Polinómios: Fatorização e Inequações

a) \(A(x)=x(x-1)\). Zeros: \(0\) e \(1\).

\[ A(x)>0 \Leftrightarrow x\in]-\infty,0[\cup]1,+\infty[,\quad A(x)<0 \Leftrightarrow x\in]0,1[. \]

b) \(B(x)=(x+3)(x-1)\). Zeros: \(-3\) e \(1\).

\[ B(x)>0 \Leftrightarrow x\in]-\infty,-3[\cup]1,+\infty[,\quad B(x)<0 \Leftrightarrow x\in]-3,1[. \]

c) Como \(-1\) é raiz, aplicamos a regra de Ruffini:

\[ C(x)=(x+1)(x^2+x-12)=(x+1)(x+4)(x-3). \] \[ C(x)>0 \Leftrightarrow x\in]-4,-1[\cup]3,+\infty[,\quad C(x)<0 \Leftrightarrow x\in]-\infty,-4[\cup]-1,3[. \]

d) Sabendo que o polinómio é divisível por \((x-2)^2\), aplicamos Ruffini duas vezes com \(2\):

\[ D(x)=(x-2)^2(2x^2+2)=2(x-2)^2(x^2+1). \]

Como \(x^2+1>0\), \(D(x)\ge0\) para todo o \(x\), anulando-se apenas em \(x=2\).

e)

\[ E(x)=x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1). \] \[ E(x)>0 \Leftrightarrow x\in]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[,\quad E(x)<0 \Leftrightarrow x\in]-1,1[. \]

f) O termo independente é \(-2\), pelo que as possíveis raízes inteiras são divisores de \(-2\). Testando, obtém-se \(F(1)=0\). Aplicando a regra de Ruffini:

\[ F(x)=(x-1)(x^2+x+2). \]

Como \(\Delta=1-8=-7<0\), tem-se \(x^2+x+2>0\), para todo o \(x\in\mathbb R\). O quadro de sinais é:

\[ F(x)<0 \Leftrightarrow x\in]-\infty,1[,\quad F(x)>0 \Leftrightarrow x\in]1,+\infty[. \]

g) Testando os divisores inteiros de \(-6\), encontram-se as raízes \(-2\), \(1\) e \(3\). Assim,

\[ G(x)=-2x^3+4x^2+10x-12=-2(x+2)(x-1)(x-3). \] \[ G(x)>0 \Leftrightarrow x\in]-\infty,-2[\cup]1,3[ \] \[ G(x)<0 \Leftrightarrow x\in]-2,1[\cup]3,+\infty[. \]

h) Testando os divisores inteiros de \(6\), obtém-se \(H(-3)=0\). Aplicando a regra de Ruffini:

\[ H(x)=(x+3)(x^2-2x+2). \]

Como \(\Delta=4-8=-4<0\), tem-se \(x^2-2x+2>0\), para todo o \(x\in\mathbb R\). O quadro de sinais é:

\[ H(x)<0 \Leftrightarrow x\in]-\infty,-3[,\quad H(x)>0 \Leftrightarrow x\in]-3,+\infty[. \]

a) Atendendo a que

\[ (2-x)(x^2-9)=(2-x)(x-3)(x+3), \]

os zeros são \(-3\), \(2\) e \(3\). Vamos estudar o sinal do produto:

\[ (2-x)(x^2-9)\le0 \Leftrightarrow x\in[-3,2]\cup[3,+\infty[. \]

b) Tem-se

\[ x^3+5x^2-6x=x(x^2+5x-6)=x(x-1)(x+6). \] \[ x^3+5x^2-6x>0 \Leftrightarrow x\in]-6,0[\cup]1,+\infty[. \]

c) Como \(-4\) é raiz, aplicamos a regra de Ruffini:

\[ -x^3+2x^2+15x-36=-(x+4)(x^2-6x+9)=-(x+4)(x-3)^2. \] \[ -x^3+2x^2+15x-36<0 \Leftrightarrow x\in]-4,+\infty[\setminus\{3\}. \]

d)

\[ 3x^4+2x^3+8x^2+6x\ge3 \Leftrightarrow 3x^4+2x^3+8x^2+6x-3\ge0. \]

