Como usar as resoluções. Tente primeiro resolver cada exercício sozinho. Depois, abra a resolução e leia um passo de cada vez: antes de passar ao seguinte, tente adivinhar o que vem a seguir. As caixas têm sempre o mesmo significado:
📌 Resumo teórico
Função periódica
Uma função \(f\) é periódica de período \(P\) (\(P\ne0\)) se, para todo o \(x\) do domínio, \(x+P\) também pertence ao domínio e \(f(x+P)=f(x)\). O menor período positivo, se existir, chama-se período positivo mínimo (ou período fundamental). Se \(P\) é período, \(2P\), \(3P\), … também são.
Modelos sinusoidais
Muitos fenómenos periódicos (marés, temperaturas ao longo do dia ou do ano, pêndulos, batimentos cardíacos, rodas em movimento) são modelados por funções do tipo
- \(a\) é o valor médio e \(|b|\) a amplitude: os valores variam entre \(a-|b|\) (mínimo) e \(a+|b|\) (máximo);
- o período é \(\dfrac{2\pi}{|c|}\) (tempo de uma oscilação completa) e a frequência é \(\dfrac{|c|}{2\pi}\) (número de oscilações por unidade de tempo);
- dados o máximo \(M\), o mínimo \(m\) e o período \(T\): \(a=\dfrac{M+m}{2}\), \(|b|=\dfrac{M-m}{2}\) e \(|c|=\dfrac{2\pi}{T}\).
As fórmulas do período fundamental pressupõem \(b\ne0\) e \(c\ne0\). Se algum destes coeficientes for zero, o modelo é constante e não tem menor período positivo. Num domínio restrito, é necessário verificar se os valores \(a-|b|\) e \(a+|b|\) são atingidos.
Em contexto
- Atenção às unidades da variável (horas, semanas, meses, segundos) e da função (milhares, metros, graus Celsius).
- Horas decimais: a parte decimal multiplica-se por \(60\) para obter os minutos (\(7{,}204\) h \(\approx\) 7 h 12 min).
- Respeita-se o domínio do modelo (por exemplo, \(t\in[0,24]\) ou \(n\in\{1,\ldots,12\}\)).
Calculadora gráfica
Coloca-se a calculadora em radianos. Uma condição como \(f(t)=k\) ou \(f(t)\gt k\) resolve-se representando \(y_1=f(x)\) e \(y_2=k\) numa janela adequada ao domínio e determinando as interseções. Na resposta, reproduz-se o gráfico visualizado, indicam-se as coordenadas relevantes com o arredondamento pedido e interpreta-se o resultado no contexto.
1. Provar que uma função é periódica
Considere as funções \(f\), \(g\) e \(h\) definidas, respetivamente, por:
Prove que \(f\), \(g\) e \(h\) são funções periódicas de período \(\pi\), \(4\pi\) e \(\dfrac{\pi}{5}\), respetivamente.
Para provar que \(P\) é um período de uma função \(f\), mostra-se que, para todo o \(x\) do domínio, \(x\)
Alínea 1.1
Prove que \(f(x)=\) \(3\)
O domínio é \(\mathbb{R}\). Substituímos \(x\) por \(x\)
Somar \(2\pi\) ao ângulo não muda o cosseno:
Alínea 1.2
Prove que \(g(x)=\) \(5\)
O domínio é \(\mathbb{R}\). Substituímos \(x\) por \(x\)
Alínea 1.3
Prove que \(h(x)=\) \(2\)
Somar \(\frac{\pi}{5}\) a \(x\) soma \(5\times\frac{\pi}{5}=\) \(\pi\) ao ângulo da tangente. Os ângulos onde a tangente não existe são \(\frac{\pi}{2}\)
A tangente tem período \(\pi\): somar \(\pi\) ao ângulo não a muda.
2. Correspondência entre funções e gráficos
Sejam \(f\), \(g\), \(h\), \(i\), \(j\) e \(k\) funções reais de variável real tais que:
Os gráficos seguintes representam, não por esta ordem, as funções \(f\), \(g\), \(h\), \(i\), \(j\) e \(k\).
