Funções Trigonométricas 2

Determine o período fundamental e a frequência de cada uma das seguintes funções.

Considere uma função, \(f\), definida, em \(\mathbb{R}\), por \(f(x)=b\sin x\), em que \(b\in\mathbb{R}^+\).

Qual é o contradomínio da função \(f\)?

Considere uma função, \(f\), definida, em \(\mathbb{R}\), por \(f(x)=a+\sin x\), em que \(a\in\mathbb{R}\).

Para qual dos seguintes valores de \(a\) a função não tem zeros?

Considere uma função, \(f\), definida, em \(\mathbb{R}\), por \(f(x)=b\cos x\), em que \(b\) é um número real não nulo. Sabe-se que \(f(\pi)=-5\pi\).

Qual é o valor de \(b\)?

O gráfico de uma função, \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), é uma sinusoide de amplitude \(8\).

Qual das expressões seguintes pode definir a função \(f\)?

O gráfico de uma função, \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), é uma sinusoide de frequência \(2\).

Qual das expressões seguintes pode definir a função \(g\)?

Considere as funções \(f\) e \(g\) definidas, respetivamente, por \(f(x)=1+\sin x\) e \(g(x)=-1+\cos x\).

Recorra ao círculo trigonométrico e indique o contradomínio e os extremos da:

7.1. função \(f\), sabendo que \(D_f=\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right]\);

7.2. função \(g\), sabendo que \(D_g=\left[\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{4\pi}{3}\right]\).

Considere a função \(f\) definida, em \(\mathbb{R}\), por \(f(x)=4+3\cos(2x)\).

8.1. Determine o contradomínio da função \(f\).

8.2. Qual é o período positivo mínimo da função \(f\)?

8.3. Em quantos pontos o gráfico de \(f\) interseta a reta de equação \(y=3\), no intervalo \([0,2\pi]\)?

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), tal que \(f(x)=2-4\sin\left(\dfrac{x}{3}\right)\).

9.1. Mostre que \(D'_f=[-2,6]\).

9.2. Determine a expressão geral dos maximizantes e dos minimizantes da função \(f\).

9.3. Mostre que \(6\pi\) é período da função \(f\).

9.4. Mostre que \(f(-a)-f(a+6\pi)\) \(=8\sin\left(\dfrac{a}{3}\right),\ \forall a\in\mathbb{R}\).

Considere a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), tal que \(g(x)=10+2\cos(4x)\).

10.1. Determine o contradomínio da função \(g\).

10.2. Determine a expressão geral dos objetos cuja imagem é \(12\).

10.3. Justifique que a função \(g\) não tem zeros.

10.4. Mostre que \(\dfrac{\pi}{2}\) é período da função \(g\).

10.5. Explique como pode obter o gráfico da função \(g\) a partir do gráfico da função cosseno.

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=\dfrac12-2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)\).

11.1. Determine o período positivo mínimo da função.

11.2. Calcule o valor exato de \(f(2)\) e \(f(12)\).

11.3. Sabendo que \(f(a)=1\), indique o valor de \(f(-a)\) e \(f(a+16)\).

Considere a função \(g\) definida, em \(\mathbb{R}\), por \(g(x)=5+3\cos\left(2\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)\).

12.1. Mostre que \(g(x)=5+3\sin(2x)\).

12.2. Estude a função \(g\) quanto ao sinal.

12.3. Para determinados números reais \(a\) e \(b\), o ponto de coordenadas \((a,b)\) pertence ao gráfico de \(g\). Quais das seguintes são as coordenadas de um ponto que pertence, necessariamente, ao gráfico da função \(g\)?

Considere a família de funções \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), tais que \(f(x)=a+b\cos\big(c(x-d)\big)\), sendo \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\) números reais, com \(b\) e \(c\) não nulos.

Dê um exemplo da expressão algébrica de uma função \(f\), da família, que satisfaça as seguintes condições:

• é uma função periódica, sendo o período positivo mínimo igual a \(\dfrac{\pi}{4}\);
• o contradomínio da função \(f\) é \([-4,0]\).

Na figura, está representada, em referencial cartesiano, uma função definida por uma expressão da forma \(g(x)=a+b\sin(x)\), com \(a,b\ne0\).

