Problemas de Contagem 1

📌 Resumo teórico

Como escolher o método — antes de usar a fórmula

O que é um resultado? Identifica se estás a escolher um grupo, a preencher posições ou a atribuir cargos.
Trocar dois elementos muda o resultado? Num pódio muda: a ordem interessa. Numa comissão sem cargos não muda: a ordem não interessa.
Pode repetir-se o mesmo elemento? Com reposição, as opções mantêm-se; sem reposição, cada escolha retira uma opção.
Há restrições? Trata primeiro as posições mais limitadas. Se o número de opções depender de uma escolha anterior, separa os casos necessários.

O significado de «um arranjo de 5, 3 a 3»

Para atribuir três cargos diferentes a cinco pessoas, usamos \({}^{5}A_3\): o 5 é o número de pessoas disponíveis e o 3 é o número de cargos a preencher. A ordem interessa, porque trocar os titulares altera a atribuição, e não há repetição, porque cada pessoa só pode ocupar um cargo.

\[{}^{5}A_3=\underbrace{5}_{\text{1.º cargo}}\times\underbrace{4}_{\text{2.º cargo}}\times\underbrace{3}_{\text{3.º cargo}}=60\]

Se apenas quisermos escolher uma comissão de três pessoas, os mesmos três nomes representam o mesmo grupo nas \(3!=6\) ordens possíveis. Dividimos por essas ordens: \({}^{5}C_3=60/6=10\). Se forem três posições de um código, cada uma com cinco símbolos e repetição permitida, temos \(5^3=125\).

Quando multiplicar, somar ou subtrair

Multiplicar etapas: cada resultado exige realizar todas as escolhas. Sem repetição, as opções mudam, mas podemos multiplicar se o número de continuações for o mesmo para cada escolha dessa etapa.
Somar casos: os casos devem cobrir todas as possibilidades e não se sobrepor. Se se sobrepuserem, é preciso corrigir as contagens repetidas.
Usar o complementar: contar todos e retirar exatamente os que falham a condição. Por exemplo, «pelo menos um» é o total menos «nenhum».

Uma boa justificação: «Uso este método porque…; este número representa…; multiplico estas etapas / somo estes casos porque…». Confirmar se cada resultado foi contado uma única vez é tão importante como calcular a fórmula.

Princípios de contagem

Princípio multiplicativo: se uma tarefa se faz em etapas sucessivas com \(n_1,n_2,\ldots,n_k\) possibilidades, há \(n_1\times n_2\times\cdots\times n_k\) maneiras;
Princípio aditivo: se os casos se dividem em situações que não se sobrepõem, somam-se as contagens de cada situação;
Complementar: contar "todos" e subtrair os que não servem (útil em "pelo menos um").

Fatorial

\[ n!=n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1,\qquad 0!=1,\qquad (n+1)!=(n+1)\times n! \]

Arranjos, permutações e combinações

Escolher \(p\) de \(n\) elementos	Ordem	Repetição	Número
Arranjos completos	interessa	sim	\({}^{n}A'_p=n^{p}\)
Arranjos simples	interessa	não	\({}^{n}A_p=\dfrac{n!}{(n-p)!}\)
Permutações (\(p=n\))	interessa	não	\(P_n=n!\)
Combinações	não interessa	não	\({}^{n}C_p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}\)

Estratégias frequentes

elementos que ficam juntos: trata-se o bloco como um só elemento e multiplica-se pelas permutações dentro do bloco;
dois elementos separados: total menos os casos em que ficam juntos; para separar vários elementos entre si, usar espaços entre os restantes;
mesa circular com \(n\) pessoas (só interessam as posições relativas): \((n-1)!\);
palavras com letras repetidas (anagramas): \(\dfrac{n!}{a!\,b!\cdots}\), com \(a,b,\ldots\) as repetições;
começar, em geral, pelas posições com restrições (primeiro algarismo não nulo, número par, …).

Determina sem recurso à calculadora:

1.1. \(\dfrac{6!}{3\times4!}\)

1.2. \(\dfrac{8!}{4!\times3!}\)

1.3. \(\dfrac{9!}{5!+6!}\)

1.4. \({}^{7}C_4\times3!\)

1.5. \({}^{5}A_2\times3!\)

1.6. \({}^{6}C_4\times{}^{4}A_2\)

1.7. \(\dfrac{{}^{5}A_3}{4!}\)

1.8. \(\dfrac{{}^{5}C_3}{4!}\)

Como simplificar antes de calcular

Um fatorial é um produto: \(6!=6\times5\times4!\). Desenvolve apenas até aparecer o fatorial do denominador e simplifica os fatores comuns. Numa soma, é preciso pôr primeiro o fator comum em evidência.

1.1\quad \frac{6!}{3\times4!}=\frac{6\times5\times4!}{3\times4!}=10

1.2\quad \frac{8!}{4!\times3!}=\frac{8\times7\times6\times5}{3\times2\times1}=280

Em 1.3, \(5!+6!=5!(1+6)=7\times5!\). Não se pode «cortar» um termo de uma soma com um fator do numerador.

1.3\quad \frac{9!}{5!+6!}=\frac{9\times8\times7\times6\times5!}{7\times5!}=432

Nos arranjos \({}^{n}A_p\), multiplicam-se \(p\) fatores consecutivos a partir de \(n\). Nas combinações, divide-se ainda por \(p!\), pois as \(p!\) ordens dos mesmos elementos representam uma só escolha.

