Exercícios Tipo Exames

Na figura estão representados:

• um retângulo \([ABCD]\), em que \(\overline{DC}=1\) e \(\overline{BC}=2\);
• o ponto \(O\), ponto médio do segmento \([AD]\);
• uma semicircunferência do centro no ponto \(O\) e raio \(1\).

Considere que o ponto \(P\) se desloca ao longo do segmento de reta \([AB]\), nunca coincidindo com \(A\), mas podendo coincidir com \(B\). Para cada posição do ponto \(P\), seja \(Q\) o ponto de interseção da reta \(PO\) com a semicircunferência.

Seja \(x\) a amplitude, em radianos, do ângulo \(DOQ\), com \(x\in\left]0,\dfrac{\pi}{4}\right[\).

Resolva os dois itens sem recorrer à calculadora.

• 1.1. Mostre que a área do polígono \([BCDQP]\), representado a sombreado, é dada, em função de \(x\), por \(2-\dfrac{\tan x}{2}+\dfrac{\sin x}{2}\).
• 1.2. Para uma certa posição do ponto \(P\), tem-se \(\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)=-\dfrac35\). Determine, para essa posição do ponto \(P\), a área do polígono \([BCDQP]\). Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Na figura está representada uma planificação de uma pirâmide quadrangular regular cujas arestas laterais medem \(4\).

Seja \(\alpha\) a amplitude, em radianos, do ângulo \(FSE\), com \(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\).

A aresta da base da pirâmide e, consequentemente, a área de cada uma das faces laterais variam em função de \(\alpha\).

Mostre que a área lateral da pirâmide é dada, em função de \(\alpha\), por \(-32\cos\alpha\).

Sugestão: atendendo a que \(\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha\), comece por exprimir a área de uma face lateral em função da amplitude do ângulo \(FSP\), que poderá designar por \(\beta\).

Na figura está representado um trapézio retângulo \([ABCD]\).

Sabe-se que:

• \(\overline{BC}=1\);
• \(\overline{CD}=1\);
• \(\alpha\) é a amplitude, em radianos, do ângulo \(ADC\);
• \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{2},\pi\right[\).

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

• 3.1. Mostre que o perímetro do trapézio \([ABCD]\) é dado, em função de \(\alpha\), por \(P(\alpha)=3+\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\).
• 3.2. Para um certo número real \(\theta\), tem-se que \(\tan\theta=-\sqrt8\), com \(\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi\). Determine o valor exato de \(P(\theta)\).

Na figura está representado, num referencial o.n. \(xOy\), o círculo trigonométrico. Os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) são os pontos de interseção da circunferência com os eixos do referencial.

Considere que o ponto \(P\) se desloca ao longo do arco \(BC\), nunca coincidindo com \(B\) nem com \(C\). Para cada posição do ponto \(P\), seja \(Q\) o ponto do arco \(AB\) que tem ordenada igual à ordenada do ponto \(P\), e seja \(R\) o ponto do eixo \(Ox\) que tem abcissa igual à abcissa do ponto \(Q\).

Seja \(\alpha\) a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo \(Ox\) e por lado extremidade a semirreta \(\dot OP\), com \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{2},\pi\right[\).

Resolva os itens seguintes, sem recorrer à calculadora.

• 4.1. Mostre que a área do trapézio \([OPQR]\) é dada por \(-\dfrac32\sin\alpha\cos\alpha\).
• 4.2. Para uma certa posição do ponto \(P\), a reta \(OP\) interseta a reta de equação \(x=1\) num ponto de ordenada \(-\dfrac7{24}\). Determine, para essa posição do ponto \(P\), a área do trapézio \([OPQR]\). Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Considere, em \(\mathbb{R}\), a equação trigonométrica:

Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução?

Na figura está representado um quadrado \([ABCD]\), de lado \(a\).

Sabe-se que:

• \(\overline{AE}=\overline{AH}\) \(=\overline{BE}\) \(=\overline{BF}\) \(=\overline{CF}\) \(=\overline{CG}\) \(=\overline{DG}=\overline{DH}\);
• \(x\) é a amplitude, em radianos, do ângulo \(EAB\);
• \(x\in\left]0,\dfrac{\pi}{4}\right[\).

