Sucessões - Progressões | Matemática A

Progressões Aritméticas e Geométricas

Termo geral de progressões aritméticas

Determine o termo geral de cada uma das seguintes progressões aritméticas:
1.1 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , ...
1.2 −4 , −7 , −10 , −13 , −16 , ...
1.3
1
3 ,
4
3 ,
7
3 ,
10
3 ,
13
3 , ...

Determine o termo geral de cada uma das seguintes progressões aritméticas:
1.1 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , ...
5n
1.2 −4 , −7 , −10 , −13 , −16 , ...
A razão é −3, então o termo geral é: −4 − 3(n − 1) = −3n − 1

1.3
1
3 ,
4
3 ,
7
3 ,
10
3 ,
13
3 , ...
A razão é u2 − u1 =
4
3 −
1
3 = 1
O termo geral é:
1
3 + 1 × (n − 1) = n −
2
3

PA com primeiro termo e razão

De uma progressão aritmética an , sabe-se a1 = 5 e que r = 2 .
2.1 Calcule a10 e a29
2.2 Escreva o termo geral da sucessão
2.3 Calcule a soma dos termos compreendidos entre a10 e a29 (inclusive).

De uma progressão aritmética an , sabe-se a1 = 5 e que r = 2 .
2.1 Calcule a10 e a29
a10 = a1 + r × (10 − 1) = 5 + 18 = 23
a29 = a1 + r × (29 − 1) = 5 + 56 = 61

2.2 Escreva o termo geral da sucessão
an = a1 + r(n − 1) = 5 + 2(n − 1) = 2n + 3

2.3 Calcule a soma dos termos compreendidos entre a10 e a29 (inclusive).
S = a10 + a11+. . . +a29 =
a10+a29
2 × 20 = 840

PA com primeiro termo e razão fracionária

A sucessão an é uma progressão aritmética da qual se conhece os o primeiro termo e a razão:
a1 = 3
2 ; r = − 1
2
Calcule a7 , a20 e a50 .

A sucessão an é uma progressão aritmética da qual se conhece os o primeiro termo e a razão:
a1 = 3
2 ; r = − 1
2
Calcula a7 , a20 e a50 .
a7 =
3
2 −
1
2 × 6 = −
3
2 a20 =
3
2 −
1
2 × 19 = −8 a50 =
3
2 −
1
2 × 49 = −23

Duas sucessões aritméticas

Considere as sucessões an e bn definidas como se segue:
an =
2−4n
3 e {
b1 = 2
bn+1 = bn −
3
2 , ∀n ∈ IN

4.1 Mostre que as sucessões an e bn são progressões aritméticas.
4.2 Determine o primeiro termo e a razão das progressões aritméticas an e bn .
4.3 Estude a monotonia das progressões .

Considere as sucessões an e bn definidas como se segue:
an =
2−4n
3 e {
b1 = 2
bn+1 = bn −
3
2 , ∀n ∈ IN

4.1 Mostre que as sucessões an e bn são progressões aritméticas.
an+1 − an =
2−4(n+1)
3 −
2−4n
3 =
2−4n−4−2+4n
3 = −
4
3
bn+1 − bn = −
3
2

4.2 Determine o primeiro termo e a razão das progressões aritméticas an e bn .
a1 =
2−4
3 = −
2
3 e r = −
4
3
b1 = 2 e r = −
3
2

4.3 Estude a monotonia das progressões .
an , é decrescente , uma vez que an+1 − an < 0 , de 4.1
bn , é decrescente, uma vez que bn+1 − bn < 0 , de 4.1

Razão e termo geral

Determine a razão e o termo geral de uma progressão aritmética un , sabendo que:
5.1 u1 = 15 e u12 = 169
5.2 u1 = 5 e u10 + u15 = 102
5.3 u1 + u2+. . . +u20 = 420 e u10 − u11 = −2

Determine a razão e o termo geral de uma progressão aritmética un , sabendo que:
5.1 u1 = 15 e u12 = 169
Razão: u12 = u1 + r(12 − 1) ⇔ 169 = 15 + 11r ⇔ r =
169−15
11 ⇔ r = 14
Termo geral: un = 15 + 14(n − 1) ⇔ un = 15 + 14n − 14 ⇔ un = 14n + 1

5.2 u1 = 5 e u10 + u15 = 102
Razão: u10 + u15 = 102 ⇔ u1 + r(10 − 1) + u1 + r(15 − 1) = 102
⇔ 2u1 + 23r = 102 ⇔ r =
102−2u1
23 ⇔ r =
102−10
23 ⇔ r = 4
Termo geral: un = 5 + 4(n − 1) ⇔ un = 5 + 4n − 1 ⇔ un = 4n + 1

5.3 u1 + u2+. . . +u20 = 420 e u10 − u11 = −2
Razão: u10 − u11 = −2 ⇔ u11 − u10 = 2 , r = 2
{
s20 = 420
u20 = u1 + 19r
⇔ {
u1+u20
2 × 20 = 420
u20 = u1 + 38
⇔ {
u1 + u20 = 42
u20 = u1 + 38
⇔ {
u1 = 42 − u20
u20 = 42 − u20 + 38
⇔
{
u1 = 42 − u20
2u20 = 80
⇔ {
u1 = 42 − 40
u20 = 40
⇔ {
u1 = 2
u20 = 40

Termo geral: un = 2 + 2(n − 1) ⇔ un = 2 + 2n − 2 ⇔ un = 2n

Somas aritméticas

Calcule o valor de S , sendo:
6.1 S = 2 + 4 + 6+. . . +100 6.2 S = 100 + 101 + 102+. . . +109

Calcule o valor de S , sendo:
6.1 S = 2 + 4 + 6+. . . +100 6.2 S = 100 + 101 + 102+. . . +109
Soma dos 50 primeiros termos pares Soma dos 10 números inteiros consecutivos
S =
2+100
2 × 50=2550 De 100 a 109.
S =
100+109
2 × 10 = 1045

Soma dos dezoito primeiros termos

Numa progressão aritmética un , u5 = 2 e u10 = 26 .
Determine a soma dos dezoito primeiros termos da progressão.

Numa progressão aritmética un , u5 = 2 e u10 = 26 .
Determine a soma dos dezoito primeiros termos da progressão.
u10 = u5 + 5r ⇔ r =
u10−u5
5 ⇔ r =
26−2
5 = 4, 8
u5 = u1 + 4r ⇔ u1 = u5 − 4r ⇔ u1 = 2 − 4 × 4, 8 ⇔ r = −17, 2
u18 = u10 + 8r = 26 + 8 × 4, 8 = 64, 4
S18 =
u1+u18
2 × 18 =
−17,2+64,4
2 × 18 = 424, 8

Primeiro termo e termo geral

A soma dos 60 primeiros termos consecutivos de uma progressão aritmética é 240 e a razão é 4 .
8.1 Calcule o primeiro termo .
8.2 Escreva a expressão do termo de ordem n .

