Ângulo Orientado e Generalizado | Matemática A

📌 Resumo teórico

Ângulo orientado e rotações

Um ângulo orientado tem um lado origem e um lado extremidade. A amplitude é positiva no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio e negativa no sentido dos ponteiros. Uma rotação de centro \(O\) e amplitude \(\alpha\) transforma cada ponto \(P\) em \(P'\) com \(\overline{OP'}=\overline{OP}\) e \(\widehat{POP'}=\alpha\) (orientado).

Num polígono regular de \(n\) lados inscrito numa circunferência de centro \(O\), o ângulo ao centro entre vértices consecutivos mede \(\dfrac{360^\circ}{n}\).

Ângulo generalizado

\[ \theta=\alpha+k\times 360^\circ,\qquad k\in\mathbb{Z},\qquad \text{representado por } (\alpha,\,k) \]

\(\alpha\) é a amplitude do ângulo orientado (com \(-360^\circ\lt\alpha\lt 360^\circ\)) e \(k\) o número de voltas completas. Ângulos que diferem de um múltiplo de \(360^\circ\) têm o mesmo lado extremidade e, por isso, as mesmas razões trigonométricas:

\[ \sin(\alpha+k\cdot 360^\circ)=\sin\alpha\qquad \cos(\alpha+k\cdot 360^\circ)=\cos\alpha\qquad \tan(\alpha+k\cdot 180^\circ)=\tan\alpha \]

Circunferência trigonométrica

Se o lado extremidade de \(\theta\) interseta a circunferência trigonométrica em \(P\), então \(P=(\cos\theta,\ \sin\theta)\) e \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\), quando \(\cos\theta\ne0\), é a ordenada do ponto onde a reta \(OP\) interseta a reta \(x=1\).

Quadrante	1.º	2.º	3.º	4.º
\(\sin\theta\)	\(+\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)
\(\cos\theta\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
\(\tan\theta\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)

Valores de referência

\(\theta\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)	\(180^\circ\)	\(270^\circ\)
\(\sin\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(1\)	\(0\)	\(-1\)
\(\cos\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)	\(-1\)	\(0\)
\(\tan\)	\(0\)	\(\frac{\sqrt3}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt3\)	n.d.	\(0\)	n.d.

Parte I — Ângulos orientados e generalizados

Rotações, amplitudes, quadrantes e circunferência trigonométrica

1. Círculo dividido em setores

I.1

Um círculo está dividido em oito setores iguais, numerados como na figura. Uma seta parte da posição \(0\) e pode rodar nos sentidos positivo ou negativo.

Círculo dividido em oito setores numerados

1.1. A seta parou no setor 5. Indique uma possível representação do ângulo generalizado.

1.2. Identifique o setor indicado por um ângulo orientado de amplitude \(-1750^\circ\).

1.1 - Amplitude de cada setor

360^\circ:8=45^\circ

O setor 5 corresponde, por exemplo, a amplitudes entre \(-135^\circ\) e \(-90^\circ\).

Uma representação possível é \((-130^\circ,-2)\).

1.2 - Reduzir a amplitude

-1750^\circ=50^\circ-5\times360^\circ

O lado extremidade coincide com o de \(50^\circ\).

A seta termina no setor 1.

2. Rotações num pentágono regular

I.2

No pentágono regular \([ABCDE]\), o perímetro é \(30\) e \(F\) é a interseção das diagonais \([CE]\) e \([AD]\).

Pentágono regular ABCDE com diagonais concorrentes em F

2.1. Determine o perímetro do triângulo \([EAF]\), arredondado às décimas.

2.2. Determine a imagem de \(A\) pela rotação \(R_{(O,\alpha)}\), se:

a) \(\alpha=1224^\circ\) b) \(\alpha=-792^\circ\)

2.1 - Ângulos e comprimentos

AE=\dfrac{30}{5}=6

\dfrac{360^\circ}{5}=72^\circ

No triângulo isósceles \(AEF\), obtém-se \(AF=6\) e \(EF=12\cos72^\circ\).

P_{[EAF]}=6+6+12\cos72^\circ\) \(\approx15{,}7

O perímetro é, aproximadamente, \(15{,}7\).

2.2 - Rotações equivalentes

1224^\circ=144^\circ+3\times360^\circ\) \(\Rightarrow R(A)=C

-792^\circ=-72^\circ-2\times360^\circ\) \(\Rightarrow R(A)=E

a) \(C\) b) \(E\)

3. Razões trigonométricas de ângulos generalizados

I.3

Escreva cada amplitude na forma \(\alpha+k\times360^\circ\), com \(-360^\circ<\alpha<360^\circ\), e determine as razões trigonométricas.

a) \(1125^\circ\) b) \(-1830^\circ\) c) \(2580^\circ\)

a) 1125 graus

1125^\circ=45^\circ+3\times360^\circ

\(\sin=\dfrac{\sqrt2}{2}\), \(\cos=\dfrac{\sqrt2}{2}\), \(\tan=1\)

b) -1830 graus

-1830^\circ=-30^\circ-5\times360^\circ

\(\sin=-\dfrac12\), \(\cos=\dfrac{\sqrt3}{2}\), \(\tan=-\dfrac{\sqrt3}{3}\)

c) 2580 graus

2580^\circ=60^\circ+7\times360^\circ

\(\sin=\dfrac{\sqrt3}{2}\), \(\cos=\dfrac12\), \(\tan=\sqrt3\)

4. Coordenadas na circunferência trigonométrica

I.4

Na circunferência trigonométrica, a semirreta \(OP\) é o lado extremidade do ângulo de amplitude \(2040^\circ\). Determine as coordenadas de \(P\).

