Fórmulas Trigonométricas | Matemática A

1. Circunferência trigonométrica

1

Na circunferência trigonométrica, o ângulo \(\alpha=\widehat{AOP}\) pertence ao 3.º quadrante e o ponto \(P\) tem abcissa \(-\dfrac45\).

Circunferência trigonométrica com o ponto P no terceiro quadrante

Determine \(\sin\alpha\) e \(\tan\alpha\).

Usar a fórmula fundamental

Como a abcissa de \(P\) é o cosseno, \(\cos\alpha=-\dfrac45\).

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow \sin^2\alpha=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac9{25}

No 3.º quadrante, o seno é negativo.

\sin\alpha=-\dfrac35

Calcular a tangente

\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\dfrac{-3/5}{-4/5}=\dfrac34

\(\sin\alpha=-\dfrac35\) e \(\tan\alpha=\dfrac34\).

2. Seno no 2.º quadrante

2

Sabendo que \(\sin\alpha=\dfrac15\) e que \(\alpha\) pertence ao 2.º quadrante, determine \(\cos\alpha\) e \(\tan\alpha\).

Calcular o cosseno

\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha =1-\dfrac1{25}=\dfrac{24}{25}

No 2.º quadrante, o cosseno é negativo.

\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{24}}5=-\dfrac{2\sqrt6}{5}

Calcular a tangente

\tan\alpha=\dfrac{1/5}{-2\sqrt6/5} =-\dfrac1{2\sqrt6}=-\dfrac{\sqrt6}{12}

\(\cos\alpha=-\dfrac{2\sqrt6}{5}\) e \(\tan\alpha=-\dfrac{\sqrt6}{12}\).

3. Tangente no 4.º quadrante

3

Sabendo que \(\tan\alpha=-\dfrac32\) e que \(\alpha\) pertence ao 4.º quadrante, determine \(\cos\alpha+\sin\alpha\).

Calcular o cosseno

1+\tan^2\alpha=\dfrac1{\cos^2\alpha}\Rightarrow 1+\dfrac94=\dfrac1{\cos^2\alpha}

\cos^2\alpha=\dfrac4{13}

No 4.º quadrante, o cosseno é positivo.

\cos\alpha=\dfrac2{\sqrt{13}}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}

Calcular o seno

\sin\alpha=\tan\alpha\cos\alpha =-\dfrac32\times\dfrac{2\sqrt{13}}{13} =-\dfrac{3\sqrt{13}}{13}

\cos\alpha+\sin\alpha =\dfrac{2\sqrt{13}-3\sqrt{13}}{13} =-\dfrac{\sqrt{13}}{13}

\(\cos\alpha+\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt{13}}{13}\).

4. Seno no 3.º quadrante

4

Sabendo que \(\sin\alpha=-\dfrac13\) e que \(\alpha\in\left]\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right[\), calcule os valores exatos de \(\cos\alpha\) e \(\tan\alpha\).

Calcular o cosseno

\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha =1-\dfrac19=\dfrac89

O intervalo dado corresponde ao 3.º quadrante, onde o cosseno é negativo.

\cos\alpha=-\dfrac{2\sqrt2}{3}

Calcular a tangente

\tan\alpha=\dfrac{-1/3}{-2\sqrt2/3} =\dfrac1{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{4}

\(\cos\alpha=-\dfrac{2\sqrt2}{3}\) e \(\tan\alpha=\dfrac{\sqrt2}{4}\).

5. Identidades trigonométricas I

5

Prove as seguintes igualdades, admitindo que todos os denominadores são diferentes de zero.