A soma dos 60 primeiros termos consecutivos de uma progressão aritmética é 240 e a razão é 4 .
8.1 Calcule o primeiro termo .
un = u1 + 4(n − 1)
S60 = 240 ⇔
u1+u60
2 × 60 = 240 ⇔ u1 + u60 = 8
{u60 = u1 + 4 × 59
u1 + u60 = 8 ⇔ {u60 = u1 + 236
u1 = 8 − u60 ⇔ {u60 = 8 − u60 + 236
u1 = 8 − u60 ⇔ {2u60 = 244
u1 = 8 − u60 ⇔
{u60 = 122
u1 = 8 − 122 ⇔ {u60 = 122
u1 = −114

8.2 Escreva a expressão do termo de ordem n .
un = −114 + 4n − 4 = 4n − 118

Condições numa PA

De uma progressão aritmética un sabe-se que u5 + u9 = 32 e que u17 − u13 = 12 .
9.1 Determine o primeiro termo e a razão da progressão.
9.2 Indique a expressão do termo geral.
9.3 A soma dos n primeiros termos consecutivos da progressão aritmética é 174.
Determine o valor de n.

De uma progressão aritmética un sabe-se que u5 + u9 = 32 e que u17 − u13 = 12 .
9.1 Determine o primeiro termo e a razão da progressão.
{u5 + u9 = 32
u17 − u13 = 12 ⇔ {u1 + 4r + u1 + 8r = 32
u1 + 16r − u1 − 12r = 12 ⇔
{2u1 + 12r = 32
4r = 12 ⇔ {2u1 + 12 × 3 = 32
r = 3 ⇔
{2u1 = −4
r = 3 ⇔ {u1 = −2
r = 3

9.2 Indique a expressão do termo geral.
un = −2 + 3n − 3 = 3n − 5

9.3 A soma dos n primeiros termos consecutivos da progressão aritmética é 174.
Determine o valor de n.
sn =
u1+un
2 × n ⇔
u1+un
2 × n = 174 ⇔ (−2 + 3n − 5)n = 348 ⇔ 3n2 − 7n − 348 = 0 ⇔
n = 12 ∨ n = −
29
3
Como n ∈ IN, n = 12

10.

Repovoamento florestal

Numa determinada região atingida por fogos florestais, as entidades ambientais projetam um
repovoamento com 10 080 árvores de forma progressiva , isto é, no primeiro ano pretende -se plantar 80
árvores e, nos anos seguintes , plantar -se-á mais 40 árvores do que no ano anterior.
Quantos anos serão necessários para implementar completamente o projeto? Justifique a resposta.
O número de árvores a plantar anualmente aumenta em progressão aritmética, cujo primeiro termo é
a1 = 80 e a razão é 40.
O termo geral desta progressão aritmética é an = a1 + r(n − 1) = 80 + 40n − 40 = 40n + 40
Como se pretende plantar um total de 10 080, tem-se:
Sn =
a1+an
2 × n ⇔
80+40n+40
2 × n = 10080 ⇔ 20n2 + 60n − 10080 = 0 ⇔ n = 21 ∨ n = −24
Como n ∈ IN, n = 21
São necessários 21 anos para que o projeto fique completo.

11.

Classificação de sucessões

De entre as seguintes sucessões, definidas pelos seus termos gerais, indi que as que são progressões
aritméticas, progressões geométricas e as que não são progressões.
11.1 an =
3
n
an+1 − an =
3
n+1 −
3
n =
3n−3n−3
n(n+1) =
−3
n(n+1)

an+1
an
=
3
n+1
3
n
=
n
n+1
Como não são constantes, an, não é uma progressão.

11.2 bn = 2n × 5n

bn+1
bn
=
2n+1×5n+1
2n×5n = 2 × 5 = 10
Como ∀n ∈ IN,
bn+1
bn
= 10, então bn é uma progressão geométrica.

11.3 cn = 3n − 7
cn+1 − cn = 3(n + 1) − 7 − 3n + 7 = 3
Como ∀n ∈ IN, cn+1 − cn = 3, então cn é uma progressão aritmética.
11.4 dn = 2 ×
(−1)n
3n

dn+1
dn
=
2×(−1)n+1
3n+1
2×(−1)n
3n
= −
1
3
Como ∀n ∈ IN,
dn+1
dn
= −
1
3, então dn é uma progressão geométrica.

12.

Termos em progressão geométrica

Determine os valores reais de m para os quais os números m − 6 , 12 − m e 4m − 3 são termos
consecutivos de uma progressão geom étrica.

Determine os valores reais de m para os quais os números m − 6 , 12 − m e 4m − 3 são termos
consecutivos de uma progressão geom étrica.
Sendo m − 6 , 12 − m e 4m − 3 termos consecutivos de uma progressão geométrica , então a razão
(quociente) entre o terceiro e o segundo tem de ser igual à razão (quociente) entre o segundo e o
primeiro, isto é,
4m−3
12−m =
12−m
m−6 ⇔ (4m − 3)(m − 6) = (12 − m)2 ⇔ 4m2 − 24m − 3m + 18 = 144 − 24m + m2 ⇔
⇔ 3m2 − 3m − 126 = 0 ⇔ m = 7 ∨ m = −6

13.

Sucessão racional

Considere a sucessão definida por un = 3 +
3
n+2
13.1 Averigue se a progressão é aritmética ou geométrica.
13.2 Determine u1 , u10 e u98 termos da sucessão.
13.3 Averigue se
11
10 é termo da sucessão.
13.4 Mostre que
16
5 é termo da sucessão.
13.5 Mostre que a sucessão é monótona decrescente.
13.6 Determine a ordem p ∈ IN a partir da qual se tem 3 − 0, 01 ≤ un ≤ 3 + 0, 01

Considere a sucessão definida por un = 3 +
3
n+2
13.1 Averigue se a progressão é aritmética ou geométrica.
un+1 − un = 3 +
3
n+3 − 3 −
3
n+2 =
3n+6−3n−9
(n+3)(n+2) =
−3
(n+3)(n+2) , logo não é uma progressão aritmética.

un+1
un
=
3+ 3
n+3
3+ 3
n+2
=
3n+12
n+3
3n+9
n+2
=
(3n+12)(n+2)
(3n+9)(n+3) =
(n+4)(n+2)
(n+3)2 , logo não é uma progressão geométrica

13.2 Determine u1 , u10 e u98 termos da sucessão.
u1 = 3 +
3
3 = 4 ; u10 = 3 +
3
12 =
13
4 ; u98 = 3 +
3
100 =
303
100

13.3 Averigue se
11
10 é termo da sucessão.
un =
11
10 ⇔ 3 +
3
n+2 =
11
10 ⇔
3
n+2 =
11
10 − 3 ⇔
3
n+2 = −
19
10 ⇔
n+2
3 = −
10
19 ⇔ n + 2 = −
30
19 ∧ n ≠ −2 ⇔
⇔ n = −
30
19 − 2 ⇔ n = −
68
19 ∉ IN
Logo,
11
10 não é termo da sucessão

13.4 Mostre que
16
5 é termo da sucessão.
un =
16
5 ⇔ 3 +
3
n+2 =
16
5 ⇔
3
n+2 =
16
5 − 3 ⇔
3
n+2 =
1
5 ⇔
n+2
3 = 5 ∧ n ≠ −2 ⇔ n + 2 = 15 ⇔
⇔ n = 13 ∈ IN
Logo
16
5 é termo da sucessão.

13.5 Mostre que a sucessão é monótona decrescente.
De 13.1 un+1 − un =
−3
(n+3)(n+2) < 0 , ∀n ∈ IN
Portanto a sucessão é monótona decrescente.

