Funções Trigonométricas 2

• Para \(y=\) \(\sin(cx+d)\) e \(y=\) \(\cos(cx+d)\): período fundamental \(P_0=\) \(\dfrac{2\pi}{|c|}\).
• Para \(y=\) \(\tan(cx+d)\): \(P_0=\) \(\dfrac{\pi}{|c|}\) (a tangente repete-se ao fim de meia volta).
• A frequência é o inverso do período: \(\dfrac{1}{P_0}\) (quantas oscilações cabem numa unidade).

Aqui \(c=\) \(-2\) e \(|c|=\) \(2\):

Aqui \(c=\) \(4\); o \(-\frac{\pi}{5}\) não interessa para o período:

\(\frac{x}{3}=\) \(\frac13x\), logo \(c=\) \(\frac13\). É uma tangente, por isso usa-se \(\pi\):

Como \(a\) é negativo, \(|a|=\) \(-a\) (por exemplo, se \(a=\) \(-2\), então \(|a|=\) \(2=\) \(-a\)).

O seno toma todos os valores entre \(-1\) e \(1\):

Como \(b\gt\) \(0\), o sentido das desigualdades mantém-se:

Os dois extremos são atingidos: \(-b\) em \(x=\) \(\frac{3\pi}{2}\) e \(b\) em \(x=\) \(\frac{\pi}{2}\).

Esta equação só tem solução se \(-a\) estiver entre \(-1\) e \(1\).

• \(a=\) \(-1\): \(\sin x=\) \(1\), tem solução.
• \(a=\) \(0\): \(\sin x=\) \(0\), tem solução.
• \(a=\) \(1\): \(\sin x=\) \(-1\), tem solução.
• \(a=\) \(2\): \(\sin x=\) \(-2\), impossível. Não há zeros.

É metade da distância entre o máximo e o mínimo. Em \(y=\) \(a\)\({}+b\cos(\ldots)\), o máximo é \(a\)\({}+|b|\) e o mínimo é \(a\)\({}-|b|\), logo a amplitude é \(|b|\).

• (A) \(4\cos x\): amplitude \(4\).
• (B) \(4\)\({}+\cos x\): amplitude \(1\).
• (C) \(8\cos x\): amplitude \(8\).
• (D) \(8\)\({}+\cos x\): amplitude \(1\).

Frequência \(2\) quer dizer duas oscilações por unidade, por isso cada oscilação ocupa \(P=\) \(\frac12\).

Para \(y=\) \(\cos(cx)\):

A frequência é \(\frac{|c|}{2\pi}\): (A) \(\frac{\pi}{2\pi}=\) \(\frac12\); (B) \(\frac{4\pi}{2\pi}=\) \(2\); (C) \(\frac{2\pi}{2\pi}=\) \(1\); (D) \(\frac{8\pi}{2\pi}=\) \(4\).

Quando \(x\) vai de \(-\frac{\pi}{4}\) a \(\frac{\pi}{2}\), o ponto sobe do 4.º quadrante até ao topo, \((0,1)\). A sua ordenada (o seno) aumenta sempre, de \(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\) \(-\frac{\sqrt2}{2}\) até \(1\).

\(f\) é crescente em todo o domínio: o mínimo está no início e o máximo no fim.

• De \(\frac{5\pi}{6}\) até \(\pi\), o ponto vai para a esquerda: a abcissa (o cosseno) diminui de \(-\frac{\sqrt3}{2}\) até \(-1\).
• De \(\pi\) até \(\frac{4\pi}{3}\), o ponto volta para a direita: o cosseno aumenta de \(-1\) até \(-\frac12\).

\(-\frac{\sqrt3}{2}\approx\) \(-0{,}87\) e \(-\frac12=\) \(-0{,}5\). O maior é \(-\frac12\). Então:

• mínimo absoluto: \(-2\), em \(x=\) \(\pi\);
• máximo absoluto: \(-\frac32\), em \(x=\) \(\frac{4\pi}{3}\);
• há ainda um máximo relativo em \(x=\) \(\frac{5\pi}{6}\): \(g\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\) \(-1\)\({}-\frac{\sqrt3}{2}\).

