Trigonometria - Calculadora Gráfica

Na figura, está representado um cone reto, com raio da base \(r\) e apótema \(a\), sendo \(r\) e \(a\) dois números reais positivos, com \(r\lt a\). Estão também representados, na base do cone, dois pontos, \(A\) e \(B\), sendo o segmento de reta \([AB]\) um diâmetro dessa base.

Designando por \(x\) o quociente entre o raio da base e o apótema, sabe-se que a distância, \(d\), entre os pontos \(A\) e \(B\), pela superfície do cone, é dada pela expressão

Determine, recorrendo à calculadora, o quociente entre o raio da base e o apótema quando a distância entre os pontos \(A\) e \(B\), pela superfície do cone, excede em \(40\%\) o diâmetro da base do cone.

Apresente o resultado arredondado às milésimas.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

• apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
• represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação.

1.º passo - Equação

O diâmetro da base é \(2r\); excedê-lo em \(40\%\) é medir \(1{,}4\times2r=2{,}8r\).

\(d(x)=2{,}8r\) \(\Leftrightarrow\dfrac{2r}{x}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)=2{,}8r\)

Dividindo ambos os membros por \(2r\) (\(r\gt0\)), o parâmetro \(r\) desaparece:

\(\dfrac{1}{x}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)=1{,}4\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1{,}4}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)=x\)

2.º passo - Gráficos na calculadora

\(y_1=\dfrac{1}{1{,}4}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)\) e \(y_2=x\), com \(x\in\,]0,1[\):

A abcissa do ponto de interseção é \(x\approx0{,}523\).

O quociente entre o raio da base e o apótema é, aproximadamente, \(0{,}523\).

O mecanismo de manivela-biela é composto por uma manivela de comprimento fixo, que efetua um movimento de rotação (sempre no mesmo sentido), e por uma biela, também de comprimento fixo, que transforma esse movimento de rotação no movimento alternado de translação de um pistão.

Na figura seguinte, está representado esse movimento.

Na figura seguinte, está representado um esquema do mecanismo descrito.

Relativamente a esta figura, sabe-se que:

• o ponto \(P\) representa o pistão;
• o segmento de reta \([OM]\) representa a manivela, que tem \(1\) cm de comprimento;
• o segmento de reta \([MP]\) representa a biela;
• os pontos \(A\) e \(B\) são os pontos em que a distância do pistão ao centro de rotação da manivela, \(O\), é mínima e máxima, respetivamente;
• os pontos \(O\), \(A\), \(P\) e \(B\) são colineares.

Sabe-se que o movimento de rotação da manivela se inicia quando o pistão se encontra na posição \(B\) e que a manivela descreve voltas completas a uma frequência angular constante.

Admita que a função que dá, em centímetros, a distância do pistão ao ponto \(O\), em função do tempo, \(t\), em segundos, contado a partir do instante em que é iniciado o movimento, é dada por

(o argumento das funções seno e cosseno está expresso em radianos).

2.1. Qual é, em centímetros, o comprimento da biela neste mecanismo?

2.2. Durante os primeiros cinco segundos, após o início do movimento, registou-se, num certo instante \(t_0\), a distância do pistão ao ponto \(O\).

Sabe-se que, dois segundos após esse instante, a distância do pistão ao ponto \(O\) diminuiu \(25\%\).

Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, a distância, em centímetros, arredondada às décimas, do pistão ao ponto \(O\) no instante \(t_0\), sabendo-se que este valor existe e é único.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

• apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
• reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação e apresente as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s) arredondadas às centésimas;
• apresente o valor pedido em centímetros, arredondado às décimas.

Se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

O planeta Mercúrio descreve uma órbita elíptica em torno do Sol. Na figura, está representado um esquema de uma parte dessa órbita.

Relativamente a esta figura, tem-se que:

• o ponto \(S\) representa o Sol;
• o ponto \(M\) representa o planeta Mercúrio;
• o ponto \(A\) representa o afélio, que é o ponto da órbita mais afastado do Sol;
• \(x\) é a amplitude do ângulo \(ASM\), compreendida entre \(0\) e \(180\) graus.

Admita que a distância, \(d\), em milhões de quilómetros, do planeta Mercúrio ao Sol é dada, em função de \(x\), por

Seja \(\alpha\) a amplitude do ângulo \(ASM\), num certo instante (\(\alpha\) está compreendido entre \(0\) e \(20\) graus).

Nesse instante, o planeta Mercúrio encontra-se a uma certa distância do Sol.

Passado algum tempo, a amplitude do ângulo \(ASM\) é três vezes maior e a distância do planeta Mercúrio ao Sol diminuiu \(3\%\).

Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, o valor de \(\alpha\), sabendo-se que este valor existe e é único.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

• apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
• reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação;
• apresente o valor de \(\alpha\) arredondado às unidades.

Num jardim, uma criança está a andar num baloiço cuja cadeira está suspensa por duas hastes rígidas.

Atrás do baloiço, há um muro que limita esse jardim.

A figura esquematiza a situação. O ponto \(P\) representa a posição da cadeira.

Num determinado instante, em que a criança está a dar balanço, é iniciada a contagem do tempo. Doze segundos após esse instante, a criança deixa de dar balanço e procura parar o baloiço arrastando os pés no chão.

Admita que a distância, em decímetros, do ponto \(P\) ao muro, \(t\) segundos após o instante inicial, é dada por

(o argumento da função seno está expresso em radianos).

Determine, recorrendo à calculadora gráfica, o número de soluções da equação \(d(t)=27\) no intervalo \([0,6]\), e interprete o resultado no contexto da situação descrita.