• 6.1. Mostre que a área da região a sombreado é dada, em função de \(x\), por \(A(x)=a^2(1-\tan x)\).
• 6.2. Considerando \(a=6\) e \(\theta\in\left]0,\dfrac{\pi}{4}\right[\), tal que \(\sin\theta=\dfrac13\), determine o valor exato de \(A(\theta)\).

Na figura, estão representados a circunferência trigonométrica e um trapézio retângulo \([OPQR]\).

Sabe-se que:

• o ponto \(P\) tem coordenadas \((0,1)\);
• o ponto \(R\) pertence ao \(4.º\) quadrante e à circunferência.

Seja \(\alpha\) a amplitude do ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo \(Ox\) e cujo lado extremidade é a semirreta \(\dot OR\).

Qual das seguintes expressões dá o perímetro do trapézio \([OPQR]\) em função de \(\alpha\)?

Na figura estão representados dois triângulos retângulos, \([ABC]\) e \([BDE]\).

Sabe-se que:

• \(\overline{CE}=6\) e \(\overline{DE}=8\);
• \(B\) pertence ao segmento de reta \([AD]\) e \(E\) pertence ao segmento de reta \([BC]\);
• \(B\hat DE=\alpha\) e \(C\hat AB=2\alpha\) \(\left(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{4}\right[\right)\).

Mostre que o comprimento do segmento de reta \([AD]\) pode ser dado, em função de \(\alpha\), pela expressão \(8\cos\alpha+\dfrac{6+8\sin\alpha}{\tan(2\alpha)}\).

Na figura estão representados os triângulos retângulos \([ABC]\) e \([ADE]\). Sabe-se que \(\overline{AD}=3\) e que \(\overline{AB}=7\).

Seja \(x\) a amplitude, em radianos, do ângulo \(CAB\), com \(x\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\).

9.1. Mostre que o perímetro do triângulo \([ABC]\) é dado, em função de \(x\), por \(P(x)=7\left(1+\tan x+\dfrac{1}{\cos x}\right)\).

9.2. Determine o valor exato do perímetro do triângulo \([ABC]\), para \(x=\dfrac{\pi}{3}\).

9.3. Mostre que a área do polígono \([BCED]\) é dada, em função de \(x\), por \(A(x)=20\tan x\).

9.4. Para um certo valor de \(\alpha\), sabe-se que \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\dfrac13\). Determine o valor de \(A(\alpha)\).

Na figura estão representados o quadrado \([ABCD]\) e, sombreado a lilás, o trapézio \([APCB]\).

Sabe-se que:

• o quadrado \([ABCD]\) tem lado \(10\);
• o ponto \(E\) pertence à semirreta \(\dot{B}C\), sem pertencer ao lado \([BC]\);
• o ponto \(P\) desloca-se ao longo do lado \([AD]\), nunca coincidindo com os vértices do quadrado;
• \(\alpha\) é a amplitude, em radianos, do ângulo \(ECP\).

10.1. Que valores pode \(\alpha\) tomar? Apresente a resposta na forma de intervalo de números reais.

10.2. Mostre que a área do trapézio \([APCB]\) é dada, em função de \(\alpha\), por \(100+50\,\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\).

10.3. Determine o valor da área sombreada a lilás para \(\alpha=\dfrac{2\pi}{3}\).

Na figura está representado um quadrado \([ABCD]\), de lado \(1\). O ponto \(E\) desloca-se sobre o lado \([BC]\) e o ponto \(F\) desloca-se sobre o lado \([CD]\), de tal forma que se tem sempre \(\overline{AE}=\overline{AF}\).

Para cada posição do ponto \(E\), seja \(x\) a amplitude do ângulo \(EAB\) \(\left(x\in\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right[\right)\).

11.1. Mostre que a área do triângulo \([AEF]\) é dada, em função de \(x\), por \(A(x)=1-\dfrac{1}{2\cos^2x}\).

11.2. Determine o valor de \(x\) para o qual a área do triângulo \([AEF]\) é igual a metade da área do quadrado \([ABCD]\).

11.3. Para um certo valor de \(x\), sabe-se que \(\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\dfrac32\). Determine, para esse valor de \(x\), a área do triângulo \([AEF]\).