Estabeleça a correspondência entre as funções e os respetivos gráficos, e indique o período fundamental de cada uma das funções.
Em \(y=\) \(a\)
- \(f(x)=\) \(\sin\dfrac{x}{2}\): período \(\dfrac{2\pi}{1/2}=\) \(4\pi\); valores entre \(-1\) e \(1\); \(f(0)=\) \(0\) e o máximo \(1\) é em \(x=\) \(\pi\).
- \(g(x)=\) \(-\dfrac12\sin(2x)\): período \(\dfrac{2\pi}{2}=\) \(\pi\); é a única com valores entre \(-\dfrac12\) e \(\dfrac12\).
- \(h(x)=\) \(2\cos(x+\pi)=\) \(-2\cos x\): período \(2\pi\); \(h(0)=\) \(-2\), que é o mínimo.
- \(i(x)=\) \(2\)
\({}-\cos\dfrac{x}{3}\): período \(\dfrac{2\pi}{1/3}=\) \(6\pi\); valores entre \(1\) e \(3\); \(i(0)=\) \(1\). - \(j(x)=\) \(2\sin\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{\pi}{2}\right)=\) \(2\cos\dfrac{x}{4}\): período \(\dfrac{2\pi}{1/4}=\) \(8\pi\); \(j(0)=\) \(2\) e o mínimo é em \(x=\) \(4\pi\).
- \(k(x)=\) \(\cos(4x)\)
\({}-1\): período \(\dfrac{2\pi}{4}=\) \(\dfrac{\pi}{2}\); valores entre \(-2\) e \(0\); \(k(0)=\) \(0\).
\(\cos(x+\pi)=\) \(-\cos x\) e \(\sin\left(u+\frac{\pi}{2}\right)=\) \(\cos u\): é o que se vê na circunferência trigonométrica (o ponto de \(x\)
- Gráfico I: começa no mínimo \(-2\) e repete-se de \(2\pi\) em \(2\pi\): \(h\).
- Gráfico II: passa na origem, máximo \(1\) em \(\pi\): \(f\).
- Gráfico III: máximo \(2\) em \(0\), mínimos em \(\pm4\pi\): \(j\).
- Gráfico IV: oscila entre \(-\frac12\) e \(\frac12\): \(g\).
- Gráfico V: entre \(-2\) e \(0\), com \(k(0)=\) \(0\): \(k\).
- Gráfico VI: entre \(1\) e \(3\), com mínimo \(1\) em \(0\): \(i\).
| Função | \(f\) | \(g\) | \(h\) | \(i\) | \(j\) | \(k\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Gráfico | II | IV | I | VI | III | V |
| Período | \(4\pi\) | \(\pi\) | \(2\pi\) | \(6\pi\) | \(8\pi\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
3. Temperatura dentro de uma habitação
Num certo dia de verão, a temperatura, em graus Celsius, dentro de uma determinada habitação, é dada por \(f(t)=24{,}5+2{,}5\cos\left[\dfrac{\pi(t+9)}{12}\right]\) (\(t\) designa o tempo, em horas, contado a partir das zero horas desse dia).
3.1. Determine a temperatura, dentro dessa habitação, às \(11\) horas desse dia.
3.2. Indique as temperaturas mínimas e máximas registadas dentro da habitação nesse dia.
Alínea 3.1
Determine a temperatura, dentro dessa habitação, às \(11\) horas desse dia.
O tempo é contado desde as zero horas, por isso às 11 horas \(t=\) \(11\):
\(\frac{5\pi}{3}=\) \(2\pi\)
Alínea 3.2
Indique as temperaturas mínimas e máximas registadas dentro da habitação nesse dia.
Para \(t\in[0,24]\), o ângulo \(\frac{\pi(t+9)}{12}\) vai de \(\frac{9\pi}{12}=\) \(\frac{3\pi}{4}\) a \(\frac{33\pi}{12}=\) \(\frac{11\pi}{4}\): percorre uma volta completa (\(2\pi\)). Por isso, o cosseno toma todos os valores de \([-1,1]\).
