Funções Trigonométricas | Matemática A

📌 Resumo teórico

Funções seno, cosseno e tangente

	\(\sin x\)	\(\cos x\)	\(\tan x\)
Domínio	\(\mathbb{R}\)	\(\mathbb{R}\)	\(\left\{x:\ x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}\)
Contradomínio	\([-1,1]\)	\([-1,1]\)	\(\mathbb{R}\)
Período fundamental	\(2\pi\)	\(2\pi\)	\(\pi\)
Paridade	ímpar	par	ímpar
Zeros	\(k\pi\)	\(\frac{\pi}{2}+k\pi\)	\(k\pi\)

Funções do tipo \(a+b\sin(cx+d)\)

contradomínio: como \(-1\le\sin(cx+d)\le 1\), multiplica-se por \(b\) (invertendo as desigualdades se \(b\lt 0\)) e soma-se \(a\): \([a-|b|,\ a+|b|]\);
período fundamental: \(\dfrac{2\pi}{|c|}\) (para seno e cosseno) e \(\dfrac{\pi}{|c|}\) (para tangente);
\(f\) é periódica de período \(P\) se \(f(x+P)=f(x)\) para todo o \(x\) do domínio.

Paridade

\(f\) é par se \(f(-x)=f(x)\) (gráfico simétrico em relação a \(Oy\)); é ímpar se \(f(-x)=-f(x)\) (simétrico em relação à origem). Usa-se \(\sin(-x)=-\sin x\) e \(\cos(-x)=\cos x\).

Equações trigonométricas elementares

\[ \sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\ \vee\ x=\pi-\alpha+2k\pi \qquad \cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2k\pi \qquad \tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi \]

com \(k\in\mathbb{Z}\). Num intervalo dado, atribuem-se valores a \(k\) e escolhem-se as soluções que lhe pertencem.

Figuras na circunferência trigonométrica

Um ponto \(P\) associado a \(x\) tem coordenadas \((\cos x,\ \sin x)\); o ponto de interseção de \(OP\) com a reta \(x=1\) tem coordenadas \((1,\ \tan x)\). Áreas e perímetros escrevem-se com estas coordenadas, atendendo aos sinais no quadrante em causa.

1. Função \(f(x)=1-2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{5}+\tfrac{2}{3}x\right)\)

Considera a função \(f\) definida em \(\mathbb{R}\) por \(f(x)=1-2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{2}{3}x\right)\).

1.1. Determina o contradomínio da função \(f\).
1.2. Escreve a expressão geral dos zeros de \(f\).
1.3. Prova que \(f\) é periódica de período \(3\pi\).

1.1 — Contradomínio

Como \(-1\le\sin\!\left(\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{2}{3}x\right)\le 1\):

-2\le -2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{2}{3}x\right)\le 2\) \(\Rightarrow -1\le 1-2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{2}{3}x\right)\le 3

\(D'_f=[-1,\,3]\)

1.2 — Zeros

f(x)=0\) \(\Leftrightarrow 1-2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{2}{3}x\right)=0\) \(\Leftrightarrow \sin\!\left(\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{2}{3}x\right)=\dfrac12

\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{2}{3}x\) \(=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\) \({}\lor\ \dfrac{\pi}{5}+\dfrac{2}{3}x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

\dfrac{2}{3}x=-\dfrac{\pi}{30}+2k\pi\) \({}\lor\ \dfrac{2}{3}x=\dfrac{19\pi}{30}+2k\pi

x=-\dfrac{\pi}{20}+3k\pi\) \({}\lor\ x=\dfrac{19\pi}{20}+3k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

\(x=-\dfrac{\pi}{20}+3k\pi\) \({}\lor\ x=\dfrac{19\pi}{20}+3k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)

1.3 — Periodicidade

Para todo o \(x\in\mathbb{R}\):

f(x+3\pi)\) \(=1-2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{2}{3}(x+3\pi)\right)\) \(=1-2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{2}{3}x+2\pi\right)\) \(=1-2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{2}{3}x\right)\) \(=f(x)

Logo \(f\) é periódica de período \(3\pi=\dfrac{2\pi}{2/3}\).

2. Estudo de sete funções

Considera as funções \(f,\ g,\ h,\) \(i,\ j,\ k\) e \(l\) definidas, respetivamente, por:

\(f(x)=5+3\sin x\)

\(g(x)=1-\sin 2x\)

\(h(x)=3-6\cos\dfrac{x}{2}\)

\(i(x)=\dfrac{2}{3+\cos x}\)

\(j(x)=2\tan\!\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)

\(k(x)=1+\tan\!\left(5x+\dfrac{\pi}{6}\right)\)

\(l(x)=3-4\cos^2\!\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

2.1. Determina o domínio e o contradomínio de cada uma das funções.
2.2. Determina, caso existam, uma expressão geral dos zeros de cada uma das funções.
2.6. Prova que:
- 2.6.1. \(g\) é periódica de período \(\pi\).
- 2.6.2. \(h\) é periódica de período \(4\pi\).
- 2.6.3. \(k\) é periódica de período \(\dfrac{\pi}{5}\).

2.1 — Domínios e contradomínios

\(f(x)=5+3\sin x\): de \(-1\le\sin x\le1\) vem \(2\le 5+3\sin x\le 8\).

D_f=\mathbb{R},\quad D'_f=[2,\,8]

\(g(x)=1-\sin 2x\): de \(-1\le\sin 2x\le1\) vem \(0\le 1-\sin 2x\le 2\).

D_g=\mathbb{R},\quad D'_g=[0,\,2]

\(h(x)=3-6\cos\dfrac{x}{2}\): de \(-1\le\cos\dfrac{x}{2}\le1\) vem \(-3\le 3-6\cos\dfrac{x}{2}\le 9\).

D_h=\mathbb{R},\quad D'_h=[-3,\,9]

\(i(x)=\dfrac{2}{3+\cos x}\): como \(2\le 3+\cos x\le 4\), o denominador nunca se anula e \(\dfrac{1}{2}\le\dfrac{2}{3+\cos x}\le 1\).

D_i=\mathbb{R},\quad D'_i=\left[\dfrac{1}{2},\,1\right]

\(j(x)=2\tan\!\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\): existe se \(x+\dfrac{\pi}{3}\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi\), ou seja \(x\neq\dfrac{\pi}{6}+k\pi\).

D_j=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{6}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}

D'_j=\mathbb{R}

\(k(x)=1+\tan\!\left(5x+\dfrac{\pi}{6}\right)\): existe se \(5x+\dfrac{\pi}{6}\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi\), ou seja \(x\neq\dfrac{\pi}{15}+\dfrac{k\pi}{5}\).

D_k=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{15}+\dfrac{k\pi}{5},\ k\in\mathbb{Z}\right\}

D'_k=\mathbb{R}

\(l(x)=3-4\cos^2\!\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)\): de \(0\le\cos^2(\cdots)\le1\) vem \(-1\le 3-4\cos^2(\cdots)\le 3\).

D_l=\mathbb{R},\quad D'_l=[-1,\,3]

2.2 — Zeros

\(f\): \(5+3\sin x=0\Leftrightarrow\sin x=-\dfrac{5}{3}\), impossível. Não tem zeros.

\(g\): \(1-\sin 2x=0\) \(\Leftrightarrow\sin 2x=1\) \(\Leftrightarrow 2x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\).

x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

\(h\): \(3-6\cos\dfrac{x}{2}=0\) \(\Leftrightarrow\cos\dfrac{x}{2}=\dfrac12\) \(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2}=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\).

x=\dfrac{2\pi}{3}+4k\pi\) \({}\lor\ x=-\dfrac{2\pi}{3}+4k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

\(i\): \(\dfrac{2}{3+\cos x}=0\) é impossível. Não tem zeros.

