Fórmulas Trigonométricas | Matemática A

📌 Resumo teórico

Circunferência trigonométrica

Ao ângulo \(\alpha\) corresponde o ponto \(P=(\cos\alpha,\ \sin\alpha)\) da circunferência de centro \(O\) e raio \(1\). A tangente é \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) (\(\cos\alpha\ne 0\)).

Fórmulas fundamentais

\[ \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\qquad\qquad 1+\tan^{2}\alpha=\frac{1}{\cos^{2}\alpha} \]

A identidade com a tangente exige \(\cos\alpha\ne0\). Com uma razão conhecida, calculam-se as outras e escolhe-se o sinal de acordo com o quadrante:

Quadrante	1.º	2.º	3.º	4.º
\(\sin\alpha\)	\(+\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)
\(\cos\alpha\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
\(\tan\alpha\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)

Demonstrar identidades

partir de um dos membros (normalmente o mais complicado) e transformá-lo até obter o outro;
substituir \(\tan\alpha\) por \(\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) e usar \(\sin^{2}\alpha=1-\cos^{2}\alpha\) ou \(\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha\);
casos notáveis: \((\cos\beta\pm\sin\beta)^{2}=1\pm 2\sin\beta\cos\beta\);
pôr em evidência: \(\cos^{3}x-\cos x=\cos x\left(\cos^{2}x-1\right)=-\cos x\sin^{2}x\).

Áreas em função de um ângulo

Num triângulo com dois lados \(a\) e \(b\) que formam um ângulo \(\theta\), a altura relativa a \(a\) é \(b\sin\theta\), logo a área é \(\dfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin\theta\).

1. Circunferência trigonométrica

Na circunferência trigonométrica, o ângulo \(\alpha=\widehat{AOP}\) pertence ao 3.º quadrante e o ponto \(P\) tem abcissa \(-\dfrac45\).

Circunferência trigonométrica com o ponto P no terceiro quadrante

Determine \(\sin\alpha\) e \(\tan\alpha\).

Usar a fórmula fundamental

Como a abcissa de \(P\) é o cosseno, \(\cos\alpha=-\dfrac45\).

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) \(\Rightarrow \sin^2\alpha=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac9{25}

No 3.º quadrante, o seno é negativo.

\sin\alpha=-\dfrac35

Calcular a tangente

\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) \(=\dfrac{-3/5}{-4/5}=\dfrac34

\(\sin\alpha=-\dfrac35\) e \(\tan\alpha=\dfrac34\).

2. Seno no 2.º quadrante

Sabendo que \(\sin\alpha=\dfrac15\) e que \(\alpha\) pertence ao 2.º quadrante, determine \(\cos\alpha\) e \(\tan\alpha\).

Calcular o cosseno

\cos^2\alpha\) \(=1-\sin^2\alpha\) \(=1-\dfrac1{25}=\dfrac{24}{25}

No 2.º quadrante, o cosseno é negativo.

\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{24}}5=-\dfrac{2\sqrt6}{5}

Calcular a tangente

\tan\alpha=\dfrac{1/5}{-2\sqrt6/5}\) \(=-\dfrac1{2\sqrt6}\) \(=-\dfrac{\sqrt6}{12}

\(\cos\alpha=-\dfrac{2\sqrt6}{5}\) e \(\tan\alpha=-\dfrac{\sqrt6}{12}\).

3. Tangente no 4.º quadrante

Sabendo que \(\tan\alpha=-\dfrac32\) e que \(\alpha\) pertence ao 4.º quadrante, determine \(\cos\alpha+\sin\alpha\).

Calcular o cosseno

1+\tan^2\alpha\) \(=\dfrac1{\cos^2\alpha}\) \(\Rightarrow 1+\dfrac94=\dfrac1{\cos^2\alpha}

\cos^2\alpha=\dfrac4{13}

No 4.º quadrante, o cosseno é positivo.

\cos\alpha=\dfrac2{\sqrt{13}}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}

Calcular o seno

\sin\alpha=\tan\alpha\cos\alpha\) \(=-\dfrac32\times\dfrac{2\sqrt{13}}{13}\) \(=-\dfrac{3\sqrt{13}}{13}

\cos\alpha+\sin\alpha\) \(=\dfrac{2\sqrt{13}-3\sqrt{13}}{13}\) \(=-\dfrac{\sqrt{13}}{13}

\(\cos\alpha+\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt{13}}{13}\).

4. Seno no 3.º quadrante

Sabendo que \(\sin\alpha=-\dfrac13\) e que \(\alpha\in\left]\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right[\), calcule os valores exatos de \(\cos\alpha\) e \(\tan\alpha\).

Calcular o cosseno

\cos^2\alpha\) \(=1-\sin^2\alpha\) \(=1-\dfrac19=\dfrac89

O intervalo dado corresponde ao 3.º quadrante, onde o cosseno é negativo.

\cos\alpha=-\dfrac{2\sqrt2}{3}

Calcular a tangente

\tan\alpha=\dfrac{-1/3}{-2\sqrt2/3}\) \(=\dfrac1{2\sqrt2}\) \(=\dfrac{\sqrt2}{4}

\(\cos\alpha=-\dfrac{2\sqrt2}{3}\) e \(\tan\alpha=\dfrac{\sqrt2}{4}\).