Ponto P no terceiro quadrante da circunferência trigonométrica

2040^\circ=240^\circ+5\times360^\circ

P=(\cos240^\circ,\sin240^\circ)\) \(=\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)

\(P\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\)

5. Quadrantes e sinais

I.5

Considere os ângulos \(193^\circ\), \(269^\circ\), \(302^\circ\), \(45^\circ\), \(-200^\circ\), \(1450^\circ\), \(2633^\circ\) e \(-1080^\circ\).

5.1. Indique o quadrante do lado extremidade.

5.2. Indique o sinal do seno e do cosseno e identifique os ângulos cuja tangente é positiva.

Ângulo	Reduzido	Posição	\(\sin\)	\(\cos\)	\(\tan>0\)?
\(193^\circ\)	\(193^\circ\)	3.º Q	\(-\)	\(-\)	Sim
\(269^\circ\)	\(269^\circ\)	3.º Q	\(-\)	\(-\)	Sim
\(302^\circ\)	\(302^\circ\)	4.º Q	\(-\)	\(+\)	Não
\(45^\circ\)	\(45^\circ\)	1.º Q	\(+\)	\(+\)	Sim
\(-200^\circ\)	\(160^\circ\)	2.º Q	\(+\)	\(-\)	Não
\(1450^\circ\)	\(10^\circ\)	1.º Q	\(+\)	\(+\)	Sim
\(2633^\circ\)	\(113^\circ\)	2.º Q	\(+\)	\(-\)	Não
\(-1080^\circ\)	\(0^\circ\)	Semieixo \(Ox^+\)	\(0\)	\(+\)	Não

A tangente é positiva para \(193^\circ\), \(269^\circ\), \(45^\circ\) e \(1450^\circ\).

6. Pares de um ângulo generalizado

I.6

Determine o quadrante do lado extremidade de cada ângulo generalizado.

6.1. \((30^\circ,2)\) 6.2. \((120^\circ,5)\)

6.3. \((-120^\circ,-5)\) 6.4. \((-45^\circ,-2)\)

O número de voltas completas não altera o lado extremidade; basta observar a primeira componente.

6.1. 1.º Q 6.2. 2.º Q 6.3. 3.º Q 6.4. 4.º Q

7. Rotações num octógono regular

I.7

No octógono regular \([ABCDEFGH]\), inscrito numa circunferência de centro \(O\), considere \(OA\) como lado origem.

7.1. Indique o lado extremidade de: a) \((225^\circ,2)\); b) \((-135^\circ,-3)\).

7.2. Indique o lado extremidade das amplitudes: a) \(1575^\circ\); b) \(-1170^\circ\).

Entre vértices consecutivos há uma rotação de \(360^\circ:8=45^\circ\).

225^\circ=5\times45^\circ\Rightarrow OF

-135^\circ\equiv225^\circ\pmod{360^\circ}\) \(\Rightarrow OF

1575^\circ=135^\circ+4\times360^\circ\) \(\Rightarrow OD

-1170^\circ\) \(=-90^\circ-3\times360^\circ\) \(\Rightarrow OG

7.1. a) \(OF\), b) \(OF\). 7.2. a) \(OD\), b) \(OG\).

8. Transformados por rotações

I.8

O triângulo equilátero \([ACE]\) e o quadrado \([ABDF]\) estão inscritos numa circunferência de centro \(O\).

Triângulo ACE e quadrado ABDF inscritos numa circunferência

Determine o transformado de \(A\) pela rotação de centro \(O\) e amplitude:

8.1. \(1170^\circ\)8.2. \(900^\circ\)8.3. \(600^\circ\)8.4. \(-1530^\circ\)8.5. \(-840^\circ\)8.6. \(-1080^\circ\)

1170^\circ\equiv90^\circ\Rightarrow A\mapsto B

900^\circ\equiv180^\circ\Rightarrow A\mapsto D

600^\circ\equiv240^\circ\Rightarrow A\mapsto E

-1530^\circ\equiv-90^\circ\Rightarrow A\mapsto F

-840^\circ\equiv-120^\circ\Rightarrow A\mapsto E

-1080^\circ\equiv0^\circ\Rightarrow A\mapsto A

8.1. \(B\); 8.2. \(D\); 8.3. \(E\); 8.4. \(F\); 8.5. \(E\); 8.6. \(A\).

9. Rotação num triângulo

I.9

No triângulo \([ABC]\), \(AB=AC=5\) cm e \(BC=5\sqrt3\) cm. Uma rotação de centro \(A\) transforma \(C\) em \(B\).

Triângulo isósceles ABC com lados 5, 5 e 5 raiz de 3

Indique dois valores possíveis para a amplitude do ângulo orientado.

Lei dos cossenos

\cos\widehat{BAC}\) \(=\dfrac{5^2+5^2-(5\sqrt3)^2}{2\times5\times5}\) \(=-\dfrac12

\widehat{BAC}=120^\circ

Para levar \(C\) a \(B\), pode rodar-se \(120^\circ\) no sentido negativo ou \(240^\circ\) no sentido positivo.

\(\alpha=-120^\circ\) ou \(\alpha=240^\circ\).

10. Hexágono regular e ângulos generalizados

I.10

Na figura está representado o hexágono regular \([ABCDEF]\), inscrito numa circunferência de centro \(O\).