1.4\quad {}^{7}C_4\times3!=\frac{7\times6\times5}{3!}\times3!=210

Usou-se \({}^{7}C_4={}^{7}C_3\): escolher os quatro que entram equivale a escolher os três que ficam de fora.

1.5\quad {}^{5}A_2\times3!=5\times4\times6=120

1.6\quad {}^{6}C_4\times{}^{4}A_2=\frac{6\times5}{2!}\times4\times3=180

1.7\quad \frac{{}^{5}A_3}{4!}=\frac{5\times4\times3}{24}=\frac52

1.8\quad \frac{{}^{5}C_3}{4!}=\frac{5\times4\times3}{3!\times24}=\frac5{12}

Estratégia: Em expressões numéricas como 1.7 e 1.8, o resultado pode ser uma fração: não se está a pedir diretamente o número de objetos de uma coleção.

Resultados: \(10,\ 280,\ 432,\ 210,\ 120,\ 180,\ \dfrac52,\ \dfrac5{12}\).

Resolve as seguintes equações:

2.1. \(\dfrac{(n+2)!+(n+1)!}{n!}=120\)

2.2. \({}^{n}A_2=342\)

2.3. \({}^{n-1}A_3=3\,{}^{n-2}A_2\)

2.4. \({}^{n}C_2=136\)

2.5. \({}^{n-1}C_3=3\,{}^{n-2}C_2\)

2.6. \({}^{n}C_2+{}^{n}A_2=360\)

2.1 Fator comum e domínio

O fatorial exige \(n\) inteiro não negativo. Como \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\) e \((n+1)!=(n+1)n!\), podemos dividir toda a soma por \(n!\), que nunca é zero.

(n+2)(n+1)+(n+1)=120\iff(n+1)(n+3)=120

n^2+4n-117=0\iff(n-9)(n+13)=0

As raízes são \(9\) e \(-13\); só \(n=9\) pertence ao domínio.

2.2 Arranjos de dois elementos

\({}^{n}A_2=n(n-1)\): há \(n\) escolhas para a primeira posição e \(n-1\) para a segunda, sem repetir; exige-se \(n\ge2\).

n(n-1)=342\iff(n-19)(n+18)=0\quad\Rightarrow\quad n=19

2.3 Arranjos de três elementos

É necessário \(n-1\ge3\), isto é, \(n\ge4\). Por isso \((n-2)(n-3)\ne0\) e é legítimo dividir ambos os membros por esse produto.

(n-1)(n-2)(n-3)=3(n-2)(n-3)\iff n-1=3\iff n=4

2.4 Combinações de dois elementos

\({}^{n}C_2=n(n-1)/2\): cada par foi contado duas vezes nos arranjos, nas duas ordens possíveis. O domínio é \(n\ge2\).

\frac{n(n-1)}2=136\iff(n-17)(n+16)=0\quad\Rightarrow\quad n=17

2.5 Combinações de três e de dois elementos

Com \(n\ge4\), desenvolvemos as combinações e simplificamos o fator não nulo \((n-2)(n-3)\). Os denominadores \(3!=6\) e \(2!=2\) são diferentes e têm de ser conservados.

\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}6=3\frac{(n-2)(n-3)}2\iff\frac{n-1}6=\frac32\iff n=10

2.6 Juntar termos semelhantes

O domínio é \(n\ge2\). Escrevemos os dois termos em função de \(n(n-1)\) e multiplicamos a equação por 2.

\frac{n(n-1)}2+n(n-1)=360\iff3n(n-1)=720

n^2-n-240=0\iff(n-16)(n+15)=0\quad\Rightarrow\quad n=16

Soluções: 2.1 \(9\); 2.2 \(19\); 2.3 \(4\); 2.4 \(17\); 2.5 \(10\); 2.6 \(16\).

Quantos são os divisores naturais de:

\(2310\)
\(2700\)

Porque se somam 1 aos expoentes

Um divisor só pode usar os fatores primos do número, com expoentes desde zero até ao expoente presente na decomposição. Escolher os expoentes determina um único divisor; multiplicamos as quantidades de escolhas.

3.1 Divisores de 2310

2310=2\times3\times5\times7\times11

Cada primo pode estar ausente (expoente 0) ou presente (expoente 1): são duas escolhas para cada um dos cinco primos. Escolher todos os expoentes zero dá o divisor 1.

\(2^5=32\)

3.2 Divisores de 2700

2700=2^2\times3^3\times5^2

Um divisor tem a forma \(2^a3^b5^c\), com \(a\in\{0,1,2\}\), \(b\in\{0,1,2,3\}\) e \(c\in\{0,1,2\}\). Há 3 escolhas para \(a\), 4 para \(b\) e 3 para \(c\).

3\times4\times3=36

3.1: \(32\) divisores; 3.2: \(36\) divisores.

De quantos modos distintos se podem arrumar cinco automóveis numa garagem com oito lugares de estacionamento?

Os cinco automóveis são distintos e os oito lugares também. Atribuímos um lugar ao primeiro automóvel (8 escolhas), ao segundo (7 lugares livres), e assim sucessivamente, até ao quinto (4 lugares livres).