5. Identidades trigonométricas I

Prove as seguintes igualdades, admitindo que todos os denominadores são diferentes de zero.

5.1. \((\cos\beta-\sin\beta)^2=2-(\cos\beta+\sin\beta)^2\)

5.2. \(\dfrac{\cos^2\alpha}{1+\sin\alpha}=1-\sin\alpha\)

5.3. \(\tan\alpha+\dfrac1{\tan\alpha}=\dfrac1{\sin\alpha\cos\alpha}\)

5.4. \(\dfrac{\sin\beta}{1+\cos\beta}=\dfrac{1-\cos\beta}{\sin\beta}\)

5.5. \(\dfrac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}+\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\)

5.6. \(\sin\alpha\cos\alpha\left(\tan\alpha+\dfrac1{\tan\alpha}\right)=1\)

5.7. \(\left(2-\dfrac1{\cos^2\alpha}\right)(1-\sin^2\alpha)=2\cos^2\alpha-1\)

5.1

2-(\cos\beta+\sin\beta)^2\) \(=2-\cos^2\beta\) \({}-2\sin\beta\cos\beta-\sin^2\beta

=1-2\sin\beta\cos\beta\) \(=\cos^2\beta\) \({}-2\sin\beta\cos\beta+\sin^2\beta\) \(=(\cos\beta-\sin\beta)^2

5.2

\dfrac{\cos^2\alpha}{1+\sin\alpha}\) \(=\dfrac{1-\sin^2\alpha}{1+\sin\alpha}\) \(=\dfrac{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}{1+\sin\alpha}\) \(=1-\sin\alpha

5.3

\tan\alpha+\dfrac1{\tan\alpha}\) \(=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} +\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) \(=\dfrac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\) \(=\dfrac1{\sin\alpha\cos\alpha}

5.4

\dfrac{\sin\beta}{1+\cos\beta} \times\dfrac{1-\cos\beta}{1-\cos\beta}\) \(=\dfrac{\sin\beta(1-\cos\beta)}{1-\cos^2\beta}\) \(=\dfrac{1-\cos\beta}{\sin\beta}

5.5

\dfrac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}\) \(=\dfrac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}\) \(=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha

\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+\sin^2\alpha\) \(=\cos^2\alpha

5.6

\sin\alpha\cos\alpha \left(\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} +\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)\) \(=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

5.7

\left(2-\dfrac1{\cos^2\alpha}\right)(1-\sin^2\alpha)\) \(=\left(2-\dfrac1{\cos^2\alpha}\right)\cos^2\alpha\) \(=2\cos^2\alpha-1

6. Identidades trigonométricas II

Sendo \(x\) um ângulo agudo, demonstre as seguintes identidades.

6.1. \(\dfrac{\cos^3x-\cos x}{\sin^3x-\sin x}=\tan x\)

6.2. \(\dfrac{\tan^2x\cos x}{1+\frac1{\tan^2x}}=\tan x\sin^3x\)

6.3. \((\tan^3x+\tan x)\cos^3x=\sin x\)

6.4. \(\dfrac{\sin^4x-\sin^2x}{\frac1{\cos^2x}-1}+\cos^4x=0\)

6.5. \(2\sin^2x\cos^2x=1-\sin^4x-\cos^4x\)

6.6. \(\dfrac{\sin x}{1-\cos x}=\dfrac1{\sin x}+\dfrac1{\tan x}\)

6.7. \(\cos^4x-\sin^4x=1-2\sin^2x\)

6.8. \(\dfrac1{\sin^2x}-1=\dfrac1{\tan^2x}\)

6.9. \(\dfrac{1-\sin x}{\cos x}+\dfrac{\cos x}{1+\sin x}=\dfrac{2\cos x}{1+\sin x}\)

6.10. \(\sin x\tan x+\cos x=\dfrac1{\cos x}\)

6.11. \((\sin x+\tan x)(1-\cos x)=\dfrac{\sin^3x}{\cos x}\)

6.1

\dfrac{\cos x(\cos^2x-1)}{\sin x(\sin^2x-1)}\) \(=\dfrac{-\cos x\sin^2x}{-\sin x\cos^2x}\) \(=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) \(=\tan x

6.2

\dfrac{\tan^2x\cos x}{1+\frac1{\tan^2x}}\) \(=\dfrac{\tan^4x\cos x}{1+\tan^2x}\) \(=\tan^4x\cos^3x\) \(=\dfrac{\sin^4x}{\cos x}

\tan x\sin^3x\) \(=\dfrac{\sin x}{\cos x}\sin^3x\) \(=\dfrac{\sin^4x}{\cos x}

6.3

(\tan^3x+\tan x)\cos^3x\) \(=\tan x(\tan^2x+1)\cos^3x\) \(=\tan x\dfrac1{\cos^2x}\cos^3x\) \(=\tan x\cos x\) \(=\sin x

