Ficha de Preparação para o Teste
Matemática A · 11.º Ano · Funções · outubro 2026
Itens de três graus de dificuldade para organizar o estudo. A resolução passo a passo encontra-se numa página à parte.
Indicações gerais
- Nos itens de escolha múltipla, selecione a única opção correta.
- Nas respostas abertas, apresente os cálculos e justifique as conclusões. Conserve os valores exatos, salvo indicação em contrário.
- Nos exercícios 2 e 3, use a calculadora gráfica para estudar a monotonia e os extremos. Use-a também nos itens 14.3 e 17.2 para resolver graficamente as condições propostas. Registe os elementos gráficos usados e apresente aproximações às milésimas quando necessário. Nos restantes itens, resolva analiticamente; pode usar a calculadora para confirmar.
- Nos quocientes de funções, determine o domínio antes de simplificar. N.D. significa «não definido».
- A ficha abrange os conteúdos indicados acima, incluindo sinal, zeros, multiplicidade, assíntotas e comportamento no infinito. O estudo da monotonia não exige derivadas.
- Os exercícios 12 a 18 são problemas de modelação: indique sempre o domínio da função no contexto do problema e interprete os resultados obtidos. O exercício 18 é um desafio final, propositadamente muito exigente.
Grupo I — Itens de escolha múltipla
1. Escolha múltipla. resolução →
1.1. BÁSICO Seja $p$ uma função polinomial de grau $3$, com coeficientes reais. Qual das afirmações é sempre verdadeira?
1.2. BÁSICO Considere $q(x)=-2x^4+5x^2+1$. Quais são, respetivamente, os valores de $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}q(x)$ e $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}q(x)$?
1.3. BÁSICO Qual é o resto da divisão de $P(x)=x^3-2x+3$ por $x-2$?
1.4. INTERMÉDIO A função $p(x)=(x+2)^2(x-1)$ muda de sinal ao passar por qual dos seus zeros?
1.5. INTERMÉDIO Sejam $f(x)=x^2-9$ e $g(x)=x-3$, ambas de domínio $\mathbb R$. Qual é o domínio de $\dfrac fg$?
1.6. INTERMÉDIO Quais são as assíntotas vertical e horizontal do gráfico de $f(x)=2-\dfrac{3}{x+1}$?
1.7. INTERMÉDIO Se $h(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$, qual é o valor de $\displaystyle\lim_{x\to1^+}h(x)$?
1.8. DESAFIO O gráfico de $r(x)=a+\dfrac{b}{x-2}$, com $b\ne0$, tem assíntota horizontal $y=3$ e passa pelo ponto $(0,1)$. Qual é o valor de $b$?
Grupo II — Itens de resposta aberta
2. Uma função cúbica ao pormenor. resolução →
Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x)=x^3-3x+1$. Nas alíneas seguintes, use a calculadora gráfica e apresente os valores aproximados arredondados às milésimas.
2.1. BÁSICO Determine os zeros de $f$ e as coordenadas do ponto em que o seu gráfico interseta o eixo $Oy$. Designe os zeros, por ordem crescente, por $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$.
2.2. INTERMÉDIO Construa um quadro de sinal de $f$ e resolva a inequação $f(x)\geq0$.
2.3. INTERMÉDIO Estude a monotonia e os extremos de $f$. Apresente um quadro de variação e distinga os extremos relativos dos absolutos.
2.4. DESAFIO Indique o comportamento de $f$ no infinito. Em seguida, determine, em função de $k\in\mathbb{R}$, o número de soluções reais distintas da equação $f(x)=k$.
3. Uma quártica com zeros duplos. resolução →
Seja $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $g(x)=-x^4+8x^2-16$. Pode recorrer à calculadora gráfica no estudo da monotonia e dos extremos.
3.1. BÁSICO Escreva $g(x)$ como produto de fatores lineares. Determine os zeros e as respetivas multiplicidades.
3.2. INTERMÉDIO Justifique a simetria do gráfico em relação a $Oy$, estude o sinal de $g$ e indique a interseção com $Oy$.
3.3. INTERMÉDIO Estude a monotonia, os extremos e o comportamento de $g$ no infinito. Indique o conjunto de valores que a função assume.
3.4. DESAFIO Resolva exatamente a equação $g(x)=-9$ e interprete as soluções em termos de interseções de gráficos.
4. Uma família de funções quárticas. resolução →
Considere a família $h(x)=ax^4+bx^2$, com $a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ e $b\in\mathbb{R}$.
