Declive e inclinação

📌 Resumo teórico

Inclinação de uma reta

A inclinação de uma reta não vertical é a amplitude \(\alpha\) do ângulo que a reta faz com o semieixo positivo \(Ox\), medido no sentido positivo, com

\[ \alpha\in\left[0^\circ,\,180^\circ\right[\ \ \left(\text{ou } \alpha\in\left[0,\,\pi\right[\right) \]

Retas horizontais têm inclinação \(0\); retas verticais têm inclinação \(90^\circ\) (\(\tfrac{\pi}{2}\)) e não têm declive.

\[ m=\tan\alpha\qquad\qquad m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \]

Declive	\(m\gt 0\)	\(m=0\)	\(m\lt 0\)
Inclinação	\(0^\circ\lt\alpha\lt 90^\circ\)	\(\alpha=0^\circ\)	\(90^\circ\lt\alpha\lt 180^\circ\)

Se \(m\lt 0\), a calculadora dá \(\tan^{-1}m\) negativo; a inclinação é \(\alpha=180^\circ+\tan^{-1}m\).

Equações da reta

equação reduzida: \(y=mx+b\) (\(b\) é a ordenada na origem);
reta de declive \(m\) que passa em \((x_0,y_0)\): \(y-y_0=m(x-x_0)\);
um vetor diretor \((u_1,u_2)\), com \(u_1\ne 0\), dá \(m=\dfrac{u_2}{u_1}\); o vetor \((1,m)\) é diretor da reta;
equação vetorial: \((x,y)=(x_0,y_0)+k\,(u_1,u_2),\ k\in\mathbb{R}\).

Retas paralelas têm o mesmo declive (a mesma inclinação); retas perpendiculares de declives \(m\) e \(m'\) verificam \(m\times m'=-1\).

Relações trigonométricas úteis

\(\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha\), \(\ 1+\tan^{2}\alpha=\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha}\), \(\ \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\).

Declive e inclinação de uma reta

Considera um plano munido de um referencial o.m. \(xOy\).

Indica a inclinação, em graus, de cada uma das seguintes retas:

bissetriz dos quadrantes ímpares;
bissetriz dos quadrantes pares;
reta de equação \(x=2\);
reta de equação \(y=-3\).

a) Bissetriz dos quadrantes ímpares

A bissetriz dos quadrantes ímpares tem equação \(y=x\), logo o declive é \(m=1\).

\alpha=\tan^{-1}(1)=45^\circ

b) Bissetriz dos quadrantes pares

A bissetriz dos quadrantes pares tem equação \(y=-x\), logo \(m=-1\). Como o declive é negativo, a inclinação pertence ao segundo quadrante.

\alpha=180^\circ-45^\circ=135^\circ

c) Reta \(x=2\)

É uma reta vertical, paralela ao eixo \(Oy\).

\alpha=90^\circ

d) Reta \(y=-3\)

É uma reta horizontal, paralela ao eixo \(Ox\).

\alpha=0^\circ

a) \(45^\circ\); b) \(135^\circ\); c) \(90^\circ\); d) \(0^\circ\)

Considera um plano munido de um referencial o.m. \(xOy\).

Escreve a equação reduzida de cada uma das seguintes retas:

reta de inclinação \(45^\circ\) e ordenada na origem igual a \(3\);
reta de inclinação \(150^\circ\) e ordenada na origem igual a \(-2\);
reta de inclinação \(60^\circ\) e que passa no ponto \((\sqrt3,4)\).

a) Inclinação \(45^\circ\)

O declive é a tangente da inclinação.

m=\tan45^\circ=1

Como a ordenada na origem é \(3\), a equação reduzida é:

\(y=x+3\)

b) Inclinação \(150^\circ\)

m=\tan150^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{3}

Como a ordenada na origem é \(-2\):

y=-\dfrac{\sqrt3}{3}x-2

c) Inclinação \(60^\circ\) e ponto \((\sqrt3,4)\)

m=\tan60^\circ=\sqrt3

Na forma \(y=\sqrt3x+b\), usa-se o ponto \((\sqrt3,4)\):

4=\sqrt3\cdot\sqrt3+b \Rightarrow 4=3+b \Rightarrow b=1

a) \(y=x+3\); b) \(y=-\dfrac{\sqrt3}{3}x-2\); c) \(y=\sqrt3x+1\)

Considera um plano munido de um referencial o.m. \(xOy\).

Determina a inclinação de cada uma das seguintes retas, em graus, arredondada às unidades:

reta de equação reduzida \(y=2x+4\);
reta que passa nos pontos de coordenadas \((1,1)\) e \((3,-2)\).

a) Reta \(y=2x+4\)

O declive é \(m=2\).

\alpha=\tan^{-1}(2)\approx63^\circ

b) Reta que passa em \((1,1)\) e \((3,-2)\)

Calcula-se o declive a partir dos dois pontos:

m=\dfrac{-2-1}{3-1}=-\dfrac32

Como o declive é negativo, a inclinação pertence ao segundo quadrante.

\tan^{-1}\!\left(-\dfrac32\right)\approx -56^\circ

\alpha=180^\circ-56^\circ=124^\circ

a) \(63^\circ\); b) \(124^\circ\)

Considera, em referencial o.m. \(xOy\), a reta \(r\) de equação \(4x+2y=5\).