Determine os valores de \(a\) e \(b\).

Na figura, está representada, em referencial cartesiano, uma função definida por uma expressão da forma \(h(x)=a+b\cos(cx)\), com \(a,c\gt0\) e \(b\ne0\).

Determine os valores de \(a\), \(b\) e \(c\).

Na figura está representada parte do gráfico de uma função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\).

Identifique qual das opções pode corresponder à função \(f\).

Na figura está representada parte do gráfico de uma função \(f\) de domínio \(\mathbb{R}\).

Uma das opções corresponde à expressão algébrica da função \(f\). Identifique-a.

Na figura, está representado o gráfico cartesiano da função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=a\cos(cx)\).

Qual das opções seguintes é verdadeira?

Na figura está parte da representação gráfica da função \(f\) definida por \(f(x)=\sin x\).

Atendendo à informação dada na figura, determine as coordenadas dos pontos \(A\) e \(B\) que pertencem ao gráfico.

Seja \(g\) a função de domínio \([0,2\pi]\) definida por \(g(x)=\cos x\).

Sabendo que \(g(a)=\dfrac25\), com \(a\in\left]\pi,2\pi\right[\), determine o valor exato de \(\sin a\) e \(\tan a\).

Na figura está representada a função \(f\) definida por \(f(x)=\tan x\), com \(x\in[-\pi,\pi]\setminus\left\{-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right\}\).

21.1. Indique os zeros da função.

21.2. Determine as abcissas dos pontos \(A\) e \(B\), sabendo que têm ordenada igual a \(\dfrac{\sqrt3}{3}\).

21.3. Determine as abcissas dos pontos \(C\) e \(D\), sabendo que têm ordenada igual a \(-1\).

Considere a função \(f\) definida por \(f(x)=\dfrac12\tan\left(\dfrac{\pi}{6}-2x\right)\).

22.1. Determine o domínio de \(f\).

22.2. Determine a frequência da função \(f\).

22.3. Determine uma expressão geral dos zeros de \(f\).

Considere a função \(f\) definida por \(f(x)=1-\tan\left(\dfrac{2x+\pi}{3}\right)\). Determine:

23.1. o domínio e o contradomínio de \(f\);

23.2. os objetos cuja imagem por \(f\) é \(1\);

23.3. a frequência da função \(f\).

Considere a função \(f\) definida, em \(\left]-\infty,\dfrac{\pi}{2}\right]\), por:

24.1. Construa um quadro de monotonia da função \(f\) no intervalo \(\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\).

24.2. Determine o contradomínio da função \(f\).

Na figura, está representado, em referencial o.n. \(Oxy\), o gráfico de uma função, \(f\), definida, em \(\left[-\pi,\dfrac{5\pi}{2}\right]\), pela expressão \(f(x)=1-2\sin(x+k)\), com \(k\in\left[-\dfrac{\pi}{2},0\right[\).

Como a figura ilustra:

• as abcissas dos pontos \(A\) e \(B\) são zeros da função \(f\);
• a ordenada do ponto \(C\) é o valor máximo da função \(f\).

25.1. Determine a área do triângulo \([ABC]\).

25.2. Determine as coordenadas do ponto \(D\).

Na figura estão representados um triângulo \([ABC]\) e os gráficos das funções \(f\) e \(g\) definidas, em \(\mathbb{R}\), por \(f(x)=2+\sin x\) e \(g(x)=1+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\), respetivamente.

Sabe-se que:

• os pontos \(A\) e \(B\) têm abcissa igual a \(\dfrac{5\pi}{6}\);
• no ponto \(C\), a função \(f\) admite um máximo.

Determine o valor exato da medida da área do triângulo \([ABC]\).

Na figura estão representados o círculo trigonométrico e o triângulo \([OQP]\). O ponto \(P\) desloca-se sobre a circunferência, no sentido positivo, do ponto \(A\) até \(B\), não coincidindo com \(A\) nem com \(B\).

Para cada posição do ponto \(P\), tem-se:

• o triângulo isósceles \([OPQ]\), sendo \(\overline{OP}=\overline{PQ}\);
• o ponto \(Q\) pertencente ao eixo \(Ox\);
• a amplitude, em radianos, do ângulo \(AOP\), \(\alpha\), em que \(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\).

