Problemas de Contagem 3

A turma da Leonor tem $25$ alunos, dos quais $13$ estão inscritos nas aulas de Espanhol e os restantes nas aulas de Francês. Determina o número de maneiras diferentes de escolher delegado e subdelegado se:

não existir qualquer restrição;
ambos estiverem inscritos na mesma disciplina;
estiverem inscritos em disciplinas diferentes;
a Leonor ocupar um dos cargos.

a) \(25\times24=600\)

b) \(13\times12+12\times11=288\)

c) \(13\times12\times2=312\)

d) \(2\times24=48\)

a) $600$; b) $288$; c) $312$; d) $48$.

Com as letras da palavra PORTUGAL, quantas palavras de quatro letras, sem as repetir, pode o João formar se:

não há restrições;
a primeira letra é uma vogal;
a última letra não pode ser P;
começa e termina com uma consoante;
as duas letras nas posições centrais são as únicas vogais;
as vogais A e O são escolhidas e ficam seguidas?

a) \(8\times7\times6\times5=1680\)

b) \(3\times7\times6\times5=630\)

c) \(7\times7\times6\times5=1470\)

d) \(5\times4\times6\times5=600\)

e) \(6\times20=120\)

f) \(3\times2\times6\times5=180\)

a) $1680$; b) $630$; c) $1470$; d) $600$; e) $120$; f) $180$.

Uma sequência cuja leitura da direita para a esquerda é igual à leitura da esquerda para a direita chama-se capicua. Quantos números com sete algarismos:

são capicuas?
são capicuas em que quatro dos algarismos são diferentes?

Uma capicua de sete algarismos fica determinada pelos quatro primeiros algarismos.

a) \(9\times10\times10\times10=9000\)

Para haver quatro algarismos diferentes na capicua, os quatro algarismos que determinam a capicua são todos diferentes.

b) \(9\times9\times8\times7=4536\)

a) $9000$; b) $4536$.

Considera todos os números de seis algarismos que se podem formar utilizando alguns ou todos os algarismos do número $103245$. Destes números, quantos:

são múltiplos de $5$?
têm os três primeiros algarismos ímpares e diferentes e os três seguintes pares e iguais entre si?
são formados apenas pelos algarismos $0$ e $1$, com pelo menos um $0$ e um $1$?

a) \(5\times6\times6\times6\times6\times2=12960\)

b) \(3\times2\times1\times3\times1\times1=18\)

c) \(1\times2^5-1=31\)

a) $12960$; b) $18$; c) $31$.

O Bernardo vai criar uma password de cinco caracteres usando algarismos de $0$ a $9$ e símbolos escolhidos entre !, @, #, $, %, * e &. Quantas passwords pode criar com:

dois algarismos iguais seguidos e três símbolos diferentes?
dois símbolos diferentes e três algarismos, sabendo que não podem ficar dois algarismos seguidos?
três algarismos diferentes e dois símbolos iguais seguidos, no início ou no fim?

a) \(10\times4\times{}^{7}A_3=8400\)

b) \(10\times7\times10\times6\times10=42000\)

c) \(2\times7\times{}^{10}A_3=10080\)

a) $8400$; b) $42000$; c) $10080$.

A direção da Associação de Estudantes é constituída por três raparigas e dois rapazes. A Bia é a presidente.

Em duas filas, com rapazes atrás e raparigas à frente, sem outras restrições.
Nas mesmas condições, ficando a Bia no meio.
Numa fila única, com as três raparigas seguidas e os dois rapazes seguidos.
Numa fila única, com as três raparigas seguidas.
Numa fila única, com os dois rapazes seguidos.

a) \(2!\times3!=12\)

b) \(2!\times2!=4\)

c) \(2\times3!\times2!=24\)

d) \(3\times3!\times2!=36\)

e) \(4\times2!\times3!=48\)

a) $12$; b) $4$; c) $24$; d) $36$; e) $48$.

Um sistema de catalogação utiliza códigos no formato $LAAAL$, em que $L$ representa uma letra do alfabeto e $A$ representa um algarismo. Quantos códigos pode gerar?

26\times10\times10\times10\times26=676000

O sistema pode gerar $676000$ códigos.

