Radianos e Graus | Matemática A

1. De graus para radianos

1

Converta para radianos:

1.1. \(120^\circ\)	1.2. \(135^\circ\)	1.3. \(150^\circ\)
1.4. \(200^\circ\)	1.5. \(-70^\circ\)	1.6. \(-4500^\circ\)

Regra de conversão

Multiplica-se a amplitude em graus por \(\dfrac{\pi}{180}\).

1.1

120^\circ\times\dfrac{\pi}{180^\circ}=\dfrac{2\pi}{3}\text{ rad}

1.2

135^\circ\times\dfrac{\pi}{180^\circ}=\dfrac{3\pi}{4}\text{ rad}

1.3

150^\circ\times\dfrac{\pi}{180^\circ}=\dfrac{5\pi}{6}\text{ rad}

1.4

200^\circ\times\dfrac{\pi}{180^\circ}=\dfrac{10\pi}{9}\text{ rad}

1.5

-70^\circ\times\dfrac{\pi}{180^\circ}=-\dfrac{7\pi}{18}\text{ rad}

1.6

-4500^\circ\times\dfrac{\pi}{180^\circ}=-25\pi\text{ rad}

Se se pretender uma amplitude reduzida equivalente:

-4500^\circ=-180^\circ-12\times360^\circ\Rightarrow -25\pi=-\pi-12\times2\pi

\(120^\circ=\dfrac{2\pi}{3}\), \(135^\circ=\dfrac{3\pi}{4}\), \(150^\circ=\dfrac{5\pi}{6}\), \(200^\circ=\dfrac{10\pi}{9}\), \(-70^\circ=-\dfrac{7\pi}{18}\) e \(-4500^\circ=-25\pi\) rad (amplitude reduzida: \(-\pi\) rad).

2. De radianos para graus

2

Converta para graus:

2.1. \(\dfrac{2\pi}{3}\text{ rad}\)	2.2. \(-\dfrac{5\pi}{3}\text{ rad}\)	2.3. \(\dfrac{7\pi}{6}\text{ rad}\)
2.4. \(\dfrac{3\pi}{4}\text{ rad}\)	2.5. \(-\dfrac{5\pi}{4}\text{ rad}\)	2.6. \(1\text{ rad}\), às décimas do grau

Regra de conversão

Multiplica-se a amplitude em radianos por \(\dfrac{180^\circ}{\pi}\).

2.1

\dfrac{2\pi}{3}\times\dfrac{180^\circ}{\pi}=120^\circ

2.2

-\dfrac{5\pi}{3}\times\dfrac{180^\circ}{\pi}=-300^\circ

2.3

\dfrac{7\pi}{6}\times\dfrac{180^\circ}{\pi}=210^\circ

2.4

\dfrac{3\pi}{4}\times\dfrac{180^\circ}{\pi}=135^\circ

2.5

-\dfrac{5\pi}{4}\times\dfrac{180^\circ}{\pi}=-225^\circ

2.6

1\text{ rad}=\dfrac{180^\circ}{\pi}\approx57{,}3^\circ

\(120^\circ\), \(-300^\circ\), \(210^\circ\), \(135^\circ\), \(-225^\circ\) e \(57{,}3^\circ\), respetivamente.

3. Ângulos em polígonos

3

Exprima a amplitude, em radianos, de todos os ângulos assinalados nas figuras.