Seja \(A(x)=3x^4+2x^3+8x^2+6x-3\). Como \(-1\) é raiz, aplicando Ruffini a \(x^4+\dfrac23x^3+\dfrac83x^2+2x-1\), obtém-se

\[ A(x)=3(x+1)\left(x^3-\frac13x^2+3x-1\right). \]

Atendendo a que

\[ x^3-\frac13x^2+3x-1=(x^2+3)\left(x-\frac13\right), \]

temos

\[ A(x)=3(x+1)(x^2+3)\left(x-\frac13\right). \]

Como \(3>0\) e \(x^2+3>0\), o sinal depende de \((x+1)\left(x-\dfrac13\right)\):

\[ 3x^4+2x^3+8x^2+6x\ge3 \Leftrightarrow x\in]-\infty,-1]\cup\left[\frac13,+\infty\right[. \]

3.1. Cruzando os sinais de \(A(x)\) e \(B(x)\), obtemos:

\[ A(x)B(x)>0 \Leftrightarrow x\in]-1,0[\cup]0,2[\cup]5,+\infty[. \]

3.2. Pelo quadro de sinais, \(-1\), \(0\) e \(2\) são raízes de \(A(x)\). Como \(A(x)\) é de grau \(4\), uma destas raízes tem multiplicidade \(2\). Observando o quadro, nas proximidades de \(0\) não há variação de sinal; portanto, \(0\) é raiz dupla.

Assim, o polinómio \(A(x)\) é da forma

\[ A(x)=a\,x^2(x+1)(x-2),\quad a\in\mathbb R. \]

Usando a condição \(A(-2)=-4\), vem

\[ A(-2)=a(-2)^2(-2+1)(-2-2)=16a=-4 \Leftrightarrow a=-\frac14. \] \[ A(x)=-\frac14x^2(x+1)(x-2). \]

4.1. Pela regra de Ruffini:

Como se obtêm dois restos nulos consecutivos e depois o resto \(8\), \(-3\) é um zero duplo do polinómio.

Assim,

\[ P(x)=(x+3)^2(-2x+2). \]

4.2.

\[ P(x)\ge0 \Leftrightarrow (x+3)^2(-2x+2)\ge0. \]

Atendendo a que \((x+3)^2(-2x+2)=0 \Leftrightarrow x=-3\vee x=1\), sendo \(-3\) um zero duplo, estudamos o sinal por quadro:

\[ P(x)\ge0 \Leftrightarrow x\in]-\infty,1]. \]

5.1. A base é um quadrado de lado \(x+2\), logo tem área \((x+2)^2\). Cada face lateral tem área

\[ \frac{(x+2)(x+5)}{2}. \]

Como há quatro faces laterais,

\[ A(x)=(x+2)^2+4\cdot\frac{(x+2)(x+5)}2. \] \[ A(x)=x^2+4x+4+2(x^2+7x+10)=3x^2+18x+24. \]

5.2. Se \(A(x)=72\), então

\[ 3x^2+18x+24=72 \Leftrightarrow x^2+6x-16=0. \]

Daqui, \(x=2\) ou \(x=-8\). Como as medidas têm de ser positivas, \(x=2\).

A aresta da base mede \(4\) dm e o apótema mede \(7\) dm. A altura da pirâmide é

\[ h=\sqrt{7^2-2^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5. \]

Logo,

\[ V=\frac13\cdot4^2\cdot3\sqrt5=16\sqrt5\ \text{dm}^3. \]

5.3.

\[ A(x)\le24 \Leftrightarrow 3x^2+18x+24-24\le0 \Leftrightarrow 3x^2+18x\le0 \Leftrightarrow x(3x+18)\le0. \]

Pelo quadro de sinais, \(3x^2+18x\le0\) quando \(x\in[-6,0]\). Mas, pelo enunciado, \(x+2\) é uma medida, logo \(x>-2\). Portanto, no contexto do problema,

\[ x\in]-2,0]. \]

Dos dados, \(B(x)<0\) em \(]-\infty,2[\), \(B(2)=0\) e \(B(x)>0\) em \(]2,+\infty[\).