\(j\): \(2\tan\!\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0\) \(\Leftrightarrow x+\dfrac{\pi}{3}=k\pi\).

x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

\(k\): \(1+\tan\!\left(5x+\dfrac{\pi}{6}\right)=0\) \(\Leftrightarrow\tan\!\left(5x+\dfrac{\pi}{6}\right)=-1\) \(\Leftrightarrow 5x+\dfrac{\pi}{6}\) \(=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\).

5x=-\dfrac{5\pi}{12}+k\pi\) \(\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{5},\ k\in\mathbb{Z}

\(l\): \(3-4\cos^2\!\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\) \(\Leftrightarrow\cos^2\!\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac34\). Usando \(\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}\):

\cos\!\left(4x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac12\) \(\Leftrightarrow 4x+\dfrac{\pi}{2}\) \(=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi

x=-\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{k\pi}{2}\) \({}\lor\ x=-\dfrac{5\pi}{24}+\dfrac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}

2.6 — Periodicidade

2.6.1. \(g(x+\pi)\) \(=1-\sin(2x+2\pi)\) \(=1-\sin 2x\) \(=g(x)\). Logo \(g\) é periódica de período \(\pi=\dfrac{2\pi}{2}\).

2.6.2. \(h(x+4\pi)\) \(=3-6\cos\!\left(\dfrac{x+4\pi}{2}\right)\) \(=3-6\cos\!\left(\dfrac{x}{2}+2\pi\right)\) \(=h(x)\). Logo \(h\) é periódica de período \(4\pi\).

2.6.3. \(k\!\left(x+\dfrac{\pi}{5}\right)\) \(=1+\tan\!\left(5x+\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)\) \(=1+\tan\!\left(5x+\dfrac{\pi}{6}\right)\) \(=k(x)\). Logo \(k\) é periódica de período \(\dfrac{\pi}{5}\).

3. Função \(f(x)=\dfrac{1-\sin 4x}{2}\)

Considere a função \(f\) definida em \(\mathbb{R}\) por \(f(x)=\dfrac{1-\sin 4x}{2}\).

3.1. Determine o contradomínio de \(f\).
3.2. Mostre que \(f\) é periódica de período \(\dfrac{\pi}{2}\).
3.3. Sabendo que \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right[\) e que \(f(\pi+\alpha)\times f(\pi-\alpha)=\dfrac{4}{25}\), determine \(f(\alpha)\).

3.1 — Contradomínio

De \(-1\le\sin 4x\le 1\) vem \(0\le 1-\sin 4x\le 2\), logo \(0\le\dfrac{1-\sin 4x}{2}\le 1\).

\(D'_f=[0,\,1]\)

3.2 — Periodicidade

f\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\) \(=\dfrac{1-\sin\!\left(4x+2\pi\right)}{2}\) \(=\dfrac{1-\sin 4x}{2}\) \(=f(x)

Logo \(f\) é periódica de período \(\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{2\pi}{4}\).

3.3 — Cálculo de \(f(\alpha)\)

f(\pi+\alpha)\) \(=\dfrac{1-\sin(4\pi+4\alpha)}{2}\) \(=\dfrac{1-\sin 4\alpha}{2}

f(\pi-\alpha)\) \(=\dfrac{1-\sin(4\pi-4\alpha)}{2}\) \(=\dfrac{1+\sin 4\alpha}{2}

f(\pi+\alpha)\times f(\pi-\alpha)\) \(=\dfrac{(1-\sin 4\alpha)(1+\sin 4\alpha)}{4}\) \(=\dfrac{1-\sin^2 4\alpha}{4}\) \(=\dfrac{\cos^2 4\alpha}{4}=\dfrac{4}{25}

\cos^2 4\alpha=\dfrac{16}{25}\) \(\Rightarrow\sin^2 4\alpha=\dfrac{9}{25}

Como \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right[\), tem-se \(4\alpha\in\,]\pi,2\pi[\), onde \(\sin 4\alpha<0\), logo \(\sin 4\alpha=-\dfrac{3}{5}\).

f(\alpha)=\dfrac{1-\sin 4\alpha}{2}\) \(=\dfrac{1+\dfrac{3}{5}}{2}\) \(=\dfrac{\frac{8}{5}}{2}=\dfrac{4}{5}

\(f(\alpha)=\dfrac{4}{5}\)

4. Triângulo \([OPS]\) na circunferência trigonométrica

Na figura está representado um referencial ortonormado \(Oxy\) e a circunferência trigonométrica, que interseta o eixo \(Ox\) nos pontos \(A\) e \(B\) (\(B\) com abcissa positiva) e o semieixo positivo \(Oy\) no ponto \(C\). O ponto \(P\) desloca-se sobre o arco \(CA\) de tal modo que \(OQ\) é sempre perpendicular a \(AP\). As semirretas \(\dot{A}P\) e \(\dot{O}Q\) intersetam-se no ponto \(S\).

Circunferência trigonométrica com os pontos A, B, C, P, Q, S e o ângulo x em A

4.1. Para cada \(x\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\), seja \(g(x)\) a área do triângulo \([OPS]\). Mostra que \(g(x)=\dfrac14\sin(2x)\).
4.2. Determina o contradomínio da função \(g\) e indica a área máxima do triângulo \([OPS]\).
4.3. Sabendo que a abcissa do ponto \(P\) é \(\dfrac{5}{13}\), determina a área do triângulo \([OPS]\).

4.1 — Demonstração

O ângulo em \(A\) é \(x\) (amplitude de \(\widehat{OAP}\)). Como \([AB]\) é diâmetro da circunferência, o ângulo \(\widehat{APB}\) está inscrito numa semicircunferência, logo é reto. No triângulo retângulo \([APB]\), com \(AB=2\):

AP=AB\cos x=2\cos x

Como \(OQ\perp AP\) em \(S\), o triângulo \([OSA]\) é retângulo em \(S\), com \(\widehat{OAS}=x\) e \(OA=1\):

OS=OA\sin x\) \(=\sin x

SA=OA\cos x\) \(=\cos x

PS=AP-SA\) \(=2\cos x-\cos x\) \(=\cos x

O triângulo \([OPS]\) é retângulo em \(S\) (pois \(OS\perp PS\)), de catetos \(OS\) e \(PS\):

g(x)=\dfrac{OS\times PS}{2}\) \(=\dfrac{\sin x\cos x}{2}\) \(=\dfrac14\sin(2x)

\(g(x)=\dfrac14\sin(2x)\)

4.2 — Contradomínio e área máxima

Para \(x\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\) tem-se \(2x\in\,]0,\pi[\), logo \(\sin(2x)\in\,]0,1]\).

g(x)=\dfrac14\sin(2x)\in\left]0,\dfrac14\right]

\(D'_g=\left]0,\dfrac14\right]\); a área máxima é \(\dfrac14\) (atingida quando \(x=\dfrac{\pi}{4}\)).

4.3 — Área para abcissa de \(P\) igual a \(\dfrac{5}{13}\)

O ponto \(P\) tem coordenadas \((\cos 2x,\sin 2x)\), logo \(\cos 2x=\dfrac{5}{13}\). Como \(2x\in\,]0,\pi[\), \(\sin 2x>0\):

\sin 2x=\sqrt{1-\left(\dfrac{5}{13}\right)^2}\) \(=\sqrt{\dfrac{144}{169}}=\dfrac{12}{13}

g(x)=\dfrac14\times\dfrac{12}{13}=\dfrac{3}{13}

A área do triângulo \([OPS]\) é \(\dfrac{3}{13}\).

5. Funções \(f(x)=3\cos\dfrac{x}{2}\) e \(g(x)=\dfrac13\sin(3x)\)

Considere as funções \(f\) e \(g\) definidas em \(\mathbb{R}\) por \(f(x)=3\cos\dfrac{x}{2}\) e \(g(x)=\dfrac13\sin(3x)\).

5.1. Prova que \(f\) é uma função periódica de período \(4\pi\).
5.2. Prova que \(g\) é uma função periódica e indica o período mínimo.
5.3. Sabendo que \(f(\pi-2\alpha)=1\) e que \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right[\), determina \(g\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\alpha}{3}\right)\).

