Problemas de Contagem 2

Lançou-se um dado cúbico, com as faces numeradas de 1 a 6, e um dado octaédrico, com as faces numeradas de 1 a 8, e registaram-se os números das faces que ficaram voltadas para cima. Quantos são os resultados possíveis para esta experiência?

Há \(6\) resultados possíveis para o dado cúbico e \(8\) para o dado octaédrico.

6\times8=48

Há \(48\) resultados possíveis.

Considera os conjuntos \(A=\{2,3,5,7\}\), \(B=\{1,3,5,7,9\}\) e \(C=\{2,4,8\}\). Em referencial o.n. \(Oxyz\), considera os pontos tais que as abcissas pertencem a \(A\), as ordenadas pertencem a \(B\) e as cotas pertencem a \(C\). Quantos são esses pontos?

Escolhe-se uma abcissa, uma ordenada e uma cota.

|A|\times|B|\times|C|=4\times5\times3=60

Existem \(60\) pontos.

Seja \(D\) o conjunto dos números naturais maiores do que \(10\) e menores do que \(99\). Determina quantos são os elementos de \(D\) em que o produto dos dois algarismos é um número natural par.

Para o produto ser um número natural, o algarismo das unidades não pode ser \(0\). Assim, contam-se os números de \(11\) a \(98\) sem unidades nulas.

8\times9+8=80

O produto é ímpar apenas quando os dois algarismos são ímpares.

4\times5+4=24

\(80-24=56\)

Há \(56\) elementos de \(D\).

Determina o número de sequências diferentes que se podem formar inserindo quatro missangas num fio, sabendo que estão disponíveis missangas vermelhas, verdes e azuis, e que para cada uma destas cores há mais de quatro missangas.

Cada uma das quatro posições pode ser ocupada por uma missanga de uma de \(3\) cores.

\(3^4=81\)

Podem formar-se \(81\) sequências.

Um saco contém sete cartões, numerados de 1 a 7. Extrai-se um cartão, regista-se o algarismo nele inscrito e repõe-se o cartão no saco. Efetua-se este procedimento três vezes, formando um número de três algarismos.

Quantos números é possível formar?
Dos números que é possível formar, quantos têm exatamente dois algarismos pares?
Dos números que é possível formar, quantos são ímpares?

a) Com reposição

\(7^3=343\)

b) Exatamente dois algarismos pares

Há \(3\) algarismos pares e \(4\) ímpares. Escolhe-se a posição do algarismo ímpar.

3\times4\times3\times3=108

c) Números ímpares

7\times7\times4=196

a) \(343\); b) \(108\); c) \(196\).

Quantos arco-íris se poderiam formar se as suas sete cores pudessem permutar entre si?

As sete cores são todas distintas e podem ser ordenadas livremente.

\(7!=5040\)

Podem formar-se \(5040\) arco-íris.

Seis jovens vão concorrer a um sorteio de seis viagens: Barcelona, Berlim, Londres, Madrid, Paris e Roma. Supondo que cada jovem vai ganhar uma viagem, de quantas maneiras diferentes pode resultar este sorteio?

É uma permutação das \(6\) viagens pelos \(6\) jovens.

\(6!=720\)

O sorteio pode resultar de \(720\) maneiras.

Num debate participam oito convidados, havendo dois representantes por cada uma das quatro organizações. O moderador já está sentado num dos lados de uma mesa retangular. Os oito participantes vão sentar-se, quatro à esquerda e quatro à direita do moderador. De quantas maneiras se podem dispor os oito participantes, de modo que os elementos da mesma organização fiquem juntos?

Cada organização forma um bloco de \(2\) pessoas. Há \(4\) blocos a distribuir pelos quatro lugares de blocos, e dentro de cada bloco os dois representantes podem trocar de lugar.

4!\times2^4=24\times16=384

Há \(384\) disposições possíveis.

