Polinómios Global

Em cada caso aplicamos o algoritmo da divisão: escolhe-se o termo do quociente que anula o termo de maior grau do dividendo parcial e subtrai-se o produto pelo divisor. No fim escrevemos \(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\), com \(\deg R<\deg B\).

a) Divisão de \(x^3+3x^2-x-5\) por \(x^2+2x-3\).

Logo, \(Q(x)=x+1\) e \(R(x)=-2\). Assim,

b) Divisão de \(4x^3+4x^2+0x-6\) por \(x-3\).

Logo, \(Q(x)=4x^2+16x+48\) e \(R(x)=138\). Assim,

c) Divisão de \(8x^4+0x^3-10x^2+0x+2\) por \(4x^3+4x^2-x-1\).

Logo, \(Q(x)=2x-2\) e \(R(x)=0\). Assim,

d) Divisão de \(2x^3+3x^2+x+0\) por \(6x^3+9x^2+0x-18\).

Como \(\deg(x+6)<\deg(6x^3+9x^2-18)\), termina o algoritmo. Logo, \(Q(x)=\dfrac13\) e \(R(x)=x+6\). Assim,

e) Divisão de \(x^2+4x-8\) por \(x^2+9x\).

Como \(\deg(-5x-8)<\deg(x^2+9x)\), termina o algoritmo. Logo, \(Q(x)=1\) e \(R(x)=-5x-8\). Assim,

f) Divisão de \(4x^4-5x^3+x^2-x-3\) por \(3x^2-3x+2\).

Logo, \(Q(x)=\dfrac43x^2-\dfrac13x-\dfrac89\) e \(R(x)=-3x-\dfrac{11}{9}\). Assim,

g) Divisão de \(-\dfrac34x^3+0x^2+\dfrac12x+0\) por \(2x-\dfrac13\).

Logo, \(Q(x)=-\dfrac38x^2-\dfrac1{16}x+\dfrac{23}{96}\) e \(R(x)=\dfrac{23}{288}\). Assim,

Da primeira divisão vem

Para escrever \(M(x)\) em função de \(2N(x)\), fazemos

Portanto, na divisão por \(2N(x)\), o quociente é \(\dfrac{Q(x)}2\) e o resto é \(2\).

a) Aplicando o algoritmo da divisão de \(3x^2-5x-2\) por \(3x+1\):

Como o resto é \(0\), \(A(x)\) é divisível por \(B(x)\) e \(Q(x)=x-2\). Logo,

b) Aplicando o algoritmo da divisão de \(-x^3+3x^2-4x+2\) por \(x^2-2x+2\):

Como o resto é \(0\), \(A(x)\) é divisível por \(B(x)\) e \(Q(x)=-x+1\). Logo,

c) Aplicando o algoritmo da divisão de \(2x^4-x^3+0x^2-4x-3\) por \(x^2-x-1\):

Como o resto é \(0\), \(A(x)\) é divisível por \(B(x)\) e \(Q(x)=2x^2+x+3\). Logo,

4.1. Primeiro,

Multiplicando por \(x-3\):

4.2. Aplicando o algoritmo da divisão de \(x^3-2x^2-5x+6\) por \(x+2\):

Logo, \(Q(x)=x^2-4x+3\) e o resto é \(0\).

a) Como \(B(x)=x-3\), usa-se \(3\):

Logo, \(Q(x)=2x^2+x-2\) e \(R(x)=1\).

b) Como \(B(x)=x+1\), usa-se \(-1\):

Logo, \(Q(x)=-3x^2+3x+4\) e \(R(x)=0\).

c) Como \(B(x)=x+2\), usa-se \(-2\):

Logo, \(Q(x)=-4x^3+8x^2-6x+12\) e \(R(x)=1\).

d) Como \(B(x)=x-1\), usa-se \(1\):

Logo, \(Q(x)=x^4+x^3+x^2+x+1\) e \(R(x)=2\).

e) Como \(3x-6=3(x-2)\), começa-se por usar \(2\) em Ruffini:

Para \(x-2\), o quociente seria \(x^2-x-2\). Como o divisor é \(3(x-2)\), divide-se esse quociente por \(3\), mantendo o resto. Logo, \(Q(x)=\dfrac13x^2-\dfrac13x-\dfrac23\) e \(R(x)=6\).

f) Como \(4x-2=4\left(x-\dfrac12\right)\), usa-se \(\dfrac12\) em Ruffini:

Para \(x-\dfrac12\), o quociente seria \(x^3+\dfrac12x^2-\dfrac74x+\dfrac18\). Como o divisor é \(4\left(x-\dfrac12\right)\), divide-se esse quociente por \(4\), mantendo o resto. Logo, \(Q(x)=\dfrac14x^3+\dfrac18x^2-\dfrac7{16}x+\dfrac1{32}\) e \(R(x)=-\dfrac{15}{16}\).