A Ana tem $12$ livros distintos: $5$ romances, $4$ de banda desenhada e $3$ policiais. Pretende escolher dois livros de géneros diferentes. Quantas escolhas diferentes pode fazer?

5\times4+5\times3+4\times3=47

Pode fazer $47$ escolhas.

Os códigos dos cofres são sequências de $4$ algarismos. Quantos códigos têm exatamente três algarismos $8$ e soma inferior a $29$?

O quarto algarismo tem de ser menor do que $5$, ou seja, $0,1,2,3$ ou $4$. Escolhe-se também a posição desse algarismo.

4\times5=20

Existem $20$ códigos.

10.

De quantas maneiras se podem colocar quatro cavalos, dois pretos e dois brancos, num tabuleiro de xadrez, de modo que os cavalos brancos fiquem na mesma linha horizontal e os pretos numa outra linha horizontal?

Tabuleiro de xadrez com dois cavalos pretos e dois cavalos brancos

Escolhe-se a linha dos brancos, duas colunas para os brancos, outra linha para os pretos e duas colunas para os pretos.

8\times{}^{8}C_2\times7\times{}^{8}C_2=43904

Há $43904$ maneiras.

11.

Seja $A$ o conjunto de todos os números naturais com cinco algarismos. Determina o número de elementos de $A$:

que têm exatamente três algarismos iguais a $4$;
cujo produto dos respetivos algarismos é par.

a) \({}^{4}C_2\times9^2+{}^{4}C_3\times8\times9=774\)

Para o produto ser par, retira-se ao total o caso em que todos os algarismos são ímpares.

b) \(9\times10^4-5^5=86875\)

a) $774$; b) $86875$.

12.

Uma garrafeira tem espaço para $12$ garrafas. Pretende-se arrumar $10$ garrafas, das quais quatro são iguais e as restantes seis são todas diferentes. Determina o número de maneiras diferentes de as arrumar.

{}^{12}C_4\times{}^{8}A_6=9979200

Há $9979200$ arrumações.

13.

Um círculo está dividido em quatro setores diferentes e há cinco cores disponíveis. Setores com um raio em comum não podem ter a mesma cor. O círculo deve ficar pintado com duas ou com quatro cores. De quantas maneiras pode ser pintado?

Círculo dividido em quatro setores numerados

5\times4+5\times4\times3\times2=20+120=140

Pode ser pintado de $140$ maneiras.

14.

Pretende-se fazer uma bandeira com três faixas horizontais. Há dez cores disponíveis, incluindo a cor encarnada. Faixas adjacentes não podem ter a mesma cor e só pode haver repetição de cor se houver pelo menos uma faixa encarnada. Quantas bandeiras se podem fazer?

Conta-se por casos: sem encarnado e sem repetição; encarnado na faixa central; encarnado numa faixa extrema; faixas extremas encarnadas; faixas extremas iguais a cor não encarnada e faixa central encarnada.

9\times8\times7+1\times9\times8+2\times1\times9\times8+1\times9\times1+9\times1\times1=738

Podem fazer-se $738$ bandeiras.

15.

Quantos são os números naturais pares que se podem escrever com quatro algarismos distintos?

9\times8\times7\times1+8\times8\times7\times4=504+1792=2296

Existem $2296$ números.

16.

Quantos números naturais de quatro algarismos distintos são maiores do que $2400$ e não têm os algarismos $3$, $5$ nem $6$?

1\times1\times5\times4+1\times3\times5\times4+4\times6\times5\times4=560

Existem $560$ números.

17.

Considera todos os números naturais de quatro algarismos. Quantos desses números:

têm algarismos todos diferentes ou todos iguais?
têm pelo menos dois algarismos iguais?

a) \(9+9\times9\times8\times7=4545\)

b) \(9000-9\times9\times8\times7=4464\)

a) $4545$; b) $4464$.

18.

Numa caixa estão seis bolas numeradas de $1$ a $6$. De quantas maneiras se podem colocar lado a lado de modo que:

as bolas com os números $1$ e $2$ fiquem uma ao lado da outra?
não fiquem dois algarismos pares seguidos?
os algarismos pares fiquem seguidos e por ordem crescente?

a) \(2\times5\times4!=240\)

b) \(2\times3!\times3!=72\)

c) \(1\times4\times3!=24\)

a) $240$; b) $72$; c) $24$.

19.