O ângulo \(2x\) tem de aumentar \(2\pi\): \(2P=\) \(2\pi\), logo \(P=\) \(\pi\).

De \(0\) a \(4\pi\) são duas voltas completas.

Em cada volta, a reta vertical \(x=\) \(-\frac13\) corta a circunferência em dois pontos (um no 2.º e outro no 3.º quadrante): há duas soluções por volta. Em duas voltas: \(2\times2=\) \(4\).

Como \(x\) percorre \(\mathbb{R}\), também \(\frac{x}{3}\) percorre \(\mathbb{R}\) e o seno toma todos os valores de \(-1\) a \(1\):

Somar \(6\pi\) a \(x\) soma \(\frac{6\pi}{3}=\) \(2\pi\) ao ângulo, ou seja, uma volta:

Como \(6\pi\) é período, \(f(a+6\pi)=\) \(f(a)=\) \(2\)\({}-4\sin\frac{a}{3}\).

O seno é ímpar, \(\sin(-u)=\) \(-\sin u\):

O cosseno vale \(1\) em \(0\) e nas voltas completas. No fim, \(\frac{2k\pi}{4}=\) \(\frac{k\pi}{2}\).

Um zero seria um \(x\) com imagem \(0\). Mas todas as imagens estão entre \(8\) e \(12\): o gráfico está sempre acima do eixo \(Ox\).

• \(y=\) \(\cos x\ \longrightarrow\ y=\) \(\cos(4x)\): contração horizontal de coeficiente \(\frac14\) (as abcissas dividem-se por \(4\));
• \(y=\) \(\cos(4x)\ \longrightarrow\ y=\) \(2\cos(4x)\): dilatação vertical de coeficiente \(2\) (as ordenadas multiplicam-se por \(2\));
• \(y=\) \(2\cos(4x)\ \longrightarrow\ y=\) \(10\)\({}+2\cos(4x)\): translação de vetor \(\vec u(0,10)\) (o gráfico sobe \(10\)).

O coeficiente de \(x\) é \(\frac{\pi}{4}\). Dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso:

O ângulo é \(\frac{\pi}{4}\times2=\) \(\frac{\pi}{2}\):

O ângulo é \(\frac{\pi}{4}\times12=\) \(3\pi=\) \(\pi\)\({}+2\pi\), que tem o mesmo cosseno que \(\pi\):

O cosseno é par (\(\cos(-u)=\) \(\cos u\)), por isso \(f\) também é:

\(16=\) \(2\times8\) são dois períodos completos:

O cosseno é par, por isso podemos trocar o sinal do ângulo: \(\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=\) \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)\). E \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\) \(\sin\theta\):

A menor imagem é \(2\), que é positiva. Então todas as imagens são positivas: não há zeros nem valores negativos.

O período de \(g\) é \(\frac{2\pi}{2}=\) \(\pi\). Assim, \(g(a+\pi)=\) \(g(a)=\) \(b\): o ponto \((a+\pi,\ b)\) está sempre no gráfico.

\(g\left(a+\frac{\pi}{2}\right)=\) \(5\)\({}+3\sin(2a+\pi)=\) \(5\)\({}-3\sin(2a)\), que em geral é diferente de \(b\) (meio período não chega). E deslocar na horizontal não duplica a ordenada, por isso \(2b\) também não serve.

O período tem de ser \(\frac{\pi}{4}\):

Basta um exemplo, por isso escolhemos \(c=\) \(8\).

O contradomínio é \([a-|b|,\ a+|b|]=\) \([-4,0]\). Com \(b\gt\) \(0\):

Somando as duas equações: \(2a=\) \(-4\), logo \(a=\) \(-2\) e \(b=\) \(2\).

\(d\) só desloca o gráfico na horizontal: não muda o período nem o contradomínio. Escolhemos \(d=\) \(0\).

\(-2\)\({}+2\cos(8x)\) varia entre \(-2\)\({}-2=\) \(-4\) e \(-2\)\({}+2=\) \(0\) e tem período \(\frac{2\pi}{8}=\) \(\frac{\pi}{4}\).