Usamos \({}^{8}A_5\), um arranjo de 8 lugares, 5 a 5, porque atribuímos cinco lugares diferentes a cinco automóveis identificados. Trocar dois automóveis de lugar produz outra arrumação.

{}^{8}A_5=8\times7\times6\times5\times4=6720

Estratégia: Também se podem escolher os cinco lugares ocupados e depois distribuir os automóveis: \({}^{8}C_5\times5!=6720\). Usar só \({}^{8}C_5\) não distingue quem fica em cada lugar.

Podem arrumar-se de \(6720\) modos distintos.

De quantas formas diferentes se podem escolher três sabores de um gelado numa gelataria com dez sabores disponíveis?

Escolhemos três sabores distintos entre dez. Só interessa o conjunto de sabores: chocolate, morango e baunilha representam a mesma escolha em qualquer ordem. Não estamos a contar a posição das bolas no gelado.

Usamos \({}^{10}C_3\), uma combinação de 10 sabores, 3 a 3. O produto \(10\times9\times8\) contaria cada conjunto \(3!=6\) vezes, uma por cada ordem de escolha; dividimos por 6.

{}^{10}C_3=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120

Há \(120\) escolhas possíveis.

A turma da Beatriz tem 28 alunos, dos quais 12 são rapazes. De quantas maneiras diferentes pode resultar a eleição do delegado e do subdelegado de turma se:

o delegado for rapariga e o subdelegado for rapaz?
o delegado e o subdelegado forem do mesmo sexo?
a Beatriz for eleita?

Há 16 raparigas e 12 rapazes. Os dois cargos são distintos: trocar delegado e subdelegado altera o resultado. Uma pessoa não pode ocupar ambos.

6.1 Delegada rapariga e subdelegado rapaz

Escolhe-se uma das 16 raparigas para delegada e um dos 12 rapazes para subdelegado. Os grupos são distintos, pelo que a primeira escolha não reduz as opções da segunda.

16\times12=192

6.2 Dois alunos do mesmo sexo

Ou são duas raparigas, com \(16\times15\) atribuições dos cargos, ou são dois rapazes, com \(12\times11\). Os casos não se sobrepõem, por isso somam-se.

{}^{16}A_2+{}^{12}A_2=240+132=372

6.3 A Beatriz ocupa um dos cargos

Há 2 escolhas para o cargo da Beatriz. Fixado esse cargo, qualquer um dos outros 27 alunos pode ocupar o outro. Não há mais escolhas para a própria Beatriz, que já está identificada.

2\times27=54

6.1 \(192\); 6.2 \(372\); 6.3 \(54\).

Um grupo de três homens e quatro mulheres vai posar para uma fotografia, colocando-se lado a lado. De quantas maneiras se podem colocar:

se não houver restrições?
se os homens ficarem todos juntos?
se os homens ficarem todos juntos e as mulheres também?
de forma a não haver duas mulheres juntas?

7.1 Sem restrições

São sete pessoas distintas para sete posições: 7 escolhas na primeira, 6 na segunda, até 1 na última. Usa-se uma permutação, porque entram todas as pessoas.

\(7!=5040\)

7.2 Os três homens juntos

Tratamos os homens como um bloco. Ordenamos cinco unidades: o bloco e as quatro mulheres, de \(5!\) maneiras. Para cada uma dessas ordens, os três homens podem trocar de lugar dentro do bloco de \(3!\) maneiras.

5!\times3!=720

7.3 Cada sexo num bloco

Há dois blocos, que podem aparecer em duas ordens: homens–mulheres ou mulheres–homens. Dentro deles, ordenam-se as três pessoas e as quatro pessoas, respetivamente.

2!\times3!\times4!=288

7.4 Sem duas mulheres juntas

Ordenamos primeiro os três homens, de \(3!\) maneiras. Criam quatro espaços: antes do primeiro, dois entre homens e depois do último. Para separar as quatro mulheres, tem de ficar uma em cada espaço; há \(4!\) distribuições.

3!\times4!=144

Estratégia: O método dos espaços evita esquecer as extremidades. Aqui força a alternância \(M\,H\,M\,H\,M\,H\,M\), porque há exatamente quatro mulheres para quatro espaços.

7.1 \(5040\); 7.2 \(720\); 7.3 \(288\); 7.4 \(144\).

Uma orquestra possui no seu reportório nove sinfonias de Beethoven, vinte sinfonias de Mozart e oito sinfonias de Schubert.

Quantas apresentações diferentes se podem fazer se uma apresentação desta orquestra consistir numa sinfonia de Beethoven, seguida de uma de Mozart e, por fim, uma sinfonia de Schubert?
Quantas apresentações diferentes se podem fazer se uma apresentação desta orquestra consistir numa sinfonia de cada um dos compositores, por qualquer ordem?
Quantas apresentações se podem fazer se puderem ser escolhidas três quaisquer obras?

8.1 Ordem dos compositores fixada

Há 9 escolhas para a obra de Beethoven, 20 para a de Mozart e 8 para a de Schubert. Cada escolha pode combinar-se com todas as das outras etapas.

9\times20\times8=1440

8.2 Os compositores podem mudar de ordem

Escolhemos as três obras como antes e, para cada seleção, ordenamo-las de \(3!\) maneiras. Esse fator só aparece agora porque a ordem de execução deixou de estar fixada.

