Polinómios: Operações e Teorema do Resto | Matemática A

1.

Divisão inteira de polinómios

Usando o algoritmo da divisão inteira de polinómios, determine o quociente e o resto da divisão de \(A(x)\) por \(B(x)\).

1.1. \(A(x)=2x^2-2x-1\) e \(B(x)=x+1\)

1.2. \(A(x)=4x^2+2x+7\) e \(B(x)=2x+1\)

1.3. \(A(x)=3x^3+3x^2+3x-14\) e \(B(x)=x^2+2x+3\)

1.4. \(A(x)=2x^4-8x^3+4x^2+11x-6\) e \(B(x)=(x-1)^2\)

1.5. \(A(x)=2x^4-10x^3+2x+9\) e \(B(x)=x^2-4\)

Usamos \(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\), com \(\deg R<\deg B\).

1.1.

\(2x^2-2x-1\)

\(-2x^2-2x\)

\(-4x-1\)

\(4x+4\)

\(3\)

\(x+1\)

\(2x-4\)

\[ 2x^2-2x-1=(x+1)(2x-4)+3. \]

Logo, \(Q(x)=2x-4\) e \(R(x)=3\).

1.2.

\(4x^2+2x+7\)

\(-4x^2-2x\)

\(7\)

\(2x+1\)

\(2x\)

\[ 4x^2+2x+7=(2x+1)(2x)+7. \]

Logo, \(Q(x)=2x\) e \(R(x)=7\).

1.3.

\(3x^3+3x^2+3x-14\)

\(-3x^3-6x^2-9x\)

\(-3x^2-6x-14\)

\(3x^2+6x+9\)

\(-5\)

\(x^2+2x+3\)

\(3x-3\)

\[ 3x^3+3x^2+3x-14=(x^2+2x+3)(3x-3)-5. \]

Logo, \(Q(x)=3x-3\) e \(R(x)=-5\).

1.4.

\(2x^4-8x^3+4x^2+11x-6\)

\(-2x^4+4x^3-2x^2\)

\(-4x^3+2x^2+11x-6\)

\(4x^3-8x^2+4x\)

\(-6x^2+15x-6\)

\(6x^2-12x+6\)

\(3x\)

\((x-1)^2\)

\(2x^2-4x-6\)

\[ 2x^4-8x^3+4x^2+11x-6=(x-1)^2(2x^2-4x-6)+3x. \]

Logo, \(Q(x)=2x^2-4x-6\) e \(R(x)=3x\).

1.5.

\(2x^4-10x^3+0x^2+2x+9\)

\(-2x^4+8x^2\)

\(-10x^3+8x^2+2x+9\)

\(10x^3-40x\)

\(8x^2-38x+9\)

\(-8x^2+32\)

\(-38x+41\)

\(x^2-4\)

\(2x^2-10x+8\)

\[ 2x^4-10x^3+2x+9=(x^2-4)(2x^2-10x+8)-38x+41. \]

Logo, \(Q(x)=2x^2-10x+8\) e \(R(x)=-38x+41\).

2.

Regra de Ruffini

Usando a regra de Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão de \(A(x)\) por \(B(x)\).

2.1. \(A(x)=x^3-7x+9\) e \(B(x)=x-2\)

2.2. \(A(x)=2x^3+x^2-2x\) e \(B(x)=x+\dfrac12\)

2.3. \(A(x)=4x^3+22x^2+8x+10\) e \(B(x)=x+5\)

2.4. \(A(x)=2x^4+\dfrac73x^3-4x^2-x+\dfrac23\) e \(B(x)=x+1\)

2.1. Como \(B(x)=x-2\), usa-se \(2\) na regra de Ruffini:

\(2\)	\(1\)	\(0\)	\(-7\)	\(9\)
\(2\)		\(2\)	\(4\)	\(-6\)
	\(1\)	\(2\)	\(-3\)	\(3\)

\[ x^3-7x+9=(x-2)(x^2+2x-3)+3. \]

Logo, \(Q(x)=x^2+2x-3\) e \(R(x)=3\).

2.2. Como \(B(x)=x+\dfrac12\), usa-se \(-\dfrac12\):

\(-\dfrac12\)	\(2\)	\(1\)	\(-2\)	\(0\)
\(-\dfrac12\)		\(-1\)	\(0\)	\(1\)
	\(2\)	\(0\)	\(-2\)	\(1\)

\[ 2x^3+x^2-2x=\left(x+\frac12\right)(2x^2-2)+1. \]

Logo, \(Q(x)=2x^2-2\) e \(R(x)=1\).

2.3. Como \(B(x)=x+5\), usa-se \(-5\):

\(-5\)	\(4\)	\(22\)	\(8\)	\(10\)
\(-5\)		\(-20\)	\(-10\)	\(10\)
	\(4\)	\(2\)	\(-2\)	\(20\)

\[ 4x^3+22x^2+8x+10=(x+5)(4x^2+2x-2)+20. \]

Logo, \(Q(x)=4x^2+2x-2\) e \(R(x)=20\).