4.1. BÁSICO Mostre que todas as funções da família são pares e que os seus gráficos passam na origem. Indique o comportamento no infinito consoante o sinal de $a$.
4.2. DESAFIO Determine as condições sobre $a$ e $b$ para que $h$ tenha um ou três zeros reais distintos. Explique por que razão não pode ter exatamente dois zeros reais distintos e identifique a multiplicidade de zero quando $b=0$.
4.3. INTERMÉDIO Uma das funções da família tem zero $2$ e o seu gráfico passa pelo ponto $(1,-6)$. Determine $a$ e $b$ e apresente todos os zeros dessa função, com as respetivas multiplicidades.
5. Divisão e teorema do resto. resolução →
Considere o polinómio $P(x)=2x^3-3x^2-11x+9$.
5.1. INTERMÉDIO Efetue a divisão euclidiana de $P(x)$ por $x^2+x-2$. Indique o quociente e o resto e escreva a identidade fundamental da divisão.
5.2. BÁSICO Use a regra de Ruffini para dividir $P(x)$ por $x-3$. Confirme o resto pelo teorema do resto.
5.3. INTERMÉDIO Seja $P_m(x)=2x^3-3x^2-11x+m$. Determine $m$ em cada caso independente: a) $P_m$ é divisível por $x+2$; b) a divisão de $P_m$ por $x-1$ tem resto $5$.
5.4. DESAFIO Sem efetuar a divisão, determine o resto da divisão de $P(x)$ por $(x-1)(x-3)$.
6. Fatorizar para compreender o gráfico. resolução →
Seja $A(x)=x^4+2x^2+8x+5$. Sabe-se que $-1$ é uma raiz de $A$.
6.1. INTERMÉDIO Use a regra de Ruffini duas vezes para decompor $A(x)$ num produto de fatores lineares e quadráticos.
6.2. BÁSICO Indique quantas raízes reais distintas tem $A$ e qual a multiplicidade de cada uma. Justifique por que razão o fator quadrático não origina outras raízes reais.
6.3. DESAFIO Sem recorrer à calculadora, estude o sinal de $A$ e determine o seu mínimo absoluto. Explique como o gráfico se comporta junto de $(-1,0)$ e indique o comportamento no infinito.
7. Fatorização, sinal e translação. resolução →
Considere o polinómio $p(x)=2x^3-x^2-8x+4$. Sabe-se que $\frac12$ é uma das suas raízes.
7.1. BÁSICO Decomponha $p(x)$ num produto de fatores do primeiro grau.
7.2. BÁSICO Resolva a equação $p(x)=0$.
7.3. INTERMÉDIO Determine o conjunto-solução da inequação $p(x)\leq 0$.
7.4. DESAFIO Sem desenvolver $p(x+1)$, resolva a inequação $p(x+1)>0$.
8. Operações com funções e domínio. resolução →
Sejam $f$ e $g$ as funções de domínio $\mathbb{R}$ definidas por $f(x)=x^2+x-2$ e $g(x)=x-1$.
8.1. BÁSICO Determine expressões simplificadas para $f+g$ e $f-g$ e indique os seus domínios.
8.2. INTERMÉDIO Determine os zeros e estude o sinal da função produto $f\times g$.
8.3. BÁSICO Caracterize a função quociente $q=\frac fg$, indicando o domínio, uma expressão simplificada e os zeros.
8.4. DESAFIO Resolva a condição $\left(\frac fg\right)(x)\geq [g(x)]^2+1$.
9. Do quadro de sinal às expressões. resolução →
As funções polinomiais $f$ e $g$, ambas de domínio $\mathbb{R}$, têm as variações de sinal indicadas no quadro.
| $x$ | $]-\infty,-2[$ | $-2$ | $]-2,1[$ | $1$ | $]1,3[$ | $3$ | $]3,+\infty[$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $-$ | $0$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $g(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $-$ | $-$ |
9.1. BÁSICO Indique os zeros de cada função e o domínio da função $\frac fg$.
9.2. INTERMÉDIO Resolva a inequação $f(x)g(x)\geq0$.
9.3. INTERMÉDIO Resolva a inequação $\frac{f(x)}{g(x)}\leq0$.
9.4. DESAFIO Sabe-se ainda que $f$ tem grau $3$ e coeficiente do termo de maior grau igual a $2$, enquanto $g$ tem grau $2$ e coeficiente do termo de maior grau igual a $-3$. Determine uma expressão analítica de cada função.