Hexágono regular ABCDEF inscrito numa circunferência de centro O, com A e B em baixo

Sendo \(\dot{O}A\) o lado origem, indique o lado extremidade do ângulo generalizado:

10.1. definido por:

a) \((120^\circ,\,2)\)b) \((-300^\circ,\,-1)\)c) \((-180^\circ,\,-3)\)

10.2. de amplitude:

a) \(960^\circ\)b) \(-2100^\circ\)c) \(4500^\circ\)d) \(-1680^\circ\)

Ângulo ao centro

Entre vértices consecutivos há um ângulo de \(360^\circ:6=60^\circ\). A partir de \(\dot{O}A\), no sentido positivo, encontram-se \(\dot{O}B\) a \(60^\circ\), \(\dot{O}C\) a \(120^\circ\), \(\dot{O}D\) a \(180^\circ\), \(\dot{O}E\) a \(240^\circ\) e \(\dot{O}F\) a \(300^\circ\).

10.1 - O par \((\alpha,k)\) representa \(\alpha+k\times360^\circ\)

As voltas completas não alteram o lado extremidade; basta olhar para \(\alpha\):

(120^\circ,2)\to120^\circ\to\dot{O}C

(-300^\circ,-1)\) \(\to-300^\circ\equiv60^\circ\) \(\to\dot{O}B

(-180^\circ,-3)\) \(\to-180^\circ\equiv180^\circ\) \(\to\dot{O}D

10.1. a) \(\dot{O}C\)
b) \(\dot{O}B\)
c) \(\dot{O}D\)

10.2 - Escrever na forma \(\alpha+k\times360^\circ\)

960^\circ=240^\circ+2\times360^\circ\) \(\to\dot{O}E

-2100^\circ\) \(=-300^\circ-5\times360^\circ\) \(\text{ e }\ -300^\circ\equiv60^\circ\) \(\to\dot{O}B

4500^\circ=180^\circ+12\times360^\circ\) \(\to\dot{O}D

-1680^\circ\) \(=-240^\circ-4\times360^\circ\) \(\text{ e }\ -240^\circ\equiv120^\circ\) \(\to\dot{O}C

10.2. a) \(\dot{O}E\)
b) \(\dot{O}B\)
c) \(\dot{O}D\)
d) \(\dot{O}C\)

11. Rotações num dodecágono regular

I.11

Na figura está representado um dodecágono regular de centro \(O\).

Dodecágono regular ABCDEFGHIJKL de centro O, com A e B em baixo

11.1. Indique a amplitude do ângulo orientado:

a) com lados \(\dot{O}A\) e \(\dot{O}B\) e sentido positivo;

b) com lados \(\dot{O}K\) e \(\dot{O}C\) e sentido negativo.

11.2. Indique o transformado do ponto \(J\) por uma rotação de centro em \(O\) e amplitude:

a) \(120^\circ\)b) \(-300^\circ\)c) \(780^\circ\)d) \(-570^\circ\)

11.3. Determine a amplitude da rotação de centro em \(O\), no sentido negativo, que corresponda a mais do que três voltas completas e a menos do que quatro voltas completas e que transforme \(A\) em \(D\).

Ângulo ao centro

Entre vértices consecutivos há \(360^\circ:12=30^\circ\). No sentido positivo, os vértices sucedem-se pela ordem \(A,B,C,\ldots,L\).

11.1

a) De \(\dot{O}A\) para \(\dot{O}B\), no sentido positivo, avança-se um vértice: \(30^\circ\).

b) De \(\dot{O}K\) para \(\dot{O}C\), no sentido negativo, passa-se por \(J,I,H,G,F,E,D,C\): oito vértices.

-8\times30^\circ=-240^\circ

11.1. a) \(30^\circ\); b) \(-240^\circ\)

11.2 - Contar vértices a partir de J

120^\circ=4\times30^\circ\colon\) \(J\to K\) \(\to L\) \(\to A\) \(\to B

-300^\circ\equiv60^\circ\) \(=2\times30^\circ\colon\) \(J\to K\) \(\to L

780^\circ=60^\circ+2\times360^\circ\colon\) \(\text{o mesmo que }60^\circ\) \(\to L

-570^\circ=-210^\circ-360^\circ

-210^\circ=-7\times30^\circ\colon\) \(J\to I\) \(\to H\) \(\to G\) \(\to F\) \(\to E\) \(\to D\) \(\to C

11.2. a) \(B\)
b) \(L\)
c) \(L\)
d) \(C\)

11.3 - De A para D no sentido negativo

No sentido negativo, de \(A\) até \(D\) passa-se por \(L,K,J,I,H,G,F,E,D\): nove vértices, ou seja, \(-270^\circ\). A estas amplitudes somam-se voltas completas negativas: \(-270^\circ-k\times360^\circ\), \(k\in\mathbb{N}_0\).

Para ter mais de três e menos de quatro voltas completas, a amplitude tem de estar entre \(-1440^\circ\) e \(-1080^\circ\), o que acontece para \(k=3\):

-270^\circ-3\times360^\circ\) \(=-1350^\circ

11.3. \(-1350^\circ\)

12. Rotação de amplitude −660°

I.12

Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), o ponto \(P(5,0)\). Seja \(Q\) o transformado do ponto \(P\) por uma rotação de centro \(O\) e amplitude \(-660^\circ\).

Determine as coordenadas do ponto \(Q\).

Rotação equivalente

-660^\circ+2\times360^\circ=60^\circ

Logo, \(Q\) é também o transformado de \(P\) pela rotação de centro \(O\) e amplitude \(60^\circ\). Como \(\overline{OQ}=\overline{OP}=5\), \(Q\) está na circunferência de centro \(O\) e raio \(5\), no 1.º quadrante.