O Tomé vai colorir as faces de um dado cúbico numerado de $1$ a $6$, usando $8$ cores disponíveis.

De quantas formas é possível colorir o cubo?
De quantas formas, se as faces com números pares tiverem todas a mesma cor, diferente das restantes faces?

a) \(8^6=262144\)

b) \(8\times7^3=2744\)

a) $262144$; b) $2744$.

20.

Uma turma tem $28$ alunos, $13$ rapazes e $15$ raparigas. Pretende-se formar uma comissão com três alunos de ambos os sexos. Explica as duas respostas:

15\times{}^{13}C_2+13\times{}^{15}C_2\qquad\text{e}\qquad{}^{28}C_3-{}^{13}C_3-{}^{15}C_3

A primeira expressão separa os casos: uma rapariga e dois rapazes, ou um rapaz e duas raparigas. A segunda conta todas as comissões e retira as formadas só por rapazes e só por raparigas.

15\times{}^{13}C_2+13\times{}^{15}C_2=2535

Formam-se $2535$ comissões.

21.

De quantas maneiras podemos tirar $6$ cartas de um baralho de $52$ cartas, se:

não forem impostas condições?
forem todas copas?
forem $3$ de copas e $3$ de paus?
forem $3$ de um naipe e $3$ de outro?
forem $4$ de copas e $2$ de paus?
forem $4$ de um naipe e $2$ de outro?
forem $2$ de um valor, uma de outro e $3$ de outro?
forem $3$ de um valor e $3$ de outro?

a) \({}^{52}C_6=10358520\)

b) \({}^{13}C_6=1716\)

c) \({}^{13}C_3^2=81796\)

d) \({}^{4}C_2\times{}^{13}C_3^2=490776\)

e) \({}^{13}C_4\times{}^{13}C_2=55770\)

f) \({}^{4}A_2\times{}^{13}C_4\times{}^{13}C_2=669240\)

g) \({}^{13}A_3\times{}^{4}C_2\times{}^{4}C_1\times{}^{4}C_3=164736\)

h) \({}^{13}C_2\times{}^{4}C_3^2=1248\)

22.

Com $10$ livros todos diferentes, $5$ de Física, $3$ de Matemática e $2$ de Informática, de quantas maneiras podemos arrumá-los numa prateleira se:

não forem impostas condições?
tiverem de ficar juntos por temas?
só os de Matemática tiverem de ficar juntos?

a) \(10!=3628800\)

b) \(3!\times5!\times3!\times2!=8640\)

c) \(8\times3!\times7!=241920\)

a) $3628800$; b) $8640$; c) $241920$.

23.

Numa geladaria podem confecionar-se $78$ taças diferentes, com dois sabores distintos em cada taça. Quantos sabores distintos existem nessa geladaria?

{}^{n}C_2=78\Rightarrow \dfrac{n(n-1)}2=78\Rightarrow n=13

Existem $13$ sabores distintos.

24.

Um teste tem cinco questões de escolha múltipla, cada uma com quatro opções, e $10$ questões de Verdadeiro ou Falso. De quantas maneiras se pode responder a todas as questões?

4^5\times2^{10}=1048576

Há $1048576$ maneiras.

25.

Considera todos os números que se podem escrever utilizando os algarismos $1,1,2,2,2,3,3,4$. Quantos desses números são pares?

O algarismo das unidades é $2$ ou $4$.

{}^{7}C_2\times{}^{5}C_2\times{}^{3}C_2+{}^{7}C_2\times{}^{5}C_3=840

Há $840$ números pares.

26.

Um código multibanco tem $4$ algarismos todos diferentes. O primeiro e o último estão na mesma linha horizontal do teclado, e o segundo e o terceiro estão na linha imediatamente acima. Quantos códigos existem?

Há duas possibilidades para as duas linhas usadas: $4,5,6$ com $1,2,3$, ou $7,8,9$ com $4,5,6$.

2\times{}^{3}C_2\times2!\times{}^{3}C_2\times2!=72

Existem $72$ códigos.

27.

