Funções Trigonométricas

Considera a função \(f\) definida em \(\mathbb{R}\) por \(f(x)=1-2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{2}{3}x\right)\).

• 1.1. Determina o contradomínio da função \(f\).
• 1.2. Escreve a expressão geral dos zeros de \(f\).
• 1.3. Prova que \(f\) é periódica de período \(3\pi\).

Considera as funções \(f,\ g,\ h,\ i,\ j,\ k\) e \(l\) definidas, respetivamente, por:

• 2.1. Determina o domínio e o contradomínio de cada uma das funções.
• 2.2. Determina, caso existam, uma expressão geral dos zeros de cada uma das funções.
• 2.6. Prova que:
  • 2.6.1. \(g\) é periódica de período \(\pi\).
  • 2.6.2. \(h\) é periódica de período \(4\pi\).
  • 2.6.3. \(k\) é periódica de período \(\dfrac{\pi}{5}\).

Considere a função \(f\) definida em \(\mathbb{R}\) por \(f(x)=\dfrac{1-\sin 4x}{2}\).

• 3.1. Determine o contradomínio de \(f\).
• 3.2. Mostre que \(f\) é periódica de período \(\dfrac{\pi}{2}\).
• 3.3. Sabendo que \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right[\) e que \(f(\pi+\alpha)\times f(\pi-\alpha)=\dfrac{4}{25}\), determine \(f(\alpha)\).

Na figura está representado um referencial ortonormado \(Oxy\) e a circunferência trigonométrica, que interseta o eixo \(Ox\) nos pontos \(A\) e \(B\) (\(B\) com abcissa positiva) e o semieixo positivo \(Oy\) no ponto \(C\). O ponto \(P\) desloca-se sobre o arco \(CA\) de tal modo que \(OQ\) é sempre perpendicular a \(AP\). As semirretas \(\dot{A}P\) e \(\dot{O}Q\) intersetam-se no ponto \(S\).

• 4.1. Para cada \(x\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\), seja \(g(x)\) a área do triângulo \([OPS]\). Mostra que \(g(x)=\dfrac14\sin(2x)\).
• 4.2. Determina o contradomínio da função \(g\) e indica a área máxima do triângulo \([OPS]\).
• 4.3. Sabendo que a abcissa do ponto \(P\) é \(\dfrac{5}{13}\), determina a área do triângulo \([OPS]\).

Considere as funções \(f\) e \(g\) definidas em \(\mathbb{R}\) por \(f(x)=3\cos\dfrac{x}{2}\) e \(g(x)=\dfrac13\sin(3x)\).

• 5.1. Prova que \(f\) é uma função periódica de período \(4\pi\).
• 5.2. Prova que \(g\) é uma função periódica e indica o período mínimo.
• 5.3. Sabendo que \(f(\pi-2\alpha)=1\) e que \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right[\), determina \(g\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\alpha}{3}\right)\).

Um ponto \(P\) desloca-se sobre uma semicircunferência de diâmetro \([AB]\), centro \(O\) e raio \(1\). Seja \(x\) a amplitude, em radianos, do ângulo \(BOP\) (\(x\in\,]0,\pi[\)). Seja \(f(x)=\overline{BP}\) e \(g(x)=\overline{AP}\).

• 6.1. Justifica que o triângulo \([ABP]\) é retângulo em \(P\).
• 6.2. Justifica que \(f(x)=2\sin\dfrac{x}{2}\) e \(g(x)=2\cos\dfrac{x}{2}\).
• 6.3. Sabendo que \(f(\pi-2\alpha)=1\) e \(\alpha\in\,]0,\pi[\), determina \(\overline{AP}\) para \(x=\alpha\).

Seja \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\) a função definida por \(f(x)=\sin x\). Sejam \(A\), \(B\) e \(C\) os pontos tais que:

• \(A\) e \(B\) pertencem ao gráfico de \(f\) e têm a mesma ordenada, sendo \(A\) o de menor abcissa;
• \(C\) é o ponto de interseção da mediatriz de \([AB]\) com o eixo \(Ox\);
• o quadrilátero \([OABC]\) é um paralelogramo.

Determine a área desse paralelogramo.

Na figura estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), uma circunferência e um triângulo \([OAB]\). Sabe-se que:

• a circunferência tem diâmetro \([OA]\);
• o ponto \(A\) tem coordenadas \((2,0)\);
• o vértice \(O\) do triângulo \([OAB]\) coincide com a origem do referencial;
• o ponto \(B\) desloca-se ao longo da semicircunferência superior.

Para cada posição do ponto \(B\), seja \(\alpha\) a amplitude do ângulo \(AOB\), com \(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\).

