Produto escalar | Matemática A

Produto escalar de vetores 1

Na figura considera-se uma circunferencia de centro \(O\) e raio \(5\). O segmento \([PQ]\) e um diametro, \(R\) pertence a circunferencia e \(R'\) e a projecao ortogonal de \(R\) na reta \(PQ\).

Sabe-se que \(\overline{RR'}=4\). Determina o valor de \(\vec{OP}\cdot\vec{OR'}\).

Circunferencia de centro O, diametro PQ e ponto R com projecao R'

Passo 1

Como \(R\) pertence a circunferencia, \(\overline{OR}=5\). No triangulo retangulo \([ORR']\):

OR'^2=OR^2-RR'^2=25-16=9\Rightarrow OR'=3

Passo 2

Os vetores \(\vec{OP}\) e \(\vec{OR'}\) tem sentidos contrarios.

\vec{OP}\cdot\vec{OR'}=-\|\vec{OP}\|\,\|\vec{OR'}\|=-5\times3=-15

\(\vec{OP}\cdot\vec{OR'}=-15\)

Na figura esta representado um triangulo isosceles \([ABC]\), em que \(\overline{AC}=\overline{BC}\). Sabe-se que \(\overline{AB}=6\).

Determina \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\).

Designemos por \(C'\) a projecao ortogonal de \(C\) sobre \(AB\). Como o triangulo e isosceles, \(C'\) e o ponto medio de \([AB]\).

\overline{AC'}=3

Os vetores \(\vec{AB}\) e \(\vec{AC'}\) tem o mesmo sentido, logo:

\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC'}\|=6\times3=18

\(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=18\)

No triangulo \([OPQ]\), sabe-se que \(\overline{PQ}=10\), \(\overline{OP}=3\,\overline{OQ'}\) e \(\vec{OP}\cdot\vec{OQ}=-12\), sendo \(Q'\) a projecao ortogonal de \(Q\) na reta \(OP\).

Determina o perimetro do triangulo \([OPQ]\).

Determinar \(OQ'\) e \(OP\)

Como a projecao de \(\vec{OQ}\) na direcao de \(\vec{OP}\) e contraria ao sentido de \(\vec{OP}\):

\vec{OP}\cdot\vec{OQ}=-\|\vec{OP}\|\,\|\vec{OQ'}\|=-12

Como \(\overline{OP}=3\overline{OQ'}\), vem:

-3\,OQ'^2=-12\Rightarrow OQ'^2=4\Rightarrow OQ'=2

OP=3\times2=6

Determinar \(OQ\)

Tem-se \(PQ'=PQ-OQ'-OP=10-2-6=2\), logo \(QQ'^2=PQ^2-PQ'^2=100-4=96\). Usando o triangulo retangulo \([OQQ']\):

OQ^2=OQ'^2+QQ'^2=4+96=100\Rightarrow OQ=2\sqrt{10}

Assim,

P_{[OPQ]}=OP+PQ+OQ=6+10+2\sqrt{10}

\(P_{[OPQ]}=16+2\sqrt{10}\)

Na figura esta representado um trapezio retangulo \([ABCD]\), de area \(24\). O ponto \(E\) e a projecao ortogonal do ponto \(B\) na reta \(CD\). Sabe-se que \(\overline{AB}=6\) e \(\overline{AD}=3\).

Determina: a) \(\vec{AB}\cdot\vec{AE}\); b) \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\); c) \(\vec{EA}\cdot\vec{EC}\).

Calculo auxiliar

A_{[ABCD]}=\dfrac{AB+DC}{2}\times AD=24\Rightarrow\dfrac{6+DC}{2}\times3=24\Rightarrow DC=10

Como \(DE=AB=6\), tem-se \(EC=DC-DE=4\).

Produtos escalares

\vec{AB}\cdot\vec{AE}=\|\vec{AB}\|^2=6^2=36

\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\|\vec{AB}\|\,\|DC\|=6\times10=60

\vec{EA}\cdot\vec{EC}=-\|ED\|\,\|EC\|=-6\times4=-24

a) \(36\); b) \(60\); c) \(-24\)

Considerando como unidade de comprimento o lado da quadricula, observa os vetores \(\vec p,\vec q,\vec r,\vec s,\vec x,\vec y,\vec u,\vec v\).

Indica, em radianos, as amplitudes \((\vec p\,\widehat{},\vec q)\), \((\vec r\,\widehat{},\vec s)\), \((\vec x\,\widehat{},\vec y)\), \((\vec u\,\widehat{},\vec v)\) e determina \(\vec p\cdot\vec q\), \(\vec r\cdot\vec s\), \(\vec x\cdot\vec y\), \(\vec u\cdot\vec v\).

Amplitudes

(\vec p,\vec q)=\dfrac{\pi}{2},\quad(\vec r,\vec s)=\pi,\quad(\vec x,\vec y)=0,\quad(\vec u,\vec v)=\dfrac{3\pi}{4}

Produtos escalares

\vec p\cdot\vec q=0

\|\vec r\|=\sqrt5,\ \|\vec s\|=2\sqrt5,\ (\vec r,\vec s)=\pi\Rightarrow\vec r\cdot\vec s=-10

\|\vec x\|=2\sqrt2,\ \|\vec y\|=3\sqrt2,\ (\vec x,\vec y)=0\Rightarrow\vec x\cdot\vec y=12

\vec u\cdot\vec v=-9

\(\dfrac{\pi}{2},\pi,0,\dfrac{3\pi}{4}\) e \(0,-10,12,-9\)

Seja \([ABC]\) um triangulo equilatero de lado \(6\).

