\dfrac{14\pi}{10}\) \(=-7\times\dfrac{\pi}{5}\) \(\to X\quad(T,S,R,Q,P,O,X)

\dfrac{6\pi}{5}=6\times\dfrac{\pi}{5}\to Q

-\dfrac{21\pi}{5}+2\times2\pi=-\dfrac{\pi}{5}\) \(\to T

15.1. \(V\)
15.2. \(X\)
15.3. \(Q\)
15.4. \(T\)

16. Dodecágono no referencial

Observe o dodecágono regular \([ABCDEFGHIJKL]\) centrado na origem do referencial da figura.

Dodecágono regular centrado na origem, com A no semieixo positivo Ox e D no semieixo positivo Oy

16.1. Indique o lado extremidade do ângulo de lado origem \(\dot{O}A\) e amplitude, em radianos, igual a:

a) \(\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)b) \(\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)c) \(-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)

16.2. Identifique o lado do dodecágono que é intersetado pelo lado extremidade de um ângulo \(\alpha\) em que o lado origem é \(\dot{O}A\) e tem amplitude, em radianos, igual a:

a) \(\dfrac{17\pi}{4}\)b) \(-\dfrac{35\pi}{4}\)

Ângulo ao centro

\(2\pi:12=\dfrac{\pi}{6}\). A partir de \(\dot{O}A\), no sentido positivo: \(B\colon\frac{\pi}{6}\), \(C\colon\frac{\pi}{3}\), \(D\colon\frac{\pi}{2}\), \(E\colon\frac{2\pi}{3}\), \(F\colon\frac{5\pi}{6}\), \(G\colon\pi\), \(H\colon\frac{7\pi}{6}\), \(I\colon\frac{4\pi}{3}\), \(J\colon\frac{3\pi}{2}\), \(K\colon\frac{5\pi}{3}\), \(L\colon\frac{11\pi}{6}\).

16.1

As parcelas \(2k\pi\) são voltas completas: a) \(\dot{O}F\); b) \(\dot{O}C\); c) \(-\frac{\pi}{2}\equiv\frac{3\pi}{2}\to\dot{O}J\).

16.2

\dfrac{17\pi}{4}=4\pi+\dfrac{\pi}{4},

\dfrac{\pi}{6}\lt\dfrac{\pi}{4}\lt\dfrac{\pi}{3}\to\text{lado }[BC]

-\dfrac{35\pi}{4}=-8\pi-\dfrac{3\pi}{4}\equiv\dfrac{5\pi}{4},

\dfrac{7\pi}{6}\lt\dfrac{5\pi}{4}\lt\dfrac{4\pi}{3}\) \(\to\text{lado }[HI]

16.1. a) \(\dot{O}F\)
b) \(\dot{O}C\)
c) \(\dot{O}J\)
16.2. a) \([BC]\)
b) \([HI]\)

17. O relógio da Inês

A Inês olhou para o seu relógio quando este marcava 9h15min. Passado algum tempo, olhou novamente para o relógio e verificou que o ponteiro dos minutos tinha rodado \(-3\pi\) rad.

Que horas marcava o relógio da Inês neste último instante? Justifique a sua resposta.

O ponteiro dos minutos roda no sentido negativo: \(-2\pi\) numa hora e \(-\pi\) em meia hora.

-3\pi=-2\pi-\pi

Passou \(1\) hora e \(30\) minutos: \(9\text{h}15+1\text{h}30=10\text{h}45\).

O relógio marcava 10h45min.

18. O ponteiro de um relógio de parede

O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede \(12\) cm.

Relógio de parede com um setor de 35 minutos assinalado

Qual é a distância percorrida pela extremidade do ponteiro dos minutos num intervalo de \(35\) minutos?