Como \(B(x)\) é de grau \(3\) e \(2\) é o único zero, temos que \(2\) é zero triplo, ou então \(2\) é zero simples e existe outro zero menor do que \(2\) com multiplicidade \(2\). Em qualquer dos casos, para estas alíneas basta usar o sinal indicado no enunciado.

a) Os pontos críticos são \(2\) e \(\dfrac73\). Como \(3x-7<0\) para \(x<\dfrac73\) e \(B(x)>0\) para \(x>2\), o produto é não positivo em

\[ x\in\left[2,\frac73\right]. \]

b) Como \(-x^2-1<0\) para todo o \(x\), o produto é positivo quando \(B(x)<0\):

\[ x\in]-\infty,2[. \]

c)

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Cruzando com o sinal de \(B(x)\), obtém-se

\[ (x^2-5x+6)B(x)<0 \Leftrightarrow x\in]-\infty,2[\cup]2,3[. \]

Ou seja, \(x\in]-\infty,3[\setminus\{2\}\).

Como \(D(x)=(x+3)^2\), divide-se sucessivamente por \(x+3\), isto é, usa-se \(-3\) duas vezes em Ruffini.

O primeiro quociente é \(x^3+3x^2+4x+12\). Aplicando novamente Ruffini:

\[ x^4+6x^3+13x^2+24x+36=(x+3)^2(x^2+4). \]

Logo, \(A(x)\) é divisível por \((x+3)^2\) e

\[ Q(x)=x^2+4. \]

8.1.

\[ x^2-10x+25=(x-5)^2. \]

8.2.

\[ 18-2x^2=2(9-x^2)=2(3-x)(3+x). \]

8.3.

\[ -2x^3-8x^2+10x=-2x(x^2+4x-5)=-2x(x-1)(x+5). \]

8.4. Como \(1\) é raiz, aplicamos a regra de Ruffini:

\[ x^3-2x^2-x+2=(x-1)(x^2-x-2)=(x-1)(x-2)(x+1). \]

8.5. Como \(1\) é zero de multiplicidade \(2\), aplicamos Ruffini duas vezes:

\[ -x^4+3x^3+3x^2-11x+6=(x-1)^2(-x^2+x+6). \] \[ -x^2+x+6=-(x-3)(x+2). \]

Logo,

\[ -x^4+3x^3+3x^2-11x+6=-(x-1)^2(x-3)(x+2). \]

8.6. Como é divisível por \(x+2\), aplicamos Ruffini com \(-2\):

\[ -2x^3+2x^2+20x+16=-2(x+2)(x-4)(x+1). \]

8.7. As raízes inteiras do polinómio são divisores inteiros de \(3\), isto é, podem ser \(-1\), \(1\), \(-3\) ou \(3\). Aplicando Ruffini com \(-1\) duas vezes:

\[ -x^3+x^2+5x+3=-(x+1)^2(x-3). \]

Como

\[ x^2-5x+4=(x-1)(x-4), \]

e \(P(x)\) é divisível por esse polinómio. Aplicando o algoritmo da divisão:

Assim, temos

\[ P(x)=(x+2)(x^2-5x+4)=(x+2)(x-1)(x-4). \]

Logo,

\[ P(x)=0 \Leftrightarrow x=-2\vee x=1\vee x=4. \] \[ C.S.=\{-2,1,4\}. \]

10.1.

\[ P(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+4=-1-3+4=0. \]

Logo, \(x+1\) é fator de \(P(x)\). Pela regra de Ruffini:

\[ P(x)=(x+1)(x^2-4x+4)=(x+1)(x-2)^2. \]

10.2. a) Como \(P(x)=(x+1)(x-2)^2\), temos

\[ (2-x)P(x)=(2-x)(x+1)(x-2)^2. \] \[ (2-x)P(x)>0 \Leftrightarrow x\in]-1,2[. \]

b)

\[ P(x)\ge Q(x) \Leftrightarrow x^3-3x^2+4\ge x^3-x^2 \] \[ \Leftrightarrow -2x^2+4\ge0. \]

Condição auxiliar:

\[ -2x^2+4=0 \Leftrightarrow x=-\sqrt2\vee x=\sqrt2. \]

A parábola \(-2x^2+4\) tem concavidade voltada para baixo, logo é não negativa entre as raízes.