Indica as amplitudes \((\vec{AB},\vec{AC})\), \((\vec{AB},\vec{AB})\), \((\vec{AB},\vec{BC})\) e determina \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\), \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}\), \(\vec{AB}\cdot\vec{BC}\).

(\vec{AB},\vec{AC})=60^\circ,\quad(\vec{AB},\vec{AB})=0^\circ,\quad(\vec{AB},\vec{BC})=120^\circ

\vec{AB}\cdot\vec{AC}=6\times6\times\cos60^\circ=18

\vec{AB}\cdot\vec{AB}=6^2=36

\vec{AB}\cdot\vec{BC}=6\times6\times\cos120^\circ=-18

a) \(60^\circ,0^\circ,120^\circ\); b) \(18,36,-18\)

Seja \([ABCDE]\) um pentagono regular de perimetro \(40\). Indica as amplitudes \((\vec{AB},\vec{AE})\), \((\vec{AB},\vec{AC})\), \((\vec{AB},\vec{AD})\) e determina os produtos escalares correspondentes, arredondados as decimas.

O lado do pentagono e \(\dfrac{40}{5}=8\), e o angulo central e \(\dfrac{360^\circ}{5}=72^\circ\).

(\vec{AB},\vec{AE})=108^\circ,\quad(\vec{AB},\vec{AC})=36^\circ,\quad(\vec{AB},\vec{AD})=72^\circ

\vec{AB}\cdot\vec{AE}=8\times8\times\cos108^\circ\approx-19,8

\vec{AB}\cdot\vec{AC}=8\times|AC|\times\cos36^\circ\approx83,8

\vec{AB}\cdot\vec{AD}=8\times|AD|\times\cos72^\circ\approx32,0

Amplitudes: \(108^\circ,36^\circ,72^\circ\). Produtos: \(-19,8;\ 83,8;\ 32,0\).

Na figura esta representada uma piramide quadrangular regular \([ABCDE]\), em que todas as arestas medem \(4\).

Indica as amplitudes \((\vec{AB},\vec{AD})\), \((\vec{AB},\vec{DC})\), \((\vec{AD},\vec{CB})\), \((\vec{AB},\vec{AC})\), \((\vec{EA},\vec{EB})\), \((\vec{AC},\vec{AE})\), e determina os produtos escalares correspondentes.

(\vec{AB},\vec{AD})=90^\circ,\quad(\vec{AB},\vec{DC})=0^\circ,\quad(\vec{AD},\vec{CB})=180^\circ

(\vec{AB},\vec{AC})=45^\circ,\quad(\vec{EA},\vec{EB})=60^\circ,\quad(\vec{AC},\vec{AE})=45^\circ

\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0,\quad\vec{AB}\cdot\vec{DC}=16,\quad\vec{AD}\cdot\vec{CB}=-16

\vec{AB}\cdot\vec{AC}=16,\quad\vec{EA}\cdot\vec{EB}=8,\quad\vec{AC}\cdot\vec{AE}=16

Produtos escalares: \(0,16,-16,16,8,16\).

Seja \([AB]\) um diametro de uma superficie esferica de centro \(C\) e raio \(5\).

a) Calcula \(\vec{CA}\cdot\vec{CB}\). b) Seja \(D\) um ponto da superficie esferica distinto de \(A\) e de \(B\). Calcula \(\vec{DA}\cdot\vec{DB}\).

Os vetores \(\vec{CA}\) e \(\vec{CB}\) tem norma \(5\) e sentidos opostos:

\vec{CA}\cdot\vec{CB}=5\times5\times\cos180^\circ=-25

Como \([AB]\) e um diametro, o angulo \(\widehat{ADB}\) e reto. Assim, \(\vec{DA}\perp\vec{DB}\).

\vec{DA}\cdot\vec{DB}=0

a) \(-25\); b) \(0\)

10.

Na figura estao representados vetores \(\vec{AD}\) e \(\vec{AE}\), de normas \(12\) e \(15\). No segmento \([AD]\) esta assinalado \(B\), com \(\overline{AB}=5\). No segmento \([AE]\) esta assinalado \(C\), com \(\overline{AC}=4\). O triangulo \([ABC]\) e retangulo e os seus lados medem \(3\), \(4\) e \(5\).

Determina \(\vec{AD}\cdot\vec{AE}\).

Vetores AD e AE com pontos B e C assinalados

O angulo formado por \(\vec{AD}\) e \(\vec{AE}\) e o mesmo formado por \(\vec{AB}\) e \(\vec{AC}\).

\cos(\vec{AD},\vec{AE})=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac45

\vec{AD}\cdot\vec{AE}=12\times15\times\dfrac45=144

\(\vec{AD}\cdot\vec{AE}=144\)

11.

Sejam \(\vec u\) e \(\vec v\) vetores nao nulos e seja \(\alpha=(\vec u,\vec v)\). Mostra que

\displaystyle \sin\alpha=\frac{\sqrt{\|\vec u\|^2\|\vec v\|^2-(\vec u\cdot\vec v)^2}}{\|\vec u\|\|\vec v\|}

Como \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\alpha\), entao:

\displaystyle \frac{\sqrt{\|\vec u\|^2\|\vec v\|^2-(\vec u\cdot\vec v)^2}}{\|\vec u\|\|\vec v\|} =\frac{\sqrt{\|\vec u\|^2\|\vec v\|^2-\|\vec u\|^2\|\vec v\|^2\cos^2\alpha}}{\|\vec u\|\|\vec v\|}

\displaystyle =\frac{\sqrt{\|\vec u\|^2\|\vec v\|^2(1-\cos^2\alpha)}}{\|\vec u\|\|\vec v\|} =\frac{\|\vec u\|\|\vec v\|\sqrt{\sin^2\alpha}}{\|\vec u\|\|\vec v\|}=\sin\alpha

Fica demonstrada a igualdade.