(A) \(7\pi\)(B) \(14\pi\)(C) \(24\pi\)(D) \(84\pi\)

Numa hora, a extremidade percorre o perímetro da circunferência de raio \(12\): \(2\pi\times12=24\pi\) cm. Em \(35\) minutos percorre \(\frac{35}{60}=\frac{7}{12}\) desse perímetro:

\dfrac{7}{12}\times24\pi=14\pi\text{ cm}

Opção (B).

19. Amplitude e comprimento de arcos

Na figura está representada uma circunferência de centro \(O\) e raio \(6\) cm.

Circunferência de centro O e raio 6 centímetros com os pontos A, B e C e o arco BC de 2,8 radianos

Determine:

19.1. a amplitude, em radianos, do arco \(AB\), sabendo que o seu comprimento é \(7{,}5\) cm;

19.2. o comprimento do arco \(BC\), sabendo que \(\overset{\frown}{BC}=2{,}8\) rad.

Comprimento do arco = amplitude (rad) × raio

19.1\colon\) \(7{,}5=\alpha\times6\) \(\Leftrightarrow\alpha=1{,}25\text{ rad}

19.2\colon\ \ell=2{,}8\times6=16{,}8\text{ cm}

19.1. \(1{,}25\) rad
19.2. \(16{,}8\) cm

20. Comprimento do arco e área do setor

Na figura está representada uma circunferência de centro \(O\) e raio \(r\).

Circunferência de centro O com o setor circular AOB de amplitude alfa

20.1. Determine o comprimento do arco \(AB\), se:

a) \(r=3\) cm e \(\alpha=30^\circ\)b) \(r=6\) cm e \(\alpha=\dfrac{\pi}{5}\) rad

20.2. Determine a área do setor circular \(AOB\), se:

a) \(r=2\) cm e \(\alpha=70^\circ\)b) \(r=4\) cm e \(\alpha=\dfrac{\pi}{6}\) rad

Fórmulas (α em radianos)

\ell=\alpha\,r

A=\dfrac{\alpha\,r^2}{2}

20.1

a) \(30^\circ=\dfrac{\pi}{6}\Rightarrow\ell=\dfrac{\pi}{6}\times3=\dfrac{\pi}{2}\text{ cm}\)

b) \(\ell=\dfrac{\pi}{5}\times6=\dfrac{6\pi}{5}\text{ cm}\)

20.2

a) \(70^\circ=\dfrac{7\pi}{18}\Rightarrow A=\dfrac{\frac{7\pi}{18}\times2^2}{2}=\dfrac{7\pi}{9}\text{ cm}^2\)

b) \(A=\dfrac{\frac{\pi}{6}\times4^2}{2}=\dfrac{4\pi}{3}\text{ cm}^2\)

20.1. a) \(\dfrac{\pi}{2}\) cm
b) \(\dfrac{6\pi}{5}\) cm
20.2. a) \(\dfrac{7\pi}{9}\text{ cm}^2\)
b) \(\dfrac{4\pi}{3}\text{ cm}^2\)

21. Raio a partir da área do setor

Na figura está representada uma circunferência de raio \(r\) e centro \(O\). Sabe-se que a amplitude, em radianos, do arco \(AB\) é \(\dfrac{3\pi}{10}\) rad e que a área do setor circular \(AOB\) é \(15\pi\text{ cm}^2\).

Circunferência de centro O com o setor circular AOB

Determine o raio da circunferência.

\dfrac{\frac{3\pi}{10}\times r^2}{2}=15\pi\) \(\Leftrightarrow\dfrac{3\pi r^2}{20}=15\pi\) \(\Leftrightarrow r^2=100\) \(\Leftrightarrow r=10\quad(r\gt0)

O raio mede \(10\) cm.

22. Raio e amplitude de um arco

Numa circunferência, um arco tem \(\dfrac{2\pi}{3}\) cm de comprimento e o setor circular correspondente tem \(3\pi\text{ cm}^2\) de área.

Determine o raio da circunferência, em centímetros, e a amplitude do arco, em radianos.

