Lugares geométricos

Geometria Analítica - Lugares geométricos 1

Matemática A - 11.º ano - Novo Programa 2025 - matematicaparatodos.pt

Lugares geométricos 1

1.

Num referencial o.n. do plano, dado o segmento de reta \([AB]\), com \(A(2,1)\) e \(B(0,3)\), determina uma equação cartesiana da mediatriz de \([AB]\).

Ponto médio

A mediatriz passa pelo ponto médio de \([AB]\).

\(M=\left(\dfrac{2+0}{2},\dfrac{1+3}{2}\right)=(1,2)\)
Condição de perpendicularidade

Se \(P(x,y)\) pertence à mediatriz, então \(\vec{AB}\cdot\vec{MP}=0\).

\(\vec{AB}=B-A=(0,3)-(2,1)=(-2,2)\)
\(\vec{MP}=P-M=(x,y)-(1,2)=(x-1,y-2)\)
\((-2,2)\cdot(x-1,y-2)=0\)
\(-2x+2+2y-4=0\Rightarrow2y=2x+2\Rightarrow y=x+1\)
A mediatriz é \(y=x+1\).
2.

Considera, num referencial o.n. do plano, a circunferência de equação \((x+4)^2+(y-3)^2=25\), com centro \(C\), representada na figura.

O ponto \(T(-1,7)\) pertence à circunferência. Determina a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto \(T\).

Circunferência com centro C, ponto T e reta tangente
Centro e raio no ponto de tangência

Da equação da circunferência, o centro é \(C(-4,3)\). A reta tangente no ponto \(T\) é perpendicular ao raio \([CT]\).

\(\vec{CT}=T-C=(-1,7)-(-4,3)=(3,4)\)
Condição da tangente

Se \(P(x,y)\) pertence à tangente, então \(\vec{CT}\cdot\vec{TP}=0\).

\(\vec{TP}=P-T=(x,y)-(-1,7)=(x+1,y-7)\)
\((3,4)\cdot(x+1,y-7)=0\)
\(3x+3+4y-28=0\Rightarrow4y=-3x+25\)
A reta tangente é \(y=-\dfrac34x+\dfrac{25}{4}\).
3.

Considera os pontos \(A(1,-2)\) e \(B(-3,1)\). Determina:

  1. a equação reduzida da mediatriz de \([AB]\);
  2. a equação reduzida da circunferência com diâmetro \([AB]\);
  3. a equação reduzida da reta tangente à circunferência de diâmetro \([AB]\) no ponto \(A\).
3.1 Mediatriz de \([AB]\)
\(M=\left(\dfrac{1-3}{2},\dfrac{-2+1}{2}\right)=\left(-1,-\dfrac12\right)\)
\(\vec{AB}=B-A=(-3,1)-(1,-2)=(-4,3)\)

Se \(P(x,y)\) pertence à mediatriz, então \(\vec{AB}\cdot\vec{MP}=0\).

\(\vec{MP}=P-M=(x+1,y+\dfrac12)\)
\((-4,3)\cdot\left(x+1,y+\dfrac12\right)=0\)
\(-4x-4+3y+\dfrac32=0\Rightarrow3y=4x+\dfrac52\Rightarrow y=\dfrac43x+\dfrac56\)
3.2 Circunferência de diâmetro \([AB]\)

Um ponto \(P(x,y)\) pertence à circunferência de diâmetro \([AB]\) se \(\vec{AP}\cdot\vec{BP}=0\).

\(\vec{AP}=(x-1,y+2),\quad \vec{BP}=(x+3,y-1)\)
\((x-1,y+2)\cdot(x+3,y-1)=0\)
\((x-1)(x+3)+(y+2)(y-1)=0\)
\(x^2+2x+y^2+y=5\)
\((x+1)^2+\left(y+\dfrac12\right)^2=\dfrac{25}{4}\)
3.3 Tangente no ponto \(A\)

A tangente em \(A\) é perpendicular ao raio, que tem a direção de \(\vec{AB}\).