Em \(x=\) \(0\), \(\sin0=\) \(0\) e a parcela com \(b\) desaparece: \(g(0)=\) \(a\). Pelo gráfico, \(g(0)=\) \(3\).

Pelo gráfico, há um máximo \(5\) em \(x=\) \(-\frac{\pi}{2}\):

\(g\left(\frac{\pi}{2}\right)=\) \(3\)\({}-2\sin\frac{\pi}{2}=\) \(3\)\({}-2=\) \(1\), que é o mínimo visível no gráfico.

Pelo gráfico, o máximo é \(5\) e o mínimo é \(-1\):

\(h(0)=\) \(a\)\({}+b\cos0=\) \(a\)\({}+b\). Pelo gráfico, \(h(0)=\) \(-1\) (é um mínimo):

Dois mínimos consecutivos estão em \(x=\) \(0\) e \(x=\) \(\pi\), logo o período é \(\pi\). Como \(c\gt\) \(0\):

\(h(x)=\) \(2\)\({}-3\cos(2x)\) e \(h\left(\frac{\pi}{2}\right)=\) \(2\)\({}-3\cos\pi=\) \(2\)\({}+3=\) \(5\), o máximo da figura.

\(f(0)=\) \(2\), \(f(2\pi)=\) \(2\), o mínimo é \(0\) e há duas oscilações completas entre \(0\) e \(2\pi\).

• (A) \(f(0)=\) \(1\)\({}+2\cos0=\) \(3\ne2\);
• (B) \(f(0)=\) \(2\)\({}+\cos0=\) \(3\ne2\);
• (D) \(f(2\pi)=\) \(1\)\({}+\cos\pi=\) \(0\ne2\).

(C): \(f(0)=\) \(1\)\({}+1=\) \(2\), \(f(2\pi)=\) \(1\)\({}+\cos(4\pi)=\) \(2\), o contradomínio é \([0,2]\) e o período é \(\frac{2\pi}{2}=\) \(\pi\) (duas oscilações entre \(0\) e \(2\pi\)), como na figura.

Máximo \(0\) em \(x=\) \(\pi\) e em \(x=\) \(5\pi\); mínimo \(-4\).

Valor médio \(\frac{0+(-4)}{2}=\) \(-2\) e amplitude \(\frac{0-(-4)}{2}=\) \(2\). A opção (B), com amplitude \(1\), fica excluída.

Os máximos consecutivos distam \(5\pi\)\({}-\pi=\) \(4\pi\). Para \(\sin(cx)\), \(c=\) \(\frac{2\pi}{4\pi}=\) \(\frac12\). A opção (A), com \(c=\) \(\frac25\), fica excluída.

Em \(x=\) \(\pi\), \(\sin\frac{\pi}{2}=\) \(1\). Para obter o máximo \(0\) é preciso \(-2\)\({}+2\times1=\) \(0\): sinal \(+\).

• (C): \(f(\pi)=\) \(-2\)\({}+2=\) \(0\) e \(f(5\pi)=\) \(-2\)\({}+2\sin\frac{5\pi}{2}=\) \(0\);
• (D): \(f(\pi)=\) \(-2\)\({}-2=\) \(-4\), que é o mínimo, e não o máximo.

Em \(x=\) \(0\), \(\cos(c\times0)=\) \(\cos0=\) \(1\), logo \(f(0)=\) \(a\). Pelo gráfico, \(f(0)=\) \(2\): \(a=\) \(2\).

Dois mínimos consecutivos estão em \(x=\) \(-2\pi\) e \(x=\) \(2\pi\). O período é \(2\pi\)\({}-(-2\pi)=\) \(4\pi\).

O gráfico não distingue \(c=\) \(0{,}5\) de \(c=\) \(-0{,}5\) (o cosseno é par); nas opções aparece \(c=\) \(0{,}5\).

\(4\pi\) são duas voltas completas, por isso, a partir de \(4\pi\), o seno faz o mesmo que a partir de \(0\): sobe até \(1\), volta a \(0\), desce até \(-1\)…

O máximo vem um quarto de volta depois do zero: \(4\pi\)\({}+\frac{\pi}{2}=\) \(\frac{8\pi}{2}\)\({}+\frac{\pi}{2}=\) \(\frac{9\pi}{2}\). A ordenada é \(1\).

