Sucessões - Generalidades 1 | Matemática A

1.

Considere a sequência de figuras, da qual se apresentam as três primeiras.

Três primeiras figuras de uma sequência geométrica

Quantos triângulos terá a 10.ª figura da sequência, considerando a lei de formação sugerida?

(A) \(40\)(B) \(22\)(C) \(20\)(D) \(32\)

Observando as primeiras figuras, o número de triângulos é \(4,6,8,\ldots\).

\begin{array}{c|ccc}n&1&2&3\\\hline 2n&2&4&6\\2n+2&4&6&8\end{array}

a_n=2n+2\quad\Rightarrow\quad a_{10}=2\times10+2=22

Opção B.

2.

Seja \((a_n)\) uma sucessão crescente, tal que \(a_4=0\). O valor de \(a_3\times a_5\) pode ser:

(A) \(4\)(B) \(-4\)(C) \(0\)(D) \(1\)

Como a sucessão é crescente e \(a_4=0\), tem-se \(a_3<0\) e \(a_5>0\).

a_3\times a_5<0

O único valor negativo é \(-4\). Opção B.

3.

O termo geral da sucessão \(0,7,26,63,124,215,\ldots\) pode ser:

(A) \(7n+1\)(B) \(n^2+6\)(C) \(2n-2\)(D) \(n^3-1\)

Testando a opção \(n^3-1\):

1^3-1=0,\quad 2^3-1=7,\quad 3^3-1=26,\quad 4^3-1=63

A opção correta é D.

4.

A sucessão de termo geral \((-1)^n+n\) é:

(A) crescente(B) decrescente(C) não monótona(D) crescente em sentido lato

Calculando os primeiros termos:

a_1=(-1)^1+1=0,\quad a_2=(-1)^2+2=3,\quad a_3=(-1)^3+3=2

Como \(a_1a_3\), a sucessão não mantém sempre o mesmo sentido de variação.

Opção C.

5.

Considere a sucessão \((u_n)\) de termo geral \(u_n=\dfrac{5n-1}{n}\). Pode afirmar-se que:

a sucessão \((u_n)\) tem todos os termos positivos.
a sucessão \((u_n)\) é decrescente.
\(-1\) é minorante da sucessão \((u_n)\).
o centésimo termo é igual a \(97\).

Estudemos a diferença entre dois termos consecutivos.

u_{n+1}-u_n=\dfrac{5(n+1)-1}{n+1}-\dfrac{5n-1}{n}=\dfrac{1}{n(n+1)}>0

Logo, a sucessão é crescente. Além disso,

u_n=\dfrac{5n-1}{n}=5-\dfrac1n

Como \(0<\dfrac1n\le1\), todos os termos são positivos e \(4\le u_n<5\).

Opção A.

6.

Considere a sucessão \((u_n)\) cujo termo geral é \(u_n=-n^2+8n\).

6.1 Calcule os cinco primeiros termos da sucessão.

6.2 Verifique se \(-20\) é termo da sucessão.

6.3 Determine a ordem a partir da qual os termos são negativos.

6.4 A sucessão é monótona? Justifique.

6.1

u_1=7,\quad u_2=12,\quad u_3=15,\quad u_4=16,\quad u_5=15

6.2

-n^2+8n=-20\iff n^2-8n-20=0\iff n=-2\vee n=10

Como \(-2\notin\mathbb{N}\) e \(10\in\mathbb{N}\), \(-20\) é o termo de ordem \(10\).

6.3

-n^2+8n<0\iff n(n-8)>0

Para \(n\in\mathbb{N}\), isto acontece quando \(n>8\).

Os termos são negativos a partir da ordem \(9\).

6.4

Como \(u_3=15u_5=15\), a sucessão cresce e depois decresce.

A sucessão não é monótona.

7.

Considere a sucessão \((v_n)\) de termo geral \(v_n=\dfrac{n+5}{2n}\).

7.1 Calcule os quatro primeiros termos.

7.2 Determine a ordem a partir da qual os termos são inferiores a \(\dfrac34\).

7.3 Determine o termo de ordem \(20\).

7.1

v_1=3,\quad v_2=\dfrac74,\quad v_3=\dfrac43,\quad v_4=\dfrac98

7.2

\dfrac{n+5}{2n}<\dfrac34\iff 4(n+5)<6n\iff n>10

Os termos são inferiores a \(\dfrac34\) a partir do termo de ordem \(11\).

7.3

v_{20}=\dfrac{20+5}{2\times20}=\dfrac{25}{40}=\dfrac58

8.

Considere a sucessão de termo geral \(u_n=\dfrac{2n-5}{n+2}\).

8.1 Determine o termo de ordem \(10\) e o termo de ordem \(20\).

8.2 Mostre que a sucessão é monótona.

8.1

u_{10}=\dfrac{20-5}{12}=\dfrac54,\qquad u_{20}=\dfrac{40-5}{22}=\dfrac{35}{22}

8.2

u_{n+1}-u_n=\dfrac{2(n+1)-5}{n+3}-\dfrac{2n-5}{n+2}=\dfrac{9}{(n+2)(n+3)}>0

Logo, \((u_n)\) é crescente.

9.

Considere a sucessão de termo geral \(u_n=\dfrac{5n+5}{3n}\).