Na sua resposta, reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver o problema.

Num dia de vento, são observadas oscilações no tabuleiro de uma ponte suspensa, construída sobre um vale.

Mediu-se a oscilação do tabuleiro da ponte durante um minuto.

Admita que, durante esse minuto, a distância de um ponto \(P\) do tabuleiro a um ponto fixo do vale é dada, em metros, por

(\(t\) é medido em minutos e pertence a \([0,1]\)).

Em \([0,1]\), o conjunto solução da inequação \(h(t)\lt19{,}5\) é um intervalo da forma \(]a,b[\).

Determine o valor de \(b-a\) arredondado às centésimas, recorrendo à calculadora gráfica, e interprete o resultado obtido no contexto da situação descrita.

Na sua resposta:

• reproduza o gráfico da função \(h\) visualizado na calculadora (sugere-se que, na janela de visualização, considere \(y\in[19,21]\));
• apresente o valor de \(a\) e o valor de \(b\) arredondados às milésimas;
• apresente o valor de \(b-a\) arredondado às centésimas;
• interprete o valor obtido no contexto da situação descrita.

Na figura, está representado um triângulo retângulo \([ABC]\), cujos catetos \([AB]\) e \([BC]\) medem \(5\) unidades.

Considere que um ponto \(P\) se desloca sobre o cateto \([BC]\), nunca coincidindo com \(B\) nem com \(C\).

Para cada posição do ponto \(P\), seja \(x\) a amplitude, em radianos, do ângulo \(BAP\) \(\left(x\in\left]0,\dfrac{\pi}{4}\right[\right)\).

Seja \(f\) a função que, a cada valor de \(x\), faz corresponder o perímetro do triângulo \([APC]\).

Sabe-se que \(f(x)=\dfrac{5}{\cos x}-5\tan x+\sqrt{50}+5\).

Existe um valor de \(x\) para o qual o perímetro do triângulo \([APC]\) é igual a \(16\).

Determine esse valor, arredondado às centésimas, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora.

Apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale o ponto relevante para a resolução do problema.

Seja \(f\) a função, de domínio \(\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\), definida por \(f(x)=\sin(2x)\cos x\).

No domínio indicado, determine, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, um valor, aproximado às décimas, da área do triângulo \([ABC]\), em que:

• \(A\) é o ponto do gráfico da função \(f\) cuja ordenada é máxima;
• \(B\) e \(C\) são os pontos de interseção do gráfico da função \(f\) com a reta de equação \(y=0{,}3\).

Reproduza, na folha de respostas, o gráfico, ou gráficos, visualizado(s) na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial.

Desenhe o triângulo \([ABC]\), assinalando os pontos que representam os seus vértices.

Nota: Nas coordenadas dos vértices em que é necessário fazer arredondamentos, utilize duas casas decimais.

Como sabe, a Terra descreve uma órbita elíptica em torno do Sol.

Na figura está representado um esquema dessa órbita. Está assinalado o periélio, o ponto da órbita da Terra mais próximo do Sol.

Na figura está assinalado um ângulo de amplitude \(x\) radianos (\(x\in[0,2\pi[\)).

Este ângulo tem o seu vértice no Sol, o seu lado origem passa no periélio e o seu lado extremidade passa na Terra.

A distância \(d\), em milhões de quilómetros, da Terra ao Sol, é (aproximadamente) dada, em função de \(x\), por \(d=149{,}6\,(1-0{,}0167\cos x)\).

Sabe-se que \(x\) verifica a relação \(\dfrac{2\pi t}{T}=x-0{,}0167\sin x\), em que:

• \(t\) é o tempo, em dias, que decorre desde a passagem da Terra pelo periélio até ao instante em que atinge a posição correspondente ao ângulo \(x\);
• \(T\) é o tempo que a Terra demora a descrever uma órbita completa (\(365{,}24\) dias).

Sabe-se que a última passagem da Terra pelo periélio ocorreu a uma certa hora do dia 4 de janeiro. Determine a distância a que a Terra se encontrava do Sol, à mesma hora do dia 14 de fevereiro. Apresente o resultado em milhões de quilómetros, arredondado às décimas. Nos valores intermédios, utilize, no mínimo, quatro casas decimais.

Nota: a resolução desta questão envolve uma equação que deve ser resolvida graficamente, com recurso à calculadora; apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de algum, ou de alguns, ponto(s).

Na figura, estão representadas uma semirreta \(\dot{A}B\) e uma circunferência de centro \(O\) e de raio \(1\) (os pontos \(O\), \(A\) e \(B\) são colineares; o ponto \(A\) pertence à circunferência).

Considere que o ponto \(P\) se desloca ao longo da semirreta \(\dot{A}B\), nunca coincidindo com o ponto \(A\).

Os pontos \(R\) e \(S\) acompanham o movimento do ponto \(P\), de tal forma que as retas \(PR\) e \(PS\) são sempre tangentes à circunferência, nos pontos \(R\) e \(S\), respetivamente.

Seja \(\alpha\) a amplitude, em radianos, do ângulo \(SOR\) (\(\alpha\in\,]0,\pi[\)).

A área do quadrilátero \([ORPS]\) é dada, em função de \(\alpha\), por \(f(\alpha)=\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\).

Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que lhe permite resolver o seguinte problema:

Qual é o valor de \(\alpha\) para o qual a área do quadrilátero \([ORPS]\) é igual à área da região sombreada?

Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como as coordenadas relevantes de alguns pontos. Apresente o valor pedido na forma de dízima, arredondado às décimas.

Na figura está representada uma circunferência com centro no ponto \(O\) e raio 3.