Há quatro bandeiras amarelas iguais, quatro vermelhas iguais e quatro brancas iguais. Dez bandeiras vão ser colocadas em fila. Explica a expressão:

{}^{3}C_2\times{}^{10}C_4\times{}^{6}C_4+{}^{3}C_2\times{}^{10}C_3\times{}^{7}C_3

O primeiro termo corresponde a usar $4$, $4$ e $2$ bandeiras das três cores. O segundo corresponde a usar $3$, $3$ e $4$ bandeiras. Em cada caso escolhem-se as cores e as posições ocupadas.

{}^{3}C_2{}^{10}C_4{}^{6}C_4+{}^{3}C_2{}^{10}C_3{}^{7}C_3=22050

28.

Numa turma há $25$ alunos. De quantas maneiras se podem sentar nas cinco filas de uma sala, de seis lugares cada uma, de forma que o Bernardo e o Frederico não fiquem juntos lado a lado? Apresenta apenas a expressão.

{}^{30}A_{25}-2!\times5\times5\times{}^{28}A_{23}

Conta-se o total de formas de sentar os $25$ alunos em $30$ lugares e retira-se o caso em que Bernardo e Frederico ocupam dois lugares consecutivos na mesma fila.

29.

Há três alunos do 10.º ano, três do 11.º ano e três do 12.º ano.

De quantas maneiras se podem colocar em fila, de modo que os alunos do mesmo ano fiquem juntos?
Pretende-se tirar uma fotografia com cinco elementos deste grupo, sabendo que a Vitória apenas estará na fotografia caso a Raquel também esteja.

a) \(3!\times3!\times3!\times3!=1296\)

b) \({}^{7}C_3\times5!+{}^{7}C_4\times5!+{}^{7}A_5=10920\)

a) $1296$; b) $10920$.

30.

Considera as letras da palavra MATEMATICA. Determina o número de maneiras de escrever palavras com cinco dessas letras de modo que:

as letras sejam todas diferentes;
sejam usados os três A e as restantes letras sejam todas diferentes;
duas das letras usadas sejam iguais e as restantes diferentes;
dois pares de letras sejam iguais;
pelo menos uma das letras usadas seja um A e as restantes sejam diferentes;
sejam utilizados os dois M ou os dois T, mas não em simultâneo.

a) \({}^{6}A_5=720\)

b) \({}^{5}C_3\times{}^{5}C_2\times2!=200\)

c) \(3\times{}^{5}C_2\times{}^{5}C_3\times3!=1800\)

d) \({}^{3}C_2\times{}^{4}C_1\times{}^{5}C_2\times{}^{3}C_2=360\)

e) \({}^{5}C_4\times5!+{}^{5}C_2{}^{5}C_3\times3!+{}^{5}C_3{}^{5}C_2\times2!=1400\)

f) \(2\left({}^{5}C_2+{}^{5}C_2{}^{3}C_2\times4+{}^{5}C_2{}^{5}C_3\times3!\right)=1460\)

31.

Pretende-se arrumar numa prateleira nove DVD, entre os quais a trilogia O Senhor dos Anéis.

Os três filmes da trilogia ficam juntos e ordenados por ano crescente.
Arrumando ao acaso, os filmes da trilogia ficam separados.

a) \(7!=5040\)

b) \(6!\times{}^{7}C_3\times3!=151200\)

a) $5040$; b) $151200$.

32.

Um sólido tem $12$ faces, quatro quadradas e oito hexagonais. Duas faces já estão numeradas com $1$ e $2$. Pretende-se numerar as restantes faces com $3$ a $12$, de modo que nas faces quadradas sejam colocados, no máximo, dois números ímpares. Escreve uma expressão.

Nas três faces quadradas livres podem ficar três pares, ou dois pares e um ímpar.

{}^{5}A_3\times8!+3\times5\times{}^{5}A_2\times8!

33.

Um autor tem $n$ contos inéditos e outros três já publicados. A editora pode selecionar dois contos deste autor de $21$ maneiras. Determina $n$.

{}^{n+3}C_2=21\Rightarrow \dfrac{(n+3)(n+2)}2=21\Rightarrow n=4

Há $4$ contos inéditos.

34.

Um saco contém $30$ bolas, $n$ azuis e as restantes brancas, havendo mais azuis do que brancas. O número de maneiras de escolher duas bolas da mesma cor é $219$. Determina $n$.

{}^{n}C_2+{}^{30-n}C_2=219

n^2-30n+216=0\Rightarrow n=12\vee n=18

Como há mais bolas azuis do que brancas, $n>15$.

