Problemas de Contagem 1 | Matemática A

1.

Determina sem recurso à calculadora:

1.1. \(\dfrac{6!}{3\times4!}\)

1.2. \(\dfrac{8!}{4!\times3!}\)

1.3. \(\dfrac{9!}{5!+6!}\)

1.4. \({}^{7}C_4\times3!\)

1.5. \({}^{5}A_2\times3!\)

1.6. \({}^{6}C_4\times{}^{4}A_2\)

1.7. \(\dfrac{{}^{5}A_3}{4!}\)

1.8. \(\dfrac{{}^{5}C_3}{4!}\)

Simplificações

1.1\quad \dfrac{6!}{3\times4!}=\dfrac{6\times5\times4!}{3\times4!}=10

1.2\quad \dfrac{8!}{4!\times3!}=\dfrac{8\times7\times6\times5\times4!}{4!\times3\times2\times1}=280

1.3\quad \dfrac{9!}{5!+6!}=\dfrac{9\times8\times7\times6\times5!}{5!+6\times5!}=\dfrac{9\times8\times7\times6}{7}=432

1.4\quad {}^{7}C_4\times3!=35\times6=210

1.5\quad {}^{5}A_2\times3!=(5\times4)\times6=120

1.6\quad {}^{6}C_4\times{}^{4}A_2=15\times12=180

1.7\quad \dfrac{{}^{5}A_3}{4!}=\dfrac{5\times4\times3}{4!}=\dfrac{60}{24}=\dfrac52

1.8\quad \dfrac{{}^{5}C_3}{4!}=\dfrac{10}{24}=\dfrac5{12}

Resultados: \(10,\ 280,\ 432,\ 210,\ 120,\ 180,\ \dfrac52,\ \dfrac5{12}\).

2.

Resolve as seguintes equações:

2.1. \(\dfrac{(n+2)!+(n+1)!}{n!}=120\)

2.2. \({}^{n}A_2=342\)

2.3. \({}^{n-1}A_3=3\,{}^{n-2}A_2\)

2.4. \({}^{n}C_2=136\)

2.5. \({}^{n-1}C_3=3\,{}^{n-2}C_2\)

2.6. \({}^{n}C_2+{}^{n}A_2=360\)

2.1 Equação com fatoriais

\dfrac{(n+2)!+(n+1)!}{n!}=120

\dfrac{(n+1)!\big((n+2)+1\big)}{n!}=120\Rightarrow(n+1)(n+3)=120

n^2+4n+3=120\Rightarrow n^2+4n-117=0\Rightarrow n=9

2.2 Arranjos

{}^{n}A_2=n(n-1)=342\Rightarrow n^2-n-342=0\Rightarrow n=19

2.3 Arranjos

(n-1)(n-2)(n-3)=3(n-2)(n-3),\quad n\ge4

n-1=3\Rightarrow n=4

2.4 Combinações

{}^{n}C_2=\dfrac{n(n-1)}2=136\Rightarrow n^2-n-272=0\Rightarrow n=17

2.5 Combinações

\dfrac{(n-1)(n-2)(n-3)}{3!}=3\dfrac{(n-2)(n-3)}{2!},\quad n\ge4

n-1=9\Rightarrow n=10

2.6 Combinações e arranjos

\dfrac{n(n-1)}2+n(n-1)=360\Rightarrow 3n(n-1)=720

n^2-n-240=0\Rightarrow n=16

Soluções: 2.1 \(n=9\); 2.2 \(n=19\); 2.3 \(n=4\); 2.4 \(n=17\); 2.5 \(n=10\); 2.6 \(n=16\).

3.

Quantos são os divisores naturais de:

\(2310\)
\(2700\)

3.1 Número \(2310\)

2310=2\times3\times5\times7\times11

Todos os expoentes são iguais a 1.

\((1+1)^5=2^5=32\)

3.2 Número \(2700\)

2700=27\times100=3^3\times2^2\times5^2=2^2\times3^3\times5^2

(2+1)(3+1)(2+1)=3\times4\times3=36

3.1 \(32\) divisores; 3.2 \(36\) divisores.