Escreve a equação reduzida da reta \(r\).
Seja \(\alpha\) a inclinação da reta \(r\). Determina \(\sin\alpha\).

a) Equação reduzida

Isola-se \(y\):

4x+2y=5 \Rightarrow 2y=-4x+5 \Rightarrow y=-2x+\dfrac52

b) Cálculo de \(\sin\alpha\)

Da equação reduzida, o declive é \(m=-2\). Logo:

\tan\alpha=-2

Usa-se a identidade \(1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\):

1+(-2)^2=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\Rightarrow 5=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\Rightarrow \cos^2\alpha=\dfrac15

\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\dfrac15=\dfrac45

Como o declive é negativo, \(\alpha\) pertence ao segundo quadrante; portanto \(\sin\alpha>0\).

\sin\alpha=\dfrac{2}{\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}{5}

a) \(y=-2x+\dfrac52\); b) \(\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt5}{5}\)

Considera, em referencial o.m. \(xOy\), a reta \(r\) que passa nos pontos \(A(2,0)\) e \(B(\sqrt2,4)\).

Seja \(\alpha\) a inclinação da reta \(r\). Determina \(\tan(\pi-\alpha)\).

Declive da reta

Calcula-se o declive usando os pontos \(A\) e \(B\):

m=\dfrac{4-0}{\sqrt2-2}=\dfrac{4}{\sqrt2-2}

Racionalizando o denominador:

m=\dfrac{4(\sqrt2+2)}{2-4}=-2\sqrt2-4

Como \(m=\tan\alpha\), tem-se \(\tan\alpha=-2\sqrt2-4\).

Usar a relação \(\tan(\pi-\alpha)\)

\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha

\tan(\pi-\alpha)=-(-2\sqrt2-4)=2\sqrt2+4

\(\tan(\pi-\alpha)=2\sqrt2+4\)

Considera, em referencial o.m. \(xOy\), o ponto \(A(2\sqrt3,6)\) e a reta \(r\) que passa em \(A\) e cuja inclinação é \(\dfrac{\pi}{6}\).

Escreve a equação vetorial e as equações paramétricas da reta \(r\).
Considera o conjunto \(C\) dos pontos do plano definido por \((x-2\sqrt3)^4+(y-6)^4=10\). Determina as coordenadas dos pontos de interseção da reta \(r\) com \(C\).

a) Vetor diretor da reta

A inclinação é \(\alpha=\dfrac{\pi}{6}\), logo o declive é:

m=\tan\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt3}{3}

Um vetor diretor com esse declive é \((3,\sqrt3)\), pois \(\dfrac{\sqrt3}{3}\) é a razão entre a segunda e a primeira coordenada.

(x,y)=(2\sqrt3,6)+\lambda(3,\sqrt3),\quad \lambda\in\mathbb R

\begin{cases}x=2\sqrt3+3\lambda\\ y=6+\sqrt3\,\lambda\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb R

b) Interseção com \(C\)

Substitui-se a parametrização na condição de \(C\):

(x-2\sqrt3)^4+(y-6)^4=10

(3\lambda)^4+(\sqrt3\,\lambda)^4=10

81\lambda^4+9\lambda^4=10\Rightarrow90\lambda^4=10\Rightarrow\lambda^4=\dfrac19

\lambda=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}

Para \(\lambda=\dfrac1{\sqrt3}\):

x=2\sqrt3+\sqrt3=3\sqrt3,\quad y=6+1=7

Para \(\lambda=-\dfrac1{\sqrt3}\):

x=2\sqrt3-\sqrt3=\sqrt3,\quad y=6-1=5

a) \((x,y)=(2\sqrt3,6)+\lambda(3,\sqrt3)\); b) \((3\sqrt3,7)\) e \((\sqrt3,5)\)

Considera, em referencial o.m. \(xOy\), um triângulo \([OPQ]\) em que \(Q=(-6,0)\) e \(P\) é um ponto do segundo quadrante.

Sabe-se que \(\overline{OP}=2\sqrt{21}\) e \(\overline{PQ}=4\). Determina a equação reduzida da reta \(PQ\).

Coordenadas do ponto \(P\)

Se \(P=(x,y)\), então:

\vec{OP}=(x,y),\quad \|\vec{OP}\|=2\sqrt{21}

\sqrt{x^2+y^2}=2\sqrt{21}\Rightarrow x^2+y^2=84

Como \(Q=(-6,0)\), tem-se \(\vec{PQ}=(x+6,y)\) e \(\|\vec{PQ}\|=4\):

\sqrt{(x+6)^2+y^2}=4\Rightarrow (x+6)^2+y^2=16

Resolve-se o sistema:

\begin{cases}(x+6)^2+y^2=16\\x^2+y^2=84\end{cases}

x^2+12x+36+y^2=16,\quad y^2=84-x^2

84+12x+36=16\Rightarrow12x=-104\Rightarrow x=-\dfrac{26}{3}

y^2=84-\dfrac{676}{9}=\dfrac{80}{9}\Rightarrow y=\pm\dfrac{4\sqrt5}{3}

Como \(P\) pertence ao segundo quadrante, \(y>0\). Logo:

P=\left(-\dfrac{26}{3},\dfrac{4\sqrt5}{3}\right)

Equação da reta \(PQ\)

O declive da reta \(PQ\) é:

m=\dfrac{\frac{4\sqrt5}{3}-0}{-\frac{26}{3}-(-6)}=\dfrac{\frac{4\sqrt5}{3}}{-\frac83}=-\dfrac{\sqrt5}{2}

A reta passa por \(Q=(-6,0)\), então:

y=-\dfrac{\sqrt5}{2}x+b

0=-\dfrac{\sqrt5}{2}(-6)+b\Rightarrow b=-3\sqrt5

\(y=-\dfrac{\sqrt5}{2}x-3\sqrt5\)