2.4. Como \(B(x)=x+1\), usa-se \(-1\):

\(-1\)	\(2\)	\(\dfrac73\)	\(-4\)	\(-1\)	\(\dfrac23\)
\(-1\)		\(-2\)	\(-\dfrac13\)	\(\dfrac{13}{3}\)	\(-\dfrac{10}{3}\)
	\(2\)	\(\dfrac13\)	\(-\dfrac{13}{3}\)	\(\dfrac{10}{3}\)	\(-\dfrac83\)

\[ 2x^4+\frac73x^3-4x^2-x+\frac23 =(x+1)\left(2x^3+\frac13x^2-\frac{13}{3}x+\frac{10}{3}\right)-\frac83. \]

Logo, \(Q(x)=2x^3+\dfrac13x^2-\dfrac{13}{3}x+\dfrac{10}{3}\) e \(R(x)=-\dfrac83\).

3.

Determinar \(a\) e \(b\)

Para cada uma das seguintes igualdades, determine os valores de \(a\) e \(b\).

3.1. \((ax+b)(x-3)=4x^2-11x-3\)

3.2. \((ax+b)(x+2)=3x^2+8x+4\)

3.3. \((ax+b)(x^2-1)=x^3+3x^2-x-3\)

3.4. \((ax+b)(x^2+4)=2x^3-3x^2+8x-12\)

3.5. \((ax+b)(2x^2-3x+4)=4x^3-x+12\)

3.1.

\[ (ax+b)(x-3)=4x^2-11x-3 \Leftrightarrow ax+b=\frac{4x^2-11x-3}{x-3}. \]

\(3\)	\(4\)	\(-11\)	\(-3\)
\(3\)		\(12\)	\(3\)
	\(4\)	\(1\)	\(0\)

\[ ax+b=4x+1. \]

Logo, \(a=4\) e \(b=1\).

3.2.

\[ (ax+b)(x+2)=3x^2+8x+4 \Leftrightarrow ax+b=\frac{3x^2+8x+4}{x+2}. \]

\(-2\)	\(3\)	\(8\)	\(4\)
\(-2\)		\(-6\)	\(-4\)
	\(3\)	\(2\)	\(0\)

\[ ax+b=3x+2. \]

Logo, \(a=3\) e \(b=2\).

3.3.

\[ (ax+b)(x^2-1)=x^3+3x^2-x-3 \Leftrightarrow ax+b=\frac{x^3+3x^2-x-3}{x^2-1}. \]

\(x^3+3x^2-x-3\)

\(-x^3+x\)

\(3x^2+0x-3\)

\(-3x^2+3\)

\(0\)

\(x^2-1\)

\(x+3\)

\[ ax+b=x+3. \]

Logo, \(a=1\) e \(b=3\).

3.4.

\[ (ax+b)(x^2+4)=2x^3-3x^2+8x-12 \Leftrightarrow ax+b=\frac{2x^3-3x^2+8x-12}{x^2+4}. \]

\(2x^3-3x^2+8x-12\)

\(-2x^3-8x\)

\(-3x^2-12\)

\(3x^2+12\)

\(0\)

\(x^2+4\)

\(2x-3\)

\[ ax+b=2x-3. \]

Logo, \(a=2\) e \(b=-3\).

3.5.

\[ (ax+b)(2x^2-3x+4)=4x^3-x+12 \Leftrightarrow ax+b=\frac{4x^3-x+12}{2x^2-3x+4}. \]

\(4x^3+0x^2-x+12\)

\(-4x^3+6x^2-8x\)

\(6x^2-9x+12\)

\(-6x^2+9x-12\)

\(0\)

\(2x^2-3x+4\)

\(2x+3\)

\[ ax+b=2x+3. \]

Logo, \(a=2\) e \(b=3\).

4.

Operações com \(A(x)\) e \(B(x)\)

Considere os polinómios \(A(x)=-2x^3+6x-4\) e \(B(x)=x^2+kx+1\), com \(k\in\mathbb{R}\).

4.1. Admita que \(k=-3\). Determine o polinómio \(C(x)\) tal que:

a) \(C(x)=2A(x)-B(x)\)

b) \(B(x)+C(x)=-x^2+3x-2\)

c) \(\dfrac12 A(x)=(x^2-4)\times C(x)-x-2\)

4.2. Determine \(k\) de modo que \(A(x)\) seja divisível por \(B(x)\).

Para \(k=-3\), tem-se \(B(x)=x^2-3x+1\).

4.1. a)

\[ C(x)=2(-2x^3+6x-4)-(x^2-3x+1) =-4x^3-x^2+15x-9. \]

b)

\[ C(x)=(-x^2+3x-2)-(x^2-3x+1) =-2x^2+6x-3. \]

c)

\[ \frac12A(x)=-x^3+3x-2. \]

Logo,

\[ (x^2-4)C(x)=\frac12(-2x^3+6x-4)+x+2 \] \[ \Leftrightarrow (x^2-4)C(x)=-x^3+3x-2+x+2 \] \[ \Leftrightarrow (x^2-4)C(x)=-x^3+4x \] \[ \Leftrightarrow (x^2-4)C(x)=-x(x^2-4). \]

\(C(x)\) é um polinómio de grau \(1\), isto é, \(C(x)=ax+b\). Assim,

\[ (x^2-4)(ax+b)=-x(x^2-4) \] \[ \Leftrightarrow ax+b=-x. \]

Portanto, \(C(x)=-x\).