Os diâmetros \([EF]\) e \([GH]\) são perpendiculares.

Considere que o ponto \(B\) se desloca sobre o arco \(FG\).

Os pontos \(A\), \(C\) e \(D\) acompanham o movimento do ponto \(B\), de tal forma que:

• as cordas \([AB]\) e \([CD]\) permanecem paralelas a \([EF]\);
• \([AD]\) e \([BC]\) são sempre diâmetros da circunferência.

Os pontos \(I\) e \(J\) também acompanham o mesmo movimento, de tal forma que são sempre os pontos de interseção de \([GH]\) com \([AB]\) e \([CD]\), respetivamente.

Para cada posição do ponto \(B\), seja \(x\) a amplitude, em radianos, do ângulo \(FOB\) \(\left(x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\right)\). A área da região sombreada é dada, em função de \(x\), por \(A(x)=18\,(x+\sin x\cos x)\).

Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que lhe permite resolver o seguinte problema: Qual é o valor de \(x\) para o qual a área da região sombreada é igual a metade da área do círculo?

Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de algum, ou de alguns, ponto(s). Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas.

A figura, à esquerda, representa um depósito de forma cilíndrica, que contém um certo volume de um combustível.

Admita que a função \(V\), de domínio \([0,2\pi]\), definida por

dá o volume, em metros cúbicos, de combustível existente no depósito, em função da amplitude \(x\), em radianos, do arco \(ABC\) (que, como se sabe, é igual à amplitude do ângulo ao centro correspondente, assinalado na figura da direita).

Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que lhe permite resolver o seguinte problema: Qual terá de ser a amplitude, em radianos, do arco \(ABC\) para que existam \(300\ \text{m}^3\) de combustível no depósito?

Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s). Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas.

A Rita está a participar num concurso de papagaios de papel.

No regulamento do concurso, estão as condições de apuramento para a final, que se reproduzem a seguir:

Admita que a distância, em metros, do papagaio da Rita ao solo, \(t\) segundos após o instante indicado pelo júri, é dada por

(os argumentos das funções seno e cosseno estão expressos em radianos).

Note-se que, a partir do momento em que o papagaio atinge o solo, a distância do papagaio ao solo deixa de ser dada pela expressão, uma vez que passa a ser (naturalmente) igual a zero.

Deverá a Rita ser apurada para a final?

Utilize a calculadora para investigar esta questão. Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explicite as conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Inclua, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas).

Na figura está representado, a sombreado, um polígono \([ABEG]\).

Tem-se que:

• \([ABFG]\) é um quadrado de lado \(2\);
• \(FD\) é um arco de circunferência de centro em \(B\); o ponto \(E\) move-se ao longo desse arco; em consequência, o ponto \(C\) desloca-se sobre o segmento \([BD]\), de tal forma que se tem sempre \([EC]\perp[BD]\);
• \(x\) designa a amplitude, em radianos, do ângulo \(CBE\) \(\left(x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\right)\).

Sabendo que a área do polígono \([ABEG]\) é dada, em função de \(x\), por \(A(x)=2\,(1+\sin x+\cos x)\), recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permite resolver o seguinte problema: Quais são os valores de \(x\) para os quais a área do polígono \([ABEG]\) é \(4{,}3\)?

Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos. Apresente os valores pedidos na forma de dízima, arredondados às décimas.

No ano de 2000, em Lisboa, o tempo que decorreu entre o nascer e o pôr do Sol, no dia de ordem \(n\) do ano, é dado em horas, aproximadamente, por

(o argumento da função seno está expresso em radianos).

Por exemplo: no dia 3 de fevereiro, trigésimo quarto dia do ano, o tempo que decorreu entre o nascer e o pôr do Sol foi de \(f(34)\approx10{,}3\) horas.

Em alguns dias do ano, o tempo entre o nascer e o pôr do Sol é superior a \(14{,}7\) horas. Recorrendo à sua calculadora, determine em quantos dias do ano é que isso acontece. Indique como procedeu.

Admita que, num dia de verão, a temperatura da água de um lago, em graus centígrados, pode ser dada, aproximadamente, por

onde \(t\) designa o tempo, em horas, decorrido desde as zero horas desse dia.

(Considere que o argumento da função cosseno está expresso em radianos.)

Numa pequena composição, com cerca de quinze linhas, indique como varia a temperatura da água do lago, ao longo do dia.

Não deixe de referir os seguintes aspetos:

• quando é que a temperatura aumenta, e quando é que diminui;
• a que horas é que a temperatura é máxima, e qual o valor desse máximo;
• a que horas é que a temperatura é mínima, e qual o valor desse mínimo;
• as melhores horas para se tomar banho, admitindo que um banho só é realmente bom se a temperatura da água não for inferior a \(19\) graus.

Utilize a calculadora, se considerar que lhe pode ser útil.

Se o desejar, pode enriquecer a sua composição com o traçado de um ou mais gráficos.

Considere a função, de domínio \(\mathbb{R}^+\), definida por \(f(x)=x+\sin\dfrac{\pi}{x}\).

Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine o número de zeros da função \(f\), no intervalo \(\left[\dfrac14,+\infty\right[\).

Explique como procedeu, apresentando o gráfico, ou gráficos, em que se baseou para dar a sua resposta.

Considere a função \(h\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por

Considere a função \(j\), de domínio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), definida por \(j(x)=\dfrac{1}{3x}\).

No intervalo \([-1,1000\pi]\), os gráficos de \(j\) e de \(h\) intersetam-se em \(1001\) pontos.

Destes \(1001\) pontos, seja \(A\) o que tem menor abcissa positiva. Determine as coordenadas desse ponto (apresente os valores na forma de dízima com aproximação às décimas).