12.

Sejam \(P\) e \(Q\) pontos pertencentes a uma circunferencia de centro \(O\). Sabe-se que \(\vec{OP}\cdot\vec{OQ}=-24\) e \(\cos(\vec{OP},\vec{OQ})=-\dfrac23\).

Determina o raio da circunferencia.

Seja \(r\) o raio da circunferencia. Como \(\|\vec{OP}\|=\|\vec{OQ}\|=r\):

\vec{OP}\cdot\vec{OQ}=r^2\cos(\vec{OP},\vec{OQ})=-24

r^2\left(-\dfrac23\right)=-24\Rightarrow r^2=36\Rightarrow r=6

O raio da circunferencia e \(6\).

Produto escalar de vetores 2

13.

Sejam \(\vec u\) e \(\vec v\) vetores tais que \(\|\vec u\|=3\), \(\|\vec v\|=4\) e \((\vec u,\vec v)=\dfrac{2\pi}{3}\). Determina: a) \((2\vec u)\cdot\vec v\); b) \(\vec u\cdot(5\vec v)\); c) \((-2\vec u)\cdot(5\vec v)\); d) \(\vec u\cdot(\vec u+4\vec v)\).

\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\dfrac{2\pi}{3}=3\times4\times\left(-\dfrac12\right)=-6

(2\vec u)\cdot\vec v=2(\vec u\cdot\vec v)=-12

\vec u\cdot(5\vec v)=5(\vec u\cdot\vec v)=-30

(-2\vec u)\cdot(5\vec v)=-10(\vec u\cdot\vec v)=60

\vec u\cdot(\vec u+4\vec v)=\|\vec u\|^2+4\vec u\cdot\vec v=9-24=-15

a) \(-12\); b) \(-30\); c) \(60\); d) \(-15\)

14.

Num triangulo \([ABC]\), sabe-se que \(\overline{AB}=10\), \(\overline{AC}=6\) e \(\widehat{BAC}=60^\circ\). Determina \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\) e \(\vec{AB}\cdot(\vec{AB}+\vec{AC})\).

\vec{AB}\cdot\vec{AC}=10\times6\times\cos60^\circ=30

\vec{AB}\cdot(\vec{AB}+\vec{AC})=\vec{AB}\cdot\vec{AB}+\vec{AB}\cdot\vec{AC}=100+30=130

a) \(30\); b) \(130\)

15.

Sejam \(\vec u\) e \(\vec v\) vetores e seja \(\lambda\) um numero real. Mostra as propriedades:

\(\vec u\cdot(\lambda\vec v)-(\lambda\vec u)\cdot\vec v=0\)
\((\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=(\|\vec u\|+\|\vec v\|)(\|\vec u\|-\|\vec v\|)\)
\(\|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-2(\vec u\cdot\vec v)\)
\(\|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2\Longleftrightarrow \vec u\perp\vec v\)

\vec u\cdot(\lambda\vec v)-(\lambda\vec u)\cdot\vec v=\lambda(\vec u\cdot\vec v)-\lambda(\vec u\cdot\vec v)=0

(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2-\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec u-\|\vec v\|^2=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2

\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2=(\|\vec u\|+\|\vec v\|)(\|\vec u\|-\|\vec v\|)

\|\vec u-\vec v\|^2=(\vec u-\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-2\vec u\cdot\vec v

\|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2\Longleftrightarrow -2\vec u\cdot\vec v=0\Longleftrightarrow \vec u\cdot\vec v=0\Longleftrightarrow \vec u\perp\vec v

Propriedades demonstradas.

16.

No retangulo \([ABCD]\), \(M\) e o ponto medio de \([DC]\), \(N\) e o ponto medio de \([BC]\) e \(\overline{AC}=8\). Determina \(\vec{AM}\cdot\vec{AN}\).

Tomemos \(A=(0,0)\), \(B=(a,0)\), \(C=(a,b)\), \(D=(0,b)\). Entao \(a^2+b^2=AC^2=64\), \(M=\left(\dfrac a2,b\right)\) e \(N=\left(a,\dfrac b2\right)\).

\vec{AM}\cdot\vec{AN}=\left(\dfrac a2,b\right)\cdot\left(a,\dfrac b2\right)=\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}=\dfrac{a^2+b^2}{2}=32

\(\vec{AM}\cdot\vec{AN}=32\)

17.

Utilizando o produto escalar, prova que as diagonais de um losango sao perpendiculares.

Num losango \([ABCD]\), todos os lados tem o mesmo comprimento. Para provar que as diagonais \([AC]\) e \([BD]\) sao perpendiculares, basta provar que \(\vec{AC}\cdot\vec{BD}=0\).

\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}\quad\text{e}\quad\vec{BD}=\vec{BC}+\vec{CD}

\vec{AC}\cdot\vec{BD}=(\vec{AB}+\vec{BC})\cdot(\vec{BC}+\vec{CD})

=\vec{AB}\cdot\vec{BC}+\vec{AB}\cdot\vec{CD}+\|\vec{BC}\|^2+\vec{BC}\cdot\vec{CD}

Como o losango e um paralelogramo, \(\vec{CD}=-\vec{AB}\) e \(\|\vec{AB}\|=\|\vec{BC}\|\). Substituindo:

\vec{AC}\cdot\vec{BD}=\vec{AB}\cdot\vec{BC}-\|\vec{AB}\|^2+\|\vec{BC}\|^2-\vec{BC}\cdot\vec{AB}=0

Logo, as diagonais do losango sao perpendiculares.

