Geometria Analítica - Global

Geometria Analítica - Global

Matemática A - 11.º ano - Novo Programa 2025 - matematicaparatodos.pt

Geometria Analítica - Global

1.

Considera, fixado um referencial ortonormado do plano, a reta \(r\) definida pela equação \(5y+2x-4=0\).

Um valor aproximado à décima da inclinação, em radianos, da reta \(r\) é:

(A) \(-0,4\)
(B) \(0,4\)
(C) \(2,8\)
(D) \(3,5\)

Escreve-se a reta na forma reduzida:

\(5y+2x-4=0\Rightarrow5y=-2x+4\Rightarrow y=-\dfrac25x+\dfrac45\)

Logo, o declive é \(m=-\dfrac25\).

\(\tan\alpha=-\dfrac25\)

Como o declive é negativo, a inclinação \(\alpha\) pertence ao segundo quadrante.

\(\alpha=\pi-\tan^{-1}\!\left(\dfrac25\right)\approx2,8\)
Opção (C)
2.

Na figura está representado o triângulo equilátero \([ABC]\).

Sabe-se que o perímetro do triângulo é \(6\sqrt2\) e que \(M\) é o ponto médio de \([BC]\). Qual é o valor de \(\vec{AB}\cdot\vec{AM}\)?

Triângulo equilátero ABC com M ponto médio de BC
(A) \(12\)
(B) \(6\)
(C) \(\dfrac32\)
(D) \(\dfrac{\sqrt6}{2}\)

Como o perímetro é \(6\sqrt2\), o lado do triângulo é:

\(\overline{AB}=\dfrac{6\sqrt2}{3}=2\sqrt2\)

Num triângulo equilátero, a mediana também é bissetriz. Logo, \(\widehat{BAM}=30^\circ\).

\(\overline{AM}=2\sqrt2\cdot\cos30^\circ=2\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt6\)
\(\vec{AB}\cdot\vec{AM}=\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AM}\|\cos30^\circ\)
\(=2\sqrt2\cdot\sqrt6\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=6\)
Opção (B)
3.

Considera, num plano munido de um referencial ortonormado, o vetor \(\vec u=(-3\sqrt2,9)\).

Qual dos vetores seguintes não é perpendicular ao vetor \(\vec u\)?

(A) \(\vec a=(3,\sqrt2)\)
(B) \(\vec b=\left(1,\dfrac{\sqrt2}{3}\right)\)
(C) \(\vec c=\left(\sqrt6,\dfrac{2\sqrt3}{3}\right)\)
(D) \(\vec d=(-9,3\sqrt2)\)

Dois vetores são perpendiculares quando o seu produto escalar é zero.

\(\vec u\cdot\vec a=(-3\sqrt2)\cdot3+9\sqrt2=0\)
\(\vec u\cdot\vec b=(-3\sqrt2)\cdot1+9\cdot\dfrac{\sqrt2}{3}=0\)
\(\vec u\cdot\vec c=(-3\sqrt2)\sqrt6+9\cdot\dfrac{2\sqrt3}{3}=-6\sqrt3+6\sqrt3=0\)
\(\vec u\cdot\vec d=(-3\sqrt2)(-9)+9(3\sqrt2)=54\sqrt2\ne0\)
O vetor que não é perpendicular a \(\vec u\) é o da opção (D).
4.

Fixado um referencial ortonormado do espaço, considera a reta \(r\) e o plano \(\alpha\) definidos por:

\(r:\ (x,y,z)=(-4,2,1)+\lambda(4,-2,1),\quad \lambda\in\mathbb R\)
\(\alpha:\ 2x-y+2kz=0,\quad k\in\mathbb R\setminus\{0\}\)

Sabe-se que a reta \(r\) é paralela ao plano \(\alpha\). Qual é o valor de \(k\)?

(A) \(-5\)
(B) \(\dfrac14\)
(C) \(5\)
(D) \(-\dfrac14\)

Um vetor diretor da reta é \(\vec v=(4,-2,1)\). Um vetor normal do plano é \(\vec n=(2,-1,2k)\).

Para a reta ser paralela ao plano, o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano.

\(\vec v\cdot\vec n=0\)
\((4,-2,1)\cdot(2,-1,2k)=8+2+2k=0\)
\(10+2k=0\Rightarrow k=-5\)
Opção (A)
5.

Fixado um referencial ortonormado do espaço, considera a superfície esférica de equação \((x-1)^2+y^2+(z-2)^2=4\).