Portanto,

\[ x\in[-\sqrt2,\sqrt2]. \]

Pelos zeros e respetivas multiplicidades,

\[ P(x)=a(x+3)(x+1)(x-1)^2. \]

Como o resto da divisão por \(x+2\) é \(-9\), tem-se \(P(-2)=-9\):

\[ a(1)(-1)(-3)^2=-9 \Leftrightarrow -9a=-9 \Leftrightarrow a=1. \]

Logo,

\[ P(x)=(x+3)(x+1)(x-1)^2. \]

12.1. Como \(P(x)\) é divisível por \(x-2\), \(P(2)=0\). Como \(-3\) é zero, \(P(-3)=0\). Assim,

\[ \begin{cases} 8+2b+c=0\\ -27-3b+c=0 \end{cases} \]

Da primeira equação, \(c=-8-2b\). Substituindo na segunda:

\[ -27-3b-8-2b=0 \Leftrightarrow -35-5b=0 \Leftrightarrow b=-7. \]

Logo, \(c=-8-2(-7)=6\).

12.2. Tem-se \(P(x)=x^3-7x+6\). Pela regra de Ruffini:

Portanto,

\[ P(x)=(x+3)(x-2)(x-1). \]

13.1. Fazendo \(y=x^2\),

\[ y^2-y-6=0 \Leftrightarrow (y-3)(y+2)=0. \]

Como \(y=x^2\ge0\), fica \(x^2=3\). Logo,

\[ C.S.=\{-\sqrt3,\sqrt3\}. \]

13.2.

\[ 2x^4+(2x-1)^2=x(x-4) \] \[ \Leftrightarrow 2x^4+4x^2-4x+1=x^2-4x \] \[ \Leftrightarrow 2x^4+3x^2+1=0. \]

Como \(2x^4+3x^2+1>0\) para todo o \(x\in\mathbb{R}\), não há soluções reais.

\[ C.S.=\varnothing. \]

13.3.

\[ 3x^3-6x^2+6x-12=0 \Leftrightarrow x^3-2x^2+2x-4=0. \]

Se o polinómio tiver raízes inteiras, estas são divisores inteiros de \(-4\): \(-1\), \(1\), \(-2\), \(2\), \(-4\) ou \(4\). Como \(2\) é raiz, aplicamos a regra de Ruffini:

\[ x^3-2x^2+2x-4=(x-2)(x^2+2). \]

Como \(x^2+2=0\) é impossível em \(\mathbb{R}\),

\[ C.S.=\{2\}. \]

14.1.

\[ x^3\ge x \Leftrightarrow x^3-x\ge0 \Leftrightarrow x(x-1)(x+1)\ge0. \]

Condição auxiliar:

\[ x(x^2-1)=0 \Leftrightarrow x=0\vee x=-1\vee x=1. \]

Pelo estudo de sinal,

\[ x\in[-1,0]\cup[1,+\infty[. \]

14.2.

\[ x^4<15+2x^2 \Leftrightarrow x^4-2x^2-15<0. \]

Fazendo \(y=x^2\),

\[ y^2-2y-15=(y-5)(y+3). \]

Como \(y=x^2\), obtemos \(x^2=-3\), impossível em \(\mathbb R\), ou \(x^2=5\), isto é, \(x=-\sqrt5\) ou \(x=\sqrt5\). Assim,

\[ x^4-2x^2-15=(x^2-5)(x^2+3). \]

Como \(x^2+3>0\), estudamos o sinal de \((x-\sqrt5)(x+\sqrt5)\):

\[ x^4-2x^2-15<0 \Leftrightarrow x^2-5<0 \Leftrightarrow x\in]-\sqrt5,\sqrt5[. \]

14.3. Como o polinómio é divisível por \(x+\dfrac12\), aplicamos a regra de Ruffini com \(-\dfrac12\):

\[ 4x^3-12x^2-x+3=\left(x+\frac12\right)(4x^2-14x+6). \]

Condição auxiliar:

\[ 4x^2-14x+6=0 \Leftrightarrow x=\frac{14\pm\sqrt{(-14)^2-4\cdot4\cdot6}}{8} \Leftrightarrow x=\frac12\vee x=3. \] \[ 4x^2-14x+6=2(2x-1)(x-3). \]

Assim, os zeros são \(-\dfrac12\), \(\dfrac12\) e \(3\). Pelo quadro de sinais:

\[ 4x^3-12x^2-x+3>0 \Leftrightarrow x\in\left]-\frac12,\frac12\right[\cup]3,+\infty[. \]