9\times20\times8\times3!=8640

8.3 Três obras distintas de quaisquer compositores

Há \(9+20+8=37\) obras. Considera-se que não se repete uma obra na mesma apresentação. Há 37 escolhas para a primeira, 36 para a segunda e 35 para a terceira. A ordem de execução distingue apresentações, logo usamos um arranjo de 37 obras, 3 a 3.

{}^{37}A_3=37\times36\times35=46620

8.1 \(1440\); 8.2 \(8640\); 8.3 \(46620\).

Num congresso há dez professores de Física e Química, doze de Biologia e quinze de Matemática. Quantas comissões de cinco professores se podem formar:

se não houver restrições?
com dois professores de Matemática, dois de Biologia e um de Física e Química?
com exatamente três professores de Matemática?
com, no máximo, dois professores de Biologia?

Uma comissão é um grupo sem cargos: escolher as mesmas pessoas por outra ordem não cria outra comissão. Usamos combinações. Há \(10+12+15=37\) professores.

9.1 Sem restrições

Escolhemos cinco dos 37 professores, sem os ordenar.

{}^{37}C_5=435897

9.2 Composição fixada

Escolhemos 2 dos 15 professores de Matemática, 2 dos 12 de Biologia e 1 dos 10 de Física e Química. Precisamos das três escolhas para formar uma comissão, pelo que multiplicamos.

{}^{15}C_2\times{}^{12}C_2\times{}^{10}C_1=105\times66\times10=69300

9.3 Exatamente três de Matemática

Após escolher 3 dos 15 professores de Matemática, os outros dois têm de vir dos \(12+10=22\) que não são de Matemática. Escolhê-los entre os 34 restantes permitiria incluir mais professores de Matemática.

{}^{15}C_3\times{}^{22}C_2=455\times231=105105

9.4 No máximo dois de Biologia

«No máximo dois» inclui zero, um ou dois. Os restantes lugares são preenchidos entre os \(15+10=25\) professores de outras disciplinas. Cada comissão pertence a um único caso.

{}^{12}C_0{}^{25}C_5+{}^{12}C_1{}^{25}C_4+{}^{12}C_2{}^{25}C_3

\(53130+151800+151800=356730\)

Estratégia: Em cada produto, os índices inferiores somam 5, o tamanho da comissão. É uma verificação rápida da expressão.

9.1 \(435897\); 9.2 \(69300\); 9.3 \(105105\); 9.4 \(356730\).

10.

Considera o conjunto \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). Quantos números de quatro algarismos diferentes é possível formar que sejam:

superiores a \(3000\)?
pares?
múltiplos de \(5\)?
inferiores a \(5840\)?

Os algarismos disponíveis são 1 a 9 e não se repetem. As posições interessam: 1234 e 1243 são números diferentes. Depois de fixar um algarismo, há 8, depois 7 e depois 6 opções para as outras posições.

10.1 Superiores a 3000

O primeiro algarismo pode ser 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9: sete escolhas. Começar por 3 já garante um número maior que 3000, porque não há zeros.

7\times{}^{8}A_3=7\times8\times7\times6=2352

10.2 Pares

Começamos pelas unidades, onde só servem 2, 4, 6 ou 8. Fixada essa escolha, preenchemos as três outras posições com três dos oito algarismos restantes, com ordem.

4\times{}^{8}A_3=4\times8\times7\times6=1344

10.3 Múltiplos de 5

Um múltiplo de 5 termina em 0 ou 5. Como 0 não está disponível, a unidade fica fixada em 5. Restam oito algarismos para três posições distintas.

1\times{}^{8}A_3=336

10.4 Inferiores a 5840

Comparamos com 5840 da esquerda para a direita. Assim que um algarismo é menor, as posições seguintes ficam livres, respeitando a não repetição.

Se começar por 1, 2, 3 ou 4, há \(4\times8\times7\times6=1344\) números.

Se começar por 5, a centena pode ser 1, 2, 3, 4, 6 ou 7: seis escolhas, todas menores que 8 e diferentes de 5. Restam \(7\times6\) escolhas: \(6\times7\times6=252\).

Se começar por 58, a dezena só pode ser 1, 2 ou 3. Restam 6 escolhas para a unidade: \(3\times6=18\). Começar por 584 não serve, pois qualquer unidade disponível torna o número maior que 5840.

\(1344+252+18=1614\)

10.1 \(2352\); 10.2 \(1344\); 10.3 \(336\); 10.4 \(1614\).

11.

Quantos são os anagramas da palavra ESCOLA que têm:

as letras ES juntas por essa ordem?
as letras ESC juntas por qualquer ordem?
as vogais e as consoantes intercaladas?
a letra E no primeiro lugar e a letra A no último lugar?
a letra E no primeiro lugar ou a letra A no último lugar?

As seis letras de ESCOLA são distintas. Uma troca de posições altera o anagrama, mesmo que não forme uma palavra com significado.

11.1 Bloco ES, com ordem fixa

Ordenam-se cinco unidades: ES, C, O, L e A. Não multiplicamos por \(2!\), porque SE não é permitido dentro do bloco.

\(5!=120\)

11.2 Bloco com E, S e C em qualquer ordem

Ordenam-se quatro unidades: o bloco e O, L, A. Há \(4!\) ordens destas unidades e, para cada uma, \(3!\) ordens internas de E, S, C.