13.6 Determine a ordem p ∈ IN a partir da qual se tem 3 − 0, 01 ≤ un ≤ 3 + 0, 01
3 − 0, 01 ≤ un ≤ 3 + 0, 01 ⇔ −0, 01 ≤ un − 3 ≤ 0, 01 ⇔ |un − 3| ≤ 0, 01 ⇔
⇔ |3 +
3
n+2 − 3| ≤
1
100 ⇔ |
3
n+2| ≤
1
100 ⇔
3
n+2 ≤
1
100 ⇔
n+2
3 ≥ 100 ⇔ n + 2 ≥ 300 ⇔ n ≥ 298
Então p = 298

3
n + 2 > 0, ∀∈ IN

14.

Linha de semicircunferências

Linha formada por semicircunferências sucessivas

Na figura está representada uma linha que é formada por semicircunferências.
Para a sua construção, parte -se de uma semicircunferência de raio 4 e as que se seguem têm raio igual a
metade do raio anterior. Admite que a construção continua indefinidamente.

Considera a sucessão, Pn, dos perímetros das circunferências desenhadas.
14.1 Determine os quatro primeiros termos desta sucessão.
P1 =
2π×4
2 = 4π P2 =
2π×2
2 = 2π P3 =
2π×1
2 = π P4 =
2π×1
2
2 =
1
2 π

14.2 Mostre que o termo geral da sucessão , Pn , é Pn = 23−n × π.
r =
Pn+1
Pn
⇔ r =
P2
P1
⇔ r =
2π
4π ⇔ r =
1
2
Assim, Pn = P1 × rn−1 = 4π × (
1
2)
n−1
= 22 × 2−(n−1) × π = 23−n × π , ∀n ∈ IN

14.3 Calcule o comprimento da linha desenhada acima (considerando que a construção continua
indefinidamente).
Seja Sn a soma dos n primeiros termos de Pn
Sn = P1 ×
1−rn
1−r = 4π ×
1−(1
2)
n
1−(1
2)
= 8π [1 − (
1
2)
n
] = 8π − 8π (
1
2)
n

Como a construção continua indefinidamente , à medida que n ⟼ ∞, −8π (
1
2)
n
, vai ficando cada
vez mais perto de 0.
Portanto o comprimento da linha é 8π

15.

Progressão geométrica monótona

De uma progressão geométrica monótona , sabe-se que u5 = 125 e u11 =
1
125
15.1 Escreva uma expressão para o termo geral da progressão.
15.2 Calcule a soma dos doze primeiros termos.

De uma progressão geométrica monótona , sabe-se que u5 = 125 e u11 =
1
125
15.1 Escreva uma expressão para o termo geral da progressão.
un = u1 × rn−1
{u5 = u1 × r5−1
u11 = u1 × r11−1 ⇔ {
125 = u1 × r4
1
125 = u1 × r10 ⇔ {
u1 =
125
r4
1
125 =
125
r4 × r10
⇔ {
u1 =
125
r4
1
15625 = r6
⇔
{
u1 =
125
r4
r = ±√ 1
15625
6 ⇔ {
u1 =
125
(1
5)
4
r =
1
5
⇔ {
u1 = 78125
r =
1
5 ,
Como a progressão é monótona a razão é positiva, r =
1
5
un = 78125 × (
1
5)
n−1

15.2 Calcule a soma dos doze primeiros termos.
S12 = u1 ×
1−rn
1−r = 78125 ×
1−(1
5)
12
1−1
5
= 97656, 2496

16.

PG não monótona

Seja, vn , uma progressão geométrica não monótona em que v3 = 4v1 e v5 = 48 .
16.1 Determine a razão da progressão .
16.2 Determine o termo geral da progressão.
16.3 Determine n ∈ IN tal que 1 − (v1 + v2+. . . +vn) = −2048.

Seja, vn , uma progressão geométrica não monótona em que v3 = 4v1 e v5 = 48 .
16.1 Determine a razão da progressão .

16.2 Determine o termo geral da progressão.

16.3 Determine n ∈ IN tal que 1 − (v1 + v2+. . . +vn) = −2048.

17.

Progressão com razão igual ao primeiro termo

Seja, xn , uma progressão geométrica em que o primeiro termo e a razão são iguais a √5 .
17.1 Determine o termo geral da progressão.
17.2 Seja xp = 625 . Determine o valor de x1 + x2+. . . +xp .
Apresent e a resposta na forma a + b√5 , com a e b naturais.

Seja, xn , uma progressão geométrica em que o primeiro termo e a razão são iguais a √5 .
17.1 Determine o termo geral da progressão.

17.2 Seja xp = 625 . Determine o valor de x1 + x2+. . . +xp .
Apresent e a tua resposta na forma a + b√5 , com a e b naturais.

18.

PA transformada em PG

Seja an, uma progressão aritmética de razão
1
2 e seja bn a sucessão tal que ∀n ∈ IN , bn = 4an
18.1 Justifique que bn é uma progressão geométrica.
18.2 Determine o valor de a1 , sabendo que b1 + b2+. . . +b10 = 16 368 .

Seja an, uma progressão aritmética de razão
1
2 e seja bn a sucessão tal que ∀n ∈ IN , bn = 4an
18.1 Justifique que bn é uma progressão geométrica.

18.2 Determine o valor de a1 , sabendo que b1 + b2+. . . +b10 = 16 368 .

19.

Soma parcial numa PG

Seja un , uma progressão geométrica de razão
1
3 .
Sejam p e q números naturais, com p < q .
Sabe-se que
up
uq
= 243 e que up + up+1+. . . +uq = 91
Determine o valor de up .

20.

Divulgação numa escola

Pela manhã, numa escola com 4095 alunos, um dos alunos diz a outro que a escola irá encerrar no
período da tarde. Este último transmite, dez minutos depois, a notícia a outros dois alunos, e dez minutos
depois, cada aluno tinha contado a outros dois .
Admitindo ser possível que isto se repita sucessivamente no mesmo espaço de tempo , e que os alunos
tenham acesso a esta informação uma única vez, ao fim de 2 horas quantos alunos têm conhecimento
de que a escola irá encerrar no período da tarde? Justifique a tua resposta.

Sendo an o número de alunos que ao fim de 10n minutos passa a saber da informação, tem-se:
an = 1 × 2n−1 = 2n−1 (termo geral da progressão geométrica de razão igual a 2 e primeiro termo igual a 12
.
Ao fim de 2 horas, 120 minutos (10 × 12) , o número de alunos que sabem da informação é igual à soma
dos 12 primeiros termos da progressão geométrica an , ou seja, S12 =
1−212
1−2 = 4095.
Em conclusão, ao fim de 2 horas, todos os alunos da escola têm conhecimento de que a escola irá encerrar
no período da tarde.

21.

Sucessão aritmética por recorrência

Considere a sucessão \((v_n)\) definida por \[ \begin{cases} v_1=4\\ v_{n+1}=v_n-2,\quad n\in\mathbb{N}^+ \end{cases} \] 21.1. Determine os três primeiros termos da sucessão. 21.2. Mostre que \((v_n)\) é uma progressão aritmética de razão \(-2\). 21.3. Escreva o termo geral de \((v_n)\). 21.4. Determine a ordem a partir da qual os termos são inferiores a \(-500\).

21.1. Temos \[ v_1=4,\qquad v_2=4-2=2,\qquad v_3=2-2=0. \] 21.2. Como \[ v_{n+1}=v_n-2 \iff v_{n+1}-v_n=-2, \] a diferença entre termos consecutivos é constante. Logo, \((v_n)\) é uma progressão aritmética de razão \(-2\). 21.3. Assim, \[ v_n=v_1+(n-1)r=4+(n-1)(-2)=6-2n. \] 21.4. Pretende-se \[ 6-2n<-500 \iff -2n<-506 \iff n>253. \] Portanto, os termos são inferiores a \(-500\) a partir da ordem \(254\).