O resto da divisão por \(x-a\) é \(A(a)\).

a) \(a=3\):

b) \(x+2=x-(-2)\), logo \(a=-2\):

c) \(a=1\):

Seja \(P(x)=x^3+3x^2+ax+b\). Pelo Teorema do Resto:

Subtraindo as equações, \(a=3\). Assim, \(b=2-3=-1\).

Decompondo em fatores:

Logo, o polinómio anula-se para \(x=-3\), \(x=0\) e \(x=2\).

Fatorizando por agrupamento:

Assim, no conjunto dado, as raízes são

Seja \(P(x)=2x^4-3x-5\). Então

Logo, \(x+1\) é fator de \(P(x)\). Aplicando o algoritmo da divisão de \(2x^4+0x^3+0x^2-3x-5\) por \(x+1\):

Assim, o quociente é \(2x^3-2x^2+2x-5\), e

Como \(A(x)\) tem os fatores \(x+5\) e \(x-2\), temos:

Duas raízes de \(A(x)\) são \(\boxed{-5}\) e \(\boxed{2}\).

Como \(a\) é raiz de \(P\), o polinómio \(P(x)\) é divisível por \(x-a\). Assim,

Como \(b\) também é raiz, \(P(b)=0\). Substituindo:

Como \(a\) e \(b\) são distintos, \(b-a\ne0\). Logo, \(Q(b)=0\), isto é, \(b\) é raiz de \(Q(x)\).

Testando divisores inteiros de \(18\), verifica-se que \(P(2)=0\). Logo, \(x-2\) é fator de \(P(x)\). Aplicando o algoritmo da divisão de \(x^3-2x^2-9x+18\) por \(x-2\):

Assim, o quociente é \(x^2-9\), e

Como \(x^2-9=(x-3)(x+3)\),

As raízes são

Como \(8\) é raiz, \(P(8)=0\). Num polinómio de coeficientes inteiros, isto obriga o termo independente a ser múltiplo inteiro de \(8\).

Sendo um número natural inferior a \(20\), os possíveis valores são

Seja \(P(x)=4x^3+12x^2-x-3\). Como \(P(-3)=0\), \(x+3\) é fator de \(P(x)\). Aplicando o algoritmo da divisão por \(x+3\):

Assim, o quociente é \(4x^2-1\), e

Para verificar se a raiz é simples, avaliamos o outro fator em \(-3\):

Logo, \(-3\) é raiz de multiplicidade \(1\), ou seja, é uma raiz simples.

Seja \(P(x)=2x^4-3x^3-3x^2+7x-3\). Como \(P(1)=0\), \(1\) é raiz. Aplicamos o algoritmo da divisão sucessivamente por \(x-1\).

Primeira divisão:

Logo, \(P(x)=(x-1)(2x^3-x^2-4x+3)\).

Segunda divisão:

Logo, \(2x^3-x^2-4x+3=(x-1)(2x^2+x-3)\).

Terceira divisão:

Logo, \(2x^2+x-3=(x-1)(2x+3)\). Portanto,

Como \(2\cdot1+3=5\ne0\), já não é possível retirar outro fator \(x-1\).

Logo, \(1\) é raiz de multiplicidade \(\boxed{3}\).

Como \(x+1=x-(-1)\), o resto é \(A(-1)\):

O resto é \(\boxed{-1}\).

a)

Logo, \(-1\) é raiz para todo o \(n\in\mathbb{N}\).

b)

Logo, \(-1\) não é raiz para nenhum \(n\in\mathbb{N}\).

c) Considerando \(A(x)=x^{4n}-x^{3n}+x^{2n}-x^n\), basta encontrar um valor de \(n\). Para \(n=2\):

Logo, existe \(n\in\mathbb{N}\) para o qual \(-1\) é raiz.

d) Tomando \(n=2\):

Logo, existe \(n\in\mathbb{N}\) para o qual \(-1\) é raiz.

a) Para \(P(x)=x^n-1\),

Pelo Teorema do Resto, \(x^n-1\) é divisível por \(x-1\).

