Ângulo Orientado e Ângulo Generalizado

Circunferência trigonométrica e fórmulas trigonométricas

Matemática A - 11.º ano - Novo Programa 2025 - matematicaparatodos.pt

Parte I — Ângulos orientados e generalizados

Rotações, amplitudes, quadrantes e circunferência trigonométrica

1. Círculo dividido em setores

I.1

Um círculo está dividido em oito setores iguais, numerados como na figura. Uma seta parte da posição \(0\) e pode rodar nos sentidos positivo ou negativo.

Círculo dividido em oito setores numerados

1.1. A seta parou no setor 5. Indique uma possível representação do ângulo generalizado.

1.2. Identifique o setor indicado por um ângulo orientado de amplitude \(-1750^\circ\).

1.1 - Amplitude de cada setor
\(360^\circ:8=45^\circ\)

O setor 5 corresponde, por exemplo, a amplitudes entre \(-135^\circ\) e \(-90^\circ\).

Uma representação possível é \((-130^\circ,-2)\).
1.2 - Reduzir a amplitude
\(-1750^\circ=50^\circ-5\times360^\circ\)

O lado extremidade coincide com o de \(50^\circ\).

A seta termina no setor 1.

2. Rotações num pentágono regular

I.2

No pentágono regular \([ABCDE]\), o perímetro é \(30\) e \(F\) é a interseção das diagonais \([CE]\) e \([AD]\).

Pentágono regular ABCDE com diagonais concorrentes em F

2.1. Determine o perímetro do triângulo \([EAF]\), arredondado às décimas.

2.2. Determine a imagem de \(A\) pela rotação \(R_{(O,\alpha)}\), se:

a) \(\alpha=1224^\circ\)    b) \(\alpha=-792^\circ\)

2.1 - Ângulos e comprimentos
\(AE=\dfrac{30}{5}=6,\qquad \dfrac{360^\circ}{5}=72^\circ\)

No triângulo isósceles \(AEF\), obtém-se \(AF=6\) e \(EF=12\cos72^\circ\).

\(P_{[EAF]}=6+6+12\cos72^\circ\approx15{,}7\)
O perímetro é, aproximadamente, \(15{,}7\).
2.2 - Rotações equivalentes
\(1224^\circ=144^\circ+3\times360^\circ\Rightarrow R(A)=C\)
\(-792^\circ=-72^\circ-2\times360^\circ\Rightarrow R(A)=E\)
a) \(C\)    b) \(E\)

3. Razões trigonométricas de ângulos generalizados

I.3

Escreva cada amplitude na forma \(\alpha+k\times360^\circ\), com \(-360^\circ<\alpha<360^\circ\), e determine as razões trigonométricas.

a) \(1125^\circ\)    b) \(-1830^\circ\)    c) \(2580^\circ\)

a) 1125 graus
\(1125^\circ=45^\circ+3\times360^\circ\)
\(\sin=\dfrac{\sqrt2}{2},\quad\cos=\dfrac{\sqrt2}{2},\quad\tan=1\)
b) -1830 graus
\(-1830^\circ=-30^\circ-5\times360^\circ\)
\(\sin=-\dfrac12,\quad\cos=\dfrac{\sqrt3}{2},\quad\tan=-\dfrac{\sqrt3}{3}\)
c) 2580 graus
\(2580^\circ=60^\circ+7\times360^\circ\)
\(\sin=\dfrac{\sqrt3}{2},\quad\cos=\dfrac12,\quad\tan=\sqrt3\)

4. Coordenadas na circunferência trigonométrica

I.4

Na circunferência trigonométrica, a semirreta \(OP\) é o lado extremidade do ângulo de amplitude \(2040^\circ\). Determine as coordenadas de \(P\).