22.

PA de termo geral 3-5n

Considere a sucessão \((u_n)\) definida por \[ u_n=3-5n. \] 22.1. Determine os três primeiros termos da sucessão. 22.2. Mostre que \((u_n)\) é uma progressão aritmética e indique a respetiva razão. 22.3. Quantos termos da progressão pertencem ao intervalo \([-200,-100]\)?

22.1. Calculando: \[ u_1=3-5=-2,\qquad u_2=3-10=-7,\qquad u_3=3-15=-12. \] 22.2. Tem-se \[ u_{n+1}-u_n=[3-5(n+1)]-(3-5n)=-5. \] Logo, \((u_n)\) é uma progressão aritmética de razão \(-5\). 22.3. Queremos \[ -200\le 3-5n\le -100. \] Assim, \[ -203\le -5n\le -103 \iff 20,6\le n\le 40,6. \] Como \(n\in\mathbb{N}^+\), os valores possíveis são \(21,22,\ldots,40\), isto é, \(20\) termos.

23.

Termo geral de PA

Determine a razão, nos casos em que não é dada, e escreva uma expressão do termo geral da progressão aritmética \((u_n)\), sabendo que: 23.1. \(u_1=2\) e \(r=5\) 23.2. \(u_4=8\) e \(r=-2\) 23.3. \(u_2=12\) e \(u_4=6\) 23.4. \(u_5=30\) e \(u_{20}=45\) 23.5. \(u_8=10\) e \(u_{12}=-2\) 23.6. \(u_3=4\) e \(u_5=0\)

23.1. \[ u_n=2+(n-1)5=5n-3. \] 23.2. \[ u_n=8+(n-4)(-2)=16-2n. \] 23.3. Como \(u_4-u_2=2r\), \[ 6-12=2r \iff r=-3. \] Logo, \(u_1=15\) e \[ u_n=15+(n-1)(-3)=18-3n. \] 23.4. \[ 45-30=15r \iff r=1. \] Logo, \(u_1=26\) e \[ u_n=26+(n-1)=n+25. \] 23.5. \[ -2-10=4r \iff r=-3. \] Logo, \(u_1=31\) e \[ u_n=31+(n-1)(-3)=34-3n. \] 23.6. \[ 0-4=2r \iff r=-2. \] Logo, \(u_1=8\) e \[ u_n=8+(n-1)(-2)=10-2n. \]

24.

Verificar termo de uma PA

De uma progressão aritmética \((v_n)\), sabe-se que \(v_1=12\) e que \(v_4=24\). Averigue se \(116\) é termo da sucessão. Em caso afirmativo, indique a respetiva ordem.

Como \[ v_4=v_1+3r, \] vem \[ 24=12+3r \iff r=4. \] Logo, \[ v_n=12+(n-1)4=4n+8. \] Verificando \(v_n=116\): \[ 4n+8=116 \iff 4n=108 \iff n=27. \] Portanto, \(116\) é o termo de ordem \(27\).

25.

Termo geral por condições

De uma progressão aritmética \((u_n)\), sabe-se que \[ u_3+u_5=218 \quad\text{e}\quad u_2=-10. \] Determine o termo geral da sucessão \((u_n)\).

Escrevendo \(u_n=u_1+(n-1)r\), tem-se \[ u_2=u_1+r=-10 \] e \[ u_3+u_5=(u_1+2r)+(u_1+4r)=2u_1+6r=218. \] Como \(u_1=-10-r\), então \[ 2(-10-r)+6r=218 \iff -20+4r=218 \iff r=\frac{119}{2}. \] Assim, \[ u_1=-10-\frac{119}{2}=-\frac{139}{2}. \] Portanto, \[ u_n=-\frac{139}{2}+(n-1)\frac{119}{2} =\frac{119n-258}{2}. \]

26.

Produto de termos consecutivos

Seja \((u_n)\) uma progressão aritmética de razão \(10\) e termos positivos. Sabe-se que o produto de dois termos consecutivos dessa progressão é igual a \(24\). Determine esses termos.

Se um dos termos é \(x\), o termo seguinte é \(x+10\). Logo, \[ x(x+10)=24 \iff x^2+10x-24=0 \iff x=2\ \vee\ x=-12. \] Como os termos são positivos, \(x=2\). Portanto, os termos consecutivos são \(2\) e \(12\).

27.

Razão de uma PA

Determine a razão de uma progressão aritmética \((u_n)\), sabendo que \[ u_{n+1}-u_{n-1}=5,\quad \forall n\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\}. \]

Numa progressão aritmética de razão \(r\), \[ u_{n+1}=u_n+r \quad\text{e}\quad u_{n-1}=u_n-r. \] Assim, \[ u_{n+1}-u_{n-1}=(u_n+r)-(u_n-r)=2r. \] Como \(u_{n+1}-u_{n-1}=5\), vem \[ 2r=5 \iff r=\frac{5}{2}. \]

28.

Condição para PA decrescente

Seja \((u_n)\) uma sucessão que verifica a condição \[ u_{n+1}-u_n=(k^2-9)n+k,\quad n\in\mathbb{N}^+, \] em que \(k\) representa um número real. Determine o valor de \(k\) para o qual a sucessão \((u_n)\) é uma progressão aritmética decrescente.

Para \((u_n)\) ser uma progressão aritmética, a diferença \(u_{n+1}-u_n\) tem de ser constante, isto é, independente de \(n\). Logo, \[ k^2-9=0 \iff k=-3\ \vee\ k=3. \] Nesses casos, a razão da progressão é \(k\). Para a progressão ser decrescente, a razão tem de ser negativa. Portanto, \[ k=-3. \]

29.

Três primeiros termos em PA

Seja \(a\) um número real diferente de zero. Sabe-se que \(a\), \(a^2\) e \(10a\) são os três primeiros termos de uma progressão aritmética \((u_n)\). Determine \(u_{10}\).

Como os três termos estão em progressão aritmética, \[ a^2-a=10a-a^2. \] Então, \[ 2a^2-11a=0 \iff a(2a-11)=0. \] Como \(a\ne0\), vem \[ a=\frac{11}{2}. \] Assim, \[ u_1=\frac{11}{2},\qquad u_2=\frac{121}{4}, \] e a razão é \[ r=u_2-u_1=\frac{121}{4}-\frac{22}{4}=\frac{99}{4}. \] Logo, \[ u_{10}=u_1+9r=\frac{11}{2}+9\cdot\frac{99}{4} =\frac{913}{4}. \]

30.

Somas de termos de PA

Considere a progressão aritmética \((v_n)\) definida por \[ v_n=3n+1. \] Determine: 30.1. \(v_1+v_2+\cdots+v_{50}\) 30.2. \(v_{12}+v_{13}+\cdots+v_{100}\)

30.1. Tem-se \(v_1=4\) e \(v_{50}=151\). Logo, \[ v_1+v_2+\cdots+v_{50} =50\cdot\frac{4+151}{2}=3875. \] 30.2. Tem-se \(v_{12}=37\) e \(v_{100}=301\). Entre \(12\) e \(100\), inclusive, há \[ 100-12+1=89 \] termos. Assim, \[ v_{12}+v_{13}+\cdots+v_{100} =89\cdot\frac{37+301}{2}=15041. \]

31.