4.2. Usando o algoritmo da divisão de polinómios:

\(-2x^3+0x^2+6x-4\)

\(2x^3+2kx^2+2x\)

\(2kx^2+8x-4\)

\(-2kx^2-2k^2x-2k\)

\((8-2k^2)x-2k-4\)

\(x^2+kx+1\)

\(-2x+2k\)

Para que \(A(x)\) seja divisível por \(B(x)\), o resto tem de ser igual a zero. Assim,

\[ 8-2k^2=0\ \wedge\ -4-2k=0 \Leftrightarrow k^2=4\ \wedge\ k=-2 \Leftrightarrow k=-2. \]

5.

Ruffini e divisores não mónicos

Utilize a regra de Ruffini para determinar o quociente e o resto da divisão de:

5.1. \(A(x)=2x^4-3x^2+1\) por \(B(x)=x-1\)

5.2. \(A(x)=2x^3-x+2\) por \(B(x)=x+\dfrac13\)

5.3. \(A(x)=x^3-x^2+2x+6\) por \(B(x)=2x+4\)

5.1. Para \(x-1\), usa-se \(1\):

\(1\)	\(2\)	\(0\)	\(-3\)	\(0\)	\(1\)
\(1\)		\(2\)	\(2\)	\(-1\)	\(-1\)
	\(2\)	\(2\)	\(-1\)	\(-1\)	\(0\)

\[ 2x^4-3x^2+1=(x-1)(2x^3+2x^2-x-1). \]

Logo, \(Q(x)=2x^3+2x^2-x-1\) e \(R(x)=0\).

5.2. Para \(x+\dfrac13\), usa-se \(-\dfrac13\):

\(-\dfrac13\)	\(2\)	\(0\)	\(-1\)	\(2\)
\(-\dfrac13\)		\(-\dfrac23\)	\(\dfrac29\)	\(\dfrac7{27}\)
	\(2\)	\(-\dfrac23\)	\(-\dfrac79\)	\(\dfrac{61}{27}\)

\[ 2x^3-x+2=\left(x+\frac13\right)\left(2x^2-\frac23x-\frac79\right)+\frac{61}{27}. \]

Logo, \(Q(x)=2x^2-\dfrac23x-\dfrac79\) e \(R(x)=\dfrac{61}{27}\).

5.3. Como \(2x+4=2(x+2)\), começa-se por dividir por \(x+2\):

\(-2\)	\(1\)	\(-1\)	\(2\)	\(6\)
\(-2\)		\(-2\)	\(6\)	\(-16\)
	\(1\)	\(-3\)	\(8\)	\(-10\)

\[ x^3-x^2+2x+6=(x+2)(x^2-3x+8)-10. \]

Dividindo por \(2x+4\), o quociente fica metade do anterior:

\[ Q(x)=\frac12x^2-\frac32x+4,\qquad R(x)=-10. \]

6.

Teorema do resto

Use o teorema do resto para:

6.1. Calcular o resto da divisão do polinómio \(x^3-2x^2+3x+5\) por \(x-1\)

6.2. Mostrar que o polinómio \(P(x)=2x^3-3x^2-11x+6\) é divisível por \(x+2\)

6.3. Determinar \(a\) de modo que o resto da divisão de \(P(x)=x^2-3x+a\) por \(x-5\) seja zero

6.4. Determinar \(a\) de modo que \(P(x)=2x^3-5x^2+x+a\) seja divisível por \(x-2\)

6.1. O divisor é \(x-1\), logo calcula-se \(P(1)\):

\[ P(1)=1^3-2\cdot1^2+3\cdot1+5=7. \]

O resto é \(7\).

6.2. O divisor é \(x+2\), logo calcula-se \(P(-2)\):

\[ P(-2)=2(-2)^3-3(-2)^2-11(-2)+6=-16-12+22+6=0. \]

Como o resto é zero, \(P(x)\) é divisível por \(x+2\).

6.3.

\[ P(5)=0 \iff 5^2-3\cdot5+a=0 \iff 10+a=0 \iff a=-10. \]

6.4.

\[ P(2)=0 \iff 2\cdot2^3-5\cdot2^2+2+a=0 \iff -2+a=0 \iff a=2. \]

7.

Restos por substituição

Determine, utilizando o teorema do resto, o resto da divisão de:

7.1. \(A(x)=x^4-2x^3+x^2-x+3\) por \(B(x)=x+2\)

7.2. \(A(x)=-2x^3+x^2-x+\dfrac14\) por \(B(x)=2x+1\)

7.3. \(A(x)=x^{n+1}-2x^n+x^{n-1}\) por \(B(x)=x+1\)

7.1. Como \(x+2=0 \iff x=-2\), o resto é

\[ A(-2)=(-2)^4-2(-2)^3+(-2)^2-(-2)+3=41. \]

7.2. Como \(B(x)=2x+1=2\left(x+\dfrac12\right)\), calcula-se \(A\left(-\dfrac12\right)\):

\[ A\left(-\frac12\right) =-2\left(-\frac12\right)^3+\left(-\frac12\right)^2-\left(-\frac12\right)+\frac14 =\frac14+\frac14+\frac12+\frac14=\frac54. \]

7.3. Como \(x+1=0 \iff x=-1\), o resto é

\[ A(-1)=(-1)^{n+1}-2(-1)^n+(-1)^{n-1} =4(-1)^{n-1}. \]

8.

