📌 Resumo teórico
Função periódica
Uma função \(f\) é periódica de período \(P\) (\(P\ne0\)) se, para todo o \(x\) do domínio, \(x+P\) também pertence ao domínio e \(f(x+P)=f(x)\). O menor período positivo, se existir, chama-se período positivo mínimo (ou período fundamental). Se \(P\) é período, \(2P\), \(3P\), … também são.
Modelos sinusoidais
Muitos fenómenos periódicos (marés, temperaturas ao longo do dia ou do ano, pêndulos, batimentos cardíacos, rodas em movimento) são modelados por funções do tipo
- \(a\) é o valor médio e \(|b|\) a amplitude: os valores variam entre \(a-|b|\) (mínimo) e \(a+|b|\) (máximo);
- o período é \(\dfrac{2\pi}{|c|}\) (tempo de uma oscilação completa) e a frequência é \(\dfrac{|c|}{2\pi}\) (número de oscilações por unidade de tempo);
- dados o máximo \(M\), o mínimo \(m\) e o período \(T\): \(a=\dfrac{M+m}{2}\), \(|b|=\dfrac{M-m}{2}\) e \(|c|=\dfrac{2\pi}{T}\).
Em contexto
- Atenção às unidades da variável (horas, semanas, meses, segundos) e da função (milhares, metros, graus Celsius).
- Horas decimais: a parte decimal multiplica-se por \(60\) para obter os minutos (\(7{,}204\) h \(\approx\) 7 h 12 min).
- Respeita-se o domínio do modelo (por exemplo, \(t\in[0,24]\) ou \(n\in\{1,\ldots,12\}\)).
Calculadora gráfica
Coloca-se a calculadora em radianos. Uma condição como \(f(t)=k\) ou \(f(t)\gt k\) resolve-se representando \(y_1=f(x)\) e \(y_2=k\) numa janela adequada ao domínio e determinando as interseções. Na resposta, reproduz-se o gráfico visualizado, indicam-se as coordenadas relevantes com o arredondamento pedido e interpreta-se o resultado no contexto.
1. Provar que uma função é periódica
Considere as funções \(f\), \(g\) e \(h\) definidas, respetivamente, por:
Prove que \(f\), \(g\) e \(h\) são funções periódicas de período \(\pi\), \(4\pi\) e \(\dfrac{\pi}{5}\), respetivamente.
Para provar que \(P\) é período de uma função, mostra-se que, para todo o \(x\) do domínio, \(x+P\) também pertence ao domínio e a imagem é a mesma.
Função \(f\)Para todo o \(x\in\mathbb{R}\):
Para todo o \(x\in\mathbb{R}\):
Somar \(\frac{\pi}{5}\) a \(x\) soma \(\pi\) ao argumento da tangente; por isso, se \(x\in D_h\), também \(x+\frac{\pi}{5}\in D_h\). Para todo o \(x\in D_h\):
2. Correspondência entre funções e gráficos
Sejam \(f\), \(g\), \(h\), \(i\), \(j\) e \(k\) funções reais de variável real tais que:
Os gráficos seguintes representam, não por esta ordem, as funções \(f\), \(g\), \(h\), \(i\), \(j\) e \(k\).
Estabeleça a correspondência entre as funções e os respetivos gráficos, e indique o período fundamental de cada uma das funções.
Para cada função calculam-se o período (\(\frac{2\pi}{|c|}\)), o contradomínio e a imagem de \(0\).
- \(f(x)=\sin\frac{x}{2}\): período \(\frac{2\pi}{\frac12}=4\pi\); \(f(0)=0\) e máximo \(1\) em \(x=\pi\) → Gráfico II.
- \(g(x)=-\frac12\sin(2x)\): período \(\frac{2\pi}{2}=\pi\); é a única com contradomínio \(\left[-\frac12,\frac12\right]\) → Gráfico IV.
- \(h(x)=2\cos(x+\pi)\) \(=-2\cos x\): período \(2\pi\); \(h(0)=-2\) (mínimo) → Gráfico I.
- \(i(x)=2-\cos\frac{x}{3}\): período \(\frac{2\pi}{\frac13}=6\pi\); contradomínio \([1,3]\) e \(i(0)=1\) → Gráfico VI.
- \(j(x)=2\sin\left(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{2}\right)\) \(=2\cos\frac{x}{4}\): período \(\frac{2\pi}{\frac14}=8\pi\); \(j(0)=2\) e mínimo em \(x=4\pi\) → Gráfico III.
