Circunferência Trigonométrica

\(A\) está na circunferência trigonométrica e no lado extremidade de \(\alpha\):

\(B\) tem a mesma abcissa de \(A\) e também está na circunferência, mas do outro lado do eixo \(Ox\): é o simétrico de \(A\) em relação a \(Ox\). Mantém-se a abcissa e troca-se o sinal da ordenada:

\(B\) é o ponto associado ao ângulo \(-\alpha\) (roda-se o mesmo, mas no sentido contrário). Os ângulos \(\alpha\) e \(-\alpha\) têm o mesmo cosseno e senos simétricos:

• (A) \((\cos\alpha,\sin\alpha)\) é o ponto \(A\).
• (B) \((-\cos\alpha,\sin\alpha)\) é o simétrico de \(A\) em relação a \(Oy\).
• (C) \((\cos(-\alpha),-\sin(-\alpha))=\) \((\cos\alpha,\sin\alpha)\) é outra vez o ponto \(A\).
• (D) \((\cos\alpha,\sin(-\alpha))=\) \((\cos\alpha,-\sin\alpha)\) é o ponto \(B\).

Os pontos \(A\), \(B\) e \(C\) estão na mesma reta, e essa reta passa pela origem (é o lado extremidade do ângulo, prolongado). Logo, \([AB]\) é um diâmetro: \(A\) e \(B\) estão em lados opostos da origem, a meia volta (\(180^\circ\)) de distância. \(B\) é o ponto associado a:

\(A\) é o simétrico de \(B\) em relação à origem: trocam os sinais das duas coordenadas.

Confirmação: \(210^\circ\) está no 3.º quadrante, onde as duas coordenadas são negativas.

\(C\) está na reta \(x=\) \(1\) e na reta \(OB\), que passa na origem e tem declive \(\frac{1/2}{\sqrt3/2}=\) \(\frac{1}{\sqrt3}\). Para \(x=\) \(1\), a ordenada é \(\tan30^\circ\):

A circunferência tem raio \(2\). Num ponto de uma circunferência de raio \(r\), as coordenadas são \((r\cos\theta,\ r\sin\theta)\):

\(225^\circ=\) \(180^\circ\)\({}+45^\circ\): \(A\) está no 3.º quadrante e é o simétrico, em relação à origem, do ponto associado a \(45^\circ\). Logo, as duas coordenadas são as de \(45^\circ\) com o sinal trocado:

Confirmação: \(\left(-\sqrt2\right)^2\)\({}+\left(-\sqrt2\right)^2=\) \(2\)\({}+2=\) \(4=\) \(2^2\), por isso \(A\) está mesmo na circunferência de raio \(2\).

\(R\) está na circunferência trigonométrica e \(\widehat{AOR}=\) \(60^\circ\):

\([RQ]\) é um diâmetro, por isso \(Q\) é o simétrico de \(R\) em relação à origem (trocam os sinais das duas coordenadas):

\(P\) está na reta \(r\), de equação \(x=\) \(1\), e na reta \(OR\). Por isso, a sua ordenada é a tangente de \(60^\circ\):

\(\tan60^\circ=\) \(\frac{\sqrt3/2}{1/2}=\) \(\sqrt3\).

A reta tangente em \(A\) é perpendicular ao raio \([OA]\), por isso o triângulo \([OAP]\) é retângulo em \(A\). Os catetos são \(\overline{OA}=\) \(1\) e \(\overline{AP}=\) \(\sqrt3\):

Multiplicamos em cima e em baixo por \(1\)\({}+\sqrt3\):

\(\left(1-\sqrt3\right)\left(1+\sqrt3\right)=\) \(1\)\({}-3=\) \(-2\).

Primeiro os produtos, depois as somas.

\(\frac{\sqrt3}{3}\times\sqrt3=\) \(\frac33=\) \(1\); e \(\cos180^\circ=\) \(-1\) é a abcissa do ponto \((-1,0)\).