Coordenadas de Q

\dfrac{x_Q}{5}=\cos60^\circ\) \(\Leftrightarrow x_Q=5\times\dfrac12=\dfrac52

\dfrac{y_Q}{5}=\sin60^\circ\) \(\Leftrightarrow y_Q=5\times\dfrac{\sqrt3}{2}\) \(=\dfrac{5\sqrt3}{2}

\(Q\left(\dfrac52,\ \dfrac{5\sqrt3}{2}\right)\)

13. Pontos da circunferência associados a famílias de ângulos

I.13

Assinale, numa circunferência, os pontos correspondentes à interseção do lado extremidade de cada um dos ângulos seguintes com a circunferência (\(k\in\mathbb{Z}\)).

13.1. \(x=180^\circ+k\times90^\circ\)13.2. \(x=-60^\circ+k\times180^\circ\)13.3. \(x=-30^\circ+k\times90^\circ\)13.4. \(x=270^\circ+k\times30^\circ\)13.5. \(x=330^\circ+k\times180^\circ\)13.6. \(x=-210^\circ+k\times60^\circ\)

Método

Dá-se a \(k\) valores inteiros consecutivos até os pontos começarem a repetir-se. Nestes casos, o passo \(p\) é positivo e \(360^\circ/p\) é inteiro; por isso, obtêm-se \(\dfrac{360^\circ}{p}\) pontos igualmente espaçados.

13.1\colon\) \(0^\circ,\ 90^\circ,\ 180^\circ,\ 270^\circ\) \((4\text{ pontos})

13.2\colon\ 120^\circ,\ 300^\circ\ (2\text{ pontos})

13.3\colon\) \(60^\circ,\ 150^\circ,\ 240^\circ,\ 330^\circ\) \((4\text{ pontos})

13.4\colon\) \(0^\circ,\ 30^\circ,\ 60^\circ,\ \ldots,\ 330^\circ\) \((12\text{ pontos})

13.5\colon\ 150^\circ,\ 330^\circ\ (2\text{ pontos})

13.6\colon\) \(30^\circ,\ 90^\circ,\ 150^\circ,\) \(210^\circ,\ 270^\circ,\ 330^\circ\) \((6\text{ pontos})

Quatro pontos: 0, 90, 180 e 270 graus — 13.1.

Quatro pontos: 60, 150, 240 e 330 graus — 13.3.

Doze pontos espaçados de 30 graus — 13.4.

Seis pontos: 30, 90, 150, 210, 270 e 330 graus — 13.6.

14. Ângulos generalizados na forma α + k × 360°

I.14

Escreva na forma \(\alpha+k\times360^\circ\), sendo \(\alpha\) a amplitude de um ângulo orientado e \(k\) um número inteiro, os ângulos generalizados de amplitudes:

14.1. \(490^\circ\)14.2. \(-1550^\circ\)14.3. \(1755^\circ\)14.4. \(-750^\circ\)

Método

Divide-se o valor absoluto da amplitude por \(360^\circ\): o quociente inteiro é o número de voltas completas \(|k|\) e o resto é \(|\alpha|\). O sinal de \(\alpha\) e de \(k\) é o da amplitude dada.

490=1\times360+130\) \(\Rightarrow\ 490^\circ=130^\circ+1\times360^\circ

1550=4\times360+110\) \(\Rightarrow\ -1550^\circ\) \(=-110^\circ+(-4)\times360^\circ

1755=4\times360+315\) \(\Rightarrow\ 1755^\circ=315^\circ+4\times360^\circ

750=2\times360+30\) \(\Rightarrow\ -750^\circ=-30^\circ+(-2)\times360^\circ

14.1. \(130^\circ+1\times360^\circ\)
14.2. \(-110^\circ-4\times360^\circ\)
14.3. \(315^\circ+4\times360^\circ\)
14.4. \(-30^\circ-2\times360^\circ\)

15. Imagens de um vértice de um hexágono regular

I.15

Na figura está representado um hexágono regular \([ABCDEF]\), inscrito numa circunferência de centro \(O\).

Hexágono regular ABCDEF com A e B em cima, C à esquerda e F à direita

15.1. Indique a imagem do ponto \(A\) por uma rotação de centro \(O\) e amplitude:

a) \(60^\circ\)b) \(-120^\circ\)c) \(-180^\circ\)d) \(240^\circ\)

15.2. Indique três amplitudes possíveis de uma rotação de centro \(O\) que transforma o ponto \(A\) no ponto \(D\).

15.3. Indique a imagem do ponto \(A\) por uma rotação de centro \(O\) e amplitude:

a) \(480^\circ\)b) \(-420^\circ\)c) \(60^\circ+2\times360^\circ\)d) \(-240^\circ+3\times360^\circ\)

Ordem dos vértices

O ângulo ao centro entre vértices consecutivos mede \(60^\circ\). No sentido positivo (contrário ao dos ponteiros do relógio), a partir de \(A\): \(A\to B\) \(\to C\) \(\to D\) \(\to E\) \(\to F\) \(\to A\).

15.1

60^\circ\colon\ A\to B

-120^\circ\colon\ A\to F\to E

-180^\circ\colon\ A\to F\to E\to D

240^\circ\colon\) \(A\to B\) \(\to C\) \(\to D\) \(\to E

15.1. a) \(B\)
b) \(E\)
c) \(D\)
d) \(E\)

15.2

\(D\) é o vértice oposto a \(A\): a rotação tem de ser de meia volta, a menos de voltas completas: \(180^\circ+k\times360^\circ\).

15.2. Por exemplo, \(180^\circ\), \(-180^\circ\) e \(540^\circ\).

15.3 - Retirar as voltas completas

480^\circ=120^\circ+360^\circ\to C

-420^\circ=-60^\circ-360^\circ\to F

60^\circ+2\times360^\circ\to B

-240^\circ+3\times360^\circ\) \(=120^\circ+2\times360^\circ\) \(\to C

15.3. a) \(C\)
b) \(F\)
c) \(B\)
d) \(C\)

16. Rotações num eneágono regular

I.16

Na figura está representado um eneágono regular inscrito numa circunferência de centro \(O\).

