Circunferência Trigonométrica

📌 Resumo teórico

É a circunferência de centro na origem e raio \(1\). Se o lado extremidade de um ângulo de amplitude \(\theta\) (lado origem: semieixo positivo \(Ox\)) a interseta no ponto \(P\), então

\[ P=(\cos\theta,\ \sin\theta)\qquad\qquad \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\quad(\cos\theta\ne0) \]

A tangente é a ordenada do ponto onde a reta \(OP\) interseta a reta de equação \(x=1\) (tangente à circunferência no ponto \((1,0)\)). Numa circunferência de centro \(O\) e raio \(r\), o ponto correspondente é \((r\cos\theta,\ r\sin\theta)\).

Sinais e variação

Quadrante	1.º	2.º	3.º	4.º
\(\sin\theta\)	\(+\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)
\(\cos\theta\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
\(\tan\theta\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)

Para qualquer \(\theta\): \(-1\le\sin\theta\le1\) e \(-1\le\cos\theta\le1\); a tangente pode tomar qualquer valor real. Estas desigualdades permitem obter o máximo e o mínimo de expressões como \(a+b\sin\theta\) e os valores de \(k\) para os quais uma condição \(\sin x=f(k)\) é possível num intervalo (aí, usa-se o conjunto dos valores que o seno ou o cosseno tomam nesse intervalo, com atenção aos extremos abertos e fechados).

Ângulos que diferem de voltas completas

\(\theta\) e \(\theta+k\times360^\circ\) (ou \(\theta+2k\pi\)) têm o mesmo lado extremidade e, por isso, as mesmas razões trigonométricas.

Valores de referência

\(\theta\)	\(0\)	\(30^\circ=\frac{\pi}{6}\)	\(45^\circ=\frac{\pi}{4}\)	\(60^\circ=\frac{\pi}{3}\)	\(90^\circ=\frac{\pi}{2}\)	\(180^\circ=\pi\)	\(270^\circ=\frac{3\pi}{2}\)
\(\sin\)	\(0\)	\(\frac12\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(1\)	\(0\)	\(-1\)
\(\cos\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac12\)	\(0\)	\(-1\)	\(0\)
\(\tan\)	\(0\)	\(\frac{\sqrt3}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt3\)	n.d.	\(0\)	n.d.

Áreas com pontos da circunferência

Escrevem-se as coordenadas dos vértices em função do ângulo e obtêm-se os comprimentos: um segmento horizontal mede a diferença das abcissas e um vertical a diferença das ordenadas (usando valores absolutos: num quadrante em que \(\cos\alpha\lt0\), o comprimento \(|\cos\alpha|\) é \(-\cos\alpha\)).

Parte I — Amplitudes em graus

Coordenadas, valores exatos, sinais, extremos e áreas

1. Pontos com a mesma abcissa

I.1

Na figura está representada a circunferência trigonométrica. Os pontos \(A\) e \(B\) pertencem à circunferência trigonométrica e têm a mesma abcissa. O ângulo orientado \(\alpha\) tem lado extremidade \(\dot{O}A\).

Circunferência trigonométrica com A no primeiro quadrante e B no quarto quadrante, com a mesma abcissa

As coordenadas do ponto \(B\) podem ser representadas por:

(A) \((\cos\alpha,\ \sin\alpha)\)(B) \((-\cos\alpha,\ \sin\alpha)\)(C) \((\cos(-\alpha),\ -\sin(-\alpha))\)(D) \((\cos\alpha,\ \sin(-\alpha))\)

B é o simétrico de A relativamente ao eixo Ox

\(A=(\cos\alpha,\sin\alpha)\). Como \(B\) está na circunferência e tem a mesma abcissa que \(A\), \(B=(\cos\alpha,-\sin\alpha)\).

\(B\) é o ponto associado ao ângulo \(-\alpha\) (o simétrico de \(\alpha\)), pelo que \(B=(\cos(-\alpha),\sin(-\alpha))\), com \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\) e \(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\).

A opção (A) dá o ponto \(A\); a (B) dá o simétrico de \(A\) relativamente a \(Oy\); a (C) é \((\cos\alpha,\sin\alpha)\), outra vez o ponto \(A\).

Opção (D).

2. Ângulo de 210° e a reta x = 1

I.2

Na figura estão representados a circunferência trigonométrica e um ângulo orientado de amplitude \(210^\circ\) e lado extremidade \(\dot{O}A\).

Circunferência trigonométrica com o ângulo de 210 graus, os pontos A e B diametralmente opostos e C na reta x igual a 1

Sabe-se que:

os pontos \(A\), \(B\) e \(C\) são colineares;
os pontos \(A\) e \(B\) pertencem à circunferência trigonométrica;
o ponto \(C\) pertence à reta \(r\) de equação \(x=1\).

Determine as coordenadas dos pontos \(A\), \(B\) e \(C\).

Ponto B

A reta \(AC\) passa pela origem, logo \([AB]\) é um diâmetro e \(B\) é o ponto associado a \(210^\circ-180^\circ=30^\circ\):

B=(\cos30^\circ,\ \sin30^\circ)\) \(=\left(\dfrac{\sqrt3}{2},\ \dfrac12\right)

Ponto A

\(A\) é o simétrico de \(B\) relativamente à origem:

A=(\cos210^\circ,\ \sin210^\circ)\) \(=\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},\ -\dfrac12\right)

Ponto C

\(C\) tem abcissa \(1\) e a sua ordenada é a tangente do ângulo:

C=(1,\ \tan210^\circ)\) \(=(1,\ \tan30^\circ)\) \(=\left(1,\ \dfrac{\sqrt3}{3}\right)

\(A\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},-\dfrac12\right)\), \(B\left(\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12\right)\) e \(C\left(1,\dfrac{\sqrt3}{3}\right)\).