Não sabemos \(\sin35^\circ\) nem \(\cos35^\circ\), mas aparecem os dois quadrados: pela fórmula fundamental, \(\sin^235^\circ\)\({}+\cos^235^\circ=\) \(1\).

\(\sin270^\circ=\) \(-1\) é a ordenada do ponto \((0,-1)\).

Seno positivo (acima de \(Ox\)) e cosseno negativo (à esquerda de \(Oy\)): é o 2.º quadrante, e não o 4.º. A afirmação I é falsa.

No 3.º quadrante, \(\sin\beta\lt\) \(0\) e \(\cos\beta\lt\) \(0\). O quociente de dois números negativos é positivo: \(\tan\beta\gt\) \(0\). A afirmação II é verdadeira.

Quando a amplitude aumenta de \(180^\circ\) para \(270^\circ\), o ponto da circunferência desce de \((-1,0)\) para \((0,-1)\): a ordenada diminui de \(0\) para \(-1\). Assim, no 3.º quadrante, a um ângulo maior corresponde um seno menor: se \(\alpha\lt\) \(\beta\), então \(\sin\alpha\gt\) \(\sin\beta\). A afirmação III é verdadeira.

\(\sin\alpha\lt\) \(0\) no 3.º e no 4.º quadrantes; \(\tan\alpha\lt\) \(0\) no 2.º e no 4.º. As duas condições juntas só acontecem no 4.º quadrante. A afirmação IV é falsa.

\(k\in\left]-1,0\right[\) é um número negativo, logo \(\cos\beta\lt\) \(0\): \(\beta\) está no 2.º ou no 3.º quadrante.

\(\tan\beta\lt\) \(0\): \(\beta\) está no 2.º ou no 4.º quadrante.

O único quadrante comum é o 2.º. (Com \(\cos\beta\lt\) \(0\) e \(\tan\beta=\) \(\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\lt\) \(0\), o seno tem de ser positivo.)

Como \(5\gt\) \(0\), os sinais \(\le\) mantêm-se.

O fator \(-1\) troca o sentido das desigualdades; na linha seguinte voltamos a escrevê-las do menor para o maior.

Um quadrado nunca é negativo, e o quadrado de um número entre \(-1\) e \(1\) não passa de \(1\):

O mínimo \(0\) acontece quando \(\sin\beta=\) \(0\) (por exemplo, \(\beta=\) \(0^\circ\)); o máximo \(1\), quando \(\sin\beta=\) \(\pm1\) (por exemplo, \(\beta=\) \(90^\circ\)).

A tangente pode tomar qualquer valor real. O seu quadrado é sempre \(\ge0\) e pode ser tão grande quanto se queira:

O mínimo \(3\) acontece quando \(\tan\beta=\) \(0\) (por exemplo, \(\beta=\) \(0^\circ\)). Não há máximo.

Em \(\mathbb{R}\), o seno toma todos os valores de \([-1,1]\):

Multiplicámos por \(2\), subtraímos \(5\) e dividimos por \(-3\).

De \(180^\circ\) a \(270^\circ\), o ponto desce de \((-1,0)\) a \((0,-1)\): o seno vai de \(0\) a \(-1\). Como \(180^\circ\) está excluído e \(270^\circ\) está incluído:

Dividimos por \(4\), que é positivo: os sentidos mantêm-se.

De \(45^\circ\) a \(135^\circ\), o ponto anda para a esquerda: o cosseno diminui de \(\cos45^\circ=\) \(\frac{\sqrt2}{2}\) até \(\cos135^\circ=\) \(-\frac{\sqrt2}{2}\). O primeiro está incluído e o segundo excluído:

Multiplicámos por \(6\), somámos \(\sqrt2\) e dividimos por \(2\).

O intervalo passa por \(0^\circ\), onde o cosseno atinge o máximo, \(1\). Nas pontas: \(\cos(-60^\circ)=\) \(\cos60^\circ=\) \(\frac12\) e \(\cos30^\circ=\) \(\frac{\sqrt3}{2}\approx\) \(0{,}87\). O valor mais pequeno é \(\frac12\), que não é atingido (\(-60^\circ\) está excluído):

\(\frac12\)\({}+3=\) \(\frac72\); depois dividimos por \(5\).