5.1

f(x+4\pi)\) \(=3\cos\!\left(\dfrac{x+4\pi}{2}\right)\) \(=3\cos\!\left(\dfrac{x}{2}+2\pi\right)\) \(=3\cos\dfrac{x}{2}\) \(=f(x)

Logo \(f\) é periódica de período \(4\pi=\dfrac{2\pi}{1/2}\).

5.2

g\!\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)\) \(=\dfrac13\sin\!\left(3x+2\pi\right)\) \(=\dfrac13\sin(3x)\) \(=g(x)

\(g\) é periódica e o período mínimo é \(\dfrac{2\pi}{3}\).

5.3

f(\pi-2\alpha)\) \(=3\cos\!\left(\dfrac{\pi-2\alpha}{2}\right)\) \(=3\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\) \(=3\sin\alpha=1\) \(\Rightarrow\sin\alpha=\dfrac13

Como \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right[\) e \(\sin\alpha=\dfrac13>0\), \(\alpha\) pertence ao 2.º quadrante, logo \(\cos\alpha<0\):

\cos\alpha=-\sqrt{1-\dfrac19}\) \(=-\dfrac{2\sqrt2}{3}

g\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\alpha}{3}\right)\) \(=\dfrac13\sin\!\left(3\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\alpha}{3}\right)\right)\) \(=\dfrac13\sin\!\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)\) \(=\dfrac13\,(-\cos\alpha)

=\dfrac13\times\dfrac{2\sqrt2}{3}=\dfrac{2\sqrt2}{9}

\(g\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\alpha}{3}\right)=\dfrac{2\sqrt2}{9}\)

6. Semicircunferência de diâmetro \([AB]\)

Um ponto \(P\) desloca-se sobre uma semicircunferência de diâmetro \([AB]\), centro \(O\) e raio \(1\). Seja \(x\) a amplitude, em radianos, do ângulo \(BOP\) (\(x\in\,]0,\pi[\)). Seja \(f(x)=\overline{BP}\) e \(g(x)=\overline{AP}\).

Semicircunferência de diâmetro AB, centro O, com o ponto P e o ângulo x em O

6.1. Justifica que o triângulo \([ABP]\) é retângulo em \(P\).
6.2. Justifica que \(f(x)=2\sin\dfrac{x}{2}\) e \(g(x)=2\cos\dfrac{x}{2}\).
6.3. Sabendo que \(f(\pi-2\alpha)=1\) e \(\alpha\in\,]0,\pi[\), determina \(\overline{AP}\) para \(x=\alpha\).

6.1

O ponto \(P\) pertence à circunferência de diâmetro \([AB]\), logo o ângulo \(\widehat{APB}\) está inscrito numa semicircunferência. Pelo teorema do ângulo inscrito, \(\widehat{APB}=90^\circ\). Portanto o triângulo \([ABP]\) é retângulo em \(P\).

6.2

A corda que subtende um ângulo ao centro \(\theta\) numa circunferência de raio \(1\) mede \(2\sin\dfrac{\theta}{2}\). O arco \(BP\) corresponde ao ângulo ao centro \(\widehat{BOP}=x\) e o arco \(AP\) ao ângulo \(\widehat{AOP}=\pi-x\):

f(x)=\overline{BP}=2\sin\dfrac{x}{2}

g(x)=\overline{AP}\) \(=2\sin\!\left(\dfrac{\pi-x}{2}\right)\) \(=2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{x}{2}\right)\) \(=2\cos\dfrac{x}{2}

6.3

f(\pi-2\alpha)\) \(=2\sin\!\left(\dfrac{\pi-2\alpha}{2}\right)\) \(=2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\) \(=2\cos\alpha=1\) \(\Rightarrow\cos\alpha=\dfrac12

Como \(\alpha\in\,]0,\pi[\), vem \(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\). Logo:

\overline{AP}=g(\alpha)\) \(=2\cos\dfrac{\alpha}{2}\) \(=2\cos\dfrac{\pi}{6}\) \(=2\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3

\(\overline{AP}=\sqrt3\)

7. Paralelogramo e função seno

Seja \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\) a função definida por \(f(x)=\sin x\). Sejam \(A\), \(B\) e \(C\) os pontos tais que:

\(A\) e \(B\) pertencem ao gráfico de \(f\) e têm a mesma ordenada, sendo \(A\) o de menor abcissa;
\(C\) é o ponto de interseção da mediatriz de \([AB]\) com o eixo \(Ox\);
o quadrilátero \([OABC]\) é um paralelogramo.

Determine a área desse paralelogramo.

Pontos \(A\) e \(B\)

\(A\) e \(B\) têm a mesma ordenada e estão no gráfico de \(\sin\) em \([0,\pi]\), logo, sendo \(A=(a,\sin a)\), tem-se \(B=(\pi-a,\sin a)\), com \(a<\dfrac{\pi}{2}\).

Ponto \(C\)

A mediatriz de \([AB]\) (segmento horizontal) é a reta vertical \(x=\dfrac{\pi}{2}\), que interseta \(Ox\) em \(C=\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)\).

Condição de paralelogramo

Para \([OABC]\) ser paralelogramo, \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}\):

\overrightarrow{OA}=(a,\sin a)

\overrightarrow{CB}=\left(\dfrac{\pi}{2}-a,\ \sin a\right)

a=\dfrac{\pi}{2}-a\Rightarrow a=\dfrac{\pi}{4}

Logo \(A=\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\), \(B=\left(\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\), \(C=\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)\).

Área

Tomando como base \(\overline{OC}=\dfrac{\pi}{2}\) e altura igual à ordenada de \(A\) e \(B\), \(\dfrac{\sqrt2}{2}\):

\text{Área}=\overline{OC}\times h\) \(=\dfrac{\pi}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}\) \(=\dfrac{\sqrt2\,\pi}{4}

A área do paralelogramo é \(\dfrac{\sqrt2\,\pi}{4}\) (\(\approx 1{,}11\)) unidades de área.

8. Perímetro do triângulo \([OAB]\)

Na figura estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), uma circunferência e um triângulo \([OAB]\). Sabe-se que:

a circunferência tem diâmetro \([OA]\);
o ponto \(A\) tem coordenadas \((2,0)\);
o vértice \(O\) do triângulo \([OAB]\) coincide com a origem do referencial;
o ponto \(B\) desloca-se ao longo da semicircunferência superior.

Para cada posição do ponto \(B\), seja \(\alpha\) a amplitude do ângulo \(AOB\), com \(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\).

Circunferência de diâmetro OA com A em (2,0) e o triângulo OAB, ângulo alfa em O

8.1. Mostre que o perímetro do triângulo \([OAB]\) é dado, em função de \(\alpha\), por \(P(\alpha)\) \(=2\,(1+\cos\alpha+\sin\alpha)\).
8.2. Recorrendo às capacidades da calculadora gráfica, determine o valor de \(\alpha\), em radianos, para o qual o perímetro do triângulo \([OAB]\) é máximo (resultado arredondado às centésimas).

8.1 — Demonstração

Como \([OA]\) é diâmetro da circunferência e \(B\) pertence à circunferência, o ângulo \(\widehat{OBA}\) está inscrito numa semicircunferência, logo é reto: o triângulo \([OAB]\) é retângulo em \(B\), com hipotenusa \(\overline{OA}=2\). Sendo \(\widehat{AOB}=\alpha\):

\overline{OB}=\overline{OA}\cos\alpha\) \(=2\cos\alpha

\overline{AB}=\overline{OA}\sin\alpha\) \(=2\sin\alpha

P(\alpha)=\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{AB}\) \(=2+2\cos\alpha+2\sin\alpha\) \(=2\,(1+\cos\alpha+\sin\alpha)

8.2 — Perímetro máximo (calculadora gráfica)

Representando \(P(\alpha)=2\,(1+\cos\alpha+\sin\alpha)\) em \(\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\), o máximo ocorre no ponto assinalado:

Analiticamente, \(P\) é máximo quando \(\sin\alpha=\cos\alpha\), isto é \(\tan\alpha=1\), logo \(\alpha=\dfrac{\pi}{4}\). O perímetro máximo é \(P\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2\,(1+\sqrt2)\approx 4{,}83\).