Eneágono regular ABCDEFGHI inscrito numa circunferência de centro O, com A à direita

16.1. Utilize as letras da figura para indicar o lado extremidade do ângulo cujo lado origem é \(\dot{O}A\) e tem amplitude:

a) \(-120^\circ\)b) \(80^\circ\)c) \(280^\circ\)d) \(-320^\circ\)

16.2. Complete as igualdades:

a) \(R_{(O,\,40^\circ)}(C)=\ \ldots\)b) \(R_{(O,\,-160^\circ)}(F)=\ \ldots\)c) \(R_{(O,\,120^\circ)}(I)=\ \ldots\)d) \(R_{(O,\,-200^\circ)}(E)=\ \ldots\)e) \(R_{(O,\,-80^\circ)}(G)=\ \ldots\)f) \(R_{(O,\,240^\circ)}(D)=\ \ldots\)

16.3. Justifique que as imagens de \(G\) são coincidentes pelas rotações \(R_{(O,\,1840^\circ)}\) e \(R_{(O,\,-2480^\circ)}\).

Ângulo ao centro

\(360^\circ:9=40^\circ\). A partir de \(\dot{O}A\), no sentido positivo, os vértices estão a \(B\colon40^\circ\), \(C\colon80^\circ\), \(D\colon120^\circ\), \(E\colon160^\circ\), \(F\colon200^\circ\), \(G\colon240^\circ\), \(H\colon280^\circ\), \(I\colon320^\circ\).

16.1

-120^\circ\equiv240^\circ\to\dot{O}G

80^\circ\to\dot{O}C

280^\circ\to\dot{O}H

-320^\circ\equiv40^\circ\to\dot{O}B

16.1. a) \(\dot{O}G\)
b) \(\dot{O}C\)
c) \(\dot{O}H\)
d) \(\dot{O}B\)

16.2 - Somar a amplitude à posição do ponto

C\colon80^\circ+40^\circ=120^\circ\to D

F\colon200^\circ-160^\circ=40^\circ\to B

I\colon\) \(320^\circ+120^\circ\) \(=440^\circ\equiv80^\circ\) \(\to C

E\colon\) \(160^\circ-200^\circ\) \(=-40^\circ\equiv320^\circ\) \(\to I

G\colon240^\circ-80^\circ=160^\circ\to E

D\colon\) \(120^\circ+240^\circ\) \(=360^\circ\equiv0^\circ\) \(\to A

16.2. a) \(D\)
b) \(B\)
c) \(C\)
d) \(I\)
e) \(E\)
f) \(A\)

16.3 - Retirar as voltas completas

1840^\circ=40^\circ+5\times360^\circ

-2480^\circ\) \(=-320^\circ-6\times360^\circ\) \(\text{e}\ \ -320^\circ\equiv40^\circ

As duas rotações têm o mesmo efeito que a rotação de centro \(O\) e amplitude \(40^\circ\), pelo que transformam \(G\) no mesmo ponto: \(H\).

\(R_{(O,\,1840^\circ)}(G)\) \(=R_{(O,\,-2480^\circ)}(G)=H\)

17. Forma α + k × 360°, com −360° < α < 360°

I.17

Represente na forma \(\alpha+k\times360^\circ\), com \(k\in\mathbb{Z}\) e \(-360^\circ\lt\alpha\lt360^\circ\), as seguintes amplitudes de ângulo:

17.1. \(1510^\circ\)17.2. \(-2545^\circ\)17.3. \(-1200^\circ\)17.4. \(3250^\circ\)

17.1

4\lt\dfrac{1510}{360}\lt5,

1510-4\times360=70\) \(\Rightarrow\ 1510^\circ=70^\circ+4\times360^\circ

17.2

7\lt\dfrac{2545}{360}\lt8,

2545-7\times360=25\) \(\Rightarrow\ -2545^\circ\) \(=-25^\circ-7\times360^\circ

17.3

3\lt\dfrac{1200}{360}\lt4,

1200-3\times360=120\) \(\Rightarrow\ -1200^\circ\) \(=-120^\circ-3\times360^\circ

17.4

9\lt\dfrac{3250}{360}\lt10,

3250-9\times360=10\) \(\Rightarrow\ 3250^\circ=10^\circ+9\times360^\circ

17.1. \(70^\circ+4\times360^\circ\)
17.2. \(-25^\circ-7\times360^\circ\)
17.3. \(-120^\circ-3\times360^\circ\)
17.4. \(10^\circ+9\times360^\circ\)

18. O ponteiro dos minutos

I.18

Um relógio marca \(7\) horas da manhã de um certo dia.

18.1. Que horas serão depois de o ponteiro dos minutos descrever um ângulo de amplitude \(-1230^\circ\)?

18.2. Qual será a amplitude do ângulo descrito pelo ponteiro dos minutos quando o relógio marcar, pela primeira vez, 15:35?

O ponteiro dos minutos

O ponteiro roda no sentido dos ponteiros do relógio, isto é, no sentido negativo. Numa hora dá uma volta completa (\(-360^\circ\)); em cada minuto descreve \(-360^\circ:60=-6^\circ\).

18.1

-1230^\circ\) \(=-150^\circ-3\times360^\circ

O ponteiro dá três voltas completas (\(3\) horas) e ainda descreve \(-150^\circ\), que correspondem a \(150:6=25\) minutos. Passaram \(3\) h \(25\) min depois das \(7\) h.