A Lurdes quer arrumar doze livros de aventuras numa prateleira. Desses livros, cinco são da coleção Uma Aventura, quatro são da coleção Os Cinco e três são de uma coleção de Júlio Verne. Determina de quantas maneiras diferentes podem os doze livros ficar dispostos na prateleira, se:

não houver restrições;
na extremidade esquerda ficar um livro de Júlio Verne;
na extremidade esquerda ficar um livro de Júlio Verne e na extremidade direita ficar um livro de Enid Blyton;
os dois livros do meio forem ambos da coleção Uma Aventura;
os quatro livros do meio forem os da coleção Os Cinco;
os livros de cada coleção ficarem juntos;
os livros de Júlio Verne ficarem juntos;
o livro Os Cinco na Ilha do Tesouro não ficar ao lado do livro Uma Aventura em Lisboa;
os dois livros do meio forem de coleções diferentes.

a) \(12!=479001600\)

b) \(3\times11!=119750400\)

c) \(3\times4\times10!=43545600\)

d) \(5\times4\times10!=72576000\)

e) \(4!\times8!=967680\)

f) \(3!\times5!\times4!\times3!=103680\)

g) \(10!\times3!=21772800\)

h) \(12!-11!\times2=399168000\)

i) \(12!-5\times4\times10!-4\times3\times10!-3\times2\times10!=341107200\)

Resultados: \(479001600,\ 119750400,\ 43545600,\ 72576000,\ 967680,\ 103680,\ 21772800,\ 399168000,\ 341107200\).

10.

Uma seleção de hóquei em patins tem dez jogadores: quatro do clube A, três do clube B e os restantes três de outros clubes. Os dez jogadores vão posar lado a lado. Quantas fotografias diferentes se podem tirar, se:

os quatro jogadores do clube A ficarem no meio;
os quatro jogadores do clube A ficarem juntos, bem como os três jogadores do clube B;
os sete jogadores dos clubes A e B ficarem juntos, ficando cada jogador do clube B entre dois do clube A?

a) Clube A no meio

4!\times6!=17280

b) Bloco A e bloco B

5!\times4!\times3!=17280

c) Jogadores de B entre jogadores de A

Dentro do bloco dos sete jogadores, o padrão tem de ser \(A\,B\,A\,B\,A\,B\,A\).

4!\times3!\times4!=3456

a) \(17280\); b) \(17280\); c) \(3456\).

11.

Oito atletas vão fazer uma corrida. De quantas maneiras diferentes se poderão colocar três deles no pódio?

A ordem no pódio é relevante.

{}^{8}A_3=8\times7\times6=336

Há \(336\) pódios possíveis.

12.

Uma empresa fabrica dois tipos de pratos para aperitivos. Num tipo, os pratos estão divididos em três setores diferentes; no outro, em quatro setores diferentes. Em ambos, cada setor é pintado de uma cor, sem repetição no mesmo prato. As cores disponíveis são \(5\) no primeiro tipo e \(6\) no segundo. Determina o número de pratos diferentes que a empresa pode fabricar.

No primeiro tipo, a ordem dos setores é relevante e escolhem-se \(3\) cores entre \(5\). No segundo, escolhem-se \(4\) cores entre \(6\).

{}^{5}A_3+{}^{6}A_4=5\times4\times3+6\times5\times4\times3=60+360=420

A empresa pode fabricar \(420\) pratos diferentes.

13.

Seja \(P=\{2,3,5,7\}\). Considera o conjunto \(A\) dos números naturais compreendidos entre \(10\) e \(1000\) cujos algarismos pertencem a \(P\).

Determina o cardinal de \(A\).
Determina quantos elementos de \(A\) têm os algarismos todos diferentes.
De entre os elementos da alínea anterior, determina quantos são múltiplos de \(2\) ou de \(5\).
Determina quantos elementos de \(A\) têm dois ou três algarismos iguais.

a) \(4^2+4^3=80\)

b) \({}^{4}A_2+{}^{4}A_3=36\)

c) \(2\times(3\times1+3\times2\times1)=18\)

d) \((4^2+4^3)-({}^{4}A_2+{}^{4}A_3)=44\)

a) \(80\); b) \(36\); c) \(18\); d) \(44\).