O perímetro é máximo para \(\alpha=\dfrac{\pi}{4}\approx 0{,}79\) rad (perímetro máximo \(\approx 4{,}83\)).

9. Área do trapézio \([PQRS]\) (1.º quadrante)

Na figura estão representados, num referencial o.n. \(xOy\), a circunferência trigonométrica e a reta de equação \(x=1\). Um ponto \(P\) desloca-se sobre a circunferência, no primeiro quadrante. Para cada posição de \(P\):

seja \(\alpha\) a amplitude do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo \(Ox\) e por lado extremidade a semirreta \(\dot{O}P\) \(\left(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\right)\);
seja \(f(\alpha)\) a área do trapézio \([PQRS]\), em que \(S\) é o ponto de interseção da reta \(OP\) com a reta \(x=1\) e os pontos \(Q\) e \(R\) são, respetivamente, os simétricos de \(P\) e \(S\) em relação ao eixo \(Ox\).

Trapézio PQRS na circunferência trigonométrica, 1.º quadrante

9.1. Mostra que \(f(\alpha)\) \(=(\tan\alpha+\sin\alpha)(1-\cos\alpha)\).
9.2. Determina a área do trapézio, no caso em que a abcissa do ponto \(P\) é \(\dfrac{1}{3}\).

9.1 — Demonstração

Com \(P=(\cos\alpha,\sin\alpha)\), a reta \(OP\) tem equação \(y=\tan\alpha\cdot x\); em \(x=1\) obtém-se \(S=(1,\tan\alpha)\). Os simétricos em relação a \(Ox\) são \(Q=(\cos\alpha,-\sin\alpha)\) e \(R=(1,-\tan\alpha)\).

As bases paralelas do trapézio são os segmentos verticais \([PQ]\) e \([SR]\):

\overline{PQ}=2\sin\alpha

\overline{SR}=2\tan\alpha

\text{altura}=1-\cos\alpha

f(\alpha)=\dfrac{\overline{PQ}+\overline{SR}}{2}\times\text{altura}\) \(=\dfrac{2\sin\alpha+2\tan\alpha}{2}\,(1-\cos\alpha)\) \(=(\tan\alpha+\sin\alpha)(1-\cos\alpha)

9.2 — Abcissa de \(P\) igual a \(\dfrac{1}{3}\)

Se a abcissa de \(P\) é \(\dfrac13\), então \(\cos\alpha=\dfrac13\). Como \(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\):

\sin^2\alpha=1-\dfrac19=\dfrac89\) \(\Rightarrow\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt2}{3}

\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) \(=2\sqrt2

f(\alpha)=\left(2\sqrt2+\dfrac{2\sqrt2}{3}\right)\left(1-\dfrac13\right)\) \(=\dfrac{8\sqrt2}{3}\times\dfrac23\) \(=\dfrac{16\sqrt2}{9}

A área do trapézio é \(\dfrac{16\sqrt2}{9}\).

10. Área do triângulo \([PQR]\) (3.º quadrante)

seja \(\alpha\) a amplitude do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo \(Ox\) e por lado extremidade a semirreta \(\dot{O}P\) \(\left(\alpha\in\left]\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right[\right)\);
seja \(f(\alpha)\) a área do triângulo \([PQR]\), em que \(Q\) é o ponto de interseção da reta \(OP\) com a reta \(x=1\) e \(R\) é o ponto desta reta que tem ordenada igual à do ponto \(P\).

Triângulo PQR na circunferência trigonométrica, 3.º quadrante

10.1. Mostra que \(f(\alpha)\) \(=\dfrac{(1-\cos\alpha)(\tan\alpha-\sin\alpha)}{2}\).
10.2. Para um certo \(x\in\left]\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right[\), tem-se \(\tan x=\dfrac{4}{3}\). Determina \(f(x)\).

10.1 — Demonstração

Com \(P=(\cos\alpha,\sin\alpha)\) no 3.º quadrante, a reta \(OP\) (de equação \(y=\tan\alpha\cdot x\)) interseta \(x=1\) em \(Q=(1,\tan\alpha)\), e \(R=(1,\sin\alpha)\). O segmento \([QR]\) é vertical em \(x=1\):

\overline{QR}=\tan\alpha-\sin\alpha

\text{altura}=1-\cos\alpha

f(\alpha)=\dfrac{\overline{QR}\times\text{altura}}{2}\) \(=\dfrac{(\tan\alpha-\sin\alpha)(1-\cos\alpha)}{2}\) \(=\dfrac{(1-\cos\alpha)(\tan\alpha-\sin\alpha)}{2}

10.2 — Cálculo de \(f(x)\) com \(\tan x=\dfrac{4}{3}\)

Como \(x\in\left]\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right[\) (3.º quadrante), \(\sin x<0\) e \(\cos x<0\). De \(1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}\):

1+\dfrac{16}{9}\) \(=\dfrac{1}{\cos^2 x}\) \(\Rightarrow\cos^2 x=\dfrac{9}{25}\) \(\Rightarrow\cos x=-\dfrac35

\sin x=\cos x\cdot\tan x\) \(=-\dfrac35\times\dfrac43\) \(=-\dfrac45

f(x)=\dfrac{\left(1+\dfrac35\right)\left(\dfrac43+\dfrac45\right)}{2}\) \(=\dfrac{\dfrac85\times\dfrac{32}{15}}{2}\) \(=\dfrac{128}{75}

\(f(x)=\dfrac{128}{75}\)

11. Área do trapézio \([PQRS]\) com \(y=1\)

seja \(\alpha\) a amplitude do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo \(Ox\) e por lado extremidade a semirreta \(\dot{O}P\) \(\left(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\right)\);
seja \(f(\alpha)\) a área do trapézio \([PQRS]\), em que \(Q\) é o ponto da reta de equação \(y=1\) que tem abcissa igual à do ponto \(P\), \(R\) é o ponto de interseção da reta \(OP\) com a reta \(x=1\) e \(S\) é o ponto de coordenadas \((1,0)\).

11.1. Mostra que \(f(\alpha)\) \(=\dfrac{(1-\cos\alpha)(1+\tan\alpha-\sin\alpha)}{2}\).
11.2. Determina \(f\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\).

11.1 — Demonstração

Com \(P=(\cos\alpha,\sin\alpha)\): \(Q=(\cos\alpha,1)\), \(R=(1,\tan\alpha)\) e \(S=(1,0)\). As bases paralelas são os segmentos verticais \([PQ]\) e \([SR]\):

\overline{PQ}=1-\sin\alpha

\overline{SR}=\tan\alpha

\text{altura}=1-\cos\alpha

f(\alpha)=\dfrac{\overline{PQ}+\overline{SR}}{2}\times\text{altura}\) \(=\dfrac{(1-\sin\alpha)+\tan\alpha}{2}\,(1-\cos\alpha)\) \(=\dfrac{(1-\cos\alpha)(1+\tan\alpha-\sin\alpha)}{2}

11.2 — Cálculo de \(f\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)

Para \(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\): \(\cos\alpha=\dfrac12\), \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\), \(\tan\alpha=\sqrt3\).

1+\tan\alpha-\sin\alpha\) \(=1+\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{2}\) \(=1+\dfrac{\sqrt3}{2}\) \(=\dfrac{2+\sqrt3}{2}

f\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\left(1-\dfrac12\right)\cdot\dfrac{2+\sqrt3}{2}}{2}\) \(=\dfrac{\dfrac12\cdot\dfrac{2+\sqrt3}{2}}{2}\) \(=\dfrac{2+\sqrt3}{8}

\(f\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{2+\sqrt3}{8}\)

12. Circunferência tangente à reta \(OP\)

seja \(\alpha\) a amplitude do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo \(Ox\) e por lado extremidade a semirreta \(\dot{O}P\) \(\left(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\right)\);
seja \(R\) o ponto de abcissa \(1\) que tem ordenada igual à de \(P\);
seja \(c\) a circunferência de centro \(Q(1,0)\) que passa pelo ponto \(R\).