Um satélite \(S\) tem uma órbita elíptica em torno da Terra, tal como se representa na figura.

Tenha em atenção que os elementos nela desenhados não estão na mesma escala.

Na elipse estão assinalados dois pontos:

• o apogeu, que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra;
• o perigeu, que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra.

O ângulo \(x\), assinalado na figura, tem o seu vértice no centro da Terra; o seu lado origem passa no perigeu, o seu lado extremidade passa no satélite e a sua amplitude está compreendida entre \(0\) e \(360\) graus.

A distância \(d\), em km, do satélite ao centro da Terra, é dada por \(d=\dfrac{7820}{1+0{,}07\cos x}\).

Num certo instante, o satélite está na posição indicada na figura seguinte.

A distância do satélite ao centro da Terra é, então, de \(8200\) km.

Determine o valor de \(x\), em graus, arredondado às unidades.

Considere a função \(f\) de domínio \(\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=2x-\cos x\).

Na figura estão representadas:

• parte do gráfico da função \(f\);
• parte de uma reta \(r\), cuja inclinação é \(45^\circ\), que contém o ponto \(A(-3,0)\) e que interseta o gráfico da função \(f\) no ponto \(B\).

Recorrendo à sua calculadora, determine a área do triângulo \([AOB]\), onde \(O\) designa a origem do referencial. Apresente o resultado arredondado às unidades.

Nota: sempre que, nos valores intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, uma casa decimal.

Num porto, a altura da água, em metros, em função do tempo \(t\) (em horas, \(t\in[0,24]\), contado a partir das 00:00), é modelada, com aproximação, por

estando os argumentos das funções trigonométricas expressos em radianos.

Nas primeiras \(6\) horas do dia, há um intervalo de tempo durante o qual a altura da água é superior a \(3\) metros.

Determine, recorrendo à calculadora, a duração desse intervalo. Apresente o resultado em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.

Na sua resposta:

• apresente uma condição que permita resolver o problema;
• represente, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale os pontos relevantes;
• apresente as coordenadas relevantes desses pontos arredondadas às centésimas.

Num certo dia, no porto de Leixões, a partir dos dados recolhidos no marégrafo, construiu-se o gráfico apresentado a seguir, com destaque para os pontos nele assinalados, correspondentes às marés altas e às marés baixas nesse dia.

Admita que o modelo que traduz esta situação é

com \(t\in[0,24]\), sendo \(h\) a altura das marés, em metros, relativamente ao nível médio da água do mar e \(t\) o tempo decorrido, em horas.

21.1. Determine a altura da maré às 14:15 e apresente o resultado arredondado às centésimas.

21.2. Recorra às capacidades gráficas da calculadora e determine a hora, antes do meio-dia, da última vez em que a altura do nível da água foi \(2{,}4\) metros. Apresente o resultado na forma hh:mm, sendo os minutos arredondados às unidades.

21.1

\(15\) min correspondem a \(\frac{15}{60}=0{,}25\) h, logo 14:15 corresponde a \(t=14{,}25\). Com a calculadora em radianos:

\(h(14{,}25)\)

\(=2+1{,}2\sin(0{,}5\times14{,}25-0{,}8)\)

\(=2+1{,}2\sin(6{,}325)\approx2{,}05\)

21.2 - Gráficos na calculadora

Pretende-se resolver \(h(t)=2{,}4\) antes do meio-dia: \(y_1=2+1{,}2\sin(0{,}5x-0{,}8)\) e \(y_2=2{,}4\), com \(x\in[0,12]\):

Antes do meio-dia, a altura foi \(2{,}4\) m em \(t\approx2{,}280\) e em \(t\approx7{,}204\). A última vez foi em \(t\approx7{,}204\).

21.2 - Conversão em horas e minutos

\(0{,}204\times60\approx12\ \text{min}\)

21.1. \(\approx2{,}05\) m
21.2. 07:12

Num certo dia, o número de pessoas presentes num determinado centro comercial, em milhares, era dado, em função de \(t\), em horas, a partir das \(10\) horas, pela função:

O argumento está expresso em radianos e \(t\in[0,12]\).

22.1. Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, a que horas desse dia o número de pessoas no centro comercial foi \(6500\). Apresente o resultado em horas e minutos (com o número de minutos arredondado às unidades).

22.2. Sabe-se que existe um instante a partir do qual, passados \(120\) minutos, o número de pessoas no centro comercial aumenta \(50\%\). Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a que horas desse dia tal aconteceu. Apresente o resultado em horas e minutos (com o número de minutos arredondado às unidades).

22.1 - Equação e gráficos

\(6500\) pessoas correspondem a \(6{,}5\) milhares: resolve-se \(s(t)=6{,}5\), com \(y_1=s(x)\) e \(y_2=6{,}5\) em \([0,12]\).

22.1 - Conversão em horas e minutos

\(t\approx1{,}86\) h: \(0{,}86\times60\approx52\) min, ou seja, \(1\) h \(52\) min depois das \(10\) h.

\(t\approx10{,}14\) h: \(0{,}14\times60\approx8\) min, ou seja, \(10\) h \(8\) min depois das \(10\) h.

22.2 - Equação

\(120\) minutos são \(2\) horas e aumentar \(50\%\) é multiplicar por \(1{,}5\): resolve-se \(s(t+2)=1{,}5\,s(t)\), com \(t\in[0,10]\) (para que \(t+2\le12\)).

\(t\approx1{,}05\) h: \(0{,}05\times60=3\) min, ou seja, \(1\) h \(3\) min depois das \(10\) h.