18.1. Serão 10:25.

18.2

Das 7:00 às 15:35 passam \(8\) horas e \(35\) minutos:

-8\times360^\circ+35\times(-6^\circ)\) \(=-2880^\circ-210^\circ\) \(=-3090^\circ

18.2. \(-3090^\circ\)

19. Rotações num papagaio inscrito

I.19

Na figura está representado um papagaio \([ABCD]\) inscrito na circunferência de centro \(O\). Sabe-se que \(\overset{\frown}{BD}=80^\circ\).

Papagaio ABCD inscrito numa circunferência de centro O, com a diagonal AC a passar por O

Considere a rotação de centro \(O\) e amplitude \(\alpha\). Das seguintes opções, qual pode ser a amplitude de \(\alpha\), sabendo que:

19.1. a imagem de \(B\) é \(A\)?

(A) \(-220^\circ\)(B) \(280^\circ\)(C) \(180^\circ\)(D) \(-140^\circ\)

19.2. a imagem de \(D\) é \(B\)?

(A) \(440^\circ\)(B) \(-800^\circ\)(C) \(-1000^\circ\)(D) \(500^\circ\)

Arcos da circunferência

O eixo de simetria do papagaio, \(AC\), passa pelo centro \(O\), logo \([AC]\) é um diâmetro. Por simetria, \(\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=80^\circ:2=40^\circ\), e cada um dos arcos \(AB\) e \(DA\) (que não contêm \(C\)) mede \(180^\circ-40^\circ=140^\circ\).

19.1 - De B para A

No sentido negativo, \(B\) chega a \(A\) percorrendo o arco \(AB\): \(-140^\circ\) (no sentido positivo seriam \(220^\circ\)). A opção (A), \(-220^\circ\equiv140^\circ\), não serve.

19.1. Opção (D).

19.2 - De D para B

No sentido negativo, \(D\) chega a \(B\) passando por \(C\): \(-80^\circ\). Procura-se uma amplitude da forma \(-80^\circ+k\times360^\circ\):

440^\circ\equiv80^\circ

-800^\circ=-80^\circ-2\times360^\circ

-1000^\circ\equiv80^\circ

500^\circ\equiv140^\circ

19.2. Opção (B).

20. Rotação de 1935° num octógono regular

I.20

Na figura está representado um octógono regular inscrito numa circunferência de centro \(O\).

Octógono regular ABCDEFGH com A à direita e C em cima

Qual é a imagem do ponto \(C\) pela rotação de centro \(O\) e amplitude \(1935^\circ\)?

(A) \(E\)(B) \(A\)(C) \(F\)(D) \(H\)

Retirar as voltas completas

\(1935:360=5{,}375;\)

1935-5\times360=135\) \(\Rightarrow\ 1935^\circ=135^\circ+5\times360^\circ

O ângulo ao centro do octógono mede \(360^\circ:8=45^\circ\) e \(135^\circ=3\times45^\circ\). No sentido positivo, a partir de \(C\): \(C\to D\to E\to F\).

Opção (C).

Parte II — Fórmulas trigonométricas

Quadrantes, sinais, coordenadas e redução ao primeiro quadrante

1. Quadrantes

II.1

Considerando o semieixo positivo \(Ox\) como lado origem, indique o quadrante do lado extremidade de cada ângulo.

Circunferência trigonométrica num referencial Oxy

1.1. \(172^\circ\)1.2. \(302^\circ\)1.3. \(742^\circ\)1.4. \(-105^\circ\)1.5. \(-1312^\circ\)1.6. \(-616^\circ\)1.7. \(-1441^\circ\)1.8. \(1500^\circ\)

Ângulo	Amplitude reduzida	Quadrante
\(172^\circ\)	\(172^\circ\)	2.º
\(302^\circ\)	\(302^\circ\)	4.º
\(742^\circ\)	\(22^\circ\)	1.º
\(-105^\circ\)	\(255^\circ\)	3.º
\(-1312^\circ\)	\(128^\circ\)	2.º
\(-616^\circ\)	\(104^\circ\)	2.º
\(-1441^\circ\)	\(359^\circ\)	4.º
\(1500^\circ\)	\(60^\circ\)	1.º

2. Sinal de expressões trigonométricas

II.2

Determine o sinal do número representado por cada expressão.

2.1. \(\cos100^\circ-\sin470^\circ\)

2.2. \(\tan(-1100^\circ)\cos(-730^\circ)\)

2.3. \(\tan(-120^\circ)+\cos(-40^\circ)\)

2.4. \(\dfrac{\sin(-1280^\circ)\tan^2(-600^\circ)}{\cos(-420^\circ)}\)

2.1

\(\cos100^\circ<0\) e \(\sin470^\circ=\sin110^\circ>0\). A diferença é negativa.

2.2

\(-1100^\circ\equiv-20^\circ\), logo a tangente é negativa; \(-730^\circ\equiv-10^\circ\), logo o cosseno é positivo. O produto é negativo.

2.3

\(-120^\circ\) está no 3.º quadrante, onde a tangente é positiva; \(\cos(-40^\circ)>0\). A soma é positiva.

2.4

\(\sin(-1280^\circ)=\sin160^\circ>0\), \(\tan^2(-600^\circ)>0\) e \(\cos(-420^\circ)=\cos(-60^\circ)>0\).

2.1. Negativo; 2.2. Negativo; 2.3. Positivo; 2.4. Positivo.

3. Tangente e coordenadas

II.3

Na circunferência trigonométrica, \(A=(1,0)\), a reta \(r\) é tangente em \(A\), \([PQ]\) é um diâmetro, \(\widehat{AOP}=150^\circ\) e \(T\) é a interseção de \(PQ\) com \(r\).