- \(k(x)=\cos(4x)-1\): período \(\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\); contradomínio \([-2,0]\) e \(k(0)=0\) → Gráfico V.
| Função | \(f\) | \(g\) | \(h\) | \(i\) | \(j\) | \(k\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Gráfico | II | IV | I | VI | III | V |
| Período | \(4\pi\) | \(\pi\) | \(2\pi\) | \(6\pi\) | \(8\pi\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
3. Temperatura dentro de uma habitação
Num certo dia de verão, a temperatura, em graus Celsius, dentro de uma determinada habitação, é dada por \(f(t)=24{,}5+2{,}5\cos\left[\dfrac{\pi(t+9)}{12}\right]\) (\(t\) designa o tempo, em horas, contado a partir das zero horas desse dia).
3.1. Determine a temperatura, dentro dessa habitação, às \(11\) horas desse dia.
3.2. Indique as temperaturas mínimas e máximas registadas dentro da habitação nesse dia.
Para \(t\in[0,24]\), o argumento \(\frac{\pi(t+9)}{12}\) percorre \(\left[\frac{3\pi}{4},\frac{11\pi}{4}\right]\), um intervalo de amplitude \(2\pi\); o cosseno toma todos os valores de \([-1,1]\):
O mínimo \(22\) ocorre quando \(\frac{\pi(t+9)}{12}=\pi\), isto é, \(t=3\) (às 3 h); o máximo \(27\) quando \(\frac{\pi(t+9)}{12}=2\pi\), isto é, \(t=15\) (às 15 h).
3.2. Mínima: \(22\ ^\circ\text{C}\); máxima: \(27\ ^\circ\text{C}\)
4. As marés no porto de Leixões
Num certo dia, no porto de Leixões, a partir dos dados recolhidos no marégrafo, construiu-se o gráfico apresentado a seguir, com destaque para os pontos nele assinalados, correspondentes às marés altas e às marés baixas nesse dia.
Admita que o modelo que traduz esta situação é
com \(t\in[0,24]\), sendo \(h\) a altura das marés, em metros, relativamente ao nível médio da água do mar e \(t\) o tempo decorrido, em horas.
4.1. Determine a altura da maré às 14:15 e apresente o resultado arredondado às centésimas.
4.2. Recorra às capacidades gráficas da calculadora e determine a hora, antes do meio-dia, da última vez em que a altura do nível da água foi \(2{,}4\) metros. Apresente o resultado na forma hh:mm, sendo os minutos arredondados às unidades.
\(15\) min correspondem a \(\frac{15}{60}=0{,}25\) h, logo 14:15 corresponde a \(t=14{,}25\). Com a calculadora em radianos:
\(y_1=2+1{,}2\sin(0{,}5x-0{,}8)\) e \(y_2=2{,}4\), com \(x\in[0,12]\) (antes do meio-dia):
Antes do meio-dia, a altura foi \(2{,}4\) m em \(t\approx2{,}280\) e em \(t\approx7{,}204\). A última vez foi em \(t\approx7{,}204\).
4.2 - Conversão em horas e minutos4.2. 07:12
5. O pêndulo de um relógio
O pêndulo de um relógio antigo oscila com um movimento periódico.
Seja \(h\) a função que, ao tempo, em segundos, faz corresponder a altura, em centímetros, do pêndulo à base do relógio. O modelo que se ajusta à função \(h\) é:
com \(t\ge0\).
5.1. Determine a altura máxima e a altura mínima do pêndulo à base do relógio.
5.2. Indique o período mínimo da função \(h\).
5.3. Seja \(A\) a posição onde o pêndulo se encontra à altura máxima relativamente à base do relógio. Quanto tempo decorrerá até que o pêndulo volte a essa posição?
A altura é máxima nas duas posições extremas da oscilação (à esquerda e à direita) e mínima quando o pêndulo está na vertical. Tomando \(t=0\) na posição \(A\) (\(h(0)=11\)):
- \(t=0{,}5\): \(h=10\), o pêndulo está na vertical;
- \(t=1\): \(h=11\), mas o pêndulo está na posição extrema oposta a \(A\);
- \(t=1{,}5\): \(h=10\), de novo na vertical;
- \(t=2\): \(h=11\) e o pêndulo está de novo na posição \(A\).
5.2. \(1\) (segundo)
5.3. \(2\) segundos
6. A tensão arterial
Admita que a variação da tensão arterial, em milímetros de mercúrio (mmHg), de uma pessoa, ao longo do tempo, é modelada por uma função do tipo \(f(t)=a+b\cos(ct)\), sendo \(a\), \(b\) e \(c\) números reais positivos e \(t\ge0\) o tempo, em segundos. Sabe-se que:
- a frequência cardíaca de uma pessoa corresponde ao número de batimentos cardíacos por minuto (bpm);
- a duração de um batimento cardíaco é aproximadamente igual ao intervalo de tempo que decorre entre dois máximos (ou dois mínimos) consecutivos da tensão arterial.