\(\alpha=\) \(\theta\)\({}+2\times360^\circ\): \(\alpha\) e \(\theta\) têm o mesmo lado extremidade, logo as mesmas razões trigonométricas. Na circunferência de raio \(2\):

• \(C(2\cos\alpha,\ 2\sin\alpha)\);
• \(B\) está na circunferência, por baixo de \(C\) (simétrico em relação a \(Ox\)): \(B(2\cos\alpha,\ -2\sin\alpha)\);
• \(A\) está em \(Oy\), à altura de \(B\): \(A(0,\ -2\sin\alpha)\).

As bases do trapézio são os lados paralelos \([OA]\) e \([BC]\) (verticais); a altura é \([AB]\) (horizontal):

Uma volta são \(2\pi=\) \(\frac{22\pi}{11}\); somamos duas voltas, \(4\pi=\) \(\frac{44\pi}{11}\):

\(\frac{3\pi}{2}=\) \(\frac{16{,}5\pi}{11}\) e \(2\pi=\) \(\frac{22\pi}{11}\):

Três voltas são \(6\pi=\) \(\frac{18\pi}{3}\):

\(\frac{4\pi}{3}\approx\) \(1{,}33\pi\) está entre \(\pi\) e \(1{,}5\pi\).

Três voltas são \(6\pi=\) \(\frac{36\pi}{6}\):

\(\left]\frac{\pi}{2},\pi\right[\) é o 2.º quadrante (acima de \(Ox\) e à esquerda de \(Oy\)):

• (A) \(\tan\alpha\)\({}+\cos\alpha\): negativo mais negativo, dá negativo.
• (B) \(\sin\alpha\)\({}-\tan\alpha\): positivo menos negativo; subtrair um negativo é somar, dá positivo.
• (C) \(\cos\alpha\times\tan\alpha\): negativo vezes negativo, dá positivo.
• (D) \(\sin\alpha\)\({}-\cos\alpha\): positivo menos negativo, dá positivo.

Somando uma volta (\(2\pi\)), \(\left]-\pi,-\frac{\pi}{2}\right[\) passa a \(\left]\pi,\frac{3\pi}{2}\right[\): é o 3.º quadrante.

A tangente é positiva: é o quociente de dois números negativos.

• (A) \(\sin\alpha\)\({}+\cos\alpha\): negativo mais negativo, dá negativo.
• (B) \(\cos\alpha\)\({}-\tan\alpha\): negativo menos positivo, dá negativo.
• (C) \(\sin\alpha\times\tan\alpha\): negativo vezes positivo, dá negativo.
• (D) \(\tan\alpha\)\({}-\sin\alpha\): positivo menos negativo, dá positivo.

\(\left]\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right[\) são o 2.º e o 3.º quadrantes: o cosseno é negativo nos dois.

\(\cos\alpha\times\sin\alpha\gt\) \(0\): o seno e o cosseno têm o mesmo sinal. Como o cosseno é negativo, o seno também é negativo. Isso acontece no 3.º quadrante:

• (A) \(\cos\alpha\)\({}+\sin\alpha\): soma de dois negativos, é negativa. Falsa.
• (B) \(\sin\alpha\times\tan\alpha\): negativo vezes positivo, é negativo. Falsa.
• (C) \(\tan\alpha\gt\) \(0\): verdadeira.
• (D) \(\cos\alpha\gt\) \(0\): falsa.

Somando uma volta (\(2\pi\)), \(\left]-2\pi,-\frac{3\pi}{2}\right[\) passa a \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\): 1.º quadrante.

