Exercícios Tipo Exames | Trigonometria | Matemática A

1. Polígono \([BCDQP]\) e semicircunferência

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Na figura estão representados:

um retângulo \([ABCD]\), em que \(\overline{DC}=1\) e \(\overline{BC}=2\);
o ponto \(O\), ponto médio do segmento \([AD]\);
uma semicircunferência do centro no ponto \(O\) e raio \(1\).

Retângulo ABCD com semicircunferência de centro O e polígono BCDQP sombreado

Considere que o ponto \(P\) se desloca ao longo do segmento de reta \([AB]\), nunca coincidindo com \(A\), mas podendo coincidir com \(B\). Para cada posição do ponto \(P\), seja \(Q\) o ponto de interseção da reta \(PO\) com a semicircunferência.

Seja \(x\) a amplitude, em radianos, do ângulo \(DOQ\), com \(x\in\left]0,\dfrac{\pi}{4}\right[\).

Resolva os dois itens sem recorrer à calculadora.

1.1. Mostre que a área do polígono \([BCDQP]\), representado a sombreado, é dada, em função de \(x\), por \(2-\dfrac{\tan x}{2}+\dfrac{\sin x}{2}\).
1.2. Para uma certa posição do ponto \(P\), tem-se \(\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)=-\dfrac35\). Determine, para essa posição do ponto \(P\), a área do polígono \([BCDQP]\). Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

1.1 - Decompor a área

A área do polígono \([BCDQP]\) é igual à soma da área do triângulo \([ODQ]\) com a área do pentágono \([ODCBP]\).

No triângulo \([ODQ]\), como \(OQ=1\), \(OD=1\) e \(QR=\sin x\), tem-se:

A_{[ODQ]}=\frac{\overline{OD}\times\overline{QR}}{2} =\frac{1\times\sin x}{2}=\frac{\sin x}{2}

A área do pentágono \([ODCBP]\) é a diferença entre a área do retângulo \([ABCD]\) e a área do triângulo \([OAP]\).

A_{[ABCD]}=2\times1=2 \qquad \tan x=\frac{\overline{AP}}{\overline{AO}}\Rightarrow \overline{AP}=\tan x

A_{[OAP]}=\frac{\overline{AO}\times\overline{AP}}{2} =\frac{1\times\tan x}{2}=\frac{\tan x}{2}

A_{[ODCBP]}=A_{[ABCD]}-A_{[OAP]}=2-\frac{\tan x}{2}

\[ A_{[BCDQP]}=2-\frac{\tan x}{2}+\frac{\sin x}{2} \]

1.2 - Usar a condição trigonométrica

\cos\!\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\sin x \quad\Rightarrow\quad -\sin x=-\frac35 \quad\Rightarrow\quad \sin x=\frac35

Como \(x\in\left]0,\dfrac{\pi}{4}\right[\), tem-se \(\cos x>0\). Assim:

\sin^2x+\cos^2x=1 \Rightarrow \left(\frac35\right)^2+\cos^2x=1 \Rightarrow \cos x=\frac45

\tan x=\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{\frac35}{\frac45} =\frac34

A_{[BCDQP]}=2-\frac{\frac34}{2}+\frac{\frac35}{2} =2-\frac38+\frac3{10} =\frac{77}{40}

A área do polígono \([BCDQP]\) é \(\dfrac{77}{40}\).

2. Planificação de uma pirâmide quadrangular regular

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Na figura está representada uma planificação de uma pirâmide quadrangular regular cujas arestas laterais medem \(4\).

Planificação de uma pirâmide quadrangular regular com arestas laterais 4

Seja \(\alpha\) a amplitude, em radianos, do ângulo \(FSE\), com \(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\).

A aresta da base da pirâmide e, consequentemente, a área de cada uma das faces laterais variam em função de \(\alpha\).

Mostre que a área lateral da pirâmide é dada, em função de \(\alpha\), por \(-32\cos\alpha\).

Sugestão: atendendo a que \(\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha\), comece por exprimir a área de uma face lateral em função da amplitude do ângulo \(FSP\), que poderá designar por \(\beta\).