Relação entre a área do setor e o comprimento do arco

Como \(\ell=\alpha r\) e \(A=\dfrac{\alpha r^2}{2}\), tem-se \(A=\dfrac{\ell\,r}{2}\):

3\pi=\dfrac{\frac{2\pi}{3}\times r}{2}\) \(\Leftrightarrow3\pi=\dfrac{\pi r}{3}\) \(\Leftrightarrow r=9

\alpha=\dfrac{\ell}{r}=\dfrac{\frac{2\pi}{3}}{9}=\dfrac{2\pi}{27}\text{ rad}

\(r=9\) cm e \(\alpha=\dfrac{2\pi}{27}\) rad.

23. Área de um setor circular

Determine a área do setor circular representado na figura. Apresente o resultado arredondado às décimas.

Setor circular de raio 4 e amplitude dois nonos de pi

A=\dfrac{\frac{2\pi}{9}\times4^2}{2}=\dfrac{16\pi}{9}\approx5{,}6

A área do setor é, aproximadamente, \(5{,}6\) u.a.

24. A bicicleta de Aldeia Nova

Na imagem pode observar uma escultura situada na Aldeia Nova, em Miranda do Douro. Admita que é possível movimentar a bicicleta da escultura.

Escultura de uma bicicleta antiga com uma roda grande

Qual é, em centímetros e arredondada às unidades, a medida do raio da roda maior, sabendo que, se esta descrever um ângulo de amplitude igual a \(\dfrac{5\pi}{4}\) radianos, a bicicleta se desloca \(2{,}55\) metros?

(A) \(65\)(B) \(130\)(C) \(55\)(D) \(10\)

A distância percorrida é igual ao comprimento do arco descrito pela roda: \(2{,}55\text{ m}=255\text{ cm}\).

255=\dfrac{5\pi}{4}\times r\) \(\Leftrightarrow r=\dfrac{255\times4}{5\pi}\) \(=\dfrac{204}{\pi}\) \(\approx65\text{ cm}

Opção (A).

25. Área e perímetro de um setor maior

Na figura encontra-se representada uma circunferência e o ângulo ao centro \(AOB\). Sabe-se que \(A\hat OB=\dfrac{\pi}{3}\) rad e que o raio da circunferência mede \(1\) cm.

Círculo de raio 1 com um setor branco de amplitude pi sobre três; o resto está colorido

Relativamente à parte colorida da figura, determine:

25.1. a área; 25.2. o perímetro.

A parte colorida é o setor circular correspondente ao arco maior, de amplitude \(2\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}\) rad.

25.1\colon\) \(A=\dfrac{\frac{5\pi}{3}\times1^2}{2}\) \(=\dfrac{5\pi}{6}\text{ cm}^2

25.2\colon\) \(P=\overline{OA}+\overline{OB}+\ell\) \(=1+1+\dfrac{5\pi}{3}\) \(=\dfrac{6+5\pi}{3}\text{ cm}

25.1. \(\dfrac{5\pi}{6}\text{ cm}^2\)
25.2. \(\dfrac{6+5\pi}{3}\) cm

26. Secção de um túnel

Na figura está representado um esquema da secção de um túnel rodoviário. A secção é formada por um setor circular, de centro \(O\) e raio \(r\), e pelo triângulo \([AOB]\), sendo \(O\) o centro do círculo e \([AB]\) uma corda.

Secção de um túnel: setor circular maior e triângulo AOB com ângulo reto em O

Sabe-se que \(\overline{AB}=6\) m e \(\theta=90^\circ\).