Na figura, a circunferência trigonométrica está representada num referencial ortonormado \(Oxy\). Sabe-se que:

• o hexágono regular \([ABCDEF]\) está inscrito na circunferência trigonométrica;
• a reta \(PQ\) é paralela ao eixo \(Oy\) e passa no ponto \((1,0)\);
• o ponto \(P\) pertence à reta \(OA\) e \(Q\) pertence à reta \(DE\).

12.1. Determine as coordenadas dos pontos \(A\) e \(P\).

12.2. Calcule o valor exato da área do hexágono regular \([ABCDEF]\).

Na figura estão representados, em referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica e o triângulo \([ABC]\).

Sabe-se que:

• o ponto \(C\) tem coordenadas \((1,0)\);
• \(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\) é a amplitude, em radianos, do ângulo orientado cujos lados origem e extremidade são, respetivamente, o semieixo positivo \(Ox\) e a semirreta \(\dot{O}A\);
• \([AB]\) é um diâmetro da circunferência trigonométrica.

13.1. Mostre que a área do triângulo \([ABC]\) é dada, em função de \(\alpha\), por \(\sin\alpha\).

13.2. Para um determinado valor de \(\alpha\), sabe-se que \(\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)-1\right)^2+\sin^2\alpha=\dfrac32\). Determine, para esse valor de \(\alpha\), o valor exato da área do triângulo \([ABC]\).

Na figura está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica.

Sabe-se que:

• \(A\) é o ponto de coordenadas \((1,0)\) e \(B\) pertence à circunferência;
• a reta \(AC\) é perpendicular ao eixo \(Ox\) e \(O\) pertence à reta \(BC\);
• \(\alpha\) é a amplitude do ângulo \(AOB\) \(\left(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{2},\pi\right[\right)\).

14.1. Mostre que a área do triângulo \([ABC]\) é dada, em função de \(\alpha\), por \(A(\alpha)=\dfrac{\sin\alpha-\tan\alpha}{2}\).

14.2. Sabendo que \(\sin(\pi-\alpha)+\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)\) \(=\sin\dfrac{\pi}{6}\), determine a área do triângulo \([ABC]\).

Na figura está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica de centro \(O\).

Sabe-se que:

• \(A\) pertence à circunferência e tem coordenadas \((1,0)\);
• \(B\) e \(C\) pertencem à circunferência e ao eixo \(Oy\);
• \(P\) desloca-se ao longo do arco \(AB\), nunca coincidindo com o ponto \(A\) nem com o ponto \(B\);
• \(\alpha\) é a amplitude, em radianos, do ângulo \(POA\), com \(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\).

Seja \(f\) a função, de domínio \(\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\), definida por \(f(x)=\dfrac{\cos x}{2}\).

15.1. Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de \(\alpha\), por \(f(\alpha)\).

15.2. Para um certo valor de \(\theta\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\), tem-se \(\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+\theta\right)-\cos(-3\pi+\theta)\) \({}+\tan(-\pi-\theta)\) \(=-\dfrac37\). Determine \(f(\theta)\).

15.3. Mostre que \(\forall x\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[,\) \((1-\sin x)\left(\dfrac{1}{\cos x}+\tan x\right)\) \(=2f(x)\).

15.4. Mostre que \(\overline{CP}=\sqrt{2+2\sin\alpha}\).

15.5. Recorrendo à calculadora gráfica, determine o valor de \(\alpha\), com arredondamento às centésimas, para o qual \([PC]\) é o lado de um quadrado de área \(3\).

Na figura estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica e o triângulo \([ABC]\).

Sabe-se que:

• \(A\) tem coordenadas \((0,1)\);
• \(B\) pertence à circunferência trigonométrica e ao terceiro quadrante;
• \(B\) e \(C\) são simétricos em relação a \(Oy\);
• \(\alpha\) é a amplitude do ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo \(Ox\) e cujo lado extremidade é a semirreta \(\dot{O}B\).

16.1. Prove que a área do triângulo \([ABC]\) é dada, em função de \(\alpha\), por \(A(\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha-\cos\alpha\).

16.2. Para uma certa posição do ponto \(B\), sabe-se que \(5\sin(\pi-\alpha)=-\sqrt5\). Determine, para essa posição do ponto \(B\), o valor exato da área do triângulo \([ABC]\).

Na figura estão representados a circunferência trigonométrica e o trapézio retângulo \([AOBC]\).