6.4

\dfrac{\sin^2x(\sin^2x-1)}{\frac{1-\cos^2x}{\cos^2x}}\) \({}+\cos^4x\) \(=\dfrac{-\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x/\cos^2x}\) \({}+\cos^4x\) \(=-\cos^4x+\cos^4x=0

6.5

1=(\sin^2x+\cos^2x)^2\) \(=\sin^4x+2\sin^2x\cos^2x\) \({}+\cos^4x

2\sin^2x\cos^2x\) \(=1-\sin^4x-\cos^4x

6.6

\dfrac{\sin x}{1-\cos x} \times\dfrac{1+\cos x}{1+\cos x}\) \(=\dfrac{1+\cos x}{\sin x}\) \(=\dfrac1{\sin x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}\) \(=\dfrac1{\sin x}+\dfrac1{\tan x}

6.7

\cos^4x-\sin^4x\) \(=(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)\) \(=\cos^2x-\sin^2x\) \(=1-2\sin^2x

6.8

\dfrac1{\sin^2x}-1\) \(=\dfrac{1-\sin^2x}{\sin^2x}\) \(=\dfrac{\cos^2x}{\sin^2x}\) \(=\dfrac1{\tan^2x}

6.9

\dfrac{1-\sin x}{\cos x}\) \(=\dfrac{(1-\sin x)(1+\sin x)}{\cos x(1+\sin x)}\) \(=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}

\dfrac{\cos x}{1+\sin x}+\dfrac{\cos x}{1+\sin x}\) \(=\dfrac{2\cos x}{1+\sin x}

6.10

\sin x\tan x+\cos x\) \(=\dfrac{\sin^2x}{\cos x}+\cos x\) \(=\dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos x}\) \(=\dfrac1{\cos x}

6.11

(\sin x+\tan x)(1-\cos x)\) \(=\sin x\left(1+\dfrac1{\cos x}\right)(1-\cos x)

=\dfrac{\sin x(1+\cos x)(1-\cos x)}{\cos x}\) \(=\dfrac{\sin x(1-\cos^2x)}{\cos x}\) \(=\dfrac{\sin^3x}{\cos x}

7. Área numa semicircunferência

Numa semicircunferência de centro \(O\) e raio \(1\), o ponto \(P\) desloca-se de \(Q\) até \(B\). Sabe-se que \(\widehat{QOP}=\alpha\) radianos e que \(A\) é a projeção ortogonal de \(P\) sobre \(Ox\).

Semicircunferência com uma região colorida e ângulo alfa

7.1. Determine a área colorida para \(\alpha=\dfrac{\pi}{6}\).

7.2.1. Mostre que \(f(\alpha)=\dfrac{\pi-\sin\alpha-\sin\alpha\cos\alpha}{2}\).

7.2.2. O mínimo da função tem abcissa \(\dfrac{\pi}{3}\). Determine a ordenada e interprete o ponto.

7.2.3. Determine, às décimas, os valores de \(\alpha\) para os quais a área é \(1{,}2\).

Área da região

A zona colorida é a área da semicircunferência menos a área do triângulo \([ABP]\).

Como \(A=(\cos\alpha,0)\) e \(B=(-1,0)\), a base \(AB\) mede \(1+\cos\alpha\) e a altura mede \(\sin\alpha\).

7.1 - Alfa igual a pi sobre 6

A=\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{(1+\cos\frac{\pi}{6})\sin\frac{\pi}{6}}{2}

A=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2+\sqrt3}{8}\) \(=\dfrac{4\pi-2-\sqrt3}{8}

A área colorida é \(\dfrac{4\pi-2-\sqrt3}{8}\).

7.2.1 - Expressão da função

f(\alpha)=\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{(1+\cos\alpha)\sin\alpha}{2}

f(\alpha)=\dfrac{\pi-\sin\alpha-\sin\alpha\cos\alpha}{2}

7.2.2 - Valor mínimo

f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) =\dfrac{\pi-\frac{\sqrt3}{2} -\frac{\sqrt3}{2}\times\frac12}{2}\) \(=\dfrac{4\pi-3\sqrt3}{8}

O ponto mínimo é \(\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{4\pi-3\sqrt3}{8}\right)\). A área colorida é mínima quando \(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\).

7.2.3 - Resolver graficamente

Representa-se \(y=f(\alpha)\) e a reta \(y=1{,}2\), procurando as abcissas dos pontos de interseção.

Calculadora gráfica com as interseções da função área e a reta y igual a 1,2

\(\alpha\approx0{,}4\) rad ou \(\alpha\approx1{,}8\) rad.

8. Expressão a partir da tangente

Determine \(1-2\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\), sabendo que \(\alpha\) é um ângulo agudo e que \(\tan\alpha=\dfrac53\).

Calcular \(\cos^2\alpha\)

1+\tan^2\alpha\) \(=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\) \(\Leftrightarrow1+\dfrac{25}{9}\) \(=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{34}{9}=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\) \(\Leftrightarrow\cos^2\alpha=\dfrac{9}{34}

Calcular \(\sin^2\alpha\)

\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\) \(=1-\dfrac{9}{34}=\dfrac{25}{34}

Substituir

1-2\times\dfrac{9}{34}+\dfrac{25}{34}\) \(=\dfrac{34-18+25}{34}=\dfrac{41}{34}

\(1-2\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=\dfrac{41}{34}\)

9. Circunferência de raio 3

Na figura está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência de centro \(O\) e raio \(3\). Estão ainda representados:

o ângulo \(\theta\) do 3.º quadrante, cujo lado extremidade é \(\dot{O}P\);
o ponto \(P\), de abcissa \(-\dfrac95\), pertencente à circunferência.