O mínimo acontece quando o ângulo é \(\pi\): \(\frac{\pi(t+9)}{12}=\) \(\pi\Leftrightarrow\) \( t=\) \(3\) (às 3 h). O máximo, quando o ângulo é \(2\pi\): \(t\)
4. As marés no porto de Leixões
Num certo dia, no porto de Leixões, a partir dos dados recolhidos no marégrafo, construiu-se o gráfico apresentado a seguir, com destaque para os pontos nele assinalados, correspondentes às marés altas e às marés baixas nesse dia.
Admita que o modelo que traduz esta situação é
com \(t\in[0,24]\), sendo \(h\) a altura das marés, em metros, relativamente ao nível médio da água do mar e \(t\) o tempo decorrido, em horas.
4.1. Determine a altura da maré às 14:15 e apresente o resultado arredondado às centésimas.
4.2. Recorra às capacidades gráficas da calculadora e determine a hora, antes do meio-dia, da última vez em que a altura do nível da água foi \(2{,}4\) metros. Apresente o resultado na forma hh:mm, sendo os minutos arredondados às unidades.
Alínea 4.1
Determine a altura da maré às 14:15 e apresente o resultado arredondado às centésimas.
\(15\) minutos são \(\frac{15}{60}=\) \(0{,}25\) h, logo 14:15 corresponde a \(t=\) \(14{,}25\).
14:15 não é \(t=\) \(14{,}15\): os minutos têm de ser divididos por \(60\).
Arredonda-se só no fim.
Alínea 4.2
Determine, com a calculadora gráfica, a hora, antes do meio-dia, da última vez em que a altura do nível da água foi \(2{,}4\) metros (hh:mm).
- Colocar a calculadora em radianos (RAD).
- \(y_1=\) \(2\)
\({}+1{,}2\sin(0{,}5x-0{,}8)\) e \(y_2=\) \(2{,}4\). - Janela: \(x\in[0,12]\) (antes do meio-dia) e, por exemplo, \(y\in[0;\,3{,}5]\).
- Determinar as interseções dos dois gráficos.
Antes do meio-dia, a altura foi \(2{,}4\) m em \(t\approx\) \(2{,}280\) e em \(t\approx\) \(7{,}204\). «A última vez» é a maior das duas: \(t\approx\) \(7{,}204\).
\(7{,}204\) h são \(7\) h mais \(0{,}204\) h; só a parte decimal passa a minutos:
\(7{,}204\) h não são 7 h 20 min: \(0{,}204\) h \(\approx12\) min.
5. O pêndulo de um relógio
O pêndulo de um relógio antigo oscila com um movimento periódico.
Seja \(h\) a função que, ao tempo, em segundos, faz corresponder a altura, em centímetros, do pêndulo à base do relógio. O modelo que se ajusta à função \(h\) é:
com \(t\ge0\).
5.1. Determine a altura máxima e a altura mínima do pêndulo à base do relógio.
5.2. Indique o período mínimo da função \(h\).
5.3. Seja \(A\) a posição onde o pêndulo se encontra à altura máxima relativamente à base do relógio. Quanto tempo decorrerá até que o pêndulo volte a essa posição?
Alínea 5.1
Determine a altura máxima e a altura mínima do pêndulo à base do relógio.
Os dois extremos são atingidos (por exemplo, \(h(0)=\) \(11\) e \(h(0{,}5)=\) \(10\)).
Alínea 5.2
Indique o período mínimo da função \(h\).
O coeficiente de \(t\) é \(c=\) \(2\pi\):
Alínea 5.3
Seja \(A\) a posição onde o pêndulo se encontra à altura máxima. Quanto tempo decorrerá até que o pêndulo volte a essa posição?