Ponto P no terceiro quadrante da circunferência trigonométrica
\(2040^\circ=240^\circ+5\times360^\circ\)
\(P=(\cos240^\circ,\sin240^\circ) =\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\)
\(P\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\)

5. Quadrantes e sinais

I.5

Considere os ângulos \(193^\circ\), \(269^\circ\), \(302^\circ\), \(45^\circ\), \(-200^\circ\), \(1450^\circ\), \(2633^\circ\) e \(-1080^\circ\).

5.1. Indique o quadrante do lado extremidade.

5.2. Indique o sinal do seno e do cosseno e identifique os ângulos cuja tangente é positiva.

ÂnguloReduzidoPosição\(\sin\)\(\cos\)\(\tan>0\)?
\(193^\circ\)\(193^\circ\)3.º Q\(-\)\(-\)Sim
\(269^\circ\)\(269^\circ\)3.º Q\(-\)\(-\)Sim
\(302^\circ\)\(302^\circ\)4.º Q\(-\)\(+\)Não
\(45^\circ\)\(45^\circ\)1.º Q\(+\)\(+\)Sim
\(-200^\circ\)\(160^\circ\)2.º Q\(+\)\(-\)Não
\(1450^\circ\)\(10^\circ\)1.º Q\(+\)\(+\)Sim
\(2633^\circ\)\(113^\circ\)2.º Q\(+\)\(-\)Não
\(-1080^\circ\)\(0^\circ\)Semieixo \(Ox^+\)\(0\)\(+\)Não
A tangente é positiva para \(193^\circ\), \(269^\circ\), \(45^\circ\) e \(1450^\circ\).

6. Pares de um ângulo generalizado

I.6

Determine o quadrante do lado extremidade de cada ângulo generalizado.

6.1. \((30^\circ,2)\)   6.2. \((120^\circ,5)\)

6.3. \((-120^\circ,-5)\)   6.4. \((-45^\circ,-2)\)

O número de voltas completas não altera o lado extremidade; basta observar a primeira componente.

6.1. 1.º Q   6.2. 2.º Q   6.3. 3.º Q   6.4. 4.º Q

7. Rotações num octógono regular

I.7

No octógono regular \([ABCDEFGH]\), inscrito numa circunferência de centro \(O\), considere \(OA\) como lado origem.

Octógono regular ABCDEFGH

7.1. Indique o lado extremidade de: a) \((225^\circ,2)\); b) \((-135^\circ,-3)\).

7.2. Indique o lado extremidade das amplitudes: a) \(1575^\circ\); b) \(-1170^\circ\).

Entre vértices consecutivos há uma rotação de \(360^\circ:8=45^\circ\).

\(225^\circ=5\times45^\circ\Rightarrow OF\)
\(-135^\circ\equiv225^\circ\pmod{360^\circ}\Rightarrow OF\)
\(1575^\circ=135^\circ+4\times360^\circ\Rightarrow OD\)
\(-1170^\circ=-90^\circ-3\times360^\circ\Rightarrow OG\)
7.1. a) \(OF\), b) \(OF\).   7.2. a) \(OD\), b) \(OG\).

8. Transformados por rotações

I.8

O triângulo \([ACE]\) e o quadrado \([ABDF]\) estão inscritos numa circunferência de centro \(O\).

Triângulo ACE e quadrado ABDF inscritos numa circunferência

Determine o transformado de \(A\) pela rotação de centro \(O\) e amplitude:

8.1. \(1170^\circ\)8.2. \(900^\circ\)8.3. \(600^\circ\)8.4. \(-1530^\circ\)8.5. \(-840^\circ\)8.6. \(-1080^\circ\)
\(1170^\circ\equiv90^\circ\Rightarrow A\mapsto B\)
\(900^\circ\equiv180^\circ\Rightarrow A\mapsto D\)
\(600^\circ\equiv240^\circ\Rightarrow A\mapsto E\)
\(-1530^\circ\equiv-90^\circ\Rightarrow A\mapsto F\)
\(-840^\circ\equiv-120^\circ\Rightarrow A\mapsto E\)
\(-1080^\circ\equiv0^\circ\Rightarrow A\mapsto A\)
8.1. \(B\); 8.2. \(D\); 8.3. \(E\); 8.4. \(F\); 8.5. \(E\); 8.6. \(A\).