Circunferência de centro O e raio 3, com o ponto P no terceiro quadrante de abcissa menos nove quintos

Determine o valor exato de \(\sin\theta-\cos\theta\).

Cosseno de \(\theta\)

Numa circunferência de raio \(3\), \(P=(3\cos\theta,\ 3\sin\theta)\):

3\cos\theta=-\dfrac95\) \(\Leftrightarrow\cos\theta=-\dfrac35

Seno de \(\theta\)

\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}

Como \(\theta\) pertence ao 3.º quadrante, \(\sin\theta\lt0\), logo \(\sin\theta=-\dfrac45\).

\sin\theta-\cos\theta\) \(=-\dfrac45-\left(-\dfrac35\right)\) \(=-\dfrac15

\(\sin\theta-\cos\theta=-\dfrac15\)

10. Uma equação em cos α

Sabe-se que \(\alpha\) é um ângulo agudo e que \(\cos\alpha+\dfrac{1}{4\cos\alpha}-1=0\).

Determine o valor exato de \(\sin\alpha\times\tan\alpha\).

Resolver a equação

Como \(\alpha\) é agudo, \(\cos\alpha\ne0\). Multiplicando ambos os membros por \(4\cos\alpha\):

4\cos^2\alpha+1-4\cos\alpha=0\) \(\Leftrightarrow\left(2\cos\alpha-1\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow\cos\alpha=\dfrac12

Seno e tangente

\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac14}\) \(=\dfrac{\sqrt3}{2}\quad(\alpha\text{ agudo})

\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\sqrt3

\sin\alpha\times\tan\alpha\) \(=\dfrac{\sqrt3}{2}\times\sqrt3=\dfrac32

\(\sin\alpha\times\tan\alpha=\dfrac32\)

11. Simplificação de expressões

Simplifique cada uma das seguintes expressões para os valores de \(\alpha\) para os quais estão definidas.

11.1. \((1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)\) \({}+(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)\)

11.2. \(\dfrac{1-\cos^2\alpha}{\tan^2\alpha}\)

11.3. \((\sin\alpha+\cos\alpha)^2-(\sin\alpha-\cos\alpha)^2\)

11.1 - Diferença de quadrados

\left(1-\sin^2\alpha\right)\) \({}+\left(1-\cos^2\alpha\right)\) \(=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1

11.2

\dfrac{1-\cos^2\alpha}{\tan^2\alpha}\) \(=\dfrac{\sin^2\alpha}{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}\) \(=\cos^2\alpha

11.3 - Desenvolver os quadrados

\left(\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha\right)\) \({}-\left(\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha\right)\) \(=4\sin\alpha\cos\alpha

11.1. \(1\)
11.2. \(\cos^2\alpha\)
11.3. \(4\sin\alpha\cos\alpha\)

12. Cosseno no 2.º quadrante

Seja \(\alpha\in\left]0,\pi\right[\) tal que \(\cos\alpha=-\dfrac25\).

Determine o valor exato de \(\sin\alpha\times\tan\alpha\).

Quadrante

Em \(\left]0,\pi\right[\), o seno é positivo; como \(\cos\alpha\lt0\), \(\alpha\) está no 2.º quadrante.

\sin^2\alpha=1-\dfrac{4}{25}=\dfrac{21}{25}\) \(\Rightarrow\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{21}}{5}

\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) \(=\dfrac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac25}\) \(=-\dfrac{\sqrt{21}}{2}

\sin\alpha\times\tan\alpha\) \(=\dfrac{\sqrt{21}}{5}\times\left(-\dfrac{\sqrt{21}}{2}\right)\) \(=-\dfrac{21}{10}

\(\sin\alpha\times\tan\alpha=-\dfrac{21}{10}\)

13. Razões trigonométricas conhecida uma delas

Determine as razões trigonométricas do ângulo de amplitude \(\alpha\), sabendo que:

13.1. \(\sin\alpha=\dfrac49\) e \(-90^\circ\lt\alpha\lt90^\circ\)

13.2. \(\cos\alpha=-\dfrac15\) e \(180^\circ\lt\alpha\lt360^\circ\)

13.3. \(\tan\alpha=3\) e \(90^\circ\lt\alpha\lt270^\circ\)

13.1 - \(\alpha\) no 1.º quadrante (seno positivo e \(-90^\circ\lt\alpha\lt90^\circ\))

\cos^2\alpha\) \(=1-\dfrac{16}{81}=\dfrac{65}{81}\) \(\Rightarrow\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{65}}{9}

\tan\alpha=\dfrac{\frac49}{\frac{\sqrt{65}}{9}}\) \(=\dfrac{4}{\sqrt{65}}\) \(=\dfrac{4\sqrt{65}}{65}