10. Estudar uma função racional. resolução →
Considere a função $f$, de domínio máximo, definida por $f(x)=\dfrac{2x-6}{x+1}$.
10.1. BÁSICO Escreva $f(x)$ na forma $A+\dfrac{B}{x-h}$ e indique o domínio e o conjunto de imagens.
10.2. INTERMÉDIO Determine as interseções do gráfico com os eixos e estude o sinal de $f$.
10.3. INTERMÉDIO Indique as assíntotas e calcule $\lim_{x\to-\infty}f(x)$, $\lim_{x\to+\infty}f(x)$, $\lim_{x\to-1^-}f(x)$ e $\lim_{x\to-1^+}f(x)$.
10.4. DESAFIO Resolva a inequação $f(x)\le4$.
11. Do gráfico à expressão. resolução →
A figura representa uma função $h$ da forma $h(x)=A+\dfrac{B}{x-c}$, com $B\ne0$. As retas tracejadas são as suas assíntotas e o ponto $P(0,-2)$ pertence ao gráfico.
11.1. BÁSICO Indique as equações das assíntotas, o domínio e o conjunto de imagens de $h$.
11.2. INTERMÉDIO Determine uma expressão analítica de $h$ e escreva-a como quociente de dois polinómios.
11.3. INTERMÉDIO Use o gráfico para resolver $h(x)\ge-2$ e confirme a leitura por cálculo.
11.4. INTERMÉDIO Calcule os limites de $h(x)$ quando $x\to-\infty$, $x\to+\infty$, $x\to2^-$ e $x\to2^+$. Explique por que motivo $h(x)=1$ não tem solução.
12. A velocidade média de um percurso. resolução →
Num treino, uma ciclista percorre $24\,\mathrm{km}$ de ida e regressa pelo mesmo trajeto, sem paragens. Na ida mantém a velocidade de $18\,\mathrm{km/h}$ e, na volta, uma velocidade constante $x\,\mathrm{km/h}$, com $x>0$. Seja $v(x)$ a velocidade média de todo o percurso, em $\mathrm{km/h}$.
12.1. BÁSICO Determine o tempo de cada trajeto e mostre que $v(x)=\dfrac{36x}{x+18}$. Indique o domínio no contexto do problema.
12.2. INTERMÉDIO Qual deve ser a velocidade na volta para que a média de todo o percurso seja $20\,\mathrm{km/h}$?
12.3. DESAFIO O plano de treino limita a velocidade da volta a $30\,\mathrm{km/h}$. Determine a maior velocidade média possível no percurso completo e decida se é possível obter uma média de $24\,\mathrm{km/h}$.
12.4. INTERMÉDIO Sem a limitação da alínea anterior, calcule $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}v(x)$. A média de todo o percurso pode ser exatamente $36\,\mathrm{km/h}$?
13. Encontro de dois veículos. resolução →
Dois veículos partem simultaneamente dos extremos $A$ e $B$ de um troço retilíneo de uma pista com $180$ metros de comprimento e deslocam-se em sentidos opostos, ao encontro um do outro. O veículo que parte de $A$ mantém a velocidade de $12\ \mathrm{m/s}$ e o que parte de $B$ mantém a velocidade de $v\ \mathrm{m/s}$, com $v>0$.
Seja $P$ o ponto de encontro e seja $x$ a distância, em metros, de $A$ a $P$.
13.1. INTERMÉDIO Justifique que $0<x<180$ e mostre que a velocidade do veículo que parte de $B$ é dada, em função de $x$, por $v(x)=\dfrac{2160-12x}{x}$.
13.2. BÁSICO Determine a velocidade do veículo que parte de $B$ para que o encontro ocorra a $45$ metros de $A$.
13.3. BÁSICO Determine a distância de $A$ ao ponto de encontro se o veículo que parte de $B$ circular à velocidade de $24\ \mathrm{m/s}$.
13.4. INTERMÉDIO Determine $\displaystyle\lim_{x\to180^-}v(x)$ e $\displaystyle\lim_{x\to0^+}v(x)$ e interprete os resultados no contexto do problema.