Trapézio retângulo com ângulos assinalados — 3.1. Trapézio retângulo

Paralelogramo com ângulos assinalados — 3.2. Paralelogramo

Losango com ângulos assinalados — 3.3. Losango

3.1 - Trapézio retângulo

Os dois ângulos retos medem \(90^\circ\). O ângulo indicado mede \(45^\circ\) e o ângulo \(a\) completa a soma dos ângulos internos do quadrilátero.

a=360^\circ-90^\circ-90^\circ-45^\circ=135^\circ

45^\circ=\dfrac{\pi}{4},\quad90^\circ=\dfrac{\pi}{2},\quad135^\circ=\dfrac{3\pi}{4}

3.2 - Paralelogramo

Ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares.

b=30^\circ=\dfrac{\pi}{6},\qquad a=180^\circ-30^\circ=150^\circ=\dfrac{5\pi}{6}

3.3 - Losango

A diagonal do losango bissecta o ângulo do vértice. Assim, \(b=30^\circ\), e o ângulo consecutivo é suplementar de \(60^\circ\).

b=30^\circ=\dfrac{\pi}{6},\qquad a=180^\circ-60^\circ=120^\circ=\dfrac{2\pi}{3}

3.1: \(\dfrac{\pi}{4}\), \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{\pi}{2}\) e \(\dfrac{3\pi}{4}\); 3.2: \(a=\dfrac{5\pi}{6}\), \(b=\dfrac{\pi}{6}\); 3.3: \(a=\dfrac{2\pi}{3}\), \(b=\dfrac{\pi}{6}\).

4. Comprimento de arco

4

Numa circunferência, um ângulo ao centro com \(3\) radianos de amplitude determina um arco com \(4{,}5\) cm de comprimento. Qual é o raio da circunferência?

Aplicar a fórmula do comprimento do arco

Se \(\alpha\) está em radianos, o comprimento do arco é \(s=r\alpha\).

4{,}5=3r\Rightarrow r=\dfrac{4{,}5}{3}=1{,}5

O raio da circunferência é \(1{,}5\) cm.

5. Decágono regular

5

Na figura está representado um decágono regular inscrito numa circunferência de centro \(O\) e raio \(4\) cm.

Decágono regular ABCDEFGHIJ com centro O e triângulo IBF

5.1. Determine a semirreta extremidade do ângulo cujo lado origem é \(\overrightarrow{OC}\) e cuja amplitude é:

5.1.1. \(-\dfrac{\pi}{5}\)	5.1.2. \(\dfrac{6\pi}{5}\)	5.1.3. \(\dfrac{212\pi}{5}\)
5.1.4. \(-\dfrac{371\pi}{5}\)	5.1.5. \(2952^\circ\)	5.1.6. \(-1008^\circ\)

5.2. Determine a amplitude, em radianos, dos ângulos internos do triângulo \([IBF]\).

5.3. Determine o perímetro do triângulo \([IBF]\), com aproximação às décimas.

Amplitude de cada arco

O decágono divide a circunferência em dez arcos iguais.

\dfrac{2\pi}{10}=\dfrac{\pi}{5}=36^\circ

5.1 - Semirretas extremidade

-\dfrac{\pi}{5}\longrightarrow\overrightarrow{OB}\qquad \dfrac{6\pi}{5}\longrightarrow\overrightarrow{OI}

\dfrac{212\pi}{5}=42(2\pi)+\dfrac{2\pi}{5} \longrightarrow\overrightarrow{OE}

-\dfrac{371\pi}{5}=-38(2\pi)+\dfrac{9\pi}{5} \longrightarrow\overrightarrow{OB}

2952^\circ=8(360^\circ)+72^\circ \longrightarrow\overrightarrow{OE}

-1008^\circ=-3(360^\circ)+72^\circ \longrightarrow\overrightarrow{OE}

Em \(-1008^\circ\), a amplitude coterminal entre \(0^\circ\) e \(360^\circ\) é \(72^\circ\). Por isso, a semirreta extremidade correta é \(\overrightarrow{OE}\).

5.2 - Ângulos do triângulo IBF

O arco \(\widehat{BF}\) ocupa quatro lados do decágono, logo mede \(\dfrac{4\pi}{5}\). O ângulo inscrito \(\widehat{BIF}\) mede metade.

\widehat{BIF}=\dfrac12\times\dfrac{4\pi}{5}=\dfrac{2\pi}{5}

Como os arcos \(\widehat{IB}\) e \(\widehat{IF}\) têm ambos três divisões, \(IB=IF\). O triângulo é isósceles.