Soma dos vinte primeiros termos

Considere a progressão aritmética \((v_n)\) definida por \[ \begin{cases} v_1=1\\ v_{n+1}=v_n+4,\quad n\in\mathbb{N}^+ \end{cases} \] Determine a soma dos vinte primeiros termos da progressão.

Como \[ v_{n+1}-v_n=4, \] a razão é \(4\). Logo, \[ v_n=1+(n-1)4=4n-3. \] Então, \[ v_{20}=4\cdot20-3=77. \] A soma dos vinte primeiros termos é \[ S_{20}=20\cdot\frac{v_1+v_{20}}{2} =20\cdot\frac{1+77}{2}=780. \]

32.

PA com diferença entre termos

Seja \((u_n)\) uma progressão aritmética em que \[ u_{15}=-51 \quad\text{e}\quad u_{30}=-111. \] 32.1. Mostre que, para todo \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\), \[ u_n=-4n+9. \] 32.2. Calcule a soma dos primeiros \(35\) termos. 32.3. Calcule a soma dos termos compreendidos entre \(u_{10}\) e \(u_{35}\), inclusive.

32.1. Como \[ u_{30}-u_{15}=15r, \] vem \[ -111-(-51)=15r \iff -60=15r \iff r=-4. \] Logo, \[ u_n=u_{15}+(n-15)r=-51+(n-15)(-4)=-4n+9. \] 32.2. Tem-se \(u_1=5\) e \(u_{35}=-131\). Assim, \[ S_{35}=35\cdot\frac{5+(-131)}{2}=-2205. \] 32.3. Entre \(u_{10}\) e \(u_{35}\), inclusive, há \[ 35-10+1=26 \] termos. Como \(u_{10}=-31\) e \(u_{35}=-131\), \[ S=26\cdot\frac{-31+(-131)}{2}=-2106. \]

33.

Soma dos quinze primeiros termos

Seja \((u_n)\) uma progressão aritmética. Sabe-se que \[ u_5+u_8=-15 \] e que o primeiro termo é o triplo do terceiro. Determine a soma dos quinze primeiros termos da progressão.

Escrevendo \(u_1=a\), tem-se \[ u_5=a+4r,\qquad u_8=a+7r. \] Logo, \[ 2a+11r=-15. \] Além disso, \[ u_1=3u_3 \iff a=3(a+2r) \iff a=-3r. \] Substituindo: \[ 2(-3r)+11r=-15 \iff 5r=-15 \iff r=-3. \] Assim, \(a=9\). Portanto, \(u_1=9\) e \(u_{15}=9+14(-3)=-33\). \[ S_{15}=15\cdot\frac{9+(-33)}{2}=-180. \]

34.

Verificar termo 3450

De uma progressão aritmética \((u_n)\), sabe-se que \(u_5=22\) e que a soma dos dez primeiros termos é igual a \(250\). Averigue se \(3450\) é termo da progressão.

Se \(u_1=a\), então \[ u_5=a+4r=22. \] Por outro lado, \[ S_{10}=10\cdot\frac{2a+9r}{2}=250 \iff 2a+9r=50. \] Da primeira equação, \(a=22-4r\). Substituindo: \[ 2(22-4r)+9r=50 \iff 44+r=50 \iff r=6. \] Logo, \(a=-2\) e \[ u_n=-2+(n-1)6=6n-8. \] Verificando \(u_n=3450\): \[ 6n-8=3450 \iff n=\frac{3458}{6}=\frac{1729}{3}. \] Como \(\frac{1729}{3}\notin\mathbb{N}\), \(3450\) não é termo da sucessão.

35.

Ordem do termo 500

De uma progressão aritmética \((u_n)\), sabe-se que o sétimo termo é igual ao dobro do segundo termo. Sabe-se ainda que a soma dos doze primeiros termos é igual a \(57\) e que \(500\) é termo da sucessão. Determine a ordem do termo \(500\).

Se \(u_1=a\), então \[ u_7=a+6r \quad\text{e}\quad u_2=a+r. \] Como \(u_7=2u_2\), \[ a+6r=2(a+r) \iff a=4r. \] Além disso, \[ S_{12}=12\cdot\frac{2a+11r}{2}=57 \iff 6(2a+11r)=57. \] Substituindo \(a=4r\): \[ 6(8r+11r)=57 \iff 114r=57 \iff r=\frac12. \] Logo, \(a=2\) e \[ u_n=2+(n-1)\frac12=\frac{n+3}{2}. \] Agora, \[ \frac{n+3}{2}=500 \iff n+3=1000 \iff n=997. \] O termo \(500\) é o termo de ordem \(997\).

36.

Soma dos primeiros ímpares

Determine a soma dos \(340\) primeiros números naturais ímpares.

Os \(340\) primeiros números naturais ímpares formam a progressão aritmética \[ 1,3,5,\ldots,679. \] Assim, \[ S_{340}=340\cdot\frac{1+679}{2} =340\cdot340=115600. \]

37.

Soma de múltiplos de 5

Determine a soma dos múltiplos de \(5\) maiores do que \(42\) e menores do que \(448\).

Os múltiplos pretendidos são \[ 45,50,55,\ldots,445. \] Formam uma progressão aritmética de razão \(5\). O número de termos é \[ \frac{445-45}{5}+1=81. \] Logo, \[ S=81\cdot\frac{45+445}{2}=19845. \]

38.

Trapézios numa composição geométrica

Na figura está representada uma composição formada por trapézios. As bases verticais dos trapézios medem \(2,4,6,\ldots\) centímetros e a distância entre duas bases consecutivas é \(4\) cm. Sabendo que a área total da composição é \(38,40\ \text{dm}^2\), determine o número de trapézios da composição.

Como \[ 38,40\ \text{dm}^2=3840\ \text{cm}^2, \] trabalhamos em centímetros quadrados. No trapézio de ordem \(n\), as bases medem \(2n\) e \(2n+2\), e a altura é \(4\). Logo, \[ A_n=\frac{2n+(2n+2)}{2}\cdot4=8n+4. \] Assim, a área total dos \(N\) primeiros trapézios é \[ S_N=\sum_{n=1}^{N}(8n+4) =8\cdot\frac{N(N+1)}{2}+4N =4N(N+2). \] Como a área total é \(3840\), \[ 4N(N+2)=3840 \iff N(N+2)=960 \iff N^2+2N-960=0. \] Daqui resulta \[ N=30 \] pois a outra solução é negativa. A composição tem \(30\) trapézios.

39.

Soma de termos de ordem ímpar

Considere a progressão aritmética \((u_n)\) definida por \[ u_n=4+3n. \] Determine a soma dos quinze primeiros termos de ordem ímpar.

Os quinze primeiros termos de ordem ímpar são \[ u_1,u_3,u_5,\ldots,u_{29}. \] Tem-se \[ u_1=7 \quad\text{e}\quad u_{29}=4+3\cdot29=91. \] Logo, \[ S=15\cdot\frac{7+91}{2}=735. \]

40.

Soma de termos de uma PA

Seja \(x\) um número real diferente de zero. Sabe-se que \(2x\), \(x^2\) e \(6x\) são os três primeiros termos de uma progressão aritmética. Determine a soma \(u_{10}+u_{11}+\cdots+u_{25}\).