14.

Um saco contém sete cartões, numerados de 1 a 7. Extraem-se, sem reposição, três cartões e dispõem-se da esquerda para a direita pela ordem de saída, formando um número.

Quantos números é possível formar?
Quantos têm exatamente dois algarismos pares?
Quantos são ímpares?

a) \({}^{7}A_3=7\times6\times5=210\)

Para ter exatamente dois algarismos pares, escolhe-se a posição do algarismo ímpar, escolhe-se esse ímpar e ordenam-se dois pares.

b) \(3\times4\times{}^{3}A_2=72\)

Para ser ímpar, a unidade deve ser \(1,3,5\) ou \(7\).

c) \(6\times5\times4=120\)

a) \(210\); b) \(72\); c) \(120\).

15.

Seja \(A=\{3,4,5,6,7,8,9\}\). Considera o conjunto \(B\) dos números naturais compreendidos entre \(5000\) e \(10000\) cujos algarismos pertencem a \(A\).

Determina o cardinal de \(B\).
Dos elementos de \(B\), quantos têm algarismos todos diferentes?
Dos elementos de \(B\), quantos têm pelo menos dois algarismos iguais?

Os números têm quatro algarismos. O algarismo dos milhares só pode ser \(5,6,7,8\) ou \(9\).

a) \(5\times7^3=1715\)

b) \(5\times6\times5\times4=600\)

c) \(1715-600=1115\)

a) \(1715\); b) \(600\); c) \(1115\).

16.

Com os algarismos \(2,3,5\) e \(7\), quantos números naturais se podem escrever que tenham no máximo quatro algarismos, nunca repetindo algarismos em cada número?

Contam-se os números com \(1\), \(2\), \(3\) e \(4\) algarismos.

{}^{4}A_1+{}^{4}A_2+{}^{4}A_3+{}^{4}A_4=4+12+24+24=64

Podem escrever-se \(64\) números.

Continuação

17.

Completa cada uma das seguintes igualdades:

a) \(15!=\_\_\_\times14!\)

b) \(16!\times\_\_\_=17!\)

c) \(\dfrac{5!}{5}=\_\_\_!\)

d) \(\dfrac{9!}{8!}=\_\_\_\)

e) \(\dfrac{7!}{5!}=\_\_\_\)

a) \(15!=15\times14!\)

b) \(17!=17\times16!\)

c) \(\dfrac{5!}{5}=4!\)

d) \(\dfrac{9!}{8!}=9\)

e) \(\dfrac{7!}{5!}=7\times6=42\)

a) \(15\); b) \(17\); c) \(4\); d) \(9\); e) \(42\).

18.

Resolve, em \(\mathbb N\), as seguintes equações:

\(\dfrac{n^2}{5!}=1+\dfrac{n^2}{6!}\)
\(\dfrac{(n+1)!-n!}{(n+1)!+n!}=0,9\)

a) Primeira equação

\dfrac{n^2}{120}=1+\dfrac{n^2}{720}

6n^2=720+n^2\Rightarrow5n^2=720\Rightarrow n^2=144\Rightarrow n=12

b) Segunda equação

\dfrac{(n+1)!-n!}{(n+1)!+n!}=\dfrac{n!\big((n+1)-1\big)}{n!\big((n+1)+1\big)}=\dfrac{n}{n+2}

\dfrac{n}{n+2}=\dfrac9{10}\Rightarrow10n=9n+18\Rightarrow n=18

a) \(n=12\); b) \(n=18\).

19.