Definir \(\beta\) e a área de uma face

Seja \(\beta\) a amplitude de \(FSP\) e seja \(M\) o ponto médio de \([PS]\).

No triângulo isósceles \([FSP]\), tem-se \(\overline{FS}=4\) e \(\overline{FM}=4\cos\beta\).

\cos\beta=\frac{\overline{FM}}{\overline{FS}} \Rightarrow \overline{FM}=4\cos\beta

Como \(M\) é ponto médio de \([PS]\), vem:

\sin\beta=\frac{\overline{PM}}{\overline{FS}} \Rightarrow \overline{PM}=4\sin\beta \Rightarrow \overline{PS}=2\overline{PM}=8\sin\beta

A_{[FSP]}=\frac{\overline{PS}\times\overline{FM}}{2} =\frac{8\sin\beta\times4\cos\beta}{2} =16\sin\beta\cos\beta =8\sin(2\beta)

Relacionar \(\beta\) com \(\alpha\)

Pela observação da figura:

\beta+\alpha+\beta+\frac{\pi}{2}=2\pi \Rightarrow 2\beta=\frac{3\pi}{2}-\alpha

A_{[FSP]}=8\sin(2\beta) =8\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) =-8\cos\alpha

A pirâmide tem quatro faces laterais geometricamente iguais.

A_{\text{lateral}}=4\times(-8\cos\alpha)=-32\cos\alpha

A área lateral da pirâmide é \(-32\cos\alpha\).

3. Perímetro de um trapézio retângulo

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Na figura está representado um trapézio retângulo \([ABCD]\).

Sabe-se que:

\(\overline{BC}=1\);
\(\overline{CD}=1\);
\(\alpha\) é a amplitude, em radianos, do ângulo \(ADC\);
\(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{2},\pi\right[\).

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

3.1. Mostre que o perímetro do trapézio \([ABCD]\) é dado, em função de \(\alpha\), por \(P(\alpha)=3+\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\).
3.2. Para um certo número real \(\theta\), tem-se que \(\tan\theta=-\sqrt8\), com \(\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi\). Determine o valor exato de \(P(\theta)\).

3.1 - Perímetro em função de \(\alpha\)

Considere \(E\) o ponto de \([AB]\) tal que \(DE\perp AB\). Então \(\overline{EB}=\overline{BC}=1\), \(\overline{DE}=1\) e:

P(\alpha)=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{AD} =\overline{AE}+1+1+1+\overline{AD} =3+\overline{AE}+\overline{AD}

No triângulo retângulo \([ADE]\), o ângulo em \(A\) tem amplitude \(\pi-\alpha\). Logo:

\sin(\pi-\alpha)=\frac{\overline{DE}}{\overline{AD}} =\frac1{\overline{AD}} \Rightarrow \overline{AD}=\frac1{\sin\alpha}

\tan(\pi-\alpha)=\frac{\overline{DE}}{\overline{AE}} =\frac1{\overline{AE}} \Rightarrow \overline{AE}=\frac1{\tan(\pi-\alpha)} =-\frac1{\tan\alpha}

P(\alpha)=3-\frac1{\tan\alpha}+\frac1{\sin\alpha} =3-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\frac1{\sin\alpha} =3+\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}

\[ P(\alpha)=3+\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} \]

3.2 - Calcular \(P(\theta)\)

\tan\theta=-\sqrt8

1+\tan^2\theta=\frac1{\cos^2\theta} \Rightarrow 1+8=\frac1{\cos^2\theta} \Rightarrow \cos^2\theta=\frac19

Como \(\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi\), tem-se \(\cos\theta<0\). Portanto:

\cos\theta=-\frac13

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \Rightarrow \sin^2\theta=1-\frac19=\frac89 \Rightarrow \sin\theta=\frac{\sqrt8}{3}

P(\theta)=3+\frac{1-\left(-\frac13\right)}{\frac{\sqrt8}{3}} =3+\frac{4}{\sqrt8} =3+\sqrt2

O valor exato é \(P(\theta)=3+\sqrt2\).