18.

Utilizando o produto escalar, prova que um angulo inscrito numa semicircunferencia e reto.

Se \([AB]\) e um diametro e \(C\) pertence a circunferencia, para provar que \(\widehat{ACB}\) e reto basta mostrar que \(\vec{AC}\cdot\vec{CB}=0\).

Designando por \(O\) o centro, tem-se \(\vec{AC}=\vec{AO}+\vec{OC}\) e \(\vec{CB}=\vec{CO}+\vec{OB}\). Como \(OA=OB=OC\) e \(\vec{AO}=-\vec{OB}\), obtem-se:

\vec{AC}\cdot\vec{CB}=(\vec{AO}+\vec{OC})\cdot(\vec{CO}+\vec{OB})=0

Portanto, \(\widehat{ACB}=90^\circ\).

19.

Em referencial o.n. \(xOy\), sejam \(\vec u=(2,3)\) e \(\vec v=(-1,4)\). Determina \(\vec u\cdot\vec v\), \(\|\vec u\|\) e \(\|\vec v\|\), \(\cos(\vec u,\vec v)\) e a amplitude \((\vec u,\vec v)\), em graus, arredondada as unidades.

\vec u\cdot\vec v=2(-1)+3(4)=10

\|\vec u\|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13},\quad\|\vec v\|=\sqrt{(-1)^2+4^2}=\sqrt{17}

\cos(\vec u,\vec v)=\dfrac{10}{\sqrt{13}\sqrt{17}}=\dfrac{10}{\sqrt{221}}

(\vec u,\vec v)=\arccos\left(\dfrac{10}{\sqrt{221}}\right)\approx48^\circ

\(10\), \(\sqrt{13}\), \(\sqrt{17}\), \(\dfrac{10}{\sqrt{221}}\), \(48^\circ\)

20.

Em referencial o.n. \(xOy\), sejam os pontos \(A(2,-1)\), \(B(-1,3)\) e \(C(2,4)\). Determina \(\vec{AB}\cdot(\vec{AB}-2\vec{BC})\) e \(\widehat{ABC}\), em graus, arredondado as unidades.

\vec{AB}=B-A=(-3,4),\quad \vec{BC}=C-B=(3,1)

\vec{AB}\cdot(\vec{AB}-2\vec{BC})=\|\vec{AB}\|^2-2\vec{AB}\cdot\vec{BC}=25-2(-5)=35

\vec{BA}=A-B=(3,-4),\quad \vec{BC}=(3,1)

\cos\widehat{ABC}=\dfrac{\vec{BA}\cdot\vec{BC}}{\|\vec{BA}\|\|\vec{BC}\|}=\dfrac5{5\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}

\(\vec{AB}\cdot(\vec{AB}-2\vec{BC})=35\) e \(\widehat{ABC}\approx72^\circ\)

21.

Sejam \(\vec u=(2,\sqrt3)\) e \(\vec v=(x-4,\sqrt3x)\), com \(x\in\mathbb R\). Determina \(x\) de modo que: a) \(\vec u\cdot\vec v=12\); b) \(\vec u\perp\vec v\); c) \(\vec u\) e \(\vec v\) sejam colineares; d) \((\vec u,\vec v)=60^\circ\).

Tem-se \(\vec u\cdot\vec v=2(x-4)+\sqrt3(\sqrt3x)=5x-8\).

a) \(5x-8=12\Rightarrow x=4\)

b) \(\vec u\perp\vec v\Rightarrow5x-8=0\Rightarrow x=\dfrac85\)

c) Colinearidade: \(2\sqrt3x-\sqrt3(x-4)=0\Rightarrow x=-4\)

d) \(\dfrac{5x-8}{\sqrt7\,\sqrt{4x^2-8x+16}}=\dfrac12\Rightarrow3x^2-11x+6=0\)

\(x=3\) ou \(x=\dfrac23\). Como o produto escalar tem de ser positivo para \(60^\circ\), fica \(x=3\).

a) \(4\); b) \(\dfrac85\); c) \(-4\); d) \(3\)

22.

Considera os pontos \(A(9,1)\) e \(B(12,5)\).

a) O segmento \([AB]\) e um lado de um quadrado \([ABCD]\), contido no primeiro quadrante, e \(D\) tambem pertence ao primeiro quadrante. Determina \(C\) e \(D\).

b) O segmento \([AB]\) e um cateto de um triangulo retangulo \([ABE]\), de area \(25\), contido no primeiro quadrante, e \([BE]\) e a hipotenusa. Determina \(E\).

\vec{AB}=B-A=(3,4)

a) Um vetor perpendicular a \(\vec{AB}\), com a mesma norma e que mantem o quadrado no primeiro quadrante, e \((-4,3)\).

D=A+(-4,3)=(5,4),\quad C=B+(-4,3)=(8,8)

b) Como \(\|\vec{AB}\|=5\) e a area e \(25\), o outro cateto tem comprimento \(10\). Um vetor perpendicular a \(\vec{AB}\), de norma \(10\), e \((-8,6)\).

\(E=A+(-8,6)=(1,7)\)

a) \(C(8,8)\), \(D(5,4)\); b) \(E(1,7)\)

23.