A interseção do plano \(\alpha\) com a superfície esférica é uma circunferência de raio \(\sqrt3\). Qual das seguintes opções pode corresponder a uma equação do plano \(\alpha\)?

(A) \(x=-1\)
(B) \(x=2\)
(C) \(z=0\)
(D) \(z=4\)

A superfície esférica tem centro \(C(1,0,2)\) e raio \(R=2\).

Se \(H\) é o centro da circunferência de interseção, então \(H\) é a projeção ortogonal de \(C\) no plano \(\alpha\). O triângulo formado tem hipotenusa \(R\) e catetos \(\overline{CH}\) e \(\sqrt3\).

\(R^2=\overline{CH}^{\,2}+(\sqrt3)^2\Rightarrow4=\overline{CH}^{\,2}+3\Rightarrow\overline{CH}=1\)

Testemos a opção \(x=2\). A reta perpendicular a esse plano que passa por \(C\) é:

\(s:\ (x,y,z)=(1,0,2)+\lambda(1,0,0),\quad \lambda\in\mathbb R\)

O ponto de interseção com o plano \(x=2\) é obtido por:

\(1+\lambda=2\Rightarrow\lambda=1\Rightarrow H=(2,0,2)\)
\(\overline{CH}=\sqrt{(2-1)^2+(0-0)^2+(2-2)^2}=1\)

Logo, a interseção desse plano com a superfície esférica tem raio \(\sqrt3\).

Opção (B)
6.

Considera, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos \(A(1,2)\), \(B(-1,0)\) e \(C(-3,5)\), e a circunferência de equação \((x-2)^2+(y+1)^2=10\).

  1. Verifica que os pontos \(A\) e \(B\) pertencem ambos à circunferência.
  2. Usando o produto escalar, determina: a) a equação reduzida da reta \(t\) tangente à circunferência no ponto \(A\); b) a equação da circunferência de diâmetro \([AB]\) na forma \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
  3. Determina as coordenadas dos vetores de norma \(2\) perpendiculares ao vetor \(\vec{AC}\).
  4. Determina a equação reduzida da reta \(s\), perpendicular à reta \(AC\), que passa pelo ponto \(B\).
6.1 Verificação

Substitui-se cada ponto na equação da circunferência.

\(A(1,2):\ (1-2)^2+(2+1)^2=1+9=10\)
\(B(-1,0):\ (-1-2)^2+(0+1)^2=9+1=10\)

Logo, \(A\) e \(B\) pertencem à circunferência.

6.2 a) Reta tangente em \(A\)

O centro da circunferência é \(D(2,-1)\). A tangente em \(A\) é perpendicular ao raio \([DA]\).

\(\vec{DA}=A-D=(1,2)-(2,-1)=(-1,3)\)

Se \(P(x,y)\) pertence à tangente, então \(\vec{DA}\cdot\vec{AP}=0\).

\(\vec{AP}=P-A=(x-1,y-2)\)
\((-1,3)\cdot(x-1,y-2)=0\)
\(-x+1+3y-6=0\Rightarrow3y=x+5\Rightarrow y=\dfrac13x+\dfrac53\)
6.2 b) Circunferência de diâmetro \([AB]\)

O centro é o ponto médio de \([AB]\):

\(M=\left(\dfrac{1+(-1)}{2},\dfrac{2+0}{2}\right)=(0,1)\)
\(\overline{AB}=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=2\sqrt2\Rightarrow r=\sqrt2\)
\(x^2+(y-1)^2=2\)
6.3 Vetores perpendiculares a \(\vec{AC}\)
\(\vec{AC}=C-A=(-3,5)-(1,2)=(-4,3)\)

Um vetor perpendicular a \((-4,3)\) tem direção \((3,4)\). Como \(\|(3,4)\|=5\), os vetores de norma \(2\) são:

\(\pm\dfrac25(3,4)=\left(\dfrac65,\dfrac85\right)\ \text{e}\ \left(-\dfrac65,-\dfrac85\right)\)
6.4 Reta perpendicular a \(AC\) que passa por \(B\)

O declive de \(AC\) é:

\(m_{AC}=\dfrac{5-2}{-3-1}=-\dfrac34\)

Logo, uma reta perpendicular a \(AC\) tem declive \(\dfrac43\). Como passa por \(B(-1,0)\):

\(y-0=\dfrac43(x+1)\Rightarrow y=\dfrac43x+\dfrac43\)
6.2 a) \(y=\dfrac13x+\dfrac53\); 6.2 b) \(x^2+(y-1)^2=2\); 6.3 \(\left(-\dfrac65,-\dfrac85\right)\) e \(\left(\dfrac65,\dfrac85\right)\); 6.4 \(y=\dfrac43x+\dfrac43\)
7.