3. Circunferência de raio 2 e ângulo de 225°

I.3

Na figura está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), uma circunferência de raio \(2\). A amplitude do ângulo \(\alpha\) é \(225^\circ\).

Circunferência de centro O e raio 2 com o ângulo alfa de 225 graus e o ponto A no terceiro quadrante

Quais são as coordenadas do ponto \(A\)?

(A) \(\left(-\dfrac{\sqrt2}{2},-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\)(B) \(\left(-1,-\sqrt3\right)\)(C) \(\left(-\sqrt3,-1\right)\)(D) \(\left(-\sqrt2,-\sqrt2\right)\)

Triângulo retângulo auxiliar

Seja \(B\) a projeção ortogonal de \(A\) sobre o eixo \(Ox\). O ângulo \(BOA\) mede \(225^\circ-180^\circ=45^\circ\) e \(\overline{OA}=2\).

\overline{OB}=2\cos45^\circ=\sqrt2

\overline{AB}=2\sin45^\circ=\sqrt2

Como \(A\) está no 3.º quadrante, ambas as coordenadas são negativas: \(A\left(-\sqrt2,-\sqrt2\right)\). (Em alternativa: \(A=(2\cos225^\circ,\,2\sin225^\circ)\).)

Opção (D).

4. Reta tangente e diâmetro [RQ]

I.4

Na figura está representada a circunferência trigonométrica num referencial o.n. \(Oxy\).

Circunferência trigonométrica, reta r tangente em A, diâmetro RQ e ponto P na reta r

Sabe-se que:

a reta \(r\) é tangente à circunferência no ponto \(A(1,0)\);
\([RQ]\) é um diâmetro da circunferência;
o ponto \(P\) pertence à reta \(r\) e à reta \(RQ\);
a amplitude do ângulo \(AOR\) é igual a \(60^\circ\).

4.1. Determine as coordenadas do ponto \(Q\).

4.2. Determine o valor exato da área do triângulo \([OAP]\).

4.1 - Q é o simétrico de R relativamente a O

R=(\cos60^\circ,\ \sin60^\circ)\) \(=\left(\dfrac12,\ \dfrac{\sqrt3}{2}\right)\) \(\Rightarrow\ Q=\left(-\dfrac12,\ -\dfrac{\sqrt3}{2}\right)

4.2 - Área de [OAP]

\(P\) é o ponto da reta \(x=1\) sobre o lado extremidade do ângulo de \(60^\circ\): \(P=(1,\tan60^\circ)=\left(1,\sqrt3\right)\). O triângulo \([OAP]\) é retângulo em \(A\):

A_{[OAP]}=\dfrac{\overline{OA}\times\overline{AP}}{2}\) \(=\dfrac{1\times\sqrt3}{2}\) \(=\dfrac{\sqrt3}{2}

4.1. \(Q\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\); 4.2. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\)

5. Valores exatos I

I.5

Determine o valor exato de:

5.1. \(\sin(540^\circ)-2\cos(-315^\circ)\) \({}+\sin(-630^\circ)\)

5.2. \(\cos(780^\circ)-\sin(-540^\circ)\) \({}-\sin(1170^\circ)\)

5.3. \(\dfrac{\tan(-675^\circ)+\sin(-690^\circ)}{\sin(-270^\circ)-\tan(420^\circ)}\)

5.1 - Retirar voltas completas

540^\circ=180^\circ+360^\circ

-315^\circ=45^\circ-360^\circ

-630^\circ=90^\circ-2\times360^\circ

\sin180^\circ-2\cos45^\circ\) \({}+\sin90^\circ\) \(=0-2\times\dfrac{\sqrt2}{2}+1\) \(=1-\sqrt2

5.2

780^\circ=60^\circ+2\times360^\circ

-540^\circ=-180^\circ-360^\circ

1170^\circ=90^\circ+3\times360^\circ

\cos60^\circ-\sin(-180^\circ)\) \({}-\sin90^\circ\) \(=\dfrac12-0-1\) \(=-\dfrac12

5.3

-675^\circ=45^\circ-2\times360^\circ

-690^\circ=30^\circ-2\times360^\circ

-270^\circ=90^\circ-360^\circ

420^\circ=60^\circ+360^\circ

\dfrac{\tan45^\circ+\sin30^\circ}{\sin90^\circ-\tan60^\circ}\) \(=\dfrac{1+\frac12}{1-\sqrt3}\) \(=\dfrac{3}{2\left(1-\sqrt3\right)}\) \(=\dfrac{3\left(1+\sqrt3\right)}{2(1-3)}\) \(=-\dfrac{3+3\sqrt3}{4}

5.1. \(1-\sqrt2\)
5.2. \(-\dfrac12\)
5.3. \(-\dfrac{3+3\sqrt3}{4}\)

6. Valores exatos II

I.6

Determine o valor exato de cada uma das seguintes expressões.