\widehat{IBF}=\widehat{IFB} =\dfrac{\pi-\frac{2\pi}{5}}{2} =\dfrac{3\pi}{10}

5.3 - Perímetro

Uma corda que subtende um ângulo ao centro \(\theta\), numa circunferência de raio \(4\), mede \(8\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\).

BF=8\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\approx7{,}608\text{ cm}

IB=IF=8\sin\left(\dfrac{3\pi}{10}\right)\approx6{,}472\text{ cm}

P=IB+IF+BF\approx2(6{,}472)+7{,}608=20{,}552\text{ cm}

5.1: \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OI}\), \(\overrightarrow{OE}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OE}\), \(\overrightarrow{OE}\).
5.2: \(\dfrac{2\pi}{5}\), \(\dfrac{3\pi}{10}\) e \(\dfrac{3\pi}{10}\).
5.3: o perímetro é aproximadamente \(20{,}6\) cm.

6. Setor de uma coroa circular

6

Na figura estão representadas duas circunferências de centro \(O\) e raios \(2\) e \(6\). Os pontos \(P\) e \(Q\) pertencem à circunferência de raio \(2\), e \(R\) e \(S\) à circunferência de raio \(6\).

O ponto \(R\) pertence à semirreta \(\overrightarrow{OP}\), o ponto \(S\) pertence à semirreta \(\overrightarrow{OQ}\), e o ângulo \(POQ\) tem amplitude \(1{,}5\) radianos.

Setor de uma coroa circular com raios 2 e 6 e ângulo de 1,5 radianos

Calcule o perímetro e a área da região colorida.

Perímetro

O contorno é formado por dois segmentos de comprimento \(6-2\), pelo arco interior de raio \(2\) e pelo arco exterior de raio \(6\).

\(P=(6-2)+(6-2)+2(1{,}5)+6(1{,}5)\)

\(P=4+4+3+9=20\)

Área

Subtrai-se ao setor de raio \(6\) o setor de raio \(2\). Para um ângulo \(\alpha\) em radianos, \(A_{\text{setor}}=\dfrac{\alpha r^2}{2}\).

A=\dfrac{1{,}5\times6^2}{2}-\dfrac{1{,}5\times2^2}{2} =27-3=24

O perímetro é \(20\) unidades e a área é \(24\) unidades quadradas.

7. Roda-gigante

7

A figura representa uma roda-gigante com \(8\) m de raio. A circunferência está dividida em \(16\) arcos iguais e roda no sentido positivo. O Pedro parte do ponto \(P\), dá no máximo uma volta completa e para num dos pontos assinalados.

Fotografia e esquema de uma roda-gigante dividida em 16 arcos iguais

7.1. Se o Pedro descrever um arco com \(12\pi\) m de comprimento, qual é a amplitude desse arco, em radianos?

7.2. Admita que a amplitude do arco é \(135^\circ\). Determine o comprimento do arco e a amplitude em radianos.

7.3. Indique o ponto onde o Pedro irá parar se descrever um arco com amplitude \(45^\circ\), \(\dfrac{5\pi}{8}\) rad ou \(\dfrac{5\pi}{4}\) rad.

7.4. Admita que o Pedro parou no ponto \(P_{11}\). Determine a amplitude do arco descrito, em radianos, e a amplitude que falta para completar uma volta, em graus.

7.5. O arco descrito tem amplitude superior a \(200^\circ\) e inferior a \(\dfrac{7\pi}{6}\) rad. Indique a sua amplitude em graus e em radianos.