5.1. \((\cos\beta-\sin\beta)^2=2-(\cos\beta+\sin\beta)^2\)

5.2. \(\dfrac{\cos^2\alpha}{1+\sin\alpha}=1-\sin\alpha\)

5.3. \(\tan\alpha+\dfrac1{\tan\alpha}=\dfrac1{\sin\alpha\cos\alpha}\)

5.4. \(\dfrac{\sin\beta}{1+\cos\beta}=\dfrac{1-\cos\beta}{\sin\beta}\)

5.5. \(\dfrac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}+\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\)

5.6. \(\sin\alpha\cos\alpha\left(\tan\alpha+\dfrac1{\tan\alpha}\right)=1\)

5.7. \(\left(2-\dfrac1{\cos^2\alpha}\right)(1-\sin^2\alpha)=2\cos^2\alpha-1\)

5.1

2-(\cos\beta+\sin\beta)^2 =2-\cos^2\beta-2\sin\beta\cos\beta-\sin^2\beta

=1-2\sin\beta\cos\beta =\cos^2\beta-2\sin\beta\cos\beta+\sin^2\beta =(\cos\beta-\sin\beta)^2

5.2

\dfrac{\cos^2\alpha}{1+\sin\alpha} =\dfrac{1-\sin^2\alpha}{1+\sin\alpha} =\dfrac{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}{1+\sin\alpha} =1-\sin\alpha

5.3

\tan\alpha+\dfrac1{\tan\alpha} =\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} +\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} =\dfrac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} =\dfrac1{\sin\alpha\cos\alpha}

5.4

\dfrac{\sin\beta}{1+\cos\beta} \times\dfrac{1-\cos\beta}{1-\cos\beta} =\dfrac{\sin\beta(1-\cos\beta)}{1-\cos^2\beta} =\dfrac{1-\cos\beta}{\sin\beta}

5.5

\dfrac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha} =\dfrac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha} =\cos^2\alpha-\sin^2\alpha

\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+\sin^2\alpha=\cos^2\alpha

5.6

\sin\alpha\cos\alpha \left(\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} +\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right) =\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

5.7

\left(2-\dfrac1{\cos^2\alpha}\right)(1-\sin^2\alpha) =\left(2-\dfrac1{\cos^2\alpha}\right)\cos^2\alpha =2\cos^2\alpha-1

6. Identidades trigonométricas II

6

Sendo \(x\) um ângulo agudo, demonstre as seguintes identidades.

6.1. \(\dfrac{\cos^3x-\cos x}{\sin^3x-\sin x}=\tan x\)

6.2. \(\dfrac{\tan^2x\cos x}{1+\frac1{\tan^2x}}=\tan x\sin^3x\)

6.3. \((\tan^3x+\tan x)\cos^3x=\sin x\)

6.4. \(\dfrac{\sin^4x-\sin^2x}{\frac1{\cos^2x}-1}+\cos^4x=0\)

6.5. \(2\sin^2x\cos^2x=1-\sin^4x-\cos^4x\)

6.6. \(\dfrac{\sin x}{1-\cos x}=\dfrac1{\sin x}+\dfrac1{\tan x}\)

6.7. \(\cos^4x-\sin^4x=1-2\sin^2x\)

6.8. \(\dfrac1{\sin^2x}-1=\dfrac1{\tan^2x}\)

6.9. \(\dfrac{1-\sin x}{\cos x}+\dfrac{\cos x}{1+\sin x}=\dfrac{2\cos x}{1+\sin x}\)

6.10. \(\sin x\tan x+\cos x=\dfrac1{\cos x}\)

6.11. \((\sin x+\tan x)(1-\cos x)=\dfrac{\sin^3x}{\cos x}\)

6.1

\dfrac{\cos x(\cos^2x-1)}{\sin x(\sin^2x-1)} =\dfrac{-\cos x\sin^2x}{-\sin x\cos^2x} =\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x

6.2

\dfrac{\tan^2x\cos x}{1+\frac1{\tan^2x}} =\dfrac{\tan^4x\cos x}{1+\tan^2x} =\tan^4x\cos^3x =\dfrac{\sin^4x}{\cos x}

\tan x\sin^3x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\sin^3x =\dfrac{\sin^4x}{\cos x}

6.3

(\tan^3x+\tan x)\cos^3x =\tan x(\tan^2x+1)\cos^3x =\tan x\dfrac1{\cos^2x}\cos^3x =\tan x\cos x=\sin x

6.4

\dfrac{\sin^2x(\sin^2x-1)}{\frac{1-\cos^2x}{\cos^2x}} +\cos^4x =\dfrac{-\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x/\cos^2x} +\cos^4x=-\cos^4x+\cos^4x=0