Os zeros do seno distam meia volta: \(4\pi\)\({}+\pi=\) \(5\pi\). A ordenada é \(0\).

O mínimo seguinte está a mais um quarto de volta: \(5\pi\)\({}+\frac{\pi}{2}=\) \(\frac{11\pi}{2}\), como indica a figura.

\(g(a)=\) \(\frac25\) quer dizer \(\cos a=\) \(\frac25\). O intervalo \(]\pi,2\pi[\) tem o 3.º e o 4.º quadrantes; como o cosseno é positivo, \(a\) está no 4.º quadrante, onde o seno é negativo.

A tangente é zero nos múltiplos de \(\pi\). Em \([-\pi,\pi]\) estão \(-\pi\), \(0\) e \(\pi\), todos incluídos no domínio.

Sabemos que \(\tan\frac{\pi}{6}=\) \(\frac{\sqrt3}{3}\):

• \(k=\) \(0\): \(x=\) \(\frac{\pi}{6}\) (ramo do meio) — é o ponto \(B\);
• \(k=\) \(-1\): \(x=\) \(\frac{\pi}{6}\)\({}-\pi=\) \(-\frac{5\pi}{6}\) (ramo da esquerda) — é o ponto \(A\);
• \(k=\) \(1\): \(\frac{7\pi}{6}\), já fora de \([-\pi,\pi]\).

Sabemos que \(\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\) \(-1\):

• \(k=\) \(0\): \(x=\) \(-\frac{\pi}{4}\) (ramo do meio) — é o ponto \(C\);
• \(k=\) \(1\): \(x=\) \(-\frac{\pi}{4}\)\({}+\pi=\) \(\frac{3\pi}{4}\) (ramo da direita) — é o ponto \(D\).

A tangente não existe quando o ângulo é \(\frac{\pi}{2}\)\({}+k\pi\):

Como \(k\) percorre todos os inteiros, \(-\frac{k\pi}{2}\) e \(+\frac{k\pi}{2}\) dão os mesmos números. Estes valores são retirados a \(\mathbb{R}\).

O coeficiente de \(x\) é \(-2\); na tangente usa-se \(\pi\):

O fator \(\frac12\) não é zero, logo \(f(x)=\) \(0\) quando a tangente é zero:

Tal como antes, \(-\frac{k\pi}{2}\) pode escrever-se \(+\frac{k\pi}{2}\).

Multiplicámos tudo por \(3\), subtraímos \(\pi\) e dividimos tudo por \(2\).

A tangente toma todos os valores reais. Para obter uma imagem \(y\), basta que a tangente valha \(1\)\({}-y\), que também é um número real. Logo \(D'_f=\) \(\mathbb{R}\).

\(\frac{2x+\pi}{3}=\) \(\frac23x\)\({}+\frac{\pi}{3}\), logo o coeficiente é \(\frac23\):

Em \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\) temos \(x\ge\) \(0\), por isso só interessa o ramo \(3\)\({}+2\sin(4x)\).

O ângulo dá uma volta completa. O seno cresce de \(0\) a \(\frac{\pi}{2}\), decresce de \(\frac{\pi}{2}\) a \(\frac{3\pi}{2}\) e volta a crescer até \(2\pi\).

Dividimos por \(4\):

Nos extremos: \(f(0)=\) \(3\)\({}+2\sin0=\) \(3\) e \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\) \(3\)\({}+2\sin(2\pi)=\) \(3\).

Um quadrado nunca é negativo: \((x+2)^2\ge\) \(0\). Então:

O valor \(-1\) é atingido em \(x=\) \(-2\) (que é negativo). Quando \(x\) se afasta para a esquerda, as imagens descem sem limite. Este ramo dá \(\left]-\infty,-1\right]\).

Pela alínea anterior, em \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\) a função toma todos os valores de \(1\) a \(5\).

O contradomínio é a reunião dos dois conjuntos.