Sabe-se que:

• o ponto \(A\) tem coordenadas \((1,0)\);
• \(B\) é o ponto de interseção do lado extremidade do ângulo cuja amplitude, em radianos, é \(\alpha\) com a circunferência, em que \(\alpha\in\left]\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right[\).

17.1. Calcule o valor exato da medida da área do trapézio \([AOBC]\), se a amplitude \(\alpha\) for \(\dfrac{11\pi}{6}\) radianos.

17.2. Mostre que a área do trapézio \([AOBC]\) é dada pela expressão \(\dfrac{\sin\alpha\,(\cos\alpha-2)}{2}\).

Na figura está representada uma circunferência centrada na origem de um referencial o.n. \(Oxy\).

Sabe-se que:

• o ponto \(D\) é do segundo quadrante e pertence à circunferência;
• o ponto \(A\) tem coordenadas \((2,0)\);
• a reta \(r\) é tangente à circunferência no ponto \(A\);
• o ponto \(C\) pertence ao eixo \(Oy\) e é tal que a reta \(DC\) é paralela ao eixo \(Ox\);
• a reta \(DC\) interseta a reta \(r\) no ponto \(B\);
• a reta \(DO\) interseta a reta \(r\) no ponto \(E\);
• \(x\) é a amplitude do ângulo orientado \(AOD\) \(\left(x\in\left]\dfrac{\pi}{2},\pi\right[\right)\).

Mostre que a área do trapézio \([BCOE]\) é dada, em função de \(x\), por \(A(x)=\dfrac{4\sin x\cos x-2\sin x}{\cos x}\).

Na figura estão representados, em referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica e o triângulo retângulo \([PQR]\). O ponto \(R\) tem coordenadas \((4,0)\). O ponto \(P\) desloca-se sobre o arco de circunferência \(TS\), nunca coincidindo com o ponto \(S\).

Para cada posição do ponto \(P\):

• \(\alpha\) é a amplitude do ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo \(Ox\) e cujo lado extremidade é a semirreta \(\dot{O}P\), com \(\alpha\in\left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right[\);
• o ponto \(Q\) é o ponto do eixo \(Ox\) tal que \(PQ\perp QR\).

19.1. Indique as coordenadas dos vértices \(P\) e \(Q\) para que se tenha \(\alpha=\dfrac{\pi}{2}\).

19.2. Mostre que \(\overline{PR}\) é dado, em função de \(\alpha\), por \(\sqrt{17-8\cos\alpha}\).

19.3. Sabendo que \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\dfrac35\), determine o valor exato de \(\overline{PR}\).

19.4. Mostre que a área do triângulo \([PQR]\) é dada, em função de \(\alpha\), por \(2\sin\alpha-\dfrac{\cos\alpha\times\sin\alpha}{2}\).

19.5. Determine o valor exato da área do triângulo para \(\alpha=\dfrac{2\pi}{3}\).

Considere a função \(f\), de domínio \(\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\), definida por \(f(x)=\dfrac{1}{\tan x+\frac{\cos x}{1+\sin x}}\).

20.1. Mostre que \(f(x)=\cos x\).

20.2. Sabendo que \(\cos\left(\dfrac{7\pi}{2}-\alpha\right)=\dfrac35\), calcule \(f(\alpha)\).

20.3. Determine os valores de \(x\) para os quais se tem \(f(x)=1+\sin^2x\).

Na figura estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), uma circunferência de centro na origem e raio \(2\) e um quadrilátero \([OABC]\).

Sabe-se que:

• \(A\) pertence ao primeiro quadrante e à circunferência;
• \(C\) é simétrico do ponto \(A\) relativamente ao eixo \(Oy\);
• \(B\) tem coordenadas \((0,2)\).

Seja \(\alpha\) a amplitude do ângulo \(BAO\) \(\left(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right[\right)\).

21.1. Mostre que a área do quadrilátero \([OABC]\) é dada, em função de \(\alpha\), por \(A(\alpha)=4\sin(2\alpha)\).

21.2. Sabe-se que existe um valor de \(\alpha\) tal que, quando \(\alpha\) aumenta \(\dfrac{\pi}{12}\) radianos, a área do quadrilátero \([OABC]\) diminui para metade. Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, esse valor de \(\alpha\), com arredondamento às décimas, sabendo que existe e que é único.