Como \(2x\), \(x^2\) e \(6x\) estão em progressão aritmética, \[ x^2-2x=6x-x^2. \] Logo, \[ 2x^2-8x=0 \iff 2x(x-4)=0. \] Como \(x\ne0\), tem-se \(x=4\). Os três primeiros termos são \[ 8,\ 16,\ 24, \] pelo que a razão é \(8\) e \[ u_n=8n. \] Entre \(u_{10}\) e \(u_{25}\), inclusive, há \(16\) termos. Como \(u_{10}=80\) e \(u_{25}=200\), \[ u_{10}+u_{11}+\cdots+u_{25} =16\cdot\frac{80+200}{2}=2240. \]

41.

Termo geral por soma parcial

De uma progressão aritmética \((v_n)\), sabe-se que \[ v_3=0 \] e que a soma dos \(20\) primeiros termos é igual a \(600\). Determine o termo geral da sucessão.

Se \(v_1=a\), então \[ v_3=a+2r=0 \iff a=-2r. \] Além disso, \[ S_{20}=20\cdot\frac{2a+19r}{2}=600 \iff 2a+19r=60. \] Substituindo \(a=-2r\), \[ -4r+19r=60 \iff 15r=60 \iff r=4. \] Logo, \(a=-8\) e \[ v_n=-8+(n-1)4=4n-12. \]

42.

Condição com somas parciais

De uma progressão aritmética \((v_n)\), sabe-se que \(v_6=15\). Sabe-se ainda que a soma dos \(20\) primeiros termos é o triplo da soma dos \(10\) primeiros termos. Averigue se \(85\) é termo da sucessão. Em caso afirmativo, indique a respetiva ordem.

Se \(v_1=a\), então \[ v_6=a+5r=15. \] Além disso, \[ S_{20}=3S_{10}. \] Logo, \[ 20\cdot\frac{2a+19r}{2} =3\left(10\cdot\frac{2a+9r}{2}\right). \] Então, \[ 10(2a+19r)=15(2a+9r) \iff 20a+190r=30a+135r \iff 55r=10a. \] Assim, \(a=\frac{11}{2}r\). Como \(a+5r=15\), \[ \frac{11}{2}r+5r=15 \iff \frac{21}{2}r=15 \iff r=\frac{10}{7}. \] Então, \[ a=15-5\cdot\frac{10}{7}=\frac{55}{7} \] e \[ v_n=\frac{55}{7}+(n-1)\frac{10}{7} =\frac{10n+45}{7}. \] Verificando \(v_n=85\): \[ \frac{10n+45}{7}=85 \iff 10n+45=595 \iff n=55. \] Portanto, \(85\) é o termo de ordem \(55\).

43.

Verificar progressões geométricas

Verifique se a sucessão cujos primeiros termos estão a seguir indicados pode ser uma progressão geométrica e, em caso afirmativo, escreva a respetiva razão. 43.1. \(2,\ 8,\ 32,\ 128,\ldots\) 43.2. \(-1,\ 3,\ -9,\ 12,\ldots\) 43.3. \(\frac12,\ \frac13,\ \frac29,\ \frac4{27},\ldots\) 43.4. \(1,\ \sqrt2,\ 2,\ \sqrt8,\ldots\)

43.1. É progressão geométrica, pois \[ \frac82=\frac{32}{8}=\frac{128}{32}=4. \] Razão: \(r=4\). 43.2. Não é progressão geométrica, pois \[ \frac3{-1}=-3,\qquad \frac{-9}{3}=-3,\qquad \frac{12}{-9}=-\frac43. \] As razões entre termos consecutivos não são todas iguais. 43.3. É progressão geométrica, pois \[ \frac{\frac13}{\frac12} =\frac{\frac29}{\frac13} =\frac{\frac4{27}}{\frac29} =\frac23. \] Razão: \(r=\frac23\). 43.4. É progressão geométrica, pois \[ \frac{\sqrt2}{1} =\frac{2}{\sqrt2} =\frac{\sqrt8}{2} =\sqrt2. \] Razão: \(r=\sqrt2\).

44.

Identificar progressões geométricas

Das sucessões seguintes, definidas pelo respetivo termo geral, identifique as que são progressões geométricas. 44.1. \(u_n=\frac{4^n}{3}\) 44.2. \(v_n=\frac{3^n}{5^{n+1}}\) 44.3. \(w_n=n\times3^n\)

44.1. Tem-se \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} =\frac{\frac{4^{n+1}}{3}}{\frac{4^n}{3}}=4. \] Logo, é uma progressão geométrica de razão \(4\). 44.2. Tem-se \[ \frac{v_{n+1}}{v_n} =\frac{\frac{3^{n+1}}{5^{n+2}}}{\frac{3^n}{5^{n+1}}} =\frac35. \] Logo, é uma progressão geométrica de razão \(\frac35\). 44.3. Tem-se \[ \frac{w_{n+1}}{w_n} =\frac{(n+1)3^{n+1}}{n3^n} =3\cdot\frac{n+1}{n}, \] que depende de \(n\). Portanto, não é uma progressão geométrica.

45.

Progressão geométrica por recorrência

Considere a sucessão \((v_n)\) definida por \[ \begin{cases} v_1=4\\ v_{n+1}=\dfrac{v_n}{2},\quad n\in\mathbb{N}^+ \end{cases} \] 45.1. Determine os três primeiros termos da sucessão. 45.2. Mostre que \((v_n)\) é uma progressão geométrica de razão \(\frac12\). 45.3. Escreva o termo geral de \((v_n)\). 45.4. Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a ordem a partir da qual os termos são inferiores a \(2^{-10}\).

45.1. \[ v_1=4,\qquad v_2=\frac42=2,\qquad v_3=\frac22=1. \] 45.2. Como \[ v_{n+1}=\frac{v_n}{2} \iff \frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac12, \] a razão entre termos consecutivos é constante. Logo, \((v_n)\) é uma progressão geométrica de razão \(\frac12\). 45.3. \[ v_n=4\left(\frac12\right)^{n-1}. \] 45.4. Pretende-se \[ 4\left(\frac12\right)^{n-1}<2^{-10}. \] Como \(4=2^2\), \[ 2^{3-n}<2^{-10} \iff 3-n<-10 \iff n>13. \] Assim, os termos são inferiores a \(2^{-10}\) a partir da ordem \(14\).

46.

PG de termo geral exponencial

Considere a sucessão \((u_n)\) definida por \[ u_n=2\times3^{-n}. \] 46.1. Determine os três primeiros termos da sucessão. 46.2. Mostre que \((u_n)\) é uma progressão geométrica e indique a respetiva razão.

46.1. \[ u_1=2\cdot3^{-1}=\frac23,\qquad u_2=2\cdot3^{-2}=\frac29,\qquad u_3=2\cdot3^{-3}=\frac2{27}. \] 46.2. Tem-se \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} =\frac{2\cdot3^{-(n+1)}}{2\cdot3^{-n}} =3^{-1} =\frac13. \] Logo, \((u_n)\) é uma progressão geométrica de razão \(\frac13\).

47.