9. Rotação num triângulo

I.9

No triângulo \([ABC]\), \(AB=AC=5\) cm e \(BC=5\sqrt3\) cm. Uma rotação de centro \(A\) transforma \(C\) em \(B\).

Triângulo isósceles ABC com lados 5, 5 e 5 raiz de 3

Indique dois valores possíveis para a amplitude do ângulo orientado.

Lei dos cossenos
\(\cos\widehat{BAC}=\dfrac{5^2+5^2-(5\sqrt3)^2}{2\times5\times5} =-\dfrac12\)
\(\widehat{BAC}=120^\circ\)

Para levar \(C\) a \(B\), pode rodar-se \(120^\circ\) no sentido negativo ou \(240^\circ\) no sentido positivo.

\(\alpha=-120^\circ\) ou \(\alpha=240^\circ\).

Parte II — Fórmulas trigonométricas

Quadrantes, sinais, coordenadas e redução ao primeiro quadrante

1. Quadrantes

II.1

Considerando o semieixo positivo \(Ox\) como lado origem, indique o quadrante do lado extremidade de cada ângulo.

Circunferência trigonométrica num referencial Oxy
1.1. \(172^\circ\)1.2. \(302^\circ\)1.3. \(742^\circ\)1.4. \(-105^\circ\)1.5. \(-1312^\circ\)1.6. \(-616^\circ\)1.7. \(-1441^\circ\)1.8. \(1500^\circ\)
ÂnguloAmplitude reduzidaQuadrante
\(172^\circ\)\(172^\circ\)2.º
\(302^\circ\)\(302^\circ\)4.º
\(742^\circ\)\(22^\circ\)1.º
\(-105^\circ\)\(255^\circ\)3.º
\(-1312^\circ\)\(128^\circ\)2.º
\(-616^\circ\)\(104^\circ\)2.º
\(-1441^\circ\)\(359^\circ\)4.º
\(1500^\circ\)\(60^\circ\)1.º

2. Sinal de expressões trigonométricas

II.2

Determine o sinal do número representado por cada expressão.

2.1. \(\cos100^\circ-\sin470^\circ\)

2.2. \(\tan(-1100^\circ)\cos(-730^\circ)\)

2.3. \(\tan(-120^\circ)+\cos(-40^\circ)\)

2.4. \(\dfrac{\sin(-1280^\circ)\tan^2(-600^\circ)}{\cos(-420^\circ)}\)

2.1

\(\cos100^\circ<0\) e \(\sin470^\circ=\sin110^\circ>0\). A diferença é negativa.

2.2

\(-1100^\circ\equiv-20^\circ\), logo a tangente é negativa; \(-730^\circ\equiv-10^\circ\), logo o cosseno é positivo. O produto é negativo.

2.3

\(-120^\circ\) está no 3.º quadrante, onde a tangente é positiva; \(\cos(-40^\circ)>0\). A soma é positiva.

2.4

\(\sin(-1280^\circ)=\sin160^\circ>0\), \(\tan^2(-600^\circ)>0\) e \(\cos(-420^\circ)=\cos(-60^\circ)>0\).

2.1. Negativo; 2.2. Negativo; 2.3. Positivo; 2.4. Positivo.

3. Tangente e coordenadas

II.3

Na circunferência trigonométrica, \(A=(1,0)\), a reta \(r\) é tangente em \(A\), \([PQ]\) é um diâmetro, \(\widehat{AOP}=150^\circ\) e \(T\) é a interseção de \(PQ\) com \(r\).