4!\times3!=144

11.3 Vogais e consoantes alternadas

Há 3 vogais (E, O, A) e 3 consoantes (S, C, L). Podemos começar por vogal ou por consoante: 2 padrões. Em cada padrão, as vogais ocupam os seus lugares de \(3!\) maneiras e as consoantes de outras \(3!\).

2\times3!\times3!=72

11.4 E no início e A no fim

As duas extremidades estão fixadas. Basta ordenar as outras quatro letras nos quatro lugares centrais.

\(4!=24\)

11.5 E no início ou A no fim

Com E no início há \(5!\) anagramas; com A no fim há também \(5!\). Os \(4!\) com ambas as condições foram contados nas duas parcelas. Subtraímo-los uma vez para que cada anagrama seja contado uma única vez.

\(5!+5!-4!=216\)

Estratégia: «Ou» admite que ambas as condições ocorram. Só se podem somar diretamente casos que não se sobrepõem.

11.1 \(120\); 11.2 \(144\); 11.3 \(72\); 11.4 \(24\); 11.5 \(216\).

12.

Considera todos os números naturais com cinco algarismos. Quantos desses números:

têm os algarismos todos diferentes e são pares?
têm os algarismos todos diferentes e são maiores que \(89000\)?

12.1 Números pares com cinco algarismos distintos

A unidade é par, mas terminar em 0 ou num par não nulo afeta de maneira diferente o primeiro algarismo. Por isso separamos os casos e escolhemos as unidades primeiro.

Se terminar em 0, o primeiro algarismo tem 9 opções (1 a 9). As três posições centrais têm 8, 7 e 6 opções, sem repetir.

1\times9\times8\times7\times6=3024

Se terminar em 2, 4, 6 ou 8, há 4 opções para a unidade. O primeiro algarismo tem 8 opções: excluem-se o zero e o algarismo final. Para as três posições centrais restam 8, 7 e 6 opções, pois o zero já é permitido.

4\times8\times8\times7\times6=10752

\(3024+10752=13776\)

12.2 Maiores que 89000 e com algarismos distintos

Ou começam por 89, ou começam por 9. No primeiro caso, os três lugares finais usam três dos oito algarismos restantes, com ordem. No segundo, após fixar o 9, há nove algarismos para quatro posições.

{}^{8}A_3+{}^{9}A_4=8\times7\times6+9\times8\times7\times6=3360

Não há casos com início 88 ou 899, pois repetiriam algarismos. O próprio 89000 também não é contado.

12.1 \(13776\); 12.2 \(3360\).

13.

De quantas maneiras se podem sentar \(n\) pessoas em \(n\) cadeiras se:

a Alice e o Bruno ficarem juntos?
a Alice e o Bruno ficarem separados?
a Alice, o Bruno e a Carla ficarem juntos?
a Alice, o Bruno e a Carla ficarem juntos e o Daniel e a Elsa ficarem também juntos?

Consideramos as \(n\) cadeiras dispostas em fila e todas as pessoas distintas. Sem restrições, há \(n!\) disposições. Um bloco de \(k\) pessoas reduz o número de unidades a ordenar de \(n\) para \(n-k+1\).

13.1 Alice e Bruno juntos

O bloco AB mais as \(n-2\) outras pessoas formam \(n-1\) unidades. Alice e Bruno podem trocar dentro do bloco: AB ou BA.

(n-1)!\times2!

13.2 Alice e Bruno separados

Cada disposição tem Alice e Bruno juntos ou separados. Subtraímos os casos juntos ao total; não é necessário enumerar todas as distâncias possíveis entre eles.

\(n!-2!(n-1)!=(n-2)(n-1)!\)

13.3 Alice, Bruno e Carla juntos

O bloco de três pessoas e as \(n-3\) restantes formam \(n-2\) unidades. O bloco admite \(3!\) ordens internas.

(n-2)!\times3!

13.4 Dois blocos

Há \(n-5\) pessoas fora dos blocos ABC e DE: no total são \(n-5+2=n-3\) unidades. Ordenamos essas unidades e, em seguida, as pessoas dentro de cada bloco.

(n-3)!\times3!\times2!

As alíneas exigem, respetivamente, \(n\ge2\), \(n\ge2\), \(n\ge3\) e \(n\ge5\).

13.1 \(2!(n-1)!\); 13.2 \((n-2)(n-1)!\); 13.3 \(3!(n-2)!\); 13.4 \(3!\,2!(n-3)!\).

14.

De quantos modos se podem sentar quatro casais numa mesa circular se:

dois quaisquer homens não ficarem juntos?
cada homem ficar ao lado da sua namorada?
dois quaisquer homens não ficarem juntos e cada homem ficar ao lado da namorada?

Nesta mesa só interessam as posições relativas: uma rotação de todas as pessoas não cria uma nova disposição. Fixar uma pessoa como referência deixa \((n-1)!\) ordens. Disposições refletidas continuam a ser diferentes.

14.1 Sem dois homens vizinhos

Ordenamos circularmente as quatro mulheres: \((4-1)!=3!\). Entre elas existem quatro espaços, incluindo o espaço que fecha o círculo. Para separar os quatro homens, colocamos um em cada espaço, de \(4!\) maneiras.