4.

De quantos modos distintos se podem arrumar cinco automóveis numa garagem com oito lugares de estacionamento?

A ordem é relevante e não há repetição de automóveis.

{}^{8}A_5=8\times7\times6\times5\times4=6720

Podem arrumar-se de \(6720\) modos distintos.

5.

De quantas formas diferentes se podem escolher três sabores de um gelado numa gelataria com dez sabores disponíveis?

A ordem pela qual se escolhem os sabores não é relevante.

{}^{10}C_3=\dfrac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120

Há \(120\) escolhas possíveis.

6.

A turma da Beatriz tem 28 alunos, dos quais 12 são rapazes. De quantas maneiras diferentes pode resultar a eleição do delegado e do subdelegado de turma se:

o delegado for rapariga e o subdelegado for rapaz?
o delegado e o subdelegado forem do mesmo sexo?
a Beatriz for eleita?

Há \(12\) rapazes e \(28-12=16\) raparigas.

6.1 Delegado rapariga e subdelegado rapaz

16\times12=192

6.2 Mesmo sexo

16\times15+12\times11=240+132=372

6.3 A Beatriz é eleita

A Beatriz pode ser delegada ou subdelegada; para o outro cargo há \(27\) escolhas.

1\times27\times2=54

6.1 \(192\); 6.2 \(372\); 6.3 \(54\).

7.

Um grupo de três homens e quatro mulheres vai posar para uma fotografia, colocando-se lado a lado. De quantas maneiras se podem colocar:

se não houver restrições?
se os homens ficarem todos juntos?
se os homens ficarem todos juntos e as mulheres também?
de forma a não haver duas mulheres juntas?

7.1 Sem restrições

\(7!=5040\)

7.2 Homens todos juntos

Considera-se o grupo dos três homens como um bloco. Ficam \(5\) elementos para ordenar: o bloco e as \(4\) mulheres.

5!\times3!=120\times6=720

7.3 Homens juntos e mulheres juntas

Há dois blocos, um de homens e um de mulheres.

2!\times3!\times4!=2\times6\times24=288

7.4 Sem duas mulheres juntas

Com quatro mulheres e três homens, a única disposição possível dos sexos é \(M\,H\,M\,H\,M\,H\,M\).

4!\times3!=24\times6=144

7.1 \(5040\); 7.2 \(720\); 7.3 \(288\); 7.4 \(144\).

8.

Uma orquestra possui no seu reportório nove sinfonias de Beethoven, vinte sinfonias de Mozart e oito sinfonias de Schubert.

Quantas apresentações diferentes se podem fazer se uma apresentação desta orquestra consistir numa sinfonia de Beethoven, seguida de uma de Mozart e, por fim, uma sinfonia de Schubert?
Quantas apresentações diferentes se podem fazer se uma apresentação desta orquestra consistir numa sinfonia de cada um dos compositores, por qualquer ordem?
Quantas apresentações se podem fazer se puderem ser escolhidas três quaisquer obras?

8.1 Ordem fixa dos compositores

9\times20\times8=1440

8.2 Compositores por qualquer ordem

9\times20\times8\times3!=8640

8.3 Três quaisquer obras

Há \(9+20+8=37\) obras e a apresentação é ordenada.

{}^{37}A_3=37\times36\times35=46620

8.1 \(1440\); 8.2 \(8640\); 8.3 \(46620\).

9.

Num congresso há dez professores de Física e Química, doze de Biologia e quinze de Matemática. Quantas comissões de cinco professores se podem formar:

se não houver restrições?
com dois professores de Matemática, dois de Biologia e um de Física e Química?
com exatamente três professores de Matemática?
com, no máximo, dois professores de Biologia?

Existem \(10+12+15=37\) professores.

9.1 Sem restrições

{}^{37}C_5=435897

9.2 Dois de Matemática, dois de Biologia e um de Física e Química

{}^{15}C_2\times{}^{12}C_2\times{}^{10}C_1=105\times66\times10=69300

9.3 Exatamente três professores de Matemática

Escolhem-se \(3\) dos \(15\) professores de Matemática e \(2\) dos restantes \(22\) professores.