22.1. Às 11 h 52 min e às 20 h 08 min
22.2. Às 11 h 03 min

A temperatura média mensal, \(T\), em graus Celsius, na cidade do Porto, ao longo de um ano, é dada, aproximadamente, por:

com \(n\in\{1,2,\ldots,12\}\) (onde \(n\) designa o mês do ano, sendo que \(1\) corresponde ao mês de janeiro). O argumento da função seno está expresso em radianos.

23.1. Calcule a temperatura média no mês de junho. Apresente o resultado arredondado às décimas.

23.2. Recorrendo à calculadora gráfica, determine em que meses a temperatura média é superior a \(18{,}5\ ^\circ\text{C}\).

23.1

Junho corresponde a \(n=6\):

\(T(6)=6{,}9\sin\left(\dfrac{1{,}2\pi}{6}\right)+15{,}2\)

\(=6{,}9\sin(0{,}2\pi)+15{,}2\)

\(\approx19{,}3\)

23.2

Na calculadora, representam-se os pontos \((n,\ T(n))\), \(n=1,\ldots,12\) (ou consulta-se a tabela), e a reta \(y=18{,}5\):

\(T(5)\approx15{,}9\), \(T(6)\approx19{,}3\), \(T(7)\approx21{,}5\), \(T(8)\approx22{,}1\), \(T(9)\approx20{,}8\) e \(T(10)\approx18{,}0\); nos restantes meses \(T\) é ainda menor. Ficam acima de \(18{,}5\) os meses \(n=6,7,8,9\).

23.1. \(\approx19{,}3\ ^\circ\text{C}\)
23.2. Junho, julho, agosto e setembro

A previsão para a temperatura num certo dia de verão, em Braga, é dada, em graus Celsius, por

com \(x\in[0,24]\).

Recorra à tecnologia, por exemplo, à calculadora gráfica, e responda às seguintes questões.

24.1. Qual é a previsão para a amplitude térmica para esse dia? Apresente o resultado em graus Celsius.

24.2. Admita que a prática desportiva não está recomendada com temperaturas superiores a \(35\ ^\circ\text{C}\). Nesse dia, durante quanto tempo não é recomendável praticar desporto? Apresente o resultado em horas, arredondado às unidades.

Gráfico na calculadora

\(y_1=30+7\cos\left(\frac{\pi}{13}(x-41)\right)\) e \(y_2=35\), com \(x\in[0,24]\):

24.1

A temperatura mínima prevista é \(23\ ^\circ\text{C}\) (em \(x=2\)) e a máxima é \(37\ ^\circ\text{C}\) (em \(x=15\)).

\(37-23=14\)

(Confirmação: para \(x\in[0,24]\), o argumento percorre \(\left[-\frac{41\pi}{13},-\frac{17\pi}{13}\right]\), que contém \(-3\pi\) e \(-2\pi\), onde o cosseno vale \(-1\) e \(1\).)

24.2

\(T(x)\gt35\) entre as interseções \(x_1\approx11{,}79\) e \(x_2\approx18{,}21\):

\(18{,}21-11{,}79=6{,}42\approx6\)

24.1. \(14\ ^\circ\text{C}\)
24.2. Cerca de \(6\) horas

Na figura, está representada uma bola suspensa numa mola que oscila verticalmente.

Admita que a distância, em centímetros, a que a bola se encontra do solo, \(t\) segundos após o início do movimento oscilatório, é dada, aproximadamente, pela função \(d\), definida por:

25.1. Qual é a distância ao solo passado um segundo do início do movimento oscilatório?

25.2. Durante o primeiro meio segundo do movimento, houve um instante em que, passado um segundo e meio, a distância da bola ao solo diminuiu \(22\%\).

Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine esse instante.

Na sua resposta, deve:

• equacionar o problema;
• representar, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinalar o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permita(m) resolver a equação;
• apresentar o instante pedido, em segundos, arredondado às centésimas.

Um corpo, suspenso por uma mola, oscila verticalmente. A distância \(d\), em centímetros, do corpo ao solo é dada, em função do tempo \(t\), em segundos, pela expressão:

26.1. Indique o período mínimo positivo desta função e determine o seu contradomínio.

26.2. A que distância ao solo estava o corpo no instante em que foi largado?

26.3. Qual é o valor da amplitude do movimento do corpo?

26.4. Qual é o valor da frequência do movimento do corpo?

26.5. Determine, recorrendo à calculadora gráfica, quanto tempo decorre desde o instante em que o corpo se encontra pela primeira vez a \(110\) centímetros do solo até ao instante em que o corpo está pela última vez na posição intermédia do seu movimento de oscilação.

Na sua resposta:

• apresente o valor pedido em segundos, arredondado às décimas;
• represente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s) para a resolução, apresentando as suas coordenadas com duas casas decimais.

Na figura está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica de centro \(O\).

Sabe-se que:

• \(A\) pertence à circunferência e tem coordenadas \((1,0)\);
• \(B\) e \(C\) pertencem à circunferência e ao eixo \(Oy\);
• \(P\) desloca-se ao longo do arco \(AB\), nunca coincidindo com o ponto \(A\) nem com o ponto \(B\);
• \(\alpha\) é a amplitude, em radianos, do ângulo \(POA\), com \(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\).

27.1. Mostre que \(\overline{CP}=\sqrt{2+2\sin\alpha}\).

27.2. Recorrendo à calculadora gráfica, determine o valor de \(\alpha\), com arredondamento às centésimas, para o qual \([PC]\) é o lado de um quadrado de área \(3\).

Na figura estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), uma circunferência de centro na origem e raio \(2\) e um quadrilátero \([OABC]\).