Divisibilidade e resto dado

Para determinados valores de \(a\) e \(b\), o polinómio

\[ P(x)=3x^3+ax^2-bx+6 \]

é divisível por \(x-1\) e o resto da divisão por \(x+2\) é igual a \(-6\).

Determine os valores de \(a\) e \(b\).

Como \(P(x)\) é divisível por \(x-1\), tem-se \(P(1)=0\):

\[ 3+a-b+6=0 \iff a-b=-9. \]

Como o resto da divisão por \(x+2\) é \(-6\), tem-se \(P(-2)=-6\):

\[ 3(-2)^3+a(-2)^2-b(-2)+6=-6 \] \[ -24+4a+2b+6=-6 \iff 2a+b=6. \]

Resolvendo o sistema

\[ \begin{cases} a-b=-9\\ 2a+b=6 \end{cases} \]

obtém-se \(a=-1\) e \(b=8\).

9.

Área de um retângulo

Na figura, está representado um retângulo cuja área é dada, em centímetros quadrados, pela expressão

\[ A(x)=2x^4-3x^2-7x+8. \]

9.1. Diga, justificando, se a altura do retângulo pode ser dada pela expressão \((x+2)\) cm.

9.2. Determine uma expressão que represente o comprimento do retângulo, sabendo que a largura é representada por \(x-1\).

9.1. A expressão \(x+2\) pode representar uma dimensão do retângulo se \(A(x)\) for divisível por \(x+2\).

Calculamos:

\[ A(-2)=2(-2)^4-3(-2)^2-7(-2)+8=32-12+14+8=42. \]

Como \(A(-2)\ne0\), o polinómio não é divisível por \(x+2\). Logo, a altura não pode ser dada por \((x+2)\) cm.

9.2. Como \(x-1\) representa a largura do retângulo, então \(A(x)\) é divisível por \(x-1\). Recorrendo ao teorema de Ruffini, temos:

\(1\)	\(2\)	\(0\)	\(-3\)	\(-7\)	\(8\)
\(1\)		\(2\)	\(2\)	\(-1\)	\(-8\)
	\(2\)	\(2\)	\(-1\)	\(-8\)	\(0\)

Assim, a expressão que representa o comprimento do retângulo é:

\[ 2x^3+2x^2-x-8. \]

10.

Resto por divisor quadrático

Considere um polinómio de grau 3, \(P(x)\), tal que o resto da divisão de \(P(x)\) por \(x+1\) é igual a \(7\) e por \(x-2\) é igual a \(3\).

Determine o resto da divisão de \(P(x)\) por \((x+1)(x-2)\).

Na divisão por \((x+1)(x-2)\), o resto tem grau inferior a \(2\). Escrevemos

\[ R(x)=ax+b. \]

Como \(P(-1)=7\), então \(R(-1)=7\):

\[ -a+b=7. \]

Como \(P(2)=3\), então \(R(2)=3\):

\[ 2a+b=3. \]

Resolvendo, obtém-se \(a=-\dfrac43\) e \(b=\dfrac{17}{3}\). Assim,

\[ R(x)=-\frac43x+\frac{17}{3}=\frac{17-4x}{3}. \]

11.

Divisibilidade por \(x^2+2\)

Determine o(s) valor(es) real(is) \(k\) de modo que o polinómio

\[ x^6+(k^2-1) \]

seja divisível por \(x^2+2\).

\(x^6+0x^5+0x^4+0x^3+0x^2+0x+k^2-1\)

\(-x^6-2x^4\)

\(-2x^4+0x^3+0x^2+0x+k^2-1\)

\(2x^4+4x^2\)

\(4x^2+0x+k^2-1\)

\(-4x^2-8\)

\(k^2-9\)

\(x^2+2\)

\(x^4-2x^2+4\)

Assim,

\[ k^2-9=0 \iff k^2=9 \iff k=\pm3. \]

12.

Resto na divisão por quadráticos

Determine os valores \(a\) e \(b\) para os quais:

12.1. A divisão de \(P(x)=x^3+ax^2-2x+b\) tem resto \(x+6\) na divisão inteira por \(x^2+x+1\).

12.2. A divisão de \(P(x)=x^4+ax^3+bx^2+x+1\) tem resto \(2x+1\) na divisão inteira por \(x^2-1\).

12.1.

\(x^3+ax^2-2x+b\)

\(-x^3-x^2-x\)

\((a-1)x^2-3x+b\)

\(-(a-1)x^2-(a-1)x-(a-1)\)

\((-a-2)x-a+b+1\)

\(x^2+x+1\)

\(x+a-1\)

Como o resto deve ser \(x+6\),

\[ \begin{cases} -a-2=1\\ b+1-a=6 \end{cases} \iff \begin{cases} a=-3\\ b=2 \end{cases} \]

12.2.

\(x^4+ax^3+bx^2+x+1\)

\(-x^4+x^2\)

\(ax^3+(b+1)x^2+x+1\)

\(-ax^3+ax\)

\((b+1)x^2+(a+1)x+1\)

\(-(b+1)x^2+b+1\)

\((a+1)x+b+2\)

\(x^2-1\)

\(x^2+ax+b+1\)

Como o resto deve ser \(2x+1\),

\[ \begin{cases} a+1=2\\ b+2=1 \end{cases} \iff \begin{cases} a=1\\ b=-1 \end{cases} \]

13.