O pêndulo está à altura máxima nas duas posições extremas (à esquerda e à direita) e à altura mínima quando está na vertical. Partindo de \(A\) em \(t=\) \(0\):
- \(t=\) \(0{,}5\): \(h=\) \(10\), na vertical;
- \(t=\) \(1\): \(h=\) \(11\), mas na posição extrema oposta a \(A\);
- \(t=\) \(1{,}5\): \(h=\) \(10\), de novo na vertical;
- \(t=\) \(2\): \(h=\) \(11\) e de novo na posição \(A\).
O período da altura é \(1\) s, mas o pêndulo só volta à mesma posição ao fim de duas oscilações da altura.
6. A tensão arterial
Admita que a variação da tensão arterial, em milímetros de mercúrio (mmHg), de uma pessoa, ao longo do tempo, é modelada por uma função do tipo \(f(t)=a+b\cos(ct)\), sendo \(a\), \(b\) e \(c\) números reais positivos e \(t\ge0\) o tempo, em segundos. Sabe-se que:
- a frequência cardíaca de uma pessoa corresponde ao número de batimentos cardíacos por minuto (bpm);
- a duração de um batimento cardíaco é aproximadamente igual ao intervalo de tempo que decorre entre dois máximos (ou dois mínimos) consecutivos da tensão arterial.
No dia de uma consulta, mediu-se a tensão de um paciente. Admita que a variação da tensão arterial desse paciente é dada pelo modelo:
com \(t\ge0\).
6.1. Sabendo que a frequência cardíaca medida neste paciente foi \(66\) bpm, determine o valor de \(c\) no modelo apresentado.
6.2. De acordo com o modelo apresentado, qual foi o valor máximo da tensão (tensão sistólica) e o valor mínimo (tensão diastólica) medida no paciente?
Alínea 6.1
Sabendo que a frequência cardíaca medida neste paciente foi \(66\) bpm, determine o valor de \(c\).
\(66\) batimentos em \(1\) minuto, ou seja, em \(60\) segundos (\(t\) está em segundos):
Como \(c\gt\) \(0\), o período é \(\frac{2\pi}{c}\):
Multiplicámos os dois membros por \(11c\) («em cruz»).
Alínea 6.2
Qual foi o valor máximo da tensão (sistólica) e o valor mínimo (diastólica) medida no paciente?
7. Uma colónia de aves
Uma colónia de aves de uma nova espécie foi descoberta numa ilha remota do Pacífico. O número de aves dessa colónia varia ao longo do ano de acordo com vários fatores.
Um ornitólogo chegou à conclusão de que o número de aves, \(N\), em milhares, dessa população é modelado, desde a sua descoberta, pela função \(N(t)=A+B\sin\left(\dfrac{2\pi t}{45}\right)\), onde \(A\) e \(B\) representam constantes e \(t\) é o tempo, em semanas, sendo \(t=0\) o momento em que foi efetuada a primeira contagem de aves dessa colónia.
7.1. Mostre que \(45\) é um período da função.
7.2. Supondo que, quando foi feita a primeira contagem, havia \(10\,000\) aves e que, após nove semanas, havia \(12\,500\) aves, determine os valores das constantes \(A\) e \(B\). Apresente o valor de \(B\) arredondado às centésimas.
7.3. Para \(A=10\) e \(B=5\), determine o número mínimo e o número máximo de aves existentes na colónia.
Alínea 7.1
Mostre que \(45\) é um período da função.
Somar \(2\pi\) ao ângulo não muda o seno, quaisquer que sejam \(A\) e \(B\).
Alínea 7.2
Havia \(10\,000\) aves na primeira contagem e \(12\,500\) após nove semanas. Determine \(A\) e \(B\) (\(B\) às centésimas).
\(N\) está em milhares: \(10\,000\) aves é \(N(0)=\) \(10\) e \(12\,500\) aves é \(N(9)=\) \(12{,}5\).