14. Duas mangueiras a encher uma piscina. resolução →
Uma piscina, inicialmente vazia, pode ser enchida com duas mangueiras de caudais constantes. A primeira, funcionando sozinha, demora $4$ horas a encher a piscina. A segunda, funcionando sozinha, demora $t$ minutos, com $t>0$. Admita que não há perdas de água.
Seja $m(t)$ o número de minutos necessário para encher a piscina quando as duas mangueiras são abertas simultaneamente e permanecem abertas até a piscina ficar cheia.
14.1. INTERMÉDIO Mostre que $m(t)=\dfrac{240t}{t+240}$, com $t>0$.
14.2. BÁSICO Determine o tempo que a segunda mangueira demora a encher a piscina sozinha, sabendo que as duas juntas a enchem em $96$ minutos. Apresente o resultado em minutos e em horas e minutos.
14.3. DESAFIO Para certos valores de $t$, o tempo de enchimento com as duas mangueiras é superior a metade do tempo que a segunda demora a encher a piscina sozinha.
Recorrendo à calculadora gráfica, determine o conjunto de valores de $t$ que satisfaz esta condição. Comece por escrever a inequação a resolver. Apresente os gráficos utilizados, as coordenadas do ponto de interseção admissível e o conjunto-solução.
14.4. INTERMÉDIO Determine $\displaystyle\lim_{t\to0^+}m(t)$ e $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}m(t)$ e interprete os resultados. Estude a existência de assíntotas do gráfico de $m$ no domínio contextual $]0,+\infty[$.
Justifique ainda por que razão a reta $t=-240$, embora seja uma assíntota da função racional definida pela mesma expressão em $\mathbb R\setminus\{-240\}$, não é uma assíntota do modelo contextual.
15. Um barco a subir e a descer o rio. resolução →
Um barco faz viagens de ida e volta entre dois cais, $A$ e $B$, situados na mesma margem de um rio e a $12\,\mathrm{km}$ um do outro. O cais $A$ fica a montante de $B$, e a corrente do rio tem velocidade constante de $3\,\mathrm{km/h}$, no sentido de $A$ para $B$.
Em águas paradas, o barco desloca-se à velocidade constante de $v\,\mathrm{km/h}$. Assim, em relação à margem, a sua velocidade é $v+3$ na viagem de $A$ para $B$, a favor da corrente, e $v-3$ na viagem de $B$ para $A$, contra a corrente (ambas em $\mathrm{km/h}$).
Seja $T(v)$ o tempo, em horas, que o barco demora a fazer o percurso $A\to B\to A$, sem paragens.
15.1. INTERMÉDIO Explique por que razão, neste contexto, tem de ser $v>3$ e mostre que $T(v)=\dfrac{24v}{v^2-9}$.
15.2. BÁSICO Determine a velocidade do barco em águas paradas para que a viagem de ida e volta demore $3$ horas.
15.3. INTERMÉDIO Determine $\displaystyle\lim_{v\to3^+}T(v)$ e $\displaystyle\lim_{v\to+\infty}T(v)$. Interprete os resultados no contexto do problema e indique as equações das assíntotas do gráfico de $T$.
15.4. DESAFIO Mostre que, qualquer que seja $v>3$, a viagem de ida e volta demora mais tempo do que demoraria se as águas do rio estivessem paradas. Quantos minutos se perdem por causa da corrente quando $v=9$?
16. A concentração de sal num depósito. resolução →
Um depósito com capacidade para $1000$ litros contém inicialmente $200$ litros de água, na qual estão dissolvidos $1000$ gramas de sal. Num certo instante, abre-se uma torneira que introduz no depósito, ao ritmo constante de $20$ litros por minuto, uma solução com $30$ gramas de sal por litro. Não sai líquido do depósito e admite-se que a mistura fica sempre homogénea.
Seja $C(t)$ a concentração de sal no depósito, em gramas por litro ($\mathrm{g/L}$), $t$ minutos após a abertura da torneira, até o depósito ficar cheio.
16.1. INTERMÉDIO Mostre que $C(t)=\dfrac{30t+50}{t+10}$ e justifique que, neste contexto, o domínio de $C$ é $[0,40]$.
16.2. BÁSICO Determine o instante em que a concentração de sal atinge $20\,\mathrm{g/L}$ e o volume de líquido no depósito nesse instante.