b) Seja \(P(x)=x^n+x\). Se \(n\) é par, então \((-1)^n=1\). Assim,

Logo, \(x^n+x\) é divisível por \(x+1\).

a) Procuramos dois números com produto \(-12\) e soma \(1\): \(4\) e \(-3\).

b) Colocando \(-5\) em evidência:

c)

a) Como \(1\) é raiz, aplicamos a regra de Ruffini com \(1\):

Logo, \(A(x)=(x-1)(x^2-5x+6)\). Como \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\),

b) Como \(-2\) é raiz, aplicamos a regra de Ruffini com \(-2\):

Logo, \(B(x)=(x+2)(x^2-10x+25)\). Como \(x^2-10x+25=(x-5)^2\),

c) Como \(2\) é raiz, aplicamos a regra de Ruffini com \(2\):

Logo,

d) Como \(1\) é raiz, aplicamos a regra de Ruffini com \(1\):

Logo,

e) Como \(-1\) e \(3\) são raízes, aplicamos Ruffini sucessivamente. Primeiro com \(-1\):

Assim, \(E(x)=(x+1)(x^3-19x+30)\). Como \(3\) também é raiz, aplicamos Ruffini ao quociente:

Logo,

f) Como \(2\) é raiz dupla, aplicamos Ruffini duas vezes com \(2\):

Logo, \(x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x^2-1)\), e

Como

o polinómio \(P(x)=ax^3+bx^2-7x+6\) tem raízes \(-3\) e \(2\).

Usando \(P(-3)=0\):

Usando \(P(2)=0\):

Assim,

Logo, \(b=2-2a=0\).

Como \(P(x)\) é divisível por \(x+3\), tem-se \(P(-3)=0\):

Como o resto da divisão por \(x-1\) é \(28\), tem-se \(P(1)=28\):

Resolvendo o sistema,

a) Se \(r_1,r_2,r_3,r_4\) forem as quatro raízes inteiras, como o polinómio é mónico, podemos escrever

O termo independente é o produto dos termos independentes dos quatro fatores:

b) Se \(a_4\) é primo, o produto das quatro raízes inteiras é um número primo. Então cada raiz inteira teria de ser um divisor de \(a_4\), ou seja, apenas poderia ser \(\pm1\) ou \(\pm a_4\).

Não é possível escolher quatro raízes inteiras distintas cujo produto seja exatamente o primo \(a_4\). Logo, \(P(x)\) não pode ter quatro raízes inteiras distintas.

Como \(a\) é raiz de multiplicidade \(m\), podemos escrever

Então

Como \(m\) é par, tanto \(1^m=1\) como \((-1)^m=1\). Assim,

é satisfeita por \(x-a=1\) e por \(x-a=-1\).

Duas raízes são

27.1. Fazendo \(y=x^2\), obtém-se

Fatorizando:

Logo, \(y=4\) ou \(y=-1\).

27.2. Como \(y=x^2\):

não tem soluções reais.

Assim, em \(\mathbb{R}\), as soluções são

1.º processo: substituição \(y=x^2\).

Logo, \(x^2=1\) ou \(x^2=4\), isto é, \(x=\pm1\) ou \(x=\pm2\).

2.º processo: fatorização direta.

Portanto,

O perímetro da região colorida é formado por:

• o lado superior do retângulo: \(10\);
• o segmento inferior entre os dois arcos: \(10-2x\);
• dois quartos de círculo de raio \(x\), cujo comprimento total é metade de uma circunferência: \(\pi x\).

Assim,

A esfera tem raio \(x\), logo o seu diâmetro é \(2x\). Como a altura total é \(2\), a aresta do cubo é

O volume total é a soma do volume do cubo com o volume da esfera:

Expandindo,

Logo,

a) A pirâmide inicial tem base quadrada de aresta \(6\sqrt2\), logo a área da base é

A nova pirâmide é semelhante à inicial e tem altura \(8-x\). A razão de semelhança linear é

Assim, a área da base da nova pirâmide é

O seu volume é

Expandindo:

b) O termo independente é \(P(0)\). Quando \(x=0\), não há tronco de pirâmide; a nova pirâmide coincide com a pirâmide inicial. Logo, o termo independente representa o volume da pirâmide inicial.

32.1. Sendo \(x\) a aresta da base quadrada, o perímetro da base é \(4x\). Se \(h\) for a altura,

O volume é

32.2.

O valor \(x=7\) não faz sentido, pois daria altura

e uma altura não pode ser negativa.

32.3. Para a caixa existir, a aresta da base e a altura têm de ser positivas:

Logo,