Em \(t=\) \(0\), o ângulo é \(0\) e \(\sin0=\) \(0\):
Com \(A=\) \(10\) e \(t=\) \(9\); \(\frac{18\pi}{45}=\) \(\frac{2\pi}{5}\) (simplificando por \(9\)):
Calculadora em radianos; \(\sin\frac{2\pi}{5}\approx\) \(0{,}951\ne0\).
Alínea 7.3
Para \(A=\) \(10\) e \(B=\) \(5\), determine o número mínimo e o número máximo de aves existentes na colónia.
\(N\) está em milhares: \(5\) milhares e \(15\) milhares.
8. A temperatura da água de um aquário
A temperatura da água, \(A\), em graus Celsius, num aquário de peixes tropicais pode ser modelada por uma função da forma \(A(t)=a+b\sin(ct+d)\), onde \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\) representam constantes (\(a,b,d\in\mathbb{Q}\), \(c\in\mathbb{R}\)) e \(t\) representa o tempo, em horas, decorrido desde o instante em que o aquário foi montado. O argumento da função seno está expresso em radianos.
Sabe-se que a temperatura mínima da água é \(24{,}5\ ^\circ\text{C}\), que a temperatura máxima da água é \(25{,}5\ ^\circ\text{C}\), que o período mínimo da função é \(10\) e que \(A(0)=25\ ^\circ\text{C}\).
Determine os valores possíveis para \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\).
Como \(-1\le\) \(\sin(ct+d)\le\) \(1\), a temperatura varia entre \(a\)
O valor médio é a média do máximo e do mínimo; a amplitude é metade da diferença.
Em \(t=\) \(0\), o ângulo \(ct\)
Podemos dividir por \(b\), porque \(b=\) \(\pm0{,}5\ne0\). Então \(d=\) \(k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
Para \(k\ne0\), \(k\pi\) é irracional. Como \(d\) tem de ser racional, só serve \(k=\) \(0\): \(d=\) \(0\).
O enunciado não obriga \(b\) e \(c\) a serem positivos, por isso servem os dois sinais. Por exemplo, \(A(t)=\) \(25\)
9. Pessoas num centro comercial
Num certo dia, o número de pessoas presentes num determinado centro comercial, em milhares, era dado, em função de \(t\), em horas, a partir das \(10\) horas, pela função:
O argumento está expresso em radianos e \(t\in[0,12]\).
9.1. Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, a que horas desse dia o número de pessoas no centro comercial foi \(6500\). Apresente o resultado em horas e minutos (com o número de minutos arredondado às unidades).
9.2. Sabe-se que existe um instante a partir do qual, passados \(120\) minutos, o número de pessoas no centro comercial aumenta \(50\%\). Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a que horas desse dia tal aconteceu. Apresente o resultado em horas e minutos (com o número de minutos arredondado às unidades).
Alínea 9.1
Determine, com a calculadora gráfica, a que horas desse dia o número de pessoas foi \(6500\) (horas e minutos).
\(s\) está em milhares: \(6500\) pessoas são \(6{,}5\) milhares.
- Colocar a calculadora em radianos (RAD).
- \(y_1=\) \(6\)
\({}-4\cos\left(\dfrac{\pi(x+3)}{9}\right)\) e \(y_2=\) \(6{,}5\). - Janela: \(x\in[0,12]\) e, por exemplo, \(y\in[0,11]\).
- Determinar as interseções.
\(t\) conta as horas a partir das \(10\) h:
\(t\) é o tempo decorrido desde as \(10\) h: no fim, soma-se à hora de abertura.
Alínea 9.2
Existe um instante a partir do qual, passados \(120\) minutos, o número de pessoas aumenta \(50\%\). Determine, com a calculadora gráfica, a que horas tal aconteceu.
\(120\) minutos são \(2\) horas; aumentar \(50\%\) é ficar com \(150\%\), ou seja, multiplicar por \(1{,}5\):
Os dois instantes têm de estar no domínio: \(t\ge\) \(0\) e \(t\)
- \(y_1=\) \(s(x+2)=\) \(6\)
\({}-4\cos\left(\dfrac{\pi(x+5)}{9}\right)\) e \(y_2=\) \(1{,}5\,s(x)=\) \(9\) \({}-6\cos\left(\dfrac{\pi(x+3)}{9}\right)\) (multiplicámos \(6\) e \(4\) por \(1{,}5\)). - Janela: \(x\in[0,10]\); determinar a interseção.