Circunferência c de centro Q(1,0) que passa por R, tangente à reta OP

12.1. A circunferência \(c\) interseta a circunferência trigonométrica em dois pontos que têm a mesma abcissa. Determina essa abcissa, em função de \(\alpha\).
12.2. Prova que a reta \(OP\) é tangente à circunferência \(c\).

12.1 — Abcissa dos pontos de interseção

Tem-se \(R=(1,\sin\alpha)\), logo o raio de \(c\) é \(\overline{QR}=\sin\alpha\) e \(c:\ (x-1)^2+y^2=\sin^2\alpha\). A circunferência trigonométrica é \(x^2+y^2=1\). Subtraindo as equações:

x^2-(x-1)^2\) \(=1-\sin^2\alpha\) \(\Leftrightarrow 2x-1=\cos^2\alpha\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1+\cos^2\alpha}{2}

A abcissa dos pontos de interseção é \(\dfrac{1+\cos^2\alpha}{2}\).

12.2 — Tangência de \(OP\) a \(c\)

A reta \(OP\) passa na origem com declive \(\tan\alpha\), pelo que tem equação \(\sin\alpha\cdot x-\cos\alpha\cdot y=0\). A distância do centro \(Q(1,0)\) a esta reta é:

d(Q,OP)\) \(=\dfrac{|\sin\alpha\cdot 1-\cos\alpha\cdot 0|}{\sqrt{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}}\) \(=\sin\alpha

Como esta distância é igual ao raio de \(c\) (\(\sin\alpha\)), a reta \(OP\) é tangente à circunferência \(c\). \(\blacksquare\)

13. Função \(f(x)=2-4\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{6}\right)\) e área \([ABC]\)

Seja \(f:\left[-\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right]\to\mathbb{R}\) a função definida por \(f(x)=2-4\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\).

13.1. Determina o zero da função \(f\).
13.2. Indica o contradomínio da função \(f\).
13.3. Sejam \(A\) e \(B\) os pontos de interseção do gráfico de \(f\) com os eixos \(Ox\) e \(Oy\), respetivamente. Sejam \(P\) e \(Q\) os pontos do gráfico de \(f\) de ordenada máxima e mínima, respetivamente. Seja \(C\) o ponto de interseção da reta \(PQ\) com o eixo \(Ox\). Determina a área do triângulo \([ABC]\).

13.1 — Zero

f(x)=0\) \(\Leftrightarrow\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac12

Para \(x\in\left[-\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right]\), tem-se \(x-\dfrac{\pi}{6}\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\), onde \(\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac12\) \(\Leftrightarrow x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}\).

O zero é \(x=\dfrac{\pi}{3}\).

13.2 — Contradomínio

Como \(x-\dfrac{\pi}{6}\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\), tem-se \(-1\le\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\le 1\), logo \(-2\le 2-4\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\le 6\).

\(D'_f=[-2,\,6]\)

13.3 — Área do triângulo \([ABC]\)

\(A\) é o zero: \(A=\left(\dfrac{\pi}{3},0\right)\). \(B\) é a interseção com \(Oy\): \(f(0)=2-4\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\) \(=2+2=4\), logo \(B=(0,4)\).

O máximo (\(6\)) ocorre quando \(\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=-1\), isto é \(x=-\dfrac{\pi}{3}\): \(P=\left(-\dfrac{\pi}{3},6\right)\). O mínimo (\(-2\)) ocorre quando \(\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1\), isto é \(x=\dfrac{2\pi}{3}\): \(Q=\left(\dfrac{2\pi}{3},-2\right)\).

A reta \(PQ\) tem declive \(\dfrac{-2-6}{\frac{2\pi}{3}-\left(-\frac{\pi}{3}\right)}=-\dfrac{8}{\pi}\). De \(y-6=-\dfrac{8}{\pi}\!\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\), fazendo \(y=0\), vem \(x=\dfrac{5\pi}{12}\), logo \(C=\left(\dfrac{5\pi}{12},0\right)\).

No triângulo \([ABC]\), tomando como base \([AC]\) (sobre \(Ox\)) e altura \(\overline{OB}\):

\overline{AC}=\dfrac{5\pi}{12}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{12}

\overline{OB}=4

\text{Área}_{[ABC]}\) \(=\dfrac{\overline{AC}\times\overline{OB}}{2}\) \(=\dfrac{\dfrac{\pi}{12}\times 4}{2}=\dfrac{\pi}{6}

A área do triângulo \([ABC]\) é \(\dfrac{\pi}{6}\).

14. A função seno

Considere a função definida, em \(\mathbb{R}\), por \(f(x)=\sin x\).

14.1. Qual dos seguintes valores não é um período da função \(f\)?

(A) \(2\pi\)(B) \(6\pi\)(C) \(9\pi\)(D) \(12\pi\)

14.2. Qual das seguintes é uma expressão geral dos minimizantes da função \(f\)?

(A) \(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)(B) \(-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)(C) \(\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)(D) \(-\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)

14.3. Construa um quadro de sinal da função \(f\) no intervalo \(\left[-\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right]\).

14.4. Construa um quadro de monotonia da função \(f\) no intervalo \(\left[-\dfrac{5\pi}{6},\pi\right]\).

14.5. Quantos zeros tem a função \(f\) no intervalo \([0,50\pi]\)?

(A) \(50\)(B) \(51\)(C) \(100\)(D) \(101\)

14.6. Determine uma expressão geral dos objetos cuja imagem pela função \(f\) seja \(\dfrac12\).

14.1

Os períodos da função seno são os múltiplos inteiros (não nulos) de \(2\pi\). \(9\pi\) não é múltiplo de \(2\pi\): opção (C).

14.2

O mínimo \(-1\) é atingido em \(x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\): opção (B).

14.3 - Quadro de sinal

Em \(\left[-\frac{5\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right]\) o único zero é \(0\); \(f\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac12\) e \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\).

\(x\)	\(-\frac{5\pi}{6}\)		\(0\)		\(\frac{\pi}{2}\)
\(f(x)\)	\(-\frac12\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(1\)

14.4 - Quadro de monotonia

\(x\)	\(-\frac{5\pi}{6}\)		\(-\frac{\pi}{2}\)		\(\frac{\pi}{2}\)		\(\pi\)
\(f\)	\(-\frac12\) máx.	↘	\(-1\) mín.	↗	\(1\) máx.	↘	\(0\) mín.

14.5

Os zeros são \(x=k\pi\). Em \([0,50\pi]\): \(k=0,1,\ldots,50\), ou seja, \(51\) zeros: opção (B).

14.6

\sin x=\dfrac12\) \(\Leftrightarrow\sin x=\sin\dfrac{\pi}{6}\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\) \({}\vee\ x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

14.1. (C)
14.2. (B)
14.5. (B)
14.6. \(x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\) \({}\vee\ x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)

15. A função cosseno

Considere a função definida, em \(\mathbb{R}\), por \(g(x)=\cos x\).