6.5

1=(\sin^2x+\cos^2x)^2 =\sin^4x+2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x

2\sin^2x\cos^2x=1-\sin^4x-\cos^4x

6.6

\dfrac{\sin x}{1-\cos x} \times\dfrac{1+\cos x}{1+\cos x} =\dfrac{1+\cos x}{\sin x} =\dfrac1{\sin x}+\dfrac{\cos x}{\sin x} =\dfrac1{\sin x}+\dfrac1{\tan x}

6.7

\cos^4x-\sin^4x =(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x) =\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x

6.8

\dfrac1{\sin^2x}-1 =\dfrac{1-\sin^2x}{\sin^2x} =\dfrac{\cos^2x}{\sin^2x} =\dfrac1{\tan^2x}

6.9

\dfrac{1-\sin x}{\cos x} =\dfrac{(1-\sin x)(1+\sin x)}{\cos x(1+\sin x)} =\dfrac{\cos x}{1+\sin x}

\dfrac{\cos x}{1+\sin x}+\dfrac{\cos x}{1+\sin x} =\dfrac{2\cos x}{1+\sin x}

6.10

\sin x\tan x+\cos x =\dfrac{\sin^2x}{\cos x}+\cos x =\dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos x} =\dfrac1{\cos x}

6.11

(\sin x+\tan x)(1-\cos x) =\sin x\left(1+\dfrac1{\cos x}\right)(1-\cos x)

=\dfrac{\sin x(1+\cos x)(1-\cos x)}{\cos x} =\dfrac{\sin x(1-\cos^2x)}{\cos x} =\dfrac{\sin^3x}{\cos x}

7. Área numa semicircunferência

7

Numa semicircunferência de centro \(O\) e raio \(1\), o ponto \(P\) desloca-se de \(Q\) até \(B\). Sabe-se que \(\widehat{QOP}=\alpha\) radianos e que \(A\) é a projeção ortogonal de \(P\) sobre \(Ox\).

Semicircunferência com uma região colorida e ângulo alfa

7.1. Determine a área colorida para \(\alpha=\dfrac{\pi}{6}\).

7.2.1. Mostre que \(f(\alpha)=\dfrac{\pi-\sin\alpha-\sin\alpha\cos\alpha}{2}\).

7.2.2. O mínimo da função tem abcissa \(\dfrac{\pi}{3}\). Determine a ordenada e interprete o ponto.

7.2.3. Determine, às décimas, os valores de \(\alpha\) para os quais a área é \(1{,}2\).

Área da região

A zona colorida é a área da semicircunferência menos a área do triângulo \([ABP]\).

Como \(A=(\cos\alpha,0)\) e \(B=(-1,0)\), a base \(AB\) mede \(1+\cos\alpha\) e a altura mede \(\sin\alpha\).

7.1 - Alfa igual a pi sobre 6

A=\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{(1+\cos\frac{\pi}{6})\sin\frac{\pi}{6}}{2}

A=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2+\sqrt3}{8} =\dfrac{4\pi-2-\sqrt3}{8}

A área colorida é \(\dfrac{4\pi-2-\sqrt3}{8}\).

7.2.1 - Expressão da função

f(\alpha)=\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{(1+\cos\alpha)\sin\alpha}{2}

f(\alpha)=\dfrac{\pi-\sin\alpha-\sin\alpha\cos\alpha}{2}

7.2.2 - Valor mínimo

f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) =\dfrac{\pi-\frac{\sqrt3}{2} -\frac{\sqrt3}{2}\times\frac12}{2} =\dfrac{4\pi-3\sqrt3}{8}

O ponto mínimo é \(\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{4\pi-3\sqrt3}{8}\right)\). A área colorida é mínima quando \(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\).

7.2.3 - Resolver graficamente

Representa-se \(y=f(\alpha)\) e a reta \(y=1{,}2\), procurando as abcissas dos pontos de interseção.

Calculadora gráfica com as interseções da função área e a reta y igual a 1,2

\(\alpha\approx0{,}4\) rad ou \(\alpha\approx1{,}8\) rad.