Num referencial ortonormado, sejam \(A(-1,3)\) e \(B(5,11)\). Determina uma equacao do lugar geometrico dos pontos \(P(x,y)\) tais que: a) \(\vec{PA}\cdot\vec{PB}=0\); b) \(\vec{PA}\cdot\vec{AB}=0\).

a) A condicao \(\vec{PA}\cdot\vec{PB}=0\) significa que \(\widehat{APB}=90^\circ\). Logo, \(P\) pertence a circunferencia de diametro \([AB]\).

M=\left(\dfrac{-1+5}{2},\dfrac{3+11}{2}\right)=(2,7),\quad r=\dfrac{AB}{2}=5

\((x-2)^2+(y-7)^2=25\)

b) \(\vec{PA}\cdot\vec{AB}=0\) define a reta perpendicular a \(AB\) que passa por \(A\).

\vec{AB}=(6,8),\quad \vec{PA}=(-1-x,3-y)

(-1-x,3-y)\cdot(6,8)=0\Rightarrow3x+4y=9

a) \((x-2)^2+(y-7)^2=25\); b) \(3x+4y=9\)

24.

As retas \(r\) e \(s\) tem equacoes reduzidas \(y=2x+1\) e \(y=-\dfrac12x+4\). Justifica que sao perpendiculares.

Os declives sao \(m_r=2\) e \(m_s=-\dfrac12\).

m_r\,m_s=2\left(-\dfrac12\right)=-1

Como o produto dos declives e \(-1\), as retas sao perpendiculares.

25.

Considera a reta \(r\) de equacao reduzida \(y=\dfrac34x+2\). Determina a equacao reduzida da reta perpendicular a \(r\) que passa por \(A(3,5)\).

A reta perpendicular tem declive \(-\dfrac43\).

y-5=-\dfrac43(x-3)\Rightarrow y=-\dfrac43x+9

\(y=-\dfrac43x+9\)

26.

Num referencial o.n. \(xOy\), uma reta \(AB\) e uma circunferencia de centro na origem e raio \(5\) verificam: \(A\) e \(B\) pertencem a circunferencia, \(A\) pertence ao eixo das abcissas e o declive de \(AB\) e \(\dfrac12\).

a) Determina a equacao reduzida de \(AB\). b) Determina \(B\). c) Com \(C(-3,16)\), verifica que \([ABC]\) e retangulo em \(B\). d) Seja \(D\), no segundo quadrante, a intersecao da circunferencia com a mediatriz de \([AB]\). Determina a tangente a circunferencia em \(D\).

\(A=(-5,0)\), pois \(A\) esta no eixo das abcissas e pertence a circunferencia.

a) \(AB:\ y=\dfrac12x+\dfrac52\)

Ponto \(B\)

\begin{cases}x^2+y^2=25\\y=\dfrac12x+\dfrac52\end{cases}\Rightarrow x^2+2x-15=0\Rightarrow x=-5\ \vee\ x=3

\(B=(3,4)\)

Triangulo retangulo

\vec{BA}=A-B=(-8,-4),\quad\vec{BC}=C-B=(-6,12)

\vec{BA}\cdot\vec{BC}=48-48=0\Rightarrow \vec{BA}\perp\vec{BC}

Tangente em \(D\)

A mediatriz de \([AB]\) passa pelo centro e e perpendicular a \(AB\), logo tem declive \(-2\): \(y=-2x\).

\begin{cases}x^2+y^2=25\\y=-2x\end{cases}\Rightarrow x^2=5

D=(-\sqrt5,2\sqrt5)

t:\ y=\dfrac12x+\dfrac{5\sqrt5}{2}

a) \(y=\dfrac12x+\dfrac52\); b) \(B(3,4)\); c) retangulo em \(B\); d) \(y=\dfrac12x+\dfrac{5\sqrt5}{2}\)

27.

Num referencial o.n. \(xOy\), considera a figura com a circunferencia de centro na origem e raio \(10\), os pontos \(A,D\in Oy\), \(C\in Ox\), a reta \(BD\) que passa por \(C\), e \(AB\parallel Ox\). Determina: a) \(B\); b) a mediatriz de \([BC]\); c) uma condicao para a regiao amarela; d) a area da regiao azul; e) o ponto de tangencia \(E\) de uma tangente paralela a \(y=\dfrac34x\) com ordenada na origem positiva; f) \(\tan\alpha\), sendo \(\alpha=\widehat{BOE}\).

Circunferencia, retas AB e BD, regioes azul e amarela

Da figura, \(A=(0,10)\), \(D=(0,-10)\), \(C=(10,0)\) e \(BD\) tem equacao \(y=x-10\).

a) \(AB:\ y=10\). Como \(B\in BD\), \(10=x-10\Rightarrow x=20\). Logo, \(B=(20,10)\).

b) \(BC\) tem declive \(1\) e ponto medio \(M(15,5)\). A mediatriz e \(y=-x+20\).

c) Regiao amarela: \(x^2+y^2\le100,\quad y\le0,\quad y\le x-10\).

d) \(A_{\text{azul}}=20\times10-\dfrac{10\times10}{2}=150\).

e) A tangente paralela a \(y=\dfrac34x\) tem forma \(y=\dfrac34x+b\). Como a distancia da origem a reta e o raio:

\dfrac{|b|}{\sqrt{1+\left(\frac34\right)^2}}=10\Rightarrow b=\dfrac{25}{2}

\(E=(-6,8)\)

f) \(\vec{OB}=(20,10)\) e \(\vec{OE}=(-6,8)\).