\(\left]\pi,\frac{3\pi}{2}\right[\) é o 3.º quadrante:

• (A) \(\cos\alpha\)\({}-\sin\beta\): positivo menos negativo, dá positivo.
• (B) \(\sin\alpha\times\sin\beta\): positivo vezes negativo, dá negativo.
• (C) \(\cos\beta\)\({}-\tan\alpha\): negativo menos positivo, dá negativo.
• (D) \(\cos\alpha\times\cos\beta\): positivo vezes negativo, dá negativo.

Em \(\left]\frac{\pi}{2},\pi\right[\) (parte de \(]0,\pi[\)), \(\sin x\gt\) \(0\) e \(\cos x\lt\) \(0\), logo \(\sin x\times\cos x\lt\) \(0\). Por exemplo, para \(x=\) \(\frac{3\pi}{4}\), o produto é \(\frac{\sqrt2}{2}\times\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\) \(-\frac12\). Falsa.

Em \(\left]\frac{\pi}{2},\pi\right[\), \(\frac{\sin x}{\cos x}\) é um positivo a dividir por um negativo: é sempre negativo. Falsa.

Em \(\left]\frac{3\pi}{2},2\pi\right[\) (parte de \(]\pi,2\pi[\)), \(\sin x\lt\) \(0\) e \(\cos x\gt\) \(0\). Por exemplo, para \(x=\) \(\frac{7\pi}{4}\):

Existe, portanto, um \(x\) nas condições pedidas. Verdadeira.

Em \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\), o seno e o cosseno são positivos, por isso o quociente é sempre positivo. Falsa.

\(\frac{\pi}{2}\lt\) \( x\lt\) \(\frac{3\pi}{4}\) está dentro do 2.º quadrante: \(\sin x\gt\) \(0\) e \(\tan x\lt\) \(0\). Isto exclui as opções (B) e (D).

Multiplicamos os três membros por \(2\), que é positivo:

\(2x\) está no 3.º quadrante: \(\sin(2x)\lt\) \(0\) e \(\cos(2x)\lt\) \(0\). Isto exclui (A) e confirma (C).

Os quatro vértices do quadrado dividem a circunferência em quatro arcos iguais: \(\frac{2\pi}{4}=\) \(\frac{\pi}{2}\). Na figura, \(D\) vem logo a seguir a \(A\) no sentido negativo (dos ponteiros do relógio).

Com a calculadora em radianos (RAD):

Confirmação: \(D\) está no 4.º quadrante, com abcissa positiva e ordenada negativa.

Em \(\mathbb{R}\), o seno toma todos os valores de \([-1,1]\):

\(0\le\) \( k^2\) é sempre verdade (um quadrado nunca é negativo). Fica \(k^2\le\) \(2\), que acontece para os \(k\) entre \(-\sqrt2\) e \(\sqrt2\):

O intervalo passa por \(0\), onde o cosseno vale \(1\). Em \(x=\) \(-\frac{\pi}{2}\) (incluído), o cosseno vale \(0\); perto de \(\frac{\pi}{2}\) volta a aproximar-se de \(0\). Logo, o cosseno toma todos os valores de \([0,1]\):

O intervalo passa por \(0\), onde o cosseno vale \(1\) (máximo). Nas pontas: \(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\) \(\frac{\sqrt3}{2}\approx\) \(0{,}87\) e \(\cos\frac{\pi}{3}=\) \(\frac12\). O menor é \(\frac12\), que não é atingido (\(\frac{\pi}{3}\) está excluído):

Subtraímos \(1\) e dividimos por \(-3\): o sentido das desigualdades troca; na linha seguinte voltamos a escrevê-las do menor para o maior.

De \(-\frac{\pi}{2}\) a \(\frac{\pi}{4}\), a tangente cresce: começa «em \(-\infty\)» e chega a \(\tan\frac{\pi}{4}=\) \(1\) (incluído). Toma todos os valores de \(\left]-\infty,1\right]\):

Um quadrado nunca é negativo: só pode ser \(k^2=\) \(0\).

De \(\frac{\pi}{2}\) a \(\pi\), o ponto vai de \((0,1)\) a \((-1,0)\): o cosseno diminui de \(0\) até \(-1\), e os dois extremos estão incluídos:

\(0\le\) \( k^2\) é sempre verdade; \(k^2\le\) \(1\) acontece para os \(k\) entre \(-1\) e \(1\) (incluindo os negativos).