6.1. \(\sin750^\circ+\tan390^\circ\times\cos750^\circ\) \({}-\sin1125^\circ\times\tan765^\circ\)

6.2. \(\cos720^\circ+\tan1125^\circ-\sin450^\circ\)

6.3. \(\tan1110^\circ\times\tan780^\circ\) \({}-\cos900^\circ+\sin540^\circ\)

6.4. \(\sin^2395^\circ-\sin630^\circ\) \({}\times\cos1500^\circ+\cos^21115^\circ\)

6.1

\sin(30^\circ+2\times360^\circ)\) \({}+\tan(30^\circ+360^\circ)\) \({}\times\cos(30^\circ+2\times360^\circ)\) \({}-\sin(45^\circ+3\times360^\circ)\) \({}\times\tan(45^\circ+2\times360^\circ)

=\sin30^\circ\) \({}+\tan30^\circ\cos30^\circ\) \({}-\sin45^\circ\tan45^\circ\) \(=\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{3}\) \({}\times\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\times1\) \(=1-\dfrac{\sqrt2}{2}

6.2

\cos0^\circ+\tan45^\circ\) \({}-\sin90^\circ\) \(=1+1-1=1

6.3

\tan30^\circ\times\tan60^\circ\) \({}-\cos180^\circ+\sin180^\circ\) \(=\dfrac{\sqrt3}{3}\times\sqrt3\) \({}-(-1)+0=2

6.4

395^\circ=35^\circ+360^\circ

630^\circ=270^\circ+360^\circ

1500^\circ=60^\circ+4\times360^\circ

1115^\circ=35^\circ+3\times360^\circ

\sin^235^\circ-\sin270^\circ\) \({}\times\cos60^\circ+\cos^235^\circ\) \(=\left(\sin^235^\circ+\cos^235^\circ\right)\) \({}-(-1)\times\dfrac12\) \(=1+\dfrac12=\dfrac32

6.1. \(1-\dfrac{\sqrt2}{2}\)
6.2. \(1\)
6.3. \(2\)
6.4. \(\dfrac32\)

7. Verdadeiro ou falso: sinais nos quadrantes

I.7

Considere dois ângulos \(\alpha\) e \(\beta\) representados no círculo trigonométrico. Identifique as afirmações verdadeiras.

I. Se \(\sin\alpha\gt0\) e \(\cos\alpha\lt0\), então \(\alpha\) pertence ao 4.º quadrante.

II. Se \(\beta\) pertence ao 3.º quadrante, então \(\tan\beta\gt0\).

III. Se \(\alpha\) e \(\beta\) pertencem ao 3.º quadrante e \(\alpha\lt\beta\), então \(\sin\alpha\gt\sin\beta\).

IV. Se \(\sin\alpha\lt0\) e \(\tan\alpha\lt0\), então \(\alpha\) pertence ao 3.º quadrante.

I. Falsa. Seno positivo e cosseno negativo acontece no 2.º quadrante.

II. Verdadeira. No 3.º quadrante, seno e cosseno são negativos, logo o quociente \(\tan\beta=\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}\) é positivo.

III. Verdadeira. Na primeira volta, quando a amplitude aumenta de \(180^\circ\) para \(270^\circ\), a ordenada do ponto da circunferência diminui de \(0\) para \(-1\): o seno é decrescente no 3.º quadrante. Assim, se \(\alpha\lt\beta\), então \(\sin\alpha\gt\sin\beta\).

IV. Falsa. \(\sin\alpha\lt0\) no 3.º e no 4.º quadrantes; \(\tan\alpha\lt0\) no 2.º e no 4.º. As duas condições só se verificam no 4.º quadrante.

São verdadeiras as afirmações II e III.

8. Cosseno igual a k com tangente negativa

I.8

Seja \(\beta\) um ângulo generalizado representado no círculo trigonométrico e \(k\) um número real tal que \(k\in\left]-1,0\right[\). Sabe-se que \(\cos\beta=k\) e \(\tan\beta\lt0\).

Selecione o quadrante a que pertence o lado extremidade de \(\beta\).

(A) 1.º quadrante(B) 2.º quadrante(C) 3.º quadrante(D) 4.º quadrante

Como \(k\in\left]-1,0\right[\), \(\cos\beta\lt0\): \(\beta\) está no 2.º ou no 3.º quadrante. Como \(\tan\beta\lt0\), \(\beta\) está no 2.º ou no 4.º quadrante. Logo, \(\beta\) pertence ao 2.º quadrante.

Opção (B).

9. Máximo e mínimo de expressões

I.9

Seja \(\beta\) um ângulo orientado qualquer. Indique, caso existam, o valor máximo e o valor mínimo que podem tomar as expressões seguintes.

9.1. \(5\cos\beta\)9.2. \(2\cos\beta-3\)9.3. \(3-\sin\beta\)9.4. \(\sin^2\beta\)9.5. \(\tan^2\beta+3\)

Partir de \(-1\le\cos\beta\le1\) e \(-1\le\sin\beta\le1\)

9.1\colon\) \(-1\le\cos\beta\le1\) \(\Leftrightarrow-5\le5\cos\beta\le5

9.2\colon\) \(-2\le2\cos\beta\le2\) \(\Leftrightarrow-5\le2\cos\beta-3\le-1

9.3\colon\) \(-1\le\sin\beta\le1\) \(\Leftrightarrow1\ge-\sin\beta\ge-1\) \(\Leftrightarrow4\ge3-\sin\beta\ge2

9.4\colon\ 0\le\sin^2\beta\le1

9.5\colon\) \(\tan^2\beta\ge0\) \(\Leftrightarrow\tan^2\beta+3\ge3

Em 9.5 não há máximo, porque a tangente toma qualquer valor real (e o seu quadrado pode ser tão grande quanto se queira).

9.1. máx. \(5\), mín. \(-5\)
9.2. máx. \(-1\), mín. \(-5\)
9.3. máx. \(4\), mín. \(2\)
9.4. máx. \(1\), mín. \(0\)
9.5. não tem máximo, mín. \(3\)

10. Valores que uma expressão pode tomar

I.10

Seja \(\alpha\) a amplitude de um ângulo para o qual cada uma das expressões tem significado. Indique os valores que pode tomar cada uma das seguintes expressões.