Sabe-se que:

• \(A\) pertence ao primeiro quadrante e à circunferência;
• \(C\) é simétrico do ponto \(A\) relativamente ao eixo \(Oy\);
• \(B\) tem coordenadas \((0,2)\).

Seja \(\alpha\) a amplitude do ângulo \(BAO\) \(\left(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right[\right)\).

28.1. Mostre que a área do quadrilátero \([OABC]\) é dada, em função de \(\alpha\), por \(A(\alpha)=4\sin(2\alpha)\).

28.2. Sabe-se que existe um valor de \(\alpha\) tal que, quando \(\alpha\) aumenta \(\dfrac{\pi}{12}\) radianos, a área do quadrilátero \([OABC]\) diminui para metade. Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, esse valor de \(\alpha\), com arredondamento às décimas, sabendo que existe e que é único.

Na figura, estão representados, em referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica, o triângulo \([ABC]\) e a reta \(r\).

Sabe-se que:

• a reta \(r\) é perpendicular ao eixo \(Ox\) e tangente à circunferência no ponto \(D\);
• os pontos \(A\) e \(B\) pertencem à circunferência trigonométrica;
• o lado \([AB]\) é paralelo ao eixo \(Ox\);
• a reta \(AO\) interseta a reta \(r\) no ponto \(C\);
• \(\alpha\) é a amplitude, em radianos, do ângulo \(DOA\), com \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{2},\pi\right[\).

29.1. Mostre que a área do triângulo \([ABC]\) é dada, em função de \(\alpha\), por \(\sin\alpha\,(1-\cos\alpha)\).

29.2. Para um certo valor de \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{2},\pi\right[\), tem-se \((\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1+\sin\alpha\). Determine a área do triângulo \([ABC]\) para esse valor de \(\alpha\).

29.3. Existe um único valor de \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{2},\pi\right[\) tal que, se \(\alpha\) aumentar meio radiano, a área do triângulo \([ABC]\) diminui \(20\%\).

Determine esse valor de \(\alpha\), recorrendo à calculadora gráfica. Apresente o resultado arredondado às centésimas.

Na sua resposta:

• equacione o problema;
• represente, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que permita(m) resolver a equação;
• apresente a(s) coordenada(s) do(s) ponto(s) relevante(s), arredondada(s) às milésimas.

Considere a função \(g\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=\sin x\) e a figura na qual estão representados, em referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica e o quadrilátero \([OABC]\).

Sabe-se que \(A(0,1)\), \(C(-1,0)\) e \(D(1,0)\).

O ponto \(B\) desloca-se sobre a circunferência, no segundo quadrante, e, para cada posição do ponto \(B\), seja \(\alpha\) a amplitude, em radianos, do ângulo \(DOB\), com \(\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{2},\pi\right[\).

30.1. Mostre que a área, \(A\), do quadrilátero \([OABC]\) é dada, em função de \(\alpha\), por

30.2. Para uma certa posição do ponto \(B\) tem-se \(\tan(\alpha+\pi)=-\sqrt{15}\). Qual é o valor exato de \(A(\alpha)\) para essa posição do ponto \(B\)?

30.3. Determine, graficamente, os valores de \(\alpha\) para os quais a área do quadrilátero \([OABC]\) é superior à área de um círculo de raio \(0{,}45\).

Apresente o resultado com aproximações às centésimas.

Na figura, estão representados, em referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica e o triângulo \([ABC]\).

Sabe-se que:

• o ponto \(B\) pertence à reta de equação \(x=1\), o ponto \(C\) ao eixo \(Oy\) e o ponto \(A\) à circunferência;
• os pontos \(O\), \(A\) e \(B\) estão alinhados;
• \(D(1,0)\);
• o lado \([BC]\) é paralelo ao eixo \(Ox\);
• \(\alpha\) é a amplitude, em radianos, do ângulo \(DOA\), com \(\alpha\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right[\).

Seja \(f\) a função que dá a área do triângulo \([ABC]\), em função de \(\alpha\).

31.1. Mostre que \(f(\alpha)=\dfrac12\,(\tan\alpha-\sin\alpha)\).

31.2. Determine \(f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\) e interprete geometricamente o resultado obtido.

31.3. Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine o valor de \(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\) de modo que a área do triângulo \([ABC]\) seja igual à área do triângulo \([ODA]\).

Na sua resposta, deve:

• equacionar o problema;
• representar, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinalar o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permita(m) resolver a equação;
• apresentar o valor de \(\alpha\) arredondado às centésimas.

Na figura está representada, num referencial o.n. \(Oxy\), uma circunferência de centro \(O\) e raio \(1\). Os pontos \(B\) e \(Q\) pertencem à circunferência e ao eixo \(Ox\).

O ponto \(P\) desloca-se na semicircunferência superior, de \(Q\) até \(B\), nunca coincidindo com \(Q\) nem com \(B\); \(A\) é a projeção ortogonal de \(P\) sobre o eixo \(Ox\) e \(\alpha\) é a amplitude, em radianos, do ângulo \(QOP\), com \(\alpha\in\,]0,\pi[\).

Seja \(f(\alpha)\) a área da região colorida: o semicírculo superior sem o triângulo \([ABP]\).

32.1. Mostre que \(f(\alpha)=\dfrac{\pi-\sin\alpha-\sin\alpha\cos\alpha}{2}\).

32.2. Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine os valores de \(\alpha\) para os quais a área da região colorida é \(1{,}2\). Apresente os resultados arredondados às décimas.