13.2 - \(\alpha\) no 3.º quadrante (cosseno negativo e \(180^\circ\lt\alpha\lt360^\circ\))

\sin^2\alpha=1-\dfrac{1}{25}=\dfrac{24}{25}\) \(\Rightarrow\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt{24}}{5}\) \(=-\dfrac{2\sqrt6}{5}

\tan\alpha=\dfrac{-\frac{2\sqrt6}{5}}{-\frac15}=2\sqrt6

13.3 - \(\alpha\) no 3.º quadrante (tangente positiva e \(90^\circ\lt\alpha\lt270^\circ\))

1+\tan^2\alpha\) \(=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\) \(\Leftrightarrow10=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\) \(\Leftrightarrow\cos^2\alpha=\dfrac{1}{10}\) \(\Rightarrow\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{10}}{10}

\sin\alpha=\tan\alpha\times\cos\alpha\) \(=3\times\left(-\dfrac{\sqrt{10}}{10}\right)\) \(=-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}

13.1. \(\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{65}}{9}\), \(\tan\alpha=\dfrac{4\sqrt{65}}{65}\)
13.2. \(\sin\alpha=-\dfrac{2\sqrt6}{5}\), \(\tan\alpha=2\sqrt6\)
13.3. \(\sin\alpha=-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\), \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)

14. Octógono inscrito na circunferência trigonométrica

No referencial da figura está representado um octógono regular inscrito na circunferência trigonométrica, sendo o ponto de coordenadas \((1,0)\) um dos seus vértices. Sabe-se que a reta \(t\) é definida por \(x=1\).

Octógono regular inscrito na circunferência trigonométrica, reta t de equação x igual a 1 e pontos P, Q, R e T

14.1. Determine as coordenadas dos pontos \(P\), \(Q\) e \(T\).

14.2. O ponto de interseção do lado extremidade do ângulo \(\alpha\) com a circunferência é o ponto \(R\) e tem ordenada \(-\dfrac14\). Determine as razões trigonométricas do ângulo \(\alpha\).

14.1 - Ângulo ao centro de 45°

\(360^\circ:8=45^\circ\). \(P\) é o vértice associado a \(135^\circ\) (2.º quadrante), \(Q\) é o ponto da reta \(t\) com a ordenada de \(P\) e \(T\) é o ponto da reta \(t\) sobre a reta \(OP\).

P\left(-\dfrac{\sqrt2}{2},\ \dfrac{\sqrt2}{2}\right)

Q\left(1,\ \dfrac{\sqrt2}{2}\right)

T(1,\ \tan135^\circ)=(1,\ -1)

14.2 - R está no 3.º quadrante

\sin\alpha=-\dfrac14

\cos^2\alpha\) \(=1-\dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{16}\) \(\Rightarrow\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}

\tan\alpha=\dfrac{-\frac14}{-\frac{\sqrt{15}}{4}}\) \(=\dfrac{1}{\sqrt{15}}\) \(=\dfrac{\sqrt{15}}{15}

14.1. \(P\left(-\dfrac{\sqrt2}{2},\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\), \(Q\left(1,\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\), \(T(1,-1)\)
14.2. \(\sin\alpha=-\dfrac14\), \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}\), \(\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{15}}{15}\)

15. Dois ângulos na circunferência trigonométrica

Na figura está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica.

Circunferência trigonométrica, reta r tangente em A, reta s pela origem que interseta r em B, e ponto C no terceiro quadrante

Sabe-se que:

a reta \(r\) é tangente à circunferência no ponto \(A(1,0)\);
a reta \(s\) passa na origem do referencial e interseta \(r\) no ponto \(B\), cuja ordenada é \(\sqrt8\);
o ponto \(C\), situado no terceiro quadrante, pertence à circunferência e tem ordenada \(-\dfrac45\);
o ângulo de amplitude \(\alpha\) tem por lado origem o semieixo positivo das abcissas e por lado extremidade a semirreta \(\dot{O}B\);
o ângulo de amplitude \(\beta\) tem por lado origem o semieixo positivo das abcissas e por lado extremidade a semirreta \(\dot{O}C\).

Determine o valor exato da expressão \(\cos\alpha-3\sin\beta+\dfrac{\tan\alpha}{\sqrt2\,\tan\beta}\).

Ângulo \(\alpha\)

A ordenada de \(B\) é a tangente de \(\alpha\): \(\tan\alpha=\sqrt8\).

1+\tan^2\alpha\) \(=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\) \(\Leftrightarrow9=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\) \(\Leftrightarrow\cos^2\alpha=\dfrac19\) \(\Rightarrow\cos\alpha=\dfrac13\quad(\alpha\in1.^\text{o}\text{ Q})

Ângulo \(\beta\)

\sin\beta=-\dfrac45

\cos^2\beta\) \(=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}\) \(\Rightarrow\cos\beta=-\dfrac35\quad(\beta\in3.^\text{o}\text{ Q})

\tan\beta=\dfrac{-\frac45}{-\frac35}=\dfrac43

Valor da expressão

\dfrac13-3\times\left(-\dfrac45\right)\) \({}+\dfrac{\sqrt8}{\sqrt2\times\frac43}\) \(=\dfrac13+\dfrac{12}{5}+\dfrac{2\sqrt2}{\frac{4\sqrt2}{3}}\) \(=\dfrac13+\dfrac{12}{5}+\dfrac32\) \(=\dfrac{10+72+45}{30}\) \(=\dfrac{127}{30}

\(\dfrac{127}{30}\)

16. Área do triângulo [BCD]

Na figura está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), uma circunferência de centro \(O\) e raio \(1\).