{}^{15}C_3\times{}^{22}C_2=455\times231=105105

9.4 No máximo dois professores de Biologia

Podem existir \(0\), \(1\) ou \(2\) professores de Biologia. Os restantes professores são escolhidos entre os \(25\) que não são de Biologia.

{}^{25}C_5+{}^{25}C_4\times{}^{12}C_1+{}^{25}C_3\times{}^{12}C_2

53130+12650\times12+2300\times66=356730

9.1 \(435897\); 9.2 \(69300\); 9.3 \(105105\); 9.4 \(356730\).

10.

Considera o conjunto \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). Quantos números de quatro algarismos diferentes é possível formar que sejam:

superiores a \(3000\)?
pares?
múltiplos de \(5\)?
inferiores a \(5840\)?

10.1 Superiores a \(3000\)

O algarismo dos milhares pode ser \(3,4,5,6,7,8\) ou \(9\).

7\times8\times7\times6=2352

10.2 Pares

O algarismo das unidades tem de ser \(2,4,6\) ou \(8\).

8\times7\times6\times4=1344

10.3 Múltiplos de \(5\)

Como o conjunto não contém \(0\), o algarismo das unidades tem de ser \(5\).

8\times7\times6\times1=336

10.4 Inferiores a \(5840\)

Seja \(x\) o número pretendido.

4\times8\times7\times6=1344,\quad x<5000

1\times6\times7\times6=252,\quad 5000\le x<5800

1\times1\times3\times6=18,\quad 5800\le x<5840

\(1344+252+18=1614\)

10.1 \(2352\); 10.2 \(1344\); 10.3 \(336\); 10.4 \(1614\).

11.

Quantos são os anagramas da palavra ESCOLA que têm:

as letras ES juntas por essa ordem?
as letras ESC juntas por qualquer ordem?
as vogais e as consoantes intercaladas?
a letra E no primeiro lugar e a letra A no último lugar?
a letra E no primeiro lugar ou a letra A no último lugar?

11.1 Letras ES juntas por essa ordem

Considera-se \(ES\) como um bloco. Ficam \(5\) elementos para ordenar.

\(5!=120\)

11.2 Letras ESC juntas por qualquer ordem

As letras \(E,S,C\) podem permutar entre si de \(3!\) formas e o bloco pode ocupar \(4\) posições.

4\times3!\times3!=144

11.3 Vogais e consoantes intercaladas

Existem dois padrões possíveis: vogal-consoante-vogal-consoante-vogal-consoante ou o contrário.

2\times3!\times3!=72

11.4 E no primeiro lugar e A no último lugar

1\times4!\times1=24

11.5 E no primeiro lugar ou A no último lugar

Usa-se a regra da união, retirando o caso contado duas vezes.

\(5!+5!-4!=120+120-24=216\)

11.1 \(120\); 11.2 \(144\); 11.3 \(72\); 11.4 \(24\); 11.5 \(216\).

12.

Considera todos os números naturais com cinco algarismos. Quantos desses números:

têm os algarismos todos diferentes e são pares?
têm os algarismos todos diferentes e são maiores que \(89000\)?

12.1 Cinco algarismos, todos diferentes e número par

Há dois casos para o algarismo das unidades.

9\times8\times7\times6\times1=3024\quad\) se o número termina em \(0

4\times8\times8\times7\times6=10752\quad\) se termina em \(2,4,6\) ou \(8

\(3024+10752=13776\)

12.2 Maiores que \(89000\)

Consideram-se os números entre \(89000\) e \(89999\), e depois os que começam por \(9\).

1\times1\times8\times7\times6=336

1\times9\times8\times7\times6=3024

\(336+3024=3360\)

12.1 \(13776\); 12.2 \(3360\).

13.

De quantas maneiras se podem sentar \(n\) pessoas em \(n\) cadeiras se:

a Alice e o Bruno ficarem juntos?
a Alice e o Bruno ficarem separados?
a Alice, o Bruno e a Carla ficarem juntos?
a Alice, o Bruno e a Carla ficarem juntos e o Daniel e a Elsa ficarem também juntos?