10.1. \(4\sin\alpha-1\)10.2. \(2+3\cos\alpha\)10.3. \(1-3\sin\alpha\)10.4. \(\dfrac{2\cos\alpha+1}{3}\)

10.1\colon\) \(-1\le\sin\alpha\le1\) \(\Leftrightarrow-4\le4\sin\alpha\le4\) \(\Leftrightarrow-5\le4\sin\alpha-1\le3

10.2\colon\) \(-1\le\cos\alpha\le1\) \(\Leftrightarrow-3\le3\cos\alpha\le3\) \(\Leftrightarrow-1\le2+3\cos\alpha\le5

10.3\colon\) \(-1\le\sin\alpha\le1\) \(\Leftrightarrow3\ge-3\sin\alpha\ge-3\) \(\Leftrightarrow4\ge1-3\sin\alpha\ge-2

10.4\colon\) \(-2\le2\cos\alpha\le2\) \(\Leftrightarrow-1\le2\cos\alpha+1\le3\) \(\Leftrightarrow-\dfrac13\le\dfrac{2\cos\alpha+1}{3}\le1

10.1. \([-5,3]\)
10.2. \([-1,5]\)
10.3. \([-2,4]\)
10.4. \(\left[-\dfrac13,1\right]\)

11. Valores de k para os quais a condição é possível

I.11

Determine, recorrendo a intervalos de números reais, os valores de \(k\) para os quais:

11.1. \(\sin x=\dfrac{5-3k}{2}\ \wedge\ x\in\mathbb{R}\)

11.2. \(3\sin x=4k+7\) \({}\wedge\ x\in\left]180^\circ,270^\circ\right]\)

11.3. \(6\cos x\) \(=2k-\sqrt2\) \({}\wedge\ x\in\left[45^\circ,135^\circ\right[\)

11.4. \(\cos x=5k-3\ \wedge\ x\in\left]-60^\circ,30^\circ\right[\)

11.1 - Em \(\mathbb{R}\), o seno toma todos os valores de \([-1,1]\)

-1\le\dfrac{5-3k}{2}\le1\) \(\Leftrightarrow-2\le5-3k\le2\) \(\Leftrightarrow-7\le-3k\le-3\) \(\Leftrightarrow1\le k\le\dfrac73

11.2 - Em \(\left]180^\circ,270^\circ\right]\), o seno toma os valores de \(\left[-1,0\right[\)

-1\le\sin x\lt0\) \(\Leftrightarrow-3\le3\sin x\lt0\) \(\Leftrightarrow-3\le4k+7\lt0\) \(\Leftrightarrow-10\le4k\lt-7\) \(\Leftrightarrow-\dfrac52\le k\lt-\dfrac74

11.3 - Em \(\left[45^\circ,135^\circ\right[\), o cosseno toma os valores de \(\left]-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right]\)

-\dfrac{\sqrt2}{2}\lt\cos x\le\dfrac{\sqrt2}{2}\) \(\Leftrightarrow-3\sqrt2\) \(\lt6\cos x\le3\sqrt2\) \(\Leftrightarrow-3\sqrt2\) \(\lt2k-\sqrt2\le3\sqrt2

\Leftrightarrow-2\sqrt2\lt2k\le4\sqrt2\) \(\Leftrightarrow-\sqrt2\lt k\le2\sqrt2

11.4 - Em \(\left]-60^\circ,30^\circ\right[\), o cosseno toma os valores de \(\left]\frac12,1\right]\)

O máximo \(1\) é atingido em \(x=0^\circ\); junto de \(-60^\circ\) o cosseno aproxima-se de \(\frac12\), sem o atingir (e junto de \(30^\circ\) aproxima-se de \(\frac{\sqrt3}{2}\gt\frac12\)).

\dfrac12\lt5k-3\le1\) \(\Leftrightarrow\dfrac72\lt5k\le4\) \(\Leftrightarrow\dfrac{7}{10}\lt k\le\dfrac45

11.1. \(k\in\left[1,\dfrac73\right]\)
11.2. \(k\in\left[-\dfrac52,-\dfrac74\right[\)
11.3. \(k\in\left]-\sqrt2,2\sqrt2\right]\)
11.4. \(k\in\left]\dfrac{7}{10},\dfrac45\right]\)

12. Trapézio numa circunferência de raio 2

I.12

Na figura estão representadas, em referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência de centro na origem do referencial e raio \(2\) e uma região colorida, composta pelo trapézio \([OABC]\), retângulo em \(A\) e em \(B\). \(\alpha\) é a amplitude do ângulo generalizado \((\theta,2)\), sendo \(\theta\) a inclinação da reta \(OC\).

Circunferência de raio 2 com o trapézio OABC, C no primeiro quadrante, B no quarto e A no eixo Oy

Sabe-se também que \(B\) e \(C\) são pontos da circunferência.