No dia de uma consulta, mediu-se a tensão de um paciente. Admita que a variação da tensão arterial desse paciente é dada pelo modelo:
com \(t\ge0\).
6.1. Sabendo que a frequência cardíaca medida neste paciente foi \(66\) bpm, determine o valor de \(c\) no modelo apresentado.
6.2. De acordo com o modelo apresentado, qual foi o valor máximo da tensão (tensão sistólica) e o valor mínimo (tensão diastólica) medida no paciente?
\(66\) batimentos em \(60\) segundos, logo um batimento dura \(\frac{60}{66}=\frac{10}{11}\) s. Este é o período de \(f\):
6.2. Máximo (sistólica): \(121\) mmHg; mínimo (diastólica): \(76\) mmHg
7. Uma colónia de aves
Uma colónia de aves de uma nova espécie foi descoberta numa ilha remota do Pacífico. O número de aves dessa colónia varia ao longo do ano de acordo com vários fatores.
Um ornitólogo chegou à conclusão de que o número de aves, \(N\), em milhares, dessa população é modelado, desde a sua descoberta, pela função \(N(t)=A+B\sin\left(\dfrac{2\pi t}{45}\right)\), onde \(A\) e \(B\) representam constantes e \(t\) é o tempo, em semanas, sendo \(t=0\) o momento em que foi efetuada a primeira contagem de aves dessa colónia.
7.1. Mostre que \(45\) é um período da função.
7.2. Supondo que, quando foi feita a primeira contagem, havia \(10\,000\) aves e que, após nove semanas, havia \(12\,500\) aves, determine os valores das constantes \(A\) e \(B\). Apresente o valor de \(B\) arredondado às centésimas.
7.3. Para \(A=10\) e \(B=5\), determine o número mínimo e o número máximo de aves existentes na colónia.
\(N\) está em milhares: \(10\,000\) aves corresponde a \(N(0)=10\).
7.3. Mínimo: \(5000\) aves; máximo: \(15\,000\) aves
8. A temperatura da água de um aquário
A temperatura da água, \(A\), em graus Celsius, num aquário de peixes tropicais pode ser modelada por uma função da forma \(A(t)=a+b\sin(ct+d)\), onde \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\) representam constantes (\(a,b,d\in\mathbb{Q}\), \(c\in\mathbb{R}\)) e \(t\) representa o tempo, em horas, decorrido desde o instante em que o aquário foi montado. O argumento da função seno está expresso em radianos.
Sabe-se que a temperatura mínima da água é \(24{,}5\ ^\circ\text{C}\), que a temperatura máxima da água é \(25{,}5\ ^\circ\text{C}\), que o período mínimo da função é \(10\) e que \(A(0)=25\ ^\circ\text{C}\).
Determine os valores possíveis para \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\).
Como \(-1\le\sin(ct+d)\le1\), a função varia entre \(a-|b|\) e \(a+|b|\):
Como \(d\in\mathbb{Q}\) e \(k\pi\) é irracional para \(k\ne0\), tem de ser \(d=0\).
(por exemplo, \(A(t)=25+0{,}5\sin\left(\dfrac{\pi}{5}t\right)\))
9. Pessoas num centro comercial
Num certo dia, o número de pessoas presentes num determinado centro comercial, em milhares, era dado, em função de \(t\), em horas, a partir das \(10\) horas, pela função:
O argumento está expresso em radianos e \(t\in[0,12]\).
9.1. Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, a que horas desse dia o número de pessoas no centro comercial foi \(6500\). Apresente o resultado em horas e minutos (com o número de minutos arredondado às unidades).
9.2. Sabe-se que existe um instante a partir do qual, passados \(120\) minutos, o número de pessoas no centro comercial aumenta \(50\%\). Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a que horas desse dia tal aconteceu. Apresente o resultado em horas e minutos (com o número de minutos arredondado às unidades).
\(6500\) pessoas correspondem a \(6{,}5\) milhares: resolve-se \(s(t)=6{,}5\), com \(y_1=s(x)\) e \(y_2=6{,}5\) em \([0,12]\).
\(t\approx1{,}86\) h: \(0{,}86\times60\approx52\) min, ou seja, \(1\) h \(52\) min depois das \(10\) h.