13.1 Alice e Bruno juntos

O par Alice-Bruno é tratado como um bloco, com \(2!\) ordens internas.

\(2!(n-1)!\)

13.2 Alice e Bruno separados

Retiram-se, ao total, as disposições em que ficam juntos.

\(n!-2!(n-1)!=n(n-1)!-2(n-1)!=(n-2)(n-1)!\)

13.3 Alice, Bruno e Carla juntos

O bloco \(ABC\) pode ser ordenado de \(3!\) formas.

\(3!(n-2)!\)

13.4 Bloco ABC e bloco DE

Há dois blocos: um com \(3\) pessoas e outro com \(2\) pessoas.

3!\times2!\times(n-3)!

13.1 \(2!(n-1)!\); 13.2 \((n-2)(n-1)!\); 13.3 \(3!(n-2)!\); 13.4 \(3!\,2!(n-3)!\).

14.

De quantos modos se podem sentar quatro casais numa mesa circular se:

dois quaisquer homens não ficarem juntos?
cada homem ficar ao lado da sua namorada?
dois quaisquer homens não ficarem juntos e cada homem ficar ao lado da namorada?

Numa mesa circular, \(n\) objetos distintos podem ser dispostos de \((n-1)!\) modos, considerando iguais as disposições que coincidem por rotação.

14.1 Dois homens não ficam juntos

Sentam-se primeiro as \(4\) mulheres circularmente. Depois, os \(4\) homens ocupam os \(4\) espaços entre elas.

(4-1)!\times4!=3!\times4!=6\times24=144

14.2 Cada homem ao lado da namorada

Cada casal forma um bloco; em cada bloco há duas ordens possíveis.

2^4\times(4-1)!=16\times6=96

14.3 Alternância e cada casal junto

Os casais formam blocos em disposição circular e há dois sentidos possíveis: mulher-homem ou homem-mulher.

2\times(4-1)!=2\times3!=12

14.1 \(144\); 14.2 \(96\); 14.3 \(12\).

15.

A figura representa dez ruas que se cortam perpendicularmente, das quais seis são verticais. Só são possíveis deslocações para este e para norte.

Quantos caminhos existem entre \(A\) e \(B\) que:

não têm qualquer restrição?
passam por \(C\)?
não passam por \(C\)?
passam por \(C\) e por \(D\)?
não passam por \(C\) ou não passam por \(D\)?
passam por \(C\) ou por \(D\)?
não passam por \(C\) nem por \(D\)?

15.1 Sem restrições

De \(A\) para \(B\) são necessários \(5\) deslocamentos para este e \(3\) para norte, num total de \(8\) deslocamentos.

{}^{8}C_5={}^{8}C_3=56

15.2 Caminhos que passam por \(C\)

{}^{3}C_2\times{}^{5}C_3=3\times10=30

15.3 Caminhos que não passam por \(C\)

{}^{8}C_5-{}^{3}C_2\times{}^{5}C_3=56-30=26

15.4 Caminhos que passam por \(C\) e por \(D\)

{}^{3}C_2\times{}^{3}C_2\times2=3\times3\times2=18

15.5 Não passam por \(C\) ou não passam por \(D\)

É o complementar de passarem simultaneamente por \(C\) e por \(D\).

{}^{8}C_5-{}^{3}C_2\times{}^{3}C_2\times2=56-18=38

15.6 Passam por \(C\) ou por \(D\)

{}^{3}C_2\times{}^{5}C_3+{}^{6}C_4\times2-{}^{3}C_2\times{}^{3}C_2\times2=30+30-18=42

15.7 Não passam por \(C\) nem por \(D\)

{}^{8}C_5-42=14

15.1 \(56\); 15.2 \(30\); 15.3 \(26\); 15.4 \(18\); 15.5 \(38\); 15.6 \(42\); 15.7 \(14\).

16.