15.1. Qual das seguintes é uma expressão geral dos zeros da função \(g\) (\(k\in\mathbb{Z}\))?

(A) \(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)(B) \(\pi+2k\pi\)(C) \(\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)(D) \(\pi+k\pi\)

15.2. Em qual dos seguintes intervalos a função \(g\) é positiva e crescente?

(A) \(\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\)(B) \(\left]3\pi,4\pi\right[\)(C) \(\left]\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right[\)(D) \(\left]\dfrac{5\pi}{2},3\pi\right[\)

15.3. Qual das seguintes é uma expressão geral dos objetos cuja imagem por \(g\) é \(1\) (\(k\in\mathbb{Z}\))?

(A) \(\pi+2k\pi\)(B) \(k\pi\)(C) \(\pi+k\pi\)(D) \(2k\pi\)

15.4. Mostre que \(10\pi\) é período da função \(g\).

15.5. Construa um quadro de sinal da função \(g\) no intervalo \(\left[-\dfrac{3\pi}{2},0\right]\).

15.6. Construa um quadro de monotonia da função \(g\) no intervalo \(\left[-\dfrac{3\pi}{2},0\right]\).

15.1

\(\cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi\): opção (C).

15.2

O cosseno é positivo no 1.º e no 4.º quadrantes e crescente quando o ângulo percorre o 3.º e o 4.º quadrantes. Positivo e crescente: 4.º quadrante, por exemplo \(\left]\frac{3\pi}{2},2\pi\right[\). Em (A) decresce em \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\); em (B) é negativo em \(\left]3\pi,\frac{7\pi}{2}\right[\); em (D) é negativo.

15.3

\(\cos x=1\Leftrightarrow x=2k\pi\): opção (D).

15.4

\forall x\in\mathbb{R},\ g(x+10\pi)\) \(=\cos(x+5\times2\pi)\) \(=\cos x\) \(=g(x)

15.5 - Quadro de sinal

Em \(\left[-\frac{3\pi}{2},0\right]\) os zeros são \(-\frac{3\pi}{2}\) e \(-\frac{\pi}{2}\); \(g(0)=1\).

\(x\)	\(-\frac{3\pi}{2}\)		\(-\frac{\pi}{2}\)		\(0\)
\(g(x)\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(1\)

15.6 - Quadro de monotonia

\(x\)	\(-\frac{3\pi}{2}\)		\(-\pi\)		\(0\)
\(g\)	\(0\) máx.	↘	\(-1\) mín.	↗	\(1\) máx.

15.1. (C)
15.2. (C)
15.3. (D)

16. A função tangente

Considere a função definida, em \(\left\{x\in\mathbb{R}:x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}\), por \(g(x)=\tan x\).

16.1. Qual das seguintes é uma expressão geral dos zeros da função \(g\) (\(k\in\mathbb{Z}\))?

(A) \(\pi+2k\pi\)(B) \(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)(C) \(\pi+k\pi\)(D) \(\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

16.2. Qual das seguintes é uma expressão geral dos objetos cuja imagem por \(g\) é \(1\) (\(k\in\mathbb{Z}\))?

(A) \(\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\)(B) \(\pi+2k\pi\)(C) \(\pi+k\pi\)(D) \(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

16.3. Quantos zeros tem a função \(g\) no intervalo \([0,100\pi]\)?

(A) \(50\)(B) \(51\)(C) \(100\)(D) \(101\)

16.4. Determine uma expressão geral dos objetos cuja imagem pela função \(g\) seja \(\sqrt3\).

16.1. \(\tan x=0\Leftrightarrow x=k\pi\), que é o mesmo conjunto que \(\pi+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\): opção (C).

16.2. A tangente tem período \(\pi\): \(\tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi\): opção (D).

16.3. Zeros \(x=k\pi\) com \(k=0,1,\ldots,100\): \(101\) zeros, opção (D).

16.4\colon\) \(\tan x=\sqrt3\) \(\Leftrightarrow\tan x=\tan\dfrac{\pi}{3}\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

16.1. (C)
16.2. (D)
16.3. (D)
16.4. \(x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)

17. Seno num intervalo de amplitude 3π

Considere a função definida, em \(\left[-2\pi,\pi\right[\), por \(f(x)=\sin x\).

17.1. Construa um quadro de sinal da função \(f\).

17.2. Considere, em referencial cartesiano o.n. \(Oxy\), o gráfico da função \(f\) e os pontos \(A\) e \(B\), tais que:

\(A\) é o ponto do gráfico de \(f\), de abcissa positiva, cuja ordenada é o valor máximo da função \(f\);
\(B\) é o ponto simétrico de \(A\) em relação à origem do referencial.

a) Mostre que o ponto \(B\) pertence ao gráfico de \(f\).

b) Determine a área de um quadrado de diagonal \(\overline{AB}\).

17.1 - Zeros em [−2π, π[: −2π, −π e 0

\(x\)	\(-2\pi\)		\(-\pi\)		\(0\)		\(\pi\)
\(f(x)\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	n.d.

17.2 a) - Os pontos A e B

O máximo de \(f\) é \(1\), atingido em \(x=\frac{\pi}{2}\) (abcissa positiva). Logo \(A\left(\frac{\pi}{2},1\right)\) e \(B\left(-\frac{\pi}{2},-1\right)\).

Como \(-\frac{\pi}{2}\in\left[-2\pi,\pi\right[\) e \(f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1\), \(B\) pertence ao gráfico de \(f\).

17.2 b) - Área do quadrado a partir da diagonal

\overline{AB}^{\,2}=\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right)^2\) \({}+(1+1)^2\) \(=\pi^2+4

Um quadrado de diagonal \(d\) tem área \(\dfrac{d^2}{2}\):

A=\dfrac{\pi^2+4}{2}

17.2 b) \(\dfrac{\pi^2+4}{2}\) u.a.

18. Cosseno em ]−π/6, π/2]

Considere a função definida, em \(\left]-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right]\), por \(f(x)=\cos x\).

18.1. Qual é o contradomínio da função \(f\)?

18.2. Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), o gráfico da função \(f\) e o triângulo \([OAB]\), em que \(O\) é a origem do referencial, \(A\) é o ponto de interseção do gráfico da função \(f\) com o eixo das abcissas e \(B\) é o ponto de interseção do gráfico da função \(f\) com o eixo das ordenadas. Determine a área do triângulo \([OAB]\).

18.1

Em \(\left]-\frac{\pi}{6},0\right]\) o cosseno cresce de \(\frac{\sqrt3}{2}\) (valor não atingido) até \(1\); em \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\) decresce de \(1\) até \(0\).

\(D'_f=[0,1]\)

18.2

\cos x=0\) \({}\wedge\ x\in D_f\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}\) \(\Rightarrow A\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)

f(0)=1\Rightarrow B(0,1)

A_{[OAB]}=\dfrac{\frac{\pi}{2}\times1}{2}=\dfrac{\pi}{4}

A área é \(\dfrac{\pi}{4}\) u.a.

19. Pontos de interseção dos gráficos de seno e cosseno

Qual é o número de pontos de interseção entre os gráficos das funções \(f\) e \(g\) definidas, no intervalo \([0,50\pi]\), por \(f(x)=\sin x\) e \(g(x)=\cos x\)?

(A) \(50\)(B) \(51\)(C) \(100\)(D) \(101\)

Como \(\cos x=0\) implica \(\sin x=\pm1\), nas soluções tem-se \(\cos x\ne0\):

\sin x=\cos x\) \(\Leftrightarrow\tan x=1\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

Em \([0,50\pi]\): \(0\le\frac{\pi}{4}+k\pi\le50\pi\) \(\Leftrightarrow k\in\{0,1,\ldots,49\}\), ou seja, \(50\) pontos.

Opção (A).

20. Outro ponto do gráfico do cosseno

Considere a função definida, em \(\mathbb{R}\), por \(f(x)=\cos x\). Para determinados números reais \(a\) e \(b\), o ponto de coordenadas \((a,b)\) pertence ao gráfico de \(f\).

Qual dos pontos seguintes também pertence, necessariamente, ao gráfico da função \(f\)?

(A) \((a+\pi,\ b)\)(B) \((a+2\pi,\ 2b)\)(C) \((a+\pi,\ 2b)\)(D) \((a+2\pi,\ b)\)

\(2\pi\) é período de \(f\): \(f(a+2\pi)\) \(=\cos(a+2\pi)\) \(=\cos a=b\). Já \(f(a+\pi)=-\cos a=-b\), que só é igual a \(b\) (ou a \(2b\)) em casos particulares.