No 3.º quadrante aberto, \(\left]\pi,\frac{3\pi}{2}\right[\), o seno está entre \(-1\) e \(0\), sem atingir nenhum dos dois:

Multiplicámos por \(2\), subtraímos \(5\) e dividimos por \(-3\).

\(A(\cos\alpha,\sin\alpha)\). Como \([AB]\) é horizontal e \(B\) está na circunferência, \(B\) é o simétrico de \(A\) em relação a \(Oy\): \(B(-\cos\alpha,\sin\alpha)\).

A altura é a distância de \(O\) à reta \(AB\), ou seja, a ordenada de \(A\).

\(A\) está na circunferência trigonométrica: \(x^2\)\({}+y^2=\) \(1\). Com \(y=\) \(\frac13\):

\(A\) está no 1.º quadrante, logo \(x_A\gt\) \(0\). E \(\sqrt8=\) \(\sqrt{4\times2}=\) \(2\sqrt2\).

\([OA]\) e \([OB]\) são raios; \([AB]\) mede o dobro da abcissa de \(A\):

• \(S\) está na circunferência trigonométrica: \(S(\cos\alpha,\ \sin\alpha)\).
• \(U\) está em \(Oy\), à altura de \(S\): \(U(0,\ \sin\alpha)\).
• \(T\) está na reta \(x=\) \(1\) e na reta \(OS\): a sua ordenada é a tangente, \(T(1,\ \tan\alpha)\).

A base \([US]\) é horizontal; a altura é a distância de \(T\) à reta \(US\) (diferença das ordenadas):

Aplicámos a propriedade distributiva; no primeiro produto, o \(\cos\alpha\) simplifica-se.

A região sombreada é formada por duas partes que não se sobrepõem:

• um setor circular, entre \(\dot{O}A\) e o semieixo negativo \(Ox\) (acima de \(Ox\));
• um retângulo, abaixo de \(Ox\), com vértices \(O\), \(C\), \(B\) e o ponto \((\cos\alpha,0)\).

O ângulo do setor é o que falta a \(\alpha\) para chegar a \(\pi\): \(\pi\)\({}-\alpha\). Num círculo de raio \(r\), um setor de ângulo \(\theta\) (em radianos) tem área \(\frac{r^2\theta}{2}\):

\(A(\cos\alpha,\sin\alpha)\), \(B(\cos\alpha,-\sin\alpha)\) e \(C(0,-\sin\alpha)\). No 2.º quadrante, \(\cos\alpha\lt\) \(0\), por isso a largura é \(0\)\({}-\cos\alpha=\) \(-\cos\alpha\) (positiva):

\([OA]\) e \([OC]\) são raios: \(\overline{OA}=\) \(\overline{OC}=\) \(1\). Com \(A(\cos\alpha,\sin\alpha)\), \(D(\cos\alpha,0)\) e \(B(-1,0)\):

No triângulo \([ABD]\), retângulo em \(D\), pelo teorema de Pitágoras:

Por simetria em relação a \(Ox\), \(\overline{BC}=\) \(\overline{AB}=\) \(\sqrt{2+2\cos\alpha}\).

Os dois membros de \(\sqrt{2+2\cos\alpha}=\) \(\sqrt3\) são positivos, por isso podemos elevá-los ao quadrado.

Em \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\), o ângulo com cosseno \(\frac12\) é \(\frac{\pi}{3}\).

• \(A(\cos\alpha,\ \sin\alpha)\), no 1.º quadrante.
• \([AB]\) é horizontal e \(B\) está na circunferência: \(B(-\cos\alpha,\ \sin\alpha)\).
• \(C\) está em \(Ox\), por baixo de \(B\): \(C(-\cos\alpha,\ 0)\).

As bases são os lados paralelos \([AB]\) e \([OC]\); a altura é \([CB]\):