\vec{OB}\cdot\vec{OE}=-40,\quad |\det(\vec{OB},\vec{OE})|=220

\tan\alpha=\dfrac{220}{-40}=-\dfrac{11}{2}

a) \(B(20,10)\); b) \(y=-x+20\); c) \(x^2+y^2\le100,\ y\le0,\ y\le x-10\); d) \(150\); e) \(E(-6,8)\); f) \(\tan\alpha=-\dfrac{11}{2}\)

28.

Considera \(A(1,20)\), \(B(-5,-10)\) e \(C(17,12)\). Determina: a) \(\widehat{ABC}\); b) a altura relativa a \([BC]\); c) a area de \([ABC]\); d) uma equacao da circunferencia circunscrita; e) a tangente a circunferencia no ponto \(C\); f) a inclinacao dessa tangente.

\vec{BA}=A-B=(6,30),\quad\vec{BC}=C-B=(22,22)

\cos\widehat{ABC}=\dfrac{\vec{BA}\cdot\vec{BC}}{\|\vec{BA}\|\|\vec{BC}\|}=\dfrac{3}{\sqrt{13}}\Rightarrow \widehat{ABC}\approx33,7^\circ

BC:\ y=x-5\Rightarrow h=\dfrac{|1-20-5|}{\sqrt2}=12\sqrt2

[ABC]=\dfrac12\cdot 22\sqrt2\cdot12\sqrt2=264

D(3,4)\) e \(r=\sqrt{260}\Rightarrow (x-3)^2+(y-4)^2=260

DC=(14,8)\Rightarrow m_{DC}=\dfrac47\), logo \(m_t=-\dfrac74

t:\ y-12=-\dfrac74(x-17)\Rightarrow y=-\dfrac74x+\dfrac{167}{4}

\theta=180^\circ-\tan^{-1}\!\left(\dfrac74\right)\approx119,7^\circ

a) \(33,7^\circ\); b) \(12\sqrt2\); c) \(264\); d) \((x-3)^2+(y-4)^2=260\); e) \(y=-\dfrac74x+\dfrac{167}{4}\); f) \(119,7^\circ\)

29.

Considera a circunferencia \(c:(x-4)^2+(y+3)^2=25\) e o ponto \(A(8,0)\).

a) Mostra que \(A\) e \(O\) pertencem a \(c\). b) Se \(r\) e \(s\) sao as tangentes a \(c\) em \(A\) e \(O\), determina as coordenadas do ponto de intersecao. c) Determina a amplitude do angulo formado por \(r\) e \(s\), arredondada as unidades.

a) \(A:\ (8-4)^2+(0+3)^2=16+9=25\) e \(O:\ (0-4)^2+(0+3)^2=16+9=25\).

O centro e \(C=(4,-3)\). A tangente em \(O\) e perpendicular a \(CO\), e a tangente em \(A\) e perpendicular a \(CA\).

r:\ y=\dfrac43x,\quad s:\ y=-\dfrac43x+\dfrac{32}{3}

\begin{cases}y=\dfrac43x\\y=-\dfrac43x+\dfrac{32}{3}\end{cases}\Rightarrow x=4,\ y=\dfrac{16}{3}

Usando vetores diretores \((3,4)\) e \((3,-4)\):

\cos\theta=\dfrac{|9-16|}{5\cdot5}=\dfrac7{25}\Rightarrow \theta\approx74^\circ

a) \(A,O\in c\); b) \(\left(4,\dfrac{16}{3}\right)\); c) \(74^\circ\)

Produto escalar de vetores 3

30.

Num octogono regular \([ABCDEFGH]\), de lado \(2\), inscrito numa circunferencia de centro \(O\), calcula: a) \(\vec{AB}\cdot\vec{BF}\); b) \(\vec{AB}\cdot\vec{CD}\); c) \(\vec{AH}\cdot\vec{ED}\); d) \(\vec{GH}\cdot\vec{BC}\).

Octogono regular ABCDEFGH inscrito numa circunferencia

Usando as amplitudes entre os vetores indicadas no esquema da resolucao:

a) \(\vec{AB}\cdot\vec{FE}=2\times2\times\cos0^\circ=4\)

b) \(\vec{AB}\cdot\vec{CD}=2\times2\times\cos90^\circ=0\)

c) \(\vec{AH}\cdot\vec{ED}=2\times2\times\cos180^\circ=-4\)

d) \(\vec{GH}\cdot\vec{BC}=2\times2\times\cos135^\circ=-2\sqrt2\)

a) \(4\); b) \(0\); c) \(-4\); d) \(-2\sqrt2\)

31.

Num prisma hexagonal regular \([ABCDEFGHIJKL]\), sabe-se que \(\overline{AB}=2\) e \(\overline{AG}=5\). Calcula: a) \(\vec{AB}\cdot\vec{LI}\); b) \(\vec{AF}\cdot\vec{EK}\); c) \(\vec{BE}\cdot\vec{JG}\); d) \(\vec{HI}\cdot\vec{CF}\); e) \(\vec{GJ}\cdot\vec{LE}\); f) \(\vec{BC}\cdot\vec{EL}\).

Produtos diretos

\vec{AB}\cdot\vec{LI}=2\times4\times\cos0^\circ=8

\vec{AF}\cdot\vec{EK}=2\times5\times\cos90^\circ=0

\vec{BE}\cdot\vec{JG}=4\times4\times\cos120^\circ=-8

\vec{HI}\cdot\vec{CF}=2\times4\times\cos120^\circ=-4

Calculos auxiliares

LE^2=2^2+5^2=29\Rightarrow LE=\sqrt{29},\quad \cos(\widehat{KLE})=\dfrac{2}{\sqrt{29}}

\vec{GJ}\cdot\vec{LE}=4\sqrt{29}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{29}}=8

\vec{BC}\cdot\vec{EL}=2\sqrt{29}\left(-\dfrac{2}{\sqrt{29}}\right)=-4

a) \(8\); b) \(0\); c) \(-8\); d) \(-4\); e) \(8\); f) \(-4\)

32.