\(\vec{AP}=P-A=(x-1,y+2)\)
\(\vec{AB}\cdot\vec{AP}=0\Rightarrow(-4,3)\cdot(x-1,y+2)=0\)
\(-4x+4+3y+6=0\Rightarrow3y=4x-10\Rightarrow y=\dfrac43x-\dfrac{10}{3}\)
3.1 \(y=\dfrac43x+\dfrac56\); 3.2 \((x+1)^2+\left(y+\dfrac12\right)^2=\dfrac{25}{4}\); 3.3 \(y=\dfrac43x-\dfrac{10}{3}\)
4.

Considera a circunferência definida por \((x-1)^2+(y+4)^2=25\).

  1. Indica as coordenadas do centro.
  2. Determina as coordenadas do ponto \(A\), ponto de interseção da circunferência com o eixo horizontal, que tem abcissa positiva.
  3. Determina a equação reduzida da reta tangente à circunferência em \(A\).
4.1 Centro

Comparando com \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), obtém-se:

\(C=(1,-4)\)
4.2 Interseção com o eixo horizontal

No eixo horizontal, \(y=0\). Como o ponto tem abcissa positiva, escrevemos \(A=(x,0)\), com \(x>0\).

\((x-1)^2+(0+4)^2=25\)
\(x^2-2x+1+16=25\Rightarrow x^2-2x-8=0\)
\(x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+32}}{2}=\dfrac{2\pm6}{2}\Rightarrow x=4\ \text{ou}\ x=-2\)

Como \(x>0\), fica \(x=4\).

\(A=(4,0)\)
4.3 Tangente em \(A\)

A reta tangente em \(A\) é perpendicular ao raio \([CA]\).

\(\vec{CA}=A-C=(4,0)-(1,-4)=(3,4)\)
\(\vec{AP}=P-A=(x,y)-(4,0)=(x-4,y)\)
\(\vec{CA}\cdot\vec{AP}=0\Rightarrow(3,4)\cdot(x-4,y)=0\)
\(3x-12+4y=0\Rightarrow4y=-3x+12\Rightarrow y=-\dfrac34x+3\)
4.1 \(C=(1,-4)\); 4.2 \(A=(4,0)\); 4.3 \(y=-\dfrac34x+3\)
5.

Considera, num referencial o.n. do espaço, os pontos \(A(1,-2,2)\) e \(B(-3,0,1)\). Determina:

  1. uma equação cartesiana do plano mediador de \([AB]\);
  2. a equação reduzida da superfície esférica de diâmetro \([AB]\).
5.1 Plano mediador

O plano mediador passa pelo ponto médio de \([AB]\) e é perpendicular a \(\vec{AB}\).

\(M=\left(\dfrac{1-3}{2},\dfrac{-2+0}{2},\dfrac{2+1}{2}\right)=\left(-1,-1,\dfrac32\right)\)
\(\vec{AB}=B-A=(-3,0,1)-(1,-2,2)=(-4,2,-1)\)

Se \(P(x,y,z)\) pertence ao plano mediador, então \(\vec{AB}\cdot\vec{MP}=0\).

\(\vec{MP}=\left(x+1,y+1,z-\dfrac32\right)\)
\((-4,2,-1)\cdot\left(x+1,y+1,z-\dfrac32\right)=0\)
\(-4x-4+2y+2-z+\dfrac32=0\)
\(-4x+2y-z-\dfrac12=0\)
5.2 Superfície esférica de diâmetro \([AB]\)

O centro é o ponto médio \(M\). O raio é metade de \(\overline{AB}\).

\(\|\vec{AB}\|^2=(-4)^2+2^2+(-1)^2=21\Rightarrow r^2=\dfrac{21}{4}\)
5.1 \(-4x+2y-z-\dfrac12=0\); 5.2 \((x+1)^2+(y+1)^2+\left(z-\dfrac32\right)^2=\dfrac{21}{4}\)
6.

Na figura seguinte, o plano \(\alpha\) é tangente no ponto \(T\) à superfície de centro \(C\).

Considera um referencial o.n. do espaço em que se tem \(C(1,2,-3)\) e \(T(0,-2,4)\). Determina uma equação cartesiana do plano \(\alpha\).

Plano tangente a uma superfície esférica no ponto T

O raio \([CT]\) é perpendicular ao plano tangente, por isso \(\vec{CT}\) é um vetor normal do plano.