Considera, num referencial ortonormado do espaço, os pontos \(A(2,-1,1)\), \(B(1,1,1)\) e \(C(-2,0,3)\).

  1. Determina uma equação cartesiana do plano \(ABC\) na forma \(ax+by+cz+d=0\).
  2. Determina um sistema de equações paramétricas da reta \(AB\).
  3. Considera, no mesmo referencial, a reta \(s\) definida por \((x,y,z)=(0,0,1)+\lambda(1,-3k,2)\), \(\lambda\in\mathbb R\), com \(k\ne0\). Determina \(k\) de modo que a reta \(s\) seja paralela ao plano \(ABC\).
7.1 Plano \(ABC\)

Calculam-se dois vetores do plano:

\(\vec{AB}=B-A=(1,1,1)-(2,-1,1)=(-1,2,0)\)
\(\vec{AC}=C-A=(-2,0,3)-(2,-1,1)=(-4,1,2)\)

Um vetor normal ao plano é \(\vec n=(4,2,7)\), pois é perpendicular a \(\vec{AB}\) e a \(\vec{AC}\).

\(4(x-2)+2(y+1)+7(z-1)=0\)
\(4x+2y+7z-13=0\)
7.2 Reta \(AB\)

Um vetor diretor da reta \(AB\) é \(\vec{AB}=(-1,2,0)\).

\(\begin{cases}x=2-\lambda\\y=-1+2\lambda\\z=1\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb R\)
7.3 Valor de \(k\)

A reta \(s\) tem vetor diretor \(\vec v=(1,-3k,2)\). Para ser paralela ao plano \(ABC\), esse vetor deve ser perpendicular ao vetor normal \(\vec n=(4,2,7)\).

\((1,-3k,2)\cdot(4,2,7)=0\)
\(4-6k+14=0\Rightarrow18-6k=0\Rightarrow k=3\)
7.1 \(4x+2y+7z-13=0\); 7.2 \(\begin{cases}x=2-\lambda\\y=-1+2\lambda\\z=1\end{cases}\); 7.3 \(k=3\)
8.

Considera, num referencial ortonormado do espaço, o plano \(\alpha\) definido por \(2x-2y+z-1=0\) e o ponto \(C(3,-1,2)\).

  1. Determina uma equação vetorial da reta \(r\) que passa em \(C\) e é perpendicular ao plano \(\alpha\).
  2. Determina uma equação da superfície esférica de centro \(C\) que é tangente ao plano \(\alpha\).
8.1 Reta perpendicular ao plano

Um vetor normal ao plano \(\alpha\) é \(\vec n=(2,-2,1)\). A reta perpendicular ao plano tem essa direção.

\(r:\ (x,y,z)=(3,-1,2)+\lambda(2,-2,1),\quad \lambda\in\mathbb R\)
8.2 Superfície esférica tangente ao plano

A superfície esférica é tangente ao plano \(\alpha\), logo o raio é \(\overline{CH}\), em que \(H\) é o ponto de interseção do plano com a reta perpendicular a \(\alpha\) que passa por \(C\).

Usamos a reta obtida em 8.1:

\(r:\ (x,y,z)=(3,-1,2)+\lambda(2,-2,1)\)

Um ponto genérico desta reta é:

\((x,y,z)=(3+2\lambda,-1-2\lambda,2+\lambda)\)

Como \(H\) pertence ao plano \(\alpha:\ 2x-2y+z-1=0\), substituímos:

\(2(3+2\lambda)-2(-1-2\lambda)+(2+\lambda)-1=0\)
\(9+9\lambda=0\Rightarrow \lambda=-1\)
\(H=(3-2,-1+2,2-1)=(1,1,1)\)

Agora calcula-se apenas a distância entre os pontos \(C\) e \(H\):

\(\overline{CH}=\sqrt{(1-3)^2+(1+1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{4+4+1}=3\)

Logo, \(r=3\) e \(r^2=9\).

8.1 \((x,y,z)=(3,-1,2)+\lambda(2,-2,1)\); 8.2 \((x-3)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=9\)