O código de acesso a um serviço de internet é constituído por cinco letras e dois algarismos. Os dois algarismos estão sempre nas duas últimas posições. Podem ser usadas as \(26\) letras do alfabeto e os \(10\) algarismos. Determina quantos códigos diferentes se podem formar:

sem restrições;
sem repetir letras nem algarismos;
sem vogais e com os dois algarismos iguais;
com as três primeiras letras vogais e apenas os algarismos \(3,5,7\);
sem consoantes e com as letras todas diferentes;
com soma dos dois algarismos ímpar e maior do que \(12\).

a) \(26^5\times10^2=1188137600\)

b) \({}^{26}A_5\times{}^{10}A_2=710424000\)

c) \(21^5\times10=40841010\)

d) \(5^3\times26^2\times3^2=760500\)

e) \(5!\times10^2=12000\)

Para a alínea f), os pares ordenados de algarismos com soma ímpar maior do que \(12\) são \(12\): somas \(13\), \(15\) e \(17\).

f) \(26^5\times12=142576512\)

a) \(1188137600\); b) \(710424000\); c) \(40841010\); d) \(760500\); e) \(12000\); f) \(142576512\).

20.

Seja \(M\) o conjunto dos números naturais maiores do que \(1000\) e menores do que \(5666\).

Quantos elementos de \(M\) têm os algarismos todos diferentes?
Quantos elementos de \(M\) não têm dois algarismos consecutivos iguais?
Quantos elementos de \(M\) são capicuas?

a) Algarismos todos diferentes

Para milhares \(1,2,3,4\): \(4\times9\times8\times7\). Para começar por \(5\), se a centena é \(0,1,2,3,4\), há \(5\times8\times7\); se a centena é \(6\), a dezena pode ser \(0,1,2,3,4\), e há \(5\times7\).

4\times9\times8\times7+5\times8\times7+5\times7=2331

b) Sem algarismos consecutivos iguais

4\times9^3+5\times9^2+6\times9=3375

c) Capicuas

Para milhares \(1,2,3,4\), há \(10\) escolhas para a centena. Para milhares \(5\), as capicuas possíveis são \(5005,5115,\ldots,5665\).

4\times10+7=47

a) \(2331\); b) \(3375\); c) \(47\).

21.

Numa paragem de autocarro estão \(12\) pessoas: seis homens e seis mulheres. Dois dos homens são idosos. O autocarro tem apenas \(10\) lugares sentados. Os idosos entram primeiro e sentam-se; depois sentam-se as seis mulheres; finalmente, sentam-se mais dois homens. De quantas maneiras diferentes podem ficar ocupados os dez lugares?

Primeiro sentam-se os dois idosos em \(10\) lugares; depois as \(6\) mulheres nos \(8\) lugares restantes; por fim, escolhem-se e ordenam-se \(2\) dos \(4\) homens restantes.

{}^{10}A_2\times{}^{8}A_6\times{}^{4}A_2=90\times20160\times12=21772800

Há \(21772800\) ocupações possíveis.

22.

Cada equipa de futebol é constituída por doze jogadores: seis efetivos e seis suplentes. O treinador vai escolher os seis efetivos para iniciar um jogo. Quantas escolhas diferentes pode fazer?

A ordem dos seis jogadores escolhidos não é relevante.

{}^{12}C_6=924

Pode fazer \(924\) escolhas.

23.

Quantos são os números naturais ímpares de cinco algarismos que têm exatamente dois algarismos iguais a zero?

O algarismo das unidades é ímpar, logo não é zero. O primeiro algarismo também não pode ser zero. Assim, os dois zeros ficam em duas das três posições intermédias.

9\times{}^{3}C_2\times9\times5=1215

Existem \(1215\) números.

24.

Considera cinco pontos pertencentes a uma circunferência.

Quantas cordas existem com extremos nestes pontos?
Quantos triângulos existem com vértices nestes pontos?

Cada corda é determinada por dois pontos e cada triângulo por três pontos.

a) \({}^{5}C_2=10\)

b) \({}^{5}C_3=10\)

a) \(10\); b) \(10\).

25.

A Maria vai organizar um lanche. Numa pastelaria vendem-se \(14\) tipos diferentes de bolos.