Divisão da circunferência

\dfrac{360^\circ}{16}=22{,}5^\circ \qquad\text{e}\qquad \dfrac{2\pi}{16}=\dfrac{\pi}{8}\text{ rad}

7.1

Usando \(s=r\alpha\):

12\pi=8\alpha\Rightarrow\alpha=\dfrac{12\pi}{8}=\dfrac{3\pi}{2}\text{ rad}

7.2

135^\circ\times\dfrac{\pi}{180^\circ}=\dfrac{3\pi}{4}\text{ rad}

s=r\alpha=8\times\dfrac{3\pi}{4}=6\pi\text{ m}

7.3

45^\circ=2(22{,}5^\circ)\longrightarrow P_2

\dfrac{5\pi}{8}=5\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\longrightarrow P_5 \qquad \dfrac{5\pi}{4}=10\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\longrightarrow P_{10}

7.4

P_{11}\longrightarrow11\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{11\pi}{8}\text{ rad}

11(22{,}5^\circ)=247{,}5^\circ,\qquad 360^\circ-247{,}5^\circ=112{,}5^\circ

7.5

Primeiro, converte-se o limite superior:

\dfrac{7\pi}{6}\text{ rad}=210^\circ

Entre \(200^\circ\) e \(210^\circ\), a única amplitude que corresponde a um múltiplo de \(22{,}5^\circ\) é \(202{,}5^\circ\).

202{,}5^\circ=9(22{,}5^\circ)=9\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{9\pi}{8}\text{ rad}

7.1: \(\dfrac{3\pi}{2}\) rad.
7.2: \(6\pi\) m e \(\dfrac{3\pi}{4}\) rad.
7.3: \(P_2\), \(P_5\) e \(P_{10}\).
7.4: \(\dfrac{11\pi}{8}\) rad e \(112{,}5^\circ\).
7.5: \(202{,}5^\circ=\dfrac{9\pi}{8}\) rad.

8. Círculo trigonométrico

8

Num referencial o.n. \(Oxy\), estão representados o círculo trigonométrico e a reta de equação \(x=1\).

\(\overrightarrow{OA}\) é o lado extremidade do ângulo de amplitude \(\dfrac{7\pi}{3}\);
\(\overrightarrow{OC}\) é o lado extremidade do ângulo de amplitude \(\dfrac{41\pi}{6}\).

Círculo trigonométrico com os pontos A, B, C e D e a reta x igual a 1

8.1. Determine \(\alpha\) e \(k\), com \(0\leq\alpha\leq2\pi\) e \(k\in\mathbb{N}_0\), de modo que:

8.1.1. \(\dfrac{7\pi}{3}=\alpha+2k\pi\)

8.1.2. \(\dfrac{41\pi}{6}=\alpha+2k\pi\)

8.2. Determine as coordenadas dos pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\).

8.1.1

\dfrac{7\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{6\pi}{3} =\dfrac{\pi}{3}+2\pi

\(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\) e \(k=1\).

8.1.2

\dfrac{41\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{36\pi}{6} =\dfrac{5\pi}{6}+3(2\pi)

\(\alpha=\dfrac{5\pi}{6}\) e \(k=3\).

8.2 - Pontos A e C

Num círculo trigonométrico, o ponto do lado extremidade de \(\alpha\) tem coordenadas \((\cos\alpha,\sin\alpha)\).

A=\left(\cos\dfrac{\pi}{3},\sin\dfrac{\pi}{3}\right) =\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)

C=\left(\cos\dfrac{5\pi}{6},\sin\dfrac{5\pi}{6}\right) =\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12\right)

8.2 - Pontos B e D

Na reta tangente \(x=1\), a ordenada da interseção com a reta que forma um ângulo \(\alpha\) é \(\tan\alpha\).

B=\left(1,\tan\dfrac{\pi}{3}\right)=(1,\sqrt3)

D=\left(1,\tan\dfrac{5\pi}{6}\right) =\left(1,-\dfrac{\sqrt3}{3}\right)

\(A\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\), \(B(1,\sqrt3)\), \(C\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12\right)\) e \(D\left(1,-\dfrac{\sqrt3}{3}\right)\).