Confirmação: \(s(1{,}05)\approx\) \(5{,}37\) milhares e, duas horas depois, \(s(3{,}05)\approx\) \(8{,}06\approx\) \(1{,}5\times5{,}37\).
10. A roda de um triciclo
A figura mostra um esquema da roda da frente de um triciclo, com o ponto médio de um dos raios assinalado pela letra \(F\). Este ponto representa o centro de um pequeno enfeite colorido colocado nesse raio.
Sabe-se que, \(t\) segundos após o triciclo ter começado a andar, em linha reta e a uma velocidade constante, a distância do centro do enfeite (ponto \(F\)) ao solo é dada, em centímetros, por
com \(t\ge0\).
(Considere que nenhuma das rodas patinou ou derrapou.)
10.1. Determine a distância, em centímetros, do centro do enfeite ao solo no instante em que o triciclo começou a andar.
10.2. Determine quantas voltas completas deu a roda da frente do triciclo num percurso de \(13\) metros.
(Exame Nacional de Matemática B, Época Especial, 2019)
Alínea 10.1
Determine a distância do centro do enfeite ao solo no instante em que o triciclo começou a andar.
\(\frac{2\pi}{3}=\) \(\pi\)
Alínea 10.2
Determine quantas voltas completas deu a roda da frente num percurso de \(13\) metros.
A distância de \(F\) ao solo oscila à volta do valor médio \(12\): é a altura do centro da roda. Como a roda assenta no solo, o raio da roda é \(12\) cm.
A amplitude, \(6\), é a distância de \(F\) ao centro (metade do raio, porque \(F\) está a meio de um raio). Não é o raio da roda.
Sem derrapar, em cada volta a roda avança o seu perímetro:
\(13\) m \(=1300\) cm (as mesmas unidades):
São \(17\) voltas completas (a 18.ª ainda não terminou).
11. Temperatura média mensal no Porto
A temperatura média mensal, \(T\), em graus Celsius, na cidade do Porto, ao longo de um ano, é dada, aproximadamente, por:
com \(n\in\{1,2,\ldots,12\}\) (onde \(n\) designa o mês do ano, sendo que \(1\) corresponde ao mês de janeiro). O argumento da função seno está expresso em radianos.
11.1. Calcule a temperatura média no mês de junho. Apresente o resultado arredondado às décimas.
11.2. Recorrendo à calculadora gráfica, determine em que meses a temperatura média é superior a \(18{,}5\ ^\circ\text{C}\).
Alínea 11.1
Calcule a temperatura média no mês de junho (às décimas).
Junho é o 6.º mês. \(6\)
Calculadora em radianos.
Alínea 11.2
Recorrendo à calculadora gráfica, determine em que meses a temperatura média é superior a \(18{,}5\ ^\circ\text{C}\).
\(n\) só toma os valores \(1,2,\ldots,12\): a resposta é uma lista de meses, e não um intervalo.
Representam-se os pontos \((n,\ \) \(T(n))\) (ou consulta-se a tabela, com início \(1\) e passo \(1\)) e a reta \(y=\) \(18{,}5\):
Nos outros meses, \(T\) é ainda menor. Ficam acima de \(18{,}5\) os meses \(6\), \(7\), \(8\) e \(9\).
12. A previsão da temperatura em Braga
A previsão para a temperatura num certo dia de verão, em Braga, é dada, em graus Celsius, por
com \(x\in[0,24]\), sendo \(x\) o tempo, em horas, decorrido desde as zero horas desse dia.
Recorra à tecnologia, por exemplo, à calculadora gráfica, e responda às seguintes questões.