Se a Maria comprar seis bolos diferentes, quantas escolhas pode fazer?
A Maria optou por comprar seis bolos iguais. Vai dispô-los num prato dividido em dez setores, cada um com a sua cor. De quantas maneiras diferentes pode dispor os seis bolos no prato?

a) \({}^{14}C_6=3003\)

Na alínea b), os bolos são iguais; basta escolher os \(6\) setores ocupados.

b) \({}^{10}C_6=210\)

a) \(3003\); b) \(210\).

26.

A direção de uma coletividade tem de se fazer representar por três dos seus sete membros: Ana, Sofia, Lurdes, Mário, Agostinho, Paulo e Artur.

Quantas comissões diferentes poderão ser constituídas?
Quantas comissões diferentes poderão ser constituídas em que a Ana esteja incluída?
Quantas comissões diferentes poderão ser constituídas em que a Ana e o Artur não estejam simultaneamente?
Quantas comissões poderão ser constituídas, de tal modo que os dois sexos estejam representados?

a) \({}^{7}C_3=35\)

b) \({}^{6}C_2=15\)

c) \({}^{7}C_3-{}^{5}C_1=35-5=30\)

Há \(3\) mulheres e \(4\) homens. Para ter os dois sexos representados, retiram-se as comissões só de mulheres ou só de homens.

d) \({}^{7}C_3-{}^{3}C_3-{}^{4}C_3=35-1-4=30\)

a) \(35\); b) \(15\); c) \(30\); d) \(30\).

27.

O João tem uma caixa dividida em dez compartimentos diferentes. Cada compartimento só pode ser ocupado por um único lápis ou por uma única caneta. O João vai guardar cinco lápis, todos iguais, e cinco canetas, todas diferentes. Quantas disposições diferentes poderão ocorrer?

Escolhem-se os \(5\) compartimentos para os lápis iguais e, depois, permutam-se as \(5\) canetas diferentes nos restantes compartimentos.

{}^{10}C_5\times5!=252\times120=30240

Podem ocorrer \(30240\) disposições.

28.

Cada chave do Euromilhões é constituída por cinco números de \(1\) a \(50\) e por dois números, as estrelas, de \(1\) a \(12\). Quantas chaves diferentes poderão ocorrer?

A ordem dos números e das estrelas não é relevante.

{}^{50}C_5\times{}^{12}C_2=2118760\times66=139838160

Há \(139838160\) chaves diferentes.

29.

Queremos colocar no tabuleiro representado seis botões brancos, todos iguais, e quatro botões de cores diferentes. Cada botão ocupa uma casa e em cada casa não se pode colocar mais do que um botão.

De quantas maneiras diferentes podem os botões ficar dispostos no tabuleiro?
De quantas maneiras diferentes podem os botões ficar dispostos no tabuleiro, se os botões que não são brancos ficarem todos numa mesma fila?

O tabuleiro tem \(12\) casas. Primeiro escolhem-se as casas dos \(6\) botões brancos; depois distribuem-se os \(4\) botões coloridos pelas casas restantes.

a) \({}^{12}C_6\times{}^{6}A_4=332640\)

Para os botões coloridos ficarem na mesma fila, escolhe-se uma das \(3\) filas e permutam-se os \(4\) botões nessa fila. Depois escolhem-se \(6\) das \(8\) casas restantes para os botões brancos.

b) \(3\times4!\times{}^{8}C_6=2016\)

a) \(332640\); b) \(2016\).

30.

O casal Rocha tem dois filhos e o casal Costa tem três. Num certo dia, os dois casais e os respetivos filhos dispõem-se ao acaso, lado a lado, para uma fotografia. De quantas maneiras se podem dispor, de modo que os elementos de cada família fiquem juntos?

A família Rocha tem \(4\) elementos e a família Costa tem \(5\). Cada família é tratada como um bloco, e os blocos podem trocar de posição.

4!\times5!\times2=5760

Podem dispor-se de \(5760\) maneiras.

31.