\(\vec{CT}=T-C=(0,-2,4)-(1,2,-3)=(-1,-4,7)\)

Se \(P(x,y,z)\) pertence ao plano tangente que passa por \(T\), então \(\vec{CT}\cdot\vec{TP}=0\).

\(\vec{TP}=P-T=(x,y+2,z-4)\)
\((-1,-4,7)\cdot(x,y+2,z-4)=0\)
\(-x-4y-8+7z-28=0\)
\(-x-4y+7z-36=0\)
Uma equação do plano é \(x+4y-7z+36=0\).
7.

Sejam \(A\) e \(B\) dois pontos do espaço e \(M\) o ponto médio do segmento de reta \([AB]\).

Identifica o conjunto dos pontos \(P\) do espaço tais que:

  1. \(\vec{PA}\cdot\vec{PB}=0\);
  2. \(\vec{AB}\cdot\vec{MP}=0\).
7.1 Condição \(\vec{PA}\cdot\vec{PB}=0\)

O produto escalar nulo significa que \(\vec{PA}\) e \(\vec{PB}\) são perpendiculares. Assim, o ângulo \(\widehat{APB}\) é reto.

No espaço, o conjunto dos pontos que veem \([AB]\) segundo um ângulo reto é a superfície esférica de diâmetro \([AB]\).

7.2 Condição \(\vec{AB}\cdot\vec{MP}=0\)

Esta condição diz que \(\vec{MP}\) é perpendicular a \(\vec{AB}\). Como \(M\) é o ponto médio de \([AB]\), o conjunto dos pontos \(P\) é o plano que passa por \(M\) e é perpendicular a \([AB]\).

7.1 Superfície esférica de diâmetro \([AB]\). 7.2 Plano mediador de \([AB]\).
8.

No referencial ortonormado do espaço está representado o segmento \([AC]\), com \(A(0,0,2)\) e \(C(-2,5,2)\). Seja \(B\) o ponto médio de \([AC]\).

  1. Determina as coordenadas do ponto \(B\).
  2. Identifica o conjunto dos pontos \(P\) do espaço tais que: a) \(\vec{PA}\cdot\vec{PC}=0\); b) \(\vec{AC}\cdot\vec{BP}=0\).
  3. Dada a superfície esférica de centro \(A\) e raio \([AC]\), que lugar geométrico é definido pela condição \(\vec{AC}\cdot\vec{CP}=0\)?
Segmento AC no espaço
8.1 Ponto médio
\(B=\left(\dfrac{0+(-2)}{2},\dfrac{0+5}{2},\dfrac{2+2}{2}\right)=\left(-1,\dfrac52,2\right)\)
8.2 a) Condição \(\vec{PA}\cdot\vec{PC}=0\)

O produto escalar nulo significa que \(\vec{PA}\) e \(\vec{PC}\) são perpendiculares. Logo, \(P\) vê o segmento \([AC]\) segundo um ângulo reto.

O lugar geométrico é a superfície esférica de diâmetro \([AC]\).
8.2 b) Condição \(\vec{AC}\cdot\vec{BP}=0\)

Esta condição significa que \(\vec{BP}\) é perpendicular a \(\vec{AC}\). Como \(B\) é o ponto médio de \([AC]\), o lugar geométrico é o plano mediador de \([AC]\).

O lugar geométrico é o plano mediador de \([AC]\).
8.3 Condição \(\vec{AC}\cdot\vec{CP}=0\)

Na superfície esférica de centro \(A\) e raio \([AC]\), o vetor \(\vec{AC}\) é um raio no ponto \(C\). A condição \(\vec{AC}\cdot\vec{CP}=0\) diz que \(\vec{CP}\) é perpendicular ao raio no ponto \(C\).

Logo, o conjunto dos pontos \(P\) é o plano tangente à superfície esférica no ponto \(C\).

8.1 \(B=\left(-1,\dfrac52,2\right)\); 8.2 a) superfície esférica de diâmetro \([AC]\); 8.2 b) plano mediador de \([AC]\); 8.3 plano tangente no ponto \(C\) à superfície esférica de centro \(A\).