3!\times4!=144

14.2 Cada casal junto

Tratamos cada casal como um bloco. Os quatro blocos têm \(3!\) ordens circulares. Em cada um dos quatro casais há 2 ordens internas, escolhidas separadamente, dando \(2^4\).

3!\times2^4=96

14.3 Casais juntos e homens separados

Voltamos a ordenar os quatro blocos circularmente: \(3!\). Para manter a alternância, todos os blocos têm de ter a mesma orientação ao percorrer a mesa: mulher–homem em todos ou homem–mulher em todos. Se se misturassem orientações, surgiriam dois homens vizinhos numa fronteira entre blocos.

3!\times2=12

Estratégia: O fator é 2, e não \(2^4\), na última alínea: escolher a orientação de um casal obriga à orientação dos restantes.

14.1 \(144\); 14.2 \(96\); 14.3 \(12\).

15.

A figura representa dez ruas que se cortam perpendicularmente, das quais seis são verticais. Só são possíveis deslocações para este e para norte.

Quantos caminhos existem entre \(A\) e \(B\) que:

não têm qualquer restrição?
passam por \(C\)?
não passam por \(C\)?
passam por \(C\) e por \(D\)?
não passam por \(C\) ou não passam por \(D\)?
passam por \(C\) ou por \(D\)?
não passam por \(C\) nem por \(D\)?

Cada caminho é uma sequência de passos E (este) e N (norte). Escolher as posições dos passos E determina todo o caminho, porque as restantes posições são N. Os passos com a mesma direção são iguais, logo usamos combinações.

15.1 Todos os caminhos

São 5 passos E e 3 passos N. Escolhemos 5 das 8 posições para E, ou, de forma equivalente, 3 para N.

{}^{8}C_5={}^{8}C_3=56

15.2 Passar por C

De A a C há 2 passos E e 1 N: \({}^{3}C_2=3\) caminhos. De C a B há 3 passos E e 2 N: \({}^{5}C_3=10\). Cada primeira parte pode ligar-se a qualquer segunda parte, por isso multiplicamos.

{}^{3}C_2\times{}^{5}C_3=30

15.3 Não passar por C

Os caminhos que passam por C e os que não passam dividem o total em dois grupos sem sobreposição.

\(56-30=26\)

15.4 Passar por C e por D

Com movimentos apenas para este e norte, a ordem é A–C–D–B. De C a D fazem-se 2 passos E e 1 N, dando \({}^{3}C_2\). De D a B fazem-se 1 E e 1 N, em duas ordens. Multiplicamos as três etapas.

{}^{3}C_2\times{}^{3}C_2\times2=18

15.5 Não passar por C ou não passar por D

Basta falhar a passagem por um dos pontos; os caminhos que evitam ambos também servem. Os únicos excluídos são os que passam pelos dois.

\(56-18=38\)

15.6 Passar por C ou por D

Os caminhos por D são \({}^{6}C_4\times2=30\): quatro passos E e dois N até D, seguidos de dois passos até B. Somamos os que passam por C e os que passam por D, mas retiramos uma vez os 18 contados nos dois grupos.

\(30+30-18=42\)

15.7 Não passar por nenhum dos dois

É o complementar de passar por pelo menos um deles, contado na alínea anterior.

\(56-42=14\)

Estratégia: «Não C ou não D» e «nem C nem D» são condições diferentes: a primeira admite passar por um dos pontos; a segunda exclui ambos.

15.1 \(56\); 15.2 \(30\); 15.3 \(26\); 15.4 \(18\); 15.5 \(38\); 15.6 \(42\); 15.7 \(14\).

16.

Lançou-se um dado cúbico, com as faces numeradas de 1 a 6, e um dado octaédrico, com as faces numeradas de 1 a 8, e registaram-se os números das faces que ficaram voltadas para cima. Quantos são os resultados possíveis para esta experiência?

Um resultado é um par ordenado \((c,o)\): primeiro registamos o dado cúbico e depois o octaédrico. Para cada um dos 6 valores de \(c\), há 8 valores de \(o\).

6\times8=48

Não somamos \(6+8\), porque o resultado inclui os dois dados. Também não contamos apenas as somas: \((1,4)\) e \((2,3)\) são resultados diferentes, embora tenham a mesma soma.

Há \(48\) resultados possíveis.

17.

Considera os conjuntos \(A=\{2,3,5,7\}\), \(B=\{1,3,5,7,9\}\) e \(C=\{2,4,8\}\).

Em referencial o.n. \(Oxyz\), considera os pontos tais que as abcissas pertencem ao conjunto \(A\), as ordenadas pertencem ao conjunto \(B\) e as cotas pertencem ao conjunto \(C\). Quantos são esses pontos?

Um ponto é determinado pelo terno ordenado \((x,y,z)\). Há 4 escolhas de abcissa em A, 5 de ordenada em B e 3 de cota em C. Escolher uma coordenada não elimina valores das outras.

4\times5\times3=60

Multiplicamos porque precisamos de uma escolha de cada conjunto para formar um ponto. Um valor comum a dois conjuntos pode ser usado nas duas coordenadas: não há proibição de repetição.

Existem \(60\) pontos.

18.

Um saco contém sete cartões, numerados de 1 a 7. Extrai-se um cartão do saco, regista-se o algarismo nele inscrito e repõe-se o cartão no saco. Efetua-se este procedimento três vezes. Os três algarismos registados formam um número. A primeira extração corresponde ao algarismo das centenas, a segunda ao das dezenas e a terceira ao das unidades.