32.1 - Área da região

A área do semicírculo é \(\dfrac{\pi\times1^2}{2}=\dfrac{\pi}{2}\). Como \(A=(\cos\alpha,0)\) e \(B=(-1,0)\), a base \([AB]\) do triângulo mede \(1+\cos\alpha\) e a altura mede \(\sin\alpha\):

\(f(\alpha)=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{(1+\cos\alpha)\sin\alpha}{2}\) \(=\dfrac{\pi-\sin\alpha-\sin\alpha\cos\alpha}{2}\)

32.2 - Equação e gráficos

Resolve-se \(f(\alpha)=1{,}2\): \(y_1=\frac{\pi-\sin x-\sin x\cos x}{2}\) e \(y_2=1{,}2\), com \(x\in\,]0,\pi[\):

Pontos de interseção: \((0{,}396\,;\,1{,}2)\) e \((1{,}81\,;\,1{,}2)\).

\(\alpha\approx0{,}4\) rad ou \(\alpha\approx1{,}8\) rad

Na figura estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), uma circunferência e um triângulo \([OAB]\). Sabe-se que:

• a circunferência tem diâmetro \([OA]\);
• o ponto \(A\) tem coordenadas \((2,0)\);
• o vértice \(O\) do triângulo \([OAB]\) coincide com a origem do referencial;
• o ponto \(B\) desloca-se ao longo da semicircunferência superior.

Para cada posição do ponto \(B\), seja \(\alpha\) a amplitude do ângulo \(AOB\), com \(\alpha\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\).

33.1. Mostre que o perímetro do triângulo \([OAB]\) é dado, em função de \(\alpha\), por \(P(\alpha)=2\,(1+\cos\alpha+\sin\alpha)\).

33.2. Recorrendo às capacidades da calculadora gráfica, determine o valor de \(\alpha\), em radianos, para o qual o perímetro do triângulo \([OAB]\) é máximo (resultado arredondado às centésimas).

Considere a função \(f\), de domínio \(\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\), definida por \(f(x)=\cos x+\sin x\cos x\).

Na figura estão representados, num referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência trigonométrica e um triângulo \([ABC]\).

Sabe-se que:

• \(A\) e \(B\) pertencem à circunferência;
• \(A\) desloca-se sobre o arco \(PQ\), nunca coincidindo com \(P\) nem com \(Q\);
• a reta \(AB\) é paralela ao eixo \(Ox\);
• \(C\) é o ponto de interseção da circunferência com o semieixo negativo \(Oy\);
• \(\beta\) é a amplitude, em radianos, do ângulo \(AOP\), com \(\beta\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\).

34.1. Mostre que a área do triângulo \([ABC]\) é dada por \(f(\beta)\).

34.2. Recorrendo à calculadora gráfica, determine o(s) valor(es) de \(\beta\), com arredondamento às centésimas, para o(s) qual(is) a área do triângulo \([ABC]\) é a terça parte da área do círculo delimitado pela circunferência.

34.1

\(A(\cos\beta,\sin\beta)\), \(B(-\cos\beta,\sin\beta)\) e \(C(0,-1)\). A base \([AB]\) mede \(2\cos\beta\) e a altura relativa a ela mede \(1+\sin\beta\):

\(A_{[ABC]}=\dfrac{2\cos\beta\,(1+\sin\beta)}{2}\) \(=\cos\beta+\sin\beta\cos\beta\) \(=f(\beta)\)

34.2 - Equação e gráficos

A área do círculo é \(\pi\times1^2=\pi\); resolve-se \(f(\beta)=\dfrac{\pi}{3}\): \(y_1=\cos x+\sin x\cos x\) e \(y_2=\frac{\pi}{3}\), com \(x\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\):

Pontos de interseção: \((0{,}05\,;\,1{,}05)\) e \((0{,}96\,;\,1{,}05)\).

\(\beta\approx0{,}05\) rad ou \(\beta\approx0{,}96\) rad

Na figura estão representados um triângulo \([PQR]\) e parte do gráfico de uma função \(f\) definida, em \(\mathbb{R}\), por \(f(x)=1+3\sin x\).

Sabe-se que:

• os pontos \(R\) e \(Q\) pertencem ao gráfico de \(f\) e têm ordenada \(3{,}5\) e abcissas pertencentes ao intervalo \(\left]\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{7\pi}{2}\right[\);
• a função \(f\) admite um mínimo no ponto \(P\).

35.1. Determine o contradomínio da função \(f\).

35.2. Recorra às capacidades gráficas da calculadora e determine a medida da área do triângulo \([PQR]\). Na resolução deve apresentar:

• as abcissas de \(R\) e de \(Q\), arredondadas às milésimas;
• \(\overline{QR}\), arredondada às centésimas;
• a altura do triângulo \([PQR]\) em relação à base \([QR]\);
• a medida da área do triângulo \([PQR]\), arredondada às décimas.

35.1

\(-1\le\sin x\le1\)

\(\Leftrightarrow-3\le3\sin x\le3\)

\(\Leftrightarrow-2\le1+3\sin x\le4\)

35.2 - Abcissas de R e de Q

Na calculadora: \(y_1=1+3\sin x\) e \(y_2=3{,}5\), procurando as interseções no intervalo \(\left]\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{2}\right[\).

\(x_R\approx7{,}268\) e \(x_Q\approx8{,}440\).

35.2 - Base e altura

\(\overline{QR}\approx8{,}440-7{,}268\)

\(=1{,}172\approx1{,}17\)

O mínimo de \(f\) é \(-2\), logo a altura relativa à base \([QR]\) é \(3{,}5-(-2)=5{,}5\).