12.1. Mostre que a área do quadrilátero \([OABC]\) é dada pela expressão \(6\sin\alpha\cos\alpha\).

12.2. Calcule o valor exato da área do quadrilátero \([OABC]\), sabendo que \(\alpha=750^\circ\).

12.1 - Coordenadas dos vértices

\(\alpha=\theta+2\times360^\circ\), logo \(\alpha\) e \(\theta\) têm as mesmas razões trigonométricas. Na circunferência de raio \(2\):

C(2\cos\alpha,\ 2\sin\alpha)

B(2\cos\alpha,\ -2\sin\alpha)

A(0,\ -2\sin\alpha)

Bases e altura

As bases são \([BC]\) e \([OA]\) (verticais) e a altura é \([AB]\):

\overline{BC}=2\sin\alpha\) \({}-(-2\sin\alpha)\) \(=4\sin\alpha

\overline{OA}=2\sin\alpha

\overline{AB}=2\cos\alpha

A_{[OABC]}=\dfrac{\overline{BC}+\overline{OA}}{2}\times\overline{AB}\) \(=\dfrac{4\sin\alpha+2\sin\alpha}{2}\) \({}\times2\cos\alpha\) \(=6\sin\alpha\cos\alpha

12.2 - \(\alpha=750^\circ\)

750^\circ=30^\circ+2\times360^\circ\) \(\Rightarrow A=6\sin30^\circ\cos30^\circ\) \(=6\times\dfrac12\times\dfrac{\sqrt3}{2}\) \(=\dfrac{3\sqrt3}{2}

12.2. A área é \(\dfrac{3\sqrt3}{2}\) u.a.

Parte II — Amplitudes em radianos

Quadrantes, sinais, valores de k e áreas (ver também a ficha «Graus e radianos»)

1. Quadrantes (graus e radianos)

II.1

A que quadrante pertencem os ângulos com as seguintes amplitudes?

1.1. \(1230^\circ\)1.2. \(-\dfrac{23\pi}{11}\) rad1.3. \(\dfrac{22\pi}{3}\) rad1.4. \(-\dfrac{31\pi}{6}\) rad

Retirar voltas completas (\(360^\circ\) ou \(2\pi\))

1230^\circ=150^\circ+3\) \({}\times360^\circ\colon\) \(90^\circ\lt150^\circ\lt180^\circ\) \(\to2.^\text{o}\text{ Q}

-\dfrac{23\pi}{11}\) \(=-\dfrac{\pi}{11}-2\pi\colon\) \(-\dfrac{\pi}{2}\lt-\dfrac{\pi}{11}\lt0\) \(\to4.^\text{o}\text{ Q}

\dfrac{22\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}+6\pi\colon\) \(\pi\lt\dfrac{4\pi}{3}\lt\dfrac{3\pi}{2}\) \(\to3.^\text{o}\text{ Q}

-\dfrac{31\pi}{6}\) \(=-\dfrac{7\pi}{6}-4\pi\colon\) \(-\dfrac{3\pi}{2}\lt-\dfrac{7\pi}{6}\lt-\pi\) \(\to2.^\text{o}\text{ Q}

1.1. 2.º Q
1.2. 4.º Q
1.3. 3.º Q
1.4. 2.º Q

2. Número negativo no 2.º quadrante

II.2

Seja \(\alpha\) um valor pertencente ao intervalo \(\left]\dfrac{\pi}{2},\pi\right[\). Qual das expressões seguintes representa um número real negativo?

(A) \(\tan\alpha+\cos\alpha\)(B) \(\sin\alpha-\tan\alpha\)(C) \(\cos\alpha\times\tan\alpha\)(D) \(\sin\alpha-\cos\alpha\)

No 2.º quadrante: \(\sin\alpha\gt0\), \(\cos\alpha\lt0\) e \(\tan\alpha\lt0\).

\text{(A)}\ \underbrace{\tan\alpha}_{\lt0}+\underbrace{\cos\alpha}_{\lt0}\lt0

\text{(B)}\ \underbrace{\sin\alpha}_{\gt0}-\underbrace{\tan\alpha}_{\lt0}\gt0

\text{(C)}\ \underbrace{\cos\alpha}_{\lt0}\times\underbrace{\tan\alpha}_{\lt0}\gt0

\text{(D)}\ \underbrace{\sin\alpha}_{\gt0}-\underbrace{\cos\alpha}_{\lt0}\gt0

Opção (A).

3. Número positivo no 3.º quadrante

II.3

Seja \(\alpha\) um valor pertencente ao intervalo \(\left]-\pi,-\dfrac{\pi}{2}\right[\). Qual das expressões seguintes representa um número real positivo?

(A) \(\sin\alpha+\cos\alpha\)(B) \(\cos\alpha-\tan\alpha\)(C) \(\sin\alpha\times\tan\alpha\)(D) \(\tan\alpha-\sin\alpha\)

Se \(\alpha\in\left]-\pi,-\frac{\pi}{2}\right[\), o lado extremidade está no 3.º quadrante: \(\sin\alpha\lt0\), \(\cos\alpha\lt0\) e \(\tan\alpha\gt0\).

\text{(A)}\ \underbrace{\sin\alpha}_{\lt0}+\underbrace{\cos\alpha}_{\lt0}\lt0

\text{(B)}\ \underbrace{\cos\alpha}_{\lt0}-\underbrace{\tan\alpha}_{\gt0}\lt0

\text{(C)}\ \underbrace{\sin\alpha}_{\lt0}\times\underbrace{\tan\alpha}_{\gt0}\lt0

\text{(D)}\ \underbrace{\tan\alpha}_{\gt0}-\underbrace{\sin\alpha}_{\lt0}\gt0

Opção (D).

4. Produto do seno pelo cosseno positivo

II.4

Para um dado valor \(\alpha\), sabe-se que \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right[\) e que \(\cos\alpha\times\sin\alpha\gt0\). Qual das condições seguintes é verdadeira?