Quantos números é possível formar?
Dos números que é possível formar, determina quantos:
1. têm exatamente dois algarismos pares;
2. são ímpares.

18.1 Todos os números

A reposição devolve o cartão ao saco, pelo que cada uma das três extrações volta a ter 7 opções. A ordem interessa: 123 e 321 são números diferentes. Trata-se de um arranjo com repetição de 7 algarismos, 3 a 3.

{}^{7}A'_3=7^3=343

18.2.1 Exatamente dois algarismos pares

Há três pares (2, 4, 6) e quatro ímpares (1, 3, 5, 7). Primeiro escolhemos qual das 3 posições terá o único ímpar; depois escolhemos esse ímpar, de 4 maneiras. Cada uma das outras posições recebe um dos 3 pares. Como há reposição, o mesmo par pode aparecer duas vezes.

3\times4\times3^2=108

18.2.2 Números ímpares

Só a unidade tem de ser ímpar: 4 opções. Centena e dezena podem ser quaisquer dos 7 algarismos, incluindo o já usado na unidade.

7^2\times4=196

18.1 \(343\); 18.2.1 \(108\); 18.2.2 \(196\).

19.

Seis jovens, a Ana, a Carla, o Frederico, a Beatriz, o Bernardo e a Filipa vão concorrer a um sorteio de seis viagens, a saber, a Barcelona, Berlim, Londres, Madrid, Paris e Roma. Supondo que cada jovem vai ganhar uma viagem, de quantas maneiras diferentes pode resultar este sorteio?

Fixamos uma ordem para os seis jovens e atribuímos uma viagem a cada um. O primeiro tem 6 destinos disponíveis, o segundo 5, e assim sucessivamente, até sobrar um destino para o último.

É uma permutação das seis viagens: usam-se todas, uma única vez, e trocar os destinos de dois jovens altera o sorteio.

{}^{6}A_6=6!=720

O sorteio pode resultar de \(720\) maneiras diferentes.

20.

Oito atletas vão fazer uma corrida. De quantas maneiras diferentes se poderão colocar três deles no pódio?

Um pódio tem três lugares distintos: primeiro, segundo e terceiro. Escolher os mesmos três atletas noutra ordem dá outro pódio. Além disso, o mesmo atleta não pode ocupar dois lugares.

Usamos \({}^{8}A_3\): há 8 atletas disponíveis para preencher 3 posições ordenadas, sem repetição. Há 8 escolhas para o vencedor, 7 para o segundo e 6 para o terceiro.

{}^{8}A_3=8\times7\times6=336

Estratégia: Escolher apenas os três atletas daria \({}^{8}C_3\). Para obter os pódios, seria ainda necessário multiplicar por \(3!\), as ordens desses atletas.

Há \(336\) pódios possíveis.

21.

Com os algarismos \(2,3,5\) e \(7\), quantos números naturais se podem escrever que tenham no máximo quatro algarismos, nunca repetindo algarismos em cada número?

«No máximo quatro algarismos» inclui números com 1, 2, 3 ou 4 algarismos. Em cada caso a ordem interessa e não se pode repetir um algarismo, logo usamos arranjos simples dos quatro algarismos disponíveis.

{}^{4}A_1=4,\quad{}^{4}A_2=4\times3=12,\quad{}^{4}A_3=4\times3\times2=24,\quad{}^{4}A_4=4!=24

Somamos porque um número não pode ter dois comprimentos diferentes. Nenhum começa por zero, pois o zero não está no conjunto.

\(4+12+24+24=64\)

Podem escrever-se \(64\) números.

22.

A Lurdes quer arrumar doze livros de aventuras numa prateleira de uma estante, que tem o tamanho exato para o efeito. Desses doze livros, cinco são da coleção Uma Aventura, de Ana Maria Magalhães e Isabel Alçada, quatro são da coleção Os Cinco, de Enid Blyton, e os restantes três são de uma coleção de Júlio Verne. Determina de quantas maneiras diferentes podem os doze livros ficar dispostos na prateleira, se:

não houver restrições;
na extremidade esquerda ficar um livro de Júlio Verne;
na extremidade esquerda ficar um livro de Júlio Verne e na extremidade direita ficar um livro de Enid Blyton;
os dois livros do meio forem ambos da coleção Uma Aventura;
os quatro livros do meio forem os da coleção Os Cinco;
os livros de cada coleção ficarem juntos;
os livros de Júlio Verne ficarem juntos;
o livro Os Cinco na Ilha do Tesouro não ficar ao lado do livro Uma Aventura em Lisboa;
os dois livros do meio forem de coleções diferentes.

Os 12 livros são distintos, mesmo quando pertencem à mesma coleção. Trocar dois livros de uma coleção altera a arrumação.

22.1 Sem restrições

Usam-se todos os livros em 12 posições: uma permutação.

\(12!=479001600\)

22.2 Júlio Verne à esquerda

Escolhe-se um dos 3 livros de Júlio Verne para a primeira posição; os outros 11 livros podem ocupar os 11 lugares restantes em qualquer ordem.

3\times11!=119750400

22.3 Uma restrição em cada extremidade

Há 3 escolhas à esquerda e 4 à direita, de coleções diferentes. Depois ordenam-se os 10 livros que sobram.