4. Trapézio \([OPQR]\) no círculo trigonométrico

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Na figura está representado, num referencial o.n. \(xOy\), o círculo trigonométrico. Os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) são os pontos de interseção da circunferência com os eixos do referencial.

Círculo trigonométrico com o trapézio OPQR

Considere que o ponto \(P\) se desloca ao longo do arco \(BC\), nunca coincidindo com \(B\) nem com \(C\). Para cada posição do ponto \(P\), seja \(Q\) o ponto do arco \(AB\) que tem ordenada igual à ordenada do ponto \(P\), e seja \(R\) o ponto do eixo \(Ox\) que tem abcissa igual à abcissa do ponto \(Q\).

Seja \(\alpha\) a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo \(Ox\) e por lado extremidade a semirreta \(\dot OP\), com \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{2},\pi\right[\).

Resolva os itens seguintes, sem recorrer à calculadora.

4.1. Mostre que a área do trapézio \([OPQR]\) é dada por \(-\dfrac32\sin\alpha\cos\alpha\).
4.2. Para uma certa posição do ponto \(P\), a reta \(OP\) interseta a reta de equação \(x=1\) num ponto de ordenada \(-\dfrac7{24}\). Determine, para essa posição do ponto \(P\), a área do trapézio \([OPQR]\). Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

4.1 - Área do trapézio

Como \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{2},\pi\right[\), tem-se \(\cos\alpha<0\) e \(\sin\alpha>0\).

O ponto \(P\) tem coordenadas \(P(\cos\alpha,\sin\alpha)\). Assim:

\overline{QR}=\sin\alpha,\qquad \overline{OR}=-\cos\alpha,\qquad \overline{PQ}=-2\cos\alpha

A_{[OPQR]}=\frac{\overline{PQ}+\overline{OR}}{2}\times\overline{QR} =\frac{-2\cos\alpha-\cos\alpha}{2}\times\sin\alpha =-\frac32\sin\alpha\cos\alpha

\[ A_{[OPQR]}=-\frac32\sin\alpha\cos\alpha \]

4.2 - Calcular a área

A reta \(OP\) intersetar a reta \(x=1\) num ponto de ordenada \(-\dfrac7{24}\) é equivalente a afirmar que:

\tan\alpha=-\frac7{24}

1+\tan^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha} \Rightarrow 1+\left(-\frac7{24}\right)^2=\frac1{\cos^2\alpha} \Rightarrow \cos^2\alpha=\frac{576}{625}

Como \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{2},\pi\right[\), tem-se \(\cos\alpha<0\). Logo:

\cos\alpha=-\frac{24}{25}

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \Rightarrow \sin^2\alpha=1-\frac{576}{625}=\frac{49}{625} \Rightarrow \sin\alpha=\frac7{25}

A_{[OPQR]}=-\frac32\sin\alpha\cos\alpha =-\frac32\times\frac7{25}\times\left(-\frac{24}{25}\right) =\frac{252}{625}

A área do trapézio \([OPQR]\) é \(\dfrac{252}{625}\).

5. Equação \(\cos x=0,9\)

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Considere, em \(\mathbb{R}\), a equação trigonométrica:

\cos x=0,9

Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução?

(A) \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\) (B) \([0,\pi]\) (C) \(\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right]\) (D) \(\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right]\)

Analisar os intervalos

As soluções de \(\cos x=0,9\) estão próximas do semieixo positivo \(Ox\), pois \(0,9\) é um valor positivo e superior a \(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}\).

Assim:

no intervalo \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\), a equação tem duas soluções;
no intervalo \([0,\pi]\), a equação tem uma solução;
no intervalo \(\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right]\), a equação não tem solução;
no intervalo \(\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right]\), a equação tem duas soluções.

Opção correta: (C).

6. Área sombreada num quadrado

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Na figura está representado um quadrado \([ABCD]\), de lado \(a\).