(A) \(\cos\alpha+\sin\alpha\gt0\)(B) \(\sin\alpha\times\tan\alpha\gt0\)(C) \(\tan\alpha\gt0\)(D) \(\cos\alpha\gt0\)

Como \(\alpha\in\left]\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right[\), \(\alpha\) está no 2.º ou no 3.º quadrante. Como \(\cos\alpha\times\sin\alpha\gt0\), o seno e o cosseno têm o mesmo sinal, o que só acontece no 3.º quadrante: \(\sin\alpha\lt0\), \(\cos\alpha\lt0\) e \(\tan\alpha\gt0\).

(A) é uma soma de negativos; (B) é \(\sin\alpha\times\tan\alpha\lt0\); (D) é falsa. Só (C) é verdadeira.

Opção (C).

5. Dois ângulos e o sinal de expressões

II.5

De dois ângulos, de amplitudes \(\alpha\) e \(\beta\), sabe-se que \(\alpha\in\left]-2\pi,-\dfrac{3\pi}{2}\right[\) e \(\beta\in\left]\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right[\).

Qual das seguintes expressões designa um número real positivo?

(A) \(\cos\alpha-\sin\beta\)(B) \(\sin\alpha\times\sin\beta\)(C) \(\cos\beta-\tan\alpha\)(D) \(\cos\alpha\times\cos\beta\)

\(\alpha\in\left]-2\pi,-\frac{3\pi}{2}\right[\) corresponde ao 1.º quadrante (somando \(2\pi\), fica em \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\)): \(\sin\alpha\gt0\), \(\cos\alpha\gt0\), \(\tan\alpha\gt0\).

\(\beta\in\left]\pi,\frac{3\pi}{2}\right[\) está no 3.º quadrante: \(\sin\beta\lt0\), \(\cos\beta\lt0\).

\text{(A)}\ \underbrace{\cos\alpha}_{\gt0}-\underbrace{\sin\beta}_{\lt0}\gt0

\text{(B)}\ \underbrace{\sin\alpha}_{\gt0}\times\underbrace{\sin\beta}_{\lt0}\lt0

\text{(C)}\ \underbrace{\cos\beta}_{\lt0}-\underbrace{\tan\alpha}_{\gt0}\lt0

\text{(D)}\ \underbrace{\cos\alpha}_{\gt0}\times\underbrace{\cos\beta}_{\lt0}\lt0

Opção (A).

6. Qual é a afirmação verdadeira?

II.6

Indique qual das seguintes afirmações é verdadeira.

(A) Para qualquer \(x\in\left]0,\pi\right[\), \(\sin x\times\cos x\gt0\).

(B) Para qualquer \(x\in\left]\dfrac{\pi}{2},\pi\right[\), \(\dfrac{\sin x}{\cos x}\gt0\).

(D) Existe pelo menos um \(x\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\) tal que \(\dfrac{\sin x}{\cos x}\lt0\).

(A) é falsa: em \(\left]\frac{\pi}{2},\pi\right[\), \(\sin x\gt0\) e \(\cos x\lt0\), logo \(\sin x\times\cos x\lt0\).

(B) é falsa: em \(\left]\frac{\pi}{2},\pi\right[\), \(\frac{\sin x}{\cos x}\lt0\).

(C) é verdadeira: em \(\left]\frac{3\pi}{2},2\pi\right[\), \(\sin x\lt0\) e \(\cos x\gt0\), logo \(\sin x\times\cos x\lt0\).

(D) é falsa: em \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\), seno e cosseno são positivos e o quociente é sempre positivo.

Opção (C).

7. Sinais com o ângulo duplo

II.7

Se \(x\) é a medida da amplitude de um ângulo, em radianos, e \(\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{3\pi}{4}\), então:

(A) \(\sin(2x)\gt0\)(B) \(\tan x\gt0\)(C) \(\cos(2x)\lt0\)(D) \(\sin x\lt0\)

\(x\) está no 2.º quadrante: \(\sin x\gt0\) e \(\tan x\lt0\), o que exclui (B) e (D).

\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{3\pi}{4}\) \(\Leftrightarrow\pi\lt2x\lt\dfrac{3\pi}{2}

\(2x\) está no 3.º quadrante: \(\sin(2x)\lt0\) e \(\cos(2x)\lt0\).

Opção (C).

8. Quadrado inscrito na circunferência trigonométrica

II.8

Na figura está representado, em referencial o.n. \(Oxy\), o quadrado \([ABCD]\) inscrito na circunferência trigonométrica. O ponto \(E\) tem coordenadas \((1,0)\). Sabe-se que \(E\hat OA=\dfrac{\pi}{5}\) radianos.

Quadrado ABCD inscrito na circunferência trigonométrica, com A no primeiro quadrante

Determine as coordenadas do ponto \(D\). Apresente os valores das coordenadas arredondados às milésimas.

D é a imagem de A por uma rotação de \(-\frac{\pi}{2}\)

As diagonais de um quadrado são perpendiculares e cortam-se no centro \(O\). \(A=\left(\cos\frac{\pi}{5},\sin\frac{\pi}{5}\right)\) e \(D\) obtém-se rodando \(A\) de \(-\frac{\pi}{2}\):

\dfrac{\pi}{5}-\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{3\pi}{10}

D=\left(\cos\left(-\dfrac{3\pi}{10}\right),\ \sin\left(-\dfrac{3\pi}{10}\right)\right)

\(D\approx(0{,}588;\ -0{,}809)\)

9. Valores de k (radianos)

II.9

Determine os valores de \(k\in\mathbb{R}\) tais que:

9.1. \(\sin x=k^2-1\), com \(x\in\mathbb{R}\)

9.2. \(\cos x=k-3\), com \(-\dfrac{\pi}{2}\le x\lt\dfrac{\pi}{2}\)