• 8.1. Mostre que o perímetro do triângulo \([OAB]\) é dado, em função de \(\alpha\), por \(P(\alpha)=2\,(1+\cos\alpha+\sin\alpha)\).
• 8.2. Recorrendo às capacidades da calculadora gráfica, determine o valor de \(\alpha\), em radianos, para o qual o perímetro do triângulo \([OAB]\) é máximo (resultado arredondado às centésimas).

Na figura estão representados, num referencial o.n. \(xOy\), a circunferência trigonométrica e a reta de equação \(x=1\). Um ponto \(P\) desloca-se sobre a circunferência, no primeiro quadrante. Para cada posição de \(P\):

• seja \(\alpha\) a amplitude do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo \(Ox\) e por lado extremidade a semirreta \(\dot{O}P\) \(\left(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\right)\);
• seja \(f(\alpha)\) a área do trapézio \([PQRS]\), em que \(S\) é o ponto de interseção da reta \(OP\) com a reta \(x=1\) e os pontos \(Q\) e \(R\) são, respetivamente, os simétricos de \(P\) e \(S\) em relação ao eixo \(Ox\).

• 9.1. Mostra que \(f(\alpha)=(\tan\alpha+\sin\alpha)(1-\cos\alpha)\).
• 9.2. Determina a área do trapézio, no caso em que a abcissa do ponto \(P\) é \(\dfrac{1}{3}\).

Na figura estão representados, num referencial o.n. \(xOy\), a circunferência trigonométrica e a reta de equação \(x=1\). Um ponto \(P\) desloca-se sobre a circunferência, no terceiro quadrante. Para cada posição de \(P\):

• seja \(\alpha\) a amplitude do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo \(Ox\) e por lado extremidade a semirreta \(\dot{O}P\) \(\left(\alpha\in\left]\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right[\right)\);
• seja \(f(\alpha)\) a área do triângulo \([PQR]\), em que \(Q\) é o ponto de interseção da reta \(OP\) com a reta \(x=1\) e \(R\) é o ponto desta reta que tem ordenada igual à do ponto \(P\).

• 10.1. Mostra que \(f(\alpha)=\dfrac{(1-\cos\alpha)(\tan\alpha-\sin\alpha)}{2}\).
• 10.2. Para um certo \(x\in\left]\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right[\), tem-se \(\tan x=\dfrac{4}{3}\). Determina \(f(x)\).

Na figura estão representados, num referencial o.n. \(xOy\), a circunferência trigonométrica e a reta de equação \(x=1\). Um ponto \(P\) desloca-se sobre a circunferência, no primeiro quadrante. Para cada posição de \(P\):

• seja \(\alpha\) a amplitude do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo \(Ox\) e por lado extremidade a semirreta \(\dot{O}P\) \(\left(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\right)\);
• seja \(f(\alpha)\) a área do trapézio \([PQRS]\), em que \(Q\) é o ponto da reta de equação \(y=1\) que tem abcissa igual à do ponto \(P\), \(R\) é o ponto de interseção da reta \(OP\) com a reta \(x=1\) e \(S\) é o ponto de coordenadas \((1,0)\).

• 11.1. Mostra que \(f(\alpha)=\dfrac{(1-\cos\alpha)(1+\tan\alpha-\sin\alpha)}{2}\).
• 11.2. Determina \(f\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\).

Na figura estão representados, num referencial o.n. \(xOy\), a circunferência trigonométrica e a reta de equação \(x=1\). Um ponto \(P\) desloca-se sobre a circunferência, no primeiro quadrante. Para cada posição de \(P\):

• seja \(\alpha\) a amplitude do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo \(Ox\) e por lado extremidade a semirreta \(\dot{O}P\) \(\left(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\right)\);
• seja \(R\) o ponto de abcissa \(1\) que tem ordenada igual à de \(P\);
• seja \(c\) a circunferência de centro \(Q(1,0)\) que passa pelo ponto \(R\).

• 12.1. A circunferência \(c\) interseta a circunferência trigonométrica em dois pontos que têm a mesma abcissa. Determina essa abcissa, em função de \(\alpha\).
• 12.2. Prova que a reta \(OP\) é tangente à circunferência \(c\).

Seja \(f:\left[-\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right]\to\mathbb{R}\) a função definida por \(f(x)=2-4\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\).

• 13.1. Determina o zero da função \(f\).
• 13.2. Indica o contradomínio da função \(f\).
• 13.3. Sejam \(A\) e \(B\) os pontos de interseção do gráfico de \(f\) com os eixos \(Ox\) e \(Oy\), respetivamente. Sejam \(P\) e \(Q\) os pontos do gráfico de \(f\) de ordenada máxima e mínima, respetivamente. Seja \(C\) o ponto de interseção da reta \(PQ\) com o eixo \(Ox\). Determina a área do triângulo \([ABC]\).