Parâmetro \(k\)

Seja

\[ A(x)=3x^4+2x^3+kx^2+x+k,\quad k\in\mathbb{R}. \]

Determine o valor de \(k\), sabendo que:

13.1. o resto da divisão de \(A(x)\) por \(x-1\) é \(-1\)

13.2. o resto da divisão de \(A(x)\) por \(x+2\) é \(5\)

13.3. o polinómio \(A(x)\) é divisível por \(2x-1\)

13.1.

\(1\)	\(3\)	\(2\)	\(k\)	\(1\)	\(k\)
\(1\)		\(3\)	\(5\)	\(k+5\)	\(k+6\)
	\(3\)	\(5\)	\(k+5\)	\(k+6\)	\(2k+6\)

\[ 2k+6=-1 \iff k=-\frac72. \]

13.2.

\(-2\)	\(3\)	\(2\)	\(k\)	\(1\)	\(k\)
\(-2\)		\(-6\)	\(8\)	\(-2k-16\)	\(4k+30\)
	\(3\)	\(-4\)	\(k+8\)	\(-2k-15\)	\(5k+30\)

\[ 5k+30=5 \iff k=-\frac{25}{5} \iff k=-5. \]

13.3.

\(\dfrac12\)	\(3\)	\(2\)	\(k\)	\(1\)	\(k\)
\(\dfrac12\)		\(\dfrac32\)	\(\dfrac74\)	\(\dfrac12k+\dfrac78\)	\(\dfrac14k+\dfrac{15}{16}\)
	\(3\)	\(\dfrac72\)	\(k+\dfrac74\)	\(\dfrac12k+\dfrac{15}{8}\)	\(\dfrac54k+\dfrac{15}{16}\)

\[ \frac54k+\frac{15}{16}=0 \iff 20k+15=0 \iff k=-\frac{15}{20} \iff k=-\frac34. \]

14.

Parâmetros \(p\) e \(q\)

Considere o polinómio

\[ A(x)=x^5+3x^3+px+q,\quad p,q\in\mathbb{R}. \]

Determine os valores de \(p\) e de \(q\), sabendo que \(A(x)\) é divisível por \(x-2\) e que o resto da divisão de \(A(x)\) por \(x+1\) é \(12\).

\(2\)	\(1\)	\(0\)	\(3\)	\(0\)	\(p\)	\(q\)
\(2\)		\(2\)	\(4\)	\(14\)	\(28\)	\(2p+56\)
	\(1\)	\(2\)	\(7\)	\(14\)	\(p+28\)	\(2p+q+56\)

\(-1\)	\(1\)	\(0\)	\(3\)	\(0\)	\(p\)	\(q\)
\(-1\)		\(-1\)	\(1\)	\(-4\)	\(4\)	\(-p-4\)
	\(1\)	\(-1\)	\(4\)	\(-4\)	\(p+4\)	\(-p+q-4\)

Assim,

\[ \begin{cases} 2p+q=-56\\ -p+q=16 \end{cases} \iff p=-24,\quad q=-8. \]

15.

Resto duplo

Considere

\[ A(x)=2x^3+ax^2-6x+1. \]

Determine o valor de \(a\), sabendo que o resto da divisão de \(A(x)\) por \(x+2\) é igual ao dobro do resto da divisão do mesmo polinómio por \(x-1\).

\(-2\)	\(2\)	\(a\)	\(-6\)	\(1\)
\(-2\)		\(-4\)	\(-2a+8\)	\(4a-4\)
	\(2\)	\(a-4\)	\(-2a+2\)	\(4a-3\)

\(1\)	\(2\)	\(a\)	\(-6\)	\(1\)
\(1\)		\(2\)	\(a+2\)	\(a-4\)
	\(2\)	\(a+2\)	\(a-4\)	\(a-3\)

Assim,

\[ 4a-3=2(a-3) \iff 4a-3=2a-6 \iff a=-\frac32. \]

16.

Restos iguais

Considere o polinómio

\[ P(x)=x^3+3x^2+2x+1. \]

Determine o(s) valor(es) de \(a\), não nulo(s), de modo que o resto da divisão de \(P(x)\) por \(A(x)=x-a\) seja o mesmo que o resto da divisão de \(P(x)\) por \(B(x)=x-2a\).

\(a\)	\(1\)	\(3\)	\(2\)	\(1\)
\(a\)		\(a\)	\(a^2+3a\)	\(a^3+3a^2+2a\)
	\(1\)	\(a+3\)	\(a^2+3a+2\)	\(a^3+3a^2+2a+1\)

\(2a\)	\(1\)	\(3\)	\(2\)	\(1\)
\(2a\)		\(2a\)	\(4a^2+6a\)	\(8a^3+12a^2+4a\)
	\(1\)	\(2a+3\)	\(4a^2+6a+2\)	\(8a^3+12a^2+4a+1\)

Logo,

\[ a^3+3a^2+2a+1=8a^3+12a^2+4a+1. \]

Logo,

\[ 7a^3+9a^2+2a=0 \iff a(7a^2+9a+2)=0. \]

Como \(a\ne0\),

\[ 7a^2+9a+2=0 \iff (7a+2)(a+1)=0. \]

Portanto,

\[ a=-1\quad\text{ou}\quad a=-\frac27. \]

17.