Termo geral de PG

Determine a razão, nos casos em que não é dada, e escreva uma expressão do termo geral da progressão geométrica \((u_n)\), sabendo que: 47.1. \(u_1=-1\) e \(r=2\) 47.2. \(u_4=8\) e \(r=-2\) 47.3. \(u_2=2\), \(u_4=18\) e a razão é positiva 47.4. \(u_3=4\), \(u_5=1\) e a razão é negativa

47.1. \[ u_n=-1\cdot2^{\,n-1}=-2^{\,n-1}. \] 47.2. Como \(u_4=8\) e \(r=-2\), \[ u_1\cdot(-2)^3=8 \iff u_1=-1. \] Logo, \[ u_n=-1\cdot(-2)^{n-1}. \] 47.3. \[ u_4=u_2r^2 \iff 18=2r^2 \iff r^2=9. \] Como a razão é positiva, \(r=3\). Além disso, \[ u_1=\frac{u_2}{r}=\frac23. \] Logo, \[ u_n=\frac23\cdot3^{n-1}=2\cdot3^{n-2}. \] 47.4. \[ u_5=u_3r^2 \iff 1=4r^2 \iff r^2=\frac14. \] Como a razão é negativa, \(r=-\frac12\). Além disso, \[ u_1=\frac{u_3}{r^2}=\frac{4}{1/4}=16. \] Logo, \[ u_n=16\left(-\frac12\right)^{n-1}. \]

48.

Sétimo termo de uma PG

De uma progressão geométrica \((v_n)\), sabe-se que \[ v_2=40 \quad\text{e}\quad v_5=135. \] Determine o sétimo termo da sucessão.

Como \[ v_5=v_2r^3, \] vem \[ 135=40r^3 \iff r^3=\frac{135}{40}=\frac{27}{8} \iff r=\frac32. \] Então, \[ v_7=v_5r^2 =135\left(\frac32\right)^2 =135\cdot\frac94 =\frac{1215}{4}. \]

49.

Termos consecutivos de uma PG

Considere uma progressão geométrica, de razão positiva. Sabe-se que a soma de dois termos consecutivos dessa progressão é igual a \(120\) e que a sua diferença é igual a \(40\). Determine esses termos e a razão da progressão.

Sejam \(a\) e \(b\), com \(b>a\), os dois termos consecutivos. Então \[ \begin{cases} a+b=120\\ b-a=40 \end{cases} \] Somando as equações: \[ 2b=160 \iff b=80. \] Logo, \[ a=120-80=40. \] Os termos são \(40\) e \(80\), e a razão é \[ r=\frac{80}{40}=2. \]

50.

Três termos consecutivos de uma PG

Três termos consecutivos de uma progressão geométrica são dados, para um determinado valor de \(x\), respetivamente, por \[ x-2,\quad x+1,\quad x+7. \] Determine os valores desses termos.

Para três termos consecutivos de uma progressão geométrica, o quadrado do termo do meio é igual ao produto dos extremos: \[ (x+1)^2=(x-2)(x+7). \] Logo, \[ x^2+2x+1=x^2+5x-14 \iff 3x=15 \iff x=5. \] Assim, os termos são \[ 3,\quad 6,\quad 12. \]

51.

Termo de uma PG

De uma progressão geométrica \((v_n)\), sabe-se que \[ v_4=96 \quad\text{e}\quad v_3=9v_1. \] Determine \(v_6\).

Numa progressão geométrica, \[ v_3=v_1r^2. \] Como \(v_3=9v_1\), vem \[ v_1r^2=9v_1. \] Como a progressão tem \(v_4=96\), não é a sucessão nula. Assim, \[ r^2=9. \] Logo, \[ v_6=v_4r^2=96\cdot9=864. \]

52.

Termo geral de uma PG

De uma progressão geométrica \((u_n)\), sabe-se que \[ u_5=27u_8 \quad\text{e}\quad u_3=1. \] Determine o termo geral de \((u_n)\). Apresente a resposta na forma \(a\times b^n\), em que \(a\) e \(b\) são números reais.

Como \[ u_8=u_5r^3, \] e \(u_5=27u_8\), vem \[ u_5=27u_5r^3. \] Como \(u_3=1\), nenhum termo da progressão é nulo. Assim, \[ 1=27r^3 \iff r^3=\frac1{27} \iff r=\frac13. \] Como \(u_3=1\), \[ u_n=u_3r^{n-3} =\left(\frac13\right)^{n-3} =27\left(\frac13\right)^n. \] Portanto, na forma pedida, \[ u_n=27\times\left(\frac13\right)^n. \]

53.

Lado, perímetro e área de um quadrado

A medida do lado, o perímetro e a área de um quadrado estão, nesta ordem, em progressão geométrica. Qual é a área do quadrado?

Se \(l\) é a medida do lado do quadrado, então o perímetro é \(4l\) e a área é \(l^2\). Como \(l\), \(4l\) e \(l^2\) estão em progressão geométrica, \[ (4l)^2=l\cdot l^2. \] Assim, \[ 16l^2=l^3. \] Como \(l>0\), vem \[ l=16. \] Logo, a área do quadrado é \[ 16^2=256. \]

54.

Quadrados construídos por divisão dos lados

Na figura está representado um quadrado \([ABCD]\) cujo lado mede \(16\) unidades. Os quadrados que se construirão a partir deste obtiveram-se dividindo cada lado em quatro partes iguais. 54.1. Indique a medida do lado de cada um dos quadrados desenhados. 54.2. Considere a sucessão \((l_n)\) das medidas dos lados dos quadrados que se podem formar utilizando este processo repetidamente. a) Prove que esta sucessão é uma progressão geométrica e indique a respetiva razão. b) Prove que, para todo o número natural \(n\), \[ l_n=2^{\frac{11-3n}{2}}\times5^{\frac{n-1}{2}}. \] 54.3. Considere a sucessão \((A_n)\) das áreas destes quadrados. Justifique que se trata de uma progressão geométrica, indicando a razão e escrevendo uma expressão do termo geral.

54.1. O primeiro quadrado tem lado \(16\). Ao dividir cada lado em quatro partes iguais, o lado do quadrado seguinte é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos \(12\) e \(4\). Assim, \[ l_2=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}. \] Repetindo o processo, \[ l_3=4\sqrt{10}\cdot\frac{\sqrt{10}}{4}=10. \] Logo, os lados dos quadrados desenhados medem \(16\), \(4\sqrt{10}\) e \(10\). 54.2. a) Em cada passo, o lado do novo quadrado é multiplicado por \[ \frac{\sqrt{12^2+4^2}}{16} =\frac{4\sqrt{10}}{16} =\frac{\sqrt{10}}{4}. \] Logo, \((l_n)\) é uma progressão geométrica de razão \[ r=\frac{\sqrt{10}}{4}. \] b) Como \(l_1=16\), \[ l_n=16\left(\frac{\sqrt{10}}4\right)^{n-1}. \] Então, \[ l_n=2^4\cdot\frac{10^{\frac{n-1}{2}}}{2^{2n-2}} =2^4\cdot\frac{2^{\frac{n-1}{2}}5^{\frac{n-1}{2}}}{2^{2n-2}} =2^{\frac{11-3n}{2}}\times5^{\frac{n-1}{2}}. \] 54.3. Como \(A_n=l_n^2\), a razão das áreas é \[ \left(\frac{\sqrt{10}}4\right)^2=\frac{10}{16}=\frac58. \] Como \(A_1=16^2=256\), tem-se \[ A_n=256\left(\frac58\right)^{n-1}. \] Assim, \((A_n)\) é uma progressão geométrica de razão \(\frac58\).

55.