27.1. Determine, em função de \(\alpha\), as coordenadas do ponto \(Q\).

27.2. Determine a medida da área do triângulo \([OPQ]\), no caso de o triângulo ser equilátero.

27.3. Seja \(f\) a função que, a cada valor de \(\alpha\), faz corresponder a medida da área do triângulo \([OPQ]\). Mostre que \(f(\alpha)=\sin\alpha\times\cos\alpha\).

Na figura está representada parte da função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=3-\sqrt2\cos(2x)\).

O ponto \(A\) pertence ao gráfico de \(g\), tem ordenada \(2\) e a abcissa pertence ao intervalo \(\left]\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right[\).

Qual é o valor da abcissa do ponto \(A\), com arredondamento às centésimas?

Na figura estão representados um triângulo \([PQR]\) e parte do gráfico de uma função \(f\) definida, em \(\mathbb{R}\), por \(f(x)=1+3\sin x\).

Sabe-se que:

• os pontos \(R\) e \(Q\) pertencem ao gráfico de \(f\) e têm ordenada \(3{,}5\) e abcissas pertencentes ao intervalo \(\left]\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{7\pi}{2}\right[\);
• a função \(f\) admite um mínimo no ponto \(P\).

29.1. Determine o contradomínio da função \(f\).

29.2. Recorra às capacidades gráficas da calculadora e determine a medida da área do triângulo \([PQR]\). Na resolução deve apresentar:

• as abcissas de \(R\) e de \(Q\), arredondadas às milésimas;
• \(\overline{QR}\), arredondada às centésimas;
• a altura do triângulo \([PQR]\) em relação à base \([QR]\);
• a medida da área do triângulo \([PQR]\), arredondada às décimas.

29.1

\(-1\le\sin x\le1\)

\(\Leftrightarrow-3\le3\sin x\le3\)

\(\Leftrightarrow-2\le1+3\sin x\le4\)

29.2 - Abcissas de R e de Q

Na calculadora: \(y_1=1+3\sin x\) e \(y_2=3{,}5\), procurando as interseções no intervalo \(\left]\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{2}\right[\).

\(x_R\approx7{,}268\) e \(x_Q\approx8{,}440\).

29.2 - Base e altura

\(\overline{QR}\approx8{,}440-7{,}268\)

\(=1{,}172\approx1{,}17\)

O mínimo de \(f\) é \(-2\), logo a altura relativa à base \([QR]\) é \(3{,}5-(-2)=5{,}5\).

29.2 - Área

\(A_{[PQR]}\approx\dfrac{1{,}17\times5{,}5}{2}\approx3{,}2\)

29.1. \(D'_f=[-2,4]\)
29.2. \(A_{[PQR]}\approx3{,}2\)

Confirmação analítica: \(\sin x=\frac56\) dá \(x_R=2\pi+\arcsin\frac56\approx7{,}268\) e \(x_Q=3\pi-\arcsin\frac56\approx8{,}440\).

Na figura, estão representados, no mesmo referencial, os gráficos das funções \(f\) e \(g\), definidas por \(f(x)=2\sin x\) e \(g(x)=2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\) no intervalo \([0,4\pi]\).

Em \([0,4\pi]\), os gráficos de \(f\) e \(g\) intersetam-se nos pontos \(A\) e \(B\) e nos pontos de abcissas \(0\), \(2\pi\) e \(4\pi\).

Utilizando as capacidades gráficas da sua calculadora, resolva a inequação \(f(x)\gt g(x)\).

Na sua resposta, apresente, num referencial, os gráficos das funções \(f\) e \(g\), e indique as abcissas dos pontos \(A\) e \(B\) com arredondamento às décimas.

1.º passo - Gráficos na calculadora

\(y_1=2\sin x\) e \(y_2=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\), com \(x\in[0,4\pi]\):

\(A(2{,}1;\ 1{,}7)\) e \(B(10{,}5;\ -1{,}7)\), aproximadamente.