9.1 Determine \(u_1\).

9.2 Determine \(u_{n+1}-u_n\).

9.3 O que pode concluir acerca da monotonia da sucessão?

9.4 Determine o termo de ordem \(3\).

u_1=\dfrac{5+5}{3}=\dfrac{10}{3}

u_{n+1}-u_n=\dfrac{5(n+1)+5}{3(n+1)}-\dfrac{5n+5}{3n}=-\dfrac{5}{3n(n+1)}<0

u_3=\dfrac{5\times3+5}{3\times3}=\dfrac{20}{9}

A sucessão é decrescente.

10.

Uma sucessão \((a_n)\) satisfaz a seguinte condição:

a_{n+1}-a_n=-n^2+11n-30,\quad \forall n\in\mathbb{N}

O que pode concluir acerca da sua monotonia? Justifique.

Estudemos o sinal da expressão \(-n^2+11n-30\).

-n^2+11n-30=0\iff n=5\vee n=6

A parábola tem concavidade voltada para baixo; por isso, para \(n\in\mathbb{N}\), a expressão é sempre menor ou igual a zero.

a_{n+1}-a_n\le0

A sucessão é decrescente em sentido lato.

11.

Sabe-se acerca de uma sucessão \((v_n)\) que, para todo \(n\in\mathbb{N}\),

v_{n+1}-v_n=\dfrac{5}{(2n+11)(2n+3)}

O que pode concluir acerca da monotonia da sucessão?

Para todo \(n\in\mathbb{N}\), os fatores \(2n+11\) e \(2n+3\) são positivos.

\dfrac{5}{(2n+11)(2n+3)}>0\quad\Rightarrow\quad v_{n+1}-v_n>0

Logo, a sucessão é crescente.

12.

Estude, quanto à monotonia, cada uma das sucessões de termo geral:

12.1 \(a_n=\dfrac1{n+3}\)

12.2 \(b_n=1+|n-5|\)

12.3 \(c_n=\begin{cases}\dfrac{1+2n}{2n+6},\quad n\text{ é par}\\ n+1,\quad n\text{ é ímpar}\end{cases}\)

12.4 \(d_n=\dfrac{2n-1}{n+3}\)

12.1

a_{n+1}-a_n=\dfrac1{n+4}-\dfrac1{n+3}=-\dfrac1{(n+3)(n+4)}<0

A sucessão \((a_n)\) é decrescente.

12.2

b_4=2,\quad b_5=1,\quad b_6=2

Como \(b_4>b_5\) e \(b_5

A sucessão \((b_n)\) não é monótona.

12.3

c_1=2,\quad c_2=\dfrac{5}{10}=\dfrac12,\quad c_3=4

Como \(c_1>c_2\) e \(c_2 12.4

d_{n+1}-d_n=\dfrac{2n+1}{n+4}-\dfrac{2n-1}{n+3}=\dfrac7{(n+3)(n+4)}>0

A sucessão \((d_n)\) é crescente.

13.

Considere as sucessões \((u_n)\) e \((v_n)\) definidas por

u_n=n^2+7n-60\qquad\text{e}\qquad v_n=\dfrac1{n+12}

13.1 Indique os termos da sucessão \((u_n)\) que verificam a condição \(u_n<0\).

13.2 Estude a sucessão \((u_n\times v_n)\) quanto à monotonia.

13.1

u_n<0\iff n^2+7n-60<0

n^2+7n-60=0\iff n=-12\vee n=5

Como a parábola tem concavidade voltada para cima, \(u_n<0\) quando \(-12

\(n=1,2,3,4\).

13.2

u_n\times v_n=(n^2+7n-60)\dfrac1{n+12}=\dfrac{(n+12)(n-5)}{n+12}=n-5

w_{n+1}-w_n=(n+1-5)-(n-5)=1>0

A sucessão \((u_n\times v_n)\) é crescente.

14.

Considere uma sequência de figuras, obtida por decomposições sucessivas de um círculo, da qual se representam as quatro primeiras.

Quatro círculos decompostos em setores, com uma região colorida

14.1 Seja \((a_n)\) a sucessão do número de setores circulares em que fica dividido cada círculo.

14.1.1 Escreva os seis primeiros termos da sucessão.

14.1.2 Indique o termo geral da sucessão \((a_n)\).

14.1.3 Prove que a sucessão \((a_n)\) é crescente.

14.2 Cada círculo tem área \(1\) e está decomposto em regiões com a mesma área. Seja \((u_n)\) a sucessão das áreas coloridas.

14.2.1 Escreva os seis primeiros termos de \((u_n)\).

14.2.2 Indique o termo geral de \((u_n)\).

14.2.3 Determine o termo de ordem \(10\).

14.2.4 Poderá \(\dfrac1{13}\) ser termo desta sucessão? Justifique.

14.2.5 A sucessão \((u_n)\) é monótona? Justifique.

14.1

a_1=2,\quad a_2=4,\quad a_3=6,\quad a_4=8,\quad a_5=10,\quad a_6=12

\(a_n=2n\)

a_{n+1}-a_n=2(n+1)-2n=2>0

A sucessão \((a_n)\) é crescente.

14.2

u_1=\dfrac12,\quad u_2=\dfrac14,\quad u_3=\dfrac16,\quad u_4=\dfrac18,\quad u_5=\dfrac1{10},\quad u_6=\dfrac1{12}

u_n=\dfrac1{2n}

u_{10}=\dfrac1{2\times10}=\dfrac1{20}

O número \(\dfrac1{13}\) não pode ser termo desta sucessão, porque todos os denominadores são pares.

u_{n+1}-u_n=\dfrac1{2(n+1)}-\dfrac1{2n}=-\dfrac1{2n(n+1)}<0

A sucessão \((u_n)\) é monótona decrescente.