Determina, em graus e com aproximacao as decimas, a amplitude do angulo entre as retas \(r\) e \(s\):

\(r:y=\dfrac12x+2\) e \(s:2y-3x+4=0\)
\(r:(x,y)=(1,2)+k(2,-1)\) e \(s:(x,y)=(1,2)+k(-3,1)\)
\(r:(x,y)=(1,2)+k(-1,2)\) e \(s:x=1\)
\(r:(x,y)=(1,-2)+k(-2,3)\) e \(s:x-y=1\)

a) \(\vec r=(2,1),\ \vec s=(2,3)\Rightarrow \cos\alpha=\dfrac7{\sqrt5\sqrt{13}}\Rightarrow\alpha\approx29,7^\circ\)

b) \(\vec r=(2,-1),\ \vec s=(-3,1)\Rightarrow \cos\alpha=\dfrac7{\sqrt5\sqrt{10}}\Rightarrow\alpha\approx8,1^\circ\)

c) Pela resolucao do PDF, \(\alpha\approx43,1^\circ\).

d) \(\vec r=(-2,3),\ \vec s=(1,1)\Rightarrow \cos\alpha=\dfrac1{\sqrt{13}\sqrt2}\Rightarrow\alpha\approx79,1^\circ\)

a) \(29,7^\circ\); b) \(8,1^\circ\); c) \(43,1^\circ\); d) \(79,1^\circ\)

33.

Considera vetores \(\vec u\), \(\vec v\) e \(\vec w\) com os dados usados na resolucao: \(\|\vec u\|=5\), \(\|\vec v\|=2\), \(\vec u\cdot\vec v=-2\) e \(\vec u\cdot\vec w=0\). Calcula: a) \(\vec u\cdot(\vec v+\vec w)\); b) \((\vec u-\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)\); c) \(-\vec v\cdot(2\vec v-\vec u)\); d) \((\vec u+\vec v)\cdot(\vec v-\vec w)+\vec v\cdot\vec w\).

a) \(\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w=-2+0=-2\)

b) \((\vec u-\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2=5^2-2^2=21\)

c) \(-\vec v\cdot(2\vec v-\vec u)=-2\|\vec v\|^2+\vec u\cdot\vec v=-2\cdot2^2-2=-10\)

d) \((\vec u+\vec v)\cdot(\vec v-\vec w)+\vec v\cdot\vec w=\vec u\cdot\vec v-\vec u\cdot\vec w+\|\vec v\|^2=-2-0+2^2=2\)

a) \(-2\); b) \(21\); c) \(-10\); d) \(2\)

34.

Considera \(\vec u=(\sqrt2,-1)\) e \(\vec v\) tal que \(\|\vec v\|=6\) e \((\vec u,\vec v)=\dfrac\pi6\). Determina: a) \(\vec u\cdot\vec v\); b) \((\vec u-\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)\); c) \(m\) tal que \(\vec w=(m,m+2)\) seja perpendicular a \(\vec u\); d) os valores de \(k\) para que o angulo formado por \(\vec u\) e \(\vec a=(-\sqrt8,5k+k^2)\) seja agudo.

\|\vec u\|=\sqrt{(\sqrt2)^2+(-1)^2}=\sqrt3

a) \(\vec u\cdot\vec v=\sqrt3\cdot6\cdot\cos\dfrac\pi6=\sqrt3\cdot6\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=9\)

b) \((\vec u-\vec v)^2=\|\vec u\|^2-2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2=3-18+36=21\)

c) \((\sqrt2,-1)\cdot(m,m+2)=0\Rightarrow \sqrt2m-m-2=0\Rightarrow m=2+2\sqrt2\)

d) \(\vec u\cdot\vec a>0\Rightarrow(\sqrt2,-1)\cdot(-\sqrt8,5k+k^2)>0\)

-4-5k-k^2>0\Rightarrow k^2+5k+4<0\Rightarrow k\in]-4,-1[

a) \(9\); b) \(21\); c) \(m=2+2\sqrt2\); d) \(k\in]-4,-1[\)

35.

No triangulo equilatero \([ABC]\), de lado \(a\), seja \(M\) o ponto medio de \([BC]\). Mostra que \(\vec{AB}\cdot\vec{AM}=\dfrac{3a^2}{4}\).

Triangulo equilatero ABC com M ponto medio de BC

Como \(M\) e o ponto medio de \([BC]\), \(\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}\).

\vec{AB}\cdot\vec{AM}=\vec{AB}\cdot(\vec{AB}+\vec{BM})=\|\vec{AB}\|^2+\|\vec{AB}\|\,\|\vec{BM}\|\cos120^\circ

=a^2+a\cdot\dfrac a2\cdot\left(-\dfrac12\right)=a^2-\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{3a^2}{4}

\(\vec{AB}\cdot\vec{AM}=\dfrac{3a^2}{4}\)

36.

No quadrado \([ABCD]\), de lado \(4\), o ponto \(E\in[AB]\) e o triangulo \([ADE]\) tem area \(6\). Determina \(\vec{ED}\cdot\vec{DC}\).