Opção (D).

21. Uma função de período 2

Qual das seguintes expressões define, em \(\mathbb{R}\), uma função com período \(2\)?

(A) \(y=\sin(\pi x)\)(B) \(y=\sin\left(\dfrac12\pi x\right)\)(C) \(y=\sin(2x)\)(D) \(y=\sin\left(\dfrac12x\right)\)

O período positivo mínimo de \(y=\sin(cx)\) é \(\dfrac{2\pi}{|c|}\):

\text{(A)}\ \dfrac{2\pi}{\pi}=2

\text{(B)}\ \dfrac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}=4

\text{(C)}\ \dfrac{2\pi}{2}=\pi

\text{(D)}\ \dfrac{2\pi}{\frac12}=4\pi

Opção (A).

22. Período de cos(6x)

Qual é o período positivo mínimo da função, definida em \(\mathbb{R}\), por \(h(x)=\cos(6x)\)?

(A) \(6\)(B) \(3\)(C) \(\dfrac{\pi}{3}\)(D) \(\dfrac{\pi}{6}\)

P=\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}

Opção (C).

23. Período a partir do gráfico

Na figura está representada uma função periódica, de domínio \(\mathbb{R}\).

Gráfico de uma função periódica que oscila entre menos 1 e 1, com máximos espaçados de pi

Qual é o período positivo mínimo da função?

(A) \(\dfrac{\pi}{2}\)(B) \(\pi\)(C) \(2\pi\)(D) \(4\pi\)

Entre \(0\) e \(2\pi\) o gráfico repete-se duas vezes (há dois máximos e dois mínimos); dois máximos consecutivos distam \(\pi\). (A função representada é, por exemplo, \(y=-\sin(2x)\).)

Opção (B).

24. O valor de c em cos(cx)

Considere uma função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=\cos(cx)\), com \(c\ne0\). Sabe-se que \(g(\pi)=-\dfrac12\).

Qual dos seguintes valores pode ser o valor de \(c\)?

(A) \(\dfrac13\)(B) \(\dfrac53\)(C) \(\dfrac73\)(D) \(\dfrac{10}{3}\)

\cos(c\pi)=-\dfrac12\) \(\Leftrightarrow c\pi=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\) \(\Leftrightarrow c=\pm\dfrac23+2k,\ k\in\mathbb{Z}

Para \(k=2\): \(c=-\frac23+4=\frac{10}{3}\). Verificação: \(\cos\frac{10\pi}{3}=\cos\left(2\pi+\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac12\). Nas outras opções obtém-se \(\cos=\frac12\).

Opção (D).

25. Interseções com a reta y = −1/2

Considere a função \(g\), de domínio \(\left]0,50\pi\right]\), definida por \(g(x)=\sin(4x)\).

Em quantos pontos o gráfico da função \(g\) interseta a reta de equação \(y=-\dfrac12\)?

(A) \(50\)(B) \(100\)(C) \(200\)(D) \(400\)

O período de \(g\) é \(\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\) e, em cada período, a equação \(\sin(4x)=-\frac12\) tem duas soluções. O intervalo \(\left]0,50\pi\right]\) contém \(\frac{50\pi}{\pi/2}=100\) períodos completos (e nos extremos \(g\) vale \(0\), não \(-\frac12\)).

100\times2=200

Opção (C).

26. O valor de c a partir do gráfico

Na figura está representada uma função, \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=\cos(cx)\), em que \(c\ne0\).

Gráfico de f de cosseno de cx com cinco oscilações completas entre 0 e 2 pi

Qual dos seguintes é o valor de \(c\)?

(A) \(5\)(B) \(10\)(C) \(5\pi\)(D) \(10\pi\)

Entre \(0\) e \(2\pi\) há \(5\) oscilações completas (os máximos em \(0\) e em \(2\pi\) têm quatro máximos entre eles). Logo o período é \(\frac{2\pi}{5}\):

\dfrac{2\pi}{|c|}=\dfrac{2\pi}{5}\Leftrightarrow|c|=5

Opção (A).

27. A função sin(4x)

Considere a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=\sin(4x)\).

27.1. Determine os zeros da função \(g\) no intervalo \(\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\).

27.2. Qual dos seguintes valores é um período da função \(g\)?

(A) \(\dfrac{\pi}{4}\)(B) \(\dfrac{\pi}{2}\)(C) \(2\)(D) \(4\)

27.3. Qual das seguintes é uma expressão geral dos objetos cuja imagem por \(g\) é \(1\)?

(A) \(\dfrac{\pi}{8}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)(B) \(\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}\)(C) \(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)(D) \(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}\)

27.1\colon\) \(\sin(4x)=0\) \(\Leftrightarrow4x=k\pi\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi}{4}

Em \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\): \(x=0\), \(x=\frac{\pi}{4}\) e \(x=\frac{\pi}{2}\).

27.2. O período positivo mínimo é \(\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\): opção (B). (\(\frac{\pi}{4}\) não é período: \(g\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\) \(=\sin(4x+\pi)\) \(=-g(x)\).)

27.3\colon\) \(\sin(4x)=1\) \(\Leftrightarrow4x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}

27.1. \(0,\ \dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{\pi}{2}\)
27.2. (B)
27.3. (B)

28. Pontos do gráfico de sin(2x) à mesma altura

Na figura está representada parte do gráfico da função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=\sin(2x)\).

Parte do gráfico de g de seno de 2x com os pontos A e B à mesma altura

No gráfico da função \(g\) estão assinalados os pontos \(A\) e \(B\), com abcissas positivas e inferiores ao primeiro zero positivo de \(g\). Sabe-se que \(\overline{AB}=\dfrac{\pi}{4}\) e que a reta \(AB\) é paralela ao eixo das abcissas.

Determine a abcissa do ponto \(A\).

Simetria do gráfico

O primeiro zero positivo de \(g\) é \(\frac{\pi}{2}\) e, em \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\), o gráfico é simétrico relativamente à reta \(x=\frac{\pi}{4}\) (onde está o máximo). Como \(A\) e \(B\) têm a mesma ordenada, são simétricos relativamente a essa reta:

x_A=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac12\times\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{8}

x_B=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{3\pi}{8}

Verificação

g\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\sin\dfrac{\pi}{4}\) \(=\dfrac{\sqrt2}{2}\) \(=\sin\dfrac{3\pi}{4}\) \(=g\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)

A abcissa de \(A\) é \(\dfrac{\pi}{8}\).

29. Domínio de uma função com a tangente

Considere a função \(f\) tal que \(f(x)=\dfrac{1}{3-\tan^2x}\). Indique qual das seguintes afirmações é verdadeira.

(A) \(\dfrac{\pi}{4}\in D_f\)(B) \(\dfrac{\pi}{3}\in D_f\)(C) \(\dfrac{\pi}{2}\in D_f\)(D) \(\dfrac{2\pi}{3}\in D_f\)

\dfrac{1}{3-\tan^2\frac{\pi}{4}}\) \(=\dfrac{1}{3-1}=\dfrac12\) \(\Rightarrow\ \dfrac{\pi}{4}\in D_f

Em \(\frac{\pi}{3}\) e \(\frac{2\pi}{3}\), \(\tan^2x=3\) e o denominador anula-se; \(\tan\frac{\pi}{2}\) não existe.

Opção (A).

30. Período a partir de dois mínimos

Na figura estão representados parte do gráfico de uma função periódica \(f\) e os pontos \(A\) e \(B\), pertencentes ao gráfico da função \(f\), tais que \(A\left(-\dfrac{\pi}{18},-1\right)\) e \(B\left(\dfrac{11\pi}{18},-1\right)\).

Gráfico de uma função periódica com dois mínimos consecutivos nos pontos A e B

Qual dos valores seguintes pode ser um período da função \(f\)?