26.1. Mostre que \(r=3\sqrt2\) m.

26.2. Calcule a área da secção do túnel. Apresente o resultado, em metros quadrados, com arredondamento às centésimas.

26.1 - Triângulo retângulo isósceles

A altura de \([AOB]\) relativa a \([AB]\) divide o ângulo reto em dois ângulos de \(45^\circ\) e a corda em dois segmentos de \(3\) m:

\sin45^\circ=\dfrac{3}{r}\) \(\Leftrightarrow r=\dfrac{3}{\frac{\sqrt2}{2}}\) \(=\dfrac{6}{\sqrt2}\) \(=3\sqrt2

26.2 - Setor maior + triângulo

A_{\text{setor}}=\dfrac{\left(2\pi-\frac{\pi}{2}\right)\times\left(3\sqrt2\right)^2}{2}\) \(=\dfrac{\frac{3\pi}{2}\times18}{2}\) \(=\dfrac{27\pi}{2}

A_{[AOB]}=\dfrac{6\times3}{2}=9

A_{\text{secção}}=\dfrac{27\pi}{2}+9\approx51{,}41

A área da secção é, aproximadamente, \(51{,}41\text{ m}^2\).

27. Um jardim junto a uma casa

A figura mostra um esquema de um jardim junto a uma casa.

Jardim em forma de setor circular de raio 25 metros e amplitude 43 graus, com o vértice dentro da casa a 10 metros da parede

27.1. De acordo com os dados da figura, determine a área do jardim. Apresente o resultado, em metros quadrados, com arredondamento às unidades.

27.2. O jardim vai ser vedado com rede. Quantos metros de rede é, no mínimo, necessário comprar? Apresente o resultado em metros, com aproximação às unidades.

27.1 - Jardim = setor − triângulo dentro da casa

43^\circ=\dfrac{43\pi}{180}\text{ rad}

A_{\text{setor}}=\dfrac{\frac{43\pi}{180}\times25^2}{2}\) \(=\dfrac{5375\pi}{72}

O triângulo dentro da casa é isósceles, com altura \(10\) m e ângulo de \(43^\circ\) no vértice. Metade da base mede \(x\):

\tan21{,}5^\circ=\dfrac{x}{10}\) \(\Leftrightarrow x=10\tan21{,}5^\circ

A_t=\dfrac{20\tan21{,}5^\circ\times10}{2}\) \(=100\tan21{,}5^\circ

A_{\text{jardim}}=\dfrac{5375\pi}{72}\) \({}-100\tan21{,}5^\circ\) \(\approx234{,}53-39{,}39\approx195

27.2 - Perímetro do jardim

Arco de raio \(25\) m, os dois lados retos (do arco até à parede) e a parte da parede:

\ell=\dfrac{43\pi}{180}\times25=\dfrac{215\pi}{36}

\cos21{,}5^\circ=\dfrac{10}{y}\) \(\Leftrightarrow y=\dfrac{10}{\cos21{,}5^\circ}

P=\dfrac{215\pi}{36}+20\tan21{,}5^\circ\) \({}+2\left(25-\dfrac{10}{\cos21{,}5^\circ}\right)\) \(\approx55{,}1

Como é preciso ter rede suficiente, arredonda-se por excesso.

27.1. \(\approx195\text{ m}^2\)
27.2. É preciso comprar, no mínimo, \(56\) m de rede.

28. Área do triângulo [OQR]

Na figura estão representados, em referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência de centro na origem e raio \(2\), e o triângulo \([OQR]\).

Circunferência de raio 2 com o triângulo OQR, Q no segundo quadrante e ângulo POQ de cinco sétimos de pi

Os pontos \(R\) e \(P\) são, respetivamente, os pontos de interseção da circunferência com o semieixo negativo \(Ox\) e com o semieixo positivo \(Ox\), e o ponto \(Q\) pertence à circunferência de tal forma que \(P\hat OQ=\dfrac{5\pi}{7}\) rad.

Qual é o valor, arredondado às centésimas, da área do triângulo \([OQR]\)?