Circunferência trigonométrica com diâmetro PQ e tangente no ponto A

3.1. Determine as coordenadas de \(P\) e \(T\).

3.2. Determine o valor exato de \(QT\).

3.1 - Coordenadas

P=(\cos150^\circ,\sin150^\circ)\) \(=\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12\right)

Na reta tangente \(x=1\), a ordenada é a tangente do ângulo:

T=(1,\tan150^\circ)\) \(=\left(1,-\dfrac{\sqrt3}{3}\right)

3.2 - Comprimento QT

Como \(P\), \(Q\) e \(T\) são colineares e \(PQ=2\), calcula-se \(PT\) e subtrai-se o diâmetro.

QT=PT-PQ\) \(=\dfrac{2\sqrt3-3}{3}

\(P\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12\right)\), \(T\left(1,-\dfrac{\sqrt3}{3}\right)\) e \(QT=\dfrac{2\sqrt3-3}{3}\).

4. Valores exatos

II.4

Determine o valor exato de cada expressão.

4.1. \(\left[\sin(-1845^\circ)-2\cos(-765^\circ)\right]^2\) \({}-\tan1125^\circ\)

4.2. \(\sin(-1650^\circ)\) \({}+3\cos840^\circ-\sin2970^\circ\)

4.3. \(\dfrac{\sin(-2220^\circ)-\tan(-210^\circ)}{\tan(-240^\circ)-\cos1260^\circ}\)

4.4. \(\left[\cos(-405^\circ)-\tan585^\circ\right]\) \(\left[\sin2565^\circ+\cos(-405^\circ)\right]\)

4.1

\left[-\dfrac{\sqrt2}{2}-2\dfrac{\sqrt2}{2}\right]^2-1\) \(=\left(-\dfrac{3\sqrt2}{2}\right)^2-1=\dfrac72

4.2

\sin150^\circ+3\cos120^\circ\) \({}-\sin90^\circ\) \(=\dfrac12-\dfrac32-1=-2

4.3

\dfrac{-\sqrt3/2+\sqrt3/3}{-\sqrt3+1}\) \(=\dfrac{\sqrt3+3}{12}\) \(=\dfrac{\sqrt3}{12}+\dfrac14

4.4

\left(\dfrac{\sqrt2}{2}-1\right) \left(\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\) \(=\left(\dfrac{\sqrt2}{2}-1\right)\sqrt2\) \(=1-\sqrt2

4.1. \(\dfrac72\); 4.2. \(-2\); 4.3. \(\dfrac{\sqrt3}{12}+\dfrac14\); 4.4. \(1-\sqrt2\).

5. Pontos e razões trigonométricas

II.5

Na circunferência trigonométrica, \(A=(1,0)\), \(r\) é tangente em \(A\), \([PQ]\) e \([RS]\) são diâmetros, \(\widehat{AOP}=30^\circ\) e \(\widehat{AOR}=150^\circ\). As retas \(PQ\) e \(RS\) intersetam \(r\) em \(M\) e \(N\).

Circunferência trigonométrica com dois diâmetros e uma reta tangente

5.1. Determine as coordenadas de \(P\), \(M\) e \(Q\).

5.2. Determine \(\sin210^\circ\) e \(\cos210^\circ\).

5.3. Determine as coordenadas de \(R\).

5.4. Determine \(\sin330^\circ\) e \(\cos330^\circ\).

5.5. Determine as coordenadas de \(N\).

5.1

P=\left(\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12\right)

M=\left(1,\dfrac{\sqrt3}{3}\right)

Q=\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},-\dfrac12\right)

5.2

O ponto \(Q\) corresponde ao ângulo \(210^\circ\).

\sin210^\circ\) \(=-\dfrac12

\cos210^\circ\) \(=-\dfrac{\sqrt3}{2}

5.3

R=(\cos150^\circ,\sin150^\circ)\) \(=\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12\right)

5.4

\sin330^\circ\) \(=-\dfrac12

\cos330^\circ\) \(=\dfrac{\sqrt3}{2}

5.5

N=\left(1,-\dfrac{\sqrt3}{3}\right)

6. Quadrantes de ângulos generalizados I

II.6

Indique o quadrante a que pertencem os ângulos de amplitudes:

6.1. \(500^\circ\)6.2. \(-205^\circ\)6.3. \(1660^\circ\)6.4. \(-1450^\circ\)

Retirar as voltas completas

500^\circ=140^\circ+360^\circ\colon\) \(90^\circ\lt140^\circ\lt180^\circ\) \(\to2.^\text{o}\text{ Q}

-205^\circ\colon\) \(-270^\circ\lt-205^\circ\lt-180^\circ\) \((-205^\circ\equiv155^\circ)\) \(\to2.^\text{o}\text{ Q}

1660^\circ=220^\circ+4\) \({}\times360^\circ\colon\) \(180^\circ\lt220^\circ\lt270^\circ\) \(\to3.^\text{o}\text{ Q}

-1450^\circ\) \(=-10^\circ-4\times360^\circ\colon\) \(-90^\circ\lt-10^\circ\lt0^\circ\) \(\to4.^\text{o}\text{ Q}

6.1. 2.º Q
6.2. 2.º Q
6.3. 3.º Q
6.4. 4.º Q

7. Quadrantes de ângulos generalizados II

II.7

Considerando um referencial ortonormado direto do plano, indique o quadrante ao qual pertence um ângulo de amplitude:

7.1. \(790^\circ\)7.2. \(2770^\circ\)7.3. \(-1730^\circ\)7.4. \(-2920^\circ\)