Pela figura, \(A\) é o extremo esquerdo do gráfico (abcissa \(-\pi\)) e é um zero:

Como \(k\in\left[-\frac{\pi}{2},0\right[\), o único ângulo com seno \(-\frac12\) é \(k=\) \(-\frac{\pi}{6}\). Logo \(f(x)=\) \(1\)\({}-2\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\).

No domínio \(\left[-\pi,\frac{5\pi}{2}\right]\) os zeros são \(-\pi\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\pi\) e \(\frac{7\pi}{3}\). Pela figura, \(B\) é o zero em que o gráfico volta a subir depois do mínimo: \(B(\pi,\ 0)\).

O seno está multiplicado por \(-2\), por isso o máximo de \(f\) (\(1\)\({}+2=\) \(3\)) acontece quando o seno vale \(-1\):

Pela figura, \(C\) está à direita de \(B\): \(n=\) \(1\) dá \(x=\) \(\frac{5\pi}{3}\). Logo \(C\left(\frac{5\pi}{3},\ 3\right)\).

A base \([AB]\) está no eixo \(Ox\): \(\overline{AB}=\) \(\pi\)\({}-(-\pi)=\) \(2\pi\). A altura é a distância de \(C\) ao eixo \(Ox\), ou seja, a ordenada de \(C\): \(3\).

\(D\) é o extremo direito do gráfico, com abcissa \(\frac{5\pi}{2}\):

Contas: \(\frac{5\pi}{2}\)\({}-\frac{\pi}{6}=\) \(\frac{15\pi}{6}\)\({}-\frac{\pi}{6}=\) \(\frac{14\pi}{6}=\) \(\frac{7\pi}{3}\), e \(\frac{7\pi}{3}=\) \(2\pi\)\({}+\frac{\pi}{3}\).

Os dois pontos têm abcissa \(\frac{5\pi}{6}\). \(B\) está no gráfico de \(f\) e \(A\) no de \(g\):

Contas: \(\frac{\pi}{2}\)\({}+\frac{5\pi}{6}=\) \(\frac{3\pi}{6}\)\({}+\frac{5\pi}{6}=\) \(\frac{8\pi}{6}=\) \(\frac{4\pi}{3}\).

\([AB]\) é vertical: \(\overline{AB}=\) \(\frac52\)\({}-\frac12=\) \(2\).

Pela figura, o máximo \(C\) é o de abcissa \(\frac{\pi}{2}\). Como a base é vertical, a altura é a distância horizontal de \(C\) à reta \(AB\):

\(P(\cos\alpha,\ \sin\alpha)\). Seja \(M\) o pé da perpendicular de \(P\) sobre o eixo \(Ox\): \(M(\cos\alpha,\ 0)\).

Como \(\overline{OP}=\) \(\overline{PQ}\), a altura \([PM]\) divide a base \([OQ]\) ao meio: \(M\) é o ponto médio de \([OQ]\). Então \(\overline{OQ}=\) \(2\,\overline{OM}=\) \(2\cos\alpha\).

Num triângulo equilátero todos os ângulos medem \(\frac{\pi}{3}\) e todos os lados são iguais a \(\overline{OP}=\) \(1\) (raio). Confirmação: \(\overline{OQ}=\) \(2\cos\frac{\pi}{3}=\) \(2\times\frac12=\) \(1\).

A altura é a ordenada de \(P\): \(\overline{MP}=\) \(\sin\frac{\pi}{3}=\) \(\frac{\sqrt3}{2}\).

Base: \(\overline{OQ}=\) \(2\cos\alpha\) (alínea 27.1). Altura: \(\overline{MP}=\) \(\sin\alpha\) (ordenada de \(P\)).

O ponto \(A\) tem ordenada \(2\):

O cosseno vale \(\frac{\sqrt2}{2}\) em \(\pm\frac{\pi}{4}\):

• \(\pi\)\({}+\frac{\pi}{8}=\) \(\frac{9\pi}{8}\approx\) \(3{,}53\): está no intervalo;
• \(\pi\)\({}-\frac{\pi}{8}=\) \(\frac{7\pi}{8}\): é menor do que \(\pi\);
• \(2\pi\)\({}-\frac{\pi}{8}=\) \(\frac{15\pi}{8}\): é maior do que \(\frac{3\pi}{2}\).