Restos com teorema do resto

Determine, utilizando o teorema do resto, o resto da divisão de \(A(x)\) por \(B(x)\).

17.1. \(A(x)=2x^2-2x-1\) e \(B(x)=x-1\)

17.2. \(A(x)=2x^3+4x^2-x-4\) e \(B(x)=x+2\)

17.3. \(A(x)=x^2+3x+3\) e \(B(x)=x\)

17.4. \(A(x)=2x^4+\dfrac73x^3-4x^2-x+\dfrac23\) e \(B(x)=2x+1\)

17.1. Como \(x-1=0 \iff x=1\),

\[ A(1)=2-2-1=-1. \]

17.2. Como \(x+2=0 \iff x=-2\),

\[ A(-2)=2(-2)^3+4(-2)^2-(-2)-4=-16+16+2-4=-2. \]

17.3. Como \(x=0\),

\[ A(0)=3. \]

17.4. Como \(2x+1=0 \iff x=-\dfrac12\),

\[ A\left(-\frac12\right) =2\left(-\frac12\right)^4+\frac73\left(-\frac12\right)^3 -4\left(-\frac12\right)^2-\left(-\frac12\right)+\frac23=0. \]

Logo, o resto é \(0\).

18.

Determinar \(a\)

Determine o valor de \(a\), sabendo que:

18.1. o resto da divisão de \(x^3+ax+1\) por \(x+1\) é igual a \(4\)

18.2. o resto da divisão de \(x^4+(a-1)x^2+2x+a\) por \(2x-4\) é igual a \(16\)

18.3. \(x^3+ax+1\) é divisível por \(x-2\)

18.4. o resto da divisão de \(3x^3-6x^2+ax-1\) por \(x+1\) é igual ao resto da divisão do mesmo polinómio por \(x-3\)

18.1.

\[ P(-1)=4 \iff (-1)^3+a(-1)+1=4 \iff -a=4 \iff a=-4. \]

18.2. Como \(2x-4=0 \iff x=2\),

\[ P(2)=16 \iff 16+4(a-1)+4+a=16 \iff 5a+16=16 \iff a=0. \]

18.3.

\[ P(2)=0 \iff 8+2a+1=0 \iff a=-\frac92. \]

18.4. Seja \(P(x)=3x^3-6x^2+ax-1\). Pretende-se \(P(-1)=P(3)\):

\[ -10-a=26+3a \iff a=-9. \]

19.

Sistemas com \(a\) e \(b\)

Determine os valores de \(a\) e de \(b\) para os quais:

19.1. \(P(x)=x^3+ax^2+bx+5\), quando dividido por \(x-2\), tem resto \(23\) e, quando dividido por \(x+1\), tem resto \(11\)

19.2. \(P(x)=2x^3+ax^2+bx-3\), quando dividido por \(x^2-1\), tem resto \(0\)

19.3. \(P(x)=x^3+ax^2+b\) é divisível por \(x^2+3x+2\)

19.1. Pelos dados, \(P(2)=23\) e \(P(-1)=11\). Então,

\[ \begin{cases} 8+4a+2b+5=23\\ -1+a-b+5=11 \end{cases} \iff \begin{cases} 4a+2b=10\\ a-b=7 \end{cases} \]

Logo, \(a=4\) e \(b=-3\).

19.2. Como \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), pretende-se \(P(1)=0\) e \(P(-1)=0\):

\[ \begin{cases} 2+a+b-3=0\\ -2+a-b-3=0 \end{cases} \iff \begin{cases} a+b=1\\ a-b=5 \end{cases} \]

Portanto, \(a=3\) e \(b=-2\).

19.3. Como \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\), pretende-se \(P(-1)=0\) e \(P(-2)=0\):

\[ \begin{cases} -1+a+b=0\\ -8+4a+b=0 \end{cases} \iff \begin{cases} a+b=1\\ 4a+b=8 \end{cases} \]

Logo, \(a=\dfrac73\) e \(b=-\dfrac43\).

20.

Fator comum

Sejam \(P(x)=x^2+bx+c\) e \(Q(x)=x^2+dx+e\) dois polinómios.

Sabendo que \(x-p\) é um fator comum a \(P(x)\) e a \(Q(x)\), mostra que

\[ p=\frac{e-c}{b-d},\quad \text{com } b\ne d. \]

Como \(x-p\) é fator comum, \(P(p)=0\) e \(Q(p)=0\).

\[ \begin{cases} p^2+bp+c=0\\ p^2+dp+e=0 \end{cases} \] \[ \begin{cases} p^2=-pb-c\\ -pb-c+dp+e=0 \end{cases} \] \[ p(d-b)=c-e \iff p=\frac{c-e}{d-b} \iff p=\frac{e-c}{b-d}. \]

Como queríamos mostrar.

21.