12.1. Qual é a previsão para a amplitude térmica para esse dia? Apresente o resultado em graus Celsius.
12.2. Admita que a prática desportiva não está recomendada com temperaturas superiores a \(35\ ^\circ\text{C}\). Nesse dia, durante quanto tempo não é recomendável praticar desporto? Apresente o resultado em horas, arredondado às unidades.
- Colocar a calculadora em radianos (RAD).
- \(y_1=\) \(30\)
\({}+7\cos\left(\dfrac{\pi}{13}(x-41)\right)\) e \(y_2=\) \(35\). - Janela: \(x\in[0,24]\) e, por exemplo, \(y\in[22,38]\).
- Determinar o mínimo, o máximo e as interseções com a reta.
Alínea 12.1
Qual é a previsão para a amplitude térmica para esse dia?
No gráfico: mínimo \(23\ ^\circ\text{C}\) (em \(x=\) \(2\)) e máximo \(37\ ^\circ\text{C}\) (em \(x=\) \(15\)).
Confirmação: para \(x\in[0,24]\), o ângulo \(\frac{\pi}{13}(x-41)\) vai de \(-\frac{41\pi}{13}\) a \(-\frac{17\pi}{13}\) e passa por \(-3\pi\) (cosseno \(-1\)) e por \(-2\pi\) (cosseno \(1\)). Por isso, os valores \(30\)
A amplitude térmica é a diferença entre a temperatura máxima e a mínima:
Não é o \(7\) da fórmula: esse número é metade da diferença entre o máximo e o mínimo.
Alínea 12.2
Durante quanto tempo não é recomendável praticar desporto (temperaturas superiores a \(35\ ^\circ\text{C}\))? Apresente o resultado em horas, arredondado às unidades.
\(T(x)\gt\) \(35\) entre as duas interseções com a reta: \(x_1\approx\) \(11{,}79\) e \(x_2\approx\) \(18{,}21\).
Soluções (resumo)
| Exercício | Solução |
|---|---|
| 1.1 | demonstração |
| 1.2 | demonstração |
| 1.3 | demonstração |
| 2 | \(f\to\) II (período \(4\pi\)); \(g\to\) IV (\(\pi\)); \(h\to\) I (\(2\pi\)); \(i\to\) VI (\(6\pi\)); \(j\to\) III (\(8\pi\)); \(k\to\) V (\(\frac{\pi}{2}\)). |
| 3.1 | \(25{,}75\ ^\circ\text{C}\) |
| 3.2 | Mínima: \(22\ ^\circ\text{C}\) (às 3 h); máxima: \(27\ ^\circ\text{C}\) (às 15 h). |
| 4.1 | \(h(14{,}25)\approx\) \(2{,}05\) m |
| 4.2 | 07:12 |
| 5.1 | Altura máxima: \(11\) cm; altura mínima: \(10\) cm. |
| 5.2 | \(1\) segundo |
| 5.3 | \(2\) segundos |
| 6.1 | \(c=\) \(\dfrac{11\pi}{5}\) |
| 6.2 | Sistólica (máxima): \(121\) mmHg; diastólica (mínima): \(76\) mmHg. |
| 7.1 | demonstração |
| 7.2 | \(A=\) \(10\) e \(B\approx\) \(2{,}63\) |
| 7.3 | Mínimo: \(5000\) aves; máximo: \(15\,000\) aves. |
| 8 | \(a=\) \(25\), \(b=\) \(\pm0{,}5\), \(c=\) \(\pm\dfrac{\pi}{5}\) e \(d=\) \(0\). |
| 9.1 | Às 11 h 52 min e às 20 h 08 min. |
| 9.2 | Às 11 h 03 min. |
| 10.1 | \(15\) cm |
| 10.2 | \(17\) voltas completas |
| 11.1 | \(T(6)\approx\) \(19{,}3\ ^\circ\text{C}\) |
| 11.2 | Junho, julho, agosto e setembro. |
| 12.1 | \(14\ ^\circ\text{C}\) |
| 12.2 | Cerca de \(6\) horas. |