35.2 - Área

\(A_{[PQR]}\approx\dfrac{1{,}17\times5{,}5}{2}\approx3{,}2\)

35.1. \(D'_f=[-2,4]\)
35.2. \(A_{[PQR]}\approx3{,}2\)

Confirmação analítica: \(\sin x=\frac56\) dá \(x_R=2\pi+\arcsin\frac56\approx7{,}268\) e \(x_Q=3\pi-\arcsin\frac56\approx8{,}440\).

Na figura, estão representados, no mesmo referencial, os gráficos das funções \(f\) e \(g\), definidas por \(f(x)=2\sin x\) e \(g(x)=2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\) no intervalo \([0,4\pi]\).

Em \([0,4\pi]\), os gráficos de \(f\) e \(g\) intersetam-se nos pontos \(A\) e \(B\) e nos pontos de abcissas \(0\), \(2\pi\) e \(4\pi\).

Utilizando as capacidades gráficas da sua calculadora, resolva a inequação \(f(x)\gt g(x)\).

Na sua resposta, apresente, num referencial, os gráficos das funções \(f\) e \(g\), e indique as abcissas dos pontos \(A\) e \(B\) com arredondamento às décimas.

1.º passo - Gráficos na calculadora

\(y_1=2\sin x\) e \(y_2=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\), com \(x\in[0,4\pi]\):

\(A(2{,}1;\ 1{,}7)\) e \(B(10{,}5;\ -1{,}7)\), aproximadamente.

2.º passo - Onde o gráfico de \(f\) está acima do de \(g\)

O gráfico de \(f\) está acima do de \(g\) entre \(0\) e \(A\) e entre \(2\pi\) e \(B\).

\(S=\left]0;\ 2{,}1\right[\cup\left]2\pi;\ 10{,}5\right[\)

Confirmação analítica: \(2\sin x=2\sin\frac{x}{2}\Leftrightarrow\sin\frac{x}{2}\left(2\cos\frac{x}{2}-1\right)=0\), o que dá as abcissas \(0\), \(2\pi\), \(4\pi\), \(\frac{2\pi}{3}\approx2{,}1\) e \(\frac{10\pi}{3}\approx10{,}5\).

Seja \(f\) a função, de domínio \([0,2\pi]\), definida por \(f(x)=2\cos^2x+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\).

No domínio indicado, determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, um valor arredondado às décimas da área do triângulo \([OAB]\), em que \(O\) é a origem do referencial e \(A\) e \(B\) são os pontos de interseção do gráfico da função \(f\) com a reta de equação \(y=2\).

Nas coordenadas dos vértices em que é necessário fazer arredondamentos, utilize duas casas decimais.

1.º passo - Interseções com \(y=2\)

Na calculadora: \(y_1=2\cos^2x+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) e \(y_2=2\), com \(x\in[0,2\pi]\):

\(A(0{,}67;\ 2)\) e \(B(5{,}61;\ 2)\).

2.º passo - Área

A base \([AB]\) está sobre a reta \(y=2\) e mede \(5{,}61-0{,}67=4{,}94\); a altura relativa a essa base é a distância de \(O\) à reta \(y=2\), ou seja, \(2\):

\(A_{[OAB]}\approx\dfrac{4{,}94\times2}{2}\) \(=4{,}94\approx4{,}9\)

\(A_{[OAB]}\approx4{,}9\) u.a.

Considere a função \(f\), de domínio \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=\dfrac{x}{2}-2\sin x\).

O gráfico da função \(f\) contém dois pontos, de abcissas pertencentes ao intervalo \(\left]-\pi,\pi\right[\), para os quais a ordenada é o quadrado da abcissa. Um deles é a origem do referencial.

Utilizando as capacidades gráficas da calculadora, determine as coordenadas, arredondadas às centésimas, do outro ponto nestas condições.

Na sua resposta:

• apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
• reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação e apresente as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s) arredondadas às centésimas.

1.º passo - Equação

\(f(x)=x^2\) \(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2}-2\sin x=x^2\)

com \(x\in\left]-\pi,\pi\right[\).

2.º passo - Gráficos na calculadora

\(y_1=\frac{x}{2}-2\sin x\) e \(y_2=x^2\), com \(x\in\left]-\pi,\pi\right[\):

Os gráficos intersetam-se na origem e no ponto de coordenadas aproximadas \((-1{,}11;\ 1{,}24)\).

\((-1{,}11;\ 1{,}24)\)

Seja \(f\) a função, de domínio \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\pi\right]\), definida por \(f(x)=5-2\sin x\). Seja \(r\) a reta de equação \(y=6\).

Recorrendo à calculadora gráfica, determine a distância entre os pontos \(A\) e \(B\), sabendo que:

• \(A\) é o ponto de interseção do gráfico de \(f\) com a reta \(r\);
• \(B\) é o ponto do gráfico de \(f\) de ordenada mínima.

Na sua resposta, deve:

• reproduzir, num referencial, o gráfico da função e a reta de equação \(y=6\);
• indicar as abcissas dos pontos \(A\) e \(B\) com arredondamento às centésimas;
• determinar o valor pedido, arredondado às décimas.

1.º passo - Gráfico na calculadora

\(y_1=5-2\sin x\) e \(y_2=6\), com \(x\in\left[-\frac{\pi}{2},\pi\right]\):

\(A(-0{,}52;\ 6)\) e \(B(1{,}57;\ 3)\) (o mínimo da função é \(3\)).

2.º passo - Distância

\(\overline{AB}=\sqrt{(1{,}57+0{,}52)^2+(3-6)^2}\)

\(=\sqrt{2{,}09^2+9}\approx3{,}7\)

\(\overline{AB}\approx3{,}7\)