Lançou-se um dado cúbico, com as faces numeradas de 1 a 6, e um dado octaédrico, com as faces numeradas de 1 a 8, e registaram-se os números das faces que ficaram voltadas para cima. Quantos são os resultados possíveis para esta experiência?

Há \(6\) resultados possíveis no dado cúbico e \(8\) no dado octaédrico.

6\times8=48

Há \(48\) resultados possíveis.

17.

Considera os conjuntos \(A=\{2,3,5,7\}\), \(B=\{1,3,5,7,9\}\) e \(C=\{2,4,8\}\).

Em referencial o.n. \(Oxyz\), considera os pontos tais que as abcissas pertencem ao conjunto \(A\), as ordenadas pertencem ao conjunto \(B\) e as cotas pertencem ao conjunto \(C\). Quantos são esses pontos?

Escolhe-se uma abcissa, uma ordenada e uma cota.

4\times5\times3=60

Existem \(60\) pontos.

18.

Um saco contém sete cartões, numerados de 1 a 7. Extrai-se um cartão do saco, regista-se o algarismo nele inscrito e repõe-se o cartão no saco. Efetua-se este procedimento três vezes. Os três algarismos registados formam um número. A primeira extração corresponde ao algarismo das centenas, a segunda ao das dezenas e a terceira ao das unidades.

Quantos números é possível formar?
Dos números que é possível formar, determina quantos:
1. têm exatamente dois algarismos pares;
2. são ímpares.

18.1 Com reposição

Como há reposição, cada posição tem \(7\) possibilidades.

\(7^3=343\)

18.2.1 Exatamente dois algarismos pares

Há \(3\) algarismos pares \((2,4,6)\) e \(4\) ímpares \((1,3,5,7)\). Escolhe-se a posição do algarismo ímpar.

3\times4\times3\times3=108

18.2.2 Números ímpares

O algarismo das unidades deve ser ímpar.

7\times7\times4=196

18.1 \(343\); 18.2.1 \(108\); 18.2.2 \(196\).

19.

Seis jovens, a Ana, a Carla, o Frederico, a Beatriz, o Bernardo e a Filipa vão concorrer a um sorteio de seis viagens, a saber, a Barcelona, Berlim, Londres, Madrid, Paris e Roma. Supondo que cada jovem vai ganhar uma viagem, de quantas maneiras diferentes pode resultar este sorteio?

Há \(6\) jovens e \(6\) viagens, sem repetição.

P_6={}^{6}A_6=6!=720

O sorteio pode resultar de \(720\) maneiras diferentes.

20.

Oito atletas vão fazer uma corrida. De quantas maneiras diferentes se poderão colocar três deles no pódio?

A ordem no pódio é relevante: primeiro, segundo e terceiro lugares.

{}^{8}A_3=8\times7\times6=336

Há \(336\) pódios possíveis.

21.

Com os algarismos \(2,3,5\) e \(7\), quantos números naturais se podem escrever que tenham no máximo quatro algarismos, nunca repetindo algarismos em cada número?

Contam-se os números com \(1\), \(2\), \(3\) e \(4\) algarismos.

{}^{4}A_1+{}^{4}A_2+{}^{4}A_3+{}^{4}A_4=4+12+24+24=64

Podem escrever-se \(64\) números.

22.

A Lurdes quer arrumar doze livros de aventuras numa prateleira de uma estante, que tem o tamanho exato para o efeito. Desses doze livros, cinco são da coleção Uma Aventura, de Ana Maria Magalhães e Isabel Alçada, quatro são da coleção Os Cinco, de Enid Blyton, e os restantes três são de uma coleção de Júlio Verne. Determina de quantas maneiras diferentes podem os doze livros ficar dispostos na prateleira, se:

não houver restrições;
na extremidade esquerda ficar um livro de Júlio Verne;
na extremidade esquerda ficar um livro de Júlio Verne e na extremidade direita ficar um livro de Enid Blyton;
os dois livros do meio forem ambos da coleção Uma Aventura;
os quatro livros do meio forem os da coleção Os Cinco;
os livros de cada coleção ficarem juntos;
os livros de Júlio Verne ficarem juntos;
o livro Os Cinco na Ilha do Tesouro não ficar ao lado do livro Uma Aventura em Lisboa;
os dois livros do meio forem de coleções diferentes.