Circunferência de centro O e raio 1 com o triângulo BCD, B no primeiro quadrante, C e D no eixo Ox

Sabe-se que:

\(A\) e \(B\) pertencem à circunferência;
\(A\) tem coordenadas \((1,0)\);
\(B\) e \(C\) têm a mesma abcissa;
\(C\) tem ordenada zero;
\(D\) tem coordenadas \((2,0)\);
\(\alpha\) é a amplitude, em graus, do ângulo \(AOB\), com \(\alpha\in\left]0^\circ,90^\circ\right[\).

16.1. Mostre que a área do triângulo \([BCD]\) é dada, em função de \(\alpha\), por \(A(\alpha)=\sin\alpha\left(1-\dfrac{\cos\alpha}{2}\right)\).

16.2. Sabendo que, para um determinado valor de \(\alpha\), \(\tan\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\), determine o valor exato de \(A(\alpha)\), recorrendo a processos analíticos.

16.1 - Catetos do triângulo retângulo [BCD]

\(B(\cos\alpha,\sin\alpha)\) e \(C(\cos\alpha,0)\). Logo, \(\overline{BC}=\sin\alpha\) e \(\overline{CD}=2-\cos\alpha\).

A_{[BCD]}=\dfrac{\overline{CD}\times\overline{BC}}{2}\) \(=\dfrac{(2-\cos\alpha)\sin\alpha}{2}\) \(=\sin\alpha\left(1-\dfrac{\cos\alpha}{2}\right)

16.2 - Cosseno e seno a partir da tangente

1+\dfrac34=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\) \(\Leftrightarrow\cos^2\alpha=\dfrac47\) \(\Rightarrow\cos\alpha=\dfrac{2}{\sqrt7}\) \(=\dfrac{2\sqrt7}{7}

\sin^2\alpha=1-\dfrac47=\dfrac37\) \(\Rightarrow\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt7}\) \(=\dfrac{\sqrt{21}}{7}

A(\alpha)=\dfrac{\sqrt{21}}{7}\left(1-\dfrac{\sqrt7}{7}\right)\) \(=\dfrac{\sqrt{21}}{7}-\dfrac{\sqrt{147}}{49}\) \(=\dfrac{\sqrt{21}}{7}-\dfrac{7\sqrt3}{49}\) \(=\dfrac{\sqrt{21}-\sqrt3}{7}

\(A(\alpha)=\dfrac{\sqrt{21}-\sqrt3}{7}\)

17. Identidades trigonométricas III

Mostre que, para todo o \(\alpha\) onde as expressões têm significado, são válidas as seguintes igualdades.

17.1. \(\sin^4\alpha-\cos^4\alpha=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha\)

17.2. \(\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}+\dfrac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{2}{\sin\alpha}\)

17.3. \(\dfrac{\tan\alpha+\sin\alpha}{\tan\alpha}=1+\cos\alpha\)

17.4. \(\dfrac{1-2\sin^2\alpha}{2\cos^2\alpha-1}=1\)

17.5. \(\dfrac{1}{\sin\alpha}-\dfrac{1}{\tan\alpha}=\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\)

17.1 - Diferença de quadrados

\sin^4\alpha-\cos^4\alpha\) \(=\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)\left(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha\right)\) \(=1\times\left(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha\right)\) \(=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha

17.2 - Reduzir ao mesmo denominador

\dfrac{\sin^2\alpha+(1+\cos\alpha)^2}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}\) \(=\dfrac{\sin^2\alpha+1+2\cos\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}\) \(=\dfrac{2+2\cos\alpha}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}\) \(=\dfrac{2(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}\) \(=\dfrac{2}{\sin\alpha}

17.3 - Dividir cada parcela por \(\tan\alpha\)

\dfrac{\tan\alpha+\sin\alpha}{\tan\alpha}\) \(=1+\dfrac{\sin\alpha}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\) \(=1+\cos\alpha

17.4 - Usar \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

1-2\sin^2\alpha\) \(=\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)\) \({}-2\sin^2\alpha\) \(=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha

2\cos^2\alpha-1\) \(=2\cos^2\alpha\) \({}-\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)\) \(=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha

O numerador e o denominador são iguais (e não nulos, onde a expressão tem significado), logo o quociente é \(1\).

17.5

\dfrac{1}{\sin\alpha}-\dfrac{1}{\tan\alpha}\) \(=\dfrac{1}{\sin\alpha}-\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) \(=\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}

18. Uma soma que é nula

Mostre, para os valores de \(x\) para os quais a expressão tem significado, que \(\dfrac{\cos x-1}{\sin x}+\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=0\).