Multiplicidade de raízes

Considere o polinómio

\[ P(x)=x^8+x^7-3x^6-x^5-14x^4-16x^3+48x^2+16x-32. \]

Determine a multiplicidade da raiz:

21.1. \(1\) 21.2. \(-1\) 21.3. \(2\) 21.4. \(-2\)

21.1. Para a raiz \(1\), aplicamos a regra de Ruffini sucessivamente:

\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(-3\)	\(-1\)	\(-14\)	\(-16\)	\(48\)	\(16\)	\(-32\)
\(1\)		\(1\)	\(2\)	\(-1\)	\(-2\)	\(-16\)	\(-32\)	\(16\)	\(32\)
	\(1\)	\(2\)	\(-1\)	\(-2\)	\(-16\)	\(-32\)	\(16\)	\(32\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(2\)	\(-1\)	\(-2\)	\(-16\)	\(-32\)	\(16\)	\(32\)
\(1\)		\(1\)	\(3\)	\(2\)	\(0\)	\(-16\)	\(-48\)	\(-32\)
	\(1\)	\(3\)	\(2\)	\(0\)	\(-16\)	\(-48\)	\(-32\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(3\)	\(2\)	\(0\)	\(-16\)	\(-48\)	\(-32\)
\(1\)		\(1\)	\(4\)	\(6\)	\(6\)	\(-10\)	\(-58\)
	\(1\)	\(4\)	\(6\)	\(6\)	\(-10\)	\(-58\)	\(-90\)

Como surgem dois restos nulos e depois um resto não nulo, \(1\) é raiz de multiplicidade \(2\) de \(P(x)\).

21.2. Para a raiz \(-1\):

\(-1\)	\(1\)	\(1\)	\(-3\)	\(-1\)	\(-14\)	\(-16\)	\(48\)	\(16\)	\(-32\)
\(-1\)		\(-1\)	\(0\)	\(3\)	\(-2\)	\(16\)	\(0\)	\(-48\)	\(32\)
	\(1\)	\(0\)	\(-3\)	\(2\)	\(-16\)	\(0\)	\(48\)	\(-32\)	\(0\)
\(-1\)	\(1\)	\(0\)	\(-3\)	\(2\)	\(-16\)	\(0\)	\(48\)	\(-32\)
\(-1\)		\(-1\)	\(1\)	\(2\)	\(-4\)	\(20\)	\(-20\)	\(-28\)
	\(1\)	\(-1\)	\(-2\)	\(4\)	\(-20\)	\(20\)	\(28\)	\(-60\)

Logo, \(-1\) é raiz de multiplicidade \(1\) de \(P(x)\).

21.3. Para a raiz \(2\):

\(2\)	\(1\)	\(1\)	\(-3\)	\(-1\)	\(-14\)	\(-16\)	\(48\)	\(16\)	\(-32\)
\(2\)		\(2\)	\(6\)	\(6\)	\(10\)	\(-8\)	\(-48\)	\(0\)	\(32\)
	\(1\)	\(3\)	\(3\)	\(5\)	\(-4\)	\(-24\)	\(0\)	\(16\)	\(0\)
\(2\)	\(1\)	\(3\)	\(3\)	\(5\)	\(-4\)	\(-24\)	\(0\)	\(16\)
\(2\)		\(2\)	\(10\)	\(26\)	\(62\)	\(116\)	\(184\)	\(368\)
	\(1\)	\(5\)	\(13\)	\(31\)	\(58\)	\(92\)	\(184\)	\(384\)

Logo, \(2\) é raiz de multiplicidade \(1\) de \(P(x)\).

21.4. Para a raiz \(-2\):

\(-2\)	\(1\)	\(1\)	\(-3\)	\(-1\)	\(-14\)	\(-16\)	\(48\)	\(16\)	\(-32\)
\(-2\)		\(-2\)	\(2\)	\(2\)	\(-2\)	\(32\)	\(-32\)	\(-32\)	\(32\)
	\(1\)	\(-1\)	\(-1\)	\(1\)	\(-16\)	\(16\)	\(16\)	\(-16\)	\(0\)
\(-2\)	\(1\)	\(-1\)	\(-1\)	\(1\)	\(-16\)	\(16\)	\(16\)	\(-16\)
\(-2\)		\(-2\)	\(6\)	\(-10\)	\(18\)	\(-4\)	\(-24\)	\(16\)
	\(1\)	\(-3\)	\(5\)	\(-9\)	\(2\)	\(12\)	\(-8\)	\(0\)
\(-2\)	\(1\)	\(-3\)	\(5\)	\(-9\)	\(2\)	\(12\)	\(-8\)
\(-2\)		\(-2\)	\(10\)	\(-30\)	\(78\)	\(-160\)	\(296\)
	\(1\)	\(-5\)	\(15\)	\(-39\)	\(80\)	\(-148\)	\(288\)

Logo, \(-2\) é raiz de multiplicidade \(2\) de \(P(x)\).

22.

Raiz \(2\) e fatorização

Considere o polinómio

\[ P(x)=x^5-8x^4+21x^3-14x^2-20x+24. \]

22.1. Verifique que \(2\) é raiz de \(P(x)\).

22.2. Determine a multiplicidade da raiz \(2\).

22.3. Escreva o polinómio na forma \((x-2)^nQ(x)\), onde \(n\) representa a multiplicidade da raiz \(2\).

22.4. Determine as restantes raízes do polinómio.

22.1.

\[ P(2)=2^5-8\cdot2^4+21\cdot2^3-14\cdot2^2-20\cdot2+24 =32-128+168-56-40+24=0. \]

Logo, \(2\) é raiz de \(P(x)\).