(A) \(1{,}56\)(B) \(1{,}68\)(C) \(1{,}84\)(D) \(1{,}96\)

Tomando \([OR]\) como base (\(\overline{OR}=2\)), a altura é a ordenada de \(Q\). Como \(R\hat OQ=\pi-\frac{5\pi}{7}=\frac{2\pi}{7}\):

\dfrac h2=\sin\dfrac{2\pi}{7}\) \(\Leftrightarrow h=2\sin\dfrac{2\pi}{7}

A=\dfrac{2\times2\sin\frac{2\pi}{7}}{2}\) \(=2\sin\dfrac{2\pi}{7}\) \(\approx1{,}56

Opção (A).

29. Retângulo inscrito num triângulo isósceles

Na figura:

Triângulo isósceles ABC com o retângulo DEFG inscrito e ângulo de pi sobre seis em B

o triângulo \([ABC]\) é isósceles \(\left(\overline{AB}=\overline{AC}\right)\);
\([DEFG]\) é um retângulo cujos vértices pertencem a lados do triângulo \([ABC]\);
\(\overline{DG}=2\) e \(\overline{DE}=4\);
\(D\hat BG=\dfrac{\pi}{6}\) rad.

Determine a medida da altura do triângulo \([ABC]\), em relação a \([BC]\).

O triângulo [ADE]

Como \([DE]\) é paralelo a \([BC]\), \(A\hat DE=D\hat BG=\frac{\pi}{6}\). O triângulo \([ADE]\) é isósceles e a sua altura \(x\), relativa a \([DE]\), divide \([DE]\) em dois segmentos de \(2\):

\dfrac{x}{2}=\tan\dfrac{\pi}{6}\) \(\Leftrightarrow x=2\times\dfrac{\sqrt3}{3}\) \(=\dfrac{2\sqrt3}{3}

Altura do triângulo [ABC]

h=\overline{DG}+x=2+\dfrac{2\sqrt3}{3}

A altura é \(2+\dfrac{2\sqrt3}{3}\).

30. Razão entre as áreas de dois segmentos circulares

Na figura está representada uma circunferência de centro \(O\) e raio \(r\). A corda \([AB]\) divide a circunferência em dois arcos de circunferência de comprimentos \(C_1\) e \(C_2\), de modo que \(\dfrac{C_1}{C_2}=\dfrac12\).

Circunferência dividida pela corda AB em duas regiões de áreas S1 e S2

Sendo \(S_1\) e \(S_2\) as áreas das regiões assinaladas na figura, determine \(\dfrac{S_1}{S_2}\).

Amplitude do arco menor

C_2=2C_1\) \(\text{ e }\ C_1+C_2=2\pi r\) \(\Rightarrow3C_1=2\pi r\) \(\Rightarrow C_1=\dfrac{2\pi}{3}r\) \(\Rightarrow\ A\hat OB=\dfrac{2\pi}{3}

Triângulo [AOB]

Seja \(M\) o ponto médio de \([AB]\); \(A\hat OM=\frac{\pi}{3}\), logo \(\overline{OM}=r\cos\frac{\pi}{3}=\frac r2\) e \(\overline{AM}=r\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}r\).

A_{[AOB]}=\overline{AM}\times\overline{OM}\) \(=\dfrac{\sqrt3}{4}r^2

Áreas S₁ e S₂

S_1=A_{\text{setor}}-A_{[AOB]}\) \(=\dfrac{\frac{2\pi}{3}r^2}{2}-\dfrac{\sqrt3}{4}r^2\) \(=r^2\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt3}{4}\right)

S_2=\pi r^2-S_1\) \(=r^2\left(\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\sqrt3}{4}\right)

\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4}}{\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{4}}\) \(=\dfrac{4\pi-3\sqrt3}{8\pi+3\sqrt3}\) \(\approx0{,}24

\(\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{4\pi-3\sqrt3}{8\pi+3\sqrt3}\)

Atenção ao sinal do denominador: \(S_2=\pi r^2-S_1\) e \(S_1\) tem a parcela \(-\frac{\sqrt3}{4}r^2\), por isso fica \(8\pi+3\sqrt3\) (e não \(8\pi-3\sqrt3\)).