$n=18$.

35.

Um tabuleiro tem $28$ casas. Pretendem dispor-se $20$ fichas: sete azuis indistinguíveis, seis encarnadas indistinguíveis e sete distintas marcadas de A a G. Explica as duas respostas:

Tabuleiro de 28 casas e exemplo de disposição das fichas

{}^{28}C_7\times{}^{21}C_6\times{}^{15}A_7\qquad\text{e}\qquad{}^{28}C_{20}\times{}^{20}A_7\times{}^{13}C_7

Na primeira expressão escolhem-se primeiro as casas das azuis, depois das encarnadas e, por fim, colocam-se ordenadamente as sete fichas com letras. Na segunda escolhem-se as $20$ casas ocupadas, colocam-se as sete fichas com letras e escolhem-se as $7$ casas das azuis entre as $13$ restantes.

36.

Um baralho completo tem $52$ cartas, quatro naipes de $13$ cartas, cada um com três figuras.

Quantas filas de sete cartas se podem formar se as três primeiras são figuras, a última é um ás e as restantes três são cartas encarnadas que não são figuras nem ases?
De quantas maneiras se podem extrair seis cartas, com exatamente duas espadas e, entre as restantes quatro, no máximo três ouros?

a) \({}^{12}A_3\times{}^{18}A_3\times4=25850880\)

b) \({}^{13}C_2\times{}^{39}C_4-{}^{13}C_2\times{}^{13}C_4=6359808\)

a) $25850880$; b) $6359808$.

37.

Um saco contém $16$ bolas indistinguíveis ao tato: três com número $1$, cinco com número $2$, seis com número $3$ e duas com número $4$. De quantas maneiras distintas se podem colocar numa fila, de modo que as bolas com número $2$ fiquem juntas?

12\times{}^{11}C_3\times{}^{8}C_6=55440

Há $55440$ maneiras.

38.

Quantos números de $16$ algarismos se podem formar com os algarismos do número $1233325671211229$?

Há quatro $1$, cinco $2$, três $3$, e ainda $5,6,7,9$.

{}^{16}C_4\times{}^{12}C_5\times{}^{7}C_3\times4!=1210809600

Formam-se $1210809600$ números.

39.

Considera todos os números que se podem escrever com os algarismos $1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Em quantos desses números o algarismo $2$ aparece exatamente duas vezes?
Em alguns desses números os dois últimos algarismos são pares e a soma dos algarismos é par. Justifica a expressão $4^5+{}^{3}C_2\times5^2\times4^3$.

a) \({}^{5}C_2\times8^3=5120\)

Na alínea b), ou todos os cinco algarismos são pares, ou há exatamente três algarismos pares. As duas últimas posições já são pares.

b) \(4^5+{}^{3}C_2\times5^2\times4^3=5824\)

40.

Um grupo de dez pessoas foi contratado para uma mesma função. De quantas maneiras se podem dividir as dez pessoas em:

dois grupos de cinco pessoas?
três grupos, dois de quatro pessoas e um de duas?
quatro grupos, um de uma, um de duas, um de três e um de quatro?
quatro grupos, dois de duas pessoas e dois de três pessoas?

a) \(\dfrac{10!}{5!\,5!\,2!}=126\)

b) \(\dfrac{10!}{4!\,4!\,2!\,2!}=1575\)

c) \(\dfrac{10!}{1!\,2!\,3!\,4!}=12600\)

d) \(\dfrac{10!}{2!\,2!\,3!\,3!\,2!\,2!}=6300\)

a) $126$; b) $1575$; c) $12600$; d) $6300$.

41.

Numa cimeira estiveram presentes diplomatas da China, Japão, EUA e França: $3$, $4$, $6$ e $5$, respetivamente. Sentam-se numa mesa retangular com $18$ lugares. De quantas maneiras se podem sentar de modo que os da China fiquem consecutivos, os do Japão também, mas sem haver um diplomata da China ao lado de um do Japão?

Formam-se dois blocos, China e Japão. Esses blocos ocupam duas das $12$ posições possíveis criadas pelos $11$ restantes diplomatas e pelas pontas, sem ficarem adjacentes entre si.

{}^{12}C_2\times2!\times3!\times4!\times11!=758738534400

Há $758738534400$ maneiras.