Quadrado ABCD com uma região sombreada formada por quatro triângulos

Sabe-se que:

\(\overline{AE}=\overline{AH}=\overline{BE}=\overline{BF}=\overline{CF}=\overline{CG}=\overline{DG}=\overline{DH}\);
\(x\) é a amplitude, em radianos, do ângulo \(EAB\);
\(x\in\left]0,\dfrac{\pi}{4}\right[\).

6.1. Mostre que a área da região a sombreado é dada, em função de \(x\), por \(A(x)=a^2(1-\tan x)\).
6.2. Considerando \(a=6\) e \(\theta\in\left]0,\dfrac{\pi}{4}\right[\), tal que \(\sin\theta=\dfrac13\), determine o valor exato de \(A(\theta)\).

6.1 - Área sombreada

A área da região a sombreado é igual à área do quadrado \([ABCD]\) menos a área dos quatro triângulos \([AEB]\), \([BFC]\), \([CGD]\) e \([DHA]\). Como os triângulos são todos geometricamente iguais:

A_{\text{sombreada}}=A_{[ABCD]}-4A_{[AEB]}

Seja \(P\) a projeção ortogonal do ponto \(E\) no segmento de reta \([AB]\). Como o triângulo \([AEB]\) é isósceles, tem-se \(\overline{AP}=\dfrac a2\).

\tan x=\frac{\overline{EP}}{\overline{AP}} \Rightarrow \overline{EP}=\overline{AP}\tan x =\frac a2\tan x

A_{[AEB]}=\frac{\overline{AB}\times\overline{EP}}{2} =\frac{a\times\frac a2\tan x}{2} =\frac{a^2\tan x}{4}

A_{\text{sombreada}}=a^2-4\left(\frac{a^2\tan x}{4}\right) =a^2-a^2\tan x =a^2(1-\tan x)

\[ A(x)=a^2(1-\tan x) \]

6.2 - Calcular \(A(\theta)\)

\sin\theta=\frac13

Como \(\theta\in\left]0,\dfrac{\pi}{4}\right[\), tem-se \(\cos\theta>0\).

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \Rightarrow \left(\frac13\right)^2+\cos^2\theta=1 \Rightarrow \cos^2\theta=\frac89 \Rightarrow \cos\theta=\frac{2\sqrt2}{3}

\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{\frac13}{\frac{2\sqrt2}{3}} =\frac1{2\sqrt2} =\frac{\sqrt2}{4}

A(\theta)=6^2\left(1-\frac{\sqrt2}{4}\right) =36-9\sqrt2

O valor exato é \(A(\theta)=36-9\sqrt2\).

7. Perímetro de um trapézio retângulo

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Na figura, estão representados a circunferência trigonométrica e um trapézio retângulo \([OPQR]\).

Circunferência trigonométrica com trapézio retângulo OPQR

Sabe-se que:

o ponto \(P\) tem coordenadas \((0,1)\);
o ponto \(R\) pertence ao \(4.º\) quadrante e à circunferência.

Seja \(\alpha\) a amplitude do ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo \(Ox\) e cujo lado extremidade é a semirreta \(\dot OR\).

Qual das seguintes expressões dá o perímetro do trapézio \([OPQR]\) em função de \(\alpha\)?

(A) \(\cos\alpha+3-\sin\alpha\) (B) \(\cos\alpha+2-\sin\alpha\) (C) \(\cos\alpha+3+\sin\alpha\) (D) \(4-\sin\alpha\)

Calcular o perímetro

Tem-se \(O=(0,0)\), \(P=(0,1)\) e \(R=(\cos\alpha,\sin\alpha)\). Como \(R\) pertence ao \(4.º\) quadrante, \(\cos\alpha>0\) e \(\sin\alpha<0\).

O ponto \(Q\) tem coordenadas \(Q=(\cos\alpha,1)\).

\overline{OP}=1,\qquad \overline{OR}=1,\qquad \overline{PQ}=\cos\alpha,\qquad \overline{QR}=1-\sin\alpha

P_{[OPQR]}=\overline{OP}+\overline{PQ}+\overline{QR}+\overline{OR} =1+\cos\alpha+(1-\sin\alpha)+1

P_{[OPQR]}=\cos\alpha+3-\sin\alpha

Opção correta: (A).