9.3. \(\cos x=1-3k\), com \(-\dfrac{\pi}{6}\le x\lt\dfrac{\pi}{3}\)

9.4. \(\tan x=k^2+1\), com \(-\dfrac{\pi}{2}\lt x\le\dfrac{\pi}{4}\)

9.1

-1\le k^2-1\le1\) \(\Leftrightarrow0\le k^2\le2\) \(\Leftrightarrow k^2\le2\) \(\Leftrightarrow-\sqrt2\le k\le\sqrt2

9.2 - Em \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), o cosseno toma os valores de \([0,1]\)

0\le k-3\le1\Leftrightarrow3\le k\le4

9.3 - Em \(\left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right[\), o cosseno toma os valores de \(\left]\frac12,1\right]\)

\dfrac12\lt1-3k\le1\) \(\Leftrightarrow-\dfrac12\lt-3k\le0\) \(\Leftrightarrow0\le k\lt\dfrac16

9.4 - Em \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4}\right]\), a tangente toma os valores de \(\left]-\infty,1\right]\)

k^2+1\le1\) \(\Leftrightarrow k^2\le0\) \(\Leftrightarrow k=0

9.1. \(\left[-\sqrt2,\sqrt2\right]\)
9.2. \([3,4]\)
9.3. \(\left[0,\dfrac16\right[\)
9.4. \(k=0\)

10. Cosseno igual a k² − 1 no 2.º quadrante

II.10

Determine para que valores de \(k\) é possível a condição: \(\cos x=k^2-1\ \wedge\ x\in\left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right]\).

Em \(\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]\), o cosseno toma todos os valores de \([-1,0]\):

-1\le k^2-1\le0\) \(\Leftrightarrow0\le k^2\le1\) \(\Leftrightarrow-1\le k\le1

\(k\in[-1,1]\)

11. Seno no 3.º quadrante e valores de k

II.11

Seja \(x\in\left]\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right[\). O conjunto de todos os valores de \(k\) para os quais \(\sin x=\dfrac{5-3k}{2}\) é:

(A) \(\left]-1,0\right[\)(B) \(\left]1,\dfrac73\right[\)(C) \(\left]1,\dfrac53\right[\)(D) \(\left]\dfrac53,\dfrac73\right[\)

Para \(x\in\left]\pi,\frac{3\pi}{2}\right[\), \(-1\lt\sin x\lt0\):

-1\lt\dfrac{5-3k}{2}\lt0\) \(\Leftrightarrow-2\lt5-3k\lt0\) \(\Leftrightarrow-7\lt-3k\lt-5\) \(\Leftrightarrow\dfrac53\lt k\lt\dfrac73

Opção (D).

12. Triângulo [OAB] com [AB] horizontal

II.12

Na figura estão representados, em referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica e o triângulo \([OAB]\), com \(A\) e \(B\) na circunferência.

Circunferência trigonométrica com o triângulo OAB, A no primeiro quadrante e B no segundo, com AB horizontal

Sabe-se que:

a reta \(AB\) é paralela ao eixo \(Ox\);
\(\alpha\) é a amplitude, em radianos, do ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo \(Ox\) e cujo lado extremidade é a semirreta \(\dot{O}A\), com \(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\).

12.1. Escreva uma expressão da área do triângulo \([OAB]\), em função de \(\alpha\).

12.2. Admita, agora, que o ponto \(A\) tem ordenada \(\dfrac13\). Determine, sem recorrer à calculadora, o perímetro do triângulo \([OAB]\).

12.1 - Coordenadas

\(A(\cos\alpha,\sin\alpha)\) e, como \(AB\) é horizontal, \(B(-\cos\alpha,\sin\alpha)\). Então \(\overline{AB}=2\cos\alpha\) e a altura relativa a \([AB]\) é \(\sin\alpha\).

A_{[OAB]}=\dfrac{2\cos\alpha\times\sin\alpha}{2}\) \(=\sin\alpha\cos\alpha

12.2 - Abcissa de A

x_A^2+\left(\dfrac13\right)^2=1\) \(\Leftrightarrow x_A^2=\dfrac89\) \(\Leftrightarrow x_A=\dfrac{\sqrt8}{3}\) \(=\dfrac{2\sqrt2}{3}\quad(x_A\gt0)

Perímetro

P=\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{AB}\) \(=1+1+2x_A\) \(=2+\dfrac{4\sqrt2}{3}

12.1. \(\sin\alpha\cos\alpha\); 12.2. \(P=2+\dfrac{4\sqrt2}{3}\)

13. Triângulo [UST] e a reta x = 1

II.13

Na figura está representada, em referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica.

Circunferência trigonométrica, reta x igual a 1 e triângulo UST com U no eixo Oy

Sabe-se que:

o ponto \(Q\) tem coordenadas \((1,0)\);
a reta \(QT\) tem equação \(x=1\);
o ponto \(S\) é o ponto de interseção da reta \(OT\) com a circunferência trigonométrica;
\(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\) é a amplitude, em radianos, do ângulo \(QOT\);
a reta \(US\) é paralela ao eixo das abcissas e \(U\) pertence ao eixo \(Oy\).

Escreva uma expressão da área do triângulo \([UST]\), em função de \(\alpha\).