Os \(20\) alunos de uma turma do 12.º ano, \(12\) rapazes e \(8\) raparigas, vão fazer teste de Matemática.

A professora fez três versões do enunciado: seis da versão 1, seis da versão 2 e oito da versão 3. De quantas maneiras podem ser distribuídos os enunciados?
A fila da janela tem seis mesas individuais. De quantas maneiras pode ser ocupada, ficando duas raparigas nos dois primeiros lugares?

Na primeira alínea, escolhem-se os \(6\) alunos que recebem a versão 1, depois os \(6\) que recebem a versão 2; os restantes recebem a versão 3.

a) \({}^{20}C_6\times{}^{14}C_6=116396280\)

Na segunda alínea, as duas primeiras mesas são ocupadas por duas raparigas ordenadas; as restantes quatro mesas são ocupadas por quatro dos restantes \(18\) alunos.

b) \({}^{8}A_2\times{}^{18}A_4=4112640\)

a) \(116396280\); b) \(4112640\).

32.

O alfabeto Morse usa os símbolos ponto e traço para codificar mensagens.

Quantas sequências de cinco símbolos é possível escrever?
Sabendo que determinada sequência tem seis símbolos e começa e acaba com um traço, quantas sequências é possível escrever?
Qual é o número de sequências que é possível escrever com o número máximo de quatro símbolos?
Quantas sequências de seis símbolos é possível escrever que tenham os dois símbolos do meio iguais?
Quantas sequências de seis símbolos é possível escrever que tenham pelo menos dois pontos?

a) \(2^5=32\)

b) \(2^4=16\)

c) \(2+2^2+2^3+2^4=30\)

d) \(2\times2^4=32\)

Para ter pelo menos dois pontos, retira-se ao total o caso sem pontos e os casos com exatamente um ponto.

e) \(2^6-(1+{}^{6}C_1)=64-7=57\)

a) \(32\); b) \(16\); c) \(30\); d) \(32\); e) \(57\).

33.

Para um jogo da Seleção Nacional de futebol, o selecionador convocou \(23\) jogadores: três guarda-redes, seis defesas, oito médios e seis avançados. De quantas maneiras pode formar a equipa sabendo que:

pretende jogar com um guarda-redes, quatro defesas, três médios e três avançados?
pretende jogar com um guarda-redes, quatro defesas, quatro médios e dois avançados?

a) \({}^{3}C_1\times{}^{6}C_4\times{}^{8}C_3\times{}^{6}C_3=50400\)

b) \({}^{3}C_1\times{}^{6}C_4\times{}^{8}C_4\times{}^{6}C_2=47250\)

a) \(50400\); b) \(47250\).

34.

Num saco estão seis bolas azuis, numeradas de 1 a 6, e sete bolas verdes, numeradas de 1 a 7. Retiram-se todas as bolas do saco, uma a uma, sem reposição, e alinham-se sobre uma mesa. Quantas sequências diferentes é possível formar com as 13 bolas desde que:

não haja qualquer restrição?
as bolas da mesma cor fiquem seguidas?
as bolas azuis fiquem seguidas?
as bolas verdes fiquem seguidas e por ordem crescente?
não haja bolas verdes seguidas?

a) \(13!=6227020800\)

Se as bolas da mesma cor ficam seguidas, há dois blocos de cor e permutações internas.

b) \(6!\times7!\times2=7257600\)

Se as azuis ficam seguidas, tratam-se as seis azuis como um bloco, juntamente com as sete verdes.

c) \(8!\times6!=29030400\)

Se as verdes ficam seguidas e por ordem crescente, o bloco das verdes tem ordem fixa.

d) \(7!=5040\)

Para não haver bolas verdes seguidas, as \(7\) bolas verdes ocupam os \(7\) espaços criados pelas \(6\) bolas azuis.

e) \(7!\times6!=3628800\)

a) \(6227020800\); b) \(7257600\); c) \(29030400\); d) \(5040\); e) \(3628800\).