\dfrac{\cos x-1}{\sin x}+\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\) \(=\dfrac{(\cos x-1)(1+\cos x)+\sin^2x}{\sin x(1+\cos x)}\) \(=\dfrac{\cos^2x-1+\sin^2x}{\sin x(1+\cos x)}\) \(=\dfrac{1-1}{\sin x(1+\cos x)}=0

Fica provado que a expressão é igual a \(0\).

19. Simplificar uma função

Considere a função \(f\), de domínio \(\left]-\pi,\pi\right[\), definida por \(f(x)=\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x+3\cos x+2}\).

Mostre que \(f(x)=\dfrac{1-\cos x}{2+\cos x}\).

Fatorizar numerador e denominador

\sin^2x=1-\cos^2x\) \(=(1-\cos x)(1+\cos x)

O denominador é um polinómio de grau \(2\) em \(\cos x\), com raízes \(-1\) e \(-2\):

\cos^2x+3\cos x+2\) \(=(\cos x+1)(\cos x+2)

Simplificar

Em \(\left]-\pi,\pi\right[\), \(\cos x\ne-1\), pelo que se pode dividir por \(1+\cos x\):

f(x)=\dfrac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1+\cos x)(2+\cos x)}\) \(=\dfrac{1-\cos x}{2+\cos x}

20. Triângulo retângulo com hipotenusa 10

Na figura está representado o triângulo \([ABC]\), retângulo em \(A\), no qual está assinalado o ângulo de amplitude \(\beta\). Sabe-se que \(\overline{BC}=10\).

Triângulo ABC retângulo em A, com o ângulo beta no vértice B

20.1. Mostre que a área do triângulo \([ABC]\) é dada, em função de \(\beta\), por \(50\sin\beta\times\cos\beta\).

20.2. Para um determinado valor de \(\beta\), sabe-se que \((\sin\beta-\cos\beta)^2=\dfrac14\). Determine, para esse valor de \(\beta\), o valor exato da área do triângulo \([ABC]\).

20.1 - Catetos

\overline{AC}=10\sin\beta

\overline{AB}=10\cos\beta

A=\dfrac{10\cos\beta\times10\sin\beta}{2}\) \(=50\sin\beta\cos\beta

20.2 - Desenvolver o quadrado

\sin^2\beta-2\sin\beta\cos\beta\) \({}+\cos^2\beta=\dfrac14\) \(\Leftrightarrow1-2\sin\beta\cos\beta=\dfrac14\) \(\Leftrightarrow\sin\beta\cos\beta=\dfrac38

A=50\times\dfrac38=\dfrac{75}{4}

A área do triângulo é \(\dfrac{75}{4}\) u.a.

21. Área de um losango

Na figura está representado um losango \([PQRS]\), cujo lado mede \(5\) unidades de comprimento. Seja \(\alpha\) a amplitude de um dos seus ângulos internos não obtusos, tal que \(0^\circ\lt\alpha\le90^\circ\).

Losango PQRS com o ângulo alfa no vértice R

21.1. Mostre que a área do losango é dada pela expressão \(A(\alpha)=50\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\).

21.2. Calcule \(A(90^\circ)\) e interprete, geometricamente, o valor encontrado.

21.3. Considere \(\tan\alpha=\sqrt3\) e determine, neste caso, o valor exato da medida da área do losango \([PQRS]\).

21.1 - As diagonais

As diagonais de um losango são perpendiculares, bissetam-se e bissetam os ângulos internos. Seja \(M\) o centro do losango. No triângulo retângulo \([RMQ]\), o ângulo em \(R\) mede \(\frac{\alpha}{2}\) e a hipotenusa \([RQ]\) mede \(5\):

\overline{RM}=5\cos\dfrac{\alpha}{2}

\overline{MQ}=5\sin\dfrac{\alpha}{2}

A=\dfrac{\overline{RP}\times\overline{SQ}}{2}\) \(=\dfrac{10\cos\frac{\alpha}{2}\times10\sin\frac{\alpha}{2}}{2}\) \(=50\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)

21.2

A(90^\circ)=50\sin45^\circ\cos45^\circ\) \(=50\times\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}=25

Com um ângulo de \(90^\circ\), o losango é um quadrado de lado \(5\), cuja área é \(5^2=25\).

21.3

Como \(0^\circ\lt\alpha\le90^\circ\) e \(\tan\alpha=\sqrt3\), tem-se \(\alpha=60^\circ\):

A(60^\circ)=50\sin30^\circ\cos30^\circ\) \(=50\times\dfrac12\times\dfrac{\sqrt3}{2}\) \(=\dfrac{25\sqrt3}{2}

21.2. \(25\) (é um quadrado); 21.3. \(\dfrac{25\sqrt3}{2}\)

22. Quadrilátero [AOBE] na circunferência trigonométrica

Na figura está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica.

Circunferência trigonométrica com o quadrilátero AOBE, AB vertical e C, D e E no eixo Ox

Sabe-se que:

\(A\), \(B\) e \(D\) pertencem à circunferência;
a reta \(AB\) é perpendicular ao eixo \(Ox\);
\(C\), \(D\) e \(E\) pertencem ao eixo \(Ox\);
\(\overline{CD}=\overline{DE}\);
\(\alpha\) é a amplitude do ângulo \(AOE\), com \(\alpha\in\left]0^\circ,90^\circ\right[\).