16.3. INTERMÉDIO Escreva $C(t)$ na forma $a+\dfrac{b}{t-c}$. Justifique, sem recorrer à calculadora, que a concentração aumenta ao longo do tempo e indique o conjunto dos valores que a concentração assume até o depósito ficar cheio.
16.4. DESAFIO Admita agora que o depósito tinha capacidade ilimitada, de modo que o modelo seria válido para todo o $t\ge0$. Calcule $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}C(t)$ e interprete o resultado. A concentração chegaria a atingir esse valor? Quantos litros de solução teriam de entrar no depósito para que a concentração diferisse desse valor menos de $0{,}1\,\mathrm{g/L}$?
17. A concentração de um medicamento. resolução →
A concentração de um medicamento no sangue de um doente, $t$ horas após a sua administração, é dada, em miligramas por litro ($\mathrm{mg/L}$), por $C(t)=\dfrac{30t}{t^2+9}$, com $t\ge0$.
17.1. BÁSICO Calcule $C(0)$ e $C(2)$ e interprete os valores obtidos no contexto do problema. Apresente $C(2)$ arredondado às centésimas.
17.2. INTERMÉDIO O medicamento só é eficaz quando a sua concentração no sangue é superior a $4\,\mathrm{mg/L}$. Recorrendo à calculadora gráfica, determine durante quanto tempo o medicamento é eficaz. Comece por escrever uma condição que traduza o problema e apresente os gráficos visualizados e as coordenadas dos pontos relevantes.
17.3. DESAFIO Mostre, sem recorrer à calculadora, que a concentração nunca ultrapassa $5\,\mathrm{mg/L}$ e determine o instante em que atinge esse valor. Sugestão: estude o sinal de $5-C(t)$.
17.4. INTERMÉDIO Calcule $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}C(t)$ e interprete o resultado. Justifique que o gráfico de $C$ tem uma assíntota horizontal, mas não tem assíntotas verticais.
Desafio final
18. A caixa mais económica. resolução →
Uma fábrica produz caixas de cartão sem tampa, com a forma de um prisma quadrangular reto (a base é um quadrado) e com $32$ litros de capacidade, isto é, $32\,\mathrm{dm^3}$. Seja $x$ a medida, em decímetros, da aresta da base e seja $h$ a altura da caixa, também em decímetros. Despreze a espessura do cartão e as abas de colagem.
Seja $A(x)$ a área, em $\mathrm{dm^2}$, do cartão gasto numa caixa: a base e as quatro faces laterais.
Atenção: este exercício é propositadamente muito exigente. Junta modelação, funções racionais, divisão de polinómios, multiplicidade de raízes e estudo do sinal. Nas alíneas 18.3, 18.4 e 18.5, não recorra à calculadora.
18.1. INTERMÉDIO Exprima $h$ em função de $x$ e mostre que $A(x)=x^2+\dfrac{128}{x}=\dfrac{x^3+128}{x}$, com $x>0$.
18.2. INTERMÉDIO Calcule $\displaystyle\lim_{x\to0^+}A(x)$ e $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}A(x)$ e interprete os resultados no contexto do problema. Justifique que o gráfico de $A$ tem uma assíntota vertical, mas não tem assíntota horizontal.
18.3. DESAFIO Mostre que $A(x)-48=\dfrac{(x-4)^2(x+8)}{x}$, para todo o $x>0$. Conclua quais são as dimensões da caixa que gasta menos cartão e qual é essa área mínima.
18.4. DESAFIO Por razões de custo, cada caixa não pode gastar mais de $68\,\mathrm{dm^2}$ de cartão. Determine, em valores exatos, o conjunto dos valores possíveis para a aresta da base.
18.5. DESAFIO Considere agora caixas do mesmo tipo, mas com uma capacidade qualquer de $V$ litros, com $V>0$. Mostre que, qualquer que seja $V$, a caixa que gasta menos cartão tem altura igual a metade da aresta da base e exprima essa área mínima em função de $V$.
Sugestão: considere o número positivo $a$ tal que $a^3=2V$ e generalize o processo usado em 18.3.
Fim da ficha
Consultar a resolução passo a passo →
Ficha original de preparação elaborada a partir dos conteúdos das questões-aula 17B, 18A, 19A, 20A, 21A, 22A e 23A do capítulo 6 de M360 11 e dos problemas 74 e 75 fornecidos como referência. Os dados e os enunciados foram adaptados para treino.