790^\circ=70^\circ+2\times360^\circ\) \(\to1.^\text{o}\text{ Q}

2770^\circ=250^\circ+7\times360^\circ\) \(\to3.^\text{o}\text{ Q}

-1730^\circ\) \(=-290^\circ-4\times360^\circ\) \(\text{ e }\ -290^\circ\equiv70^\circ\) \(\to1.^\text{o}\text{ Q}

-2920^\circ\) \(=-40^\circ-8\times360^\circ\) \(\to4.^\text{o}\text{ Q}

7.1. 1.º Q
7.2. 3.º Q
7.3. 1.º Q
7.4. 4.º Q

8. Sinal do seno e do cosseno

II.8

Indique o sinal de \(\sin\alpha\) e de \(\cos\alpha\), sendo \(\alpha\) o ângulo de amplitude:

8.1. \(100^\circ\)8.2. \(-340^\circ\)8.3. \(-170^\circ\)8.4. \(-700^\circ\)

Identificar o quadrante

No 1.º Q, \(\sin\gt0\) e \(\cos\gt0\); no 2.º Q, \(\sin\gt0\) e \(\cos\lt0\); no 3.º Q, ambos negativos; no 4.º Q, \(\sin\lt0\) e \(\cos\gt0\).

100^\circ\in2.^\text{o}\text{ Q}\colon\) \(\sin\alpha\gt0,\ \cos\alpha\lt0

-340^\circ\equiv20^\circ\in1.^\text{o}\text{ Q}\colon\) \(\sin\alpha\gt0,\ \cos\alpha\gt0

-170^\circ\equiv190^\circ\in3.^\text{o}\text{ Q}\colon\) \(\sin\alpha\lt0,\ \cos\alpha\lt0

-700^\circ=-340^\circ-360^\circ\equiv20^\circ\) \(\in1.^\text{o}\text{ Q}\colon\) \(\sin\alpha\gt0,\ \cos\alpha\gt0

9. Rotação de amplitude −450°

II.9

Na figura está representada, em referencial cartesiano o.n. \(Oxy\), a semirreta \(\dot{O}A\). O semieixo positivo \(Ox\) e a semirreta \(\dot{O}A\) são, respetivamente, os lados origem e extremidade do ângulo orientado \(\alpha\).

Semirreta OA no primeiro quadrante e ângulo alfa

Seja \(B\) o transformado do ponto \(A\) por uma rotação de centro em \(O\) e amplitude \(-450^\circ\).

A que quadrante pertence o ponto \(B\)?

(A) 1.º quadrante(B) 2.º quadrante(C) 3.º quadrante(D) 4.º quadrante

-450^\circ=-90^\circ-360^\circ

A rotação de \(-450^\circ\) tem o mesmo efeito que a rotação de \(-90^\circ\). Como \(0^\circ\lt\alpha\lt90^\circ\), o ponto \(B\) fica no lado extremidade do ângulo de amplitude \(\alpha-90^\circ\in\left]-90^\circ,0^\circ\right[\), ou seja, no 4.º quadrante.

Opção (D).

10. O ângulo α − 270°

II.10

Semirreta OA no segundo quadrante, próxima do eixo Oy, e ângulo alfa

O ângulo orientado \(\beta\) também tem como lado origem o semieixo positivo \(Ox\) e tem amplitude \(\alpha-270^\circ\).

Em qual das opções pode estar representado o lado extremidade do ângulo \(\beta\)?

Semirreta no terceiro quadrante, próxima do semieixo negativo Ox — (A)

Semirreta no quarto quadrante, próxima do semieixo negativo Oy — (B)

Semirreta no primeiro quadrante, próxima do semieixo positivo Ox — (C)

Onde fica o lado extremidade de \(\beta\)

Pela figura, \(90^\circ\lt\alpha\lt180^\circ\), com \(\alpha\) pouco maior do que \(90^\circ\). Então:

-180^\circ\lt\alpha-270^\circ\lt-90^\circ

O lado extremidade de \(\beta\) está no 3.º quadrante. Além disso, \(\alpha-270^\circ=(\alpha+90^\circ)-360^\circ\): o lado extremidade de \(\beta\) obtém-se rodando \(\dot{O}A\) de \(90^\circ\) no sentido positivo. Como \(\dot{O}A\) está próxima do semieixo positivo \(Oy\), o lado extremidade de \(\beta\) fica próximo do semieixo negativo \(Ox\).

Opção (A).

11. O ângulo de amplitude −2025°

II.11

O ângulo de amplitude \(-2025^\circ\) pertence ao:

(A) 1.º quadrante.(B) 2.º quadrante.(C) 3.º quadrante.(D) 4.º quadrante.

-2025^\circ\) \(=-225^\circ-5\times360^\circ

Como \(-270^\circ\lt-225^\circ\lt-180^\circ\) (isto é, \(-225^\circ\equiv135^\circ\)), o ângulo pertence ao 2.º quadrante.

Opção (B).

12. Lado extremidade do ângulo de −1785°

II.12

Em qual das seguintes figuras pode estar representado, no círculo trigonométrico, o lado extremidade do ângulo de amplitude \(-1785^\circ\) cujo lado origem é o semieixo positivo \(Ox\)?

Lado extremidade no primeiro quadrante, perto do semieixo positivo Ox — (A)

Lado extremidade no segundo quadrante, perto do semieixo positivo Oy — (B)

Lado extremidade no quarto quadrante, perto do semieixo positivo Ox — (C)

Lado extremidade no terceiro quadrante, perto do semieixo negativo Ox — (D)

-1785^\circ\) \(=-345^\circ-4\times360^\circ

-345^\circ\equiv15^\circ

O lado extremidade é o mesmo do ângulo de \(15^\circ\): está no 1.º quadrante, próximo do semieixo positivo \(Ox\).

Opção (A).