Circunferência trigonométrica com diâmetro PQ e tangente no ponto A

3.1. Determine as coordenadas de \(P\) e \(T\).

3.2. Determine o valor exato de \(QT\).

3.1 - Coordenadas
\(P=(\cos150^\circ,\sin150^\circ) =\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12\right)\)

Na reta tangente \(x=1\), a ordenada é a tangente do ângulo:

\(T=(1,\tan150^\circ)=\left(1,-\dfrac{\sqrt3}{3}\right)\)
3.2 - Comprimento QT

Como \(P\), \(Q\) e \(T\) são colineares e \(PQ=2\), calcula-se \(PT\) e subtrai-se o diâmetro.

\(QT=PT-PQ=\dfrac{2\sqrt3-3}{3}\)
\(P\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12\right)\), \(T\left(1,-\dfrac{\sqrt3}{3}\right)\) e \(QT=\dfrac{2\sqrt3-3}{3}\).

4. Valores exatos

II.4

Determine o valor exato de cada expressão.

4.1. \(\left[\sin(-1845^\circ)-2\cos(-765^\circ)\right]^2-\tan1125^\circ\)

4.2. \(\sin(-1650^\circ)+3\cos840^\circ-\sin2970^\circ\)

4.3. \(\dfrac{\sin(-2220^\circ)-\tan(-210^\circ)}{\tan(-240^\circ)-\cos1260^\circ}\)

4.4. \(\left[\cos(-405^\circ)-\tan585^\circ\right]\left[\sin2565^\circ+\cos(-405^\circ)\right]\)

4.1
\(\left[-\dfrac{\sqrt2}{2}-2\dfrac{\sqrt2}{2}\right]^2-1 =\left(-\dfrac{3\sqrt2}{2}\right)^2-1=\dfrac72\)
4.2
\(\sin150^\circ+3\cos120^\circ-\sin90^\circ =\dfrac12-\dfrac32-1=-2\)
4.3
\(\dfrac{-\sqrt3/2+\sqrt3/3}{-\sqrt3+1} =\dfrac{\sqrt3+3}{12} =\dfrac{\sqrt3}{12}+\dfrac14\)
4.4
\(\left(\dfrac{\sqrt2}{2}-1\right) \left(\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\right) =\left(\dfrac{\sqrt2}{2}-1\right)\sqrt2=1-\sqrt2\)
4.1. \(\dfrac72\); 4.2. \(-2\); 4.3. \(\dfrac{\sqrt3}{12}+\dfrac14\); 4.4. \(1-\sqrt2\).

5. Pontos e razões trigonométricas

II.5

Na circunferência trigonométrica, \(A=(1,0)\), \(r\) é tangente em \(A\), \([PQ]\) e \([RS]\) são diâmetros, \(\widehat{AOP}=30^\circ\) e \(\widehat{AOR}=150^\circ\). As retas \(PQ\) e \(RS\) intersetam \(r\) em \(M\) e \(N\).

Circunferência trigonométrica com dois diâmetros e uma reta tangente

5.1. Determine as coordenadas de \(P\), \(M\) e \(Q\).

5.2. Determine \(\sin210^\circ\) e \(\cos210^\circ\).

5.3. Determine as coordenadas de \(R\).

5.4. Determine \(\sin330^\circ\) e \(\cos330^\circ\).

5.5. Determine as coordenadas de \(N\).

5.1
\(P=\left(\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12\right),\quad M=\left(1,\dfrac{\sqrt3}{3}\right),\quad Q=\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},-\dfrac12\right)\)
5.2

O ponto \(Q\) corresponde ao ângulo \(210^\circ\).

\(\sin210^\circ=-\dfrac12,\qquad \cos210^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)
5.3
\(R=(\cos150^\circ,\sin150^\circ) =\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12\right)\)
5.4
\(\sin330^\circ=-\dfrac12,\qquad \cos330^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\)
5.5
\(N=\left(1,-\dfrac{\sqrt3}{3}\right)\)