3\times4\times10!=43545600

22.4 Uma Aventura nos dois lugares centrais

Os lugares centrais são o 6.º e o 7.º. Atribuímos-lhes dois dos cinco livros de Uma Aventura: \({}^{5}A_2=5\times4\), pois trocar esses livros dá outra ordem. Ordenamos os 10 restantes de \(10!\) maneiras.

{}^{5}A_2\times10!=72576000

22.5 Os Cinco nos quatro lugares centrais

Os quatro livros ocupam as posições 5 a 8 de \(4!\) maneiras. Os outros oito ocupam as posições livres de \(8!\) maneiras. Não se escolhe a posição do bloco: já está fixada.

4!\times8!=967680

22.6 Cada coleção junta

Ordenamos os três blocos de coleções de \(3!\) maneiras. Dentro dos blocos há, respetivamente, \(5!\), \(4!\) e \(3!\) ordens.

3!\times5!\times4!\times3!=103680

22.7 Só os três livros de Júlio Verne obrigatoriamente juntos

O bloco e os nove livros restantes formam dez unidades, ordenadas de \(10!\) maneiras. Há \(3!\) ordens dentro do bloco. Os livros das outras coleções podem ou não ficar juntos.

10!\times3!=21772800

22.8 Dois livros específicos separados

Ao total \(12!\) retiramos os casos em que os dois livros formam um bloco: são 11 unidades, com \(11!\) ordens, e 2 ordens internas do par.

12!-2\times11!=399168000

22.9 Livros centrais de coleções diferentes

É mais simples excluir os pares da mesma coleção. Para cada coleção de \(k\) livros, há \(k(k-1)\) pares ordenados para o centro e \(10!\) ordens do resto. Os três casos excluídos são distintos.

12!-\big(5\times4+4\times3+3\times2\big)10!=341107200

22.1 \(479001600\); 22.2 \(119750400\); 22.3 \(43545600\); 22.4 \(72576000\); 22.5 \(967680\); 22.6 \(103680\); 22.7 \(21772800\); 22.8 \(399168000\); 22.9 \(341107200\).

23.

Seja \(P=\{2,3,5,7\}\). Considera o conjunto \(A\) dos números naturais compreendidos entre \(10\) e \(1000\) cujos algarismos pertencem ao conjunto \(P\).

Determina o cardinal de \(A\).
Determina quantos elementos de \(A\) têm os algarismos todos diferentes.
De entre os elementos de \(A\) considerados na alínea anterior, determina quantos são múltiplos de \(2\) ou de \(5\).
Determina quantos elementos do conjunto \(A\) têm dois ou três algarismos iguais.

23.1 Todos os elementos de A

Só podem ter dois ou três algarismos: 1000 não usa apenas algarismos de P. Como não se proíbe a repetição, cada posição tem quatro opções. Somamos os dois comprimentos.

\(4^2+4^3=16+64=80\)

23.2 Algarismos distintos

Agora, cada escolha retira um algarismo disponível para as posições seguintes. A ordem interessa, pelo que usamos arranjos simples de 4 algarismos, 2 a 2 ou 3 a 3.

{}^{4}A_2+{}^{4}A_3=4\times3+4\times3\times2=36

23.3 Múltiplos de 2 ou de 5, sem repetir

A unidade só pode ser 2 ou 5: duas escolhas. Fixada a unidade, há 3 escolhas para a dezena nos números de dois algarismos, ou \(3\times2\) escolhas para centena e dezena nos de três. Os dois finais são incompatíveis, portanto não há duplicações.

2\times(3+3\times2)=18

23.4 Pelo menos uma repetição

Entre os 80 números, ou todos os algarismos são diferentes, ou há dois ou três iguais. Os 36 sem repetição são exatamente o complementar dos pretendidos.

\(80-36=44\)

23.1 \(80\); 23.2 \(36\); 23.3 \(18\); 23.4 \(44\).

24.

Um saco contém sete cartões, numerados de 1 a 7. Extraem-se, sem reposição, três cartões e dispõem-se da esquerda para a direita pela ordem de saída, formando um número.

Quantos números podem ser formados?
Dos números que é possível formar, determina quantos:
1. têm exatamente dois algarismos pares;
2. são ímpares.

24.1 Todos os números

Sem reposição, um cartão usado deixa de estar disponível: há 7 escolhas, depois 6 e depois 5. A ordem das extrações determina centena, dezena e unidade, logo usamos \({}^{7}A_3\).

{}^{7}A_3=7\times6\times5=210

24.2.1 Exatamente dois algarismos pares

Há 3 posições possíveis para o único ímpar e 4 escolhas para o seu valor. Restam duas posições distintas para dois dos três pares (2, 4, 6). Usamos \({}^{3}A_2=3\times2\): a ordem interessa e não podemos repetir um par.

3\times4\times{}^{3}A_2=72

24.2.2 Números ímpares

Escolhemos primeiro a unidade entre os quatro ímpares. Esse cartão fica indisponível; restam 6 escolhas para a centena e 5 para a dezena.

4\times6\times5=120

Estratégia: Compara com o exercício 18: com reposição as opções mantêm-se; sem reposição diminuem. É essa diferença que muda potências para arranjos simples.

24.1 \(210\); 24.2.1 \(72\); 24.2.2 \(120\).