22.1. Prove que a área do quadrilátero \([AOBE]\) pode ser escrita, em função de \(\alpha\), como \(A(\alpha)=2\sin\alpha-\sin\alpha\cos\alpha\).

22.2. Prove que a medida da distância \(d=\overline{AE}\) é dada, para cada valor de \(\alpha\), por \(d(\alpha)=\sqrt{3\cos^2\alpha-8\cos\alpha+5}\).

22.3. Determine o valor de \(\alpha\), em graus, arredondado às centésimas, para o qual \(\overline{OC}=\overline{CE}\).

22.4. Seja \(d=\dfrac{\sqrt7}{2}\). Determine o valor de \(\alpha\).

Coordenadas

\(A(\cos\alpha,\sin\alpha)\), \(B(\cos\alpha,-\sin\alpha)\), \(C(\cos\alpha,0)\) e \(D(1,0)\). Como \(\overline{CD}=\overline{DE}=1-\cos\alpha\), \(E=(2-\cos\alpha,\ 0)\).

22.1 - Diagonais perpendiculares

As diagonais \([OE]\) e \([AB]\) são perpendiculares:

A(\alpha)=\dfrac{\overline{OE}\times\overline{AB}}{2}\) \(=\dfrac{(2-\cos\alpha)\times2\sin\alpha}{2}\) \(=2\sin\alpha-\sin\alpha\cos\alpha

22.2 - Teorema de Pitágoras no triângulo [ACE]

\overline{CE}=2-\cos\alpha-\cos\alpha\) \(=2-2\cos\alpha

\overline{AC}=\sin\alpha

d^2=(2-2\cos\alpha)^2\) \({}+\sin^2\alpha\) \(=4-8\cos\alpha\) \({}+4\cos^2\alpha+1-\cos^2\alpha\) \(=3\cos^2\alpha-8\cos\alpha+5

22.3

\overline{OC}=\overline{CE}\) \(\Leftrightarrow\cos\alpha=2-2\cos\alpha\) \(\Leftrightarrow\cos\alpha=\dfrac23\) \(\Leftrightarrow\alpha=\cos^{-1}\left(\dfrac23\right)\) \(\approx48{,}19^\circ

22.4

3\cos^2\alpha\) \({}-8\cos\alpha+5=\dfrac74\) \(\Leftrightarrow12\cos^2\alpha\) \({}-32\cos\alpha+13=0\) \(\Leftrightarrow\cos\alpha=\dfrac{32\pm\sqrt{1024-624}}{24}\) \(=\dfrac{32\pm20}{24}

\(\cos\alpha=\frac{52}{24}\gt1\) é impossível; logo \(\cos\alpha=\frac12\) e \(\alpha=60^\circ\).

22.3. \(\alpha\approx48{,}19^\circ\); 22.4. \(\alpha=60^\circ\)

Para \(\alpha=0^\circ\) ou \(\alpha=90^\circ\) o quadrilátero degenera, por isso usa-se o intervalo aberto.

23. Retângulo [PQRS] e a reta tangente

Na figura estão representados o círculo trigonométrico e um retângulo \([PQRS]\).

Círculo trigonométrico, reta t tangente em R e retângulo PQRS com P na circunferência

Sabe-se que:

a reta \(t\) é tangente à circunferência no ponto \(R(1,0)\);
o ponto \(P\) pertence à circunferência trigonométrica, sendo \(\alpha\) a medida da amplitude do ângulo \(ROP\), em radianos, tal que \(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\).

23.1. Calcule o valor exato da medida da área do retângulo \([PQRS]\), no caso de \(S\left(1,\dfrac{\sqrt5}{3}\right)\). Apresente o resultado na forma \(\dfrac{a\sqrt b}{c}\), \(a\in\mathbb{Z}\), \(b\in\mathbb{N}\) e \(c\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\).

23.2. Mostre que a área do retângulo \([PQRS]\), em função de \(\alpha\), é dada pela expressão \(A(\alpha)=\sin\alpha-\sin\alpha\cos\alpha\).

23.1 - Lados do retângulo

A ordenada de \(P\) é igual à de \(S\), logo \(\overline{PQ}=\sin\alpha=\dfrac{\sqrt5}{3}\). Além disso, \(\overline{QR}=\overline{OR}-\overline{OQ}=1-\cos\alpha\).

\cos^2\alpha\) \(=1-\dfrac59=\dfrac49\) \(\Rightarrow\cos\alpha=\dfrac23\quad(\alpha\in1.^\text{o}\text{ Q})

\overline{QR}=1-\dfrac23=\dfrac13

A_{[PQRS]}=\dfrac{\sqrt5}{3}\times\dfrac13=\dfrac{\sqrt5}{9}

23.2

A_{[PQRS]}=\overline{PQ}\times\overline{QR}\) \(=\sin\alpha\,(1-\cos\alpha)\) \(=\sin\alpha-\sin\alpha\cos\alpha

23.1. \(\dfrac{\sqrt5}{9}\)