(A) \(\dfrac{2\pi}{9}\)(B) \(\dfrac{\pi}{3}\)(C) \(\dfrac{5\pi}{9}\)(D) \(\dfrac{2\pi}{3}\)

\(A\) e \(B\) são mínimos consecutivos, logo a distância entre as suas abcissas é o período positivo mínimo:

\dfrac{11\pi}{18}-\left(-\dfrac{\pi}{18}\right)\) \(=\dfrac{12\pi}{18}=\dfrac{2\pi}{3}

Opção (D).

31. Contradomínio de 1/2 + cos x

Considere a função \(f\), de domínio \(\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{2\pi}{3}\right]\), definida por \(f(x)=\dfrac12+\cos x\).

Qual é o contradomínio da função \(f\)?

(A) \(\left[-\dfrac12,0\right]\)(B) \([-1,1]\)(C) \(\left[0,\dfrac12\right]\)(D) \(\left[-\dfrac12,\dfrac32\right]\)

Em \(\left[\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3}\right]\) o cosseno decresce de \(\cos\frac{\pi}{2}=0\) até \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12\):

-\dfrac12\le\cos x\le0\) \(\Leftrightarrow0\le\dfrac12+\cos x\le\dfrac12

Opção (C).

32. Propriedades da tangente num domínio restrito

Considere a função \(f\), de domínio \(\left]-\pi,\dfrac{\pi}{2}\right[\setminus\left\{-\dfrac{\pi}{2}\right\}\), definida por \(f(x)=\tan x\).

Qual das afirmações é verdadeira?

(A) \(f\) é positiva em todo o seu domínio.(B) \(f\) é decrescente.(C) \(f\) tem exatamente dois zeros.(D) \(f\) é negativa em \(\left]-\dfrac{\pi}{2},0\right[\).

Em \(\left]-\pi,-\frac{\pi}{2}\right[\) (3.º quadrante) a tangente é positiva; em \(\left]-\frac{\pi}{2},0\right[\) é negativa; em \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\) é positiva. O único zero é \(0\) (\(-\pi\) não pertence ao domínio) e a tangente é crescente em cada um dos intervalos.

Opção (D).

33. Uma função igual a 2 tan x

Considere a função real de variável real \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\left\{x\in\mathbb{R}:x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}\), definida por:

f(x)=\dfrac{\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}{1+\sin(\pi+x)}\) \({}+\dfrac{\cos(\pi-x)}{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}

33.1. Prove que \(f(x)=2\tan x\).

33.2. Sabendo que \(\theta\in\left]\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right[\) e que \(\sin\theta=-\dfrac14\), calcule o valor exato de \(f(\theta)\).

33.1 - Reduzir e somar as frações

f(x)=\dfrac{\cos x}{1-\sin x}\) \({}+\dfrac{-\cos x}{1+\sin x}\) \(=\dfrac{\cos x(1+\sin x)-\cos x(1-\sin x)}{(1-\sin x)(1+\sin x)}

=\dfrac{2\sin x\cos x}{1-\sin^2x}\) \(=\dfrac{2\sin x\cos x}{\cos^2x}\) \(=\dfrac{2\sin x}{\cos x}\) \(=2\tan x

33.2 - θ no 3.º quadrante

\cos^2\theta\) \(=1-\dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{16}\) \(\Rightarrow\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}

\tan\theta=\dfrac{-\frac14}{-\frac{\sqrt{15}}{4}}=\dfrac{\sqrt{15}}{15}

f(\theta)=2\tan\theta=\dfrac{2\sqrt{15}}{15}

33.2. \(f(\theta)=\dfrac{2\sqrt{15}}{15}\)

34. f(x) = 5 − 3 sin(3x + π/6)

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=5-3\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)\).

34.1. Determine o contradomínio da função \(f\).

34.2. Prove que \(\forall x\in\mathbb{R},\ f\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\) \({}+f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=10\).

34.1

-1\le\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)\le1\) \(\Leftrightarrow3\ge-3\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)\ge-3\) \(\Leftrightarrow8\ge f(x)\ge2

\(D'_f=[2,8]\)

34.2

Seja \(u=3x+\frac{\pi}{6}\). Então \(f\left(x\mp\frac{\pi}{2}\right)=5-3\sin\left(u\mp\frac{3\pi}{2}\right)\) e:

\sin\left(u-\dfrac{3\pi}{2}\right)\) \(=\sin\left(u+\dfrac{\pi}{2}\right)\) \(=\cos u

\sin\left(u+\dfrac{3\pi}{2}\right)=-\cos u

f\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)+f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\) \(=10-3\cos u\) \({}+3\cos u=10

35. f(x) = cos³x / (1 − sin x)

Considere a função \(f\), definida em \(\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\), por \(f(x)=\dfrac{\cos^3x}{1-\sin x}\).

35.1. Mostre que \(f(x)=\cos x+\sin x\cos x\).

35.2. Sabendo que \(\tan(\pi-\alpha)=-2\), determine \(f\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)\).

35.3. Na figura estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica e um triângulo \([ABC]\).

Circunferência trigonométrica com o triângulo ABC, AB horizontal e C em (0,-1)

Sabe-se que: \(A\) e \(B\) pertencem à circunferência; \(A\) se desloca sobre o arco \(PQ\), nunca coincidindo com \(Q\); a reta \(AB\) é paralela ao eixo \(Ox\); \(C\) é a interseção da circunferência com o eixo \(Oy\) (\(C=(0,-1)\)); \(\beta\) é a amplitude do ângulo \(A\hat OP\).

a) Mostre que a área do triângulo \([ABC]\) é dada por \(f(\beta)\).

b) Recorrendo à calculadora gráfica, determine o(s) valor(es) de \(\beta\), com arredondamento às centésimas, para o(s) qual(is) a área do triângulo \([ABC]\) é a terça parte da área do círculo delimitado pela circunferência.

35.1

\dfrac{\cos^3x}{1-\sin x}\) \(=\dfrac{\cos^2x}{1-\sin x}\times\cos x\) \(=\dfrac{(1-\sin x)(1+\sin x)}{1-\sin x}\) \({}\times\cos x\) \(=\cos x+\sin x\cos x

35.2

\tan(\pi-\alpha)\) \(=-\tan\alpha=-2\) \(\Leftrightarrow\tan\alpha=2

Tomando \(\alpha\) no 1.º quadrante: \(\cos^2\alpha=\frac{1}{1+4}=\frac15\), \(\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}\) e \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt5}{5}\).

f\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)\) \(=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)\) \({}+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)\) \(=-\sin\alpha-\cos\alpha\sin\alpha

=-\dfrac{2\sqrt5}{5}-\dfrac{\sqrt5}{5}\times\dfrac{2\sqrt5}{5}\) \(=-\dfrac{2\sqrt5}{5}-\dfrac25\) \(=-\dfrac{2+2\sqrt5}{5}

Rigorosamente, \(\frac{\pi}{2}+\alpha\) não pertence ao domínio \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\) de \(f\); o valor calculado é o da expressão \(\cos x+\sin x\cos x\) nesse ponto.

35.3 a)

\(A(\cos\beta,\sin\beta)\), \(B(-\cos\beta,\sin\beta)\) e \(C(0,-1)\). A base \([AB]\) mede \(2\cos\beta\) e a altura relativa a ela mede \(1+\sin\beta\):

A_{[ABC]}=\dfrac{2\cos\beta\,(1+\sin\beta)}{2}\) \(=\cos\beta+\sin\beta\cos\beta\) \(=f(\beta)

35.3 b)

A área do círculo é \(\pi\); pretende-se resolver \(f(\beta)=\dfrac{\pi}{3}\), com \(\beta\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\).

Gráfico de f e da reta y igual a pi sobre 3, com os pontos de interseção de abcissas 0,05 e 0,96

35.2. \(-\dfrac{2+2\sqrt5}{5}\)
35.3 b) \(\beta\approx0{,}05\) ou \(\beta\approx0{,}96\)