Somas numa PG

Considere a progressão geométrica \((u_n)\), definida por \[ u_n=4\times2^{n-1}. \] Determine: 55.1. \(u_1+u_2+\cdots+u_{10}\) 55.2. \(u_{11}+u_{12}+\cdots+u_{20}\)

Esta progressão geométrica tem primeiro termo \(u_1=4\) e razão \(2\). 55.1. \[ u_1+u_2+\cdots+u_{10} =4\cdot\frac{2^{10}-1}{2-1} =4(1024-1)=4092. \] 55.2. \[ u_{11}+u_{12}+\cdots+u_{20} =S_{20}-S_{10}. \] Ora, \[ S_{20}=4(2^{20}-1) \quad\text{e}\quad S_{10}=4(2^{10}-1). \] Logo, \[ S_{20}-S_{10} =4(2^{20}-2^{10}) =4190208. \]

56.

Soma dos trinta e cinco primeiros termos

Considere a progressão geométrica \((u_n)\), definida por \[ \begin{cases} u_1=1000\\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2},\quad n\in\mathbb{N}^+ \end{cases} \] Determine a soma dos trinta e cinco primeiros termos da progressão.

A progressão tem primeiro termo \(1000\) e razão \(\frac12\). Assim, \[ S_{35}=1000\cdot\frac{1-\left(\frac12\right)^{35}}{1-\frac12}. \] Logo, \[ S_{35}=2000\left(1-2^{-35}\right). \]

57.

Sequência de triângulos

Considere um triângulo \([ABC]\), retângulo em \(A\), com \(12\) unidades de perímetro. Unindo os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo; unindo os pontos médios dos lados do segundo triângulo, obtém-se um terceiro triângulo. Continuando a proceder deste modo, obtém-se uma sequência de \(n\) triângulos, sendo \(n>4\). Na figura, estão representados os primeiros quatro triângulos da sequência. 57.1. Qual é o perímetro do 4.º triângulo da sequência? 57.2. Determine a soma dos perímetros dos \(20\) primeiros triângulos da sequência. Apresente o resultado arredondado às unidades. 57.3. Sabe-se que o triângulo \([ABC]\) tem \(6\) unidades de área. Determine a soma das áreas dos primeiros \(10\) triângulos da sequência. Apresente o resultado arredondado às unidades.

57.1. Em cada passo, os comprimentos ficam reduzidos a metade. Logo, os perímetros formam uma progressão geométrica de primeiro termo \(12\) e razão \(\frac12\). Assim, \[ P_4=12\left(\frac12\right)^3=\frac32=1,5. \] 57.2. \[ S_{20}=12\cdot\frac{1-\left(\frac12\right)^{20}}{1-\frac12} =24(1-2^{-20})\approx24. \] Arredondando às unidades, a soma é \(24\). 57.3. Como os comprimentos ficam multiplicados por \(\frac12\), as áreas ficam multiplicadas por \[ \left(\frac12\right)^2=\frac14. \] Logo, as áreas formam uma progressão geométrica de primeiro termo \(6\) e razão \(\frac14\). \[ S_{10}=6\cdot\frac{1-\left(\frac14\right)^{10}}{1-\frac14} =8(1-4^{-10})\approx8. \] Arredondando às unidades, a soma é \(8\).

58.

Sete termos de uma PG

Seja \(b\) um número real. Sabe-se que \(b\), \(b+12\) e \(b+36\) são termos consecutivos de uma progressão geométrica. Determine a soma dos sete primeiros termos consecutivos da progressão geométrica a partir do termo igual a \(b\), incluindo-o.

Como \(b\), \(b+12\) e \(b+36\) são termos consecutivos de uma progressão geométrica, \[ (b+12)^2=b(b+36). \] Então, \[ b^2+24b+144=b^2+36b \iff 144=12b \iff b=12. \] Os três termos são \(12\), \(24\) e \(48\), pelo que a razão é \[ r=\frac{24}{12}=2. \] A soma dos sete termos a partir de \(b=12\) é \[ S_7=12\cdot\frac{2^7-1}{2-1} =12(128-1)=1524. \]

59.

Primeiro termo por soma parcial

Relativamente a uma progressão geométrica, sabe-se que \(32\) e \(8\) são dois termos consecutivos da mesma e que a soma dos cinco primeiros termos é igual a \(682\). Determine o primeiro termo dessa progressão geométrica.

Como \(32\) e \(8\) são termos consecutivos, a razão é \[ r=\frac{8}{32}=\frac14. \] Sendo \(u_1\) o primeiro termo, \[ S_5=u_1\cdot\frac{1-\left(\frac14\right)^5}{1-\frac14}=682. \] Logo, \[ u_1\cdot\frac{1-\frac1{1024}}{\frac34}=682 \iff u_1\cdot\frac{341}{256}=682. \] Assim, \[ u_1=682\cdot\frac{256}{341}=512. \]

60.

Razão negativa e oitavo termo

Relativamente a uma progressão geométrica, de razão negativa, sabe-se que o sétimo termo da progressão é \(12\) e que a soma dos três primeiros termos consecutivos a partir do sétimo, inclusive, é igual a \(14,88\). Determine o oitavo termo da progressão geométrica.

Seja \(r\) a razão da progressão. Como \(u_7=12\), \[ u_8=12r \quad\text{e}\quad u_9=12r^2. \] Além disso, \[ u_7+u_8+u_9=14,88. \] Logo, \[ 12+12r+12r^2=14,88 \iff 1+r+r^2=1,24 \iff r^2+r-0,24=0. \] Resolvendo, \[ r=\frac{-1\pm1,4}{2}, \] isto é, \[ r=0,2\quad\text{ou}\quad r=-1,2. \] Como a razão é negativa, \(r=-1,2\). Portanto, \[ u_8=12(-1,2)=-14,4. \]

61.

Métodos de poupança

A Ana resolveu pôr de lado algum dinheiro das suas mesadas para comprar uma prancha de surf. Para isso, pensou em dois métodos diferentes de o fazer. Método A: começar por colocar de lado \(2\)€ no primeiro mês e, a partir daí, duplicar o montante que mensalmente colocará de lado. Método B: todos os meses colocar de lado \(20\)€. 61.1. Para cada método, escreva o termo geral da sucessão do dinheiro que, em cada mês, a Ana coloca de lado. 61.2. Ao fim de quatro meses, quanto dinheiro terá a Ana poupado, no total, em cada um dos métodos de poupança? 61.3. Sabendo que a prancha de surf que a Ana quer comprar custa \(250\)€, por qual dos métodos deve optar, de forma a comprá-la o mais rapidamente possível?

61.1. No método A, os valores mensais são \[ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ldots \] Logo, \[ a_n=2^n,\quad n\in\mathbb{N}^+. \] No método B, o valor mensal é constante: \[ b_n=20,\quad n\in\mathbb{N}^+. \] 61.2. Método A: \[ 2+4+8+16=30. \] Ao fim de quatro meses, a Ana terá poupado \(30\)€. Método B: \[ 4\cdot20=80. \] Ao fim de quatro meses, a Ana terá poupado \(80\)€. 61.3. No método A, a soma dos \(n\) primeiros meses é \[ S_n=2+4+\cdots+2^n=2(2^n-1). \] Pretende-se \[ 2(2^n-1)\ge250 \iff 2^n\ge126. \] Como \(2^6=64\) e \(2^7=128\), pelo método A consegue comprar a prancha ao fim de \(7\) meses. No método B, \[ 20n\ge250 \iff n\ge12,5, \] pelo que só conseguirá ao fim de \(13\) meses. Logo, deve optar pelo método A.