\(t\approx10{,}14\) h: \(0{,}14\times60\approx8\) min, ou seja, \(10\) h \(8\) min depois das \(10\) h.
9.2 - Equação\(120\) minutos são \(2\) horas e aumentar \(50\%\) é multiplicar por \(1{,}5\): resolve-se \(s(t+2)=1{,}5\,s(t)\), com \(t\in[0,10]\) (para que \(t+2\le12\)).
\(t\approx1{,}05\) h: \(0{,}05\times60=3\) min, ou seja, \(1\) h \(3\) min depois das \(10\) h.
9.2. Às 11 h 03 min
10. A roda de um triciclo
A figura mostra um esquema da roda da frente de um triciclo, com o ponto médio de um dos raios assinalado pela letra \(F\). Este ponto representa o centro de um pequeno enfeite colorido colocado nesse raio.
Sabe-se que, \(t\) segundos após o triciclo ter começado a andar, em linha reta e a uma velocidade constante, a distância do centro do enfeite (ponto \(F\)) ao solo é dada, em centímetros, por
com \(t\ge0\).
(Considere que nenhuma das rodas patinou ou derrapou.)
10.1. Determine a distância, em centímetros, do centro do enfeite ao solo no instante em que o triciclo começou a andar.
10.2. Determine quantas voltas completas deu a roda da frente do triciclo num percurso de \(13\) metros.
(Exame Nacional de Matemática B, Época Especial, 2019)
\(F\) roda em torno do centro da roda: a distância de \(F\) ao solo oscila em torno do valor médio \(12\), que é a altura do centro da roda. Como a roda toca no solo, o raio da roda é \(12\) cm. (A amplitude, \(6\), é a distância de \(F\) ao centro: metade do raio.)
10.2 - Número de voltasEm cada volta completa, a roda avança o seu perímetro, \(2\pi\times12=24\pi\) cm. Em \(13\) m \(=1300\) cm:
10.2. \(17\) voltas completas
11. Temperatura média mensal no Porto
A temperatura média mensal, \(T\), em graus Celsius, na cidade do Porto, ao longo de um ano, é dada, aproximadamente, por:
com \(n\in\{1,2,\ldots,12\}\) (onde \(n\) designa o mês do ano, sendo que \(1\) corresponde ao mês de janeiro). O argumento da função seno está expresso em radianos.
11.1. Calcule a temperatura média no mês de junho. Apresente o resultado arredondado às décimas.
11.2. Recorrendo à calculadora gráfica, determine em que meses a temperatura média é superior a \(18{,}5\ ^\circ\text{C}\).
Junho corresponde a \(n=6\):
Na calculadora, representam-se os pontos \((n,\ T(n))\), \(n=1,\ldots,12\) (ou consulta-se a tabela), e a reta \(y=18{,}5\):
\(T(5)\approx15{,}9\), \(T(6)\approx19{,}3\), \(T(7)\approx21{,}5\), \(T(8)\approx22{,}1\), \(T(9)\approx20{,}8\) e \(T(10)\approx18{,}0\); nos restantes meses \(T\) é ainda menor. Ficam acima de \(18{,}5\) os meses \(n=6,7,8,9\).
11.2. Junho, julho, agosto e setembro
12. A previsão da temperatura em Braga
A previsão para a temperatura num certo dia de verão, em Braga, é dada, em graus Celsius, por
com \(x\in[0,24]\).
Recorra à tecnologia, por exemplo, à calculadora gráfica, e responda às seguintes questões.
12.1. Qual é a previsão para a amplitude térmica para esse dia? Apresente o resultado em graus Celsius.
12.2. Admita que a prática desportiva não está recomendada com temperaturas superiores a \(35\ ^\circ\text{C}\). Nesse dia, durante quanto tempo não é recomendável praticar desporto? Apresente o resultado em horas, arredondado às unidades.
\(y_1=30+7\cos\left(\frac{\pi}{13}(x-41)\right)\) e \(y_2=35\), com \(x\in[0,24]\):
A temperatura mínima prevista é \(23\ ^\circ\text{C}\) (em \(x=2\)) e a máxima é \(37\ ^\circ\text{C}\) (em \(x=15\)).
(Confirmação: para \(x\in[0,24]\), o argumento percorre \(\left[-\frac{41\pi}{13},-\frac{17\pi}{13}\right]\), que contém \(-3\pi\) e \(-2\pi\), onde o cosseno vale \(-1\) e \(1\).)
12.2\(T(x)\gt35\) entre as interseções \(x_1\approx11{,}79\) e \(x_2\approx18{,}21\):
12.2. Cerca de \(6\) horas