22.1 Sem restrições

\(12!=479001600\)

22.2 Livro de Júlio Verne à esquerda

3\times11!=119750400

22.3 Júlio Verne à esquerda e Enid Blyton à direita

3\times4\times10!=43545600

22.4 Dois livros do meio da coleção Uma Aventura

5\times4\times10!=72576000

22.5 Quatro livros do meio da coleção Os Cinco

4!\times8!=967680

22.6 Livros de cada coleção juntos

Há \(3!\) modos de ordenar os blocos das coleções. Dentro dos blocos há \(5!\), \(4!\) e \(3!\) ordenações.

3!\times5!\times4!\times3!=103680

22.7 Livros de Júlio Verne juntos

Os \(3\) livros de Júlio Verne formam um bloco; ficam \(10\) elementos para ordenar.

10!\times3!=21772800

22.8 Dois livros específicos não ficam juntos

Retira-se, ao total, o número de arrumações em que esses dois livros ficam juntos.

12!-11!\times2=399168000

22.9 Dois livros do meio de coleções diferentes

Ao total, retiram-se os casos em que os dois livros do meio são da mesma coleção.

12!-5\times4\times10!-4\times3\times10!-3\times2\times10!=341107200

22.1 \(479001600\); 22.2 \(119750400\); 22.3 \(43545600\); 22.4 \(72576000\); 22.5 \(967680\); 22.6 \(103680\); 22.7 \(21772800\); 22.8 \(399168000\); 22.9 \(341107200\).

23.

Seja \(P=\{2,3,5,7\}\). Considera o conjunto \(A\) dos números naturais compreendidos entre \(10\) e \(1000\) cujos algarismos pertencem ao conjunto \(P\).

Determina o cardinal de \(A\).
Determina quantos elementos de \(A\) têm os algarismos todos diferentes.
De entre os elementos de \(A\) considerados na alínea anterior, determina quantos são múltiplos de \(2\) ou de \(5\).
Determina quantos elementos do conjunto \(A\) têm dois ou três algarismos iguais.

23.1 Cardinal de \(A\)

Os números têm dois ou três algarismos.

\(4^2+4^3=16+64=80\)

23.2 Algarismos todos diferentes

{}^{4}A_2+{}^{4}A_3=12+24=36

23.3 Múltiplos de \(2\) ou de \(5\)

O algarismo das unidades é \(2\) ou \(5\).

2\times(3\times1+3\times2\times1)=18

23.4 Com dois ou três algarismos iguais

Retiram-se, ao total, os números com algarismos todos diferentes.

(4^2+4^3)-({}^{4}A_2+{}^{4}A_3)=80-36=44

23.1 \(80\); 23.2 \(36\); 23.3 \(18\); 23.4 \(44\).

24.

Um saco contém sete cartões, numerados de 1 a 7. Extraem-se, sem reposição, três cartões e dispõem-se da esquerda para a direita pela ordem de saída, formando um número.

Quantos números podem ser formados?
Dos números que é possível formar, determina quantos:
1. têm exatamente dois algarismos pares;
2. são ímpares.

24.1 Sem reposição e com ordem

{}^{7}A_3=7\times6\times5=210

24.2.1 Exatamente dois algarismos pares

Há \(3\) algarismos pares \((2,4,6)\) e \(4\) ímpares \((1,3,5,7)\). Escolhe-se a posição do algarismo ímpar, escolhe-se esse algarismo e ordenam-se dois algarismos pares sem repetição.

3\times4\times{}^{3}A_2=3\times4\times6=72

24.2.2 Números ímpares

O algarismo das unidades deve ser ímpar. Depois de o escolher, ficam \(6\) escolhas para as centenas e \(5\) para as dezenas.

6\times5\times4=120

24.1 \(210\); 24.2.1 \(72\); 24.2.2 \(120\).