Coordenadas

S(\cos\alpha,\ \sin\alpha)

U(0,\ \sin\alpha)

T(1,\ \tan\alpha)

Base [US] e altura

A=\dfrac{\overline{US}\times(y_T-y_S)}{2}\) \(=\dfrac{\cos\alpha\left(\tan\alpha-\sin\alpha\right)}{2}\) \(=\dfrac{\cos\alpha\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\sin\alpha\right)}{2}\) \(=\dfrac{\sin\alpha-\sin\alpha\cos\alpha}{2}

\(A_{[UST]}\) \(=\dfrac{\sin\alpha-\sin\alpha\cos\alpha}{2}\)

14. Setor circular e retângulo

II.14

Na figura está representada, em referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica.

Circunferência trigonométrica com região sombreada formada por um setor circular no segundo quadrante e um retângulo no terceiro

Sabe-se que:

o ponto \(D\) tem coordenadas \((1,0)\);
o ponto \(A\) pertence à circunferência trigonométrica;
os pontos \(A\) e \(B\) são simétricos em relação ao eixo das abcissas;
a reta \(BC\) é paralela ao eixo das abcissas;
\(\alpha\) é a amplitude, em radianos, do ângulo \(DOA\) \(\left(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{2},\pi\right[\right)\).

Escreva uma expressão da área da região sombreada, em função de \(\alpha\).

Decompor a região

A região sombreada é formada por um setor circular (entre \(\dot{O}A\) e o semieixo negativo \(Ox\)) e por um retângulo.

\(A(\cos\alpha,\sin\alpha)\), \(B(\cos\alpha,-\sin\alpha)\), \(C(0,-\sin\alpha)\). No 2.º quadrante, \(\cos\alpha\lt0\) e \(\sin\alpha\gt0\), logo \(\overline{BC}=-\cos\alpha\) e \(\overline{OC}=\sin\alpha\).

Setor circular de amplitude \(\pi-\alpha\) e raio 1

A_{\text{setor}}=\dfrac{(\pi-\alpha)\times1^2}{2}\) \(=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\alpha}{2}

Retângulo

A_{\text{ret}}=\overline{BC}\times\overline{OC}\) \(=-\cos\alpha\sin\alpha

\(A(\alpha)=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\alpha}{2}\) \({}-\sin\alpha\cos\alpha\)

15. Perímetro do quadrilátero [ABCO]

II.15

Na figura está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), uma circunferência de centro \(O\) e raio \(1\).

Circunferência de centro O e raio 1 com o quadrilátero ABCO, B no eixo Ox negativo e AC vertical

Sabe-se que:

\(A\), \(B\) e \(C\) pertencem à circunferência;
\(B\) pertence ao eixo \(Ox\);
o segmento de reta \([AC]\) é paralelo ao eixo \(Oy\);
\(D\) pertence ao eixo \(Ox\) e à reta \(AC\);
\(\alpha\) é a amplitude do ângulo \(AOD\), com \(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\);
o perímetro do quadrilátero \([ABCO]\) é \(\left(2+2\sqrt3\right)\) u.c.

Qual é, em radianos, o valor de \(\alpha\)?

(A) \(\dfrac{\pi}{3}\)(B) \(\dfrac{\pi}{4}\)(C) \(\dfrac{\pi}{6}\)(D) \(\dfrac{\pi}{8}\)

Comprimento de [AB]

\(\overline{OA}=\overline{OC}=1\), \(\overline{OD}=\cos\alpha\) e \(\overline{AD}=\sin\alpha\); como \(B=(-1,0)\), \(\overline{BD}=1+\cos\alpha\). No triângulo retângulo \([ABD]\):

\overline{AB}^{\,2}=(1+\cos\alpha)^2\) \({}+\sin^2\alpha\) \(=1+2\cos\alpha\) \({}+\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\) \(=2+2\cos\alpha

Por simetria, \(\overline{BC}=\overline{AB}\), logo \(P_{[ABCO]}=2+2\sqrt{2+2\cos\alpha}\).

Equação

2+2\sqrt{2+2\cos\alpha}\) \(=2+2\sqrt3\) \(\Leftrightarrow2+2\cos\alpha=3\) \(\Leftrightarrow\cos\alpha=\dfrac12

Como \(\alpha\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\), \(\alpha=\frac{\pi}{3}\).

Opção (A).

16. Área de um trapézio no círculo trigonométrico

II.16

Na figura estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica e um trapézio \([ABCO]\).

Circunferência trigonométrica com o trapézio ABCO, A no primeiro quadrante, B no segundo e C no eixo Ox

Sabe-se que:

os vértices \(A\) e \(B\) pertencem à circunferência;
o lado \([OC]\) está contido no eixo \(Ox\);
o lado \([CB]\) é perpendicular ao eixo \(Ox\);
o lado \([AB]\) é estritamente paralelo ao lado \([OC]\).

Seja \(\alpha\) a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo \(Ox\) e por lado extremidade a semirreta \(\dot{O}A\) \(\left(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\right)\).

Qual das expressões seguintes dá a área do trapézio \([ABCO]\) em função de \(\alpha\)?

(A) \(\dfrac32\sin\alpha\cos\alpha\)(B) \(\dfrac12\sin\alpha\cos\alpha\)(C) \(\sin\alpha\cos\alpha\)(D) \(\dfrac52\sin\alpha\cos\alpha\)

\(A(\cos\alpha,\sin\alpha)\); como \([AB]\) é horizontal e \(B\) está na circunferência, \(B(-\cos\alpha,\sin\alpha)\) e \(C(-\cos\alpha,0)\).

\overline{AB}=2\cos\alpha,

\overline{OC}=\cos\alpha,

\text{altura}=\overline{BC}=\sin\alpha

A_{[ABCO]}=\dfrac{2\cos\alpha+\cos\alpha}{2}\) \({}\times\sin\alpha\) \(=\dfrac32\sin\alpha\cos\alpha

Opção (A).