2.º passo - Onde o gráfico de \(f\) está acima do de \(g\)

O gráfico de \(f\) está acima do de \(g\) entre \(0\) e \(A\) e entre \(2\pi\) e \(B\).

\(S=\left]0;\ 2{,}1\right[\cup\left]2\pi;\ 10{,}5\right[\)

Confirmação analítica: \(2\sin x=2\sin\frac{x}{2}\Leftrightarrow\sin\frac{x}{2}\left(2\cos\frac{x}{2}-1\right)=0\), o que dá as abcissas \(0\), \(2\pi\), \(4\pi\), \(\frac{2\pi}{3}\approx2{,}1\) e \(\frac{10\pi}{3}\approx10{,}5\).

Seja \(f\) a função, de domínio \([0,2\pi]\), definida por \(f(x)=2\cos^2x+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\).

No domínio indicado, determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, um valor arredondado às décimas da área do triângulo \([OAB]\), em que \(O\) é a origem do referencial e \(A\) e \(B\) são os pontos de interseção do gráfico da função \(f\) com a reta de equação \(y=2\).

Nas coordenadas dos vértices em que é necessário fazer arredondamentos, utilize duas casas decimais.

1.º passo - Interseções com \(y=2\)

Na calculadora: \(y_1=2\cos^2x+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) e \(y_2=2\), com \(x\in[0,2\pi]\):

\(A(0{,}67;\ 2)\) e \(B(5{,}61;\ 2)\).

2.º passo - Área

A base \([AB]\) está sobre a reta \(y=2\) e mede \(5{,}61-0{,}67=4{,}94\); a altura relativa a essa base é a distância de \(O\) à reta \(y=2\), ou seja, \(2\):

\(A_{[OAB]}\approx\dfrac{4{,}94\times2}{2}\) \(=4{,}94\approx4{,}9\)

\(A_{[OAB]}\approx4{,}9\) u.a.

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=\dfrac{x}{2}-2\sin x\).

O gráfico da função \(f\) contém dois pontos, de abcissas pertencentes ao intervalo \(\left]-\pi,\pi\right[\), para os quais a ordenada é o quadrado da abcissa. Um deles é a origem do referencial.

Utilizando as capacidades gráficas da calculadora, determine as coordenadas, arredondadas às centésimas, do outro ponto nestas condições.

Na sua resposta:

• apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
• reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação e apresente as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s) arredondadas às centésimas.

1.º passo - Equação

\(f(x)=x^2\) \(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2}-2\sin x=x^2\)

com \(x\in\left]-\pi,\pi\right[\).

2.º passo - Gráficos na calculadora

\(y_1=\frac{x}{2}-2\sin x\) e \(y_2=x^2\), com \(x\in\left]-\pi,\pi\right[\):

Os gráficos intersetam-se na origem e no ponto de coordenadas aproximadas \((-1{,}11;\ 1{,}24)\).

\((-1{,}11;\ 1{,}24)\)

Seja \(f\) a função, de domínio \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\pi\right]\), definida por \(f(x)\) \(=5-2\sin x\). Seja \(r\) a reta de equação \(y=6\).

Recorrendo à calculadora gráfica, determine a distância entre os pontos \(A\) e \(B\), sabendo que:

• \(A\) é o ponto de interseção do gráfico de \(f\) com a reta \(r\);
• \(B\) é o ponto do gráfico de \(f\) de ordenada mínima.

Na sua resposta, deve:

• reproduzir, num referencial, o gráfico da função e a reta de equação \(y=6\);
• indicar as abcissas dos pontos \(A\) e \(B\) com arredondamento às centésimas;
• determinar o valor pedido, arredondado às décimas.

1.º passo - Gráfico na calculadora

\(y_1=5-2\sin x\) e \(y_2=6\), com \(x\in\left[-\frac{\pi}{2},\pi\right]\):

\(A(-0{,}52;\ 6)\) e \(B(1{,}57;\ 3)\) (o mínimo da função é \(3\)).

2.º passo - Distância

\(\overline{AB}=\sqrt{(1{,}57+0{,}52)^2+(3-6)^2}\)

\(=\sqrt{2{,}09^2+9}\approx3{,}7\)

\(\overline{AB}\approx3{,}7\)