Em modo RAD: \(Y_1=\) \(1\)\({}+3\sin X\) e \(Y_2=\) \(3{,}5\). Uma boa janela é \(\frac{3\pi}{2}\le\) \( X\le\) \(\frac{7\pi}{2}\) e \(-3\le\) \( Y\le\) \(5\).

Usa-se a opção de interseção em cada um dos dois cruzamentos:

\(x_R\approx\) \(7{,}268\) e \(x_Q\approx\) \(8{,}440\) (arredondados às milésimas, como pede o enunciado).

\(Q\) e \(R\) estão à mesma altura, por isso a base é a diferença das abcissas:

\(P\) é um mínimo, logo a sua ordenada é \(-2\). A reta \(QR\) está à altura \(3{,}5\):

Em modo RAD: \(Y_1=\) \(2\sin X\) e \(Y_2=\) \(2\sin(X/2)\), com \(0\le\) \( X\le\) \(4\pi\) e \(-2{,}5\le\) \( Y\le\) \(2{,}5\). A opção de interseção dá os pontos \(A\) e \(B\):

\(A(2{,}1;\ 1{,}7)\) e \(B(10{,}5;\ -1{,}7)\), aproximadamente.

\(f(x)\gt\) \( g(x)\) quer dizer: o gráfico de \(f\) está acima do gráfico de \(g\). Os pontos de interseção separam os intervalos onde isso acontece dos outros.

O gráfico de \(f\) está acima do de \(g\) entre \(0\) e \(A\) e entre \(2\pi\) e \(B\). Confirmação com dois valores: em \(x=\) \(\frac{\pi}{3}\), \(f=\) \(\sqrt3\approx\) \(1{,}73\gt\) \( g=\) \(1\); em \(x=\) \(3\pi\), \(f=\) \(0\gt\) \( g=\) \(-2\).

Como \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\) \(\cos x\), temos \(f(x)=\) \(2\cos^2x\)\({}+\cos x\). Pode introduzir-se na calculadora qualquer uma das duas formas.

Em modo RAD: \(Y_1=\) \(2\cos^2X\)\({}+\sin(\pi/2-X)\) e \(Y_2=\) \(2\), com \(0\le\) \( X\le\) \(2\pi\) e \(-1\le\) \( Y\le\) \(3{,}5\). A opção de interseção dá:

\(A(0{,}67;\ 2)\) e \(B(5{,}61;\ 2)\). As ordenadas são exatamente \(2\), porque os pontos estão na reta \(y=\) \(2\).

A base \([AB]\) é horizontal: \(\overline{AB}\approx\) \(5{,}61\)\({}-0{,}67=\) \(4{,}94\). A altura é a distância de \(O\) à reta \(y=\) \(2\): \(2\).

Num ponto do gráfico, a ordenada é \(f(x)\). «A ordenada é o quadrado da abcissa» escreve-se \(y=\) \(x^2\), logo:

Em modo RAD: \(Y_1=\) \(X/2\)\({}-2\sin X\) e \(Y_2=\) \(X^2\), com \(-\pi\le\) \( X\le\) \(\pi\) e \(-4\le\) \( Y\le\) \(10\). Já sabemos que a origem é uma solução; procuramos a outra interseção, à esquerda de \(0\):

A abcissa é \(x\approx\) \(-1{,}112\). A ordenada calcula-se com a abcissa não arredondada: \(y=\) \(x^2\approx\) \(1{,}237\). Arredondando às centésimas: \((-1{,}11;\ 1{,}24)\).

Em modo RAD: \(Y_1=\) \(5\)\({}-2\sin X\) e \(Y_2=\) \(6\), com \(-\frac{\pi}{2}\le\) \( X\le\) \(\pi\) e \(2\le\) \( Y\le\) \(8\). A opção de interseção dá \(A\); a opção de mínimo dá \(B\):

\(A(-0{,}52;\ 6)\) e \(B(1{,}57;\ 3)\).

Os pontos não estão na mesma horizontal nem na mesma vertical, por isso usa-se \(d=\) \(\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\):