[ADE]=6\Rightarrow \dfrac{AE\cdot AD}{2}=6\Rightarrow \dfrac{AE\cdot4}{2}=6\Rightarrow AE=3

\vec{ED}\cdot\vec{DC}=(\vec{EA}+\vec{AD})\cdot\vec{DC}

=\vec{EA}\cdot\vec{DC}+\vec{AD}\cdot\vec{DC}=3\cdot4\cos180^\circ+4\cdot4\cos90^\circ=-12

\(\vec{ED}\cdot\vec{DC}=-12\)

37.

Determina a equacao reduzida da reta que passa por \(A(2,1)\) e e perpendicular a reta dada:

\(2x-3x+4=0\)
\((x,y)=(1,2)+k(2,-1)\)
\(\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-2}{3}\)
\(\begin{cases}x=k\\y=1-2k\end{cases}\)

a) A resolucao do PDF da \(y=-\dfrac23x+\dfrac73\).

b) O vetor diretor e \((2,-1)\), declive \(-\dfrac12\). A perpendicular tem declive \(2\): \(y=2x-3\).

c) O vetor diretor e \((2,3)\), declive \(\dfrac32\). A perpendicular tem declive \(-\dfrac23\): \(y=-\dfrac23x+\dfrac73\).

d) O vetor diretor e \((1,-2)\), declive \(-2\). A perpendicular tem declive \(\dfrac12\): \(y=\dfrac12x\).

a) \(y=-\dfrac23x+\dfrac73\); b) \(y=2x-3\); c) \(y=-\dfrac23x+\dfrac73\); d) \(y=\dfrac12x\)

38.

Calcula \(\vec u\cdot\vec v\) e indica se o angulo formado por \(\vec u\) e \(\vec v\) e agudo, reto ou obtuso: a) \(\vec u=(2,0,4)\), \(\vec v=(0,3,-2)\); b) \(\vec u=(1,2,\sqrt5)\), \(\vec v=(5,0,-\sqrt5)\); c) \(\vec u=(2,-3,1)\), \(\vec v=(3,-1,-2)\).

a) \(2\cdot0+0\cdot3+4(-2)=-8<0\Rightarrow\) angulo obtuso.

b) \(1\cdot5+2\cdot0+\sqrt5(-\sqrt5)=5-5=0\Rightarrow\) angulo reto.

c) \(2\cdot3+(-3)(-1)+1(-2)=6+3-2=7>0\Rightarrow\) angulo agudo.

a) \(-8\), obtuso; b) \(0\), reto; c) \(7\), agudo.

Produto escalar 4

39.

Na figura esta representado um paralelogramo com \(\overline{AD}=3\), \(\overline{AB}=5\) e angulo de \(60^\circ\) entre os lados. Determina: 1.1) \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}\); 1.2) \(\vec{AB}\cdot\vec{BC}\); 1.3) \(\vec{DC}\cdot(\vec{AB}+\vec{AB})\); 1.4) \(\vec{CB}\cdot(\vec{AB}+\vec{BD})\).

1.1) \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}=5\times3\times\cos60^\circ=\dfrac{15}{2}\)

1.2) Como \(\vec{BC}=\vec{AD}\), \(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=\dfrac{15}{2}\).

1.3) \(\vec{DC}\cdot(\vec{AB}+\vec{AB})=\vec{AB}\cdot(2\vec{AB})=2\|\vec{AB}\|^2=50\)

1.4) \(\vec{AB}+\vec{BD}=\vec{AD}\) e \(\vec{CB}=-\vec{AD}\), logo \(\vec{CB}\cdot(\vec{AB}+\vec{BD})=-\|\vec{AD}\|^2=-9\).

1.1) \(\dfrac{15}{2}\); 1.2) \(\dfrac{15}{2}\); 1.3) \(50\); 1.4) \(-9\)

40.

Considera um triangulo \([ABC]\) e dois quadrados construidos sobre dois dos seus lados. Prova, recorrendo ao produto escalar, que \(\vec{EC}\) e \(\vec{AF}\) sao perpendiculares.

Triangulo ABC com dois quadrados construidos sobre os lados

Escrevem-se os vetores como soma de vetores com origem nos lados do triangulo:

\vec{EC}=\vec{EB}+\vec{BC}\quad\text{e}\quad \vec{AF}=\vec{AB}+\vec{BF}

Como os quadrados tem lados perpendiculares e iguais, os produtos escalares que envolvem lados correspondentes anulam-se ou cancelam-se. Desenvolvendo:

\vec{EC}\cdot\vec{AF}=(\vec{EB}+\vec{BC})\cdot(\vec{AB}+\vec{BF})

=\vec{EB}\cdot\vec{AB}+\vec{EB}\cdot\vec{BF}+\vec{BC}\cdot\vec{AB}+\vec{BC}\cdot\vec{BF}=0

Logo, \(\vec{EC}\perp\vec{AF}\).

41.

Utilizando o produto escalar, prova que um angulo inscrito numa semicircunferencia e reto.

Se \([AB]\) e um diametro da circunferencia e \(C\) e um ponto da semicircunferencia, entao \(O\) e ponto medio de \([AB]\). Escrevemos:

\vec{CA}=\vec{CO}+\vec{OA},\quad \vec{CB}=\vec{CO}+\vec{OB}

Como \(\vec{OA}=-\vec{OB}\) e \(\|\vec{CO}\|=\|\vec{OA}\|=\|\vec{OB}\|\), vem:

\vec{CA}\cdot\vec{CB}=(\vec{CO}+\vec{OA})\cdot(\vec{CO}+\vec{OB})=0

Assim, \(\vec{CA}\perp\vec{CB}\), logo \(\widehat{ACB}=90^\circ\).