22.2. Aplicando Ruffini sucessivamente com \(2\):

\(2\)	\(1\)	\(-8\)	\(21\)	\(-14\)	\(-20\)	\(24\)
\(2\)		\(2\)	\(-12\)	\(18\)	\(8\)	\(-24\)
	\(1\)	\(-6\)	\(9\)	\(4\)	\(-12\)	\(0\)
\(2\)	\(1\)	\(-6\)	\(9\)	\(4\)	\(-12\)
\(2\)		\(2\)	\(-8\)	\(2\)	\(12\)
	\(1\)	\(-4\)	\(1\)	\(6\)	\(0\)
\(2\)	\(1\)	\(-4\)	\(1\)	\(6\)
\(2\)		\(2\)	\(-4\)	\(-6\)
	\(1\)	\(-2\)	\(-3\)	\(0\)
\(2\)	\(1\)	\(-2\)	\(-3\)
\(2\)		\(2\)	\(0\)
	\(1\)	\(0\)	\(-3\)

Como se obtêm três restos nulos consecutivos e depois o resto \(-3\), \(2\) é raiz de multiplicidade \(3\).

22.3.

\[ P(x)=(x-2)^3(x^2-2x-3). \]

22.4. As restantes raízes são as raízes de \(x^2-2x-3\):

\[ x^2-2x-3=0 \iff (x-3)(x+1)=0. \]

Logo, as restantes raízes são \(-1\) e \(3\).

23.

Multiplicidades de \(-1\) e \(1\)

Considere o polinómio

\[ P(x)=x^9-x^8-7x^7+7x^6+15x^5-15x^4-13x^3+13x^2+4x-4. \]

Sabendo que \(-1\) e \(1\) são raízes do polinómio, determine as respetivas multiplicidades e as restantes raízes do polinómio.

Aplicando a regra de Ruffini sucessivamente com \(1\):

\(1\)	\(1\)	\(-1\)	\(-7\)	\(7\)	\(15\)	\(-15\)	\(-13\)	\(13\)	\(4\)	\(-4\)
\(1\)		\(1\)	\(0\)	\(-7\)	\(0\)	\(15\)	\(0\)	\(-13\)	\(0\)	\(4\)
	\(1\)	\(0\)	\(-7\)	\(0\)	\(15\)	\(0\)	\(-13\)	\(0\)	\(4\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(-7\)	\(0\)	\(15\)	\(0\)	\(-13\)	\(0\)	\(4\)
\(1\)		\(1\)	\(1\)	\(-6\)	\(-6\)	\(9\)	\(9\)	\(-4\)	\(-4\)
	\(1\)	\(1\)	\(-6\)	\(-6\)	\(9\)	\(9\)	\(-4\)	\(-4\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(-6\)	\(-6\)	\(9\)	\(9\)	\(-4\)	\(-4\)
\(1\)		\(1\)	\(2\)	\(-4\)	\(-10\)	\(-1\)	\(8\)	\(4\)
	\(1\)	\(2\)	\(-4\)	\(-10\)	\(-1\)	\(8\)	\(4\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(2\)	\(-4\)	\(-10\)	\(-1\)	\(8\)	\(4\)
\(1\)		\(1\)	\(3\)	\(-1\)	\(-11\)	\(-12\)	\(-4\)
	\(1\)	\(3\)	\(-1\)	\(-11\)	\(-12\)	\(-4\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(3\)	\(-1\)	\(-11\)	\(-12\)	\(-4\)
\(1\)		\(1\)	\(4\)	\(3\)	\(-8\)	\(-20\)
	\(1\)	\(4\)	\(3\)	\(-8\)	\(-20\)	\(-24\)

Como há quatro restos nulos consecutivos e depois o resto \(-24\), \(1\) é raiz de multiplicidade \(4\) de \(P(x)\).

As raízes inteiras, caso existam, são divisores inteiros de \(-4\). Aplicando agora Ruffini com \(-1\) ao quociente obtido:

\(-1\)	\(1\)	\(3\)	\(-1\)	\(-11\)	\(-12\)	\(-4\)
\(-1\)		\(-1\)	\(-2\)	\(3\)	\(8\)	\(4\)
	\(1\)	\(2\)	\(-3\)	\(-8\)	\(-4\)	\(0\)
\(-1\)	\(1\)	\(2\)	\(-3\)	\(-8\)	\(-4\)
\(-1\)		\(-1\)	\(-1\)	\(4\)	\(4\)
	\(1\)	\(1\)	\(-4\)	\(-4\)	\(0\)
\(-1\)	\(1\)	\(1\)	\(-4\)	\(-4\)
\(-1\)		\(-1\)	\(0\)	\(4\)
	\(1\)	\(0\)	\(-4\)	\(0\)
\(-1\)	\(1\)	\(0\)	\(-4\)
\(-1\)		\(-1\)	\(1\)
	\(1\)	\(-1\)	\(-3\)

Como há três restos nulos consecutivos e depois o resto \(-3\), \(-1\) é raiz de multiplicidade \(3\) de \(P(x)\).

Assim, \(P(x)\) pode ser escrito na forma

\[ P(x)=(x-1)^4(x+1)^3(x^2-4). \]

Logo,

\[ P(x)=0 \iff (x-1)^4(x+1)^3(x^2-4)=0 \iff x=1\vee x=-1\vee x=-2\vee x=2. \]

Portanto, além das raízes \(1\) e \(-1\), as restantes raízes são \(-2\) e \(2\).